Vaatleme üksikasjalikumalt Ostrogradski tööd mitme integraali kohta.
Ostrogradsky valem kolmikintegraali teisendamiseks topeltintegraaliks, mille kirjutame tavaliselt kujul
kus div A on vektori A välja lahknemine,
An on vektori A skalaarkorrutis ja piirpinna välisnormaali n ühikvektor, matemaatikakirjanduses seostati seda varem sageli Gaussi ja Greeni nimedega.
Tegelikult võib Gaussi töös sferoidide külgetõmbe kohta näha ainult väga konkreetseid valemi (1) juhtumeid, näiteks P=x, Q=R=0 jne. Mis puutub J. Greeni, siis tema töö elektriteooria alal ja valemis (1) puudub magnetism; see tuletab veel ühe seose kolmik- ja topeltintegraalide vahel, nimelt Greeni valemi Laplace'i operaatori jaoks, mille saab kirjutada järgmiselt
Muidugi saame valemi (1) tuletada (2-st), eeldades
ja valemi (2) saab täpselt samamoodi valemist (1), kuid Green ei mõelnudki seda teha.
kus vasakul on integraal üle ruumala ja paremal on integraal üle piirdepinna ning need on välisnormaali suunakoosinused.
Ostrogradski Pariisi käsikirjad tunnistavad täiesti kindlalt, et nii integraalteoreemi (1) avastus kui ka esimene sõnum kuuluvad talle. Esmakordselt väideti ja tõestati seda täpselt nii nagu praegu tehakse "Integraalarvutuse teoreemi tõestuses", mis esitati Pariisi Teaduste Akadeemiale 13. veebruaril 1826, misjärel see sõnastati uuesti selles osas “Memuaarid tahkete ainete soojuse difusioonist.”, mille Ostrogradsky esitas 6. augustil 1827. “Memuaarid” anti läbivaatamiseks Fourier’le ja Poissonile ning viimane luges seda kindlasti läbi, nagu tõendab ka sissekanne esimesel. käsikirja mõlema osa leheküljed. Muidugi ei tulnud Poissonile isegi pähe mõte omistada endale teoreem, millega ta tutvus Ostrogradsky töös kaks aastat enne oma elastsusteooria töö tutvustamist.
Mis puudutab Ostrogradsky ja Greeni mitut integraali käsitlevate tööde vahelist seost, siis meenutame, et "Märkuses soojusteooriast" tuletati valem, mis hõlmab Greeni enda valemit kui väga erilist juhtumit. Nüüdseks ebatavaline Cauchy sümboolika, mida Ostrogradsky kuni viimase ajani "Märkuses" kasutas, varjas teadlaste eest seda olulist avastust. Loomulikult säilitab Greene tema nime kandva Laplace'i operaatorite valemi avastamise ja esmakordse avaldamise 1828. aastal.
Kolmikintegraali topeltintegraaliks teisendamise valemi avastamine aitas Ostrogradskil lahendada n-kordse integraali muutmise probleemi, nimelt tuletada integraali teisendamise üldvalem n-kordse lahknemise tüübi avaldisest. dimensioonidomeen ja integraal üle pinna S, mis piirab seda võrrandiga L(x,y, z,…)=0. Kui järgime eelmist tähistust, siis on valemil vorm
Ostrogradsky aga ei kasutanud geomeetrilisi kujutisi ja termineid, mida me kasutame: mitmemõõtmeliste ruumide geomeetriat sel ajal veel ei eksisteerinud.
"Memuaaris mitme integraali variatsioonide arvutamise kohta" käsitletakse veel kahte olulist küsimust selliste integraalide teoorias. Esiteks tuletab Ostrogradsky valemi muutujate muutmiseks mitmemõõtmelises integraalis; teiseks annab ta esmakordselt täieliku ja täpse kirjelduse n-kordse integraali arvutamise meetodist, kasutades n järjestikust integreerimist iga muutuja kohta sobivates piirides. Lõpuks on selles memuaaris sisalduvate valemite põhjal lihtne tuletada mitmemõõtmelise integraali parameetri eristamise üldreegel, kui sellest parameetrist ei sõltu mitte ainult integrandi funktsioon, vaid ka integratsioonipiirkonna piir. Nimetatud reegel tuleneb mälestusteraamatu valemitest nii loomulikul viisil, et hilisemad matemaatikud samastasid selle isegi selle mälestusteraamatu ühe valemiga.
Ostrogradsky pühendas erilise töö muutujate muutmisele mitmes integraalis. Topeltintegraali jaoks tuletas Euler vastava reegli formaalsete teisenduste abil, kolmikintegraali jaoks tuletas selle Lagrange. Kuigi Lagrange'i tulemus on õige, ei olnud ta arutluskäik täpne: ta näis lähtuvat sellest, et ruumalade elemendid vanades ja uutes muutujates – koordinaadid – on omavahel võrdsed. Ostrogradsky tegi alguses samasuguse vea just mainitud muutujate asendamise reegli tuletamisel. Artiklis "Muutujate teisendamine mitmes integraalis" paljastas Ostrogradsky Lagrange'i vea ja tõi esmakordselt välja ka visuaalse geomeetrilise meetodi muutujate teisendamiseks topeltintegraalis, mis on veidi rangemal kujul ka esitatud. meie käsiraamatutes. Nimelt jagatakse integraalis muutujate asendamisel valemite abil integratsioonipiirkond kahe süsteemi u=const, v=const koordinaatjoontega lõpmata väikesteks kõverjoonelisteks nelinurkadeks. Seejärel saab integraali saada, liites esmalt kokku need elemendid, mis vastavad lõpmata kitsale kõverjoonelisele ribale, ja seejärel jätkates elementide summeerimist triipudena, kuni need kõik on ammendatud. Lihtne arvutus annab pindalale, mida kuni väikeste kõrgemat järkudeni võib vaadelda rööpkülikuna, valitakse avaldis kus, nii et pindala on positiivne. Tulemuseks on tuntud valem
Vene Föderatsiooni haridus- ja teadusministeerium
Kursuse töö
Distsipliin: Kõrgem matemaatika
(Lineaarse programmeerimise alused)
Teemal: MITME INTEGRAALI
Lõpetanud: __________________
Õpetaja:___________
Kuupäev _______________________
Hinne __________________
Allkiri ________________
VORONEZH 2008
1 Mitu integraali
1.1 Topeltintegraal
1.2 Kolmekordne integraal
1.3 Mitu integraali kõverjoonelistes koordinaatides
1.4 Mitme integraali geomeetrilised ja füüsilised rakendused
2 Kõverjoonelised ja pindintegraalid
2.1 Kurviline integraalid
2.2 Pinnaintegraalid
2.3 Geomeetrilised ja füüsilised rakendused
Bibliograafia
1 Mitu integraali
1.1 Kahekordne integraal
Vaatleme Oxy tasandi suletud piirkonda D, mis on piiratud sirgega L. Jagame selle piirkonna mõne sirgega n osaks
, ja vastavad suurimad punktide vahelised kaugused nendes osades on tähistatud d 1, d 2, ..., d n. Valime igas osas punkti P i.Olgu domeenis D antud funktsioon z = f(x, y). Tähistame f(P 1), f(P 2),…, f(P n) selle funktsiooni väärtused valitud punktides ja moodustame korrutiste summa kujul f(P i)ΔS i:
, (1)
nimetatakse funktsiooni f(x, y) integraalsummaks domeenis D.
Kui integraalsummade (1) piirmäär on sama
ja , mis ei sõltu ei piirkonna D osadeks jagamise meetodist ega neis olevate punktide Pi valikust, siis nimetatakse seda funktsiooni f(x,y) topeltintegraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse
. (2)
Topeltintegraali arvutamine joontega piiratud piirkonnas D
x = a, x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:
= 
(3)
1.2 Kolmekordne integraal
Kolmikintegraali mõiste võetakse kasutusele analoogia põhjal topeltintegraaliga.
Olgu ruumis antud teatud piirkond V, mis on piiratud suletud pinnaga S. Defineerime selles suletud piirkonnas pideva funktsiooni f(x, y, z). Seejärel jagame piirkonna V suvalisteks osadeks Δv i, arvestades iga osa ruumala võrdseks Δv i-ga ja moodustame vormi integraalsumma
, (4)Piirang kell
integraalsummasid (11), mis ei sõltu domeeni V jaotamise meetodist ja punktide Pi valikust selle domeeni igas alamdomeenis, nimetatakse funktsiooni f(x, y, z) kolmikintegraaliks üle domeeni V:
. (5)
Funktsiooni f(x,y,z) kolmikintegraal piirkonnas V on võrdne sama piirkonna kolmikintegraaliga:
. (6)
1.3 Mitu integraali kõverjoonelistes koordinaatides
Tutvustame tasapinnal kõverjoonelisi koordinaate, mida nimetatakse polaarseteks. Valime punkt O (poolus) ja sellest lähtuv kiir (polaartelg).
Riis. 2 Joon. 3
Punkti M koordinaadid (joonis 2) on lõigu MO pikkus – polaarraadius ρ ning nurk φ MO ja polaartelje vahel: M(ρ,φ). Pange tähele, et tasandi kõigi punktide puhul, välja arvatud poolus, loetakse ρ > 0 ja polaarnurka φ positiivseks, kui mõõdetakse vastupäeva, ja negatiivseks, kui mõõdetakse vastupidises suunas.
Suhet punkti M polaar- ja ristkoordinaatide vahel saab seada, kui joondada Descartes'i koordinaatide süsteemi alguspunkt poolusega ja positiivne pooltelg Ox polaarteljega (joonis 3). Siis x=ρcosφ, y=ρsinφ. Siit
, tg. Määratleme kõveratega ρ=Φ 1 (φ) ja ρ=Φ 2 (φ) piiratud piirkonnas D, kus φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).
(7)
Kolmemõõtmelises ruumis võetakse kasutusele silindrilised ja sfäärilised koordinaadid.
Punkti P(ρ,φ,z) silindrilised koordinaadid on selle punkti Oxy-tasandile projektsiooni polaarkoordinaadid ρ, φ ja selle punkti z rakendus (joonis 5).
Joon.5 Joon.6
Silindrilistelt koordinaatidelt ristkoordinaatidele ülemineku valemeid saab määrata järgmiselt:
x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)
Sfäärilistes koordinaatides määrab punkti asukoha ruumis lineaarkoordinaat r - kaugus punktist Descartes'i koordinaatsüsteemi alguspunktini (või sfäärilise süsteemi pooluseni), φ - polaarnurk positiivse vahel. pooltelg Ox ja punkti projektsioon Ox tasapinnale ning θ - telje Oz positiivse pooltelje ja segmendi OP vaheline nurk (joon. 6). Kus
Määrame sfäärilistest koordinaatidest ristkoordinaatidele ülemineku valemid:
x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)
Siis näevad kolmikintegraali silindrilistele või sfäärilistele koordinaatidele ülemineku valemid välja järgmised:
, (10)
kus F 1 ja F 2 on funktsioonid, mis saadakse nende avaldiste asendamisel silindriliste (8) või sfääriliste (9) koordinaatide kaudu funktsiooniga f, mitte x, y, z.
1.4 Mitme integraali geomeetrilised ja füüsilised rakendused
1) Tasase piirkonna S pindala:
(11)Näide 1.
Leidke joonise D ala, mis on piiratud joontega
Seda pindala on mugav arvutada, lugedes välismuutujaks y. Siis on võrrandite abil antud piirkonna piirid
Ja 
arvutatakse osade kaupa integreerimise abil: 
Eelnevalt tõestasime kindla integraali omadused, kasutades selle definitsiooni summade piirina. Täpselt samamoodi saab tõestada mitme integraali põhiomadusi. Lihtsuse huvides loeme kõik funktsioonid pidevateks, seega on nende integraalidel kindlasti mõte.
I. Konstantse teguri saab integraalimärgist välja võtta ja funktsioonide lõpliku summa integraal on võrdne terminite integraalide summaga:
II. Kui piirkond jaotatakse lõplikuks arvuks osadeks [näiteks kaheks osaks, siis on kogu piirkonna integraal võrdne kõigi osade integraalide summaga:
III. Kui piirkonnas, siis
Eriti :
IV. Kui piirkonna (a) märk säilib, kehtib valemiga väljendatud keskmise väärtuse teoreem
kus asub mingi punkt piirkonnas (a).
Eelkõige siis, kui saame
kus on piirkonna pindala.
Sarnased omadused kehtivad ka kolmikintegraali puhul. Pange tähele, et kahe- ja kolmikintegraali defineerimisel summa piiriks eeldatakse alati, et integratsioonipiirkond on lõplik ja integrandi funktsioon on igal juhul piiratud, see tähendab, et on olemas positiivne arv A, mis üldse integratsioonipiirkonna punktid N. Kui need tingimused ei ole täidetud, võib integraal eksisteerida ebaõige integraalina samamoodi nagu lihtsa kindla integraali puhul. Käsitleme valesid mitut integraali paragrahvis 8.
Ettevaatust. Kui arvutate integreerimisintervalli ainsuse punktidega valesid integraale, ei saa te Newtoni-Leibnizi valemit mehaaniliselt rakendada, kuna see võib põhjustada vigu.
Üldreegel: Newtoni-Leibnizi valem on õige, kui antiderivaat f(x) viimase ainsuse punktis on pidev.
Näide 2.11.
Vaatleme ebaõiget integraali ainsuse punktiga x = 0. Formaalselt rakendatud Newtoni-Leibnizi valem annab
Üldreegel siin aga ei kehti; kui f(x) = 1/x antiderivaat ln |x| ei ole defineeritud x = 0 juures ja on selles punktis lõpmatult suur, st. ei ole praegusel hetkel pidev. Integraali lahknemist on lihtne otsekontrolliga kontrollida. Tõesti,
Sellest tulenevat määramatust saab paljastada erineval viisil, kuna e ja d kipuvad nullima sõltumatult. Täpsemalt, seades e = d saame vale integraali põhiväärtuse, mis on võrdne 0-ga. Kui e = 1/n ja d =1/n 2, s.o. d kipub olema 0 kiiremini kui e, siis saame
millal ja vastupidi,
need. integraal lahkneb.n
Näide 2.12.
Vaatleme ebaõiget integraali ainsuse punktiga x = 0. Funktsiooni antituletisel on kuju ja see on pidev punktis x = 0. Seetõttu saame rakendada Newtoni–Leibnizi valemit:
Määratletud Riemanni integraali mõiste loomulik üldistus mitme muutuja funktsiooni korral on mitmekordse integraali mõiste. Kahe muutuja puhul nimetatakse selliseid integraale kahekordne.
Vaatleme kahemõõtmelises eukleidilises ruumis R´R, st. tasapinnal Descartes'i koordinaatsüsteemiga hulk E lõplik ala S.
Tähistame ( i = 1, …, k) seadke partitsioon E, st. selline selle alamhulkade süsteem E i, i = 1,. . ., k, et Ø i ¹ j ja (joonis 2.5). Siin tähistame alamhulka E i ilma selle piirita, st. alamhulga E i sisepunktid, mis koos selle piiriga Gr E ma moodustan suletud alamhulga E mina, . On selge, et ala S(E i) alamhulgad E i langeb kokku selle sisepinna pindalaga, kuna piiri pindala GrE i on võrdne nulliga.
Tähistagu d(E i). seatud läbimõõt E i, st. maksimaalne vahemaa selle kahe punkti vahel. Kutsutakse välja suurus l(t) = d(E i). vaheseina peenus t. Kui funktsioon f(x),x = (x, y), on defineeritud E-s kahe argumendi funktsioonina, siis vormi mis tahes summa
X i О E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i , y i),
olenevalt nii funktsioonist f ja partitsioonist t kui ka punktide x i О E i М t valikust, nimetatakse funktsiooni f integraalsumma .
Kui funktsiooni f jaoks on olemas väärtus, mis ei sõltu ei partitsioonidest t ega punktide valikust (i = 1, ..., k), siis nimetatakse seda piiri topelt Riemanni integraal alates f(x,y) ja on tähistatud
Sel juhul kutsutakse välja funktsioon f ise Riemanni integreeritav.
Tuletame meelde, et ühe argumendi kui hulga funktsiooni korral E, mille üle integreerimine toimub, võetakse tavaliselt segment , ja selle partitsiooni t peetakse segmentidest koosnevaks partitsiooniks. Muus osas, nagu on hästi näha, kordab Riemanni topeltintegraali definitsioon ühe argumendi funktsiooni jaoks kindla Riemanni integraali definitsiooni.
Kahe muutuja piiratud funktsioonide topelt-Riemanni integraalil on kindla integraali tavalised omadused ühe argumendi funktsioonide jaoks – lineaarsus, liitivus komplektide osas, mille kaudu integreerimine toimub, säilitamine integreerimisel mitte range ebavõrdsus, toote integreeritavus integreeritavad funktsioonid jne.
Mitme Riemanni integraali arvutamine taandub arvutuseks itereeritud integraalid. Vaatleme Riemanni topeltintegraali juhtumit. Laske funktsioonil f(x,y) on defineeritud hulgal E, mis asub hulkade X ´ Y, E М X ´ Y Descartes'i korrutis.
Korduva integraali abil funktsiooni f(x, y) nimetatakse integraaliks, milles integreerimine toimub järjestikku üle erinevate muutujate, st. vormi integraal
Määra E(y) = (x:
Itereeritud integraali puhul kasutatakse ka järgmist tähistust:
mis, nagu ka eelmine, tähendab, et esiteks fikseeritud y, y О E y , funktsioon on integreeritud f(x, y) Kõrval x piki segmenti E(y), mis on komplekti osa E sellele vastav y. Selle tulemusena määratleb sisemine integraal ühe muutuja mõne funktsiooni - y. See funktsioon integreeritakse seejärel ühe muutuja funktsioonina, mida näitab väline integraalsümbol.
Integreerimise järjekorra muutmine annab vormi itereeritud integraali
kus sisemine integreerimine viiakse läbi y, ja väline - poolt x. Kuidas on see itereeritud integraal seotud ülalmääratletud itereeritud integraaliga?
Kui funktsioonil on topeltintegraal f, st.
siis eksisteerivad mõlemad korduvad integraalid ja need on suuruselt identsed ja võrdsed kahekordsega, s.t.
Rõhutame, et selles avalduses sõnastatud tingimus integratsiooni järjekorra muutmise võimalusele itereeritud integraalides on ainult piisav, kuid mitte vajalik.
Muud piisavad tingimused itereeritud integraalide integreerimise järjekorra muutmise võimalused on sõnastatud järgmiselt:
kui vähemalt üks integraalidest on olemas
siis funktsioon f(x, y) Riemann integreeritav võtteplatsil E, on selle mõlemad korduvad integraalid olemas ja on võrdsed topeltintegraaliga. n
Täpsustame projektsioonide ja lõikude tähistust itereeritud integraalide tähistuses.
Kui hulk E on ristkülik
See E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); kus E(y) = E x iga y, y О E y korral. , A E(x) = Ey mis tahes x jaoks , x О E x ..
Ametlik sissekanne: " y y О E yÞ E(y) = NtÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey
Kui hulgal E on kumer ääris ja võimaldab esitusi
Sel juhul kirjutatakse korduvad integraalid järgmiselt:
Näide 2.13.
Arvutage ristkülikukujulise ala topeltintegraal, vähendades seda iteratiivseks.
Kuna tingimus sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, seejärel kontrollitakse topeltintegraali I olemasolu piisavate tingimuste täitmist mis tahes korduva integraali olemasolu kujul
seda pole vaja spetsiaalselt läbi viia ja saate kohe jätkata korduva integraali arvutamist
Kui see on olemas, siis on olemas ka topeltintegraal ja I = I 1 . Kuna
Seega I = .n
Näide 2.14.
Arvutage kolmnurkse piirkonna topeltintegraal (vt joonis 2.6), vähendades seda korduvaks
Gr(E) = (
Esmalt kontrollime topeltintegraali I olemasolu. Selleks piisab korduva integraali olemasolu kontrollimisest.
need. integrandid on integreerimise intervallidel pidevad, kuna need kõik on võimsusfunktsioonid. Seetõttu on integraal I 1 olemas. Sel juhul eksisteerib ka topeltintegraal ja on võrdne mis tahes korduvaga, s.t.
Näide 2.15.
Topelt- ja itereeritud integraalide mõistete seose paremaks mõistmiseks vaatleme järgmist näidet, mille võib esimesel lugemisel ära jätta. Antakse kahe muutuja f(x, y) funktsioon
Pange tähele, et fikseeritud x puhul on see funktsioon y-s paaritu ja fikseeritud y puhul paaritu x-is. Hulgana E, mille üle see funktsioon on integreeritud, võtame ruudu E = (
Kõigepealt käsitleme itereeritud integraali
Sisemine integraal
on võetud fikseeritud y jaoks, -1 £ y £ 1. Kuna fikseeritud y integrand on x-is paaritu ja selle muutuja üle integreerimine toimub lõigu [-1, 1] üle, mis on punkti 0 suhtes sümmeetriline, siis sisemine integraal on võrdne 0-ga. Ilmselgelt on nullfunktsiooni muutuja y kohal olev välimine integraal samuti võrdne 0-ga, s.t.
Sarnased põhjendused teise itereeritud integraali kohta annavad sama tulemuse:
Seega on vaadeldava funktsiooni f(x, y) jaoks korduvad integraalid olemas ja need on üksteisega võrdsed. Funktsiooni f(x, y) topeltintegraali aga pole. Selle nägemiseks pöördugem korduvate integraalide arvutamise geomeetrilise tähenduse poole.
Itereeritud integraali arvutamiseks
kasutatakse ruudu E eritüüpi vaheseina, samuti integraalsummade spetsiaalset arvutamist. Nimelt on ruut E jagatud horisontaalseteks triipudeks (vt joonis 2.7), iga riba aga väikesteks ristkülikuteks. Iga riba vastab muutuja y teatud väärtusele; näiteks võib see olla riba horisontaaltelje ordinaat.
Integraalsummade arvutamine toimub järgmiselt: esiteks arvutatakse summad iga riba kohta eraldi, s.o. fikseeritud y juures erinevate x-ide jaoks ja siis need vahesummad summeeritakse erinevate ribade jaoks, st. erinevate y jaoks. Kui partitsiooni peenus kipub nulli, siis piirväärtuses saame ülalmainitud korduva integraali.
On selge, et teise itereeritud integraali puhul
hulk E on jagatud vertikaalseteks triipudeks, mis vastavad erinevatele x-dele. Vahesummad arvutatakse iga riba sees väikeste ristkülikutena, s.t. piki y-d ja seejärel summeeritakse need erinevate ribade kohta, st. x poolt. Piirväärtuses, kui partitsiooni peenus kipub olema null, saame vastava itereeritud integraali.
Tõestamaks, et topeltintegraali ei eksisteeri, piisab, kui tuua üks näide partitsioonist, mille integraalisummade arvutamine piiris, mil partitsiooni peenus kipub nulli, annab väärtusest erineva tulemuse. korduvatest integraalidest. Toome sellise polaarkoordinaatide süsteemile (r, j) vastava jaotuse näite (vt joonis 2.8).
Polaarkoordinaatide süsteemis määratakse raadiuse pikkusega r 0 mis tahes punkti asukoht tasapinnal M 0 (x 0, y 0), kus x 0, y 0 on punkti M 0 ristkoordinaadid. ühendades selle algpunktiga ja selle raadiusega moodustatud nurga j 0 positiivse x-telje suunaga (nurka loetakse vastupäeva). Seos Descartes'i ja polaarkoordinaatide vahel on ilmne:
y 0 = r 0 × sinj 0 .
| |
Sektsioon on ehitatud järgmiselt. Esiteks jagatakse ruut E sektoriteks, mille raadiused lähtuvad koordinaatide keskpunktist, ja seejärel jagatakse iga sektor sektori teljega risti olevate joontega väikesteks trapetsideks. Integraalsummade arvutamine toimub järgmiselt: kõigepealt mööda väikeseid trapetse igas sektoris piki selle telge (piki r) ja seejärel kõigis sektorites (piki j). Iga sektori asukohta iseloomustab selle telje j nurk ja selle telje pikkus r(j) sõltub sellest nurgast:
kui või , siis ;
kui siis ;
kui siis
kui siis .
Minnes polaarsektsiooni integraalsummade piirini, kui partitsiooni peenus kipub olema null, saame topeltintegraali esituse polaarkoordinaatides. Sellise tähise saab ka puhtformaalselt, asendades ristkoordinaadid (x, y) polaarsetega (r, j).
Descartes'i koordinaatidelt polaarkoordinaatidele integraalide ülemineku reeglite kohaselt tuleks definitsiooni järgi kirjutada:
Polaarkoordinaatides kirjutatakse funktsioon f(x, y) järgmiselt:
Lõpuks ometi oleme
Sisemine integraal (vale) viimases valemis
kus ülal on näidatud funktsioon r(j), 0 £ j £ 2p võrdub +¥ mis tahes j korral, sest
Seetõttu ei ole j üle hinnatud välise integraali integrand ühegi j jaoks defineeritud. Aga siis ei ole väline integraal ise defineeritud, s.t. algne topeltintegraal ei ole defineeritud.
Pange tähele, et funktsioon f(x, y) ei täida piisavat tingimust topeltintegraali olemasoluks üle hulga E. Näitame, et integraal
ei eksisteeri. Tõesti,
Samamoodi määratakse integraali jaoks sama tulemus
Topeltintegraali mõiste
Topeltintegraal (DI) on ühe muutuja funktsiooni kindla integraali (DI) üldistus kahe muutuja funktsiooni korral.
Olgu defineeritud pidev mittenegatiivne funktsioon $z=f\left(x,y\right)$ suletud domeenis $D$, mis asub koordinaattasandil $xOy$. Funktsioon $z=f\left(x,y\right)$ kirjeldab pinda, mis projitseeritakse piirkonda $D$. Piirkond $D$ on piiratud suletud joonega $L$, mille piiripunktid kuuluvad samuti piirkonda $D$. Eeldame, et sirge $L$ moodustab lõplik arv pidevaid kõveraid, mis on antud võrranditega kujul $y=\vartheta \left(x\right)$ või $x=\psi \left(y\right)$ .
Jagame piirkonna $D$ piirkonna $\Delta S_(i) $ suvalisteks osadeks $n$. Igas jaotises valime ühe suvalise punkti $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Igas punktis arvutame antud funktsiooni $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$ väärtuse. Vaatleme ruumala selle pinnaosa $z=f\left(x,y\right)$ all, mis projitseeritakse alale $\Delta S_(i) $. Geomeetriliselt saab seda mahtu ligikaudu esitada silindri ruumalana, mille alus on $\Delta S_(i) $ ja kõrgus $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$ , st võrdne korrutisega $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Siis saab ruumala kogu pinna all $z=f\left(x,y\right)$ piirkonnas $D$ ligikaudu arvutada kõigi silindrite mahtude summana $\sigma =\sum \limits _( i=1)^(n )f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Seda summat nimetatakse funktsiooni $f\left(x,y\right)$ integraalsummaks domeenis $D$.
Nimetagem lõigu $\Delta S_(i) $ läbimõõtu $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ suurimaks vahemaaks selle lõigu äärmiste punktide vahel. Olgu $\lambda $ piirkonna $D$ kõigi sektsioonide läbimõõtude suurim. Laske $\lambda \kuni 0$ domeeni $D$ partitsioonide piiramatu täiustamise tõttu $n\to \infty $.
Definitsioon
Kui integraalsummal $I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $ on limiit, siis nimetatakse seda arvu funktsiooni $f\left(x,y\ CI-ks right)$ üle domeeni $D $ ja tähistage $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ või $I=\iint \limits _(D)f\ left(x,y\right) \cdot dx\cdot dy $.
Sel juhul nimetatakse piirkonda $D$ integratsioonipiirkonnaks, $x$ ja $y$ on integratsioonimuutujad ning $dS=dx\cdot dy$ on ala element.
Definitsioonist tuleneb DI geomeetriline tähendus: see annab teatud kõverjoonelise silindri ruumala täpse väärtuse.
Topeltintegraalide rakendamine
Keha maht
Vastavalt DI geomeetrilisele tähendusele on mõne keha ruumala $V$, mis on ülalt piiratud pinnaga $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, allpool tasandiga $D$. $xOy$, mille külgedel on silindriline pind , mille generaatorid on paralleelsed $Oz$ teljega ja juhiks on piirkonna $D$ kontuur (joon $L$), arvutatakse valemiga $ V=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Keha piirab pinda $z=f_(2) \left(x,y\right)$ ülalt ja pinda $z=f_(1) \left(x,y\right)$ altpoolt ja $f_( 2) \left(x,y\right)\ge f_(1) \left(x,y\right)$. Mõlema pinna projektsioon tasapinnale $xOy$ on sama piirkond $D$. Seejärel arvutatakse sellise keha maht valemiga $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y \right)\right )\cdot dx\cdot dy $.
Oletame, et domeenis $D$ muudab funktsioon $f\left(x,y\right)$ märki. Seejärel tuleb vastava keha mahu arvutamiseks jagada piirkond $D$ kaheks osaks: osaks $D_(1) $, kus $f\left(x,y\right)\ge 0$ ja osaks $D_(2) $, kus $f\left(x,y\right)\le 0$. Sel juhul on piirkonna $D_(1) $ integraal positiivne ja võrdne selle kehaosa mahuga, mis asub tasandist $xOy$ kõrgemal. Piirkonna $D_(2) $ integraal on negatiivne ja absoluutväärtuses võrdne selle kehaosa mahuga, mis asub tasandist $xOy$ allpool.
Lameda figuuri pindala
Kui paneme $f\left(x,y\right)\equiv 1$ koordinaattasandil $xOy$ piirkonnas $D$ kõikjale, siis on CI arvuliselt võrdne integratsioonipiirkonna $D pindalaga. $, see tähendab, $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. Polaarkoordinaatide süsteemis on sama valem kujul $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $.
Suvalise pinna pindala
Projitseeritakse mingi pind $Q$, mis on antud võrrandiga $z=f_(1) \left(x,y\right)$, koordinaattasandile $xOy$ domeeni $D_(1)$. Sel juhul saab pindala $Q$ arvutada valemiga $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) \right)^ (2) +\left(\frac(\partial z)(\partial y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.
Aine kogus
Oletame, et piirkonnas $D$ on mingi aine pinnatihedusega $\rho \left(x,y\right)$ jaotunud tasandil $xOy$. See tähendab, et pinnatihedus $\rho \left(x,y\right)$ on aine mass $D$ piirkonna elementaarala $dx\cdot dy$ kohta. Nendel tingimustel saab aine kogumassi arvutada valemiga $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Pange tähele, et "aine" võib olla elektrilaeng, soojus jne.
Lameda kujundi massikeskme koordinaadid
Tasakujulise kujundi massikeskme koordinaatväärtuste arvutamise valemid on järgmised: $ $$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x) ,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $.
Lugejates olevaid suurusi nimetatakse vastavalt telgede $Oy$ ja $Ox$ tasapinnalise kujundi $D$ staatilisteks momentideks $M_(y) $ ja $M_(x) $.
Kui lamekuju on homogeenne, st $\rho =const$, siis neid valemeid lihtsustatakse ja neid ei väljendata massi, vaid lamekuju $S$ ala kaudu: $x_(c) = \frac(\iint \limits _(D )x\cdot dx\cdot dy )(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy )( S) $.
Tasapinnalise kujundi pindala inertsmomendid
Vaatleme materjali tasapinnalist kujundit tasapinnal $xOy$. Kujutagem seda ette teatud piirkonnana $D$, mille peale jaotub muutuva pinnatihedusega $\rho \left(x,y\right)$ aine kogumassiga $M$.
Lameda kujundi pindala inertsmomendi väärtus $Oy$ telje suhtes: $I_(y) \; =\; \iint \limits _(D)x^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. Inertsmomendi väärtus $Ox$ telje suhtes: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot\; dx\; \cdot dy $. Tasapinnalise kujundi inertsimoment alguspunkti suhtes on võrdne inertsmomentide summaga koordinaattelgede suhtes, see tähendab $I_(O) =I_(x) +I_(y) $.
Kolme muutuja funktsioonide jaoks võetakse kasutusele kolmikintegraalid.
Oletame, et antud ruumilise ruumi teatud piirkond $V$, mis on piiratud suletud pinnaga $S$. Eeldame, et pinnal asuvad punktid kuuluvad samuti piirkonda $V$. Oletame, et domeenis $V$ on antud mingi pidev funktsioon $f\left(x,y,z\right)$. Näiteks võib selline funktsioon, tingimusel, et $f\left(x,y,z\right)\ge 0$, olla mõne aine mahulise jaotuse tihedus, temperatuurijaotus jne.
Jagame piirkonna $V$ suvalisteks osadeks $n$, mille mahud on $\Delta V_(i) $. Igas osas valime ühe suvalise punkti $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. Igas punktis arvutame antud funktsiooni $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$ väärtuse.
Moodustame integraalsumma $\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot \Delta V_ (i) $ ja me täpsustame määramatult $\left(n\to \infty \right)$ piirkonna $V$ jaotust nii, et kõigi osade $\Delta läbimõõt oleks suurim $\lambda $ V_(i) $ väheneb määramata ajaks $ \left(\lambda \to 0\right)$.
Definitsioon
Ülaltoodud tingimustel on selle integraalsumma limiit $I$ olemas, seda nimetatakse funktsiooni $f\left(x,y,z\right)$ kolmikintegraaliks domeeni $V$ kohal ja tähistatakse $I\ ; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\; \cdot dV $ või $I\; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz$.
