03.07.202327.05.2017

Las reaalne funktsioon vastab Dirichleti tingimustele intervallil - L, L. Kirjutame selle laienduse trigonomeetrilisse Fourier' seeriasse:

Kui punktis (10.1) väljendame ja läbi imaginaarse argumendi eksponentsiaalfunktsiooni:

siis saame sarja

kus tänu (10.2)

Viimased kolm valemit saab kombineerida:

Koefitsientidega (10,4) jada (10.3) nimetatakse komplekskujul trigonomeetriliseks Fourier' jaaks.

Näide 1. Laiendage funktsiooni, kus on kompleksarv, intervalli Fourier' jaaks.

Lahendus . Leiame Fourier' koefitsiendid:

Sellest ajast

Vajalikul laiendusel on vorm

kus seda arvesse võetakse

Parsevali võrdsuse rakendamine seeriale (10.5)

leiate mõne teise numbriseeria summa. Tõepoolest, meie puhul

Siis järgneb (10.6) see

Harjutus 1. Tõesta seda

Märge. Pane sisse (10,5) X= 0 ja X = .

Harjutus 2. Tõesta, et millal

Fourier' integraal

Fourier' integraali lähenemine

Olgu funktsioon defineeritud tervel arvureal. Eeldades, et suvalisel lõplikul intervallil - L, L antud funktsioon rahuldab Dirichlet' tingimusi, esitame selle komplekssel kujul trigonomeetrilise Fourier' reaga:

Sagedus k th harmoonilised; .

Sisestades avaldised (11.2) avaldisesse (11.1), saame

Suuruse järgi. Valemi (11.3) parem pool on sarnane funktsiooni integraalsummaga intervallis oleva muutuja kohta. Seetõttu võime eeldada, et pärast piirini jõudmist punktis (11.3) at jada asemel saame integraali

Valemit (11.4) nimetatakse Fourier' integraali valemiks ja selle paremat poolt nimetatakse Fourier' integraaliks.

Valemi (11.4) tuletamiseks kasutatud arutluskäik ei ole range ja on ainult sugestiivne. Tingimused, mille korral Fourier' integraali valem kehtib, on kehtestatud teoreemiga, mille aktsepteerime ilma tõestuseta.

Teoreem. Olgu funktsioon esiteks intervallil absoluutselt integreeritav, st. integraal koondub ja teiseks rahuldab Dirichleti tingimused igal lõplikul intervallil (- L, L). Siis koondub Fourier' integraal (põhiväärtuse mõttes) kõikjale, s.t. võrdsus (11,4) on kõigi jaoks täidetud X vahelt. Siin, nagu varemgi, eeldatakse, et katkestuspunktis on funktsiooni väärtus võrdne poolega selle ühepoolsete piiride summast selles punktis.

Fourier' teisendus

Teisendame Fourier' integraali valemi (11.4) järgmiselt. Paneme

Kui funktsioon on pidev ja absoluutselt integreeritav kogu teljel, siis on funktsioon pidev sellel intervallil. Tõepoolest, sellest ajast peale

ja kuna parempoolne integraal koondub, koondub ka vasakpoolne integraal. seetõttu koondub (12.1) integraal absoluutselt. Võrdsus (12.2) on täidetud kõigiga üheaegselt, seega integraal (12.1) ühtlustub suhtes. Sellest järeldub, et funktsioon on pidev (nagu pidevatest funktsioonidest koosneva jada ühtlane konvergents eeldab selle summa pidevust).

Alates (11.4) saame

Valemiga (12.1) defineeritud kompleksfunktsiooni nimetatakse funktsiooni Fourier' teisenduseks või Fourier' teisenduseks. Valem (12.3) defineerib omakorda Fourier' pöördteisendust ehk funktsiooni pöördkujutist. Võrdsust (12.3) antud funktsiooni korral võib vaadelda funktsiooni suhtes integraalvõrrandina, mille lahendus on antud valemiga (12.1). Ja vastupidi, integraalvõrrandi (12.1) lahendus antud funktsiooni jaoks on antud valemiga (12.3).

Valemis (12.3) määrab avaldis suhteliselt keerukate harmooniliste paketi, mille sagedused on pidevalt jaotatud intervalli peale ja kogu kompleksamplituudi. Funktsiooni nimetatakse spektraaltiheduseks. Valem (12.2), kirjutatud vormis

võib tõlgendada kui funktsiooni laiendamist harmooniliste pakettide summaks, mille sagedused moodustavad pideva spektri, mis on jaotatud intervalli peale.

Parsevali võrdsused. Olgu ja olgu vastavalt reaalfunktsioonide Fourier kujutised ja. Siis

need. funktsioonide skalaarkorrutised ja normid on Fourier' teisenduse invariandid. Tõestame seda väidet. Meil oleva skalaarkorrutise definitsiooni järgi. Asendades funktsiooni selle avaldisega (12.3) Fourier' teisenduse kaudu, saame

Vastavalt (12.1)

Seetõttu, st. valem (12.4) on tõestatud. Valem (12.5) saadakse (12.4) juures.

Koosinus ja siinus Fourier teisendused. Kui reaalne funktsioon on paarisfunktsioon, siis selle Fourier' teisendus, mida me siin tähistame, on samuti reaalne paarisfunktsioon. Tõesti,

Viimane integraal kaob integrandi veidruse tõttu. Seega

Siin kasutame paarisfunktsioonide omadust (7.1).

(12.6) järeldub, et funktsioon on reaalne ja ühtlaselt sõltuv, kuna siseneb (12.6) ainult koosinuse kaudu.

Fourier' pöördteisenduse valem (12.3) annab sel juhul

Kuna ja on vastavalt muutuja paaris ja paaritu funktsioonid, siis

Valemid (12.6) ja (12.7) defineerivad Fourier' koosinusteisendust.

Samamoodi, kui reaalfunktsioon on paaritu, siis selle Fourier' teisendus on kus reaalne paaritu funktsioon. Kus

Võrdused (12.8), (12.9) defineerivad Fourier' siinuse teisenduse.

Pange tähele, et valemid (12.6) ja (12.8) sisaldavad ainult funktsiooni väärtusi. Seetõttu saab koosinus- ja siinus-Fourieri teisendusi rakendada ka poollõpmatul intervallil määratletud funktsioonile. Sel juhul koonduvad integraalid valemites (12.7) ja (12.9) antud funktsioonile ning vastavalt selle paaris- ja paaritutele jätkudele.

Mis on juba päris igavad. Ja ma tunnen, et kätte on jõudnud hetk, mil on aeg ammutada uusi konserve teooria strateegilistest reservidest. Kas funktsiooni on võimalik ka muul viisil seeriaks laiendada? Näiteks väljendada sirge lõiku siinuste ja koosinuste kaudu? Tundub uskumatu, kuid sellised näiliselt kauged funktsioonid võivad olla
"taasühendamine". Lisaks tuttavatele teooria- ja praktikakraadidele on funktsiooni jadaks laiendamiseks ka teisi lähenemisviise.

Selles õppetükis tutvume trigonomeetrilise Fourier' seeriaga, puudutame selle konvergentsi ja summa küsimust ning loomulikult analüüsime arvukalt näiteid funktsioonide laiendamisest Fourier' reas. Tahtsin siiralt nimetada artiklit "Fourier-seeria mannekeenidele", kuid see oleks ebatõenäoline, kuna probleemide lahendamine eeldab matemaatilise analüüsi teiste harude tundmist ja praktilist kogemust. Seetõttu meenutab preambul astronaudikoolitust =)

Esiteks peaksite lehematerjalide uurimisele lähenema suurepärases vormis. Unine, puhanud ja kaine. Ilma tugevate emotsioonideta murtud hamstri jala ja obsessiivsete mõteteta akvaariumikalade eluraskustest. Fourier' seeriat pole raske mõista, kuid praktilised ülesanded nõuavad lihtsalt suuremat tähelepanu keskendumist - ideaalis peaksite end välistest stiimulitest täielikult eraldama. Olukorda raskendab asjaolu, et lahenduse ja vastuse kontrollimiseks pole lihtsat võimalust. Seega, kui teie tervis on alla keskmise, on parem teha midagi lihtsamat. Kas see on tõsi.

Teiseks on enne kosmosesse lendamist vaja uurida kosmoselaeva armatuurlauda. Alustame nende funktsioonide väärtustega, mida tuleks masinal klõpsata:

Mis tahes loodusliku väärtuse jaoks:

1) . Tõepoolest, sinusoid "õmbleb" x-telje läbi iga "pi":
. Argumendi negatiivsete väärtuste korral on tulemus loomulikult sama: .

2) . Kuid mitte kõik ei teadnud seda. Koosinus "pi" on "vilkuv" ekvivalent:

Negatiivne argument ei muuda asja: .

Võib-olla sellest piisab.

Ja kolmandaks, kallis kosmonautide korpus, peate suutma... integreerida.
Eelkõige enesekindlalt liita funktsioon diferentsiaalmärgi alla, lõimida tükkhaaval ja olla rahus Newtoni-Leibnizi valem. Alustame oluliste lennueelsete harjutustega. Ma ei soovita kategooriliselt seda vahele jätta, et mitte hiljem kaaluta olekus lörtsida:

Näide 1

Arvutage kindlad integraalid

kuhu võtab loodusväärtused.

Lahendus: integreerimine toimub muutuja “x” kohal ja selles etapis peetakse diskreetset muutujat “en” konstandiks. Kõigis integraalides pane funktsioon diferentsiaalmärgi alla:

Lahenduse lühiversioon, mida oleks hea sihtida, näeb välja järgmine:

Harjume sellega:

Ülejäänud neli punkti on teie enda kanda. Püüdke läheneda ülesandele kohusetundlikult ja kirjutada integraalid lühidalt. Tunni lõpus näidislahendused.

Peale harjutuste KVALITEET sooritamist panime selga skafandrid
ja valmistuge alustama!

Funktsiooni laiendamine intervalli Fourier' jadaks

Mõelge mõnele funktsioonile, mis kindlaks määratud vähemalt teatud aja jooksul (ja võib-olla ka pikema aja jooksul). Kui see funktsioon on intervalliga integreeritav, saab selle laiendada trigonomeetriliseks Fourier seeria:
, kus on nn Fourier koefitsiendid.

Sel juhul helistatakse numbrile lagunemise periood, ja number on lagunemise poolestusaeg.

On ilmne, et üldjuhul koosneb Fourier' jada siinustest ja koosinustest:

Tõepoolest, paneme selle üksikasjalikult kirja:

Sarja nullliige kirjutatakse tavaliselt kujul .

Fourier' koefitsiendid arvutatakse järgmiste valemite abil:

Saan suurepäraselt aru, et teemat uurima hakkajatel on uute terminite osas endiselt ebaselge: lagunemisperiood, pooltsükkel, Fourier koefitsiendid jne. Ärge sattuge paanikasse, see ei ole võrreldav põnevusega enne kosmosesse minekut. Mõistame kõike järgmises näites, mille täitmist on loogiline küsida pakilisi praktilisi küsimusi:

Mida peate järgmiste ülesannete täitmisel tegema?

Laiendage funktsioon Fourier' jadaks. Lisaks on sageli vaja kujutada funktsiooni graafikut, seeria summa graafikut, osasummat ja keerukate professorifantaasiate korral teha midagi muud.

Kuidas laiendada funktsiooni Fourier-seeriaks?

Põhimõtteliselt peate leidma Fourier koefitsiendid st koostage ja arvutage kolm kindel integraal.

Palun kopeerige oma märkmikusse Fourier' seeria üldvorm ja kolm töövalemit. Mul on väga hea meel, et mõned saidi külastajad realiseerivad minu silme all oma lapsepõlveunistust saada astronaudiks =)

Näide 2

Laiendage funktsioon intervalli Fourier-seeriaks. Koostage graaf, ridade summa ja osasumma graafik.

Lahendus: Ülesande esimene osa on funktsiooni laiendamine Fourier' jadaks.

Algus on standardne, pange kindlasti kirja, et:

Selle probleemi puhul on paisumisperiood poolperiood.

Laiendame funktsiooni Fourier' seeriaks intervallil:

Kasutades sobivaid valemeid, leiame Fourier koefitsiendid. Nüüd peame koostama ja arvutama kolm kindel integraal. Mugavuse huvides nummerdan punktid:

1) Esimene integraal on kõige lihtsam, kuid see nõuab ka silmamuna:

2) Kasutage teist valemit:

See integraal on hästi tuntud ja ta võtab seda tükkhaaval:

Leidmisel kasutatud funktsiooni diferentsiaalmärgi alla liitmise meetod.

Vaadeldavas ülesandes on seda mugavam kohe kasutada osade kaupa lõimimise valem kindlasse integraali :

Paar tehnilist märkust. Esiteks pärast valemi rakendamist kogu avaldis peab olema suurtes sulgudes, kuna algse integraali ees on konstant. Ärgem kaotagem teda! Sulgusid saab igal edasisel sammul laiendada; tegin seda viimase abinõuna. Esimeses "tükis" Näitame asendamisel äärmist ettevaatlikkust, nagu näete, konstanti ei kasutata ja tootega asendatakse integreerimise piirid. See toiming on esile tõstetud nurksulgudes. Noh, teile on tuttav treeningülesande valemi teise “tüki” integraal;-)

Ja mis kõige tähtsam – äärmuslik keskendumine!

3) Otsime kolmandat Fourier' koefitsienti:

Saadakse eelmise integraali sugulane, mis samuti on integreerub tükkhaaval:

See juhtum on veidi keerulisem, kommenteerin edasisi samme samm-sammult:

(1) Väljend on täielikult suletud suurtesse sulgudesse. Ma ei tahtnud igav tunduda, nad kaotavad liiga sageli konstantsi.

(2) Sel juhul avasin kohe need suured sulud. Erilist tähelepanu Pühendume esimesele "tükile": pidev suitseb kõrvalt ega osale tootega integreerimise piiride ( ja ) asendamises. Plaadi segaduse tõttu on jällegi soovitav see tegevus nurksulgudega esile tõsta. Teise "tükiga" kõik on lihtsam: siin ilmus murd pärast suurte sulgude avamist ja konstant - tuttava integraali integreerimise tulemusena;-)

(3) Nurksulgudes teostame teisendusi ja parempoolses integraalis - integreerimispiiride asendamine.

(4) Eemaldame nurksulgudest "vilkuva tule" ja seejärel avame sisemised sulud: .

(5) Tühistame sulgudes olevad 1 ja –1 ning teeme viimased lihtsustused.

Lõpuks leitakse kõik kolm Fourier' koefitsienti:

Asendame need valemis :

Samal ajal ärge unustage pooleks jagada. Viimases etapis võetakse konstant (“miinus kaks”), mis ei sõltu “en”-st, väljaspool summat.

Seega oleme saanud funktsiooni laiendamise Fourier' jadaks intervallil:

Uurime Fourier' rea konvergentsi küsimust. Selgitan täpsemalt teooriat Dirichlet’ teoreem, sõna otseses mõttes "sõrmedel", nii et kui vajate rangeid sõnastusi, vaadake matemaatilise analüüsi õpikut (näiteks Bohani 2. köide; või Fichtenholtzi 3. köide, aga see on keerulisem).

Ülesande teine osa nõuab graafiku, jada summa graafiku ja osasumma graafiku joonistamist.

Funktsiooni graafik on tavaline sirgjoon tasapinnal, mis on tõmmatud musta punktiirjoonega:

Arvutame välja seeria summa. Nagu teate, koonduvad funktsioonide seeriad funktsioonidele. Meie puhul konstrueeritud Fourier-seeria mis tahes "x" väärtuse korral koondub funktsioonile, mis on näidatud punaselt. See funktsioon talub 1. tüüpi rebendid punktides, kuid on ka nendes määratletud (punased täpid joonisel)

Seega: . On lihtne näha, et see erineb märgatavalt algsest funktsioonist, mistõttu on see kirjes Võrdlusmärgi asemel kasutatakse tildet.

Uurime algoritmi, mis on mugav rea summa koostamiseks.

Keskintervallil läheneb Fourier' seeria funktsioonile endale (keskne punane segment langeb kokku lineaarfunktsiooni musta punktiirjoonega).

Räägime nüüd pisut vaadeldava trigonomeetrilise laienemise olemusest. Fourier seeria sisaldab ainult perioodilisi funktsioone (konstant, siinused ja koosinused), seega rea summa on ka perioodiline funktsioon.

Mida see meie konkreetses näites tähendab? Ja see tähendab, et seeria summa –kindlasti perioodiline ja intervalli punast segmenti tuleb vasakul ja paremal lõputult korrata.

Ma arvan, et fraasi "lagunemisperiood" tähendus on nüüd lõpuks selgeks saanud. Lihtsamalt öeldes kordub olukord iga kord uuesti ja uuesti.

Praktikas piisab tavaliselt kolme lagunemisperioodi kujutamisest, nagu on tehtud joonisel. No ja ka naaberperioodide “kännud” - et oleks selge, et graafik jätkub.

Erilist huvi pakuvad 1. tüüpi katkestuspunktid. Sellistes punktides koondub Fourier' jada isoleeritud väärtustele, mis asuvad täpselt katkestuse “hüppe” keskel (joonisel punased täpid). Kuidas nende punktide ordinaate teada saada? Esmalt leiame "ülemise korruse" ordinaat: selleks arvutame funktsiooni väärtuse laienemise keskperioodi kõige parempoolsemas punktis: . "Alumise korruse" ordinaadi arvutamiseks on lihtsaim viis võtta sama perioodi vasakpoolseim väärtus: . Keskmise väärtuse ordinaat on “ülemise ja alumise” summa aritmeetiline keskmine: . Meeldiv tõsiasi on see, et joonist konstrueerides on kohe näha, kas keskkoht on arvutatud õigesti või valesti.

Koostame seeria osasumma ja kordame samal ajal mõiste "konvergents" tähendust. Motiiv on teada ka tunnist umbes arvuseeria summa. Kirjeldame oma rikkust üksikasjalikult:

Osalise summa koostamiseks tuleb kirjutada null + veel kaks seeria liiget. See on,

Joonisel on funktsiooni graafik kujutatud rohelisena ja nagu näha, siis see “mähib” täissumma päris tihedalt kokku. Kui arvestada seeria viie liikme osalist summat, siis selle funktsiooni graafik lähendab punaseid jooni veelgi täpsemalt; kui liikmeid on sada, siis sulandub "roheline madu" tegelikult täielikult punaste segmentidega, jne. Seega läheneb Fourier' jada oma summale.

Huvitav on märkida, et iga osaline summa on pidev funktsioon sarja kogusumma on aga endiselt katkendlik.

Praktikas pole osasummagraafiku koostamine nii haruldane. Kuidas seda teha? Meie puhul on vaja arvestada segmendi funktsiooniga, arvutada selle väärtused segmendi otstes ja vahepunktides (mida rohkem punkte arvestate, seda täpsem on graafik). Seejärel peaksite need punktid joonisele märkima ja hoolikalt joonistama perioodile graafiku ning seejärel "paljutama" selle külgnevateks intervallideks. Kuidas muidu? Lõppude lõpuks on lähendamine ka perioodiline funktsioon... ...mõnes mõttes meenutab selle graafik mulle ühtlast südamerütmi meditsiiniseadme ekraanil.

Ehituse läbiviimine pole muidugi eriti mugav, kuna peate olema äärmiselt ettevaatlik, säilitades vähemalt poole millimeetri täpsuse. Küll aga rõõmustan lugejaid, kellele joonistamine ei meeldi – “päris” probleemi puhul pole alati vaja joonistamist läbi viia, umbes 50% juhtudest on vaja funktsiooni laiendada Fourier’ seeriaks ja ongi kõik. .

Pärast joonise valmimist täidame ülesande:

Vastus:

Paljudes ülesannetes kannatab funktsioon 1. tüüpi rebend otse lagunemisperioodil:

Näide 3

Laiendage intervallil antud funktsioon Fourier' jadaks. Joonistage funktsiooni ja ridade kogusumma graafik.

Kavandatav funktsioon määratakse osade kaupa (ja pange tähele, ainult segmendil) ja kannatab 1. tüüpi rebend punktis . Kas Fourier koefitsiente on võimalik arvutada? Pole probleemi. Funktsiooni nii vasak kui ka parem pool on oma intervallidel integreeritavad, seetõttu tuleks kõigis kolmes valemis olevad integraalid esitada kahe integraali summana. Vaatame näiteks, kuidas seda tehakse nullkoefitsiendi puhul:

Teine integraal osutus võrdseks nulliga, mis vähendas tööd, kuid see ei ole alati nii.

Ülejäänud kahte Fourier' koefitsienti kirjeldatakse sarnaselt.

Kuidas näidata seeria summat? Vasakpoolsele intervallile joonistame sirgjoone segmendi ja intervallile - sirgjoone segmendi (telje lõigu tõstame esile paksus ja paksus kirjas). See tähendab, et laiendusintervalli korral kattub seeriate summa funktsiooniga kõikjal, välja arvatud kolm "halba" punkti. Funktsiooni katkestuspunktis koondub Fourier' jada isoleeritud väärtusele, mis asub täpselt katkestuse "hüppe" keskel. Suuliselt pole seda raske näha: vasakpoolne piir: , parempoolne piir: ja ilmselgelt on keskpunkti ordinaat 0,5.

Summa perioodilisuse tõttu tuleb pilt „korrutada“ kõrvuti asetsevateks perioodideks, eelkõige tuleb sama asja kujutada intervallidel ja . Samal ajal läheneb Fourier' jada punktides mediaanväärtustele.

Tegelikult pole siin midagi uut.

Proovige selle ülesandega ise hakkama saada. Lõpliku kavandi ligikaudne näidis ja joonis tunni lõpus.

Funktsiooni laiendamine Fourier' jadaks suvalise perioodi jooksul

Suvalise laiendusperioodi korral, kus "el" on mis tahes positiivne arv, eristatakse Fourier' seeria ja Fourier' koefitsientide valemeid veidi keerulisema siinuse ja koosinuse argumendiga:

Kui , siis saame intervallvalemid, millega alustasime.

Probleemi lahendamise algoritm ja põhimõtted on täielikult säilinud, kuid arvutuste tehniline keerukus suureneb:

Näide 4

Laiendage funktsioon Fourier' jadaks ja joonistage summa.

Lahendus: tegelikult näite nr 3 analoog koos 1. tüüpi katkestus punktis . Selle probleemi puhul on paisumisperiood poolperiood. Funktsioon on määratletud ainult poolintervalli peal, kuid see ei muuda asja - oluline on, et funktsiooni mõlemad osad oleksid integreeritavad.

Laiendame funktsiooni Fourier' seeriaks:

Kuna funktsioon on algpunktis katkendlik, tuleks iga Fourier' koefitsient kirjutada kahe integraali summana:

1) Kirjutan esimese integraali nii üksikasjalikult kui võimalik:

2) Vaatame hoolikalt Kuu pinda:

Teine integraal võta tükikaupa:

Millele peaksime tähelepanu pöörama pärast lahenduse jätku tärniga avamist?

Esiteks ei kaota me esimest integraali , kus me kohe teostame diferentsiaalmärgiga liitumine. Teiseks ärge unustage õnnetu konstanti suurte sulgude ees ja ärge sattuge märkidest segadusse valemi kasutamisel. Suured sulgud on siiski mugavam järgmises etapis kohe avada.

Ülejäänu on tehnika küsimus, raskusi võib tekitada vaid ebapiisav integraalide lahendamise kogemus.

Jah, ilmaasjata polnud prantsuse matemaatiku Fourier’ silmapaistvad kolleegid nördinud – kuidas ta julges funktsioone trigonomeetrilisteks jadadeks järjestada?! =) Muide, ilmselt huvitab kõiki kõnealuse ülesande praktiline tähendus. Fourier ise töötas soojusjuhtivuse matemaatilise mudeli kallal ja hiljem hakati temanimelist seeriat kasutama paljude perioodiliste protsesside uurimiseks, mis on ümbritsevas maailmas nähtavad ja nähtamatud. Nüüd, muide, tabasin end mõttelt, et mitte juhuslikult ei võrdlenud teise näite graafikut südame perioodilise rütmiga. Huvilised saavad praktilise rakendusega tutvuda Fourier' teisendus kolmandate osapoolte allikates. ...Kuigi parem on mitte - see jääb meelde esimese armastusena =)

3) Võttes arvesse korduvalt mainitud nõrku lülisid, vaatame kolmandat koefitsienti:

Integreerime osade kaupa:

Asendame leitud Fourier' koefitsiendid valemis , unustamata jagada nullkoefitsienti pooleks:

Joonistame seeria summa. Kordame lühidalt protseduuri: konstrueerime intervallile sirge ja intervallile sirge. Kui “x” väärtus on null, paneme punkti vahe “hüppe” keskele ja “kordame” graafikut külgnevate perioodide jaoks:

Perioodide "ristmikel" on summa võrdne ka vahe "hüppe" keskpunktidega.

Valmis. Lubage mul teile meelde tuletada, et funktsioon ise on tingimusega määratletud ainult poolintervallil ja ilmselgelt langeb see kokku intervallide seeriate summaga

Vastus:

Mõnikord on tükkhaaval antud funktsioon pidev laiendusperioodi jooksul. Lihtsaim näide: . Lahendus (vt Bohani 2. köidet) sama mis kahes eelmises näites: vaatamata funktsiooni järjepidevus punktis , väljendatakse iga Fourier' koefitsienti kahe integraali summana.

Lagunemisintervalli kohta 1. tüüpi katkestuspunktid ja/või graafikul võib olla rohkem ristumispunkte (kaks, kolm ja üldiselt mis tahes lõplik kogus). Kui funktsioon on igas osas integreeritav, on see laiendatav ka Fourier' seerias. Kuid praktilise kogemuse põhjal ma nii julma asja ei mäleta. Siiski on äsja kaalutletutest raskemaid ülesandeid ja artikli lõpus on kõigi jaoks lingid suurema keerukusega Fourier' seeriatele.

Seniks lõdvestume, toolime tagasi ja mõtiskleme tähtede lõputute avaruste üle:

Näide 5

Laiendage funktsioon intervalli Fourier' jadaks ja joonistage seeria summa.

Selles probleemis funktsioon pidev laiendamise poolintervalli kohta, mis lihtsustab lahendust. Kõik on väga sarnane näitega nr 2. Kosmoselaevast pole pääsu – peate otsustama =) Ligikaudne kujundusnäidis tunni lõpus, ajakava on lisatud.

Paaris- ja paaritu funktsioonide Fourier-seeria laiendamine

Paaris- ja paaritu funktsioonide korral on probleemi lahendamise protsess märgatavalt lihtsustatud. Ja sellepärast. Pöördume tagasi funktsiooni laiendamise juurde Fourier' seerias perioodiga "kaks pi" ja suvaline periood "kaks el" .

Oletame, et meie funktsioon on paaris. Sarja üldtermin, nagu näha, sisaldab paariskoosinusi ja paarituid siinusi. Ja kui me laiendame paarisfunktsiooni, siis milleks on meil vaja paarituid siinusi?! Lähtestame mittevajaliku koefitsiendi: .

Seega paarisfunktsiooni saab Fourier' reas laiendada ainult koosinustega:

Kuna paarisfunktsioonide integraalid piki integratsioonisegmenti, mis on nulli suhtes sümmeetriline, saab kahekordistada, siis ülejäänud Fourier koefitsiendid lihtsustatakse.

Vahe jaoks:

Suvalise intervalli jaoks:

Õpikute näited, mida võib leida peaaegu kõigist matemaatilise analüüsi õpikutest, hõlmavad paarisfunktsioonide laiendusi . Lisaks on neid minu isiklikus praktikas korduvalt kohatud:

Näide 6

Funktsioon on antud. Nõutud:

1) laiendage funktsiooni Fourier' jadaks perioodiga , kus on suvaline positiivne arv;

2) kirjutage üles intervalli laiendus, konstrueerige funktsioon ja joonistage graafik jada kogusumma.

Lahendus: esimeses lõigus tehakse ettepanek lahendada probleem üldiselt ja see on väga mugav! Kui vajadus tekib, asendage lihtsalt oma väärtus.

1) Selles ülesandes on laienemisperiood poolperiood. Edasiste toimingute ajal, eriti integreerimise ajal, loetakse “el” konstantiks

Funktsioon on ühtlane, mis tähendab, et seda saab Fourier-seeriaks laiendada ainult koosinustega: .

Fourier' koefitsiente otsime valemite abil . Pöörake tähelepanu nende tingimusteta eelistele. Esiteks viiakse integreerimine läbi laienduse positiivse segmendi, mis tähendab, et saame moodulist ohutult lahti , võttes arvesse ainult kahest tükist "X". Ja teiseks on integreerimine märgatavalt lihtsustatud.

Kaks:

Integreerime osade kaupa:

Seega:
, samas kui konstant , mis ei sõltu "en"-st, võetakse väljaspool summat.

Vastus:

2) Kirjutame intervalli laienduse üles, selleks asendame nõutava poolperioodi väärtuse üldvalemis:

Trigonomeetriline Fourier seeria nimetatakse vormi seeriaks

a0 /2 + a 1 cos x + b 1 patt x + a 2cos2 x + b 2 patt2 x + ... + a ncos nx + b n patt nx + ...

kus on numbrid a0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., a n, b n... - Fourier koefitsiendid.

Fourier' seeria lühendatud esitus sümboliga "sigma":

Nagu me just tuvastasime, vastupidiselt võimsusreadele, Fourier' seerias kõige lihtsamate funktsioonide asemel võetakse trigonomeetrilisi funktsioone

1/2, cos x, patt x,cos2 x, patt2 x, ..., cos nx, patt nx, ... .

Fourier' koefitsiendid arvutatakse järgmiste valemite abil:

Kõik ülaltoodud funktsioonid Fourier' seerias on perioodilised funktsioonid perioodiga 2 π . Iga trigonomeetrilise Fourier' jada liige on perioodiline funktsioon perioodiga 2 π .

Seetõttu on Fourier' rea mis tahes osasumma periood 2 π . Sellest järeldub, et kui Fourier' jada koondub intervallile [- π , π ] , siis see koondub tervele arvujoonele ja selle summa, olles perioodiliste osasummade jada piir, on perioodiline funktsioon perioodiga 2 π .

Fourier' ridade ja ridade summa lähenemine

Laske funktsioonil F(x) määratletud tervel arvureal ja perioodiliselt perioodiga 2 π , on funktsiooni perioodiline jätk f(x) kui segmendil [- π , π ] esineb F(x) = f(x)

Kui segmendil [- π , π ] Fourier' seeria koondub funktsioonile f(x), siis koondub see tervel arvureal oma perioodilisele jätkule.

Vastus küsimusele, millistel tingimustel on funktsiooni Fourier' jada f(x) koondub sellele funktsioonile, annab järgmine teoreem.

Teoreem. Laske funktsioonil f(x) ja selle tuletis f"(x) - pidev lõigul [- π , π ] või sellel on piiratud arv 1. tüüpi katkestuspunkte. Seejärel funktsiooni Fourier' jada f(x) koondub tervele arvujoonele ja igasse punkti x, mis kuulub segmenti [- π , π ] , kus f(x) on pidev, jada summa on võrdne f(x) ja igas punktis x0 funktsiooni katkendlikkusest on jada summa võrdne funktsiooni piiride aritmeetilise keskmisega f(x) parem ja vasak:

Kus Ja .

Lõigu lõpus [- π , π ] jada summa võrdub funktsiooni väärtuste aritmeetilise keskmisega laiendusperioodi kõige vasakpoolsemas ja parempoolsemas punktis:

Igal hetkel x, mis kuulub segmenti [- π , π ] , on Fourier' rea summa võrdne F(x), Kui x- järjepidevuse punkt F(x) ja on võrdne piirväärtuste aritmeetilise keskmisega F(x) vasakule ja paremale:

Kui x- murdepunkt F(x), Kus F(x) - perioodiline jätk f(x) .

Näide 1. Perioodiline funktsioon f(x) perioodiga 2 π määratletud järgmiselt:

Lihtsamalt öeldes on see funktsioon kirjutatud kujul f(x) = |x| . Laiendage funktsioon Fourier' jadaks, määrake seeria konvergents ja jada summa.

Lahendus. Määrame selle funktsiooni Fourier' koefitsiendid:

Nüüd on meil kõik selle funktsiooni Fourier-seeria saamiseks:

See jada läheneb kõigis punktides ja selle summa on võrdne antud funktsiooniga.

Lahendage Fourier' seeria probleem ise ja seejärel vaadake lahendust

Fourier seeria paaris- ja paaritu funktsioonide jaoks

Laske funktsioonil f(x) on määratletud segmendis [- π , π ] ja on ühtlane, s.t. f(- x) = f(x) . Siis selle koefitsiendid bn on võrdsed nulliga. Ja koefitsientide jaoks an Järgmised valemid on õiged:

Olgu nüüd funktsioon f(x) määratletud segmendil [- π , π ] , paaritu, s.t. f(x) = -f(- x) . Siis Fourier koefitsiendid an on võrdsed nulliga ja koefitsiendid bn määratakse valemiga

Nagu ülaltoodud valemitest näha, kui funktsioon f(x) on paaris, siis sisaldab Fourier' seeria ainult koosinusi ja kui paaritu, siis ainult siinusi.

Näide 3.

Lahendus. See on paaritu funktsioon, nii et selle Fourier' koefitsiendid on , ja leidmiseks peate arvutama kindla integraali:

See võrdsus kehtib igaühe jaoks. Punktides ei kattu teises lõigus toodud teoreemi järgi Fourier' jada summa funktsiooni väärtustega, vaid on võrdne . Väljaspool lõiku on seeria summa funktsiooni perioodiline jätk, selle graafik on toodud ülaltoodud seeria summa illustreerimiseks.

Näide 4. Laiendage funktsioon Fourier' jadaks.

Lahendus. See on paarisfunktsioon, nii et selle Fourier' koefitsiendid on , ja leidmiseks peate arvutama kindlad integraalid:

Saame selle funktsiooni Fourier' jada:

See võrdsus kehtib mis tahes, kuna punktides langeb Fourier' jada summa sel juhul kokku funktsiooni väärtustega, kuna .

Fourier' jada mis tahes ortogonaalse funktsioonisüsteemi jaoks

Funktsioonide jada pidev intervallil [ a,b], kutsus ortogonaalne funktsioonide süsteem lõigul[a,b], kui kõik jada funktsioonid on sellel lõigul paarikaupa ortogonaalsed, st kui

Süsteemi nimetatakse segmendil ortogonaalseks ja normaliseeritud (ortonormaalseks),

kui tingimus on täidetud

Las see nüüd f(x) – mis tahes funktsioon, mis on pidev intervallil [ a,b]. Fourier' lähedal selline funktsioon f(x) segmendil [ a,b] ortogonaalsüsteemi järgi rida nimetatakse:

mille koefitsiendid on määratud võrdsusega:

N=1,2,...

Kui ortogonaalne funktsioonide süsteem intervallil [ a,b] ortonormaalne, siis antud juhul

Kus n=1,2,...

Las see nüüd f(x) – mis tahes funktsioon, mis on pidev või millel on lõputu arv esimest tüüpi katkestuspunkte lõigul [ a,b]. Sellise funktsiooni Fourier' jada f(x) samas segmendis

Vastavalt ortogonaalsüsteemile nimetatakse seeriat:

Kui funktsiooni Fourier' jada f(x) süsteemi (1) kohaselt koondub funktsioonile f(x) igas selle katkestuste punktis, mis kuuluvad lõigu [ a,b]. Sel juhul nad ütlevad seda f(x) segmendil [ a,b] laiendatakse ortogonaalsüsteemis jadaks (1).

Fourier' seeria keeruline vorm

Avaldist nimetatakse funktsiooni Fourier' rea kompleksvormiks f(x), kui see on määratletud võrdsusega

, Kus

Üleminek keerulisel kujul Fourier' seerialt reaalsele kujule ja tagasi toimub järgmiste valemite abil:

(n=1,2, . . .)

Stringi vibratsiooni probleem

Olgu tasakaaluseisundis venitatud pikkusega string l otstega x= 0 ja x=l. Oletame, et string on tasakaalust välja viidud ja vibreerib vabalt. Vaatleme vertikaaltasandil esinevaid stringi väikeseid vibratsioone.

Ülaltoodud eelduste kohaselt saab näidata, et funktsioon u(x,t), mis iseloomustab stringi asukohta igal ajahetkel t, rahuldab võrrandit

(1) , kus a on positiivne arv.

Meie ülesanne on leida funktsioon u(x,t), mille graafik annab stringi kuju igal ajal t, st leida lahendus võrrandile (1) piiriga:

ja algtingimused:

Esiteks otsime võrrandile (1) lahendusi, mis vastavad piirtingimustele (2). Seda pole raske näha u(x,t) 0 on võrrandi (1) lahend, mis vastab piirtingimustele (2). Otsime lahendusi, mis ei ole identselt võrdsed 0-ga, esindatavad tootena u(x,t)=X(x)T(t), (4) , kus , .

Avaldise (4) asendamine võrrandiga (1) annab:

Millest meie ülesanne taandub võrranditele lahenduste leidmisele:

Selle tingimuse kasutamine X(0)=0, X(l)=0, tõestame, et see on negatiivne arv, uurides kõiki juhtumeid.

a) Laske siis X”=0 ja selle üldlahend kirjutatakse järgmiselt:

kust ja , mis on võimatu, kuna me kaalume lahendusi, mis ei kao identselt.

b) Laske . Seejärel võrrandi lahendamine

saame , ja allutades leiame selle

c) Kui siis

Võrranditel on juured:

Kus - suvalised konstandid. Algseisundist leiame:

kust, st.

(n=1,2,...)

(n=1,2,...).

Seda arvesse võttes võime kirjutada:

(N=1,2,...).

ning seetõttu

, (n=1,2,...),

kuid kuna A ja B on n erinevate väärtuste korral erinevad, on meil

, (n=1,2,...),

kus ja on suvalised konstandid, mida proovime määrata nii, et jada täidaks võrrandit (1), piirtingimusi (2) ja algtingimusi (3).

Niisiis, allutame funktsiooni u(x,t) algtingimustele, st valime sellised, mis on täidetud

Need võrdsused on vastavalt funktsioonide laiendused siinustes Fourier' jada segmentideks. (See tähendab, et koefitsiendid arvutatakse nagu paaritu funktsiooni puhul). Seega on antud piir- ja algtingimustega stringi võnkumise lahendus antud valemiga

(n=1,2,...)

Fourier' integraal

Piisavad tingimused funktsiooni esindamiseks Fourier' integraalis.

Selleks, et f(x) esitati Fourier' integraaliga kõigis pidevuspunktides ja regulaarsetes katkestuspunktides, piisab:

1) absoluutne integreeritavus sees

(st integraal koondub)

2) mis tahes lõplikul lõigul [- L, L] funktsioon oleks tükkhaaval sujuv

3) funktsiooni katkestuste punktides määrab selle Fourier' integraal vasak- ja parempoolsete piiride poolsumma nendes punktides ning funktsiooni enda pidevuse punktides f(x)

Funktsiooni f(x) Fourier' integraal on integraal kujul: