Alla metoder för att lösa dynamikproblem som vi hittills har övervägt är baserade på ekvationer som följer antingen direkt från Newtons lagar, eller från allmänna satser som är konsekvenser av dessa lagar. Denna väg är dock inte den enda. Det visar sig att rörelseekvationerna eller jämviktsförhållandena för ett mekaniskt system kan erhållas genom att anta andra allmänna satser istället för Newtons lagar, kallade mekanikens principer. I ett antal fall gör tillämpningen av dessa principer det möjligt, som vi ska se, att hitta effektivare metoder för att lösa motsvarande problem. I detta kapitel kommer en av mekanikens allmänna principer, kallad d'Alemberts princip, att behandlas.
Antag att vi har ett system som består av n materiella poäng. Låt oss peka ut några av punkterna i systemet med massa . Under verkan av yttre och inre krafter som appliceras på den och (som inkluderar både aktiva krafter och kopplingsreaktioner), får punkten en viss acceleration med avseende på tröghetsreferensramen.
Låt oss ta hänsyn till kvantiteten
har dimensionen kraft. En vektorkvantitet lika i absolut värde som produkten av en punkts massa och dess acceleration och riktad mot denna acceleration kallas punktens tröghetskraft (ibland d'Alemberts tröghetskraft).
Sedan visar det sig att rörelsen av en punkt har följande allmänna egenskap: om vi vid varje tidpunkt lägger till tröghetskraften till de krafter som faktiskt verkar på punkten, kommer det resulterande kraftsystemet att balanseras, d.v.s. kommer
.
Detta uttryck uttrycker d'Alembert-principen för en materiell punkt. Det är lätt att se att det motsvarar Newtons andra lag och vice versa. Newtons andra lag för punkten i fråga ger faktiskt 
. Överför termen här till höger sida av jämlikheten, kommer vi fram till den sista relationen.
Genom att upprepa resonemanget ovan med avseende på var och en av systemets punkter kommer vi fram till följande resultat, som uttrycker d'Alembert-principen för systemet: om vid något tillfälle till var och en av systemets punkter, förutom de yttre och inre krafter som faktiskt verkar på det, motsvarande tröghetskrafter appliceras, kommer det resulterande kraftsystemet att vara i jämvikt och alla ekvationer för statik kan appliceras på den.
Betydelsen av d'Alembert-principen ligger i det faktum att när den appliceras direkt på dynamikproblem, sammanställs systemets rörelseekvationer i form av välkända jämviktsekvationer; vilket gör ett enhetligt tillvägagångssätt för att lösa problem och vanligtvis förenklar motsvarande beräkningar avsevärt. Dessutom, i samband med principen om möjliga förskjutningar, som kommer att diskuteras i nästa kapitel, tillåter d'Alembert-principen oss att erhålla en ny generell metod för att lösa dynamikproblem.
Med tillämpning av d'Alembert-principen bör man komma ihåg att endast yttre och inre krafter verkar på en punkt i ett mekaniskt system, vars rörelse studeras, och som uppstår som ett resultat av samverkan mellan punkterna i system med varandra och med organ som inte ingår i systemet; under inverkan av dessa krafter, punkterna i systemet och rör sig med motsvarande accelerationer. Tröghetskrafterna, som nämns i d'Alembert-principen, verkar inte på rörliga punkter (annars skulle dessa punkter vara i vila eller röra sig utan acceleration, och då skulle det inte finnas några tröghetskrafter i sig). Införandet av tröghetskrafter är bara en teknik som låter dig komponera ekvationerna för dynamik med enklare metoder för statik.
Det är känt från statik att den geometriska summan av krafter i jämvikt och summan av deras moment med avseende på något centrum HANDLA OMär lika med noll, och enligt solidifieringsprincipen gäller detta för krafter som inte bara verkar på en stel kropp, utan också på alla variabla system. Då borde det, på grundval av d'Alembert-principen, vara det.
Inledningsvis uttrycktes idén om denna princip av Jacob Bernoulli (1654-1705) när han övervägde problemet med svängningscentrum för kroppar med godtycklig form. År 1716 lade S:t Petersburg-akademikern Ya. German (1678 - 1733) fram principen om statisk likvärdighet mellan "fria" rörelser och "faktiska" rörelser, det vill säga rörelser utförda i närvaro av anslutningar. Senare tillämpades denna princip av L. Euler (1707-1783) på problemet med vibrationer hos flexibla kroppar (verket publicerades 1740) och kallades "Petersburgprincipen". Den förste som formulerade principen under övervägande i en allmän form, även om han inte gav den ett korrekt analytiskt uttryck, var d'Alembert (1717-1783). I sin "Dynamics" publicerad 1743 angav han en allmän metod för att lösa problemen med dynamiken i icke-fria system. Ett analytiskt uttryck för denna princip gavs senare av Lagrange i hans Analytical Mechanics.
Tänk på något icke-fritt mekaniskt system. Låt oss beteckna resultanten av alla aktiva krafter som verkar på någon punkt i systemet genom och resultanten av reaktionerna av bindningarna - till och med Då kommer punktens rörelseekvation att ha formen
var är accelerationsvektorn för en punkt, och är massan av denna punkt.
Om vi tar hänsyn till en kraft som kallas d'Alemberts tröghetskraft, så kan rörelseekvationen (2.9) skrivas om i form av en ekvation för jämvikten mellan tre krafter:
Ekvation (2.10) är essensen av d'Alembert-principen för en punkt, och samma ekvation, utökad till ett system, är essensen av d'Alembert-principen för ett system.
Rörelseekvationen, skriven i formen (2.10), tillåter oss att ge d'Alembert-principen följande formulering: om systemet är i rörelse, någon gång i tiden, stoppa omedelbart och tillämpa på varje materiell punkt i detta system de aktiva reaktionskrafterna som verkar på den vid stoppögonblicket och d'Alemberts tröghetskrafter, då kommer systemet att förbli i jämvikt.
D'Alembert-principen är en bekväm metodisk metod för att lösa dynamiska problem, eftersom den tillåter rörelseekvationer för icke-fria system att skrivas i form av statiska ekvationer.
Genom detta reduceras naturligtvis inte dynamikens problem till problemet med statik, eftersom problemet med att integrera rörelseekvationerna fortfarande är bevarat, men d'Alembert-principen tillhandahåller en enhetlig metod för att sammanställa rörelseekvationerna för icke -fria system, och detta är dess främsta fördel.
Om vi tänker på att reaktioner är verkan av bindningar på systemets punkter, så kan d'Alembert-principen också ges följande formulering: om vi adderar d'Alemberts tröghetskrafter till de aktiva krafterna som verkar på punkter i ett icke-fritt system, då kommer de resulterande krafterna från dessa krafter att balanseras av reaktionerna från bindningarna. Det bör betonas att denna formulering är godtycklig, eftersom den i verkligheten
när systemet rör sig finns det ingen balansering, eftersom tröghetskrafterna inte appliceras på systemets punkter.
Slutligen kan d'Alembert-principen ges ytterligare en likvärdig formulering, för vilken vi skriver om ekvation (2.9) i följande form:
D'Alembert-principen etablerar ett enhetligt tillvägagångssätt för studiet av rörelsen av ett materiellt föremål, oavsett arten av de villkor som åläggs denna rörelse. I detta fall ges de dynamiska rörelseekvationerna formen av jämviktsekvationer. Därför är det andra namnet på d'Alembert-principen metoden för kinetostatik.
För en materialpunkt vid varje rörelsemoment är den geometriska summan av de applicerade aktiva krafterna, reaktionerna av bindningarna och den villkorligt fästa tröghetskraften noll (fig. 48).
Där Ф är tröghetskraften för en materialpunkt, lika med:
.
(15.2)
Bild 48
Bild 49
Tröghetskraften appliceras inte på ett rörligt föremål, utan på de bindningar som bestämmer dess rörelse. Man rapporterar acceleration 
vagn (fig. 49), tryck den med kraft 
.Tröghetskraften är motverkan till en persons verkan på vagnen, d.v.s. modulo lika med kraft 
och riktas i motsatt riktning.
Om en punkt rör sig längs en krökt bana, kan tröghetskraften projiceras på de naturliga koordinataxlarna.
Bild 50
;
(15.3)
, (15.4) där 
-- Banans krökningsradie.
När du löser problem med kinetostatikmetoden är det nödvändigt att:
1. välj ett koordinatsystem;
2. visa alla aktiva krafter som appliceras på varje punkt;
3. kassera anslutningar, ersätt dem med lämpliga reaktioner;
4. addera tröghetskraften till kopplingarnas aktiva krafter och reaktioner;
5. komponera ekvationerna för kinetostatik, från vilka man kan bestämma de önskade värdena.
EXEMPEL 21.
HANDLA OM
LÖSNING. 1. Betrakta en bil på toppen av en konvex bro. Betrakta bilen som en materiell punkt på vilken den givna kraften 2. Eftersom bilen rör sig med konstant hastighet, skriver vi ner d'Alembert-principen för en materialpunkt i projektion på normalen 
och kommunikationsreaktion 
.
. (1) Vi uttrycker tröghetskraften: 
; vi bestämmer bilens normala tryck från ekvation (1): N.
\u003d 20m och rör sig med konstant hastighet V \u003d 36 km/h (Fig. 51).
16. D'Alembert-principen för ett mekaniskt system. Huvudvektor och huvudsakliga tröghetsmomentkrafter.
Om motsvarande tröghetskrafter villkorligt appliceras på varje punkt i det mekaniska systemet vid något rörelseögonblick, så är den geometriska summan av de aktiva krafter som verkar på punkten vid varje rörelseögonblick, bindningarnas reaktioner och tröghetskraften. lika med noll.
Ekvationen som uttrycker d'Alembert-principen för ett mekaniskt system har formen 
. (16.1) Summan av momenten av dessa balanserade krafter i förhållande till något centrum är också lika med noll 
. (16.2) Vid tillämpning av d'Alembert-principen sammanställs systemets rörelseekvationer i form av jämviktsekvationer. Ekvationerna (16.1) och (16.2) kan användas för att bestämma dynamiska svar.
EXEMPEL 22.
Vertikal axel AK, roterande med konstant vinkelhastighet 
\u003d 10s -1, fixerad med ett axiallager vid punkt A och ett cylindriskt lager vid punkt K (fig. 52). En tunn homogen bruten stav med en massa m=10kg och en längd 10b är fäst vid axeln vid punkt E, bestående av delar 1 och 2, där b=0,1m, och deras massor m 1 och m 2 är proportionella mot längderna . Stången är fäst vid axeln med ett gångjärn vid punkt E och en viktlös stav 4 som är stelt fast vid punkt B. Bestäm reaktionen mellan gångjärn E och stav 4.
LÖSNING.
1. Längden på den trasiga stången är 10b. Låt oss uttrycka massorna av stavens delar, proportionellt mot längderna: m 1 =0,4m; m2=0,3m; m 3 \u003d 0,3 m.
Bild 42
2. För att bestämma de önskade reaktionerna, överväg rörelsen av en trasig stav och tillämpa d'Alembert-principen. Låt oss placera staven i xy-planet, avbilda de yttre krafterna som verkar på den: 
,
,
, gångjärnsreaktioner 
Och 
och reaktion 
stav 4. Till dessa krafter adderar vi tröghetskrafterna för stavens delar: 
;
;
,
Var 
;
;
.
Sedan N.N.N.
Verkningslinje för de resulterande tröghetskrafterna 
,
Och 
passerar på avstånden h 1 , h 2 och h 3 från x-axeln: m;
3. Enligt d'Alembert-principen bildar de applicerade aktiva krafterna, bindningarnas reaktioner och tröghetskrafterna ett balanserat kraftsystem. Låt oss komponera tre jämviktsekvationer för ett platt kraftsystem:
;
;
(1)
;;
(2)
;.(3)
Genom att lösa ekvationssystemet (1) + (3), genom att ersätta de givna värdena för motsvarande kvantiteter, hittar vi de önskade reaktionerna:
N= yE=xE=
Om alla krafter som verkar på punkterna i ett mekaniskt system är uppdelade i externa 
och internt 
, (Fig. 53), sedan för en godtycklig punkt i det mekaniska systemet, kan två vektorlikheter skrivas:
;
(16.3)
.
Bild 53
Med hänsyn till egenskaperna hos inre krafter får vi d'Alembert-principen för ett mekaniskt system i följande form: 
;
(16.4)
, (16.5) där 
,
-- respektive huvudvektorerna för yttre krafter och tröghetskrafter;
,
- respektive huvudmomenten för yttre krafter och tröghetskrafter i förhållande till ett godtyckligt centrum O.
Huvudvektor 
och huvudpoängen 
ersätt tröghetskrafterna för alla punkter i systemet, eftersom det är nödvändigt att applicera sin egen tröghetskraft på varje punkt i systemet, beroende på punktens acceleration. Med hjälp av satsen om masscentrums rörelse och om förändringen i systemets rörelsemängd i förhållande till ett godtyckligt centrum får vi: 
,
(16.6)
. (16.7) För en stel kropp som roterar runt en fixerad axel z, är huvudtröghetsmomentet runt denna axel lika med 
, (16.8) där 
är kroppens vinkelacceleration.
Under kroppens translationella rörelse reduceras tröghetskrafterna för alla dess punkter till resultanten, lika med huvudvektorn för tröghetskrafter, dvs. 
.
P
Bild 54
, (16.9) där 
- kroppens tröghetsmoment kring rotationsaxeln.
Om kroppen har ett symmetriplan och roterar runt en fixerad axel z, vinkelrät mot symmetriplanet och inte passerar genom kroppens masscentrum, reduceras tröghetskraften för alla punkter i kroppen till den resulterande, lika med huvudvektorn för systemets tröghetskrafter, men applicerad på någon punkt K (Fig. 54) . Verkningslinje för den resulterande 
bort från punkt O på avstånd 
.
(16.10)
Med en plan rörelse hos en kropp som har ett symmetriplan, rör sig kroppen längs detta plan (fig. 55). Huvudvektorn och huvudmomentet för tröghetskrafterna ligger också i detta plan och bestäms av formlerna:
Bild 55
;
.
Minustecknet anger att ögonblickets riktning 
motsatt riktningen för kroppens vinkelacceleration.
EXEMPEL 23.
Bestäm kraften som tenderar att bryta ett jämnt roterande svänghjul med massan m, med tanke på dess massa fördelad över fälgen. Svänghjulsradie r, vinkelhastighet 
(Fig. 56).
LÖSNING.
1. Söker styrka 
är intern. 
-- resultanten av tröghetskrafterna hos fälgens element. 
. Vi uttrycker x-koordinaten från fälgbågens masscentrum med en central vinkel 
:
, Då 
.
2. För att bestämma styrkan 
tillämpa d'Alembert-principen i projektion på x-axeln: 
;
, var 
.
3. Om svänghjulet är en solid homogen skiva, då 
, Då 
.
Omfattningen av d'Alemberts princip är dynamiken i icke-fria mekaniska system. d'Alembert föreslog en originell metod för att lösa dynamikproblem, som gör det möjligt att använda ganska enkla statiska ekvationer. Han skrev: "Denna regel reducerar alla problem relaterade till kroppars rörelse till enklare problem med jämvikt."
Denna metod är baserad på tröghetskrafterna. Låt oss presentera detta koncept.
Tröghetskraften kallas den geometriska summan av krafterna för motverkan av en rörlig materialpartikel till kroppar som ger den acceleration.
Låt oss förklara denna definition. På fig. 15.1 visar en materialpartikel M , interagerar med n materiella föremål. På fig. 15.1 visar växelverkans krafter: utan
som faktiskt inte är per partikel, utan på kroppar med massor m 1, …, m n . Det är tydligt att resultatet av detta system av konvergerande reaktionskrafter, R'=ΣF'k , modulo lika med R och är riktad motsatt accelerationen, dvs: R' = -ma. Denna kraft är den tröghetskraft som avses i definitionen. I det följande kommer vi att beteckna det med bokstaven F , dvs.:
I det allmänna fallet med kurvlinjär rörelse av en punkt är acceleration summan av två komponenter:
Av (15.4) kan man se att komponenterna i tröghetskraften är riktade motsatta riktningarna för motsvarande komponenter i punktens acceleration. Modulerna för komponenterna i tröghetskraften bestäms av följande formler:
Var ρ är krökningsradien för punktbanan.
Efter att ha bestämt tröghetskraften, överväg d'Alemberts princip.
Låt ett mekaniskt system bestående av n materialpunkter (Fig. 15.2). Låt oss ta en av dem. Alla krafter som verkar på k -th punkt, vi klassificerar i grupper:
Expression (15.6) återspeglar kärnan i d'Alembert-principen, skriven för en materiell punkt. Genom att upprepa ovanstående steg med avseende på varje punkt i det mekaniska systemet kan vi skriva systemet n ekvationer liknande (15.6), som kommer att vara den matematiska registreringen av d'Alembert-principen som tillämpas på ett mekaniskt system. Så formulerar vi d'Alemberts princip för ett mekaniskt system:
Om vid något tillfälle, förutom de yttre och inre krafter som faktiskt verkar på den, en lämplig tröghetskraft appliceras på varje punkt i ett mekaniskt system, kommer hela kraftsystemet att bringas i jämvikt och alla ekvationer av statik kan appliceras på den.
Kom ihåg:
D'Alembert-principen kan tillämpas på dynamiska processer som sker i
tröghetsreferenssystem. Samma krav, som tidigare noterats, bör följas vid tillämpning av dynamikens lagar;
Tröghetskrafterna, som enligt d'Alembert-principens metodik måste tillämpas
lever till punkterna i systemet, i själva verket påverkas de inte. I själva verket, om de fanns, skulle hela uppsättningen krafter som appliceras på varje punkt vara i jämvikt, och formuleringen av själva dynamikens problem skulle saknas.
För ett jämviktssystem av krafter kan följande ekvationer skrivas:
de där. den geometriska summan av alla krafter i systemet, inklusive tröghetskrafterna, och den geometriska summan av momenten för alla krafter kring ett godtyckligt centrum är lika med noll.
Med tanke på egenskaperna hos systemets inre krafter:
uttryck (15.7) kan avsevärt förenklas.
Introduktion av den huvudsakliga vektornotationen
och huvudpoängen
uttryck (15.7) kommer att visas i formen:
Ekvationer (15.11) är en direkt fortsättning på d'Alembert-principen, men innehåller inga inre krafter, vilket är deras otvivelaktiga fördel. Deras användning är mest effektiv för att studera dynamiken hos mekaniska system som består av stela kroppar.
Om vi betraktar ett system som består av flera materialpunkter, som markerar en specifik punkt med en känd massa, får det under inverkan av yttre och inre krafter som appliceras på det en viss acceleration i förhållande till tröghetsreferensramen. Bland sådana krafter kan det finnas både aktiva krafter och kopplingsreaktioner.
En punkts tröghetskraft är en vektorkvantitet, som i absoluta värde är lika med produkten av punktens massa och dess acceleration. Detta värde kallas ibland för tröghetskraften d'Alembert, det är riktat mot accelerationen. I det här fallet avslöjas följande egenskap hos en rörlig punkt: om vi vid varje tidpunkt lägger till tröghetskraften till de krafter som faktiskt verkar på punkten, kommer det resulterande kraftsystemet att balanseras. Så det är möjligt att formulera d'Alemberts princip för en materiell punkt. Detta uttalande är helt förenligt med Newtons andra lag.
d'Alemberts principer för systemet
Om vi upprepar alla argument för varje punkt i systemet leder de till följande slutsats, som uttrycker den för systemet formulerade d'Alembert-principen: om vi vid något tillfälle tillämpar var och en av punkterna i systemet, förutom att de faktiskt verkande yttre och inre krafterna, då kommer detta system att vara i jämvikt, så alla ekvationer som används i statik kan appliceras på det.
Om vi tillämpar d'Alembert-principen för att lösa dynamikproblem, så kan systemets rörelseekvationer sammanställas i form av de för oss kända jämviktsekvationerna. Denna princip förenklar beräkningar avsevärt och gör tillvägagångssättet för att lösa problem enhetligt.
Tillämpning av d'Alembert-principen
Det bör beaktas att endast yttre och inre krafter verkar på en rörlig punkt i ett mekaniskt system, som uppstår som ett resultat av interaktionen av punkter mellan sig själva, såväl som med kroppar som inte ingår i detta system. Punkter rör sig med vissa accelerationer under påverkan av alla dessa krafter. Tröghetskrafterna verkar inte på rörliga punkter, annars skulle de röra sig utan acceleration eller vara i vila.
Tröghetskrafterna introduceras endast för att komponera dynamikens ekvationer med enklare och mer bekväma metoder för statik. Det tas också med i beräkningen att den geometriska summan av inre krafter och summan av deras moment är lika med noll. Användningen av ekvationer som följer av d'Alembert-principen gör processen att lösa problem lättare, eftersom dessa ekvationer inte längre innehåller inre krafter.
