Фізичною величиноюназивається фізична властивість матеріального об'єкта, процесу, фізичного явища, охарактеризована кількісно.
Значення фізичної величинивиражається одним або декількома числами, що характеризують цю фізичну величину, із зазначенням одиниці виміру.
Розміром фізичної величиниє значення чисел, що фігурують у значенні фізичної величини.
Одиниці виміру фізичних величин.
Одиницею виміру фізичної величиниє величина фіксованого розміру, якій присвоєно числове значення, що дорівнює одиниці. Застосовується для кількісного вираження однорідних із нею фізичних величин. Системою одиниць фізичних величин називають сукупність основних та похідних одиниць, засновану на деякій системі величин.
Широке поширення набуло лише кілька систем одиниць. Найчастіше у багатьох країнах користуються метричної системою.
Основні одиниці.
Виміряти фізичну величину -означає порівняти її з іншою такою ж фізичною величиною, прийнятою за одиницю.
Довжину предмета порівнюють з одиницею довжини, масу тіла – з одиницею ваги тощо. Але якщо один дослідник виміряє довжину в сажнях, а інший у футах, їм буде важко порівняти ці дві величини. Тому всі фізичні величини в усьому світі прийнято вимірювати в тих самих одиницях. У 1963 році було прийнято Міжнародну систему одиниць СІ (System international - SI).
Для кожної фізичної величини у системі одиниць має бути передбачена відповідна одиниця виміру. Еталоном одиниці вимірує її фізична реалізація.
Еталоном довжини є метр- відстань між двома штрихами, нанесеними на стрижні особливої форми, виготовленому зі сплаву платини та іридію.
Еталоном часуслужить тривалість будь-якого правильно повторюваного процесу, як обрано рух Землі навколо Сонця: один оборот Земля здійснює протягом року. Але за одиницю часу приймають не рік, а секунду.
За одиницю швидкостіприймають швидкість такого рівномірного прямолінійного руху, при якому тіло за 1 здійснює переміщення в 1 м.
Окрема одиниця виміру використовується для площі, обсягу, довжини тощо. буд. Кожна одиниця визначається під час виборів тієї чи іншої зразка. Але система одиниць значно зручніше, якщо в ній як основні вибрано всього кілька одиниць, а решта визначаються через основні. Наприклад, якщо одиницею довжини є метр, то одиницею площі буде квадратний метр, обсягу – кубічний метр, швидкості – метр за секунду тощо.
Основними одиницямифізичних величин у Міжнародній системі одиниць (СІ) є: метр (м), кілограм (кг), секунда (с), ампер (А), кельвін (К), кандела (кд) та моль (моль).
|
Основні одиниці СІ |
|||
|
Величина |
Одиниця |
Позначення |
|
|
Найменування |
російська |
міжнародне |
|
|
Сила електричного струму |
|||
|
Термодинамічна температура |
|||
|
Сила світла |
|||
|
Кількість речовини |
|||
Існують також похідні одиниці СІ, які мають власні найменування:
|
Похідні одиниці СІ, що мають власні назви |
||||
|
Одиниця |
Вираз похідної одиниці |
|||
|
Величина |
Найменування |
Позначення |
Через інші одиниці СІ |
Через основні та додаткові одиниці СІ |
|
Тиск |
м -1 ЧкгЧс -2 |
|||
|
Енергія, робота, кількість теплоти |
м 2 ЧкгЧс -2 |
|||
|
Потужність, потік енергії |
м 2 ЧкгЧс -3 |
|||
|
Кількість електрики, електричний заряд |
||||
|
Електрична напруга, електричний потенціал |
м 2 ЧкгЧс -3 ЧА -1 |
|||
|
Електрична ємність |
м -2 Чкг -1 Чс 4 ЧА 2 |
|||
|
Електричний опір |
м 2 ЧкгЧс -3 ЧА -2 |
|||
|
Електрична провідність |
м -2 Чкг -1 Чс 3 ЧА 2 |
|||
|
Потік магнітної індукції |
м 2 ЧкгЧс -2 ЧА -1 |
|||
|
Магнітна індукція |
кгЧс -2 ЧА -1 |
|||
|
Індуктивність |
м 2 ЧкгЧс -2 ЧА -2 |
|||
|
Світловий потік |
||||
|
Освітленість |
м 2 ЧкдЧср |
|||
|
Активність радіоактивного джерела |
бекерель |
|||
|
Поглинена доза випромінювання |
||||
Івимірювання. Для отримання точного, об'єктивного та легко відтворюваного опису фізичної величини використовують вимірювання. Без вимірів фізичну величину не можна охарактеризувати кількісно. Такі визначення, як "низький" або "високий" тиск, "низька" або "висока" температура відображають лиш суб'єктивні думки і не містять порівняння з еталонними величинами. При вимірі фізичної величини їй приписують певне чисельне значення.
Вимірювання здійснюються за допомогою вимірювальних приладівІснує досить велика кількість вимірювальних приладів та пристроїв, від найпростіших до складних. Наприклад, довжину вимірюють лінійкою або рулеткою, температуру – термометром, ширину – кронциркулем.
Вимірювальні прилади класифікуються: за способом подання інформації (що показують або реєструють), за методом вимірювань (прямої дії та порівняння), за формою уявлень показань (аналоговий та цифровий) та ін.
Для вимірювальних приладів характерні такі параметри:
Діапазон вимірювань- область значень вимірюваної величини, на якій розрахований прилад при нормальному функціонуванні (із заданою точністю вимірювання).
Поріг чутливості- Мінімальне (порогове) значення вимірюваної величини, що розрізняється приладом.
Чутливість- пов'язує значення параметра, що вимірюється, і відповідна йому зміна показань приладу.
Точність- здатність приладу вказувати справжнє значення показника, що вимірюється.
Стабільність- здатність приладу підтримувати задану точність вимірювань протягом певного часу після калібрування.
З давніх-давен людей серйозно цікавило питання про те, як зручніше всього порівняти величини, виражені в різних значеннях. І справа тут не лише у природній допитливості. Людина найдавніших земних цивілізацій надавала цій досить непростій справі суто прикладне значення. Коректно виміряти землю, визначити вагу продукту на ринку, розрахувати необхідне співвідношення товарів при бартері, визначити правильну норму винограду при заготівлі вина - ось лише мала дещиця завдань, які часто спливали в і без того нелегкому житті наших предків. Тому малоосвічені і неписьменні люди при необхідності порівняти величини йшли за порадою до своїх досвідченіших товаришів, а ті нерідко брали за таку послугу відповідну винагороду, і досить непогану, до речі.
Що можна порівнювати
Нині цьому заняття також приділяється чимала роль процесі вивчення точних наук. Всім, звичайно, відомо, що порівнювати необхідно однорідні величини, тобто яблука – з яблуками, а буряки – з буряками. Нікому й на думку не спаде спробувати виразити градуси Цельсія за кілометри або кілограми в децибелах, зате довжину удава у папугах ми знаємо з самого дитинства (для тих, хто не пам'ятає: в одному удаві – 38 папуг). Хоча папуги теж бувають різні, і насправді довжина удава відрізнятиметься залежно від підвиду папуги, але це вже деталі, в яких ми спробуємо розібратися.
Розмірності
Коли в завданні зазначено: "Порівняй значення величин", необхідно ці самі величини привести до одного знаменника, тобто висловити в одних і тих же значення для зручності порівняння. Зрозуміло, що порівняти значення, виражене в кілограмах, зі значенням, вираженим у центнерах або в тоннах, для багатьох з нас не складе особливих труднощів. Однак існують однорідні величини, які можна виразити в різних розмірностях і, більше того, в різних системах вимірювання. Спробуйте, наприклад, порівняти величини кінематичної в'язкості і визначити, яка рідина є більш в'язкою в сантистоксах і квадратних метрах в секунду. Не виходить? І не вийде. Для цього потрібно обидва значення відобразити в одних і тих же величинах, а вже за числовим значенням визначити, яке з них перевершує суперника.
Система виміру
Щоб зрозуміти, які величини можна порівнювати, спробуємо згадати існуючі системи виміру. Для оптимізації та прискорення розрахункових процесів у 1875 році сімнадцятьма країнами (у тому числі Росією, США, Німеччиною та ін.) було підписано метричну конвенцію та визначено метричну систему заходів. Для розробки та закріплення еталонів метра та кілограма було засновано Міжнародний комітет заходів та терезів, а в Парижі облаштовано Міжнародне бюро мір та терезів. Ця система згодом еволюціонувала до Міжнародної системи одиниць, СІ. В даний час ця система прийнята більшістю країн у галузі технічних розрахунків, у тому числі і тими країнами, де традиційно у повсякденному житті використовуються національні (наприклад, США та Англія).
СГС
Однак паралельно із загальноприйнятим стандартом еталонів розвивалася й інша, менш зручна система СГС (сантиметр-грам-секунда). Вона була запропонована в 1832 німецьким фізиком Гауссом, а в 1874 модернізована Максвеллом і Томпсоном, в основному в галузі електродинаміки. У 1889 році було запропоновано більш зручну систему МКС (метр-кілограм-секунду). Порівняння предметів за величиною еталонних значень метра та кілограма для інженерів набагато зручніше, ніж використання їх похідних (санти-, мілі-, деци- та ін). Однак дана концепція також не знайшла масового відгуку в серцях тих, для кого вона призначалася. У всьому світі активно розвивалася і використовувалася тому розрахунки в СГС проводили все рідше, а після 1960 року, з введенням системи СІ, СГС взагалі практично вийшла з вживання. В даний час СГС реально застосовують на практиці лише при розрахунках у теоретичній механіці та астрофізиці, і то через простіший вид запису законів електромагнетизму.
Покрокова інструкція
Докладно розберемо приклад. Допустимо, завдання звучить так: "Порівняйте величини 25 т і 19570 кг. Яка з величин більше?" Що потрібно зробити насамперед, це визначити, в яких величинах у нас задані значення. Отже, перша величина у нас задана у тоннах, а друга – у кілограмах. На другому кроці ми перевіряємо, чи не намагаються ввести в оману укладачі завдання, намагаючись змусити порівнювати різнорідні величини. Бувають і такі завдання-пастки, особливо у швидких тестах, де на відповідь до кожного питання дається 20-30 секунд. Як ми бачимо, значення однорідні: і в кілограмах, і в тоннах у нас вимірюється маса та вага тіла, тож другу перевірку пройдено з позитивним результатом. Третій крок, переводимо кілограми на тонни або, навпаки, тонни - на кілограми для зручності порівняння. У першому варіанті виходить 25 та 19,57 тонн, а у другому: 25 000 та 19 570 кілограм. І тепер можна зі спокійною душею порівняти величини цих значень. Як видно, перше значення (25 т) в обох випадках більше, ніж друге (19 570 кг).
Пастки
Як згадувалося вище, сучасні тести містять дуже багато завдань-обманок. Це необов'язково розібрані нами завдання, пасткою може виявитися досить невинне на увазі питання, особливо таке, де напрошується цілком логічна відповідь. Однак підступність, як правило, криється в деталях або маленькому нюансі, які укладачі завдання намагаються всіляко замаскувати. Наприклад, замість вже знайомого вам з розібраних завдань із постановкою питання: "Порівняй величини там, де це можливо" - укладачі тесту можуть просто попросити вас порівняти зазначені величини, а самі величини вибрати вражаюче схожі один на одного. Наприклад, кг*м/с 2 та м/с 2 . У першому випадку це сила, що діє на об'єкт (ньютони), а в другому - прискорення тіла, або м/с 2 та м/с, де вас просять порівняти прискорення зі швидкістю тіла, тобто абсолютно різнорідні величини.
Складні порівняння
Проте дуже часто у завданнях наводять два значення, виражені у різних одиницях виміру й у різних системах обчислення, а й відмінні друг від друга за специфікою фізичного сенсу. Наприклад, у постановці задачі сказано: "Порівняй значення величин динамічної та кінематичної в'язкостей і визнач, яка рідина більш в'язка". При цьому значення вказані в одиницях СІ, тобто м2 /с, а динамічної - в СГС, тобто в пуазах. Як вчинити у цьому випадку?
Для вирішення таких завдань можна скористатися наданою вище інструкцією з невеликим її доповненням. Визначаємося, в якій із систем працюватимемо: нехай це буде загальноприйнята серед інженерів. Другим кроком ми також перевіряємо, чи не пастка це? Але в цьому прикладі теж все чисто. Ми порівнюємо дві рідини за параметром внутрішнього тертя (в'язкості), тому обидві величини однорідні. Третім кроком переводимо з пуазів у паскаль-секунду, тобто у загальноприйняті одиниці системи СІ. Далі переводимо кінематичну в'язкість в динамічну, помножуючи її на відповідне значення густини рідини (табличне значення), і порівнюємо отримані результати.
Поза системою
Існують також позасистемні одиниці виміру, тобто одиниці, що не увійшли до СІ, але згідно з результатами рішень скликання Генеральних конференцій з мір і ваг (ГКВМ), допустимі для спільного використання з СІ. Порівнювати такі величини між собою можна тільки при їх приведенні до загального вигляду стандарту СІ. До позасистемних відносяться такі одиниці, як хвилина, година, доба, літр, електрон-вольт, вузол, гектар, бар, ангстрем та багато інших.
Натуральне число як міра величини
Відомо, що числа виникли з потреби рахунку та виміру, але якщо для рахунку достатньо натуральних чисел, то для вимірювання величин потрібні й інші числа. Однак як результат вимірювання величин будемо розглядати лише натуральні числа. Визначивши значення натурального числа як міри величини, ми з'ясуємо, який сенс мають арифметичні дії над такими числами. Ці знання потрібні вчителю початкових класів як обгрунтування вибору дій під час вирішення завдань із величинами, але й розуміння чергового підходи до трактування натурального числа, що у початковому навчанні математиці.
Натуральне число ми розглядатимемо у зв'язку з виміром позитивних скалярних величин - довжин, площ, мас, часу та ін, тому перш, ніж говорити про взаємозв'язок величин і натуральних чисел, нагадаємо деякі факти, пов'язані з величиною та її виміром, тим більше що поняття величини, поряд із числом, є основним у початковому курсі математики.
Поняття позитивної скалярної величини та її виміру
Розглянемо два висловлювання, у яких використовується слово «довжина»:
1) Багато навколишніх предметів мають довжину.
2) Стіл має довжину.
У першому реченні стверджується, що довжиною мають об'єкти деякого класу. У другому йдеться про те, що довжиною має конкретний об'єкт із цього класу. Узагальнюючи, можна сказати, що термін «довжина» вживається для позначення властивостіабо класу об'єктів (предмети мають довжину), або конкретного об'єкта з цього класу (стіл має довжину).
Але чим це властивість відрізняється від інших властивостей об'єктів цього класу? Так, наприклад, стіл може мати не тільки довжину, але і бути виготовленим із дерева або металу; столи можуть мати різну форму. Про довжину можна сказати, що різні столи мають цю властивість різною мірою (один стіл може бути довшим або коротшим за інший), чого не скажеш про форму - один стіл не може бути «прямокутнішим» за інший.
Отже, властивість «мати довжину» - особливе властивість об'єктів, воно проявляється тоді, коли об'єкти порівнюють з їхньої протяжності (за довжиною). У процесі порівняння встановлюють, що або два об'єкти мають ту саму довжину, або довжина одного менше довжини іншого.
Аналогічно можна й інші відомі величини: площа, масу, час тощо. Вони є особливими властивостями навколишніх предметів і явищ і виявляються при порівнянні предметів і явищ за цією властивістю, причому кожна величина пов'язана з певним способом порівняння.
Величини, які виражають одну і ту ж властивість об'єктів, називаються величинами одного роду або однорідними величинами . Наприклад, довжина столу та довжина кімнати – це величини одного роду.
Нагадаємо, основні положення, пов'язані з однорідними величинами.
1. Будь-які дві величини одного роду можна порівняти: вони або рівні, або одна менша за іншу. Іншими словами, для величин одного роду мають місце відносини «рівно», «менше» і «більше», і для будь-яких величин А і В справедливе одне і лише одне із відносин: А<В, А = В, А>Ст.
Наприклад, ми говоримо, що довжина гіпотенузи прямокутного трикутника більша, ніж довжина будь-якого катета цього трикутника, маса яблука менша за масу кавуна, а довжини протилежних сторін прямокутника рівні.
2. Відношення «менше» для однорідних величин транзитивно: якщо А< В и В < С, то А < С.
Так, якщо площа трикутника F 1 менше площі трикутника F 2 і площа трикутника F 2 менше площі трикутника F 3 , то площа трикутника F 1 менше площі трикутника F 3 .
3. Величини одного роду можна складати, в результаті додавання виходить величина того ж роду. Іншими словами, для будь-яких двох величин А і однозначно визначається величина С = А + В, яку називають сумою величин А і В.
Складання величин комутативно та асоціативно.
Наприклад, якщо А – маса кавуна, а В – маса дині, то С = А + В – це маса кавуна та дині. Вочевидь, що А+В = В+А і(А+В) + З = А+(В+С).
Різницею величин А та В називається така величина
С = А – В, що А = В + С.
Різниця величин А і існує тоді і лише тоді, коли А>В.
Наприклад, якщо А – довжина відрізка а, В – довжина відрізу b, то С=А-В – це довжина відрізка с (рис. 1).
5. Величину можна множити на позитивне дійсне число, в результаті одержують величину того ж роду. Більш точно, для будь-якої величини А та будь-якого позитивного дійсного числа х існує єдина величина =
х. А, яку називають добутком величини А на число х.
Наприклад, якщо А - час, що відводиться на один урок, то помноживши А на число х = 3, отримаємо величину В = 3 А - час, за який пройде 3 уроки.
6. Величини одного роду можна ділити, отримуючи в результаті число. Визначають розподіл через множення величини на число.
Приватним величин А і називається таке позитивне дійсне число х = А: В, що А = х · В.
Так, якщо А - довжина відрізка а, - довжина відрізка b (рис. 2) і відрізок А складається з 4-х відрізків, рівних b, то А: В = 4, оскільки А = 4 · В.
Величини, як властивості об'єктів, мають ще одну особливість - їх можна оцінювати кількісно. І тому величину треба виміряти. Щоб виміряти з цього роду величин вибирають величину, яку називають одиницею виміру. Ми позначатимемо її літерою Е.
Якщо задана величина А і обрана одиниця величини Е (тобто), то виміряти величину А - це означає знайти таке позитивне дійсне число х, що А = х Е.
Число х називається чисельним значенням величини Апри одиниці величини Е. Воно показує, у скільки разів величина А більша (або менше) величини Е, прийнятої за одиницю виміру.
Якщо А=х·Е, то число х називають мірою величини А при одиниці Е і пишуть х=m Е (А).
Наприклад, якщо А – довжина відрізка а, Е – довжина відрізка b (рис.2), то А=а·Е. Число 4 - це чисельне значення довжини при одиниці довжини Е, або, іншими словами, число 4 - це міра довжини А при одиниці довжини Е.
У практичній діяльності при вимірі величин люди користуються стандартними одиницями величин: так, довжину вимірюють у метрах, сантиметрах тощо. Результат вимірювання записують у такому вигляді: 2,7 кг; 13 см; 16 с. Виходячи з поняття виміру, даного вище, ці записи можна розглядати як добуток числа та одиниці величини. Наприклад, 2,7 кг = 2,7 кг; 13 см = 13 см; 16 с = 16 · с.
Використовуючи це, можна обґрунтувати процес переходу від однієї одиниці величини до іншої. Нехай, наприклад, потрібно виразити год у хвилинах. Так як год = · год і годину = 60 хв, то год = · 60 · хв = ( · 60) хв = 25 хв.
Величина, що визначається одним чисельним значенням, називається скалярною величиною .
Якщо при обраній одиниці виміру скалярна величина набуває лише позитивних чисельних значень, то її називають позитивною скалярною величиною.
Позитивними скалярними величинами є довжина, площа, обсяг, маса, час, вартість та кількість товару та ін.
Вимір величин дозволяє переходити від порівняння величин до порівняння чисел, від дій над величинами до відповідних дій над числами, і навпаки.
1. Якщо величини А і В виміряно за допомогою одиниці величини Е, то відносини між величинами А і В будуть такими ж, як і відносини між їх чисельними значеннями, і навпаки:
А+В<=>m(А)+ m(В);
А<В <=>m (А) А> В<=>m (A) > m (B). Наприклад, якщо маси двох тіл такі, що А = 5 кг, В = 3 кг, можна стверджувати, що А> В, оскільки 5 > 3. 2. Якщо величини А та В виміряні за допомогою одиниці величини Е, то щоб знайти чисельне значення суми А + В, достатньо скласти чисельні значення величин А та В: А + В = С<=>m(А+В) = m(А)+m(В). Наприклад, якщо А = 5 кг, В = 3 кг, то А + В = 5 кг + 3 кг = (5 + 3) кг = 8 кг. 3. Якщо величини А і В такі, що = х·А, де х - позитивне дійсне число, і величина А виміряна за допомогою одиниці величини Е, то, щоб знайти чисельне значення величини при одиниці Е, достатньо число х помножити на число m (А): В = х·А<=>m (В) = х · m (А). Наприклад, якщо маса В в 3 рази більша за масу А і А = 2 кг, то В = 3А = 3 · (2 · кг) = (3 · 2) кг = 6 кг. У математиці під час запису твори величини на число х прийнято число писати перед величиною, тобто. х·А. Але дозволяється писати й так: Ах. Тоді чисельне значення величини А множать х, якщо знаходять значення величини Ах. Розглянуті поняття – об'єкт (предмет, явище, процес), його величина, чисельне значення величини, одиниця величини – треба вміти вичленяти у текстах та завданнях. Наприклад, математичний зміст пропозиції «Купили 3 кілограми яблук» можна описати так: у реченні розглядається такий об'єкт, як яблука, та його властивість - маса; для вимірювання маси використовували одиницю маси кілограм; в результаті виміру отримали число 3 – чисельне значення маси яблук при одиниці маси – кілограм. Один і той же об'єкт може мати декілька властивостей, які є величинами. Наприклад, для людини - це зростання, маса, вік та ін. Процес рівномірного руху характеризується трьома величинами: відстанню, швидкість і час, між якими існують залежність, що виражається формулою s = v · t. Якщо величини виражають різні властивості об'єкта, їх називають величинами різного роду
, або різнорідними величинами
. Так, наприклад, довжина та маса – це різнорідні величини. Довжина, площа, маса, час, обсяг – величини. Початкове знайомство із нею відбувається у початковій школі, де величина поруч із числом є провідним поняттям. Величина – це особлива властивість реальних об'єктів чи явищ, і особливість у тому, що це властивість можна виміряти, тобто назвати кількість величини. Величини, які виражають одну і ту ж властивість об'єктів, називаються величинами одного родуабо однорідними величинами. Наприклад, довжина столу та довжина на кімнати – це однорідні величини. Величини - довжина, площа, маса та інші мають ряд властивостей. 1) Будь-які дві величини одного роду можна порівняти: вони або рівні, або одна менше (більше) іншої. Тобто, для величин одного роду мають місце відносини «рівно», «менше», «більше» і для будь-яких величин і справедливе одне і тільки одне із відносин: Наприклад, ми говоримо, що довжина гіпотенузи прямокутного трикутника більша, ніж будь-який катет даного трикутника; маса лимона менша, ніж маса кавуна; Довжини протилежних сторін прямокутника рівні. 2) Величини одного роду можна складати, в результаті додавання вийде величина того ж роду. Тобто. для будь-яких двох величин а та b однозначно визначається величина a+b, її називають сумоювеличин а та b. Наприклад, якщо a-довжина відрізка AB, b – довжина відрізка ВС (рис.1), то довжина відрізка АС є сума довжин відрізків АВ і ВС; 3) Величину множать на дійснечисло, отримуючи в результаті величину такого ж роду. Тоді для будь-якої величини і будь-якого неотрицательного числа x існує єдина величина b = x а, величину b називають творомвеличини а число x. Наприклад, якщо a – довжину відрізка АВ помножити на x = 2, то отримаємо довжину нового відрізка АС. (Рис.2) 4) Величини одного роду віднімають, визначаючи різницю величин через суму: різницею величин а і b називається така величина, що а = b + c. Наприклад, якщо а - Довжина відрізка АС, b - Довжина відрізка AB, то довжина відрізка ВС є різниця довжин відрізків і АС і АВ. 5) Величини одного роду ділять, визначаючи приватне через добуток величини на число; приватним величин а і b-називається таке невід'ємне дійсне число х, що а = х b. Найчастіше це число називають відношенням величин а і b і записують у такому вигляді: a/b = х.Наприклад, відношення довжини відрізка АС до довжини відрізка АВ дорівнює 2. (Рис №2). 6) Відношення «менше» для однорідних величин транзитивно: якщо А<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2 площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F3.Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью – их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение – заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице. p align="justify"> Процес порівняння залежить від роду аналізованих величин: для довжин він один, для площ - інший, для мас-третій і так далі. Але яким би не був цей процес, у результаті виміру величина набуває певного чисельного значення при обраній одиниці. Взагалі, якщо дана величина і обрана одиниця величини e, то результаті вимірювання величини а знаходять таке дійсне число x, що а=x e. Це число x називають чисельним значенням величини при одиниці е. Це можна записати так: х=m (a) .
Відповідно до визначення будь-яку величину можна представити у вигляді добутку деякого числа та одиниці цієї величини. Наприклад, 7 кг = 7∙1 кг, 12 см =12∙1 см, 15год =15∙1 год. Використовуючи це, і навіть визначення множення величини на число, можна обгрунтувати процес переходу від однієї одиниці величини до інший. Нехай, наприклад, потрібно виразити 5/12 год за хвилини. Так як, 5/12ч = 5/12 60хв = (5/12 ∙ 60)хв = 25хв. Величини, які цілком визначаються одним чисельним значенням, називаються скалярнимивеличинами. Такими, наприклад, є довжина, площа, обсяг, маса та інші. Крім скалярних величин, математики розглядають ще векторні величини. Для визначення векторної величини необхідно вказати як її чисельне значення, а й напрямок. Векторними величинами є сила, прискорення, напруженість електричного поля та інші. У початковій школі розглядаються лише скалярні величини, причому такі, чисельні значення яких є позитивними, тобто позитивними скалярними величинами. Вимір величин дозволяє звести порівняння їх до порівняння чисел, операції над величинами до відповідних операцій над числами. 1/. Якщо величини а і b виміряні за допомогою одиниці величини e, то відносини між величинами a і b будуть такими ж, як і відносини між їх чисельними значеннями, і навпаки. A = b m (a) = m (b), A>b m (a)>m (b), A
Наприклад, якщо маси двох тіл такі, що а=5 кг, b=3 кг, можна стверджувати, що маса а більше маси b оскільки 5>3. 2/ Якщо величини а і b виміряні за допомогою одиниці величини e, то щоб знайти чисельне значення суми a+b достатньо скласти чисельні значення величин а та b. а + b = m (a + b) = m (a) + m (b). Наприклад, якщо а = 15 кг, b = 12 кг, то а + b = 15 кг + 12 кг = (15 +12) кг = 27 кг Якщо величини а і b такі, що b = x а, де x -позитивне дійсне число, і величина а, виміряна за допомогою одиниці величини e, то щоб знайти чисельне значення величини b при одиниці e, достатньо число x помножити на число m (а): b = x a m (b) = x m (a). Наприклад, якщо маса а в 3 рази більша за масу b, тобто. b = За та а = 2 кг, то b = За = 3 ∙ (2 кг) = (3 ∙ 2) кг = 6 кг. Розглянуті поняття – об'єкт, предмет, явище, процес, його величина, чисельне значення величини, одиниця величини – треба вміти вичленяти у текстах та завданнях. Наприклад, математичний зміст пропозиції «Купили 3 кілограми яблук» можна описати так: у реченні розглядається такий об'єкт, як яблука, та його властивість – маса; для виміру маси використовували одиницю маси – кілограм; в результаті виміру отримали число 3-чисельне значення маси яблук при одиниці маси кілограм. Розглянемо визначення деяких величин та їх вимірів. Статистичний показник- Кількісна характеристика соціально-економічних явищ і процесів в умовах якісної визначеності. Розрізняють показник-категорію та конкретний статистичний показник: Конкретний статистичний показник- Цифрова характеристика досліджуваного явища або процесу. Наприклад: чисельність населення Росії зараз становить 145 млн.человек. За охопленням одиниць розрізняють індивідуальні та зведені показники. Індивідуальніпоказники - характеризують окремий об'єкт чи окрему одиницю сукупності (прибуток фірми, розмір вкладу окремої людини). Зведеніпоказники — характеризують частину сукупності чи всю статистичну сукупність загалом. Їх можна отримати як об'ємні та розрахункові. Об'ємні показники одержують шляхом складання значень ознаки окремих одиниць сукупності. Отримана величина називається обсягом ознаки. Розрахункові показники обчислюються за різними формулами та використовуються при аналізі соціально-економічних явищ. Статистичні показники за тимчасовим фактором поділяються на: Статистичні показники пов'язані між собою. Тому, щоб скласти цілісне уявлення про досліджуване явище або процес, необхідно розглядати систему показників. Вимірює та виражає явища суспільного життя за допомогою кількісних категорій – статистичних величин. Результати отримують насамперед у формі абсолютних величин, які є основою для розрахунку та аналізу статистичних показників на наступних етапах статистичного дослідження. Абсолютна величина— обсяг чи розмір досліджуваного події чи явища, процесу, що у відповідних одиницях виміру в конкретних умовах місця і часу. Результатом статистичного спостереження є показники, які характеризують абсолютні розміри або властивості явища, що вивчається, у кожної одиниці спостереження. Вони називаються індивідуальними абсолютними показниками. Якщо показники характеризують всю сукупність загалом, вони називаються узагальнюючими абсолютними показниками. Статистичні показники у формі абсолютних величин завжди мають одиниці виміру: натуральні чи вартісні. Натуральні одиниці виміру бувають простими, складовими та умовними. Прості натуральні одиницівимірювання — це тонни, кілометри, штуки, літри, милі, дюйми тощо. буд. У простих натуральних одиницях також вимірюється обсяг статистичної сукупності, т. е. кількість складових її одиниць, чи обсяг окремої її частини. Складові натуральні одиницівимірювання мають розрахункові показники, одержувані як добуток двох або кількох показників, що мають прості одиниці виміру. Наприклад, облік витрат праці на підприємствах виражається у відпрацьованих людино-днях (кількість працівників підприємства множиться на кількість відпрацьованих за період днів) або людино-годинах (кількість працівників підприємства множиться на середню тривалість одного робочого дня та на кількість робочих днів у періоді); вантажообіг транспорту виражається в тонно-кілометрах (маса перевезеного вантажу множиться на відстань перевезення) тощо. Умовно-натуральні одиницівиміри широко використовують у аналізі виробничої діяльності, коли потрібно визначити підсумкове значення однотипних показників, які безпосередньо непорівнянні, але характеризують одні й самі властивості об'єкта. Натуральні одиниці перераховуються на умовно-натуральні шляхом вираження різновидів явища в одиницях будь-якого зразка. Наприклад: Переведення в умовні одиниці здійснюється за допомогою особливих коефіцієнтів. Наприклад, якщо є 200 т мила з вмістом жирних кислот 40% і 100 т із вмістом жирних кислот 60%, то в перерахунку на 40%, отримаємо загальний обсяг 350 т умовного мила (коефіцієнт перерахунку визначається як відношення 60: 40 = 1 ,5 І, отже, 100 т · 1,5 = 150 т умовного мила). приклад 1. Знайти умовно-натуральну величину: Допустимо ми виробляємо зошити: Рішення: Відповідь: Умовно натуральна величина = 1000 * 1 + 200 * 2 + 50 * 4 + 100 * 8 = 2400 зошитів по 12 листів В умовах найбільше значення та застосування мають вартісні одиниці виміру: рублі, долари, євро, умовні грошові одиниці та ін. Для оцінки соціально-економічних явищ і процесів використовуються показники в поточних або фактично діючих цінах або порівнянних цінах. Сама по собі абсолютна величина не дає повного уявлення про явище, що вивчається, не показує його структуру, співвідношення між окремими частинами, розвиток у часі. У ньому не виявлено співвідношення з іншими абсолютними величинами. Тому статистика, не обмежуючись абсолютними величинами, широко використовує загальнонаукові методи порівняння, узагальнення. Абсолютні величини мають велике наукове та практичне значення. Вони характеризують наявність тих чи інших ресурсів та є основою різноманітних відносних показників. Поряд з абсолютними величинами і використовуються також різні відносні величини. Відносні величини є різними коефіцієнтами або відсотками. Відносні статистичні величини— це показники, які дають числову міру співвідношення двох величин, що співставляються між собою. Основна умова правильного розрахунку відносних величин - сумісність порівнюваних величин і наявність реальних зв'язків між явищами, що вивчаються. Відносна величина = порівнювана величина / базис За способом одержання відносні величини - це завжди величини похідні (вторинні). Вони можуть бути виражені: Відносна величина координації(Показник координації) - являє собою співвідношення частин сукупності між собою. При цьому в якості бази порівняння вибирається та частина, яка має найбільшу питому вагу або є пріоритетною з економічної, соціальної чи будь-якої іншої точки зору. ОВК = показник характеризує частину сукупності / показник характеризує частину сукупності, обрану за базис порівняння Відносна величина координації показує, у скільки разів одна частина сукупності більша або менша за іншу, прийняту за базу порівняння, або скільки відсотків від неї становить, або скільки одиниць однієї частини цілого припадає на 1, 10, 100, 1000,..., одиниць іншої (Базисної) частини. Наприклад 1999 р. у Росії налічувалося 68,6 млн.чоловіків і 77,7 млн.жінок, отже, на 1000 чоловіків доводилося (77,7/68,6)*1000=1133 жінки. Аналогічно можна розрахувати, скільки на 10 (100) інженерів доводиться техніків; число хлопчиків, що припадають на 100 дівчат серед новонароджених та ін. приклад: на підприємстві працюють 100 менеджерів 20 кур'єрів та 10 керівників. Відносна величина структури(Показник структури)- характеризує питому вагу частини у її загальному обсязі. Відносну величину структури часто називають "питомою вагою" або "часткою". ОВС = показник, що характеризує частину сукупності / показник по всій сукупності в цілому приклад: на підприємстві працюють 100 менеджерів 20 кур'єрів та 10 керівників. Усього 130 чол. Сума всіх ОВД повинна дорівнювати 100% або одиниці. Відносна величина порівняння(Показник порівняння) - характеризує співвідношення між різними сукупностями за однойменними показниками. Приклад 8: Обсяг виданих кредитів приватним особам на 1 лютого 2008 р. Ощадбанком Росії становив 520189 млн.руб, по Зовнішторгбанку - 10915 млн.руб. Абсолютна величина
Види абсолютних величин:
Форми обліку абсолютних величин:
До перерахунку =фактична споживча якість / еталон (заздалегідь задана якість)
Задаємо стандарт — 12 аркушів.
Вважаємо коефіцієнт перерахунку:Відносні величини
Розрізняють такі види відносних статистичних величин:
Наприклад, показник народжуваності у формі відносної величини, що обчислюється в проміле, показує кількість народжених за рік у розрахунку на 1000 осіб.Відносна величина координації
Рішення: ОВК = (100 / 20) * 100% = 500%. Менеджерів у 5 разів більше, ніж кур'єрів.
теж за допомогою ОВС (приклад 5): (77%/15%) * 100% = 500%Відносна величина структури
Відносна величина порівняння
Рішення:
ОВС = 520189/10915 = 47,7
Таким чином, обсяг виданих кредитів приватним особам Ощадбанком Росії на 1 лютого 2006 р. був вищим у 47,7 раза, ніж аналогічний показник Зовнішторгбанку.
