Зміст 4
Від редактора перекладу 10
Передмова до третього видання 13
Передмова до другого видання 15
Передмова до першого видання 16
Позначення 20
Глава 1. Вступ 22
§ 1. Пружність 22
§ 2. Напруги 23
§ 3. Позначення для сил та напруг 24
§ 4. Компоненти напруги 25
§ 5. Компоненти деформацій 26
§ 6. Закон Гука 28
§ 7. Індексні позначення 32
Завдання 34
Глава 2. Плоский напружений стан та плоска деформація 35
§ 8. Плоське напружене складалося 35
§ 9. Плоска деформація 35
§ 10. Напруги у точці 37
§ 11. Деформації у точці 42
§ 12. Вимірювання поверхневих деформацій 44
§ 13. Побудова кола деформацій Мора для розетки 46
§ 14. Диференціальні рівняння рівноваги 46
§ 15. Граничні умови 47
§ 16. Рівняння спільності 48
§ 17. Функція напруг 50
Завдання 52
Розділ 3. Двовимірні завдання у прямокутних координатах 54
§ 18. Рішення у поліномах 54
§ 19. Кінцеві ефекти. Принцип Сен-Венана 58
§ 20. Визначення переміщень 59
§ 21. Вигин консолі, навантаженої на кінці 60
§ 22. Вигин балки рівномірним навантаженням 64
§ 23. Інші випадки балок з безперервним розподілом навантаження 69
§ 24. Розв'язання двовимірної задачі за допомогою рядів Фур'є 71
§ 25. Інші додатки рядів Фур'є. Навантаження від власної ваги 77
§ 26. Вплив кондів. Власні функції 78
Завдання 80
Розділ 4. Двовимірні завдання у полярних координатах 83
§ 27. Загальні рівняння у полярних координатах 83
§ 28. Полярно-симетричний розподіл напруг 86
§ 29. Чистий вигин кривих брусів 89
§ 30. Компоненти деформацій у полярних координатах 93
§ 31. Переміщення при симетричних нулях напруг 94
§ 32. Диски, що обертаються 97
§ 33. Вигин кривого бруса силою, прикладеною на кінці 100
§ 34. Крайові дислокації 105
§ 35. Вплив круглого отвору на розподіл напруг у платівці 106
§ 36. Зосереджена сила, прикладена в деякій точці прямолінійного кордону 113
§ 37. Довільне вертикальне навантаження на прямолінійному кордоні 119
§ 38. Сила, що діє на вістря клину 125
§ 39. Згинальний момент, що діє на вістря клину 127
§ 40. Дія на балку зосередженої сили 128
§ 41. Напруги у круглому диску 137
§ 42. Сила, що діє в точці нескінченної платівки 141
§ 43. Узагальнене вирішення двовимірного завдання у полярних координатах 146
§ 44. Додатки узагальненого рішення у полярних координатах 150
§ 45. Клин, навантажений уздовж граней 153
§ 46. Власні рішення для клинів та вирізів 155
Завдання 158
Розділ 5. Експериментальні методи. Метод фотопружності та метод «муару» 163
§ 47. Експериментальні методи та перевірка теоретичних рішень 163
§ 48. Вимірювання напруг фотопружним методом 163
§ 49. Круговий полярископ 169
§ 50. Приклади визначення напруг фотопружним методом 171
§ 51. Визначення головної напруги 174
§ 52. Методи фотопружності у тривимірному випадку 175
§ 53. Метод муару 177
Глава 6. Двовимірні завдання у криволінійних координатах 180
§ 54. Функції комплексного змінного 180
§ 55. Аналітичні функції та рівняння Лапласа 182
§ 56. Функції напруг, виражені через гармонійні та комплексні функції 184
§ 57. Переміщення, що відповідають заданій функції напруг 186
§ 58. Вираз напруг і переміщень через комплексні потенціали 188
§ 59. Результуюча напруга, що діє по деякій кривій. Граничні умови 190
§ 60. Криволінійні координати 193
§ 61. Компоненти напруг у криволінійних координатах 196
Завдання 198
§ 62. Рішення в еліптичних координатах. Еліптичний отвір у пластинці з однорідним напруженим станом 198
§ 63. Еліптичний отвір у платівці, підданої одновісному розтягуванню 202
§ 64. Гіперболічні межі. Вирізи 206
§ 65. Біполярні координати 208
§ 66. Рішення в біполярних координатах 209
§ 67. Визначення комплексних потенціалів за заданими граничними умовами. Методи Н. І. Мусхелішвілі 214
§ 68 Формули для комплексних потенціалів 217
§ 69. Властивості напруг і деформацій, що відповідають комплексним потенціалам, аналітичним в галузі матеріалу, розташованої навколо отвору.
§ 70. Теореми для граничних інтегралів 221
§ 71. Функція ω(ξ), що відображає, для еліптичного отвору. Другий граничний інтеграл 224
§ 72. Еліптичний отвір. Формула для ψ(ζ) 225
§ 73. Еліптичний отвір. Приватні завдання 226
Завдання 229
Глава 7. Аналіз напруг та деформацій у просторовому випадку 230
§ 74. Вступ 230
§ 75. Головні напруження 232
§ 76. Еліпсоїд напруг і напрямна поверхня напруг 233
§ 77. Визначення головної напруги 234
§ 78. Інваріанти напруг 235
§ 79. Визначення максимальної дотичної напруги 236
§ 80. Однорідна деформація 238
§ 81. Деформації у точці тіла 239
§ 82. Головні осі деформацій 242
§ 83. Обертання 243
Завдання 245
Розділ 8. Загальні теореми 246
§ 84. Диференціальні рівняння рівноваги 246
§ 85. Умови сумісності 247
§ 86. Визначення переміщень 250
§ 87. Рівняння рівноваги у переміщеннях 251
§ 88. Загальне рішення для переміщень 252
§ 89. Принцип суперпозиції 253
§ 90. Енергія деформації 254
§ 91. Енергія деформації для крайової дислокації 259
§ 92. Принцип віртуальної роботи 261
§ 93. Теорема Кастільяно 266
§ 94. Додатки принципу мінімальної роботи. Прямокутні платівки 270
§ 95. Ефективна ширина широких полиць балок 273
Завдання 279
§ 96. Єдиність рішення 280
§ 97. Теорема взаємності 282
§ 98. Наближений характер рішень для плоского напруженого стану 285
Завдання 287
Розділ 9. Елементарні тривимірні завдання теорії пружності 289
§ 99. Однорідний напружений стан 289
§ 100. Розтягнення призматичного стрижня під дією власної ваги 290
§ 101. Кручення круглих валів постійного поперечного перерізу 293
§ 102. Чистий вигин призматичних стрижнів 294
§ 103. Чистий вигин платівок 298
Глава 10. Кручення 300
§ 104. Кручення прямолінійних стрижнів 300
§ 105. Еліптичний поперечний переріз 305
§ 106. Інші елементарні рішення 307
§ 107. Мембранна аналогія 310
§ 108. Кручення стрижня вузького прямокутного поперечного перерізу 314
§ 109. Кручення прямокутних стрижнів 317
§ 110. Додаткові результати 320
§ 111. Розв'язання задач про кручення енергетичним методом 323
§ 112. Кручення стрижнів прокатних профілів 329
§ 113. Експериментальні аналогії 331
§ 114. Гідродинамічні аналогії 332
§ 115. Кручення порожніх валів 335
§ 116. Кручення тонкостінних труб 339
§ 117. Гвинтові дислокації 343
§ 118. Кручення стрижня, один із поперечних перерізів якого залишається плоским 345
§ 119. Кручення круглих валів змінного діаметра 347
Завдання 355
Глава 11. Вигин брусів 359
§ 120. Вигин консолі 359
§ 121. Функція напруг 361
§ 122. Круглий поперечний переріз 363
§ 123. Еліптичний поперечний переріз 364
§ 124. Прямокутний поперечний переріз 365
§ 125. Додаткові результати 371
§ 126. Несиметричні поперечні перерізи 373
§ 127. Центр вигину 375
§ 128. Розв'язання задач вигину за допомогою методу мильної плівки 378
§ 129. Переміщення 381
§ 130. Подальші дослідження вигину брусів 382
Глава 12. Осесиметричні напруження та деформації в тілах обертання 384
§ 131. Загальні рівняння 384
§ 132. Рішення у поліномах 387
§ 133. Вигин круглої пластинки 388
§ 134. Тривимірне завдання про диск, що обертається 391
§ 135. Сила, прикладена в деякій точці нескінченного тіла 393
§ 136. Сферичний посуд під дією внутрішнього або зовнішнього рівномірного тиску 396
§ 137. Місцева напруга навколо сферичної порожнини 399
§ 138. Сила, прикладена на межі напівнескінченного тіла 401
§ 139. Навантаження, розподілене в частині кордону напівнескінченного тіла 405
§ 140. Тиск між двома сферичними тілами, що стикаються 412
§ 141. Тиск між двома дотичними тілами. Більш загальний випадок 417
§ 142. Зіткнення куль 422
§ 143. Симетрична деформація круглого циліндра 424
§ 144. Круглий циліндр під дією оперізувального тиску 428
§ 145. Рішення Буссінеска у вигляді двох гармонійних функцій 430
§ 146. Розтягнення гвинтової пружини (гвинтові дислокації в кільці) 431
§ 147. Чистий вигин частини круглого кільця 434
Глава 13. Температурна напруга 436
§ 148. Найпростіші випадки розподілу температурних напруг. Метод усунення деформацій 436
Завдання 442
§ 149. Поздовжня зміна температури в смузі 442
§ 150. Тонкий круглий диск: розподіл температури, симетричний щодо центру 445
§ 151. Довгий круглий циліндр 447
Завдання 455
§ 152. Сфера 455
§ 153. Загальні рівняння 459
§ 154. Теорема взаємності у термопружності 463
§ 155. Повні термопружні деформації. Довільний розподіл температури 464
§ 156. Термопружні переміщення. Інтегральне рішення В. М. Май-зеля 466
Завдання 469
§ 157. Початкова напруга 469
§ 158. Загальна зміна обсягу, пов'язана з початковою напругою 472
§ 159. Плоска деформація та плоский напружений стан. Метод усунення деформацій 472
§ 160. Двовимірні завдання зі стаціонарним потоком тепла 474
§ 161. Плоский термонапружений стан, викликаний обуренням однорідного потоку тепла ізольованим отвором 480
§ 162. Розв'язки загальних рівнянь. Термопружний потенціал переміщення 481
§ 163. Загальне двовимірне завдання для кругових областей 485
§ 164. Загальне двовимірне завдання. Рішення у комплексних потенціалах 487
Розділ 14. Розповсюдження хвиль у пружному суцільному середовищі 490
§ 165. Вступ 490
§ 166. Хвилі розширення та хвилі спотворення в ізотропному пружному середовищі 491
§ 167. Плоскі хвилі 492
§ 168. Поздовжні хвилі у стрижнях постійного перерізу. Елементарна теорія 497
§ 169. Поздовжнє зіткнення стрижнів 502
§ 170. Поверхневі хвилі Релея 510
§ 171. Хвилі зі сферичною симетрією в нескінченному середовищі 513
§ 172. Вибуховий тиск у сферичній порожнині 514
Додаток. Застосування кінцево-різницевих рівнянь у теорії пружності 518
§ 1. Висновок кінцево-різницевих рівнянь 518
§ 2. Методи послідовних наближень 522
§ 3. Метод релаксації 525
§ 4. Трикутні та шестикутні сітки 530
§ 5. Блокова та групова релаксації 535
§ 6. Кручення стрижнів з багатозв'язковими поперечними перерізами 536
§ 7. Точки, розташовані поблизу кордону 538
§ 8. Бігармонічне рівняння 540
§ 9. Кручення кругових валів змінного діаметра 548
§ 10. Розв'язання задач за допомогою ЕОМ 551
Іменний покажчик 553
Предметний покажчик 558

У розділах 4-6 були виведені основні рівняння теорії пружності, що встановлюють закони зміни напруг і деформацій на околиці довільної точки тіла, а також співвідношення, що зв'язують напруги з деформаціями та деформації з переміщеннями. Наведемо повну систему рівнянь теорії пружності декартових координатах.

Рівняння рівноваги Навье:

Співвідношення Коші:

Закон Гука (у прямій та зворотній формах):

Нагадаємо, що тут е = е х + е у + e z -відносна об'ємна деформація, а згідно із законом парності дотичних напруг Xj. = Tj;і відповідно у~ = ^ 7 . Постійні Лямі, що входять до (16.3, а), визначаються за формулами (6.13).

З наведеної системи видно, що вона включає 15 диференціальних і рівнянь алгебри, що містять 15 невідомих функцій (6 компонент тензора напруг, 6 компонент тензора деформацій і 3 компоненти вектора переміщення).

У силу складності повної системи рівнянь не можна знайти загальне рішення, яке було б справедливим для всіх завдань теорії пружності, що зустрічаються на практиці.

Існують різні способи зменшення кількості рівнянь, якщо як невідомі функції прийняти, наприклад, тільки напруги або переміщення.

Якщо, вирішуючи завдання теорії пружності, виключити з розгляду переміщення, замість співвідношення Коші (16.2) можна отримати рівняння, що пов'язують між собою компоненти тензора деформацій. Продиференціюємо деформацію г х,визначається першою рівністю (16.2), двічі по у,деформацію г у -двічі по х і складемо отримані вирази. В результаті отримаємо

Вираз, що стоїть у дужках, згідно з (16.2) визначає кутову деформацію у. Таким чином, останню рівність можна записати у вигляді

Аналогічно можна отримати ще дві рівності, які разом із останнім співвідношенням становлять першу групу рівнянь спільності деформацій Сен-Венана:

Кожна з рівностей (16.4) встановлює зв'язок між деформаціями в одній площині. Зі співвідношення Коші можуть бути також отримані умови спільності, що пов'язують деформації в різних площинах. Продиференціюємо вирази (16.2) для кутових деформацій наступним чином: у - по zу - по х;

По у; складемо дві перші рівності і віднімемо третю. В результаті отримаємо

Диференціюючи цю рівність по у і враховуючи, що,

приходимо до наступного співвідношення:

За допомогою кругової підстановки отримаємо ще дві рівності, які разом із останнім співвідношенням становлять другу групу рівнянь спільності деформацій Сен-Венана:

Рівняння спільності деформацій називають також умовами суцільностіабо нерозривності.Ці терміни характеризують те що, що з деформуванні тіло залишається суцільним. Якщо уявити тіло, що складається з окремих елементів і прийняти деформації ех, у вигляді довільних функцій, то в деформованому стані з цих елементів не вдасться скласти суцільне тіло. При виконанні умов (16.4), (16.5) переміщення меж окремих елементів будуть такими, що тіло й у деформованому стані залишиться суцільним.

Таким чином, одним із способів скорочення кількості невідомих при вирішенні завдань теорії пружності є виняток із розгляду переміщень. Тоді замість співвідношень Коші до повної системи рівнянь входитимуть рівняння спільності деформацій Сен-Венана.

Розглядаючи повну систему рівнянь теорії пружності, слід звернути увагу, що вона мало містить чинників, визначальних напружено-деформований стан тіла. До таких факторів відносяться форма та розміри тіла, способи його закріплення, що діють на тіло навантаження, за винятком об'ємних сил X, Y, Z.

Таким чином, повна система рівнянь теорії пружності встановлює лише загальні закономірності зміни напружень, деформацій та переміщень у пружних тілах. Розв'язання конкретної задачі може бути отримане, якщо задані умови навантаження тіла. Це дається в граничних умовах, які й відрізняють одне завдання теорії пружності від іншого.

З математичної точки зору також зрозуміло, що загальне рішення системи диференціальних рівнянь включає довільні функції і постійні, які і повинні бути визначені з граничних умов.

4. БУДОВА ЗЕМЛІ ЗА ДАНИМИ СЕЙСМОЛОГІЇ

Основи теорії пружності: тензор деформації, тензор напруги, закон Гука, пружні модулі, однорідні деформації, пружні хвилі в ізотропному середовищі, закони Ферма, Гюйгенса, Снелліуса. Сейсмічні хвилі. Розвиток сейсмометричних спостережень: сейсмічні станції та його мережі, годографи, траєкторії хвиль усередині Землі. Визначення швидкості поширення сейсмічних хвиль за допомогою рівняння Гертлоца-Віхерта. Швидкості поздовжніх та поперечних хвиль як функції радіусу Землі. Стан речовини Землі за даними сейсмології. Земна кора. Літосфера та астеносфера. Сейсмологія та глобальна тектоніка.

Основи теорії пружності[Ландау, Ліфшиц, 2003, с. 9-25, 130-144]

Тензор деформації

Механіка твердих тіл, що розглядаються як суцільні середовища, становить зміст теорії пружності. Основні рівняння теорії пружності було встановлено О.Л. Коші та С.Д. Пуассоном у 20-х роках 19 століття (докладніше див. розділ 15).

Під впливом прикладених сил тверді тіла у тому чи іншою мірою деформуються, тобто. змінюють свою форму та обсяг. Для математичного опису деформації тіла надходять в такий спосіб. Положення кожної точки тіла визначається її радіус-вектором r (з компонентами х 1 = х, х 2 = у, х 3 = z) в деякій системі координат. При деформуванні тіла його точки, взагалі кажучи, зміщуються. Розглянемо якусь певну точку тіла; якщо її радіус-вектор до деформування був r, то в деформованому тілі він матиме деяке інше

значення r/(з компонентами x i/). Зсув точки тіла при деформуванні зобразиться тоді вектором r / - r , який позначимо буквою u :

u = x/−x.

Вектор u називають вектор деформації(або вектор зсуву). Вектор знання u

як функції від х i повністю визначає деформацію тіла.

При деформуванні тіла змінюються відстані між його точками. Якщо радіусектор між ними до деформування був dx i , то в деформованому тілі радіус-

вектор між тими ж двома точками буде dx i / = dx i + du i. Сама відстань між точками до деформування дорівнювала:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2

а після деформування:

dl / = dx 1/2 + dx 2/2 + dx 3/2.

Остаточно отримуємо:

dl / 2 = dl 2 + 2 u

∂u i

∂u k

∂u l

∂u l

∂x k

∂x k

∂x i

∂x i

Цими виразами визначається зміна елемента довжини під час деформування тіла. Тензор u ik називається тензором деформації; за своїм визначенням він симетричний:

u ik = u ki.

Як і будь-який симетричний тензор, тензор u ik у кожній точці можна призвести до

головним осям і переконатися, що в кожному елементі об'єму тіла деформацію можна розглядати як сукупність трьох незалежних деформацій за трьома перпендикулярними напрямками – головними осями тензора деформації. Практично майже завжди деформування тіл деформації виявляються малими. Це означає, що зміна будь-якої відстані в тілі виявляється малою в порівнянні з самою відстанню. Інакше кажучи, відносні подовження малі проти одиницею.

За винятком деяких особливих випадків, яких торкатися не будемо, якщо тіло піддається малій деформації, всі компоненти тензора деформації також є малими. Тому у виразі (4.3) можна знехтувати останнім членом як малою величиною другого порядку. Таким чином, у разі малих деформацій тензор деформації визначиться виразом:

u = 1			∂u i	+ ∂ u k).
			∂x k	∂x i

Отже, сили є причиною рухів (переміщень), що виникають у тілі, а деформації – результатом рухів [Хайкін, 1963, с. 176].

Основне припущення класичної теорії пружності

У недеформованому тілі розташування молекул відповідає стану його теплової рівноваги. При цьому всі його частини знаходяться одна з одною та в механічній рівновазі. Це означає, що якщо виділити всередині тіла якийсь об'єм, то рівнодіюча всіх сил, що діють на цей об'єм з боку інших частин, дорівнює нулю.

При деформуванні розташування молекул змінюється, і тіло виводиться зі стану рівноваги, в якому воно знаходилося спочатку. В результаті в ньому виникнуть сили, які прагнуть повернути тіло до рівноваги. Ці внутрішні сили, що виникають при деформуванні, називаються внутрішніми напругами. Якщо тіло не деформовано, то внутрішні напруги в ньому відсутні.

Внутрішня напруга обумовлюються молекулярними зв'язками, тобто. силами взаємодії молекул тіла одна з одною. Дуже істотним для теорії пружності є та обставина, що молекулярні сили мають дуже незначний радіус дії. Їх вплив поширюється навколо частки, що їх створює, лише на відстані порядку міжмолекулярних. Однак у теорії пружності, як і макроскопічної теорії, розглядаються лише відстані, більші проти межмолекулярными. Тому «радіус дії» молекулярних сил у теорії пружності має вважатися рівним нулю. Можна сказати, що сили, що зумовлюють внутрішні напруження, є в теорії пружності силами «близькодіючими», що передаються від кожної точки лише до найближчих з нею точок.

Таким чином, у класичній теорії пружності сили, що діють на якусь частину тіла з боку оточуючих її частин, виявляють цю дію тільки безпосередньо через поверхнюцієї частини тіла.

По суті, такої ж ідеології стосовно теорії пружності за [Ландау, Ліфшиц, 2003] дотримується і автор фундаментальної праці [Хайкін, 1963, с. 484].

Тензор напруг

Висновок про те, що всі сили виявляють свою дію лише через поверхню, є ключовим для класичної теорії пружності. Він дозволяє для будь-якого об'єму тіла кожну з трьох компонентів рівнодіючої всіх внутрішніх напруг сил

∫ F i dV (де F i - сила, що діє на одиницю об'єму dV ) перетворити на інтеграл по поверхні цього об'єму. У разі, як випливає з векторного аналізу, вектор F i повинен бути дивергенцією деякого тензора другого рангу, тобто. мати вигляд:

Fi = ∂ σ ik . (4.6)

∂x k

Тоді сила, що діє на певний об'єм, може бути записана у вигляді інтеграла по замкнутій поверхні, що охоплює цей об'єм:

∫ Fi dV = ∫ ∂ ∂ σ x ik			= ∫ σ ik df k ,
де вектор d f = df 2			Df 2	спрямований	по зовнішній нормалі до поверхні,

що охоплює обсяг dV.

Тензор σ ik називається тензором напруг. Як видно з (4.7), i df k є i -я

компонента сили, що діє елемент поверхні d f . Вибираючи елементи поверхні в площинах ху , уz , xz знаходимо, що компонента σ ik тензора напруг

є i -я компонента сили, що діє на одиницю поверхні, перпендикулярну до осі x k . Так, на одиничний майданчик, перпендикулярний до осі х , діють нормальні

ній (спрямована вздовж осі х) сила xx і тангенціальні (спрямовані по осях y і z)

сили σ yx та σ zx .

Зазначимо, що сила, що діє з боку внутрішньої напруги на всю поверхню тіла, на відміну від (4.7) є:

− ∫ σ ik df k .

Записуючи момент сил M ik , що діють деякий об'єм тіла, у вигляді:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

і вимагаючи, щоб він виражався у вигляді інтеграла тільки по поверхні, отримуємо, що тензор напруги є симетричним:

σ ik = σ ki.

Такого висновку можна дійти і більш простим шляхом [Сівухін, 1974, с. 383]. А саме. Момент dM ik прямо пропорційний моменту елементарного інерції

обсягу dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 і, отже, отримуємо (F i x k − F k x i ) dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0 , звідки автоматично слідує співвідношення (4.8).

Симетрія тензора напруг дозволяє їх у кожній точці призвести до основних осях , тобто. у кожній точці тензор напруги може бути представлений у вигляді:

σ ik = σ xx + σ yy + σ zz.

У рівновазі сили внутрішніх напруг повинні взаємно компенсуватися кожному елементі обсягу тіла, тобто. має бути F i = 0. Таким чином, рівняння

рівноваги деформованого тіла мають вигляд:

∂ σ ik = 0 .

∂x k

Якщо тіло знаходиться в полі сили тяжіння, то повинна зникати сума F + ρ g сил внутрішньої напруги F і сили тяжіння ρ g , що діє на одиницю об'єму, ρ -

густина тіла, g – вектор прискорення вільного падіння. Рівняння рівноваги у цьому випадку мають вигляд:

∂ σ ik + ρ g i = 0 .
∂x k

Енергія деформування

Розглянемо якесь деформоване тіло і припустимо, що його деформація змінюється так, що вектор деформації u i змінюється на малу величину δ u i .

Визначимо роботу, яку виконує при цьому силами внутрішніх напруг. Помножуючи силу (4.6) на переміщення і інтегруючи по всьому об'єму тіла, отримаємо:

		∫ ∂ x k
	δ RdV =		∂ σ ik	δ ui dV.

Символом R позначена робота сил внутрішніх напруг в одиниці об'єму тіла. Інтегруючи частинами, розглядаючи необмежену середу, не деформовану на нескінченності, спрямовуючи поверхню інтегрування в нескінченність, тоді на ній σ ik = 0 отримуємо:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

Отже, знаходимо:

δ R = − σ ikδ u ik .

Отримана формула визначає роботу зі зміни тензора деформації, яка визначає зміну внутрішньої енергії тіла.

Російський державний університет

нафти та газу ім. І.М.Губкіна

Кафедра технічної механіки

РЕФЕРАТ

"Теорія пружності"

Виконав: Поляков А. А.

Перевірив: Євдокимов А.П.

Москва 2011

теорія пружність рівняння

1. Введення

Теорія напружено-деформованого стану у точці тіла

2.1 Теорія напруг

2 Теорія деформацій

3 Зв'язок між напруженим та деформованим станом для пружних тіл

Основні рівняння теорії пружності. Типи завдань теорії пружності

1 Основні рівняння теорії пружності

2 Типи завдань теорії пружності

4 Рівняння теорії пружності в переміщеннях (рівняння Ламе)

Варіаційні принципи теорії пружності

1 Принцип можливих переміщень (принцип Лагранжа)

2 Принцип можливих станів (принцип Кастільяно)

3 Співвідношення між точним рішенням та рішеннями, одержуваними на основі принципів Лагранжа та Кастільяно

Список використаної літератури

1. Введення

Теорії напруг і деформацій було створено О. Коші. Вони викладені в роботі, представленій до Паризької академії наук у 1822 р., короткий зміст якої опубліковано у 1823 р. та низці наступних статей. О.Коші вивів три рівняння рівноваги елементарного чотиригранника, довів закон парності дотичних напруг, ввів поняття головних осей та головних напруг та вивів диференціальні рівняння рівноваги (зазвичай вони в курсі опору матеріалів не виводяться). Їм же введена поверхня нормальних напруг (квадрика Коші), на якій розташовуються кінці радіус-векторів, напрямки яких збігаються з напрямком нормалей до майданчиків, а величина обернено пропорційна кореню квадратному з абсолютної величини нормальної напруги в цьому майданчику, і доведено, що ця поверхня є поверхнею другого порядку із центром на початку координат. Можливість перетворення поверхні нормальних напруг до основних осей свідчить про існування у кожній точці трьох взаємно основних перпендикулярних площадок.

Аналогічна поверхня дотичних напруг було запроваджено російським механіком Г.В. Колосовим у 1933 р.

Геометрична інтерпретація напруженого стану у просторі у вигляді еліпсоїда напруг була дана Г. Ламе та Б. Клапейроном у їх мемуарах, представлених до Паризької академії наук у 1828 р. та опублікованих у 1833 р.

Геометричне зображення напруженого стану на площині для однієї серії майданчиків, що проходять через головну вісь, у вигляді кола напруги було запропоновано К. Кульманом в його книзі в 1866 р.

Для загального випадку напруженого стану дуже наочна геометрична інтерпретація його на площині дана О. Мором (так звана кругова діаграма Мора) в 1882 р. З неї можна зробити ряд важливих висновків про екстремальність головних напруг, положення майданчиків, в яких дотичні напруги максимальні, і про величини цих максимальних дотичних напруг.

О.Коші дав визначення деформацій, вивів залежність їх від переміщень у окремому випадку малих деформацій (ці залежності, як правило, в курсі опору матеріалів не виводяться), визначив поняття головних напруг і головних деформацій і отримав залежності компонентів напруг від компонентів деформацій, як для ізотропного, так анізотропного пружного тіла. У опорі матеріалів зазвичай встановлюються залежності компонентів деформацій від компонентів напруги для ізотропного тіла. Вони називаються узагальненим законом Гука, хоча, звісно, ​​це назва умовно, оскільки Р. Гуку поняття напруги відомо, був.

У зазначених залежностях Коші спочатку ввів дві постійні і записав залежності напруг від деформацій у вигляді

m, ,

Однак надалі О.Коші прийняв концепцію Л. Навье. Згідно з нею, пружні тіла складаються з молекул, між якими при деформуванні виникають сили, що діють за напрямами прямих ліній, що з'єднують молекули, і пропорційні зміні відстаней між молекулами. Тоді число постійних пружних для загального випадку анізотропного тіла дорівнює 15, а для тіла ізотропного отримуємо одну пружну постійну. Цієї гіпотези дотримувався С. Пуассон, а спочатку - Г. Ламе та Б. Клапейрон. З її Пуассон встановив, що коефіцієнт поперечної деформації дорівнює 1/4.

Д. Грін у 1839 р. вивів залежність між деформаціями та напруженнями без використання гіпотези про молекулярну будову пружних тіл. Він отримав їх на основі принципу збереження енергії, ввівши поняття пружного потенціалу, і показав, що при використанні лінійних залежностей шести компонентів деформацій від шести компонентів напруг з 36 незалежними коефіцієнтів є 21, тобто в загальному випадку анізотропного тіла число пружних постійних дорівнює 21 .Для ізотропного тіла число пружних постійних знижується до двох. Теорія, в якій кількість пружних постійних для анізотропного тіла дорівнює 15, а для ізотропного 1, іноді називалася «рариконстантною» або «уніконстантною», а теорія, в якій кількість пружних постійних для анізотропного тіла дорівнює 21, а для ізотропного 2 - мультиконстантної .

Суперечка між прихильниками цих теорій спонукала фізиків до експериментальних досліджень.

Г. Вертгейм на підставі вимірів внутрішніх обсягів скляних та металевих труб при осьовому розтягуванні встановив у 1848 р., що коефіцієнт поперечної деформації не дорівнює 1/4. Він вважав його різним для різних матеріалів, але для багатьох матеріалів близьким до 1/3.

А Я. Купфер, відчуваючи в 1853 р. на розтягування і кручення, металеві стрижні, також отримав, що відношення модулів при зсуві та розтягуванні не відповідає величині поперечної деформації, що дорівнює 1/4.

Ф. Нейманн випробовував у 1855 р. на вигин зразки прямокутного поперечного перерізу і вимірював при цьому кути повороту двох граней балки, (перечний переріз набуває трапецеїдальної форми). В результаті він показав, що коефіцієнт поперечної деформації не дорівнює 1/4. Такого ж висновку дійшов Г. Кірхгоф, учень Ф. Неймана, на підставі проведених у 1859 р. випробувань на спільний вигин та кручення круглих латунних стрижнів, зароблених одним кінцем і навантажених на іншому зосередженою силою, із виміром кута закручування стрижня та кута .

Велике експериментальне дослідження коефіцієнтів поперечної деформації для різних сортів сталі, провів один із учнів Г.Кірхгофа М.Ф. Окатів у 1865 – 1866 рр. Результати наведені в його докторській дисертації. .Вони підтвердили правильність мультиконстантної теорії.

Глибоке дослідження математичної структури закону Гука для анізотропних тіл було проведено механіком та інженером Яном Рихлевським у 1984 р. на основі введеного ним поняття власного пружного стану. Зокрема, їм показано, що 21 пружна постійна є шість істинних модулів жорсткості, 12 дистриб'юторів жорсткості і три кути.

2. Теорія напружено-деформованого стану у точці тіла

1 Теорія напруг

Внутрішні силові фактори, що виникають при навантаженні пружного тіла, характеризують стан того чи іншого перерізу тіла, але не дають відповіді на питання про те, яка саме точка поперечного перерізу є найбільш навантаженою, або, як кажуть, небезпечною точкою. Тому необхідно ввести на розгляд якусь додаткову величину, що характеризує стан тіла у цій точці.

Якщо тіло, якого прикладені зовнішні сили, перебуває у рівновазі, то у будь-якому його перерізі виникають внутрішні сили опору. Позначимо через внутрішній зусилля, що діє на елементарний майданчик, а нормаль до цього майданчика через тоді величина

називається повною напругою.

У загальному випадку повна напруга не збігається у напрямку з нормаллю до елементарного майданчика, тому зручніше оперувати його складовими уздовж координатних осей.

Якщо зовнішня нормаль збігається з будь-якої координатної віссю, наприклад, з віссю Х, то складові напруги набудуть вигляду при цьому складова виявляється перпендикулярною перерізу і називається нормальною напругою, а складові будуть лежати в площині перерізу і називаються дотичними напругами.

Щоб легко розрізняти нормальні та дотичні напруги зазвичай застосовують інші позначення: - нормальна напруга; - дотична.

Виділимо з тіла, що під дією зовнішніх сил, нескінченно малий паралелепіпед, грані якого паралельні координатним площинам, а ребра мають довжину . На кожній грані такого елементарного паралелепіпеда діють по три складові напруги, паралельні координатним осям. Усього на шести гранях отримаємо 18 складових напруг.

Нормальна напруга позначається у вигляді , де індекс позначає нормаль до відповідної грані (тобто може набувати значення ). Дотичні напруги мають вигляд; тут перший індекс відповідає нормалі до того майданчика, де діє дане дотичне напруга, а другий вказує вісь, паралельно якої ця напруга спрямовано (рис.1).

Рис.1. Нормальна та дотична напруга

Для цих напруг прийнято таке правило символів. Нормальна напруга вважається позитивною при розтягуванні, або, що те саме, коли вона збігається з напрямком зовнішньої нормалі до майданчика, на якому діє. Відносна напруга вважається позитивною, якщо на майданчику, нормаль до якої збігається з напрямом паралельної їй координатної осі, воно спрямоване у бік відповідної напруги позитивної координатної осі.

Складові напруги є функціями трьох координат. Наприклад, нормальну напругу в точці з координатами можна позначати

У точці, яка віддалена від розглянутої на нескінченно малій відстані, напругу з точністю до нескінченно малих першого порядку можна розкласти в ряд Тейлора:

Для майданчиків, які паралельні площині змінюється тільки координата х, а прирощення Тому на межі паралелепіпеда, що збігається з площиною нормальна напруга буде, а на паралельній грані, що віддаляється на нескінченно малій відстані, - напруги на інших паралельних гранях паралелепіпеда пов'язані аналогічним чином. Отже, із 18 складових напруги невідомими є лише дев'ять.

Теоретично пружності доводиться закон парності дотичних напруг, згідно з яким за двома взаємно перпендикулярними майданчиками складові дотичних напруг, перпендикулярні лінії перетину цих майданчиків, рівні один одному:

Рівності (2) призводять до того, що з дев'яти складових напруг, що характеризують напружений стан у точці тіла, залишаються лише шість:

Можна показати, що напруги (3) не просто характеризують напружений стан тіла у цій точці, але визначають його однозначно. Сукупність цих напруг утворює симетричну матрицю, яка називається тензором напруг:

(4)

При множенні тензора на скалярну величину вийде новий тензор, всі компоненти якого в раз більше компонентів вихідного тензора.

2 Теорія деформацій

Під впливом зовнішніх навантажень пружне тіло змінює свою форму, деформується. При цьому точки тіла приймають якесь нове положення. Для визначення деформації пружного тіла порівняємо положення точок тіла до і після застосування навантаження.

Розглянемо точку ненавантаженого тіла та її нове положення після застосування навантаження. Вектор називається вектор переміщення точки (рис.2).

Рис.2. Вектор переміщення точки

Можливі два види переміщень: переміщення всього тіла як єдиного цілого без деформування – такі переміщення вивчає теоретична механіка як переміщення абсолютно твердого тіла, та переміщення, пов'язане з деформацією тіла – такі переміщення вивчає теорія пружності.

Позначимо проекції вектора переміщення точки координатні осі через відповідно. Вони рівні різниці відповідних координат точок і :

і є функціями координат:

Деформування тіла викликане різницею у переміщеннях різних точок. Нескінченно малий паралелепіпед з ребрами вирізаний з пружного тіла біля довільної точки, внаслідок різних переміщень його точок деформується таким чином, що змінюється довжина ребер і спотворюються спочатку прямі кути між гранями.

На рис.3.3 показані два ребра цього паралелепіпеда: і довжина ребра дорівнює а ребра -

Після деформації точки приймають положення При цьому точка отримає переміщення, складові якого в площині креслення рівні і Точка віддалена від точки на нескінченно малій відстані отримає переміщення, складові якого відрізнятимуться від складових переміщення точки на нескінченно малу величину за рахунок зміни координати

Рис.3. Лінійні та кутові деформації

Складові переміщення точки відрізнятимуться від складових переміщення точки на нескінченно малу величину за рахунок зміни координати

Довжина проекції ребра на вісь після деформації:

Проекція абсолютного подовження ребра на вісь

Відносне подовження вздовж осі

(6)

називається лінійною деформацією у напрямку осі.

Аналогічно визначаються лінійні деформації за напрямками осей та

(7)

Розглянемо зміну кутів між ребрами паралелепіпеда (рис.3). Тангенс кута повороту ребра у площині

Внаслідок малості деформацій а лінійною деформацією можна знехтувати через її дещицю порівняно з одиницею, і тоді

Аналогічним чином можна визначити кут повороту ребра у тій самій площині:

Спотворення прямого кута називається кутовий деформацією і визначається як сума кутів повороту ребер і :

(8)

Таким же чином визначаються кутові деформації у двох інших координатних площинах:

(9)

Формули (6)-(9) дають шість основних залежностей для лінійних та кутових деформацій від складових переміщення. Ці залежності називаються рівняннями Коші:

(10)

У межі, коли довжини ребер паралелепіпеда прагнуть нуля, співвідношення Коші визначають лінійні і кутові деформації в околиці точки

Позитивним лінійним деформаціям відповідають подовження, а негативним – укорочення. Кут зсуву вважається позитивним при зменшенні кута між позитивними напрямками відповідних координатних осей і негативним - інакше.

Аналогічно тензору напруги, деформований стан тіла в даній точці описується тензором деформацій

(11)

Як і тензор напруги, тензор деформацій є симетричною матрицею, яка містить дев'ять компонентів, шість з яких є різними.

2.3 Зв'язок між напруженим та деформованим станом для пружних тіл

Залежності між напругами та деформаціями носять фізичний характер. Обмежуючись малими деформаціями, зв'язок між напругами та деформаціями можна вважати лінійним.

При випробуванні стрижня на розтягування (про механічні випробування матеріалів буде докладно розказано в наступному розділі) встановлено пропорційну залежність між нормальною напругою та лінійною деформацією в одному напрямку, яка називається законом Гука:

де пружна стала називається модулем поздовжньої пружності.

Тим самим експериментальним шляхом встановлений зв'язок між лінійними деформаціями в поздовжньому та поперечному напрямках:

де - Лінійна деформація в поперечному напрямку, - друга пружна постійна, звана коефіцієнтом Пуассона.

При механічних випробуваннях на чисте зрушення встановлена ​​прямо пропорційна залежність між дотичною напругою та кутовою деформацією в площині дії цієї напруги, яка отримала назву закону Гука при зсуві:

де величина є третьою постійною пружною і називається модулем зсуву. Однак це пружна постійна перестав бути незалежної, т.к. пов'язана з першими двома залежністю

Щоб встановити залежності між деформаціями і напругами, виділимо з тіла нескінченно малий паралелепіпед (рис.1) і розглянемо дію лише нормальних напруг. Різницею напруг на протилежних гранях паралелепіпеда можна знехтувати, т.к. вона призводить до деформацій вищого порядку малості.

Визначимо подовження ребра паралельної напруги При дії цієї напруги згідно із законом Гука (3.12) відбудеться відносне подовження ребра

Напруга викликає аналогічне подовження в напрямку, перпендикулярному до ребра

а в напрямку ребра - укорочення, яке згідно (13) складає

або з урахуванням вираження деформації

Аналогічно визначається відносне скорочення ребра при дії напруги

На підставі принципу незалежності дії сил повне відносне подовження ребра можна визначити як суму подовжень від дії кожної напруги:

Аналогічно можна визначити лінійні деформації за напрямками двох інших осей:

Відповідно до закону Гука при зсуві (14) зв'язок між кутовими деформаціями та дотичними напругами можна уявити незалежно для кожної з трьох площин, паралельних координатним площинам:

Таким чином, отримано шість формул, які виражають лінійну залежність між складовими деформації та напружень в ізотропному пружному тілі та називаються узагальненим законом Гука:

(16)

3. Основні рівняння теорії пружності. Типи завдань теорії пружності

Основне завдання теорії пружності – визначення напружено-деформованого стану за заданими умовами навантаження та закріплення тіла.

Напружено-деформований стан визначено, якщо знайдено компоненти тензора напруги (s) і вектора переміщень, дев'ять функцій.

3.1 Основні рівняння теорії пружності

Для того, щоб знайти ці дев'ять функцій, треба записати основні рівняння теорії пружності, або:

Диференціальні Коші

(17)

де – компоненти тензора лінійної частини деформацій Коші;

компоненти тензора похідної переміщення радіусом.

Диференціальні рівняння рівноваги

де – компоненти тензора напруг; - Проекція об'ємної сили на вісь j.

Закон Гука для лінійно-пружного ізотропного тіла

де - Константи Лами; для ізотропного тіла Тут - нормальні та дотичні напруги; деформації та кути зсуву відповідно.

Перераховані вище рівняння повинні задовольняти залежностям Сен-Венана

Теоретично пружності завдання вирішено, якщо виконуються всі основні рівняння.

2 Типи завдань теорії пружності

Граничні умови лежить на поверхні тіла повинні виконуватися й у залежність від типу граничних умов розрізняють три типи завдань теорії пружності.

Перший тип. На поверхні тіла задано сили. Граничні умови

Другий тип. Завдання, у яких на поверхні тіла встановлено переміщення. Граничні умови

Третій тип. Змішані завдання теорії пружності. На частині поверхні тіла задані сили, частини поверхні тіла задано переміщення. Граничні умови

Завдання, в яких на поверхні тіла задані сили або переміщення, а потрібно знайти напружено-деформований стан усередині тіла і те, що не задано на поверхні називають прямими завданнями. Якщо ж усередині тіла задані напруги, деформації, переміщення і т.д., а потрібно визначити те, що не задано всередині тіла, а також переміщення та напруги на поверхні тіла (тобто знайти причини, що викликали такий напружений деформований стан)), то такі завдання називаються оберненими.

4 Рівняння теорії пружності у переміщеннях (рівняння Ламе)

Для визначення рівнянь теорії пружності у переміщеннях запишемо: диференціальні рівняння рівноваги (18) закон Гука для лінійно-пружного ізотропного тіла (19)

Якщо врахувати, що деформації виражаються через переміщення (17), запишемо:

Слід також нагадати, що кут зсуву пов'язаний із переміщеннями наступним співвідношенням (17):

(23)

Підставивши в перше рівняння рівностей (19) вираз (22), отримаємо, що нормальні напруги

(24)

Зазначимо, що запис іц у разі не передбачає підсумовування по i.

Підставивши у друге рівняння рівностей (19) вираз (23), отримаємо, що дотичні напруги

(25)

Запишемо рівняння рівноваги (18) у розгорнутому вигляді для j = 1

(26)

Підставивши в рівняння (26) вирази для нормальних (24) та дотичних (25) напруг, отримаємо

де - константа Ламе, яка визначається за виразом:

Підставимо вираз (28) в рівняння (27) і запишемо,

де визначається за виразом (22), або у розгорнутому вигляді

Розділимо вираз (29) на G і наведемо подібні доданки та отримаємо перше рівняння Лами:

(30)

де - оператор Лапласа (гармонічний оператор), який визначатиметься як

(31)

Аналогічно можна отримати:

(32)

Рівняння (30) та (32) можна записати в наступному вигляді:

(33)

Рівняння (33) або (30) та (32) є рівняннями Ламе. Якщо об'ємні сили дорівнюють нулю або постійні, то

(34)

причому запис у разі не передбачає підсумовування по i. Тут

Можна показати, що таке уявлення переміщень через гармонійну функцію перетворює на тотожність рівняння Ламе (33). Часто їх називають умовами Попковича-Гродського. Чотири гармонійні функції не обов'язкові, адже ф0 можна прирівняти до нуля.

4. Варіаційні засади Теорії пружності.

1 Принцип можливих переміщень (принцип Лагранжа)

Принцип Лагранжа. Для тіла, що знаходиться в рівновазі, робота зовнішніх і внутрішніх сил на будь-яких можливих нескінченно малих приростах переміщень дорівнює нулю.

Використовуючи теорему Клапейрона, що для упругодеформованого тіла варіюючи переміщенням, отримуємо принцип Лагранжа

Можливими у механіці деформованих тіл називають такі переміщення, які задовольняють зовнішнім та внутрішнім зв'язкам, накладеним на тіло.

Зовнішні зв'язки – це умови закріплення, внутрішні зв'язки – умова суцільності.

Щоб задовольнити внутрішні зв'язки, треба, щоб збільшення переміщень були безперервними однозначними функціями координат.

У такій формі принцип Лагранжа справедливий для будь-яких тіл, що деформуються.

Для пружних тіл було отримано, що

(41)

Тоді (40) з урахуванням (41) запишеться як

(42)

де W - питома деформація, а

Тут U – варіація всієї потенційної енергії тіла.

Підставимо в (42) вираз (43), і оскільки сили не варіюються, запишемо, що

(44)

Рівняння (44) є варіаційним рівнянням Лагранжа.

Якщо сили консервативні, то перші два інтеграли є зміною потенціалу зовнішніх сил при переході з недеформованого стану в деформований.

Потенціал зовнішніх сил

(45)

де - Можлива робота зовнішніх сил при переході з недеформованого в деформований стан обчислена в припущенні, що зовнішні сили залишаються незмінними. Повна енергія системи

Тоді з урахуванням виразів (44) - (46) принцип Лагранжа запишеться:

тобто варіація повної енергії системи у положенні рівноваги на можливих переміщеннях дорівнює нулю. Вираз (47) є варіаційним рівнянням Лагранжа у разі дії лише консервативних сил.

У положенні стійкої рівноваги повна енергія П мінімальна,

Принцип Лагранжа – принцип мінімальної енергії.

2 Принцип можливих станів (принцип Кастільяно)

Будемо називати можливими станами такі, що знаходяться відповідно до зовнішніх і внутрішніх сил, тобто задовольняють рівнянням рівноваги.

Рівняння (57) записує принцип Кастільяно. При можливих змінах напруженого стану тіла варіація дорівнює інтегралу по тій частині поверхні тіла, де задані переміщення від творів можливих поверхневих сил на переміщення.

3 Співвідношення між точним рішенням та рішеннями, одержуваними на основі принципів Лагранжа та Кастільяно

На основі принципу Лагранжа, вибираючи якісь функції, або їх набір, і так як набір функцій обмежений, то отримуємо меншу кількість ступенів свободи системи, таким чином зменшуємо і ступінь свободи конструкції. Тобто в енергетичному сенсі рішення виходить жорсткішим, ніж точне.

Якщо брати інтегральні характеристики, то наближене рішення жорсткіше інтегрально.

При розв'язанні задачі про навантаження шарнірно опертої балки поперечною силою в середині прольоту (рис. 1), наближене рішення дасть менше переміщення під силою, ніж при точному рішенні.

точне рішення

При вирішенні того ж завдання за допомогою варіаційного принципу Кастільяно, оскільки не виконується умова суцільності, система отримує більшу свободу, ніж насправді.

Точне рішення знаходиться між цими двома наближеними способами (Лагранжа і Кастільяно). Іноді різниця між отриманими рішеннями невелика.

5. Список використаної літератури

1. Александров А.В., Потапов В.Д. Основи теорії пружності та пластичності. 400 стор.Вища школа.1990г.

2. Веретімус Д.К. Основи теорії пружності. Частина I. Теорія напруг. Методичний посібник за курсом «Основи теорії пружності та пластичності». 2005.-37с.

Веретімус Д.К. Основи теорії пружності. Частина II. Теорія деформацій. Зв'язок між напруженим та деформованим станом. Методичний посібник за курсом «Основи теорії пружності та пластичності», 2005.-53с.

Веретімус Д.К. Основи теорії пружності. Частина III. Основні рівняння теорії пружності. Типи завдань теорії пружності. Методичний посібник за курсом «Основи теорії пружності та пластичності», 2005.-45с.