d'Alemberts princip för en materiell punkt. Formen för rörelseekvationen i enlighet med Newtons lagar är inte den enda. Dessa ekvationer kan också skrivas i andra former. En av dessa möjligheter är d'Alemberts princip, vilket formellt tillåter differentialekvationerna för rörelse att ta formen av jämviktsekvationer.

Denna princip kan betraktas som ett oberoende axiom, som ersätter Newtons andra lag. Vi använder det som ett sätt att lösa problem och härleder det från Newtons lag.

Betrakta rörelsen av en materialpunkt i förhållande till en tröghetsreferensram. För en gratis materialpoäng

vi har: den där = = jag.

Överföra vektor den där till höger om jämlikheten kan detta förhållande representeras som en jämviktsekvation: Jag det - 0.

Vi introducerar konceptet tröghetskrafter. Låt oss kalla vektorn riktad mot accelerationen och lika med produkten av punktens massa och dess acceleration tröghetskraften hos en materialpunkt: = -ta.

Med detta koncept kan vi skriva (fig. 3.42):

• ? ^ + P "n) = 0. (3.47)

Ris. 3,42.

för materialpunkt

Ekvation (3.47) är d'Alembert-principen för en fri materiell punkt: om tröghetskraften adderas till krafterna som appliceras på punkten, kommer punkten att vara i ett jämviktstillstånd.

Den angivna ståndpunkten är strängt taget inte d'Alembert-principen i den form den formulerades av författaren.

ansåg d'Alembert icke-fri rörlighet för en punkt utan att använda principen om frigöring från bindningar, utan att införa en bindningsreaktion. Observera att i närvaro av en anslutning sammanfaller inte accelerationen av en punkt i riktning med kraften och ta F R, han introducerade konceptet tappad ström P - den där och angav att appliceringen av en förlorad kraft på en punkt inte stör dess jämviktstillstånd, eftersom den förlorade kraften balanseras av förbindelsens reaktion.

Relation (3.47) är grundläggande ekvation för kinetostatik, eller Hermanns Petersburg principekvation-Euler. Den kinetostatiska metoden kan betraktas som en modifiering av d'Alembert-principen, inklusive för en fri materialpunkt, vilket är mer praktiskt för praktisk användning. Därför, i de flesta litterära källor, kallas ekvation (3.47) för d'Alembert-principen.

Om punkten inte är fri, d.v.s. en begränsning påläggs den, det är bekvämt att dela upp krafterna som verkar på punkten i aktiv 1 , R°(miljö-

givet) och CU-bindningens reaktion: p(a) + n =

Denna teknik är bekväm, eftersom det för vissa typer av bindningar är möjligt att komponera en rörelseekvation på ett sådant sätt att reaktionerna av dessa bindningar inte ingår i den. Således kan d'Alembert-principen för en icke-fri punkt skrivas som (Fig. 3.43):

R (a)+/V+ RW) = 0, (3.48)

d.v.s. om en tröghetskraft appliceras på en icke-fri materialpunkt, förutom aktiva krafter och kopplingsreaktionen, kommer det resulterande kraftsystemet att vara i jämvikt när som helst.

Ris. 3,43.

materiell punkt

A- från engelska, aktiva- aktiva. Kom ihåg att krafter kallas aktiva om de behåller sina värden när alla bindningar tas bort.

När man överväger en punkts kurvlinjära rörelse, är det lämpligt att representera tröghetskraften i form av två komponenter: Г "‘ n) \u003d -ta n- centrifugal och W, p) \u003d -ta x - tangent (bild 3.44).

Ris. 3,44.

rörelse av en materiell punkt

Kom ihåg att uttrycken för de normala och tangentiella accelerationerna har formen: a p -U 2 / p och i t = s1U D/L

Då kan du skriva: P^ t) - -t-p Rp p) - -t-t, eller slutligen: R

rt + p(t) + p(a)+åå = o (3,49)

Jämlikhet (3.49) uttrycker d'Alembert-principen för den krökta rörelsen av en icke-fri punkt.

Betrakta en tråd med längd /, vid vars ände är fixerad en massapunkt T. Tråden roterar runt en vertikal axel och beskriver en konisk yta med en konstant lutningsvinkel för generatrisen A. Bestäm motsvarande konstant hastighet för spetsen och trådspänningen T(Fig. 3.45).

Ris. 3,45.

rörelse av en icke-fri materialpunkt

Ja, men: /u, /, a = konst. Hitta: T, V.

Låt oss på punkten tillämpa tröghetskrafterna riktade motsatt mot motsvarande komponenter i accelerationen. Observera att den tangentiella tröghetskraften är noll, eftersom hastigheten är konstant:

/1°") = -ta = -t-= Åh

och tröghetscentrifugalkraften bestäms av uttrycket P^ m) \u003d mU 2 /p, där p = /Bta.

Tillämpningen av d'Alembert-principen på detta problem tillåter oss att skriva rörelseekvationen för den studerade materialpunkten i form av ett villkor för jämvikten mellan konvergerande krafter: T? + T + Ppn) = 0.

I detta fall är alla jämviktsekvationer giltiga i projektionen på de naturliga koordinataxlarna:

X^n=0, - FJ" 1+ Tsina = 0; ^ F h = 0, - mg + T cosa = 0,

+ T synd a =

-mg + T cosa = 0,

var hittar vi T= /u#/coBa; V= Btal/^/Tcosa.

d'Alemberts princip för ett system av materiella punkter. Betrakta rörelsen hos ett mekaniskt system av materialpunkter. Som med tillbakadragandet av OZMS delar vi upp krafterna som appliceras på varje punkt i yttre och inre (Fig. 3.46).

Ris. 3,46.

Låt ' vara resultanten av externa krafter som appliceras på /-te punkten, och / G (L - resultanten av inre krafter applicerade på samma punkt. I enlighet med d'Alembert-principen måste tröghetskrafter appliceras på varje material punkt i systemet: Рр n) = -т,а г

Då uppfyller de krafter som appliceras på varje punkt i systemet förhållandet:

1?E) + pY) + p0n)

de där. systemet av materialpunkter kommer att vara i jämvikt om en extra tröghetskraft appliceras på var och en av dess punkter. Med hjälp av d'Alembert-principen är det alltså möjligt att ge systemets rörelseekvationer formen av jämviktsekvationer.

Låt oss uttrycka de kinetostatiska jämviktsförhållandena för systemet med hjälp av de statiska ekvivalenterna av tröghetskrafter och yttre krafter. För detta ändamål summerar vi allt P ekvationer (A), som beskriver krafterna som appliceras på enskilda punkter i systemet. Sedan beräknar vi momenten för alla yttre och inre krafter och tröghetskrafter som appliceras på enskilda punkter, i förhållande till en godtycklig punkt HANDLA OM:

g a X R "E> + g a X /*") + g a X P t > =0. і = 1,2,..., ".

Sedan summerar vi, som ett resultat får vi

// p sid

'(E) і G(1)

1l (?) + L (/) + L (, n) \u003d 0;

[M (O E) + M (On + M% a) = 0.

Eftersom den K i)= 0 och M10p = 0, vi har äntligen:

ІЯ (?) + Л (/И) = 0;

M (a E) + M('n) = 0.

Det kan ses från ekvationssystemet (3.50) att huvudvektorn för tröghetskrafter balanseras av huvudvektorn av externa krafter, och det huvudsakliga tröghetsmomentet i förhållande till en godtycklig punkt balanseras av huvudmomentet för externa krafter. i förhållande till samma punkt.

Vid problemlösning är det nödvändigt att ha uttryck för huvudvektorn och det huvudsakliga tröghetsmomentet. Storleken och riktningarna för dessa vektorer beror på fördelningen av accelerationer för enskilda punkter och deras massor. Som regel en direkt definition jag (sh) Och M ("" ] geometrisk summering kan utföras relativt enkelt endast när P - 2 eller P= 3. Samtidigt är det i problemet med en stel kropps rörelse möjligt att uttrycka de statiska ekvivalenterna för tröghetskrafterna i vissa speciella fall av rörelse beroende på de kinematiska egenskaperna.

Huvudvektor och huvudsakliga tröghetskraftmoment hos en stel kropp i olika fall av rörelse. Enligt satsen om masscentrums rörelse t med en c \u003d I (E). Enligt d'Alemberts princip har vi: I (IP) + I (E) =Åh, var hittar vi: jag "1P) = -t med ett med. Alltså med någon rörelse av kroppen huvudvektorn av tröghetskrafter är lika med produkten av kroppsmassan och accelerationen av massacentrum och är riktad motsatt accelerationen av massacentrum(Fig. 3.47).

Ris. 3,47.

Låt oss uttrycka huvudmomentet för tröghetskrafter under kroppens rotationsrörelse runt en fast axel vinkelrät mot kroppens materialsymmetriplan (fig. 3.48). Tröghetskrafter applicerade på / -punkt: R"! n) = m,x op; 2 och R? P)= /u,ep,.

Eftersom alla centrifugala tröghetskrafter skär rotationsaxeln, är huvudmomentet för dessa tröghetskrafter noll, och huvudmomentet för de tangentiella tröghetskrafterna är:

m t =?_ C\u003e P (= ?-sh.d x / R. = = -e? / i. p; = - Jz (3.51)

Således är huvudmomentet för tangenttröghetskrafterna kring rotationsaxeln lika med produkten av tröghetsmomentet kring denna axel och vinkelaccelerationen, och riktningen för huvudmomentet för de tangentiella tröghetskrafterna är motsatt till riktningen för vinkelaccelerationen.

Ris. 3,48.

kring rotationsaxeln

Därefter uttrycker vi tröghetskrafterna för en planparallell rörelse av kroppen. Med tanke på kroppens planparallella rörelse (fig. 3.49) som summan av translationsrörelsen tillsammans med massans centrum och rotera runt axel som går genom massans centrum vinkelrätt mot rörelseplanet kan det bevisas, i närvaro av ett materialsymmetriplan som sammanfaller med masscentrums rörelseplan, att tröghetskrafterna i planparallell rörelse är ekvivalenta med huvudvektorn / ? (" p) applicerad på masscentrum är motsatt accelerationen av masscentrum och det huvudsakliga tröghetsmomentet M^ n) i förhållande till den centrala axeln, vinkelrät mot rörelseplanet, riktad i motsatt riktning mot vinkelaccelerationen:

Ris. 3,49.

Anteckningar.

• 1. Observera att, eftersom d’Alembert-principen tillåter skriv bara rörelseekvationen i form av en jämviktsekvation, då ger den inga integraler av rörelseekvationen.
• 2. Vi betonar det tröghetskraft i d'Alemberts princip är fiktiv grå, tillämpas utöver de verkande krafterna med det enda syftet att erhålla ett jämviktssystem. Men i naturen finns krafter som är geometriskt lika med tröghetskrafterna, men dessa krafter appliceras på andra (accelererande) kroppar, i samverkan med vilka en accelererande kraft uppstår, applicerad på den betraktade rörliga kroppen. Till exempel, när man flyttar en punkt fixerad på en tråd som roterar med konstant hastighet runt en cirkel i ett horisontellt plan, är trådspänningen exakt lika med tröghetskraft, de där. reaktionskraften för en punkt på en tråd, medan punkten rör sig under verkan av trådens reaktion på den.
• 3. Som redan visats skiljer sig ovanstående form av d'Alembert-principen från den som d'Alembert själv använder. Metoden för att sammanställa differentialekvationer för systemets rörelse, som används här, utvecklades och utökades av ett antal forskare i S:t Petersburg och fick namnet kinetostatisk metod.

Tillämpning av mekanikens metoder på några problem med dynamiken hos järnvägsfordon:

? rörelse av ett järnvägsfordon längs ett krökt spår. För närvarande, på grund av datorteknikens möjligheter, utförs analysen av alla mekaniska fenomen som inträffar under rörelsen av ett järnvägsfordon i en kurva med hjälp av en ganska komplex modell, som tar hänsyn till hela uppsättningen av individuella kroppar i systemet och egenskaperna hos förbindelserna mellan dem. Detta tillvägagångssätt gör det möjligt att erhålla alla nödvändiga kinematiska och dynamiska egenskaper för rörelse.

Men när man analyserar de slutliga resultaten och gör preliminära uppskattningar i den tekniska litteraturen, stöter man ganska ofta på vissa snedvridningar av vissa begrepp inom mekanik. Därför är det tillrådligt att prata om de mest "ursprungliga grunderna" som används för att beskriva besättningens rörelse i en kurva.

Låt oss presentera några matematiska beskrivningar av de övervägda processerna i en elementär formulering.

För en korrekt, konsekvent förklaring av egenskaperna stationär rörelse av besättningen i en cirkulär kurva är det nödvändigt:

• välj den mekanikmetod som används för att beskriva denna rörelse;
• utgå från ett tydligt, ur mekanikens synvinkel, begreppet "kraft";
• glöm inte lagen om lika handling och reaktion.

Processen för besättningens rörelse i en kurva innebär oundvikligen en förändring i hastighetsriktningen. Karakteristiken för hastigheten för denna förändring är den normala accelerationen riktad mot krökningscentrum för den krökta banan för massacentrum: a p - V 2/p, där p är kurvans radie.

Under rörelsen samverkar fordonet med rälsspåret, vilket resulterar i normala och tangentiella reaktiva krafter som appliceras på hjulsatserna. Naturligtvis appliceras lika och motsatta tryckkrafter på skenorna. Enligt ovanstående mekaniska begrepp förstås kraft som ett resultat av samverkan mellan kroppar, eller en kropp och ett fält. I det aktuella problemet finns det två fysiska system: en vagn med hjulpar och ett rälsspår, därför måste krafterna sökas på de platser där de kommer i kontakt. Dessutom skapar samspelet mellan besättningen och jordens gravitationsfält gravitation.

Beskrivningen av besättningens rörelse i kurvan kan göras med hjälp av allmänna dynamiksatser, som är konsekvenser av OZMS, eller baserat på mekanikens principer(till exempel d'Alembert-principen), som ligger till grund kinetostatisk metod.

Vill förklara lika egenskaper metoder för att ta hänsyn till spåraxelns krökning på egenskaperna hos besättningens rörelse, vi använder först den enklaste idealiserade modellen. Besättningen kommer att betraktas som ett materialplan med en massa som är lika med massan av detta system.

Masscentrum som ligger i detta plan utför en given rörelse längs en bana som är kongruent med banans axel, med en hastighet v. Kontakt med rälsspåret sker vid två skärningspunkter mellan det rörliga planet och rälsgängorna. När vi talar om fordonets interaktion med rälsspåret kan vi därför tala om koncentrerade krafter, som är resultatet av alla reaktioner från rälsen på individuella hjulsatser från var och en av rälsen. Dessutom är arten av förekomsten av reaktiva krafter obetydlig;

? vagnsrörelse längs banan utan upphöjning av den yttre skenan. På fig. 3.50 visar designschemat för besättningen som rör sig längs en krökt bana. De yttre och inre skenorna, i detta fall, ligger på samma nivå. På fig. 3.50 visar krafterna som verkar på besättningen och förbandens reaktioner. Vi betonar att det inte finns några det finns inga verkliga centrifugalkrafter i detta schema.

Inom ramen för Newtons geometriska mekanik beskrivs ett fordons rörelse i en kurva med allmänna satser om systemets dynamik.

I det här fallet, enligt satsen om masscentrums rörelse,

t c a c - I a), (a)

där R) är huvudvektorn för yttre krafter.

Projicera båda delarna av uttrycket (A) på de medföljande naturliga koordinataxlarna, vars centrum är i fordonets masscentrum, med enhetsvektorerna m, i, b och tro t s = T.

I projektionen på huvudnormalen får vi att n \u003d F n, eller

mV/p \u003d Fn (b)

Var F n - riktig kraft rälsreaktioner på hjulpar, vilket är summan av projektionerna av rälsreaktioner mot normalen till banan. Dessa kan vara de styrande tryckkrafterna från skenorna på hjulflänsarna. Det finns inga andra yttre krafter i denna riktning.

I uttrycket projektion (A) på det binormala får vi:

O = -mg+Nout+N värdshus. (Med)

Här är indexen ut 1 motsvara den yttre, en värdshus- kurvans inre skena. Den vänstra sidan i uttryck (c) är lika med noll, eftersom projiceringen av accelerationen på det binormala är lika med noll.

Vi får den tredje ekvationen genom att använda satsen om förändringen i rörelsemängdsrörelsen i förhållande till massans centrum:

dKc/dt = ^Mc. (d)

Designa ett uttryck d på t-axeln, där t = nx b - vektorprodukt av enhetsvektorer P Och b, med tanke på att KCl\u003d U St med t, U St - tröghetsmomentet för besättningen kring axeln som tangerar masscentrums bana, kommer vi att ha

Ja*i=NJS-NmS + FKH= 0, (e)

eftersom vinkelaccelerationen runt m-axeln i stadig rörelse längs en cirkulär kurva är noll.

Uttryck ( b), (c) och (e)är ett system av linjära algebraiska ekvationer för tre okända storheter M-tp> att lösa vilket får vi:

Ris. 3,50.

Således tillåter den konsekventa tillämpningen av de allmänna dynamikens teoremer oss att i det aktuella problemet fastställa alla fenomen som är förknippade med passagen av besättningen i en krökt sektion av banan.

Faktum är att båda hjulen utsätts för krafter riktade inuti kurvan. Resultatet av dessa krafter skapar ett ögonblick kring fordonets masscentrum, vilket kan orsaka rotation och till och med tippa utåt kurvan om V 2 N/p5" > g. Verkan av denna kraft leder till slitage på hjulen. Naturligtvis den motsatt riktade kraften som verkar på skenan -R sid orsakar rälsslitage.

Observera att i ovanstående uttalande kan man bara hitta resultanten av de horisontella reaktionerna av två skenor R. För att bestämma fördelningen av denna kraft mellan de inre och yttre skenorna är det nödvändigt att lösa ett statiskt obestämt problem med hjälp av ytterligare villkor. Dessutom, under vagnens rörelse, har de normala reaktionerna hos de yttre och inre skenorna olika värden. Den yttre rälsgängan är mer belastad.

Den inre trådens reaktion på fordonet är mindre och vid ett visst hastighetsvärde kan den till och med vara lika med noll.

I klassisk mekanik kallas detta tillstånd välta, även om det faktiskt inte finns någon rollover ännu. För att ta reda på när tillståndet för den faktiska vältningen inträffar bör man överväga bilens rotation runt en axel parallell med m och som passerar genom kontaktpunkten för hjulet med den yttre skenan vid? T F 0. En sådan uppgift är av rent akademiskt intresse, eftersom det naturligtvis är oacceptabelt att föra ett verkligt system till ett sådant tillstånd.

Vi betonar än en gång att vi utgick från faktum när vi förklarade alla fenomen bilens rörelse under inverkan av endast verkliga krafter.

Observera att differentialekvationen för rotation runt m-axeln, även vid = 0, skrivs med avseende på den centrala axeln m. Att välja denna axel vid en annan punkt leder till en förändring i formen av den vänstra sidan av ekvationen för momentsats. Därför är det omöjligt att till exempel skriva denna ekvation i samma form i förhållande till axeln som passerar genom kontaktpunkten för hjulet med skenan, även om det verkar som att det skulle vara lättare att hitta värdet av normala reaktioner I detta fall. Men detta tillvägagångssätt kommer att leda till fel resultat: I osh \u003d M 1Sh1 \u003d mg | 2.

Det kan visas att poängen är att rotationsekvationen kring en axel passerar t.ex. genom en punkt TILL, måste skrivas med hänsyn till kroppens momentum från den translationella delen av rörelsen g x x ta s: J Cl? t+ T(g ks xx d)=^ M Kh.

Därför, istället för ekvation (c) i projektionen på axeln St, får vi uttrycket

(8 )

/ St? t+ t[g ks X a c) t = -teB + N ipp 25,

där inom parentes är värdet av projektionen på vektorproduktens axel St ? ks ha s.

Låt oss visa att det successiva genomförandet av de nödvändiga förfarandena tillåter oss att hitta s w från den resulterande ekvationen). Från fig. 3.50 visar det

g ks - bp + Hb Och a c =

Låt oss beräkna vektorprodukten:

Det beaktas här att php = 0 Och bxn = - t. Därför

tNU 2

2L g/lp 5',

där vi finner reaktionen hos den inre skenan:

vilket är detsamma som resultatet som erhålls i uttrycket (/).

Som avslutning på presentationen av problemet påpekar vi att hänsynen till bilen i rörelse att använda Newtons metoder för geometrisk mekanik gör det möjligt att lösa problemet utan införandet av fiktiva och denna tröghet. Det är bara nödvändigt att korrekt använda alla bestämmelser i mekaniken. Det bör dock noteras att användningen av denna metod kan vara förknippad med en större mängd beräkningar än till exempel när man använder d'Alembert-principen.

Låt oss nu visa hur samma problem löses utifrån användningen av d'Alembert-principen i den allmänt accepterade formen av kinetostatikmetoden. I det här fallet är det nödvändigt att tillämpa en extra

gängning fiktiv tröghetskraft: G* = -ta sp = -T-P. och eki-

sida stannar, dvs. nu accelerationen av dess masscentrum a c= 0. I fig. 3,51 visar sådana vilosystem. Alla krafter som appliceras på den, inklusive tröghetskraften, måste uppfylla de kinetostatiska ekvationerna balans, inte rörelse, som i föregående fall.

Denna omständighet gör att vi kan hitta alla okända kvantiteter från balansekvationen. I detta fall blir valet av formen för jämviktsekvationerna och de punkter med avseende på vilka momenten beräknas godtyckligt. Den senare omständigheten tillåter oss att hitta alla okända oberoende av varandra:

jag M. = åh jag m,_= åh

-n = ungefär.

1 på MP

Ris. 3,51. Designschemat för de krafter som verkar på besättningen under samma förhållanden som i fig. 3,50 vid användning av d'Alembert-principen

Det är lätt att se att lösningarna av detta ekvationssystem sammanfaller med motsvarande formler som erhålls med hjälp av teorin om dynamik. I det aktuella exemplet gjorde tillämpningen av d'Alembert-principen det möjligt att något förenkla lösningen av problemet.

Men vid tolkningen av resultaten bör man komma ihåg att den extra pålagda tröghetskraften är fiktiv i den meningen att i verkligheten det finns ingen sådan kraft som verkar på besättningen. Dessutom uppfyller denna kraft inte Newtons tredje lag - det finns ingen "andra ände" av denna kraft, d.v.s. ingen opposition.

I allmänhet, när man löser många mekanikproblem, inklusive problemet med besättningsrörelse i en kurva, är det bekvämt att tillämpa d'Alembert-principen. Man ska dock inte associera några fenomen med handling denna tröghetskraft. Till exempel att säga att denna tröghetscentrifugalkraft ytterligare belastar den yttre skenan och avlastar den inre, och dessutom att denna kraft kan få fordonet att välta. Detta är inte bara analfabet, utan också meningslöst.

Vi minns än en gång att de yttre pålagda krafterna som verkar på vagnen i en kurva och ändrar dess rörelsetillstånd är tyngdkraften, vertikala och horisontella reaktioner av rälsen;

? rörelse av vagnen längs en kurva med en upphöjning av den yttre skenan. Som det visades är de processer som uppstår när fordonet passerar genom kurvor utan höjd av den yttre skenan förknippade med oönskade konsekvenser - ojämn vertikal belastning av rälsen, en signifikant normal horisontell reaktion från skenan på hjulet, åtföljd av ökat slitage av både hjul och räls, möjlighet att välta när hastigheten överskrids, förflyttning av en viss gräns osv.

Till stor del kan de obehagliga fenomenen som följer med kurvornas passage undvikas genom att höja den yttre skenan ovanför den inre. I det här fallet kommer vagnen att rulla längs konens yta med generatrisens lutningsvinkel mot den horisontella axeln (Fig. 3.52): f L \u003d båge (L / 25), eller i små vinklar

F A * L/2 S.

Ris. 3,52.

med en upphöjning av den yttre skenan

I det stationära fallet, när V- const och φ A = const, kan vi betrakta rörelsen av en plan del av vagnen i sitt eget plan på samma sätt som när man passar in i en kurva utan att höja den yttre skenan.

Överväg en teknik för att lösa problemet med hjälp av allmänna dynamiksatser. Vi kommer att anta att fordonets masscentrum rör sig längs en cirkulär kurva med radie p, även om i det aktuella fallet, strikt sett, skiljer sig krökningsradien för spåraxeln från krökningsradien för centrumbanan massa med en liten mängd:

H synd jfr L ~ H f A "r.

Jämfört med p kan därför det senare värdet försummas. Rörelsen av den "platta delen" av besättningen kommer att tillskrivas de medföljande axlarna SuSi x(se fig. 3.52), där axeln Su] parallellt med spårplanet. Vid konstant rörelsehastighet kan projektionen av masscentrumets acceleration på huvudnormalen för dess rörelsebana skrivas på samma sätt som när man rör sig i en kurva utan höjd, d.v.s. a sid = V i/R.

Projicering av acceleration på axeln Su, och Cz^är lika respektive:

a ux = a p sovf,; jag. \u003d en „smy h.

Rörelseekvationerna för en plan sektion baserad på satsen om masscentrums rörelse och satsen om förändringen av rörelsemängden i förhållande till Cx-axeln är följande:

Med hänsyn till att = 0, efter substitution, får vi ett system med tre linjära algebraiska ekvationer i tre okända F vi, N iiw, N (noll:

/i-si Pf l = -mg cosV/ , + N mn + N ut; P

-sof A = mgs ipf A + F ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

Observera att lutningen av spåraxelns plan på grund av höjden av den yttre skenan leder till en förändring i projektionen av accelerationen av masscentrum på axeln Cy och Cr, vilket är förknippat med en förändring i reaktioner av rälsen jämfört med de i frånvaro av höjd, när A. - 0, a l Dessa förändringar i projektionerna av accelerationer kan förklaras om vi betraktar fordonets rotation runt det binormala som passerar genom kurvans krökningscentrum som den geometriska summan av två rotationer ω = ω (+ b) runt axlarna?, y, passerar genom samma centrum av kurvan.

Vid sammanställning av ett ekvationssystem (Till) litenheten av vinkeln cp L förutsågs inte. Dock i en praktisk design

wtf A ~ /g/25.

Således, i fallet med liten f L, har ekvationssystemet för att bestämma spårets reaktioner på fordonet följande form:

= -g^+ LG, „ + M gsh,;

T- = /åå#--1-r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + RpN.

När vi löser dessa ekvationer får vi:

N...... =

mg + TU/G

fre/77 K OCH /77 „

• - +--+-n
• 2r 25 25

I det speciella fallet där det inte finns någon höjd (OCH= 0), dessa uttryck sammanfaller med de som erhölls tidigare (/).

Låt oss nu övergå till analysen av resultaten av att lösa problemet för OM 0.

Det bör noteras att i detta fall minskar skenans tvärreaktion, riktad i banans plan. Detta förklaras av det faktum att i bildandet av accelerationen av masscentrum i riktningen för axeln Su, deltar inte bara kraften // utan också tyngdkraftskomponenten. Dessutom för ett visst värde OCH\u003d 25K 2 / p? tvinga R blir noll:

Med tanke på det

t g - T,= X A, %>+ X A[

• (3.42)

Värdet inom parentes kallas enastående acceleration. Staten när P = 0, motsvarar det fall då den normala accelerationen A bildas endast av projektionen på axeln d>, besättningens tyngdkraft.

När man diskuterar det aktuella problemet, ibland finns det ett sofistiskt resonemang som accelerationen a sidär riktad horisontellt och tyngdkraften är vertikal (se fig. 3.52), och därför kan den inte bilda den avsedda accelerationen a sid på R= 0. Detta resonemang innehåller ett fel, eftersom i bildandet av horisontell acceleration, utöver kraften R, de normala reaktionerna D r w u och / V o r deltar också Summan av dessa två reaktioner vid liten f A är lika med 1H tp + 1U oig \u003d mg. Därför deltar tyngdkraften fortfarande i bildandet av horisontell acceleration ett p, utan genom reaktionernas verkan N m Och S oiG

Låt oss nu diskutera hur rälsens normala reaktioner, vinkelrätt mot spårytan, förändras.

Observera att i motsats till fallet /7 = 0, ökar reaktionerna med samma värde TU 2 I/2r28, som försummas eftersom ///25 - värdet är litet. Men i rigorösa resonemang, utelämna denna term för uttryck och N w gör det inte.

När - > -2-, dvs. med positiv enastående acceleration, s 25

reaktionen på den inre skenan är mindre än den yttre, men skillnaden mellan dem är inte lika betydande som med OCH = 0.

Om den utestående accelerationen är lika med noll, blir reaktionsvärdena lika med IV oSH = mg|2(för små OCH), de där. höjden av den yttre skenan tillåter inte bara att erhålla RU= 0, men även utjämna trycket på de yttre och yttre skenorna. Dessa omständigheter gör det möjligt att uppnå mer enhetliga slitagevärden för båda skenorna.

Men på grund av höjden på den yttre skenan finns det en möjlighet till ett negativt värde R", som i ett verkligt system med icke-hållande begränsningar motsvarar processen att glida fordonet längs axeln y g de där. inne i kurvan. På grund av samma lutning på banan kan en omfördelning av reaktioner ske N w Och Nej åh! dominerande M sh.

Således gör studier av ett fordons rörelse i en kurva längs en bana med en höjd av den yttre skenan, utförda med hjälp av Newtons metoder för geometrisk mekanik, det möjligt att analysera systemets tillstånd utan ytterligare terminologiska hypoteser. Det finns inga tröghetskrafter i resonemanget.

Låt oss nu överväga hur vagnens rörelse i samma kurva beskrivs med hjälp av d'Alembert-principen.

Genom att tillämpa denna princip i formuleringen av den kinetostatiska metoden på samma sätt som i föregående fall, är det nödvändigt att applicera den normala (centrifugal) tröghetskraften på masscentrum Є n), riktad i motsatt riktning mot normal acceleration (Fig. 3.53):

Vart i systemet igen stannar, dvs. besättningen rör sig inte längs banan. Därför är alla ekvationer för kinetostatisk jämvikt giltiga:

jag Till= °-X r* = O.

/L^ypf, - G' sid sovf* + G U[ = 0;

- /L?S08f /; - BIPf, + +N^1

Genom att ersätta värdet här får vi samma ekvationssystem som systemet (/) för alla f / (eller (Till) vid liten OCH.

Användningen av båda metoderna leder alltså till exakt samma resultat. ekvationssystem ( Till) och systemet som erhålls på grundval av d'Alembert-principen är identiska.

Observera dock att i de slutliga resultaten inkluderar inga tröghetskrafter. Detta är förståeligt, eftersom d'Alembert-principen, som ligger till grund för metoden för kinetostatik, endast är ett sätt att sammanställa differentialekvationer för systemets rörelse. Samtidigt ser vi att i det aktuella problemet har tillämpningen av d'Alembert-principen gjort det möjligt att förenkla beräkningarna och kan rekommenderas för praktiska beräkningar.

Vi betonar dock ännu en gång att det i verkligheten inte finns någon makt TU 2/p applicerad på det rörliga fordonets masscentrum. Därför bör alla fenomen associerade med rörelse i en kurva förklaras som det gjordes på basis av en analys av resultaten av att lösa systemet (/), eller (Till).

Sammanfattningsvis påpekar vi att "Newtonmetoden" och "D'Alemberts metod" i det aktuella problemet endast användes i syfte att sammanställa differentialekvationer för rörelse. Samtidigt får vi i det första skedet ingen information, förutom själva differentialekvationerna. Den efterföljande lösningen av de erhållna ekvationerna och den utförda analysen är inte relaterade till metoden för att erhålla ekvationerna själva.

Ris. 3,53.

• ut- från engelska, yttre- extern.
• värdshus- från engelska, inre- interiör.
• värdshus- från engelska, inre- interiör.

d'Alembert-principen

Huvudverket av Zh.L. d'Alembert(1717-1783) - "Treatise on dynamics" - publicerades 1743

Den första delen av avhandlingen ägnas åt konstruktionen av analytisk statik. Här formulerar d'Alembert "mekanikens grundläggande principer", bland vilka är "tröghetsprincipen", "principen att lägga till rörelser" och "jämviktsprincipen".

"Tröghetsprincipen" formuleras separat för fallet med vila och för fallet med enhetlig rätlinjig rörelse. "Tröghetskraften, - skriver d'Alembert, jag, tillsammans med Newton, kallar kroppens egenskap att upprätthålla det tillstånd som den är i."

"Principen att addera rörelser" är lagen om att addera hastigheter och krafter enligt parallellogramregeln. Utifrån denna princip löser d'Alembert problemen med statik.

"Jämviktsprincipen" är formulerad som följande teorem: "Om två kroppar som rör sig med hastigheter omvänt proportionell mot deras massor har motsatta riktningar, så att en kropp inte kan röra sig utan att flytta från plats till en annan kropp, då kommer dessa kroppar att vara i jämvikt ". I den andra delen av avhandlingen föreslog d'Alembert en allmän metod för att sammanställa differentialekvationer för rörelse för alla materialsystem, baserad på att reducera problemet med dynamik till statik. Han formulerade en regel för vilket system av materiella punkter som helst, senare kallat "d'Alembert-principen", enligt vilken krafterna som appliceras på systemets punkter kan brytas ner till "verkande", det vill säga de som orsakar accelerationen av systemet, och "förlorat", nödvändigt för systemets jämvikt. d'Alembert menar att de krafter som motsvarar den "förlorade" accelerationen bildar en sådan kombination som inte påverkar systemets faktiska beteende. Med andra ord, om bara en uppsättning "förlorade" krafter appliceras på systemet, kommer systemet att förbli i vila. Den moderna formuleringen av d'Alembert-principen gavs av M. E. Zhukovsky i hans "Course of Theoretical Mechanics": "Om systemet vid någon tidpunkt stoppas, rör det sig, och vi lägger till det, förutom dess drivande krafter, alla tröghetskrafter som motsvarar en given tidpunkt, då kommer en jämvikt att observeras, medan alla krafter av tryck, spänning etc. som utvecklas mellan delarna av systemet vid en sådan jämvikt, kommer att vara verkliga krafter av tryck, spänning etc. när systemet rör sig vid det aktuella ögonblicket". Det bör noteras att d'Alembert själv, när han presenterade sin princip, inte heller tillgrep begreppet kraft (med tanke på att det inte är tillräckligt tydligt för att inkluderas i listan över grundläggande begrepp inom mekanik), än mindre till begreppet. av tröghetskraft. Presentationen av d'Alembert-principen med begreppet "kraft" tillhör Lagrange, som i sin "Analytical Mechanics" gav sitt analytiska uttryck i form av principen om möjliga förskjutningar.Det var Joseph Louis Lagrange (1736-1813) och särskilt Leonardo Euler (1707-1783) som spelade en viktig roll i den slutliga omvandlingen av mekanik till analytisk mekanik.

Analytisk mekanik av en materialpunkt och Eulers stela kroppsdynamik

Leonardo Euler- en av de framstående forskarna som gjorde ett stort bidrag till utvecklingen av fysiska och matematiska vetenskaper under XVIII-talet. Hans arbete är slående i insikten om forskningstänkande, talangens universalitet och den enorma mängd vetenskapligt arv som lämnas efter sig.

Redan under de första åren av sin vetenskapliga verksamhet i S:t Petersburg (Euler anlände till Ryssland 1727) utarbetade han ett program för en storslagen och omfattande arbetscykel inom mekanikområdet. Denna appendix finns i hans tvådelade verk "Mechanics or the science of motion, stated analytically" (1736). Eulers mekanik var den första systematiska kursen i newtonsk mekanik. Den innehöll grunderna för en punkts dynamik - genom mekanik förstod Euler vetenskapen om rörelse, i motsats till vetenskapen om kraftbalansen, eller statik. Det avgörande särdraget i Eulers "Mekanik" var den omfattande användningen av en ny matematisk apparat - differential- och integralkalkyl. Genom att kortfattat karakterisera huvudverken om mekanik som dök upp vid 1600- och 1700-talets skiftning, noterade Euler den son-tethiko-geometriska stilen i deras arbete, vilket skapade mycket arbete för läsarna. Det är på detta sätt som Newtons element och den senare Foronomia (1716) av J. Herman skrevs. Euler påpekar att Hermann och Newtons verk anges "enligt de gamlas sed med hjälp av syntetiska geometriska bevis" utan användning av analys, "endast genom vilka man kan uppnå en fullständig förståelse av dessa saker."

Den syntetisk-geometriska metoden hade ingen generaliserande karaktär utan krävde som regel individuella konstruktioner avseende varje uppgift för sig. Euler medger att efter att ha studerat "Phoronomy" och "Beginnings" han, som det verkade för honom, "förstod lösningarna på många problem ganska tydligt, men han kunde inte längre lösa problem som avvek från dem till viss del." Sedan försökte han "isolera analysen av denna syntetiska metod och göra samma förslag till sin egen fördel analytiskt." Euler noterar att tack vare detta förstod han essensen av frågan mycket bättre. Han utvecklade i grunden nya metoder för att studera mekanikens problem, skapade dess matematiska apparat och tillämpade den på ett briljant sätt på många komplexa problem. Tack vare Euler blev differentialgeometri, differentialekvationer och variationskalkylen mekanikens verktyg. Eulers metod, utvecklad senare av hans efterträdare, var entydig och adekvat för ämnet.

Eulers arbete om dynamiken i en stel kropp "Theory of motion of rigid bodies" har en stor introduktion av sex avsnitt, där dynamiken i en punkt återigen beskrivs. Ett antal ändringar har gjorts i inledningen: i synnerhet skrivs rörelseekvationerna för en punkt med hjälp av projektionen på axeln av fasta rektangulära koordinater (och inte på tangenten, huvudnormalen och normalen, det vill säga axeln av en orörlig naturlig trihedron associerad med banpunkter, som i "Mekanik").

"Treatise on the Motion of Rigid Bodies" som följer efter inledningen består av 19 avsnitt. Avhandlingen är baserad på d'Alembert-principen. Han uppehåller sig kort vid translationsrörelsen hos en stel kropp och introducerar konceptet tröghetscentrum, Euler betraktar rotationer runt en fast axel och runt en fix punkt Här är formlerna för projektioner av den momentana vinkelhastigheten, vinkelacceleration på koordinataxlarna, de så kallade Euler-vinklarna används etc. Därefter kommer egenskaperna för momentet av tröghet beskrivs, varefter Euler fortsätter till dynamiken hos en styv kropp. Det var så det välkända och lika viktiga problemet i teorin om gyroskopet uppstod om rotationen av en stel kropp runt en fast punkt. Euler arbetade också med teorin om skeppsbyggnad, i ögonen av hydro- och flygmekanik, ballistik, teorin om stabilitet och teori om små vibrationer, himlamekanik och så vidare.

Åtta år efter publiceringen av Mechanics berikade Euler vetenskapen med den första exakta formuleringen av principen om minsta handling. Formuleringen av principen om minsta handling, som tillhörde Maupertuis, var fortfarande mycket ofullkomlig. Den första vetenskapliga formuleringen av principen tillhör Euler. Han formulerade sin princip på följande sätt: integralen har det minsta värdet för en verklig bana, om vi betraktar

den sista i gruppen av möjliga banor som har gemensam utgångs- och slutposition och genomförs med samma energivärde. Euler ger sin princip ett exakt matematiskt uttryck och en rigorös motivering för en materiell punkt, testar centrala krafters handlingar. Under 1746-1749 s. Euler skrev flera artiklar om jämviktsfigurerna för en flexibel tråd, där principen om minsta verkan tillämpades på problem där elastiska krafter verkar.

Sålunda, 1744, berikades mekaniken med två viktiga principer: d'Alembert-principen och Maupertuis-Eulers princip om minsta handling. Baserat på dessa principer byggde Lagrange ett system av analytisk mekanik.

När en materiell punkt rör sig är dess acceleration vid varje tidpunkt sådan att de givna (aktiva) krafterna som appliceras på punkten, reaktionerna av bindningarna och den fiktiva d'Alembert-kraften Ф = - som bildar ett balanserat kraftsystem.

Bevis. Betrakta rörelsen av en icke-fri materialpunkt med en massa T i en tröghetsreferensram. Enligt dynamikens grundläggande lag och principen om frigörelse från bindningar har vi:

där F är resultanten av de givna (aktiva) krafterna; N är resultatet av reaktionerna av alla bindningar som läggs på punkten.

Det är lätt att omvandla (13.1) till formuläret:

Vektor Ф = - den där kallas d'Alemberts tröghetskraft, tröghetskraften eller helt enkelt d'Alemberts makt. I det följande kommer vi endast att använda den sista termen.

Ekvation (13.3), som uttrycker d'Alembert-principen i symbolisk form, kallas kinetostatisk ekvation materiell punkt.

Det är lätt att få en generalisering av d'Alembert-principen för ett mekaniskt system (system P materialpunkter).

För alla Till punkten i det mekaniska systemet, jämlikhet (13.3) är uppfylld:

Var ? Till - resultat av givna (aktiva) krafter som verkar på Till-th punkt; N Till - resultatet av reaktionerna av de överlagrade bindningarna k-th punkt; F k \u003d - att k- d'Alemberts styrka Till-th punkt.

Uppenbarligen, om jämviktsvillkoren (13.4) är uppfyllda för varje trippel av krafter F*, N* : , Ф* (Till = 1,. .., P), sedan hela systemet 3 P krafter

är balanserad.

Följaktligen, under rörelsen av ett mekaniskt system vid varje tidpunkt, bildar de aktiva krafterna som appliceras på det, reaktionerna av bindningarna och d'Alembert-krafterna från systemets punkter ett balanserat kraftsystem.

Systemets krafter (13.5) är inte längre konvergenta, därför har, som är känt från statik (avsnitt 3.4), de nödvändiga och tillräckliga villkoren för dess jämvikt följande form:

Ekvationer (13.6) kallas ekvationerna för kinetostatiken för ett mekaniskt system. För beräkningar används projektionerna av dessa vektorekvationer på axlarna som passerar genom momentpunkten HANDLA OM.

Anmärkning 1. Eftersom summan av alla inre krafter i systemet, såväl som summan av deras moment med avseende på vilken punkt som helst, är lika med noll, är det i ekvationerna (13.6) tillräckligt att endast ta hänsyn till reaktionerna extern anslutningar.

Kinetostatikens ekvationer (13.6) används vanligtvis för att bestämma reaktionerna för ett mekaniskt systems begränsningar när systemets rörelse är given, och därför accelerationerna för systemets punkter och d'Alembert-krafterna som beror på dem är känd.

Exempel 1 Hitta supportreaktioner A Och I axel med dess enhetliga rotation vid en frekvens av 5000 rpm.

Punktmassor är fast förbundna med axeln gp= 0,1 kg, t2 = 0,2 kg. Storlekar kända AC - CD - DB = 0,4 m h= 0,01 m. Anse att schaktets massa är försumbar.

Lösning. För att använda d'Alembert-principen för ett mekaniskt system som består av två punktmassor anger vi i diagrammet (fig. 13.2) de givna krafterna (tyngdkraften) Gi, G 2, reaktionen av bindningarna N4, N # och d. 'Alembert tvingar Ф|, Ф 2.

Riktningarna för Dalambres-krafterna är motsatta till accelerationerna för punktmassorna T b t 2y som enhetligt beskriver cirklar med radie h runt axeln AB axel.

Vi finner storleken på gravitationskrafterna och Dalambreskrafterna:

Här skaftets vinkelhastighet med- 5000* l/30 = 523,6 s Ah ah, Az, erhåller vi jämviktsförhållandena för ett platt system av parallella krafter Gi, G 2 , 1Chd, N tf , Ф ь Ф 2:

Från ögonblicksekvationen finner vi N in = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 w "

272 N, och från projektionsekvationen vidare

axel Ja: Na \u003d -N B + G, + G 2 + F, -F 2 \u003d 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 \u003d 0,06 N.

Kinetostatikens ekvationer (13.6) kan också användas för att erhålla differentialekvationer för systemets rörelse, om de är sammansatta på ett sådant sätt att bindningarnas reaktioner utesluts och som ett resultat blir det möjligt att erhålla beroenden av accelerationerna på de givna krafterna.

Tröghetskrafter i dynamiken hos en materialpunkt och ett mekaniskt system

Genom tröghetskraften av en materialpunkt är produkten av en punkts massa och dess acceleration, taget med ett minustecken, dvs. tröghetskrafter i dynamik appliceras i följande fall:

• 1. När man studerar rörelsen hos en materialpunkt i icke-tröghet(rörligt) koordinatsystem, dvs relativ rörelse. Dessa är de translationella och Coriolis-tröghetskrafterna, som ofta kallas Eulerkrafterna.
• 2. Vid lösning av dynamikproblem med hjälp av kinetostatikmetoden. Denna metod är baserad på d'Alembert-principen, enligt vilken tröghetskrafterna för en materialpunkt eller ett system av materialpunkter som rör sig med viss acceleration i tröghet referenssystem. Dessa tröghetskrafter kallas d'Alembert-krafter.
• 3. D'Alemberts tröghetskrafter används också för att lösa dynamikproblem med hjälp av Lagrange-D'Alembert-principen eller den allmänna dynamikens ekvation.

Uttryck i projektioner på kartesiska koordinaters axlar

Var - moduler av punktaccelerationsprojektioner på den kartesiska koordinataxeln.

Med en krökt rörelse av en punkt kan tröghetskraften delas upp i tangentiell och normal:; , - modul för tangentiella och normala accelerationer; - banans krökningsradie;

V- punkthastighet.

d'Alemberts princip för en materiell punkt

Om inte gratis till en materialpunkt som rör sig under verkan av applicerade aktiva krafter och reaktionskrafter av bindningar, applicera dess tröghetskraft, då kommer det resulterande kraftsystemet när som helst att balanseras, d.v.s. den geometriska summan av dessa krafter kommer att vara lika med noll.

mekaniskt spetskroppsmaterial

Var - resultanten av de aktiva krafterna som appliceras på punkten; - resultatet av reaktionerna av de bindningar som påtvingas punkten; tröghetskraften hos en materialpunkt. Notera: I själva verket appliceras inte en materialpunkts tröghetskraft på själva punkten, utan på kroppen som ger acceleration till denna punkt.

d'Alemberts princip för ett mekaniskt system

geometrisk summa huvudvektorerna för externa krafter som verkar på systemet, och tröghetskrafterna för alla punkter i systemet, såväl som den geometriska summan av huvudmomenten för dessa krafter i förhållande till ett visst centrum för ett icke-fritt mekaniskt system när som helst är lika med noll, dvs.

Huvudvektor och huvudsakliga tröghetsmoment för en stel kropp

Huvudvektorn och huvudmomentet för tröghetskrafterna för systemets punkter bestäms separat för varje stel kropp som ingår i detta mekaniska system. Deras definition är baserad på Poinsot-metoden som är känd från statik om att föra ett godtyckligt system av krafter till ett givet centrum.

Baserat på denna metod kan tröghetskrafterna för alla punkter i kroppen i det allmänna fallet med dess rörelse föras till massans centrum och ersättas av huvudvektorn * och huvudmomentet om massans centrum. De bestäms av formlerna dvs för någon rörelse av en stel kropp, huvudvektorn av tröghetskrafter är lika med ett minustecken till produkten av kroppsmassan och accelerationen av kroppens masscentrum; ,Var r kc -- radie vektor k-th punkt tagen från massans centrum. Dessa formler i särskilda fall av rörelse hos en stel kropp har formen:

1. Progressiv rörelse.

2. Rotation av en kropp kring en axel som går genom masscentrum

3. Planparallell rörelse

Introduktion till analytisk mekanik

Grundläggande begrepp inom analytisk mekanik

Analytisk mekanik- ett område (sektion) av mekanik, där rörelsen eller balansen hos mekaniska system studeras med hjälp av allmänna, enhetliga analysmetoder som används för alla mekaniska system.

Låt oss överväga de mest karakteristiska begreppen inom analytisk mekanik.

1. Anslutningar och deras klassificering.

Anslutningar-- alla restriktioner i form av kroppar eller några kinematiska förhållanden som åläggs rörelsen av punkter i ett mekaniskt system. Dessa begränsningar kan skrivas som ekvationer eller ojämlikheter.

Geometriska länkar-- anslutningar, vars ekvationer endast innehåller punkternas koordinater, d.v.s. begränsningar åläggs endast punkternas koordinater. Det är samband i form av kroppar, ytor, linjer osv.

Differentiella kopplingar-- anslutningar som sätter begränsningar inte bara på punkternas koordinater utan också på deras hastighet.

Holonomiska kopplingar -- alla geometriska samband och de differentiala vars ekvationer kan integreras.

Icke-holonomiska begränsningar-- differentiella icke-integrerbara anslutningar.

Stationär kommunikation -- anslutningar, vars ekvationer inte uttryckligen inkluderar tid.

Icke-stationär kommunikation- kopplingar som förändras över tiden, dvs. vars ekvationer uttryckligen inkluderar tid.

Bilaterala (hållande) länkar -- länkar som begränsar en punkts rörelse i två motsatta riktningar. Sådana samband beskrivs av ekvationerna .

Ensidig(icke kvarhållande) länkar - länkar som begränsar rörelsen i endast en riktning. Sådana samband beskrivs av ojämlikheterna

2. Möjliga (virtuella) och faktiska rörelser.

Möjlig eller virtuell förskjutningar av punkter i ett mekaniskt system är imaginära infinitesimala förskjutningar som tillåts av begränsningar på systemet.

Möjlig Förskjutningen av ett mekaniskt system är en uppsättning samtidiga möjliga förskjutningar av systemets punkter som är kompatibla med begränsningar. Låt det mekaniska systemet vara en vevmekanism.

Möjlig rörelsepunkt Aär en förskjutning som på grund av sin litenhet anses vara rätlinjig och riktad vinkelrätt mot OA.

Möjlig rörelsepunkt I(skjutreglaget) rör sig i guiderna. Möjlig rörelse av veven OAär rotationen med en vinkel, och vevstaken AB -- i en vinkel runt MCS (punkt R).

Giltig Förskjutningarna av systemets punkter kallas också elementära förskjutningar, som tillåter överlagrade anslutningar, men med hänsyn till de initiala rörelseförhållandena och de krafter som verkar på systemet.

Antal grader frihet S av ett mekaniskt system är antalet av dess oberoende möjliga förskjutningar som kan kommuniceras till systemets punkter vid en bestämd tidpunkt.

Principen för möjliga förskjutningar (Lagrange-principen)

Principen om möjliga förskjutningar eller Lagrange-principen uttrycker jämviktsvillkoret för ett icke-fritt mekaniskt system under inverkan av applicerade aktiva krafter. Formulering av principen.

För balans För ett icke-fritt mekaniskt system med bilaterala, stationära, holonomiska och idealiska begränsningar, som är i vila under inverkan av applicerade aktiva krafter, är det nödvändigt och tillräckligt att summan av de elementära verken av alla aktiva krafter är lika med en kula på någon möjlig förskjutning av systemet från den betraktade jämviktspositionen:

Generell ekvation för dynamik (Lagrange-D'Alembert-principen)

Den allmänna ekvationen för dynamik tillämpas på studiet av rörelsen hos icke-fria mekaniska system, vars kroppar eller punkter rör sig med vissa accelerationer.

I enlighet med d'Alembert-principen bildar helheten av de aktiva krafter som appliceras på det mekaniska systemet, reaktionskrafterna för bindningarna och tröghetskrafterna för alla punkter i systemet ett balanserat kraftsystem.

Om principen om möjliga förskjutningar (lagrangeprincipen) tillämpas på ett sådant system, får vi den kombinerade Lagrange-D'Alembert-principen eller generell dynamikekvation.utformningen av denna princip.

När man inte flyttar fritt för ett mekaniskt system med tvåvägs, idealiska, stationära och holonomiska begränsningar, är summan av elementära verk av alla aktiva krafter och tröghetskrafter som appliceras på systemets punkter vid varje möjlig förskjutning av systemet lika med noll:

Lagrangekvationer av det andra slaget

Lagrange-ekvationer av det andra slaget är differentialekvationer för rörelse för ett mekaniskt system i generaliserade koordinater.

För ett system med S frihetsgrader har dessa ekvationer formen

Skillnad den totala tidsderivatan av den partiella derivatan av systemets kinetiska energi med avseende på den generaliserade hastigheten och den partiella derivatan av den kinetiska energin med avseende på den generaliserade koordinaten är lika med den generaliserade kraften.

Lagrangekvationer för konservativa mekaniska system. Cykliska koordinater och integraler

För ett konservativt system bestäms de generaliserade krafterna i termer av systemets potentiella energi av formeln

Sedan skrivs Lagrangekvationerna om i formen

Eftersom systemets potentiella energi är en funktion av endast generaliserade koordinater, dvs. Med hänsyn till detta representerar vi den i formen där T - P \u003d L - Lagrangefunktion (kinetisk potential). Slutligen Lagrange-ekvationerna för ett konservativt system

Stabilitet i jämviktsläget för ett mekaniskt system

Frågan om stabiliteten i jämviktspositionen för mekaniska system är av direkt betydelse i teorin om systemsvängningar.

Jämviktspositionen kan vara stabil, instabil och likgiltig.

hållbar jämviktsposition - ett jämviktsläge där punkterna i ett mekaniskt system, härledda från denna position, därefter rör sig under inverkan av krafter i omedelbar närhet nära deras jämviktsposition.

Denna rörelse kommer att ha en varierande grad av upprepning i tid, d.v.s. systemet kommer att utföra en oscillerande rörelse.

instabil jämviktsposition - en jämviktsposition från vilken, med en godtyckligt liten avvikelse av systemets punkter, i framtiden, de verkande krafterna kommer att ytterligare avlägsna punkterna från deras jämviktsposition .

likgiltig jämviktsposition - jämviktspositionen, när, för varje liten initial avvikelse av systemets punkter från denna position i den nya positionen, systemet också förblir i jämvikt. .

Det finns olika metoder för att bestämma den stabila jämviktspositionen för ett mekaniskt system.

Överväg definitionen av en stabil jämvikt baserat på Lagrange-Dirichlets satser

Om i position jämvikt för ett konservativt mekaniskt system med idealiska och stationära begränsningar, dess potentiella energi har ett minimum, då är denna jämviktsposition stabil.

Påverkansfenomen. Slagkraft och stötimpuls

Fenomenet där hastigheterna i kroppens punkter förändras med en ändlig mängd under en försumbar liten tidsperiod kallas blåsa. Denna tidsperiod kallas påverkanstid. Under en kollision verkar en slagkraft under en oändligt kort tidsperiod. insatsgrupp kallas en kraft vars rörelsemängd under nedslaget är ett ändligt värde.

Om modulo finita kraft agerar över tid och börjar sin handling vid en tidpunkt , då har dess momentum formen

Dessutom, när slagkraften verkar på en materiell punkt, kan vi säga att:

verkan av icke-momentana krafter under nedslaget kan försummas;

rörelsen av en materiell punkt under stöten kan ignoreras;

resultatet av verkan av slagkraften på en materialpunkt uttrycks i den slutliga förändringen under anslaget av dess hastighetsvektor.

Sats om förändringen i ett mekaniskt systems rörelsemängd vid sammanstötning

förändringen i det mekaniska systemets rörelsemängd under sammanstötningen är lika med den geometriska summan av alla yttre stötimpulser som appliceras på systemens punkter, Var - mängden rörelse hos det mekaniska systemet vid det ögonblick då slagkrafternas verkan upphör, - mängden rörelse hos det mekaniska systemet i det ögonblick slagkrafterna börjar verka, - yttre stötimpuls.

D'Alembert-principen gör det möjligt att formulera problemen med mekaniska systems dynamik som problem med statik. I detta fall ges de dynamiska differentialekvationerna för rörelse formen av jämviktsekvationer. En sådan metod kallas kinetostatisk metod .

d'Alemberts princip för en materiell punkt: « Vid varje ögonblick av en materiell punkts rörelse bildar de aktiva krafter som faktiskt verkar på den, bindningarnas reaktioner och tröghetskraften som villkorligt appliceras på punkten ett balanserat kraftsystem»

punkttröghetskraft kallas en vektorkvantitet som har dimensionen av en kraft som i absolut värde är lika med produkten av massan av en punkt och dess acceleration och riktad motsatt accelerationsvektorn

. (3.38)

Om man betraktar ett mekaniskt system som en uppsättning materialpunkter, som var och en påverkas, enligt d'Alembert-principen, av balanserade kraftsystem, har vi konsekvenser av denna princip i förhållande till systemet. Huvudvektorn och huvudmomentet i förhållande till något centrum av externa krafter som appliceras på systemet och tröghetskrafterna för alla dess punkter är lika med noll:

(3.39)

Här är yttre krafter aktiva krafter och reaktioner av bindningar.

Den huvudsakliga vektorn för tröghetskrafter av ett mekaniskt system är lika med produkten av systemets massa och accelerationen av dess masscentrum och är riktad i motsatt riktning mot denna acceleration

. (3.40)

Det huvudsakliga momentet för tröghetskrafter system i förhållande till ett godtyckligt centrum HANDLA OM lika med tidsderivatan av dess rörelsemängd med avseende på samma centrum

. (3.41)

För en stel kropp som roterar runt en fast axel Uns, finner vi huvudmomentet för tröghetskrafterna kring denna axel

. (3.42)

3.8. Element av analytisk mekanik

Avsnittet "Analytisk mekanik" behandlar de allmänna principerna och analytiska metoderna för att lösa problem inom mekaniken i materialsystem.

3.8.1 Möjliga rörelser av systemet. Klassificering

några länkar

Möjliga punktrörelser
alla imaginära, oändligt små förskjutningar av dem, som tillåts av de begränsningar som åläggs systemet, vid en bestämd tidpunkt, kallas mekaniska system. A-priory, antal frihetsgrader av ett mekaniskt system är antalet av dess oberoende möjliga förskjutningar.

De anslutningar som påtvingas systemet kallas idealisk , om summan av de elementära verken av deras reaktioner på någon av de möjliga förskjutningarna av systemets punkter är lika med noll

. (3. 43)

Anslutningar för vilka de begränsningar som de ålagts bevaras på valfri plats i systemet anropas håller tillbaka . Relationer som inte förändras med tiden, vars ekvationer uttryckligen inte inkluderar tid, kallas stationär . De anslutningar som begränsar endast förskjutningarna av systemets punkter kallas geometrisk , och de begränsande hastigheterna är kinematisk . I framtiden kommer vi bara att överväga geometriska samband och de kinematiska som kan reduceras till geometriska genom integration.

3.8.2. Principen om möjliga rörelser

För jämvikten i ett mekaniskt system med begränsande ideala och stationära begränsningar är det nödvändigt och tillräckligt att

summan av de elementära verken av alla aktiva krafter som verkar på den, på eventuella förskjutningar av systemet, var lika med noll

. (3.44)

I projektioner på koordinataxlarna:

. (3.45)

Principen om möjliga förskjutningar gör det möjligt för oss att i en allmän form fastställa villkoren för jämvikten för alla mekaniska system, utan att beakta jämvikten mellan dess individuella delar. I detta fall tas endast hänsyn till de aktiva krafterna som verkar på systemet. Okända reaktioner av ideala bindningar ingår inte i dessa förhållanden. Samtidigt gör denna princip det möjligt att bestämma okända reaktioner av ideala bindningar genom att kassera dessa bindningar och introducera deras reaktioner i antalet aktiva krafter. När de bindningar vars reaktioner måste bestämmas kasseras, får systemet dessutom motsvarande antal frihetsgrader.

Exempel 1 . Hitta sambandet mellan krafter Och domkraft, om det är känt att med varje varv på handtaget AB = l, skruv MED sträcker sig till den grad h(Fig. 3.3).

Lösning

Mekanismens möjliga rörelser är rotationen av handtaget  och lastens rörelse  h. Villkoret för jämlikhet till noll för elementärt kraftarbete:

pl– Qh = 0;

Sedan
. Sedan h 0 då

3.8.3. Generell variationsekvation för dynamik

Betrakta rörelsen av ett system som består av n poäng. Aktiva krafter verkar på den och bindningsreaktioner .(k = 1,…,n) Om vi ​​adderar till de verkande krafterna punkternas tröghetskrafter
, då, enligt d'Alembert-principen, kommer det resulterande kraftsystemet att vara i jämvikt och därför är uttrycket skrivet på basis av principen om möjliga förskjutningar (3.44) giltigt:

. (3.46)

Om alla anslutningar är idealiska är den andra summan lika med noll och i projektioner på koordinataxlarna kommer likheten (3,46) att se ut så här:

Den sista likheten är en generell variationsekvation av dynamik i projektioner på koordinataxlarna, som gör att man kan komponera differentialekvationer för rörelse för ett mekaniskt system.

Den allmänna variationsekvationen för dynamik är ett matematiskt uttryck d'Alembert-Lagrange-principen: « När ett system är i rörelse, föremål för stationära, idealiska, begränsande begränsningar, vid varje given tidpunkt, är summan av de elementära verken av alla aktiva krafter som appliceras på systemet och tröghetskrafterna på varje möjlig förskjutning av systemet lika med noll».

Exempel 2 . För ett mekaniskt system (fig. 3.4), som består av tre kroppar, bestäm accelerationen av lasten 1 och spänningen av kabeln 1-2 om: m 1 = 5m; m 2 = 4m; m 3 = 8m; r 2 = 0,5R 2; svängningsradie för block 2 i = 1,5r 2. Vals 3 är en kontinuerlig homogen skiva.

Lösning

Låt oss skildra de krafter som gör elementärt arbete på en möjlig förskjutning  s last 1:

Vi skriver de möjliga förskjutningarna av alla kroppar genom den möjliga förskjutningen av last 1:

Vi uttrycker linjär- och vinkelaccelerationerna för alla kroppar i termer av den önskade accelerationen av last 1 (förhållandena är desamma som i fallet med möjliga förskjutningar):

.

Den allmänna variationsekvationen för detta problem har formen:

Genom att ersätta de tidigare erhållna uttrycken för aktiva krafter, tröghetskrafter och möjliga förskjutningar, efter enkla transformationer, får vi

Sedan  s 0, därför är uttrycket inom parentes som innehåller accelerationen lika med noll A 1 , var a 1 = 5g/8,25 = 0,606g.

För att bestämma spänningen på kabeln som håller lasten släpper vi belastningen från kabeln och ersätter dess verkan med den önskade reaktionen . Under inflytande av givna krafter ,och tröghetskraften som appliceras på lasten
han är i balans. Därför är d’Alembert-principen tillämplig på den betraktade lasten (punkt), dvs. det skriver vi
. Härifrån
.

3.8.4. Lagrangekvation av 2:a slaget

Generaliserade koordinater och generaliserade hastigheter. Alla ömsesidigt oberoende parametrar som unikt bestämmer positionen för ett mekaniskt system i rymden kallas generaliserade koordinater . Dessa koordinater, betecknade q 1 ,....q jag, kan ha vilken dimension som helst. I synnerhet kan de generaliserade koordinaterna vara förskjutningar eller rotationsvinklar.

För de aktuella systemen är antalet generaliserade koordinater lika med antalet frihetsgrader. Positionen för varje punkt i systemet är en enkelvärdig funktion av de generaliserade koordinaterna

Således bestäms systemets rörelse i generaliserade koordinater av följande beroenden:

De första derivatorna av generaliserade koordinater kallas generaliserade hastigheter :
.

Generaliserade krafter. Uttryck för en krafts elementära arbete på en möjlig flytt
ser ut som:

.

För kraftsystemets elementära arbete skriver vi

Med hjälp av de erhållna beroendena kan detta uttryck skrivas som:

,

var är den generaliserade kraften som motsvarar i- den generaliserade koordinaten,

. (3.49)

Således, generaliserad kraft motsvarande i-th generaliserade koordinaten, är variationskoefficienten för denna koordinat i uttrycket av summan av elementära verk av aktiva krafter på den möjliga förskjutningen av systemet . För att beräkna den generaliserade kraften är det nödvändigt att informera systemet om en möjlig förskjutning, där endast den generaliserade koordinaten ändras q i. Koefficient kl
och kommer att vara den önskade generaliserade kraften.

Ekvationer av systemrörelse i generaliserade koordinater. Låt ett mekaniskt system ges med s grader av frihet. Genom att känna till krafterna som verkar på den är det nödvändigt att komponera differentialekvationer för rörelse i generaliserade koordinater
. Vi tillämpar proceduren för att sammanställa differentialekvationerna för rörelse för systemet - Lagrangekvationerna av 2:a slaget - i analogi med härledningen av dessa ekvationer för en fri materialpunkt. Utifrån Newtons 2:a lag skriver vi

Vi får en analog av dessa ekvationer, med hjälp av notationen för den kinetiska energin för en materialpunkt,

Partiell derivata av kinetisk energi med avseende på projektionen av hastighet på axeln
är lika med projektionen av mängden rörelse på denna axel, dvs.

För att erhålla de nödvändiga ekvationerna, beräknar vi derivatan med avseende på tid:

Det resulterande ekvationssystemet är Lagrangekvationerna av det andra slaget för en materiell punkt.

För ett mekaniskt system representerar vi Lagrangekvationerna av 2:a slaget i form av ekvationer där istället för projektioner av aktiva krafter P x , P y , P z använda generaliserade krafter F 1 , F 2 ,...,F i och ta i det allmänna fallet hänsyn till den kinetiska energins beroende av de generaliserade koordinaterna.

Lagrangekvationerna av det andra slaget för ett mekaniskt system har formen:

. (3.50)

De kan användas för att studera rörelsen hos alla mekaniska system med geometriska, idealiska och begränsande begränsningar.

Exempel 3 . För det mekaniska systemet (fig. 3.5), för vilka data ges i det föregående exemplet, rita upp en differentialekvation för rörelse med hjälp av Lagrange-ekvationen av den andra typen,

Lösning

Det mekaniska systemet har en frihetsgrad. För den generaliserade koordinaten tar vi lastens linjära rörelse q 1 = s; generaliserad hastighet - . Med detta i åtanke skriver vi Lagrangekvationen av 2:a slaget

.

Låt oss komponera ett uttryck för systemets kinetiska energi

.

Vi uttrycker alla vinkel- och linjära hastigheter i termer av den generaliserade hastigheten:

Nu får vi

Låt oss beräkna den generaliserade kraften genom att sammanställa uttrycket för elementärt arbete på en möjlig förskjutning  s alla aktiva krafter. Utan friktionskrafter utförs arbete i systemet endast av lastens tyngdkraft 1
Vi skriver den generaliserade kraften vid  s, som en koefficient i elementärt arbete F 1 = 5mg. Nästa hittar vi

Slutligen kommer systemets differentialekvation för rörelse att ha formen: