Formler och egenskaper hos en rektangel. Geometriska figurer

Rektangelär en fyrhörning där varje hörn är en rät vinkel.

Bevis

Egenskapen förklaras av funktion 3 i parallellogrammet (dvs \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Motstående sidor är lika.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Motstående sidor är parallella.

AB \parallell CD,\enspace BC \parallell AD

4. Intilliggande sidor är vinkelräta mot varandra.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Diagonalerna på rektangeln är lika.

AC=BD

Bevis

Enligt fastighet 1 rektangeln är ett parallellogram, vilket betyder AB = CD.

Därför är \triangel ABD = \triangel DCA längs två ben (AB = CD och AD - led).

Om båda siffrorna - ABC och DCA är identiska, är deras hypotenuser BD och AC också identiska.

Så AC = BD.

Endast en rektangel av alla figurer (endast från parallellogram!) har lika diagonaler.

Låt oss bevisa detta också.

ABCD är ett parallellogram \Rightarrow AB = CD , AC = BD efter villkor. \Högerpil \triangel ABD = \triangel DCA redan på tre sidor.

Det visar sig att \vinkel A = \vinkel D (som hörnen på ett parallellogram). Och \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Det drar vi slutsatsen \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. De är alla 90^(\circ) . Totalt är 360^(\circ) .

Bevisad!

6. Diagonalens kvadrat är lika med summan av kvadraterna på dess två intilliggande sidor.

Denna egenskap är giltig i kraft av Pythagoras sats.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Diagonalen delar rektangeln i två likadana rätvinkliga trianglar.

\triangel ABC = \triangel ACD, \enspace \triangel ABD = \triangel BCD

8. Skärningspunkten för diagonalerna halverar dem.

AO=BO=CO=DO

9. Skärningspunkten för diagonalerna är mitten av rektangeln och den omskrivna cirkeln.

10. Summan av alla vinklar är 360 grader.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Alla hörn av rektangeln är rätta.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Diametern på den omskrivna cirkeln runt rektangeln är lika med rektangelns diagonal.

13. En cirkel kan alltid beskrivas runt en rektangel.

Denna egenskap är giltig på grund av det faktum att summan av de motsatta hörnen av en rektangel är 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. En rektangel kan innehålla en inskriven cirkel och bara en om den har samma sidolängder (det är en kvadrat).

är ett parallellogram där alla vinklar är 90° och motsatta sidor är parvis parallella och lika.

Rektangeln har flera obestridliga egenskaper som används för att lösa många problem, i formlerna för rektangelns område och dess omkrets. Här är de:

Längden på den okända sidan eller diagonalen av rektangeln beräknas med eller av Pythagoras sats. Arean av en rektangel kan hittas på två sätt - genom produkten av dess sidor eller genom formeln för arean av en rektangel genom diagonalen. Den första och enklaste formeln ser ut så här:

Ett exempel på att beräkna arean av en rektangel med denna formel är mycket enkelt. Genom att känna till de två sidorna, till exempel a = 3 cm, b = 5 cm, kan vi enkelt beräkna arean av rektangeln:
Vi får att i en sådan rektangel blir arean lika med 15 kvadratmeter. centimeter.

Arean av en rektangel i form av diagonaler

Ibland måste du tillämpa formeln för arean av en rektangel i form av diagonaler. För det behöver du inte bara veta längden på diagonalerna, utan också vinkeln mellan dem:

Tänk på ett exempel på att beräkna arean av en rektangel med hjälp av diagonaler. Låt en rektangel med diagonal d = 6 cm och vinkel = 30° ges. Vi ersätter data i den redan kända formeln:

Så exemplet med att beräkna arean av en rektangel genom diagonalen visade oss att det är ganska enkelt att hitta området på detta sätt, givet vinkeln.
Tänk på ett annat intressant pussel som hjälper oss att sträcka ut våra hjärnor lite.

Uppgift: Givet en kvadrat. Dess yta är 36 kvm. cm Hitta omkretsen av en rektangel vars längd på en av dess sidor är 9 cm, och arean är densamma som den för kvadraten ovan.
Så vi har några villkor. För tydlighetens skull skriver vi ner dem för att se alla kända och okända parametrar:
Figurens sidor är parvis parallella och lika. Därför är figurens omkrets lika med två gånger summan av sidornas längder:
Från formeln för arean av en rektangel, som är lika med produkten av de två sidorna av figuren, hittar vi längden på sidan b
Härifrån:
Vi ersätter de kända data och hittar längden på sidan b:
Beräkna omkretsen av figuren:
Så, genom att känna till några enkla formler, kan du beräkna omkretsen av en rektangel, känna till dess area.

Definition.

Rektangel Det är en fyrhörning med två motsatta sidor lika och alla fyra vinklarna lika.

Rektanglar skiljer sig endast från varandra i förhållandet mellan långsidan och kortsidan, men alla fyra är rätt, det vill säga 90 grader vardera.

Den långa sidan av en rektangel kallas rektangellängd, och den korta rektangelns bredd.

Sidorna i en rektangel är också dess höjder.

Grundläggande egenskaper hos en rektangel

En rektangel kan vara ett parallellogram, en kvadrat eller en romb.

1. Motsatta sidor av en rektangel har samma längd, det vill säga de är lika:

AB=CD, BC=AD

2. Motsatta sidor av rektangeln är parallella:

3. Intilliggande sidor av en rektangel är alltid vinkelräta:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Alla fyra hörn av rektangeln är raka:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Summan av vinklarna i en rektangel är 360 grader:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Diagonalerna i en rektangel har samma längd:

7. Summan av kvadraterna på en rektangels diagonal är lika med summan av kvadraterna på sidorna:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Varje diagonal i en rektangel delar rektangeln i två identiska figurer, nämligen räta trianglar.

9. Rektangelns diagonaler skär varandra och delas på mitten i skärningspunkten:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Skärningspunkten för diagonalerna kallas rektangelns centrum och är också centrum för den omskrivna cirkeln

11. Diagonalen för en rektangel är diametern på den omskrivna cirkeln

12. En cirkel kan alltid beskrivas runt en rektangel, eftersom summan av motsatta vinklar är 180 grader:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. En cirkel kan inte inskrivas i en rektangel vars längd inte är lika med dess bredd, eftersom summan av motsatta sidor inte är lika med varandra (en cirkel kan bara skrivas in i ett specialfall av en rektangel - en kvadrat).

Sidor av en rektangel

Definition.

Rektangellängd kalla längden på det längre paret av dess sidor. Rektangelbredd nämn längden på det kortare paret av dess sidor.

Formler för att bestämma längden på sidorna i en rektangel

1. Formeln för sidan av en rektangel (rektangelns längd och bredd) i form av diagonalen och den andra sidan:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Formeln för sidan av en rektangel (rektangelns längd och bredd) i form av arean och den andra sidan:

b = dcos	β
	2

Rektangel diagonal

Definition.

Diagonal rektangel Varje segment som förbinder två hörn av motsatta hörn av en rektangel kallas.

Formler för att bestämma längden på en rektangels diagonal

1. Formeln för en rektangels diagonal i form av två sidor av rektangeln (via Pythagoras sats):

d = √ a 2 + b 2

2. Formeln för en rektangels diagonal i form av area och valfri sida:

4. Formeln för en rektangels diagonal i termer av radien för den omskrivna cirkeln:

d=2R

5. Formeln för en rektangels diagonal i termer av diametern på den omskrivna cirkeln:

d = D o

6. Formeln för en rektangels diagonal i termer av sinus för vinkeln intill diagonalen och längden på sidan som är motsatt denna vinkel:

8. Formeln för en rektangels diagonal i termer av sinus för en spetsig vinkel mellan diagonalerna och rektangelns area

d = √2S: sinp

Omkretsen av en rektangel

Definition.

Omkretsen av en rektangelär summan av längderna av rektangelns alla sidor.

Formler för att bestämma längden på omkretsen av en rektangel

1. Formeln för omkretsen av en rektangel i form av två sidor av rektangeln:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Formeln för omkretsen av en rektangel i form av area och valfri sida:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Formel för omkretsen av en rektangel i form av diagonalen och vilken sida som helst:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Formeln för omkretsen av en rektangel i termer av radien för den omskrivna cirkeln och vilken sida som helst:

P = 2(a + √4R 2 - en 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Formeln för omkretsen av en rektangel i form av diametern på den omskrivna cirkeln och vilken sida som helst:

P = 2(a + √D o 2 - en 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Rektangelområde

Definition.

Rektangelområde kallas det utrymme som begränsas av rektangelns sidor, det vill säga inom rektangelns omkrets.

Formler för att bestämma arean av en rektangel

1. Formeln för arean av en rektangel i termer av två sidor:

S = a b

2. Formeln för arean av en rektangel genom omkretsen och vilken sida som helst:

5. Formeln för arean av en rektangel i termer av radien för den omskrivna cirkeln och vilken sida som helst:

S = a √4R 2 - en 2= b √4R 2 - b 2

6. Formeln för arean av en rektangel i form av diametern på den omskrivna cirkeln och vilken sida som helst:

S \u003d a √ D o 2 - en 2= b √ D o 2 - b 2

Cirkel omskriven runt en rektangel

Definition.

En cirkel omskriven runt en rektangel En cirkel kallas en cirkel som går genom fyra hörn av en rektangel, vars centrum ligger i skärningspunkten mellan rektangelns diagonaler.

Formler för att bestämma radien för en cirkel omskriven runt en rektangel

1. Formeln för radien för en cirkel omskriven runt en rektangel genom två sidor:

4. Formeln för en cirkels radie, som beskrivs om en rektangel genom en kvadrats diagonal:

5. Formeln för en cirkels radie, som beskrivs nära en rektangel genom diametern på en cirkel (omskriven):

6. Formeln för radien av en cirkel, som beskrivs nära en rektangel genom sinus för vinkeln som gränsar till diagonalen, och längden på sidan mitt emot denna vinkel:

7. Formeln för radien av en cirkel, som beskrivs om en rektangel i termer av cosinus för vinkeln som gränsar till diagonalen, och längden på sidan vid denna vinkel:

8. Formeln för en cirkels radie, som beskrivs nära en rektangel genom sinus för en spetsig vinkel mellan diagonalerna och rektangelns area:

Vinkel mellan en sida och en diagonal i en rektangel.

Formler för att bestämma vinkeln mellan sidan och diagonalen för en rektangel:

1. Formeln för att bestämma vinkeln mellan sidan och diagonalen för en rektangel genom diagonalen och sidan:

2. Formeln för att bestämma vinkeln mellan sidan och diagonalen för en rektangel genom vinkeln mellan diagonalerna:

Vinkeln mellan rektangelns diagonaler.

Formler för att bestämma vinkeln mellan diagonalerna i en rektangel:

1. Formeln för att bestämma vinkeln mellan diagonalerna i en rektangel genom vinkeln mellan sidan och diagonalen:

p = 2a

2. Formeln för att bestämma vinkeln mellan diagonalerna i en rektangel genom området och diagonalen.

Innehåll:

En diagonal är ett linjesegment som förbinder två motsatta hörn av en rektangel. En rektangel har två lika diagonaler. Om rektangelns sidor är kända kan diagonalen hittas med Pythagoras sats, eftersom diagonalen delar rektangeln i två räta trianglar. Om sidorna inte är givna, men andra kvantiteter är kända, till exempel arean och omkretsen eller förhållandet mellan sidorna, kan du hitta rektangelns sidor och sedan beräkna diagonalen med hjälp av Pythagoras sats.

Steg

1 sida vid sida

1. 1 Skriv ner Pythagoras sats. Formel: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Koppla in sidorna i formeln. De är givna i problemet eller så behöver de mätas. Sidovärden ersätts med 3
   • I vårt exempel:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Efter area och omkrets

     1. 1 Formel: S \u003d l w (I figuren används symbolen A istället för S.)
     2. 2 Detta värde ersätter S 3 Skriv om formeln för att isolera w 4 Skriv ner formeln för att beräkna omkretsen av en rektangel. Formel: P = 2 (w + l)
     3. 5 Ersätt värdet på rektangelns omkrets i formeln. Detta värde ersätts med P 6 Dividera båda sidor av ekvationen med 2. Du får summan av rektangelns sidor, nämligen w + l 7 I formeln, ersätt uttrycket för att beräkna w 8 Bli av med bråk. För att göra detta, multiplicera båda delarna av ekvationen med l 9 Sätt ekvationen till 0. För att göra detta, subtrahera termen med första ordningens variabel från båda sidor av ekvationen.
        • I vårt exempel:
          12 l \u003d 35 + l 2 10 Ordna termerna i ekvationen. Den första medlemmen kommer att vara den andra variabelmedlemmen, sedan den första variabelmedlemmen och sedan den fria medlemmen. Glöm samtidigt inte skyltarna ("plus" och "minus") som står framför medlemmarna. Observera att ekvationen kommer att skrivas som en andragradsekvation.
          • I vårt exempel är 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • I vårt exempel är ekvationen 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Hitta l 13 Skriv ner Pythagoras sats. Formel: a 2 + b 2 = c 2
              • Använd Pythagoras sats, eftersom varje diagonal i en rektangel delar upp den i två lika räta trianglar. Dessutom är rektangelns sidor triangelns ben, och rektangelns diagonal är triangelns hypotenusa.
            • 14 Dessa värden ersätts med 15 Kvadra längden och bredden och lägg sedan till resultaten. Kom ihåg att när du kvadrerar ett tal multipliceras det med sig självt.
              • I vårt exempel:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Ta kvadratroten från båda sidor av ekvationen. Använd en miniräknare för att snabbt hitta kvadratroten. Du kan också använda online-kalkylatorn. du hittar c

                3 Efter area och bildförhållande

                1. 1 Skriv ner en ekvation som kännetecknar förhållandet mellan sidorna. Isolera l 2 Skriv ner formeln för att beräkna arean av en rektangel. Formel: S = l w (Beteckning A används istället för S i figuren.)
                   • Denna metod är också användbar när värdet på rektangelns omkrets är känt, men då måste du använda formeln för att beräkna omkretsen, inte arean. Formel för att beräkna omkretsen av en rektangel: P = 2 (w + l)
                2. 3 Koppla in området för rektangeln i formeln. Detta värde ersätter S 4 Ersätt uttrycket som kännetecknar förhållandet mellan sidorna i formeln. När det gäller en rektangel kan du ersätta ett uttryck för att beräkna l 5 Skriv ner en andragradsekvation. För att göra detta, öppna parenteserna och likställ ekvationen med noll.
                   • I vårt exempel:
                     35 = w (w + 2) 6 Faktorisera andragradsekvationen. Läs vidare för detaljerade instruktioner.
                     • I vårt exempel är ekvationen 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Hitta w 8 Ersätt värdet på bredden (eller längden) som finns i ekvationen som kännetecknar förhållandet mellan sidorna. Så du kan hitta den andra sidan av rektangeln.
                       • Till exempel, om du beräknat att bredden på en rektangel är 5 cm och bildförhållandet ges av ekvationen l = w + 2 9 Skriv ner Pythagoras sats. Formel: a 2 + b 2 = c 2
                         • Använd Pythagoras sats, eftersom varje diagonal i en rektangel delar upp den i två lika räta trianglar. Dessutom är rektangelns sidor triangelns ben, och rektangelns diagonal är triangelns hypotenusa.
                       • 10 Koppla in längd- och breddvärdena i formeln. Dessa värden ersätts med 11 Kvadra längden och bredden och lägg sedan till resultaten. Kom ihåg att när du kvadrerar ett tal multipliceras det med sig självt.
                         • I vårt exempel:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Ta kvadratroten från båda sidor av ekvationen. Använd en miniräknare för att snabbt hitta kvadratroten. Du kan också använda online-kalkylatorn. Du hittar c (visningsstil c) , som är triangelns hypotenusa, och därmed rektangelns diagonal.
                           • I vårt exempel:
                             74 = c 2 (visningsstil 74=c^(2))
                             74 = c 2 (displaystyle (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8, 6024 = c (visningsstil 8,6024=c)
                             Således är diagonalen för en rektangel vars längd är 2 cm mer än dess bredd och vars area är 35 cm 2 ungefär 8,6 cm.