Koguse suurus. Väärtus väärtus

Füüsiline suurus on materiaalse objekti, protsessi, füüsikalise nähtuse füüsiline omadus, mida iseloomustatakse kvantitatiivselt.

Füüsikalise koguse väärtus väljendatakse ühe või mitme numbriga, mis iseloomustavad seda füüsikalist suurust, mis näitavad mõõtühikut.

Füüsikalise suuruse suurus on füüsikalise suuruse väärtuses esinevate arvude väärtused.

Füüsikaliste suuruste mõõtühikud.

Füüsikalise suuruse mõõtühik on fikseeritud suurusega kogus, millele on omistatud ühega võrdne arvväärtus. Seda kasutatakse sellega homogeensete füüsikaliste suuruste kvantitatiivseks väljendamiseks. Füüsikaliste suuruste ühikute süsteem on põhi- ja tuletatud ühikute kogum, mis põhineb teatud suuruste süsteemil.

Vaid üksikud ühikusüsteemid on laialt levinud. Enamikul juhtudel kasutavad paljud riigid meetermõõdustiku süsteemi.

Põhiühikud.

Füüsilise suuruse mõõtmine - tähendab selle võrdlemist mõne teise sarnase füüsikalise suurusega, mis võetakse ühikuna.

Objekti pikkust võrreldakse pikkusühikuga, keha massi kaaluühikuga jne. Kuid kui üks teadlane mõõdab pikkust süldades ja teine ​​jalgades, on neil raske neid kahte väärtust võrrelda. Seetõttu mõõdetakse kõiki füüsikalisi suurusi kogu maailmas tavaliselt samades ühikutes. 1963. aastal võeti vastu rahvusvaheline mõõtühikute süsteem SI (System international – SI).

Mõõtühikute süsteemis peab iga füüsikalise suuruse jaoks olema vastav mõõtühik. Standard ühikut on selle füüsiline teostus.

Pikkuse standard on meeter- plaatina ja iriidiumi sulamist valmistatud erikujulise varda kahe löögi vaheline kaugus.

Standard aega toimib iga korrapäraselt korduva protsessi kestusena, mille jaoks valitakse Maa liikumine ümber Päikese: Maa teeb ühe pöörde aastas. Kuid ajaühikuks ei peeta aastat, vaid anna mulle hetk.

Üksuse jaoks kiirust võtta sellise ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus, millega keha liigub 1 m 1 sekundiga.

Pindala, mahu, pikkuse jne jaoks kasutatakse eraldi mõõtühikut. Iga ühik määratakse konkreetse standardi valimisel. Kuid ühikute süsteem on palju mugavam, kui peamisteks on valitud vaid mõned ühikud ja ülejäänud määratakse peamiste kaudu. Näiteks kui pikkuse ühikuks on meeter, siis pindalaühikuks on ruutmeeter, mahuks kuupmeeter, kiiruseks meeter sekundis jne.

Põhiühikud Füüsikalised suurused rahvusvahelises mõõtühikute süsteemis (SI) on: meeter (m), kilogramm (kg), sekund (s), amper (A), kelvin (K), kandela (cd) ja mool (mol).

SI põhiühikud
Suurusjärk	Üksus	Määramine
	Nimi	vene keel	rahvusvaheline
Elektrivoolu tugevus
Termodünaamiline temperatuur
Valguse jõud
Aine kogus

Samuti on tuletatud SI-ühikuid, millel on oma nimed:

Tuletatud SI ühikud oma nimedega
	Üksus		Tuletatud ühikuavaldis
Suurusjärk	Nimi	Määramine	Teiste SI ühikute kaudu	SI põhi- ja lisaühikute kaudu
Surve				m -1 ChkgChs -2
Energia, töö, soojushulk				m 2 ChkgChs -2
Võimsus, energiavool				m 2 ChkgChs -3
Elektri kogus, elektrilaeng
Elektripinge, elektripotentsiaal				m 2 ChkgChs -3 ChA -1
Elektriline võimsus				m -2 Chkg -1 Ch 4 Ch 2
Elektritakistus				m 2 ChkgChs -3 ChA -2
Elektrijuhtivus				m -2 Chkg -1 Ch 3 Ch 2
Magnetilise induktsiooni voog				m 2 ChkgChs -2 ChA -1
Magnetiline induktsioon				kgHs -2 HA -1
Induktiivsus				m 2 ChkgChs -2 ChA -2
Valgusvoog
Valgustus				m 2 ChkdChsr
Radioaktiivse allika aktiivsus	becquerel
Neeldunud kiirgusdoos

JAmõõdud. Füüsikalise suuruse täpse, objektiivse ja kergesti reprodutseeritava kirjelduse saamiseks kasutatakse mõõtmisi. Ilma mõõtmisteta ei saa füüsikalist suurust kvantitatiivselt iseloomustada. Sellised määratlused nagu "madal" või "kõrge" rõhk, "madal" või "kõrge" temperatuur kajastavad ainult subjektiivseid arvamusi ega sisalda võrdlusväärtusi. Füüsikalise suuruse mõõtmisel omistatakse sellele teatud arvväärtus.

Mõõtmised viiakse läbi kasutades mõõteriistad. Mõõtevahendeid ja -seadmeid on üsna palju, alates kõige lihtsamast kuni keerukamateni. Näiteks pikkust mõõdetakse joonlaua või mõõdulindiga, temperatuuri termomeetriga, laiust nihikuga.

Mõõteriistad liigitatakse: teabe esitamise meetodi järgi (kuvamine või salvestamine), mõõtmismeetodi järgi (otsene tegevus ja võrdlus), näitude esitamise vormi järgi (analoog ja digitaalne) jne.

Mõõtevahenditele on tüüpilised järgmised parameetrid:

Mõõtevahemik- mõõdetud koguse väärtuste vahemik, mille jaoks seade on selle normaalse töö ajal ette nähtud (teatud mõõtmistäpsusega).

Tundlikkuse lävi- seadme poolt eristatav mõõdetud väärtuse minimaalne (lävi)väärtus.

Tundlikkus- ühendab mõõdetud parameetri väärtuse ja vastava muutuse instrumendi näitudes.

Täpsus- seadme võime näidata mõõdetud indikaatori tegelikku väärtust.

Stabiilsus- seadme võime säilitada etteantud mõõtetäpsust teatud aja jooksul pärast kalibreerimist.

Iidsetest aegadest on inimesi tõsiselt huvitanud küsimus, kuidas kõige paremini võrrelda erinevates väärtustes väljendatud koguseid. Ja see pole ainult loomuliku uudishimu küsimus. Kõige iidsemate maiste tsivilisatsioonide inimesed omistasid sellele üsna keerulisele asjale puhtpraktilise tähtsuse. Õige maa mõõtmine, turul oleva toote kaalu määramine, vahetuskaubanduse käigus vajaliku kauba vahekorra arvutamine, veini valmistamisel õige viinamarjanormi määramine - need on vaid mõned ülesanded, mis niigi keerulises elus sageli esile kerkisid. meie esivanematest. Seetõttu läksid väheharitud ja kirjaoskamatud inimesed, kui oli vaja väärtushinnanguid võrrelda, nõu küsima oma kogenumatelt kaaslastelt ja sageli võtsid nad sellise talituse eest sobiva altkäemaksu, muide, päris korraliku altkäemaksu.

Mida saab võrrelda

Tänapäeval on sellel tegevusel oluline roll ka täppisteaduste õppimise protsessis. Kõik muidugi teavad, et tuleb võrrelda homogeenseid koguseid ehk õunu õuntega ja peeti peediga. Kellelgi ei tuleks pähe püüda väljendada Celsiuse kraadi kilomeetrites või kilogrammides detsibellides, kuid papagoide boa pikkus on meile teada juba lapsepõlvest saadik (kes ei mäleta: ühes boa ahendajas on 38 papagoi ). Ehkki papagoid on samuti erinevad ja tegelikult varieerub boa ahendaja pikkus olenevalt papagoi alamliigist, kuid need on detailid, mida proovime välja mõelda.

Mõõtmed

Kui ülesandes on kirjas: "Võrdle koguste väärtusi", on vaja viia need samad kogused samasse nimetajasse, see tähendab, et neid võrreldavuse hõlbustamiseks väljendatakse samades väärtustes. On selge, et kilogrammides väljendatud väärtuse võrdlemine sentides või tonnides väljendatud väärtusega pole paljudele meist keeruline. Siiski on homogeenseid suurusi, mida saab väljendada erinevates mõõtmetes ja pealegi erinevates mõõtesüsteemides. Proovige näiteks võrrelda kinemaatilise viskoossuse väärtusi ja määrata, milline vedelikest on viskoossem sentistookides ja ruutmeetrites sekundis. Ei tööta? Ja see ei tööta. Selleks peate kajastama mõlemat väärtust samades kogustes ja juba numbrilise väärtuse järgi määrama, milline neist on vastasest parem.

Mõõtesüsteem

Et aru saada, milliseid suurusi saab võrrelda, proovime meenutada olemasolevaid mõõtesüsteeme. Arveldusprotsesside optimeerimiseks ja kiirendamiseks kirjutasid 1875. aastal seitseteist riiki (sh Venemaa, USA, Saksamaa jt) alla meetermõõdustiku konventsioonile ja määratlesid meetermõõdustiku. Meetrite ja kilogrammi normide väljatöötamiseks ja kinnistamiseks asutati Rahvusvaheline Kaalude ja Mõõtude Komitee ning Pariisis Rahvusvaheline Kaalude ja Mõõtude Büroo. See süsteem arenes aja jooksul rahvusvaheliseks mõõtühikute süsteemiks SI. Praegu on see süsteem tehniliste arvutuste valdkonnas kasutusele võetud enamikus riikides, sealhulgas riikides, kus traditsiooniliselt kasutatakse igapäevaelus riiklikke süsteeme (näiteks USA ja Inglismaa).

GHS

Paralleelselt üldtunnustatud standardite standardiga arenes aga välja ka teine, vähem mugav GHS-süsteem (sentimeeter-gramm-sekund). Selle pakkus välja 1832. aastal saksa füüsik Gauss ning 1874. aastal moderniseerisid Maxwell ja Thompson, peamiselt elektrodünaamika valdkonnas. 1889. aastal pakuti välja mugavam ISS-süsteem (meeter-kilogramm-sekund). Objektide võrdlemine meetri ja kilogrammi standardväärtuste järgi on inseneridele palju mugavam kui nende derivaatide (senti-, milli-, detsi- jne) kasutamine. Kuid ka see kontseptsioon ei leidnud massilist vastukaja nende südametes, kellele see oli mõeldud. Seda arendati ja kasutati aktiivselt kõikjal maailmas, mistõttu tehti GHS-is arvutusi järjest harvemini ning pärast 1960. aastat, SI-süsteemi kasutuselevõtuga, langes GHS peaaegu üldse kasutusest välja. Praegu kasutatakse GHS-i praktikas tegelikult ainult teoreetilise mehaanika ja astrofüüsika arvutustes ning seejärel elektromagnetismi seaduste lihtsama registreerimisvormi tõttu.

Samm-sammuline juhendamine

Vaatame näidet üksikasjalikult. Oletame, et ülesanne kõlab järgmiselt: "Võrdle väärtusi 25 tonni ja 19570 kg. Kumb väärtus on suurem?" Esimene asi, mida peame tegema, on kindlaks määrata, millistes kogustes meie väärtused on antud. Niisiis, esimene väärtus on antud tonnides ja teine ​​kilogrammides. Teises etapis kontrollime, kas ülesande autorid ei ürita meid eksitada, üritades sundida meid võrdlema erinevaid suurusi. Selliseid lõksuülesandeid on ka, eriti kiirtestides, kus igale küsimusele vastamiseks antakse aega 20-30 sekundit. Nagu näeme, on väärtused ühtlased: mõõdame keha massi ja kaalu nii kilogrammides kui ka tonnides, nii et teine ​​test läbis positiivse tulemusega. Kolmas samm on võrdlemise hõlbustamiseks teisendada kilogrammid tonnideks või vastupidi, tonnid kilogrammideks. Esimeses variandis selgub 25 ja 19,57 tonni ning teises: 25 000 ja 19 570 kilogrammi. Ja nüüd saate nende väärtuste suurusi südamerahuga võrrelda. Nagu selgelt näha, on esimene väärtus (25 t) mõlemal juhul suurem kui teine ​​(19 570 kg).

Lõksud

Nagu eespool mainitud, sisaldavad kaasaegsed testid palju pettusülesandeid. Need ei pruugi olla ülesanded, mida oleme analüüsinud, üsna kahjutu välimusega küsimus võib osutuda lõksuks, eriti selline, mis viitab täiesti loogilisele vastusele. Salakavalus peitub aga reeglina detailides või väikeses nüansis, mida ülesannete koostajad püüavad igal võimalikul moel varjata. Näiteks analüüsitud ülesannetest juba tuttava küsimuse asemel: "Võrdle väärtusi, kui võimalik", võivad testi koostajad lihtsalt paluda teil võrrelda määratud väärtusi ja valida need väärtused, mis on hämmastavalt sarnased. üksteisele. Näiteks kg*m/s 2 ja m/s 2. Esimesel juhul on selleks objektile mõjuv jõud (njuutonites) ja teisel juhul keha kiirendus ehk m/s 2 ja m/s, kus palutakse võrrelda kiirendust keha kiirus, st täiesti erinevad kogused.

Keerulised võrdlused

Kuid väga sageli antakse ülesannetes kaks väärtust, mida ei väljendata mitte ainult erinevates mõõtühikutes ja erinevates arvutussüsteemides, vaid ka erinevad üksteisest konkreetses füüsilises tähenduses. Näiteks öeldakse probleemiavalduses: "Võrdlege dünaamilise ja kinemaatilise viskoossuse väärtusi ja määrake, milline vedelik on viskoossem." Sel juhul on väärtused näidatud SI-ühikutes, st m 2 / s, ja dünaamiliselt - CGS-is, see tähendab poisides. Mida sel juhul teha?

Selliste probleemide lahendamiseks võite kasutada ülaltoodud juhiseid väikese lisandiga. Meie otsustame, millises süsteemis töötame: olgu see inseneride seas üldtunnustatud. Teises etapis kontrollime ka, kas see on lõks? Kuid ka selles näites on kõik puhas. Võrdleme kahte vedelikku sisehõõrde (viskoossuse) parameetri alusel, seega on mõlemad kogused homogeensed. Kolmas samm on teisendada poisid paskalisekunditeks, st üldtunnustatud SI ühikuteks. Järgmisena teisendame kinemaatilise viskoossuse dünaamiliseks viskoossuseks, korrutades selle vedeliku tiheduse vastava väärtusega (tabeliväärtus) ja võrdleme saadud tulemusi.

Väljaspool süsteemi

On ka mittesüsteemseid mõõtühikuid, st ühikuid, mis ei sisaldu SI-s, kuid vastavalt kaalude ja mõõtude peakonverentsi (GCWM) kokkukutsumise otsuste tulemustele, mis on vastuvõetavad ühiseks kasutamiseks. SI. Selliseid suurusi saab omavahel võrrelda ainult siis, kui need on SI standardis taandatud üldisele kujule. Mittesüsteemsed ühikud hõlmavad selliseid ühikuid nagu minut, tund, päev, liiter, elektronvolt, sõlm, hektar, baar, angström ja paljud teised.

Naturaalarv kui suurusjärk

Teatavasti tekkisid arvud loendamise ja mõõtmise vajadusest, kuid kui loendamiseks piisab naturaalarvudest, siis suuruste mõõtmiseks on vaja teisi arve. Suuruste mõõtmise tulemuseks võtame siiski ainult naturaalarvud. Olles defineerinud naturaalarvu tähenduse suurusmõõduna, saame teada, mis tähendus on aritmeetilistel tehtetel sellistel arvudel. Algklassiõpetaja vajab neid teadmisi mitte ainult selleks, et õigustada tegevuste valikut suurusülesannete lahendamisel, vaid ka selleks, et mõista teistsugust lähenemist naturaalarvude tõlgendamisele, mis on olemas matemaatika algõpetuses.

Naturaalarvu vaatleme seoses positiivsete skalaarsuuruste - pikkuste, pindalade, masside, aja jne mõõtmisega, mistõttu enne suuruste ja naturaalarvude vahekorrast rääkimist tuletagem meelde mõningaid kvantiteedi ja selle suurust puudutavaid fakte. mõõtmine, eriti kuna mõisted suurused koos arvuga on matemaatika algkursuse põhilised.

Positiivse skalaarsuuruse mõiste ja selle mõõtmine

Mõelge kahele väitele, mis kasutavad sõna "pikkus":

1) Paljud meid ümbritsevad objektid on pikkusega.

2) Laual on pikkus.

Esimene lause ütleb, et teatud klassi objektidel on pikkus. Teises räägime sellest, et selle klassi konkreetsel objektil on pikkus. Kokkuvõtteks võib öelda, et tähistamiseks kasutatakse terminit "pikkus". omadused, kas objektide klass (objektidel on pikkus) või konkreetne objekt sellest klassist (tabelil on pikkus).

Kuid kuidas see omadus erineb selle klassi objektide teistest omadustest? Nii et näiteks laud ei saa olla mitte ainult pikk, vaid ka puidust või metallist; lauad võivad olla erineva kujuga. Pikkuse kohta võib öelda, et erinevatel laudadel on see omadus erineval määral (üks laud võib olla teisest pikem või lühem), mida ei saa öelda kuju kohta – üks laud ei saa olla teisest “ristkülikukujulisem”.

Seega on "pikkuse omamise" omadus objektide eriomadus, mis avaldub siis, kui objekte võrreldakse nende ulatuse (pikkuse) järgi. Võrdluse käigus tehakse kindlaks, et kas kahel objektil on sama pikkus või ühe pikkus on väiksem kui teise pikkus.

Sarnaselt võib käsitleda ka teisi teadaolevaid suurusi: pindala, mass, aeg jne. Need esindavad meid ümbritsevate objektide ja nähtuste eriomadusi ning ilmnevad objektide ja nähtuste võrdlemisel selle omaduse järgi ning iga väärtus on seotud teatud võrdlusmeetodiga.

Nimetatakse suurusi, mis väljendavad objektide sama omadust samasuguseid koguseid või homogeensed kogused . Näiteks laua pikkus ja ruumi pikkus on ühesugused suurused.

Tuletagem meelde homogeensete suurustega seotud põhiprintsiipe.

1. Kõik kaks sama liiki suurust on võrreldavad: need on kas võrdsed või üks on teisest väiksem. Teisisõnu, sama tüüpi suuruste puhul esinevad seosed "võrdne", "väiksem kui" ja "suurem" ning mis tahes suuruste A ja B puhul on tõene üks ja ainult üks seostest: A<В, А = В, А>IN.

Näiteks ütleme, et täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkus on suurem kui selle kolmnurga mis tahes jala pikkus, õuna mass on väiksem kui arbuusi mass ja ristküliku vastaskülgede pikkus on võrdsed.

2. Homogeensete suuruste seos “vähem kui” on transitiivne: kui A< В и В < С, то А < С.

Seega, kui kolmnurga F 1 pindala on väiksem kui kolmnurga F 2 pindala ja kolmnurga F 2 pindala on väiksem kui kolmnurga F 3 pindala, siis kolmnurk F 1 on väiksem kui kolmnurga F 3 pindala.

3. Võib lisada ühesuguseid koguseid, lisamise tulemusena saadakse samasugune kogus. Teisisõnu, mis tahes kahe suuruse A ja B korral määratakse suurus C = A + B üheselt, mida nimetatakse suuruste A ja B summaks.

Koguste liitmine on kommutatiivne ja assotsiatiivne.

Näiteks kui A on arbuusi mass ja B on meloni mass, siis C = A + B on arbuusi ja meloni mass. On ilmne, et A+B = B+A ja (A+B) + C = A+(B+C).

Suuruste A ja B vahet nimetatakse selliseks suuruseks

C = A - B, mis tähendab A = B + C.

Erinevus A ja B vahel eksisteerib siis ja ainult siis, kui A>B.

Näiteks kui A on lõigu a pikkus, B on lõigu b pikkus, siis C = A-B on lõigu c pikkus (joonis 1).

5. Koguse saab korrutada positiivse reaalarvuga, mille tulemuseks on samasugune kogus. Täpsemalt, mis tahes väärtuse A ja positiivse reaalarvu x jaoks on kordumatu väärtus B =

X. A, mida nimetatakse suuruse A ja arvu x korrutiseks.

Näiteks kui A on ühele õppetunnile eraldatud aeg, siis korrutades A arvuga x = 3, saame väärtuse B = 3 A – aeg, mille jooksul läbib 3 õppetundi.

6. Sama liiki koguseid saab jagada, mille tulemuseks on arv. Jagamine määratakse väärtuse korrutamisel arvuga.

A ja B jagatis on positiivne reaalarv x = A: B, nii et A = x B.

Seega, kui A on segmendi a pikkus, B on segmendi b pikkus (joonis 2) ja segment A koosneb 4 lõigust, mis on võrdne b-ga, siis A:B = 4, kuna A = 4·B.

Kogustel kui objektide omadustel on veel üks omadus – neid saab hinnata kvantitatiivselt. Selleks tuleb väärtust mõõta. Mõõtmise teostamiseks valitakse etteantud tüüpi suuruse hulgast väärtus, mida nimetatakse mõõtühikuks. Tähistame seda tähega E.

Kui on antud suurus A ja valitud on suuruse ühik E (sama liiki), siis suuruse A mõõtmine tähendab positiivse reaalarvu x leidmist nii, et A = x E.

Numbrit x kutsutakse suuruse A arvväärtus väärtusühikuga E. See näitab, mitu korda on väärtus A suurem (või väiksem) kui mõõtühikuks võetud väärtus E.

Kui A = x E, siis arvu x nimetatakse ka A väärtuse mõõduks ühe E-ga ja kirjutatakse x = m E (A).

Näiteks kui A on segmendi a pikkus, E on segmendi b pikkus (joonis 2), siis A = a·E. Arv 4 on pikkuse A arvväärtus pikkuse ühiku E kohta või teisisõnu, arv 4 on pikkuse A mõõt pikkusühiku E kohta.

Praktilises tegevuses kasutavad inimesed suuruste mõõtmisel standardseid suurusühikuid: näiteks mõõdetakse pikkust meetrites, sentimeetrites jne. Mõõtmistulemus registreeritakse järgmiselt: 2,7 kg; 13 cm; 16 p. Lähtudes ülaltoodud mõõtmiskontseptsioonist, võib neid kirjeid käsitleda arvu ja suurusühiku korrutisena. Näiteks 2,7 kg = 2,7 kg; 13 cm = 13 cm; 16 s = 16 s.

Seda esitust kasutades on võimalik õigustada ühelt väärtusühikult teisele ülemineku protsessi. Olgu näiteks soovid väljendada h minutites. Kuna h = · h ja tund = 60 min, siis h = · 60 · min = ( · 60) min = 25 min.

Nimetatakse suurust, mis on määratud ühe arvväärtusega skalaarne suurus .

Kui valitud mõõtühikuga skalaarsuurus võtab ainult positiivseid arvväärtusi, siis seda kutsutakse positiivne skalaarsuurus.

Positiivsed skalaarsuurused on pikkus, pindala, maht, mass, aeg, kauba maksumus ja kogus jne.

Suuruste mõõtmine võimaldab liikuda suuruste võrdlemiselt arvude võrdlemisele, suurustega seotud toimingutelt vastavate toiminguteni arvudega ja vastupidi.

1. Kui suurusi A ja B mõõdetakse suuruse ühiku E abil, on suuruste A ja B vaheline suhe sama, mis nende arvväärtuste suhe ja vastupidi:

A+B<=>m(A)+ m(B);

A<В <=>m(A)

A>B<=>m (A) > m (B).

Näiteks kui kahe keha massid on sellised, et A = 5 kg, B = 3 kg, siis võime öelda, et A > B, kuna 5 > 3.

2. Kui suurusi A ja B mõõdetakse suurusühiku E abil, siis summa A + B arvväärtuse leidmiseks piisab, kui liita suuruste A ja B arvväärtused:

A + B = C<=>m (A + B) = m (A) + m (B). Näiteks kui A = 5 kg, B = 3 kg, siis A + B = 5 kg + 3 kg = = (5 + 3) kg = 8 kg.

3. Kui suurused A ja B on sellised, et B = x A, kus x on positiivne reaalarv ja suurust A mõõdetakse suuruse E ühikuga, siis suuruse B arvväärtuse leidmiseks a. ühikut E, piisab, kui korrutada arv x arvuga m (A):

B = x A<=>m (B) = x m (A).

Näiteks kui B mass on 3 korda suurem A massist ja A = 2 kg, siis B = 3A = 3 (2 kg) = (3 2) kg = 6 kg.

Matemaatikas on suuruse A korrutise kirjutamisel arvuga x tavaks kirjutada arv suuruse ette, s.t. Ha. Aga kirjutada on lubatud nii: Ah. Seejärel korrutatakse suuruse A arvväärtus x-ga, kui leitakse suuruse A x väärtus.

Vaadeldavad mõisted - objekt (subjekt, nähtus, protsess), selle väärtus, väärtuse arvväärtus, väärtusühik - peavad olema tekstides ja ülesannetes tuvastatavad. Näiteks lause “Ostsime 3 kilogrammi õunu” matemaatilist sisu saab kirjeldada järgmiselt: lauses käsitletakse sellist eset nagu õunad ja selle omadus on mass; massi mõõtmiseks kasutati massiühikut - kilogramm; Mõõtmiste tulemusena saime arvu 3 - õunte massi arvväärtus massiühikuga - kilogramm.

Samal objektil võib olla mitu omadust, milleks on suurused. Näiteks inimese jaoks on selleks pikkus, kaal, vanus jne. Ühtlase liikumise protsessi iseloomustavad kolm suurust: vahemaa, kiirus ja aeg, mille vahel on seos, mis väljendub valemiga s = v·t.

Kui suurused väljendavad objekti erinevaid omadusi, siis neid nimetatakse mitmesugused kogused , või heterogeensed kogused . Näiteks pikkus ja mass on erinevad suurused.

Pikkus, pindala, mass, aeg, maht on suurused. Esmane tutvumine nendega toimub põhikoolis, kus kvantiteet koos arvuga on juhtiv mõiste.

Suurus on reaalsete objektide või nähtuste eriomadus ja selle eripära on see, et seda omadust saab mõõta, st suuruse suurust saab nimetada. Koguseid, mis väljendavad objektide sama omadust, nimetatakse suurusteks samasugune või homogeensed kogused. Näiteks laua pikkus ja ruumi pikkus on homogeensed suurused. Kogustel – pikkus, pindala, mass ja muud on terve rida omadusi.

1) Kõik kaks sama liiki suurust on võrreldavad: need on kas võrdsed või üks on teisest väiksem (suurem). See tähendab, et sama tüüpi koguste puhul esinevad seosed "võrdne", "väiksem kui", "suurem" ja mis tahes suuruste puhul ning üks ja ainult üks seostest on tõene: Näiteks ütleme, et pikkus täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on suurem kui antud kolmnurga mis tahes haru; sidruni mass on väiksem kui arbuusi mass; Ristküliku vastaskülgede pikkused on võrdsed.

2) Võib lisada ühesuguseid koguseid, lisamise tulemusena saadakse samasugune kogus. Need. mis tahes kahe suuruse a ja b korral määratakse suurus a+b üheselt, seda nimetatakse summa kogused a ja b. Näiteks kui a on lõigu AB pikkus, b on lõigu BC pikkus (joonis 1), siis lõigu AC pikkus on lõikude AB ja BC pikkuste summa;

3) Suurus reaalarvuga korrutada arv, mille tulemuseks on samasugune kogus. Siis on mis tahes väärtuse a ja mis tahes mittenegatiivse arvu x jaoks unikaalne väärtus b = x a, väärtust b nimetatakse tööd kogused a arvuga x. Näiteks kui a on lõigu AB pikkus korrutisega

x= 2, siis saame uue lõigu AC pikkuse. (Joonis 2)

4) Sama liiki kogused lahutatakse, määrates suuruste erinevuse summa kaudu: suuruste a ja b vahe on suurus c, nii et a = b + c. Näiteks kui a on lõigu AC pikkus, b on lõigu AB pikkus, siis lõigu BC pikkus on lõikude AC ja AB pikkuste vahe.

5) Sama liiki kogused jagatakse, määrates jagatise läbi koguse korrutise arvuga; a ja b jagatis on mittenegatiivne reaalarv x, nii et a = x b. Sagedamini nimetatakse seda arvu suuruste a ja b suhteks ning see kirjutatakse järgmisel kujul: a/b = x. Näiteks lõigu AC pikkuse ja lõigu AB pikkuse suhe on 2. (Joonis nr 2).

6) Homogeensete suuruste seos “vähem kui” on transitiivne: kui A<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2 площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F3.Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью – их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение – заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.

Võrdlusprotsess sõltub arvestatavate suuruste tüübist: pikkuste puhul on see üks, pindalade puhul teine, masside puhul kolmas jne. Kuid olenemata sellest protsessist saab kogus mõõtmise tulemusel valitud ühiku jaoks teatud arvväärtuse.

Üldiselt, kui on antud suurus a ja valida suuruse e ühik, siis suuruse a mõõtmise tulemusena leitakse reaalarv x selline, et a = x e. Seda arvu x nimetatakse suuruse a arvväärtuseks ühikuga e. Selle saab kirjutada järgmiselt: x=m (a) .

Definitsiooni järgi saab mis tahes suurust esitada teatud arvu ja selle suuruse ühiku korrutisena. Näiteks 7 kg = 7∙1 kg, 12 cm = 12∙1 cm, 15 tundi = 15∙1 tundi. Kasutades seda, aga ka koguse arvuga korrutamise määratlust, saate õigustada üleminekuprotsessi ühest koguseühikust teise. Olgu näiteks, et soovite väljendada 5/12 tundi minutites. Alates 5/12 h = 5/12 60 min = (5/12 ∙ 60) min = 25 min.

Nimetatakse koguseid, mis on täielikult määratud ühe arvväärtusega skalaar kogused. Need on näiteks pikkus, pindala, maht, mass ja muud. Lisaks skalaarsuurustele arvestatakse matemaatikas ka vektorsuurusi. Vektorsuuruse määramiseks on vaja märkida mitte ainult selle arvväärtus, vaid ka suund. Vektorsuurused on jõud, kiirendus, elektrivälja tugevus jt.

Põhikoolis arvestatakse ainult skalaarsuurusi ja neid, mille arvväärtused on positiivsed, st positiivsed skalaarsuurused.

Suuruste mõõtmine võimaldab taandada nende võrdluse arvude võrdluseks, tehteid suurustega vastavate arvudega tehtetega.

1/.Kui suurusi a ja b mõõdetakse suuruse ühikuga e, siis on suuruste a ja b vahelised seosed samad, mis nende arvväärtuste vahelised seosed ja vastupidi.

A = b m (a) = m (b),

A>b m(a)>m(b),

A

Näiteks kui kahe keha massid on sellised, et a = 5 kg, b = 3 kg, siis võib väita, et a mass on suurem kui b mass, kuna 5>3.

2/ Kui suurusi a ja b mõõdetakse suuruse ühikuga e, siis summa a + b arvväärtuse leidmiseks piisab liitmisest

suuruste a ja b arvväärtused. a+b= c m (a+b) = m (a) + m (b). Näiteks kui a = 15 kg, b = 12 kg, siis a + b = 15 kg + 12 kg = (15 + 12) kg = 27 kg

3/ Kui suurused a ja b on sellised, et b = x a, kus x on positiivne reaalarv ja suurust a mõõdetakse suuruse e ühiku abil, siis suuruse b arvväärtuse leidmiseks ühikuga e, piisab arvu x korrutamisest arvuga m (a):b=x a m (b)=x m (a).

Näiteks kui mass a on 3 korda suurem massist b, s.t. b = For ja a = 2 kg, siis b = For = 3 ∙ (2 kg) = (3,2) kg = 6 kg.

Vaadeldavad mõisted - objekt, objekt, nähtus, protsess, selle suurus, väärtuse arvväärtus, väärtusühik - peavad olema tekstides ja ülesannetes tuvastatavad.

Näiteks lause “Ostsime 3 kilogrammi õunu” matemaatilist sisu saab kirjeldada järgmiselt: lauses käsitletakse sellist eset nagu õunad ja selle omadus on mass; massi mõõtmiseks kasutati massiühikut - kilogramm; Mõõtmise tulemusena saime arvu 3 - õunte massi arvuline väärtus massiühikuga - kilogramm.

Vaatame mõne suuruse määratlusi ja nende mõõtmisi.

Statistiline näitaja— sotsiaal-majanduslike nähtuste ja protsesside kvantitatiivsed omadused kvalitatiivse kindluse tingimustes.

Kategooriaindikaatoril ja spetsiifilisel statistilisel näitajal on vahe:

Konkreetne statistika on uuritava nähtuse või protsessi digitaalne tunnus. Näiteks: Venemaa rahvaarv on hetkel 145 miljonit inimest.

Statistilisi näitajaid eristatakse vormi järgi:

• Absoluutne
• Sugulane

Üksuste hõlmatuse põhjal eristatakse individuaalseid ja koondnäitajaid.

Individuaalne näitajad - iseloomustavad eraldi objekti või elanikkonna eraldiseisvat üksust (ettevõtte kasum, üksikisiku panuse suurus).

Kokkuvõte näitajad - iseloomustavad osa üldkogumist või kogu statistilist üldkogumit tervikuna. Neid saab saada mahulistena ja arvutada. Mahulised näitajad saadakse populatsiooni üksikute üksuste iseloomulike väärtuste liitmisel. Saadud väärtust nimetatakse atribuudi mahuks. Hinnangulised näitajad arvutatakse erinevate valemite abil ja neid kasutatakse sotsiaal-majanduslike nähtuste analüüsimisel.

Ajateguri statistilised näitajad jagunevad:

• Hetkeline indikaatorid - kajastavad nähtuse olekut või taset teatud ajahetkel. Näiteks hoiuste arv Sberbankis perioodi lõpus.
• Intervall näitajad - iseloomustavad perioodi (päev, nädal, kuu, kvartal, aasta) lõpptulemust tervikuna. Näiteks toodetud toodete maht aastas.

Statistilised näitajad on omavahel seotud. Seetõttu on uuritavast nähtusest või protsessist tervikliku pildi saamiseks vaja arvestada näitajate süsteemiga.

Absoluutne väärtus

Mõõdab ja väljendab ühiskonnaelu nähtusi kvantitatiivsete kategooriate – statistiliste suuruste – abil. Tulemused saadakse eelkõige absoluutväärtuste kujul, mis on aluseks statistiliste näitajate arvutamisel ja analüüsimisel statistilise uurimistöö järgmistes etappides.

Absoluutne väärtus- uuritava sündmuse või nähtuse, protsessi maht või suurus, väljendatuna sobivates mõõtühikutes konkreetsetes koha- ja ajatingimustes.

Absoluutväärtuste tüübid:

• Individuaalne absoluutväärtus – iseloomustab ühikut
• Absoluutväärtus kokku – iseloomustab ühikute rühma või kogu populatsiooni

Statistilise vaatluse tulemuseks on näitajad, mis iseloomustavad uuritava nähtuse absoluutseid mõõtmeid või omadusi iga vaatlusüksuse kohta. Neid nimetatakse individuaalseteks absoluutnäitajateks. Kui näitajad iseloomustavad kogu populatsiooni tervikuna, nimetatakse neid üldistavateks absoluutnäitajateks. Absoluutväärtuste kujul olevatel statistilistel näitajatel on alati mõõtühikud: loomulik või kulu.

Absoluutväärtuste arvestuse vormid:

• Looduslikud - füüsilised ühikud (tükid, inimesed)
• Tinglikult looduslik – kasutatakse sama tarbijakvaliteediga, kuid laia valikuga toodete tulemuste arvutamisel. Tingimuslikuks mõõtmiseks teisendamine toimub teisendusteguri abil:
  K ümberarvutus = tarbija tegelik kvaliteet / standard (ettemääratud kvaliteet)
• Kulude arvestus – rahaühikud

Looduslikud mõõtühikud on lihtne, liit- ja tingimuslik.

Lihtsad looduslikud ühikud mõõtmed on tonnid, kilomeetrid, tükid, liitrid, miilid, tollid jne. Statistilise üldkogumi mahtu mõõdetakse ka lihtsates naturaalsetes ühikutes, s.o selle moodustavate ühikute arv või selle üksiku osa maht.

Looduslikud liitühikud mõõtmised on arvutanud näitajad, mis on saadud kahe või enama lihtsat mõõtühikut omava indikaatori korrutisena. Näiteks väljendatakse ettevõtete tööjõukulude arvestust töötatud inimpäevades (ettevõtte töötajate arv korrutatakse perioodi jooksul töötatud päevade arvuga) või inimtundides (ettevõtte töötajate arv korrutatakse ühe tööpäeva keskmise kestuse ja perioodi tööpäevade arvu järgi); transpordi kaubakäivet väljendatakse tonnkilomeetrites (veetava kauba mass korrutatakse veokaugusega) jne.

Tinglikult looduslikud ühikud mõõtmisi kasutatakse laialdaselt tootmistegevuse analüüsimisel, kui on vaja leida sarnaste näitajate lõppväärtus, mis pole otseselt võrreldavad, kuid iseloomustavad objekti samu omadusi.

Looduslikud ühikud teisendatakse tinglikult looduslikeks ühikuteks, väljendades nähtuse sorte mõne standardi ühikutes.

Näiteks:

• erinevat tüüpi orgaaniline kütus muudetakse standardkütuseks kütteväärtusega 29,3 MJ/kg
• erineva klassi seep - 40% rasvhapetega tavapärasesse seepi
• erineva mahuga konservid - tavalistes purkides mahuga 353,4 cm3,
• Veotöö kogumahu arvutamiseks liidetakse veetud kauba tonnkilomeetrid ja reisijateveol toodetud reisijakilomeetrid, võrdsustades tinglikult ühe reisija vedamise ühe tonni kauba vedamisega jne.

Tavalisteks ühikuteks teisendamine toimub spetsiaalsete koefitsientide abil. Näiteks kui on 200 tonni 40% rasvhapete sisaldusega ja 100 tonni 60% rasvhapete sisaldusega seepi, siis 40% puhul saame kokku 350 tonni tingimuslikku seepi ( teisendustegur on määratletud kui suhe 60:40 = 1,5 ja seega 100 t · 1,5 = 150 t tavalist seepi).

Näide 1. Leidke tavapärane loodusväärtus:

Oletame, et toodame märkmikke:

• 12 lehte igaüks - 1000 tk;
• 24 lehte igaüks - 200 tk;
• igaüks 48 lehte - 50 tk;
• 96 lehte igaüks - 100 tk.

Lahendus:
Seadsime standardi - 12 lehte.
Arvutame ümberarvestusteguri:

• 12/12=1
• 24/12=2
• 48/12=4
• 96/12=8

Vastus: tinglikult tegelik suurus = 1000*1 + 200*2 + 50*4 + 100*8 = 2400 märkmikku, igaühes 12 lehte

Tingimustes on suurima tähtsuse ja kasutusega kulu mõõtühikud: rublad, dollarid, eurod, tavarahaühikud jne. Sotsiaal-majanduslike nähtuste ja protsesside hindamiseks kasutatakse näitajaid jooksev- või tegelikes või võrreldavates hindades.

Absoluutväärtus ise ei anna uuritavast nähtusest terviklikku pilti, ei näita selle struktuuri, üksikute osade vahelisi suhteid ega arengut ajas. See ei paljasta seoseid teiste absoluutsete väärtustega. Seetõttu kasutab statistika, piirdumata absoluutväärtustega, laialdaselt üldisi teaduslikke võrdlemise ja üldistamise meetodeid.

Absoluutväärtustel on suur teaduslik ja praktiline tähtsus. Need iseloomustavad teatud ressursside kättesaadavust ja on aluseks erinevatele suhtelistele näitajatele.

Suhtelised väärtused

Lisaks absoluutväärtustele kasutatakse ka erinevaid suhtelisi väärtusi. Suhtelised väärtused tähistavad erinevaid koefitsiente või protsente.

Suhteline statistika- need on näitajad, mis annavad kahe võrreldava suuruse vahelise seose numbrilise mõõtmise.

Suhteliste väärtuste õige arvutamise põhitingimus on võrreldavate väärtuste võrreldavus ja reaalsete seoste olemasolu uuritavate nähtuste vahel.

Suhteline väärtus = võrreldav väärtus / alus

• Suhte lugejas olevat suurust nimetatakse vooluks või võrdluseks.
• Suhte nimetajas olevat suurust nimetatakse võrdlusaluseks või baasiks.

Vastavalt saamismeetodile on suhtelised suurused alati tuletised (sekundaarsed) suurused.

Neid saab väljendada:

• koefitsiendiga, kui võrdlusbaas on üks (AbsValue / Basis) * 1
• protsentides, kui võrdlusaluseks võetakse 100 (AbsValue / Basis) * 100
• ppm-des, kui võrdlusbaasiks võetakse 1000 (AbsValue / Basis) * 1000
  Näiteks iive suhtelise väärtuse kujul, arvutatuna ppm-des, näitab sündide arvu aastas 1000 inimese kohta.
• kümnendsüsteemis, kui võrdlusbaasiks võetakse 10000 (AbsValue / Basis) * 10000

Eristatakse järgmisi suhteliste statistiliste suuruste tüüpe:

Koordinatsiooni suhteline suurus

Koordinatsiooni suhteline suurus(koordinatsiooninäitaja) – esindab rahvastiku osade vahelist suhet. Sel juhul valitakse võrdlusaluseks see osa, millel on suurim osakaal või mis on majanduslikust, sotsiaalsest või muust seisukohast prioriteetne.

OVK = osa elanikkonnast iseloomustav näitaja / võrdlusaluseks valitud osa elanikkonnast iseloomustav näitaja

Koordinatsiooni suhteline suurus näitab, mitu korda on üks osa tervikust teisest suurem või väiksem, kui võrdluse aluseks võtta või mitu protsenti sellest moodustab või mitu ühikut terviku ühest osast langeb 1. , 10, 100, 1000,..., teise (põhi)osa ühikud. Näiteks 1999. aastal oli Venemaal 68,6 miljonit meest ja 77,7 miljonit naist, seega oli 1000 mehe kohta (77,7/68,6) * 1000 = 1133 naist. Samamoodi saate arvutada, kui palju tehnikuid on iga 10 (100) inseneri kohta; poiste arv 100 tüdruku kohta vastsündinute seas jne.

Näide: Ettevõttes töötab 100 juhti, 20 kullerit ja 10 juhti.
Lahendus: HVAC = (100/20)*100% = 500%. Juhte on 5 korda rohkem kui kullereid.
sama OBC abiga (näide 5): (77%/15%) * 100% = 500%

Struktuuri suhteline suurus

Struktuuri suhteline suurus(struktuuriindikaator) - iseloomustab detaili erikaalu selle kogumahus. Konstruktsiooni suhtelist suurust nimetatakse sageli "erikaaluks" või "proportsiooniks".

OBC = osa elanikkonnast iseloomustav näitaja / kogu elanikkonna kui terviku näitaja

Näide: Ettevõttes töötab 100 juhti, 20 kullerit ja 10 juhti. Kokku 130 inimest.

• Kullerite osakaal = (20/130) * 100% = 15%
• Juhtide osakaal = (100 / 130) * 100% = 77%
• juhtide OBC = 8%

Kõigi OBC-de summa peab olema 100% või üks.

Suhteline võrdlusväärtus

Suhteline võrdlusväärtus(võrdlusnäitaja) - iseloomustab erinevate populatsioonide vahelisi suhteid samade näitajate järgi.

Näide 8: Venemaa Sberbanki poolt eraisikutele 1. veebruaril 2008 väljastatud laenude maht oli 520 189 miljonit rubla, Vneshtorgbank - 10 915 miljonit rubla.
Lahendus:
OBC = 520189 / 10915 = 47,7
Seega oli Venemaa Sberbanki eraisikutele väljastatud laenude maht 1. veebruari 2006 seisuga 47,7 korda suurem kui Vneshtorgbanki sama näitaja.