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03.07.202327.05.2017

Die reelle Funktion soll die Dirichlet-Bedingungen für das Intervall erfüllen – L, L. Wir schreiben seine Entwicklung in der trigonometrischen Fourier-Reihe:

Wenn wir in (10.1) und durch die Exponentialfunktion des imaginären Arguments ausdrücken:

dann bekommen wir die Serie

wo wegen (10.2)

Die letzten drei Formeln können kombiniert werden:

Die Reihe (10.3) mit den Koeffizienten (10.4) heißt in komplexer Form trigonometrische Fourier-Reihe.

Beispiel 1 Erweitern Sie die Funktion, bei der es sich um eine komplexe Zahl handelt, in eine Fourier-Reihe im Intervall.

Lösung . Finden Sie die Fourier-Koeffizienten:

Seit damals

Die erforderliche Zerlegung hat die Form

wo es berücksichtigt wird

Anwendung auf die Reihe (10.5) Parsevals Gleichheit

Sie können die Summe einer anderen Zahlenreihe ermitteln. In unserem Fall tatsächlich

Dann folgt aus (10.6).

Übung 1. Beweisen Sie das

Indikation. Setzen Sie (10.5) ein X= 0 und X = .

Übung 2. Beweisen Sie das für

Fourier-Integral

Konvergenz des Fourier-Integrals

Die Funktion sei auf der gesamten reellen Achse definiert. Unter der Annahme, dass auf einem beliebigen endlichen Intervall - L, L die gegebene Funktion die Dirichlet-Bedingungen erfüllt, stellen wir sie als trigonometrische Fourier-Reihe in komplexer Form dar:

Frequenz k-te Harmonische; .

Wenn wir die Ausdrücke (11.2) in (11.1) eingeben, erhalten wir

Wenn der Wert. Die rechte Seite der Formel (11.3) ähnelt der Integralsumme für eine Funktion bezüglich einer Variablen im Intervall. Daher können wir erwarten, dass wir nach der Übergabe von (11.3) an den Grenzwert bei anstelle der Reihe das Integral erhalten

Die Formel (11.4) heißt Fourier-Integralformel und ihre rechte Seite heißt Fourier-Integral.

Die Argumentation, mit der Formel (11.4) erhalten wird, ist nicht streng und hat nur suggestiven Charakter. Die Bedingungen, unter denen die Fourier-Integralformel gültig ist, werden durch den Satz festgelegt, den wir ohne Beweis akzeptieren.

Satz. Die Funktion soll zunächst im Intervall absolut integrierbar sein, d.h. Das Integral konvergiert und erfüllt zweitens die Dirichlet-Bedingungen für jedes endliche Intervall (- L, L). Dann konvergiert das Fourier-Integral (im Sinne des Hauptwerts) überall gegen, d. h. Gleichheit (11.4) gilt für alle X aus dem Intervall. Hier wird wie zuvor angenommen, dass der Wert der Funktion an der Unstetigkeitsstelle gleich der halben Summe ihrer einseitigen Grenzen an dieser Stelle ist.

Fourier-Transformation

Wir transformieren die Fourier-Integralformel (11.4) wie folgt. Lasst uns

Wenn eine Funktion auf der gesamten Achse stetig und absolut integrierbar ist, dann ist die Funktion auf dem Intervall stetig. Tatsächlich, seitdem

Und da das Integral auf der rechten Seite konvergiert, konvergiert auch das Integral auf der linken Seite. daher konvergiert das Integral in (12.1) absolut. Gleichheit (12.2) gilt gleichzeitig für alle, daher konvergiert Integral (12.1) gleichmäßig bezüglich. Daraus folgt, dass die Funktion stetig ist (so wie die gleichmäßige Konvergenz einer Reihe aus stetigen Funktionen die Stetigkeit ihrer Summe impliziert).

Aus (11.4) erhalten wir

Die durch Formel (12.1) definierte komplexe Funktion wird Fourier-Transformation oder Fourier-Transformation der Funktion genannt. Die Formel (12.3) definiert wiederum die inverse Fourier-Transformation oder das inverse Bild der Funktion. Gleichheit (12.3) für eine gegebene Funktion kann als Integralgleichung bezüglich der Funktion betrachtet werden, deren Lösung durch Formel (12.1) gegeben ist. Und umgekehrt ist die Lösung der Integralgleichung (12.1) bezüglich der Funktion für eine gegebene durch Formel (12.3) gegeben.

In Formel (12.3) spezifiziert der Ausdruck bedingt gesehen ein Paket komplexer Harmonischer mit kontinuierlich über die Lücke verteilten Frequenzen und einer komplexen Gesamtamplitude. Die Funktion wird Spektraldichte genannt. Formel (12.2), geschrieben als

kann als Entwicklung einer Funktion in die Summe von Harmonischenpaketen interpretiert werden, deren Frequenzen ein kontinuierliches, über das Intervall verteiltes Spektrum bilden.

Parseval-Gleichheiten. Seien und die Fourier-Bilder realer Funktionen bzw. Dann

diese. Innere Produkte und Funktionsnormen sind Invarianten der Fourier-Transformation. Beweisen wir diese Aussage. Nach Definition des Skalarprodukts gilt: Ersetzen wir die Funktion durch ihren Ausdruck (12.3) im Sinne der Fourier-Transformation, erhalten wir

Wegen (12.1)

Daher, d.h. Formel (12.4) ist bewiesen. Formel (12.5) ergibt sich aus (12.4) bei.

Kosinus- und Sinus-Fourier-Transformationen. Wenn eine reelle Funktion gerade ist, dann ist ihre Fourier-Transformation, die wir hier bezeichnen, auch eine reelle gerade Funktion. Wirklich,

Das letzte Integral verschwindet aufgrund der Seltsamkeit des Integranden. Auf diese Weise,

Hier wird die Eigenschaft (7.1) gerader Funktionen verwendet.

Aus (12.6) folgt, dass die Funktion reell ist und gleichmäßig davon abhängt, da sie nur über den Kosinus in (12.6) eintritt.

Formel (12.3) der inversen Fourier-Transformation ergibt in diesem Fall

Da und jeweils gerade und ungerade Funktionen einer Variablen sind

Die Formeln (12.6) und (12.7) definieren die Fourier-Cosinus-Transformation.

Wenn eine reelle Funktion ungerade ist, dann ist ihre Fourier-Transformation ebenfalls eine reelle ungerade Funktion. Dabei

Die Gleichungen (12.8), (12.9) definieren die Sinus-Fourier-Transformation.

Beachten Sie, dass die Formeln (12.6) und (12.8) die Werte der Funktion nur für enthalten. Daher können die Kosinus- und Sinus-Fourier-Transformationen auch auf eine Funktion angewendet werden, die auf einem halbunendlichen Intervall definiert ist. In diesem Fall konvergieren für die Integrale in den Formeln (12.7) und (12.9) gegen die gegebene Funktion und für gegen ihre geraden bzw. ungeraden Erweiterungen.

Die haben es schon ziemlich satt. Und ich habe das Gefühl, dass der Moment gekommen ist, in dem es an der Zeit ist, aus den strategischen Reserven der Theorie neue Konserven zu holen. Ist es möglich, die Funktion auf andere Weise zu einer Serie zu erweitern? Um beispielsweise ein gerades Liniensegment durch Sinus und Cosinus auszudrücken? Es scheint unglaublich, aber solche scheinbar weit entfernten Funktionen bieten sich an
"Wiedervereinigung". Neben den bekannten Abschlüssen in Theorie und Praxis gibt es noch weitere Ansätze, eine Funktion zu einer Reihe zu erweitern.

In dieser Lektion machen wir uns mit der trigonometrischen Fourier-Reihe vertraut, gehen auf die Frage ihrer Konvergenz und Summe ein und analysieren natürlich zahlreiche Beispiele für die Erweiterung von Funktionen zu einer Fourier-Reihe. Eigentlich wollte ich den Artikel „Fourierreihen für Dummies“ nennen, aber das wäre gerissen, da die Lösung von Problemen Kenntnisse in anderen Bereichen der mathematischen Analyse und etwas praktische Erfahrung erfordert. Daher wird die Präambel der Ausbildung von Astronauten ähneln =)

Zunächst sollte das Studium der Seitenmaterialien in hervorragender Form angegangen werden. Schläfrig, ausgeruht und nüchtern. Ohne starke Emotionen über die gebrochene Pfote eines Hamsters und zwanghafte Gedanken über die Strapazen des Lebens von Aquarienfischen. Die Fourier-Reihe ist vom Verständnis her nicht schwierig, praktische Aufgaben erfordern jedoch lediglich eine erhöhte Konzentration der Aufmerksamkeit – idealerweise sollte man komplett auf äußere Reize verzichten. Erschwerend kommt hinzu, dass es keine einfache Möglichkeit gibt, die Lösung und die Antwort zu überprüfen. Wenn Ihr Gesundheitszustand also unterdurchschnittlich ist, ist es besser, etwas Einfacheres zu tun. Ist es wahr.

Zweitens ist es vor dem Flug ins All notwendig, die Instrumententafel des Raumfahrzeugs zu studieren. Beginnen wir mit den Werten der Funktionen, die auf der Maschine angeklickt werden sollen:

Für jeden natürlichen Wert:

1) . Und tatsächlich „blitzt“ die Sinuskurve die x-Achse durch jedes „pi“:
. Bei negativen Werten des Arguments ist das Ergebnis natürlich dasselbe: .

2). Aber nicht jeder wusste das. Der Kosinus „pi en“ entspricht einem „Blinklicht“:

Ein negatives Argument ändert nichts am Fall: .

Vielleicht genug.

Und drittens, liebes Kosmonautenkorps, Sie müssen in der Lage sein ... integrieren.
Insbesondere sicher Bringen Sie eine Funktion unter ein Differentialvorzeichen, nach Teilen integrieren und ein gutes Verhältnis zueinander haben Newton-Leibniz-Formel. Beginnen wir mit den wichtigen Übungen vor dem Flug. Ich empfehle dringend, es nicht auszulassen, damit Sie später nicht in der Schwerelosigkeit platt werden:

Beispiel 1

Berechnen Sie bestimmte Integrale

Woher kommen natürliche Werte?

Lösung: Die Integration erfolgt über die Variable „x“ und in diesem Stadium wird die diskrete Variable „en“ als Konstante betrachtet. In allen Integralen Bringen Sie die Funktion unter das Vorzeichen des Differentials:

Eine kurze Version der Lösung, die sich gut zum Anfassen eignet, sieht so aus:

Sich an etwas gewöhnen:

Die vier verbleibenden Punkte sind für sich allein. Versuchen Sie, die Aufgabe gewissenhaft anzugehen und die Integrale kurz zu ordnen. Beispiellösungen am Ende der Lektion.

Nach einer QUALITÄTS-Übung zogen wir Raumanzüge an
und bereit zum Start!

Entwicklung einer Funktion in einer Fourier-Reihe auf dem Intervall

Betrachten wir eine Funktion, die bestimmt zumindest auf dem Intervall (und möglicherweise auf einem größeren Intervall). Wenn diese Funktion auf der Strecke integrierbar ist, kann sie zu einer trigonometrischen Funktion entwickelt werden die Fourierreihe:
, wo sind die sogenannten Fourier-Koeffizienten.

In diesem Fall wird die Nummer angerufen Zersetzungszeitraum, und die Zahl ist Halbwertszeitzersetzung.

Offensichtlich besteht die Fourier-Reihe im allgemeinen Fall aus Sinus und Cosinus:

Schreiben wir es im Detail:

Der Nullterm der Reihe wird normalerweise als geschrieben.

Fourier-Koeffizienten werden nach folgenden Formeln berechnet:

Ich verstehe vollkommen, dass neue Begriffe für Anfänger, die sich mit dem Thema befassen, immer noch unklar sind: Zersetzungszeitraum, halber Zyklus, Fourier-Koeffizienten und andere. Keine Panik, es ist nicht vergleichbar mit der Aufregung vor einem Weltraumspaziergang. Lassen Sie uns alles im nächsten Beispiel herausfinden, bevor wir es ausführen. Es ist logisch, dringende praktische Fragen zu stellen:

Was müssen Sie bei den folgenden Aufgaben tun?

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe. Darüber hinaus ist es oft erforderlich, einen Graphen einer Funktion, einen Graphen der Summe einer Reihe, eine Teilsumme zu zeichnen und im Falle anspruchsvoller Professorenphantasien etwas anderes zu tun.

Wie erweitert man eine Funktion in eine Fourier-Reihe?

Im Wesentlichen müssen Sie finden Fourier-Koeffizienten, das heißt, komponiere und berechne drei bestimmte Integrale.

Bitte kopieren Sie die allgemeine Form der Fourier-Reihe und die drei Arbeitsformeln in Ihr Notizbuch. Ich freue mich sehr, dass bei einigen Seitenbesuchern der Kindheitstraum, Astronaut zu werden, direkt vor meinen Augen wahr wird =)

Beispiel 2

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe im Intervall. Erstellen Sie einen Graphen, einen Graphen der Summe einer Reihe und einer Teilsumme.

Lösung: Der erste Teil der Aufgabe besteht darin, die Funktion in eine Fourier-Reihe zu entwickeln.

Der Anfang ist Standard. Schreiben Sie Folgendes auf:

In diesem Problem ist die Expansionsperiode Halbperiode.

Wir entwickeln die Funktion in einer Fourier-Reihe auf dem Intervall:

Mit den entsprechenden Formeln finden wir Fourier-Koeffizienten. Jetzt müssen wir drei zusammenstellen und berechnen bestimmte Integrale. Der Einfachheit halber werde ich die Punkte nummerieren:

1) Das erste Integral ist das einfachste, erfordert jedoch bereits ein Auge und ein Auge:

2) Wir verwenden die zweite Formel:

Dieses Integral ist bekannt und er nimmt es Stück für Stück:

Wenn gebraucht gefunden Methode, eine Funktion unter ein Differentialvorzeichen zu bringen.

Bei der betrachteten Aufgabe ist die sofortige Verwendung bequemer Formel für die partielle Integration in ein bestimmtes Integral :

Ein paar technische Hinweise. Zuerst nach Anwendung der Formel Der gesamte Ausdruck muss in große Klammern eingeschlossen werden, da vor dem ursprünglichen Integral eine Konstante steht. Lass es uns nicht verlieren! Klammern können bei jedem weiteren Schritt geöffnet werden, ich habe es in der allerletzten Runde getan. Im ersten „Stück“ Wir zeigen äußerste Genauigkeit bei der Substitution. Wie Sie sehen, ist die Konstante außer Betrieb und die Integrationsgrenzen werden in das Produkt substituiert. Diese Aktion ist mit eckigen Klammern gekennzeichnet. Nun, das Integral des zweiten „Teils“ der Formel ist Ihnen aus der Trainingsaufgabe bestens bekannt ;-)

Und das Wichtigste: die ultimative Konzentration der Aufmerksamkeit!

3) Wir suchen den dritten Fourier-Koeffizienten:

Es wird ein Relativwert zum vorherigen Integral erhalten, was ebenfalls der Fall ist nach Teilen integriert:

Dieser Fall ist etwas komplizierter, ich werde die weiteren Schritte Schritt für Schritt auskommentieren:

(1) Der gesamte Ausdruck ist in große Klammern eingeschlossen.. Ich wollte nicht langweilig wirken, sie verlieren zu oft die Konstante.

(2) In diesem Fall habe ich diese großen Klammern sofort erweitert. Besondere Aufmerksamkeit Wir widmen uns dem ersten „Stück“: dem ständigen Rauchen am Spielfeldrand und der Teilnahme an der Ersetzung der Grenzen der Integration (und) in das Produkt. Angesichts der Unübersichtlichkeit der Akte empfiehlt es sich, diese Aktion noch einmal in eckigen Klammern hervorzuheben. Mit dem zweiten „Stück“ Alles ist einfacher: Hier erschien der Bruch nach dem Öffnen großer Klammern und die Konstante - als Ergebnis der Integration des bekannten Integrals ;-)

(3) In eckigen Klammern führen wir Transformationen durch und im rechten Integral ersetzen wir die Integrationsgrenzen.

(4) Wir entfernen den „Blinker“ aus den eckigen Klammern: , danach öffnen wir die inneren Klammern: .

(5) Wir streichen 1 und -1 in Klammern, wir nehmen letzte Vereinfachungen vor.

Endlich alle drei Fourier-Koeffizienten gefunden:

Setze sie in die Formel ein :

Vergessen Sie nicht, es in zwei Hälften zu teilen. Im letzten Schritt wird aus der Summe die Konstante („minus zwei“) herausgenommen, die nicht von „en“ abhängt.

Somit haben wir die Entwicklung der Funktion in einer Fourier-Reihe auf dem Intervall erhalten:

Lassen Sie uns die Frage der Konvergenz der Fourier-Reihe untersuchen. Ich werde insbesondere die Theorie erläutern Dirichlet-Theorem, wörtlich „an den Fingern“, wenn Sie also strenge Formulierungen benötigen, schauen Sie bitte in einem Lehrbuch über Analysis nach (zum Beispiel der 2. Band von Bohan; oder der 3. Band von Fichtenholtz, aber darin ist es schwieriger).

Im zweiten Teil der Aufgabe gilt es, einen Graphen, einen Reihensummengraphen und einen Teilsummengraphen zu zeichnen.

Der Graph der Funktion ist der übliche gerade Linie im Flugzeug, das mit einer schwarzen gepunkteten Linie gezeichnet ist:

Wir beschäftigen uns mit der Summe der Reihen. Wie Sie wissen, konvergieren Funktionsreihen zu Funktionen. In unserem Fall die konstruierte Fourier-Reihe für jeden Wert von „x“ konvergiert zu der rot dargestellten Funktion. Diese Funktion unterliegt Pausen der 1. Art in Punkten, sondern auch darin definiert (rote Punkte in der Zeichnung)

Auf diese Weise: . Es ist leicht zu erkennen, dass es sich deutlich von der ursprünglichen Funktion unterscheidet, weshalb in der Notation Anstelle eines Gleichheitszeichens wird eine Tilde verwendet.

Lassen Sie uns einen Algorithmus untersuchen, mit dem sich die Summe einer Reihe bequem bilden lässt.

Im zentralen Intervall konvergiert die Fourier-Reihe gegen die Funktion selbst (das zentrale rote Segment fällt mit der schwarzen gepunkteten Linie der linearen Funktion zusammen).

Lassen Sie uns nun ein wenig über die Natur der betrachteten trigonometrischen Erweiterung sprechen. die Fourierreihe umfasst nur periodische Funktionen (Konstante, Sinus und Kosinus), also die Summe der Reihen ist auch eine periodische Funktion.

Was bedeutet das in unserem speziellen Beispiel? Und das bedeutet, dass die Summe der Serie –zwangsläufig periodisch und der rote Abschnitt des Intervalls muss sich links und rechts unendlich wiederholen.

Ich denke, dass nun endlich klar geworden ist, was der Ausdruck „Zeitraum des Zerfalls“ bedeutet. Einfach ausgedrückt: Jedes Mal wiederholt sich die Situation immer wieder.

In der Praxis reicht es meist aus, drei Zersetzungsperioden darzustellen, wie es in der Zeichnung geschieht. Nun, und noch mehr „Stümpfe“ benachbarter Perioden – um deutlich zu machen, dass das Diagramm fortgesetzt wird.

Von besonderem Interesse sind Unstetigkeitsstellen 1. Art. An solchen Punkten konvergiert die Fourier-Reihe zu isolierten Werten, die genau in der Mitte des Diskontinuitäts-„Sprungs“ liegen (rote Punkte in der Zeichnung). Wie finde ich die Ordinate dieser Punkte? Suchen wir zunächst die Ordinate des „Obergeschosses“: Dazu berechnen wir den Wert der Funktion am äußersten rechten Punkt der zentralen Expansionsperiode: . Um die Ordinate der „unteren Etage“ zu berechnen, ist es am einfachsten, den Wert ganz links aus demselben Zeitraum zu nehmen: . Die Ordinate des Mittelwerts ist das arithmetische Mittel der Summe von „oben und unten“: . Schön ist, dass man beim Erstellen einer Zeichnung sofort sieht, ob die Mitte richtig oder falsch berechnet ist.

Konstruieren wir eine Teilsumme der Reihe und wiederholen wir gleichzeitig die Bedeutung des Begriffs „Konvergenz“. Das Motiv ist aus der Lektion bekannt die Summe der Zahlenreihe. Beschreiben wir unseren Reichtum im Detail:

Um eine Teilsumme zu bilden, müssen Sie null + zwei weitere Terme der Reihe aufschreiben. Also,

In der Zeichnung ist der Graph der Funktion grün dargestellt und wie Sie sehen können, umschließt er die Gesamtsumme recht eng. Wenn wir eine Teilsumme von fünf Termen der Reihe betrachten, nähert sich der Graph dieser Funktion den roten Linien noch genauer an. Wenn es hundert Terme gibt, verschmilzt die „grüne Schlange“ tatsächlich vollständig mit den roten Segmenten. usw. Somit konvergiert die Fourier-Reihe gegen ihre Summe.

Es ist interessant festzustellen, dass jede Teilsumme vorhanden ist kontinuierliche Funktion, aber die Gesamtsumme der Reihe ist immer noch diskontinuierlich.

In der Praxis ist es nicht ungewöhnlich, einen Teilsummengraphen zu erstellen. Wie kann man das machen? In unserem Fall ist es notwendig, die Funktion auf dem Segment zu betrachten und ihre Werte an den Enden des Segments und an Zwischenpunkten zu berechnen (je mehr Punkte Sie berücksichtigen, desto genauer wird das Diagramm). Dann sollten Sie diese Punkte auf der Zeichnung markieren und sorgfältig ein Diagramm über die Periode zeichnen und es dann in benachbarte Intervalle „replizieren“. Wie sonst? Schließlich ist auch die Approximation eine periodische Funktion ... ... ihre Grafik erinnert mich irgendwie an einen gleichmäßigen Herzrhythmus auf dem Display eines medizinischen Geräts.

Natürlich ist die Konstruktion nicht sehr bequem, da man äußerst vorsichtig sein und eine Genauigkeit von mindestens einem halben Millimeter einhalten muss. Ich werde jedoch Leser erfreuen, die mit dem Zeichnen nicht einverstanden sind – bei einer „echten“ Aufgabe ist es bei weitem nicht immer notwendig, eine Zeichnung durchzuführen, in etwa 50 % der Fälle ist es erforderlich, die Funktion in eine Fourier-Reihe zu erweitern, und das ist es Es.

Nachdem wir die Zeichnung fertiggestellt haben, erledigen wir die Aufgabe:

Antworten:

Bei vielen Aufgaben leidet die Funktion Bruch der 1. Art direkt zur Zersetzungsperiode:

Beispiel 3

Entwickeln Sie die auf dem Intervall angegebene Funktion in einer Fourier-Reihe. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion und der Gesamtsumme der Reihe.

Die vorgeschlagene Funktion wird stückweise angegeben (und, wohlgemerkt, nur auf dem Segment) und aushalten Bruch der 1. Art am Punkt . Ist es möglich, die Fourier-Koeffizienten zu berechnen? Kein Problem. Sowohl der linke als auch der rechte Teil der Funktion sind in ihren Intervallen integrierbar, daher sollten die Integrale in jeder der drei Formeln als Summe zweier Integrale dargestellt werden. Sehen wir uns zum Beispiel an, wie dies für einen Koeffizienten von Null geschieht:

Es stellte sich heraus, dass das zweite Integral gleich Null war, was die Arbeit reduzierte, aber das ist nicht immer der Fall.

Zwei weitere Fourier-Koeffizienten werden ähnlich geschrieben.

Wie zeige ich die Summe einer Reihe an? Auf dem linken Intervall zeichnen wir ein gerades Liniensegment und auf dem Intervall ein gerades Liniensegment (markieren Sie den Achsenabschnitt fett-fett). Das heißt, im Erweiterungsintervall stimmt die Summe der Reihe überall mit der Funktion überein, mit Ausnahme von drei „schlechten“ Punkten. Am Unstetigkeitspunkt der Funktion konvergiert die Fourier-Reihe zu einem isolierten Wert, der genau in der Mitte des „Sprungs“ der Unstetigkeit liegt. Es ist nicht schwer, es mündlich zu verstehen: linke Grenze:, rechte Grenze: und offensichtlich ist die Ordinate des Mittelpunkts 0,5.

Aufgrund der Periodizität der Summe muss das Bild mit benachbarten Perioden „multipliziert“ werden, insbesondere das Gleiche auf den Intervallen darstellen und . In diesem Fall konvergiert die Fourier-Reihe an den Punkten zu den Medianwerten.

Tatsächlich gibt es hier nichts Neues.

Versuchen Sie, dieses Problem selbst zu lösen. Ein ungefähres Beispiel für feines Design und Zeichnen am Ende der Lektion.

Entwicklung einer Funktion in einer Fourier-Reihe auf eine beliebige Periode

Für eine beliebige Expansionsperiode, in der „el“ eine beliebige positive Zahl ist, unterscheiden sich die Formeln für die Fourier-Reihe und die Fourier-Koeffizienten durch ein etwas komplizierteres Sinus- und Cosinus-Argument:

Wenn , dann erhalten wir die Formeln für das Intervall, mit dem wir begonnen haben.

Der Algorithmus und die Prinzipien zur Lösung des Problems bleiben vollständig erhalten, die technische Komplexität der Berechnungen steigt jedoch:

Beispiel 4

Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe und zeichnen Sie die Summe auf.

Lösung: tatsächlich ein Analogon von Beispiel Nr. 3 mit Bruch der 1. Art am Punkt . In diesem Problem ist die Expansionsperiode Halbperiode. Die Funktion ist nur auf dem Halbintervall definiert, aber das ändert nichts – es ist wichtig, dass beide Teile der Funktion integrierbar sind.

Erweitern wir die Funktion zu einer Fourier-Reihe:

Da die Funktion im Ursprung unstetig ist, sollte jeder Fourier-Koeffizient offensichtlich als Summe zweier Integrale geschrieben werden:

1) Ich werde das erste Integral so detailliert wie möglich schreiben:

2) Schauen Sie vorsichtig in die Mondoberfläche:

Zweites Integral Teile aufnehmen:

Worauf sollten Sie besonders achten, nachdem wir die Fortsetzung der Lösung mit einem Sternchen geöffnet haben?

Erstens verlieren wir das erste Integral nicht , wo wir sofort ausführen Unter das Vorzeichen des Differentials bringen. Zweitens vergessen Sie nicht die unglückliche Konstante vor den großen Klammern und Lassen Sie sich nicht durch Zeichen verwirren bei Verwendung der Formel. Große Klammern lassen sich schließlich bequemer sofort im nächsten Schritt öffnen.

Der Rest ist eine Frage der Technik, nur unzureichende Erfahrung in der Lösung von Integralen kann zu Schwierigkeiten führen.

Ja, nicht umsonst waren die bedeutenden Kollegen des französischen Mathematikers Fourier empört – wie konnte er es wagen, Funktionen in trigonometrische Reihen zu zerlegen?! =) Übrigens interessiert wahrscheinlich jeder die praktische Bedeutung der jeweiligen Aufgabe. Fourier selbst arbeitete an einem mathematischen Modell der Wärmeleitung, und anschließend begann man mit der nach ihm benannten Reihe, viele periodische Prozesse zu untersuchen, die in der Außenwelt scheinbar unsichtbar sind. Jetzt ertappte ich mich übrigens bei dem Gedanken, dass es kein Zufall sei, dass ich die Grafik des zweiten Beispiels mit einem periodischen Herzrhythmus verglichen habe. Interessierte können sich mit der praktischen Anwendung vertraut machen Fourier-Transformationen aus Drittquellen. ... Obwohl es besser ist, es nicht zu tun – es wird als Erste Liebe in Erinnerung bleiben =)

3) Angesichts der immer wieder erwähnten Schwachstellen befassen wir uns mit dem dritten Koeffizienten:

Teilweise integrieren:

Wir setzen die gefundenen Fourier-Koeffizienten in die Formel ein , nicht vergessen, den Nullkoeffizienten in zwei Hälften zu teilen:

Lassen Sie uns die Summe der Reihe grafisch darstellen. Wiederholen wir den Vorgang kurz: Auf dem Intervall bauen wir eine Linie und auf dem Intervall eine Linie. Mit einem Nullwert von „x“ setzen wir einen Punkt in die Mitte des „Sprungs“ der Lücke und „replizieren“ das Diagramm für benachbarte Zeiträume:

An den „Verbindungspunkten“ der Perioden entspricht die Summe auch den Mittelpunkten des „Sprungs“ der Lücke.

Bereit. Ich erinnere Sie daran, dass die Funktion selbst bedingt nur über das Halbintervall definiert ist und offensichtlich mit der Summe der Reihen über die Intervalle übereinstimmt

Antworten:

Manchmal ist eine stückweise gegebene Funktion auch in der Entwicklungsperiode stetig. Das einfachste Beispiel: . Lösung (Siehe Bohan Band 2) ist dasselbe wie in den beiden vorherigen Beispielen: trotz Funktionskontinuität An diesem Punkt wird jeder Fourier-Koeffizient als Summe zweier Integrale ausgedrückt.

Im Trennungsintervall Unstetigkeitsstellen 1. Art und/oder „Verbindungspunkte“ des Diagramms können mehr sein (zwei, drei und im Allgemeinen alle). Finale Menge). Wenn eine Funktion auf jedem Teil integrierbar ist, dann ist sie auch in einer Fourier-Reihe erweiterbar. Aber aus praktischer Erfahrung kann ich mich an eine solche Dose nicht erinnern. Dennoch gibt es schwierigere Aufgaben als gerade berücksichtigt, und am Ende des Artikels gibt es für alle Links zu Fourier-Reihen mit erhöhter Komplexität.

Entspannen wir uns in der Zwischenzeit, lehnen wir uns in unseren Stühlen zurück und betrachten die endlosen Weiten der Sterne:

Beispiel 5

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe auf dem Intervall und zeichnen Sie die Summe der Reihe auf.

In dieser Aufgabe ist die Funktion kontinuierlich auf dem Zerlegungshalbintervall, was die Lösung vereinfacht. Alles ist dem Beispiel Nr. 2 sehr ähnlich. Du kannst dem Raumschiff nicht entkommen – du musst dich entscheiden =) Beispielentwurf am Ende der Lektion, der Stundenplan ist beigefügt.

Fourier-Reihenentwicklung gerader und ungerader Funktionen

Bei geraden und ungeraden Funktionen wird die Problemlösung deutlich vereinfacht. Und deshalb. Kehren wir zur Entwicklung der Funktion in einer Fourier-Reihe über eine Periode von „zwei pi“ zurück. und willkürlicher Punkt „zwei Ales“ .

Nehmen wir an, dass unsere Funktion gerade ist. Wie Sie sehen, enthält der allgemeine Term der Reihe gerade Kosinuswerte und ungerade Sinuswerte. Und wenn wir eine GERADE-Funktion zerlegen, warum brauchen wir dann ungerade Sinuswerte?! Lassen Sie uns den unnötigen Koeffizienten zurücksetzen: .

Auf diese Weise, Eine gerade Funktion entwickelt sich nur in Kosinusreihen zu einer Fourier-Reihe:

Weil das Integrale gerader Funktionenüber ein bezüglich Null symmetrisches Integrationssegment verdoppelt werden kann, dann werden auch die übrigen Fourier-Koeffizienten vereinfacht.

Für Spanne:

Für ein beliebiges Intervall:

Lehrbuchbeispiele, die in fast jedem Analysis-Lehrbuch zu finden sind, umfassen Erweiterungen gerader Funktionen . Darüber hinaus haben sie sich in meiner Privatpraxis immer wieder getroffen:

Beispiel 6

Gegeben eine Funktion. Erforderlich:

1) Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe mit Periode, wobei eine beliebige positive Zahl ist;

2) Schreiben Sie die Entwicklung des Intervalls auf, erstellen Sie eine Funktion und zeichnen Sie die Gesamtsumme der Reihe grafisch auf.

Lösung: Im ersten Absatz wird vorgeschlagen, das Problem allgemein zu lösen, und das ist sehr praktisch! Es wird Bedarf geben – ersetzen Sie einfach Ihren Wert.

1) In diesem Problem ist die Expansionsperiode die Halbperiode. Im weiteren Verlauf, insbesondere bei der Integration, gilt „el“ als Konstante

Die Funktion ist gerade, was bedeutet, dass sie sich nur in Kosinusreihen zu einer Fourier-Reihe entwickelt: .

Die Formeln suchen nach Fourier-Koeffizienten . Achten Sie auf ihre absoluten Vorteile. Zunächst erfolgt die Integration über das positive Segment der Erweiterung, wodurch wir das Modul sicher loswerden , wobei nur „x“ aus zwei Teilen berücksichtigt wird. Und zweitens wird die Integration spürbar vereinfacht.

Zwei:

Teilweise integrieren:

Auf diese Weise:
, während die Konstante , die nicht von „en“ abhängt, aus der Summe herausgenommen wird.

Antworten:

2) Wir schreiben die Entwicklung auf das Intervall, dazu setzen wir den gewünschten Wert der Halbperiode in die allgemeine Formel ein:

Trigonometrische Fourier-Reihe heißt eine Reihe

A0 /2 + A 1 cos X + B 1 Sünde X + A 2 cos2 X + B 2 Sünde2 X + ... + A Unteroffiziere nx + B n Sünde nx + ...

Wo sind die Zahlen? A0 , A 1 , B 1 , A 2 , B 2 , ..., A N B N, ... - Fourier-Koeffizienten.

Eine prägnantere Notation der Fourier-Reihe mit dem Symbol „Sigma“:

Wie wir gerade festgestellt haben, handelt es sich bei der Fourier-Reihe im Gegensatz zur Potenzreihe um die einfachsten Funktionen Es werden trigonometrische Funktionen verwendet

1/2 cos X, Sünde X, cos2 X, sin2 X, ..., weil nx, Sünde nx, ... .

Die Fourier-Koeffizienten werden nach folgenden Formeln berechnet:

Alle oben genannten Funktionen der Fourier-Reihe sind periodische Funktionen mit einer Periode von 2 π . Jeder Term der trigonometrischen Fourier-Reihe ist eine periodische Funktion mit Periode 2 π .

Daher hat jede Teilsumme der Fourier-Reihe eine Periode von 2 π . Daraus folgt, dass, wenn die Fourier-Reihe auf der Strecke konvergiert [- π , π ] , dann konvergiert es auf der gesamten reellen Geraden und seine Summe ist als Grenzwert einer Folge periodischer Teilsummen eine periodische Funktion mit Periode 2 π .

Konvergenz der Fourier-Reihe und der Summe der Reihen

Lassen Sie die Funktion F(X) definiert auf dem gesamten Zahlenstrahl und periodisch mit Periode 2 π ist eine periodische Fortsetzung der Funktion F(X), wenn auf dem Segment [- π , π ] tritt ein F(X) = F(X)

Wenn im Intervall [- π , π ] konvergiert die Fourier-Reihe gegen die Funktion F(X), dann konvergiert es auf der ganzen Zahlengeraden zu seiner periodischen Erweiterung.

Die Antwort auf die Frage, unter welchen Bedingungen die Fourier-Reihe der Funktion entsteht F(X) gegen diese Funktion konvergiert, ist durch den folgenden Satz gegeben.

Satz. Lassen Sie die Funktion F(X) und seine Ableitung F"(X) - kontinuierlich auf dem Segment [- π , π ] oder eine endliche Anzahl von Unstetigkeitspunkten erster Art darauf haben. Dann die Fourier-Reihe der Funktion F(X) konvergiert auf der gesamten Zahlenlinie und in jedem Punkt X Zugehörigkeit zum Segment [- π , π ] , wobei F(X) ist stetig, die Summe der Reihen ist F(X) und an jedem Punkt X0 Diskontinuität der Funktion, die Summe der Reihe ist gleich dem arithmetischen Mittel der Grenzen der Funktion F(X) rechts und links:

Wo Und .

An den Enden des Segments [- π , π ] Die Summe der Reihe ist gleich dem arithmetischen Mittel der Werte der Funktion am äußersten linken und äußersten rechten Punkt der Expansionsperiode:

An jedem Punkt X Zugehörigkeit zum Segment [- π , π ] , die Summe der Fourier-Reihe ist gleich F(X) , Wenn X- Punkt der Kontinuität F(X) und ist gleich dem arithmetischen Mittel der Grenzwerte F(X) links und rechts:

Wenn X- Bruchpunkt F(X) , Wo F(X) - periodische Fortsetzung F(X) .

Beispiel 1 Periodische Funktion F(X) mit Punkt 2 π wie folgt definiert:

Es ist einfacher, diese Funktion zu schreiben als F(X) = |X| . Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe, bestimmen Sie die Konvergenz der Reihe und die Summe der Reihe.

Lösung. Definieren wir die Fourier-Koeffizienten dieser Funktion:

Jetzt haben wir alles, um die Fourier-Reihe dieser Funktion zu erhalten:

Diese Reihe konvergiert an allen Punkten und ihre Summe ist gleich der gegebenen Funktion.

Lösen Sie das Fourier-Reihenproblem selbst und sehen Sie sich dann die Lösung an

Fourier-Reihe für gerade und ungerade Funktionen

Lassen Sie die Funktion F(X) ist auf dem Segment definiert [- π , π ] und ist gerade, d.h. F(- X) = F(X) . Dann seine Koeffizienten BN sind gleich Null. Und für die Koeffizienten AN Folgende Formeln sind korrekt:

Lassen Sie nun die Funktion F(X) definiert auf dem Intervall [- π , π ] , ungerade, d.h. F(X) = -F(- X) . Dann die Fourier-Koeffizienten AN gleich Null sind, und die Koeffizienten BN wird durch die Formel bestimmt

Wie aus den obigen Formeln ersichtlich ist, wenn Funktion F(X) gerade ist, dann enthält die Fourier-Reihe nur Kosinuswerte, und wenn ungerade, dann nur Sinuswerte.

Beispiel 3

Lösung. Dies ist eine ungerade Funktion, daher gibt es Fourier-Koeffizienten. Um sie zu finden, müssen Sie ein bestimmtes Integral berechnen:

Diese Gleichheit gilt für alle. An den Punkten stimmt die Summe der Fourier-Reihe nach dem im zweiten Absatz angegebenen Satz nicht mit den Werten der Funktion überein, sondern ist gleich . Außerhalb des Segments ist die Summe der Reihe eine periodische Fortsetzung der Funktion, deren Graph oben zur Veranschaulichung der Summe der Reihe angegeben wurde.

Beispiel 4 Entwickeln Sie die Funktion in einer Fourier-Reihe.

Lösung. Dies ist eine gerade Funktion, also ihre Fourier-Koeffizienten, und um sie zu finden, müssen Sie bestimmte Integrale berechnen:

Wir erhalten die Fourier-Reihe dieser Funktion:

Diese Gleichheit gilt für alle , da an den Punkten die Summe der Fourier-Reihe in diesem Fall mit den Werten der Funktion übereinstimmt , da .

Fourier-Reihe bezüglich eines beliebigen orthogonalen Funktionensystems

Die Folge von Funktionen, die im Intervall [ A,B], wird genannt orthogonales Funktionensystem auf dem Segment[A,B], wenn alle Funktionen der Folge auf diesem Segment paarweise orthogonal sind, d. h. wenn

Das System heißt orthogonal und auf das Intervall normalisiert (orthonormal),

wenn die Bedingung erfüllt ist

Lass es jetzt F(X) – jede im Intervall stetige Funktion [ A,B]. In der Nähe von Fourier eine solche Funktion F(X) auf dem Segment [ A,B] durch orthogonales System die Zeile heißt:

deren Koeffizienten durch die Gleichheit bestimmt werden:

N=1,2,...

Wenn ein orthogonales Funktionensystem auf der Strecke [ A,B] ist also in diesem Fall orthonormal

Wo N=1,2,...

Lass es jetzt F(X) ist jede Funktion, die stetig ist oder eine endliche Anzahl von Unstetigkeitspunkten erster Art auf dem Segment [ A,B]. Nahezu Fourier einer solchen Funktion F(X) auf demselben Segment

Nach dem Orthogonalsystem heißt die Reihe:

Wenn die Fourier-Reihe der Funktion F(X) nach System (1) konvergiert gegen die Funktion F(X) an jedem seiner Kontinuitätspunkte, die zum Segment [ A,B]. In diesem Fall sagen sie das F(X) auf dem Segment [ A,B] entwickelt sich zu einer Reihe im Sinne des Orthogonalsystems (1).

Komplexe Form der Fourier-Reihe

Der Ausdruck wird als komplexe Form der Fourier-Reihe der Funktion bezeichnet F(X), wenn durch die Gleichheit definiert

,Wo

Der Übergang von der Fourier-Reihe in komplexer Form zur Reihe in reeller Form und umgekehrt erfolgt mit den Formeln:

(N=1,2, . . .)

Saitenvibrationsproblem

Lassen Sie eine lange Schnur im Gleichgewicht gedehnt werden l treffen x= 0 und X=l. Gehen Sie davon aus, dass die Saite nicht im Gleichgewicht ist und frei schwingt. Wir betrachten kleine Schwingungen der Saite, die in der vertikalen Ebene auftreten.

Unter den oben getroffenen Annahmen kann gezeigt werden, dass die Funktion u(x,t), die die Position der Zeichenfolge zu jedem Zeitpunkt charakterisiert T, erfüllt die Gleichung

(1) , wobei a eine positive Zahl ist.

Unsere Aufgabe ist es, die Funktion zu finden u(x,t), dessen Diagramm die Form der Zeichenfolge zu einem bestimmten Zeitpunkt angibt T, d. h. finden Sie eine Lösung für Gleichung (1) an der Grenze:

und Anfangsbedingungen:

Zunächst suchen wir nach Lösungen für Gleichung (1), die die Randbedingungen (2) erfüllen. Das ist leicht zu erkennen u(X,T) 0 ist eine Lösung der Gleichung (1), die die Randbedingungen (2) erfüllt. Wir werden nach Lösungen suchen, die nicht identisch gleich 0 sind und als Produkt darstellbar sind u(x,t)=X(X)T(T), (4) , wobei , .

Das Einsetzen von Ausdruck (4) in Gleichung (1) ergibt:

Von hier aus reduziert sich unsere Aufgabe darauf, Lösungen für die Gleichungen zu finden:

Unter Verwendung dieser Bedingung X(0)=0, X(l)=0, wir werden beweisen, dass es sich um eine negative Zahl handelt, indem wir alle Fälle untersuchen.

a) Sei dann X”=0 und seine allgemeine Lösung wird wie folgt geschrieben:

woher und , was unmöglich ist, da wir Lösungen betrachten, die nicht identisch verschwinden.

b) Sei . Dann die Gleichung lösen

wir bekommen, und indem wir uns unterordnen, finden wir das

c) Wenn dann

Die Gleichungen haben Wurzeln:

Wo - beliebige Konstanten. Aus der Anfangsbedingung ergibt sich:

von wo, d.h.

(N=1,2,...)

(N=1,2,...).

Vor diesem Hintergrund können wir schreiben:

(N=1,2,...).

und deshalb

, (N=1,2,...),

aber da A und B für unterschiedliche Werte von n unterschiedlich sind, haben wir

, (N=1,2,...),

wobei und beliebige Konstanten sind, die wir so zu bestimmen versuchen, dass die Reihe Gleichung (1), Randbedingungen (2) und Anfangsbedingungen (3) erfüllt.

Weisen wir also eine Funktion zu u(x,t) zu den Anfangsbedingungen, d. h. wir wählen und damit die Bedingungen

Diese Gleichungen sind jeweils Erweiterungen der Funktionen und in Segmente in einer Fourier-Reihe in Form von Sinuswerten. (Das bedeutet, dass die Koeffizienten wie für ungerade Funktionen berechnet werden). Somit ist die Lösung für die Schwingung einer Saite bei gegebenen Rand- und Anfangsbedingungen durch die Formel gegeben

(N=1,2,...)

Fourier-Integral

Ausreichende Bedingungen für die Darstellbarkeit einer Funktion im Fourier-Integral.

Damit F(X) an allen Kontinuitätspunkten und regulären Diskontinuitätspunkten durch das Fourier-Integral dargestellt wurde, reicht es aus:

1) absolute Integrierbarkeit auf

(d. h. das Integral konvergiert)

2) auf jedem endlichen Segment [- L, L]-Funktion wäre stückweise glatt

3) An den Diskontinuitätspunkten der Funktion wird ihr Fourier-Integral durch die Halbsumme der linken und rechten Grenzen an diesen Punkten und an den Kontinuitätspunkten zur Funktion selbst bestimmt F(X)

Das Fourier-Integral der Funktion f(x) ist ein Integral der Form:

Wo ,

Fourier-Integral für eine gerade und ungerade Funktion

Lassen F(X)-gerade Funktion, die die Bedingungen der Darstellbarkeit durch ein Fourier-Integral erfüllt.

Unter Berücksichtigung dessen sowie der Eigenschaft von Integralen in Bezug auf die Symmetrie in Bezug auf den Punkt X=0 Intervall gerader Funktionen, aus Gleichung (2) erhalten wir:

(3)