Концепція нечіткого висновкузаймає найважливіше місце у нечіткій логіці Алгоритм Mamdani, Алгоритм Tsukamoto, Алгоритм Sugeno, Алгоритм Larsen, Спрощений алгоритм нечіткого виведення, Методи приведення до чіткості.

Використовуваний у різноманітних експертних і керуючих системах механізм нечітких висновків у своїй основі має базу знань, що формується фахівцями предметної галузі у вигляді сукупності нечітких предикатних правил виду:

П1: якщо хє A 1 , тоді ує B 1 ,

П2: якщо хє А 2 , тоді ує У 2 ,

·················································

П n: якщо хє Аn, тоді ує в n, де х- Вхідна змінна (ім'я для відомих значень даних), у- Змінна виводу (ім'я для значення даних, яке буде обчислено); А і В - функції приналежності, визначені відповідно на xі у.

Приклад такого правила

Якщо х- низько, то у- Високо.

Наведемо детальніше пояснення. Знання експерта А → В відображає нечітке причинне відношення передумови та висновки, тому його можна назвати нечітким ставленням і позначити через R:

R= А → В,

де "→" називають нечіткою імплікацією.

Ставлення Rможна розглядати як нечітке підмножина прямого твору Х×Уповної множини передумов Xта висновків Y. Таким чином, процес отримання (нечіткого) результату виведення В" з використанням даного спостереження А"та знання А → В можна подати у вигляді формули

В" = А" ᵒ R= А" ᵒ (А → В),

де "о" - введена вище операція згортки.

Як операцію композиції, так і операцію імплікації в алгебри нечітких множин можна реалізовувати по-різному (при цьому, природно, буде різнитися і підсумковий отримуваний результат), але в будь-якому випадку загальний логічний висновок здійснюється за наступні чотири етапи.

1. Нечіткість(Введення нечіткості, фазифікація, fuzzifica-tion). Функції власності, визначені на вхідних змінних застосовуються до їх фактичним значенням визначення ступеня істинності кожної передумови кожного правила.

2. Логічний висновок.Обчислене значення істинності для передумов кожного правила застосовується до висновків кожного правила. Це призводить до одного нечіткого підмножини, яке буде призначено кожною змінною виводу для кожного правила. Як правила логічного висновку зазвичай використовуються тільки операції min (МІНІМУМ) або prod (УМНОЖЕННЯ). У логічному висновку МІНІМУМУ функція приналежності виведення «відсікається» по висоті, відповідної обчисленої ступеня істинності передумови правила (нечітка логіка «І»). У логічному висновку ПРИМНОЖЕННЯ функція приналежності виведення масштабується за допомогою обчисленого ступеня істинності передумови правила.

3. Композиція.Усі нечіткі підмножини, призначені до кожної змінної висновку (в усіх правилах), об'єднуються разом, щоб формувати одне нечітке підмножина для кожної змінної висновку. При такому об'єднанні зазвичай використовуються операції max (МАКСИМУМ) або sum (СУМА). При композиції МАКСИМУМА комбінований висновок нечіткого підмножини конструюється як поточковий максимум по всіх нечітких підмножин (нечітка логіка «АБО»). При композиції СУМИ комбінований висновок нечіткого підмножини конструюється як поточечная сума за всіма нечіткими підмножинами, призначеними змінною виведення правилами логічного висновку.

4. На закінчення (додатково) - приведення до чіткості(дефазифікація, defuzzification), яке використовується, коли корисно перетворити нечіткий набір висновків у чітке число. Є велика кількість методів приведення до чіткості, деякі з яких розглянуті нижче.

приклад.Нехай деяка система описується наступними нечіткими правилами:

П1: якщо хє А, тоді ω є D,

П2: якщо ує В, тоді ω є Е,

П3: якщо zє С, тоді ω є F, де х, уі z- Імена вхідних змінних, ω - Ім'я змінної виведення, а А, В, С, D, Е, F - задані функції приналежності (трикутної форми).

Процедура отримання логічного висновку ілюструє рис. 1.9.

Передбачається, що вхідні змінні прийняли деякі конкретні (чіткі) значення. х о,yоі zо.

Відповідно до наведених етапів, на етапі 1 для даних значень і виходячи з функцій належності А, В, С знаходяться ступеня істинності α (х о), α (у о)і α (z o) Для передумов кожного з трьох наведених правил (див. рис. 1.9).

На етапі 2 відбувається «відсікання» функцій належності висновків правил (тобто D, Е, F) на рівнях α (х о), α (у о) та α (z o).

На етапі 3 розглядаються усічені на другому етапі функції приналежності і проводиться їх об'єднання з використанням операції max, в результаті чого виходить комбіноване нечітке підмножина, що описується функцією приналежності μ ∑ (ω) і відповідне логічному висновку для вихідної змінної ω .

Нарешті, на 4-му етапі - за необхідності - знаходиться чітке значення вихідний змінної, наприклад, із застосуванням центроїдного методу: чітке значення вихідної змінної визначається як центр тяжкості для кривої μ ∑ (ω), тобто.

Розглянемо такі найчастіше використовувані модифікації алгоритму нечіткого висновку, вважаючи, для простоти, що базу знань організують два нечіткі правила виду:

П1: якщо хє A 1 та ує B 1 , тоді zє C 1 ,

П2: якщо хє А 2 та ує У 2 , тоді zє З 2 , де xі у- Імена вхідних змінних, z- Ім'я змінної виводу, A 1 , А 2 , B 1 , В 2 , C 1 , С 2 - деякі задані функції приналежності, при цьому чітке значення z 0 необхідно визначити на основі наведеної інформації та чітких значень x 0 та у 0 .

Мал. 1.9. Ілюстрація до процедури логічного висновку

Алгоритм Mamdani

Даний алгоритм відповідає розглянутому прикладу та рис. 1.9. У ситуації він математично може бути описаний в такий спосіб.

1. Нечіткість: перебувають ступеня істинності для передумов кожного правила: А 1 ( x 0), А 2 ( x 0), B 1 ( y 0), В 2 ( y 0).

2. Нечіткий висновок: знаходяться рівні «відсікання» для передумов кожного з правил (з використанням операції МІНІМУМ)

α 1 = A 1 ( x 0) ˄ B 1 ( y 0)

α 2 = A 2 ( x 0) ˄ B 2 ( y 0)

де через «˄» позначено операцію логічного мінімуму (min), потім знаходяться «усічені» функції належності

3. Композиція: з використання операції МАКСИМУМ (max, далі позначається як «˅») проводиться об'єднання знайдених усічених функцій, що призводить до отримання підсумковогоне-чіткого підмножини для змінної виходу з функцією приналежності

4. Зрештою, приведення до чіткості (для знаходження z 0 ) проводиться, наприклад, центроїдним методом.

Алгоритм Tsukamoto

Вихідні посилки - як у попереднього алгоритму, але в даному випадку передбачається, що функції C 1 ( z), З 2 ( z) є монотонними.

1. Перший етап - такий самий, як в алгоритмі Mamdani.

2. На другому етапі спочатку знаходяться (як в алгоритмі Mam-dani) рівні «відсікання» α 1 і α 2 , а потім за допомогою розв'язання рівнянь

α 1 = C 1 ( z 1), α 2 = C 2 ( z 2)

- Чіткі значення ( z 1 і z 2 )для кожного з вихідних правил.

3. Визначається чітке значення змінної виводу (як зважене середнє z 1 і z 2 ):

у випадку (дискретний варіант центроїдного методу)

приклад. Нехай маємо A 1 ( x 0) = 0,7, A 2 ( x 0) = 0,6, B 1 ( y 0) = 0,3, 2 ( y 0) = 0,8, відповідні рівні відсікання

a 1 = min (A 1 ( x 0), B 1 ( y 0)) = min(0,7; 0,3) = 0,3,

a 2 = min (А 2 ( x 0), В 2 ( y 0)) = min (0,6; 0,8) = 0,6

та значення z 1 = 8 і z 2 = 4, знайдені в результаті розв'язування рівнянь

C 1 ( z 1) = 0,3, C 2 ( z 2) = 0,6.

Мал. 1.10. Ілюстрації до алгоритму Tsukamoto

При цьому чітке значення змінної виводу (див. рис. 1.10)

z 0 = (8 · 0,3 + 4 · 0,6) / (0,3 + 0,6) = 6.

Алгоритм Sugeno

Sugeno та Takagi використовували набір правил у наступній формі (як і раніше, наводимо приклад двох правил):

П 1: якщо хє A 1 та ує B 1 , тоді z 1 = а 1 х + b 1 у,

П 2: якщо хє A 2 та ує У 2 , тоді z 2 = a 2 x+ b 2 y.

Подання алгоритму

2. На другому етапі знаходяться α 1 = A 1 ( x 0) ˄ B 1 ( y 0), α 2 = А 2 ( x 0) ˄ В 2 ( у 0) та індивідуальні виходи правил:

З. На етапі визначається чітке значення змінної вывода:

Ілюструє алгоритм рис. 1.11.

Мал. 1.11. Ілюстрація до алгоритму Sugeno

Алгоритм Larsen

В алгоритмі Larsen нечітка імплікація моделюється з використанням оператора множення.

Опис алгоритму

1. Перший етап – як у алгоритмі Mamdani.

2. На другому етапі, як в алгоритмі Mamdani спочатку знаходять значення

α 1 = A 1 ( x 0) ˄ B 1 ( y 0),

α 2 = А 2 ( x 0) ˄ В 2 ( y 0),

а потім - приватні нечіткі підмножини

α 1 C 1 ( z), a 2 C 2 (z).

3. Знаходиться підсумкове нечітке підмножина з функцією приналежності

μ s(z)= З(z)= (a 1 C 1 ( z)) ˅ ( a 2 C 2(z))

(у загальному випадку nправил).

4. За потреби проводиться приведення до чіткості (як у раніше розглянутих алгоритмах).

Алгоритм Larsen ілюструє рис. 1.12.

Мал. 1.12. Ілюстрація алгоритму Larsen

Спрощений алгоритм нечіткого висновку

Вихідні правила в даному випадку задаються у вигляді:

П 1: якщо хє A 1 та ує B 1 , тоді z 1 = c 1 ,

П 2: якщо хє А 2 та ує У 2 , тоді z 2 = з 2 , де c 1 і з 2- Деякі звичайні (чіткі) числа.

Опис алгоритму

1. Перший етап – як у алгоритмі Mamdani.

2. На другому етапі є числа α 1 = A 1 ( x 0) ˄ B 1 ( y 0), α 2 = A 2 ( x 0) ˄ B 2 ( y 0).

3. На третьому етапі знаходиться чітке значення вихідний пе-ременной за формулою

або - у загальному випадку наявності nправил - за формулою

Ілюстрацію алгоритму наведено на рис. 1.13.

Мал. 1.13. Ілюстрація спрощеного алгоритму нечіткого висновку

Методи приведення до чіткості

1. Вище вже було розглянуто один із цих методів — троїдний. Наведемо відповідні формули вкотре.

Для безперервного варіанта:

для дискретного варіанта:

2. Перший максимум (First-of-Maxima). Чітка величина змінної висновку перебуває як найменше значення, у якому досягається максимум підсумкового нечіткого множини, тобто. (Див. рис. 1.14а)

Мал. 1.14. Ілюстрація до методів приведення до чіткості: - перший максимум; б - середній максимум

3. Середній максимум (Middle-of-Maxima). Чітке значення перебуває за формулою

де G - підмножина елементів, що максимізують С (див. рис. 1.14 б).

Дискретний варіант (якщо С - дискретно):

4. Критерій максимуму (Max-Criterion). Чітке значення вибирається довільно серед безлічі елементів, що доставляють максимум З, тобто.

5. Висотна дефазифікація (Heightdefuzzification). Елементи області визначення Ω для яких значення функції приналежності менше, ніж деякий рівень α у розрахунок не приймаються, і чітке значення розраховується за формулою

де Сα - нечітка безліч α -Рівня (див. вище).

Східні нечіткі висновки

Розглянуті досі нечіткі висновки є висхідними висновками від передумов до укладання. В останні роки в діагностичних нечітких системах починають застосовуватися низхідні висновки. Розглянемо механізм такого висновку на прикладі.

Візьмемо спрощену модель діагностики несправності автомобіля з іменами змінних:

х 1 - несправність акумулятора;

x 2 - відпрацювання машинного масла;

y 1 - труднощі при запуску;

y 2 - погіршення кольору вихлопних газів;

y 3 - Нестача потужності.

між x iі y jіснують нечіткі причинні відносини r ij= x i→ y j, які можна уявити у вигляді деякої ма-триці Rз елементами r ijϵ. Конкретні входи (передумови) і виходи (висновки) можна розглядати як нечіткі множини А і В на просторах Xі Y. Відносини цих множин можна позначити як

У= А ᵒ R,

де, як і раніше, знак "о" означає правило композиції нечітких висновків.

У разі напрямок висновків є зворотним до напряму висновків для правил, тобто. у разі діагностики є (задана) матриця R(знання експерта), спостерігаються виходи У(або симптоми) та визначаються входи А(Або фактори).

Нехай знання експерта-автомеханіка мають вигляд

а в результаті огляду автомобіля його стан можна оцінити як

У= 0,9/y 1 + 0,1/у 2 + 0,2/у 3 .

Потрібно визначити причину такого стану:

А =a 1 /x 1 + a 2 /x 2 .

Відношення введених нечітких множин можна подати у вигляді

або, транспонуючи, у вигляді нечітких векторів-стовпців:

При використанні (max-mix)-композиції останнє співвідношення перетворюється до виду

0,9 = (0,9 ? 1) ? (0,6 ? 2),

0,1 = (0,1 ˄ α 1) ˅ (0,5 ˄ α 2),

0,2 = (0,2 ? 1) ? (0,5 ? 2).

При вирішенні даної системи зауважимо перш за все, що в першому рівнянні другий член правої частини не впливає на праву частину, тому

0,9 = 0,9 ˄ α 1 , α 1 ≥ 0,9.

З другого рівняння отримаємо:

0,1 ≥ 0,5 ˄ α 2 , α 2 ≤ 0,1.

Отримане рішення задовольняє третьому рівнянню, таким чином маємо:

0,9 ≤ α 1 ≤ 1,0, 0 ≤ α 2 ≤ 0,1,

тобто. краще замінити акумулятор (α 1 – параметр несправності акумулятора, α 2 – параметр відпрацювання машинного масла).

На практиці в задачах, подібних до розглянутої, кількість змінних може бути істотною, можуть одночасно використовуватися різні композиції нечітких висновків, сама схема висновків може бути багатокаскадною. Загальних методів вирішення подібних завдань на даний час, мабуть, не існує.

Розробте та моделюйте системи нечіткої логіки

Fuzzy Logic Toolbox™ забезпечує функції MATLAB ® , програми та блок Simulink ® для аналізу, розробки та симуляції систем на основі нечіткої логіки. Посібники з продукту ви через кроки розробки нечітких систем виведення. Функції забезпечуються для багатьох загальноприйнятих методик, включаючи нечітку кластеризацію та адаптивне нейронечітке вивчення.

Тулбокс дозволяє вам поведінки складної системи моделі, що використовують прості логічні правила, а потім реалізуйте ці правила в нечіткій системі виведення. Можна використовувати його як автономний нечіткий механізм логічного висновку. Також можна використовувати нечіткі блоки виводу Simulink і моделювати нечіткі системи у всебічної моделі цілої динамічної системи.

Початок роботи

Вивчіть основи Fuzzy Logic Toolbox

Нечітке системне моделювання висновку

Створіть нечіткі системи виведення та нечіткі дерева

Нечітке системне налаштування виводу

Налаштуйте функції приладдя та правила нечітких систем

Кластеризація даних

Знайдіть кластери в даних про введення/виведення за допомогою нечітких c-середніх значень або кластеризації, що віднімає.

5. Нечітка логіка. Короткі історичні відомості. Аспекти неповноти інформації

6. Визначення чітких та нечітких множин. Визначення нечіткої множини. Функція приладдя. Приклади нечітких дискретних та безперервних множин.

7. Основні властивості нечітких множин. Нечітке число та нечіткий інтервал.

*7. Основні властивості нечітких множин. Нечітке число та нечіткий інтервал.

*7. Основні властивості нечітких множин. Нечітке число та нечіткий інтервал.

8. Поняття фазифікації, дефазифікації, лінгвістичної змінної. приклад.

9. Операції з нечіткими множинами (еквівалентність, включення, нечітка операція "і", "або", "не").

10. Узагальнення операцій перетину та об'єднання в класі т-норм та s-конорм.

11. Нечіткі стосунки. Композиційні правила (max-min) та (max-prod). приклади.

12. Нечіткі алгоритми. Узагальнена схема процедури нечіткого логічного висновку.

13. Нечіткі алгоритми. Метод максимуму-мінімуму (метод Мамдані) як метод нечіткого логічного висновку (виклад необхідно супроводжувати прикладом).

14. Нечіткі алгоритми. Метод максимуму-твору (метод Ларсена) як метод нечіткого логічного висновку (виклад необхідно супроводжувати прикладом).

15.Методи дефазифікації.

16.Процедура (схема) нечіткого логічного висновку. Приклад нечіткого логічного висновку до виконання кількох правил. Переваги та недоліки систем, заснованих на нечіткій логіці.

17.Штучні нейронні мережі. Особливості біологічного нейрона. Модель штучного нейрона.

18.Визначення штучної нейронної мережі (ІНС). Одношаровий та багатошаровий персептрони.

19. Класифікація інс. Завдання, які вирішуються за допомогою нейронних мереж.

20. Основні етапи нейромережевого аналізу. Класифікація відомих нейромережевих структур за типом зв'язків та типом навчання та їх застосування.

21. Алгоритм навчання з учителем для багатошарового персептрону

22. Алгоритми навчання нейронних мереж. Алгоритм зворотного розповсюдження помилки

23. Проблеми навчання нс.

24. Мережі Кохонена. Постановка задач кластеризації. Алгоритм кластеризації.

25. Перетворення алгоритму кластеризації з метою реалізації у нейромережевому базисі. Структура мережі Кохонена

26. Алгоритм навчання без вчителя мереж Кохонена. Узагальнена процедура

27. Алгоритм навчання без вчителя мереж Кохонена. Метод опуклої комбінації. Графічна інтерпретація

28. Картки, що самоорганізуються (сік) Кохонена. Особливості навчання сік. Побудова карт

29. Проблеми навчання інс

30. Генетичні алгоритми. Визначення. Призначення. Сутність природного відбору у природі

31. Основні поняття генетичних алгоритмів

32. Блок-схема класичного генетичного алгоритму. Особливості ініціалізації. приклад.

33. Блок-схема класичного генетичного алгоритму. Селекція хромосом. Спосіб рулетки. приклад.

33. Блок-схема класичного генетичного алгоритму. Селекція хромосом. Спосіб рулетки. приклад.

34. Блок-схема класичного генетичного алгоритму. Застосування генетичних операторів. приклад.

35. Блок-схема класичного генетичного алгоритму. Перевірка умови зупинки га.

36. Переваги генетичних алгоритмів.

37. Гібридні ці та їх види.

38. Структура м'якої експертної системи.

39.Методологія розробки інтелектуальних систем. Види прототипів експертних систем.

40. Узагальнена структура основних етапів розробки експертних систем.

1. Ідентифікація.

2. Концептуалізація.

3. Формалізація

4. Програмування.

5. Тестування на повноту та цілісність

16.Процедура (схема) нечіткого логічного висновку. Приклад нечіткого логічного висновку до виконання кількох правил. Переваги та недоліки систем, заснованих на нечіткій логіці.

Фаззифікація – процес переходу від чіткої множини до нечіткої.

Агрегування передумов – за кожним правилом формується -зріз та рівні відсікання.

Активізація правил – активізація полягає у кожному їх правил на основі min-активізації (Мамдані), prod-активізації (Ларсен)

Акумулювання висновку – композиція, об'єднання знайдених усічених нечітких множин із використанням операції max-диз'юнкції.

Лінгвістична змінна - премінна, значеннями якої явл-ся терми (слова, фрази природною мовою).

Кожному значенню лінгвістичної змінної відповідає певна нечітка множина зі своєю функцією приналежності.

Сфера застосування нечіткої логіки:

1) Недостатність чи невизначеність знань, коли отримання інформації явл-ся складної чи неможливої ​​задачи.

2) Коли виникає труднощі обробки невизначеної інформації.

3) Прозорість моделювання (на відміну нейросетей).

Область застосування нечіткої логіки:

1) Під час проектування систем підтримки та прийняття рішень на основі експертних систем.

2) Під час розробки нечітких контролерів, застосовуваних під час управління технічними системами.

«+»:1) Вирішення слабоформалізованих завдань.

2) Застосування в областях, де значення змінних бажано виразити у лінгвістичній формі.

«–»: 1) Проблема вибору функції приналежності (вирішується під час створення гібридних інтелектуальних систем)

2) Сформульований набір правил може виявитися неповним та суперечливим.

*16.Процедура (схема) нечіткого логічного висновку. Приклад нечіткого логічного висновку до виконання кількох правил. Переваги та недоліки систем, заснованих на нечіткій логіці.

Від вибору методу НЛВ та дефазифікації залежить кінцевий результат.

П1: Якщо Температура (Т) – низька І Вологість (F) – середня, то вентиль напіввідкритий.

П2: Якщо Температура (Т) – низька І Вологість (F) – висока, вентиль закритий.

НЛВ: Метод max-min (Мамдані);

Дефаззифікація: Метод середнього із максимумів.

17.Штучні нейронні мережі. Особливості біологічного нейрона. Модель штучного нейрона.

Під нейронними мережами маються на увазі обчислювальні структури, які моделюють прості біологічні процеси, які зазвичай асоціюються з процесами людського мозку. Нервова система та мозок людини складаються з нейронів, з'єднаних між собою нервовими волокнами, які здатні передавати електричні імпульси між нейронами.

Нейрон – нервова клітина, що обробляє інформацію. Він складається з тіла (ядро і плазма) і відростків нервових волокон двох типів - дендритів, за якими приймаються імпульси від аксонів інших нейронів, і свого аксона (наприкінці розгалужується на волокна), яким може передавати імпульс, згенерований тілом клітини. На закінченнях волокон перебувають синапси, які впливають силу імпульсу. Коли імпульс досягає синаптичного закінчення, вивільняються певні хімічні речовини, які називаються непротрансмітерами, що збуджують або загальмовують, здатність нейрона-приймача генерувати електричні імпульси. Синапси можуть навчатися залежно від активності процесів, у яких беруть участь. Ваги синапсів можуть змінюватися з часом, що змінює поведінку відповідного нейрона.

Модель штучного нейрона

x 1 …x n – вхідні сигнали нейрона, які надходять з інших нейронів. W 1 …W n – синапсичні ваги.

Помножувачі (синапси) - Здійснюють зв'язок між нейронами, множать вхідний сигнал на число, що характеризує силу зв'язку.

Суматор – складання сигналів, що надходять з синапсичних зв'язків від інших нейронів.

*17.Штучні нейронні мережі. Особливості біологічного нейрона. Модель штучного нейрона.

Нелінійний перетворювач – реалізує нелінійну функцію одного аргументу – виходу суматора. Ця функція називається функцією активації або передавальною функцією нейрону.
;

Модель нейрона:

1) Обчислює зважену суму своїх входів з інших нейронів.

2) На входах нейрона є збуджуючі та гальмують синапси

3) При перевищенні суми входів порога нейрона виробляється вихідний сигнал.

Види активаційних функцій:

1) гранична функція: область значення (0; 1)

«+»: простота реалізації та висока швидкість обчислення

2) Сігмоїдальна (логістична функція)

При зменшенні a сегмент стає пологішим, при a=0 – пряма лінія.

"+": простий вираз її похідної, а також здатність посилювати сигнали слабкі краще, ніж великі і запобігати насиченню від великих сигналів.

"-": область значення мала (0,1).

3) Гіперболічний тангенс: область значень (-1,1)

У 1965 р. у журналі "Information and Control" була опублікована робота Л. Заде під назвою "Fuzzy sets". Цю назву перекладено російською мовою як нечіткі множини. Мотивальним мотивом стала необхідність опису таких явищ і понять, які мають багатозначний і неточний характер. Відомі раніше математичні методи, що використовували класичну теорію множин і двозначну логіку, не дозволяли вирішувати проблеми цього типу.

За допомогою нечітких множин можна формально визначити неточні та багатозначні поняття, такі як "висока температура" або "велике місто". Для формулювання визначення нечіткої множини необхідно задати так звану область міркувань. Наприклад, коли ми оцінюємо швидкість автомобіля, ми обмежимося діапазоном X = , де Vmax – максимальна швидкість, яку може розвинути автомобіль. Необхідно пам'ятати, що X – чітка множина.

Основні поняття

Нечіткою безліччю A в деякому непустому просторі X називається безліч пар

Де

- функція приналежності нечіткої множини A. Ця функція приписує кожному елементу x ступінь його приналежності нечіткої множини.

Продовживши попередній приклад, розглянемо три неточні формулювання:
- «Мала швидкість автомобіля»;
- «Середня швидкість автомобіля»;
- "Велика швидкість автомобіля".
На малюнку представлені нечіткі множини, що відповідають наведеним формулюванням, за допомогою функцій приналежності.


У фіксованій точці X = 40 км/год. функція приналежності нечіткої множини «мала швидкість автомобіля» набуває значення 0,5. Таке ж значення набуває функція приналежності нечіткої множини «середня швидкість автомобіля», тоді як для множини «велика швидкість автомобіля» значення функції в цій точці дорівнює 0.

Функція T двох змінних T: x -> називається T-нормою, якщо:
- є не зростаючою щодо обох аргументів: T(a, c)< T(b, d) для a < b, c < d;
- є комутативною: T(a, b) = T(b, a);
- задовольняє умову зв'язності: T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c));
- задовольняє граничним умовам: T(a, 0) = 0, T(a, 1) = a.

Прямий нечіткий висновок

Під нечітким висновкомрозуміється процес, у якому з нечітких посилок отримують деякі наслідки, можливо, теж нечіткі. Наближені міркування лежать в основі здатності людини розуміти природну мову, розбирати почерк, грати в ігри, що вимагають розумових зусиль, загалом приймати рішення в складному та не цілком певному середовищі. Ця здатність міркувань у якісних, неточних термінах відрізняє інтелект людини від інтелекту обчислювальної машини.

Основним правилом виведення у традиційній логіці є правило modus ponens, згідно з яким ми судимо про істинність висловлювання B за істинністю висловлювань A і A -> B. Наприклад, якщо A - висловлювання «Степан - космонавт», B - висловлювання «Степан літає в космос» , Якщо істинні висловлювання «Степан - космонавт» і «Якщо Степан - космнавт, він літає в космос», то істинно і вислів «Степан літає в космос».

Однак, на відміну від традиційної логіки, головним інструментом нечіткої логіки буде не правило modus ponens, а так зване композиційне правило виведення, дуже окремим випадком якого є правило modus ponens.

Припустимо, що є крива y=f(x) і встановлено значення x=a. Тоді з того, що y=f(x) та x=a, ми можемо зробити висновок, що y=b=f(a).


Узагальним тепер цей процес, припустивши, що a - інтервал, а f(x) - функція, значення якої є інтервали. У цьому випадку, щоб знайти інтервал y=b, що відповідає інтервалу a, ми спочатку побудуємо безліч a" з основою a і знайдемо його перетин I з кривою, значення якої суть інтервали. Потім спроектуємо це перетин на вісь OY і отримаємо бажане значення y в вигляді інтервалу b. Таким чином, з того, що y=f(x) і x=A - нечітке підмножина осі OX, ми отримуємо значення y у вигляді нечіткого підмножини осі OY OY.

Нехай U і V - дві універсальні множини з базовими змінними u і v, відповідно. Нехай A і F - нечіткі підмножини множин U і U x V. Тоді композиційне правило висновку стверджує, що з нечітких множин A і F випливає нечітка множина B = A * F.

Нехай A і B - нечіткі висловлювання і m(A), m(B) - відповідні функції приналежності. Тоді імплікації A -> B відповідатиме деяка функція приналежності m(A -> B). За аналогією з традиційною логікою, можна припустити, що

Тоді

Однак це не єдине узагальнення оператора імплікації, існують і інші.

Реалізація

Для реалізації методу прямого нечіткого логічного висновку нам знадобиться вибрати оператор імплікації та T-норму.
Нехай T-норма буде функція мінімуму:

а оператором імплікації буде функція Ґеделя:


Вхідні дані будуть містити знання (нечіткі множини) та правила (імплікації), наприклад:
A = ((x1, 0.0), (x2, 0.2), (x3, 0.7), (x4, 1.0)).
B = ((x1, 0.7), (x2, 0.4), (x3, 1.0), (x4, 0.1)).
A => B.

Імплікація буде представлена ​​у вигляді декартової матриці, кожен елемент якої розраховується за допомогою обраного оператора імплікації (у даному прикладі - функції Геделя):

1. def compute_impl (set1, set2):
2. """
   Computing implication
   """
3. relation = ()
4. for i in set1.items():
5. relation[i] = ()
6. for j in set2.items():
7. v1 = set1.value(i)
8. v2 = set2.value(j)
9. relation[i][j] = impl(v1, v2)
10. return relation

Для даних вище це буде:
Conclusion:
A => B.
x1 x2 x3 x4
x1 1.0 1.0 1.0 1.0
x2 1.0 1.0 1.0 0.1
x3 1.0 0.4 1.0 0.1
x4 0.7 0.4 1.0 0.1

1. def conclusion (set, relation):
2. """
   Conclusion
   """
3. conl_set =
4. for i in relation:
5. l =
6. for j in relation[i]:
7. v_set = set.value(i)
8. v_impl = relation[i][j]
9. l.append(t_norm(v_set, v_impl))
10. value = max(l)
11. conl_set.append((i, value))
12. return conl_set

Результат:
B" = ((x1, 1.0), (x2, 0.7), (x3, 1.0), (x4, 0.7)).

Джерела

• Рутковська Д., Пілінський М., Рутковський Л. Нейронні мережі, генетичні алгоритми та нечіткі системи: Пер. з польськ. І. Д. Рудінського. – М.: Гаряча лінія – Телеком, 2006. – 452 с.: іл.
• Zadeh L. A. Fuzzy Sets, Information and Control, 1965, vol. 8, s. 338-353

Поняття нечіткого висновку займає центральне місце у нечіткій логіці та теорії нечіткого управління. Говорячи про нечітку логіку у системах управління, можна дати таке визначення системи нечіткого висновку.

Система нечіткого висновку– це процес отримання нечітких висновків про необхідне управління об'єктом на основі нечітких умов або передумов, що становлять інформацію про поточний стан об'єкта.

Цей процес поєднує у собі основні концепції теорії нечітких множин: функції приналежності, лінгвістичні змінні, методи нечіткої імплікації тощо. Розробка та застосування систем нечіткого виведення включає ряд етапів, реалізація яких виконується на основі розглянутих раніше положень нечіткої логіки (рис.2.18).

Рис.2.18. Діаграма процесу нечіткого виведення у нечітких САУ

База правил систем нечіткого висновку призначена для формального подання емпіричних знань експертів у тій чи іншій предметній галузі у формі нечітких продукційних правил.Таким чином, база нечітких продукційних правил системи нечіткого висновку – це система нечітких продукційних правил, що відображає знання експертів про методи управління об'єктом у різних ситуаціях, характер його функціонування в різних умовах і т.п. що містить формалізовані людські знання.

Нечітке продукційне правило- Це вираз виду:

(i):Q;P;A═>B;S,F,N,

Де (i) – ім'я нечіткої продукції, Q – сфера застосування нечіткої продукції, P – умова застосування ядра нечіткої продукції, A═>B – ядро ​​нечіткої продукції, в якому A – умова ядра (або антецедент), B – висновок ядра (або консеквент), ═> – знак логічної секвенції чи прямування, S – метод чи спосіб визначення кількісного значення ступеня істинності укладання ядра, F – коефіцієнт визначеності чи впевненості нечіткої продукції, N – постумови продукції.

Сфера застосування нечіткої продукції Q описує явно чи неявно предметну галузь знання, яку представляє окрема продукція.

Умова застосування ядра продукції P є логічним виразом, як правило предикат. Якщо воно присутнє в продукції, то активізація ядра продукції стає можливою лише у разі істинності цієї умови. У багатьох випадках цей елемент може бути опущений або введений в ядро ​​продукції.

Ядро A═>B є центральним компонентом нечіткої продукції. Воно може бути представлено в одній з найпоширеніших форм: "ЯКЩО A ТО B", "IF A THEN B"; де A і B – деякі вирази нечіткої логіки, які найчастіше видаються у вигляді нечітких висловлювань. Як висловлювання можна використовувати і складові логічні нечіткі висловлювання, тобто. елементарні нечіткі висловлювання, поєднані нечіткими логічними зв'язками, такими як нечітке заперечення, нечітка кон'юнкція, нечітка диз'юнкція.

S – метод або спосіб визначення кількісного значення ступеня істинності укладання B на основі відомого значення ступеня істинності умови A. Даний спосіб визначає схему або алгоритм нечіткого виведення в продукційних нечітких системах методом композиціїабо методом активації.

Коефіцієнт впевненості F виражає кількісну оцінку ступеня істинності або відносну вагу нечіткої продукції. Коефіцієнт впевненості набуває свого значення з інтервалу і часто називається ваговим коефіцієнтом нечіткого правила продукції.

Постуслів'я нечіткої продукції N визначає події та процедури, які потрібно виконати у разі реалізації ядра продукції, тобто. отримання інформації про істинність B. Характер цих дій може бути різним і відбивати обчислювальний чи інший аспект продукційної системи.

Узгоджена множина нечітких продукційних правил утворює нечітку продукційну систему.Таким чином, нечітка продукційна система – це список нечітких продукційних правил «IF A THEN B», що відноситься до певної предметної області.

Найпростіший варіант нечіткого продукційного правила:

ПРАВИЛО<#>: ЯКЩО β 1 « Є ά 1 » ТО « β 2 Є ά 2 »

RULE<#>: IF « β 1 IS ά 1 » THEN « β 2 display:block IS ά 2 ».

Антецедент і консеквент ядра нечіткої продукції може бути складним, що складається зі зв'язок «І», «АБО», «НЕ», наприклад:

ПРАВИЛО<#>: ЯКЩО « β 1 Є ά » І « β 2 Є НЕ ά » ТО « β 1 Є НЕ β 2 »

RULE<#>: IF « β 1 IS ά » AND « β 2 IS NOT ά » THEN « β 1 IS NOT β 2 ».

Найчастіше база нечітких продукційних правил представляється у формі узгодженого щодо використовуваних лінгвістичних змінних структурованого тексту:

ПРАВИЛО_1: ЯКЩО «Умова_1» ТО «Укладання_1» (F 1 т),

ПРАВИЛО_n: ЯКЩО «Умова_n» ТО «Укладання_n» (F n),

де F i ∈ є коефіцієнтом визначеності чи ваговим коефіцієнтом відповідного правила. Узгодженість списку означає, що як умови та висновки правил можуть використовуватися тільки прості та складові нечіткі висловлювання, з'єднані бінарними операціями «І», «АБО», при цьому в кожному з нечітких висловлювань повинні бути визначені функції належності значень терммножини для кожної лінгвістичної змінної. Як правило, функції приналежності окремих термів є трикутними або трапецеїдальними функціями. Для назви окремих термів прийнято використовувати такі скорочення.

Таблиця 2.3.

приклад.Є наливна ємність (бак) з безперервним керованим припливом рідини та безперервною некерованою витратою рідини. База правил системи нечіткого висновку, що відповідає знанням експерта про те, який необхідно вибрати приплив рідини, щоб рівень рідини в баку залишався середнім, виглядатиме таким чином:

ПРАВИЛО<1>:		І «витрата рідини великий»	ТО «приплив рідини	великий середній малий	»;
ПРАВИЛО<2>:	ЯКЩО «Рівень рідини малий»	І «витрата рідини середня»	ТО «приплив рідини	великий середній малий	»;
ПРАВИЛО<3>:	ЯКЩО «Рівень рідини малий»	І «витрата рідини мала»	ТО «приплив рідини	великий середній малий	»;
ПРАВИЛО<4>:		І «витрата рідини великий»	ТО «приплив рідини	великий середній малий	»;
ПРАВИЛО<5>:	ЯКЩО «рівень рідини середній»	І «витрата рідини середня»	ТО «приплив рідини	великий середній малий	»;
ПРАВИЛО<6>:	ЯКЩО «рівень рідини середній»	І «витрата рідини мала»	ТО «приплив рідини	великий середній малий	»;
ПРАВИЛО<7>:		І «витрата рідини великий»	ТО «приплив рідини	великий середній малий	»;
ПРАВИЛО<8>:	ЯКЩО «рівень рідини великий»	І «витрата рідини середня»	ТО «приплив рідини	великий середній малий	»;
ПРАВИЛО<9>:	ЯКЩО «рівень рідини великий»	І «витрата рідини мала»	ТО «приплив рідини	великий середній малий	».

Використовуючи позначення ZP – «малий», PM – «середній», PB – «великий», цю базу нечітких продукційних правил можна подати у вигляді таблиці, у вузлах якої знаходяться відповідні висновки про необхідний приплив рідини:

Таблиця 2.4.

Рівень ZP PM PB ZP 0 0 0 PM 0.5 0.25 0 PB 0.75 0.25 0

Фаззифікація(Введення нечіткості) – це встановлення відповідності між чисельним значенням вхідної змінної системи нечіткого виведення та значенням функції належності відповідного їй терма лінгвістичної змінної. На етапі фазифікації значення всіх вхідних змінних системи нечіткого виведення, отриманих зовнішнім по відношенню до системи нечіткого виведення способом, наприклад, за допомогою датчиків, ставляться у відповідність конкретні значення функцій належності відповідних лінгвістичних термів, які використовуються в умовах (антецедентах) ядер нечітких продукційних правил складових основу нечітких продукційних правил системи нечіткого висновку. Фаззифікація вважається виконаною, якщо знайдено ступеня істинності μ A (x) всіх елементарних логічних висловлювань виду « β Є ά », що входять до антецедентів нечітких продукційних правил, де ά – деякий терм з відомою функцією приналежності μ A (x) , a – значення, що належить універсуму лінгвістичної змінної β.

приклад.Формалізація опису рівня рідини в баку та витрати рідини проведена за допомогою лінгвістичних змінних, у кортежі яких міститься по три нечітких змінних, що відповідають поняттям малого, середнього та великого значення відповідних фізичних величин, функції належності яких представлені на рис.2.19.

Трикутний Трапецієподібний Z-лінійний S-лінійний
Трикутний Трапецієподібний Z-лінійний S-лінійний
Поточний рівень:

Трикутний Трапецієподібний Z-лінійний S-лінійний
Трикутний Трапецієподібний Z-лінійний S-лінійний
Трикутний Трапецієподібний Z-лінійний S-лінійний
Поточна витрата:

Рис.2.19. Функції приладдя кортежів лінгвістичних змінних, що відповідають нечітким поняттям малого, середнього, великого рівня та витрати рідини відповідно

Якщо поточний рівень і витрата рідини 2.5 м і 0.4 м 3 /сек відповідно, то при фазифікації отримуємо ступеня істинності елементарних нечітких висловлювань:

• «Рівень рідини малий» - 0.75;
• «Рівень рідини середній» - 0.25;
• «Рівень рідини великий» - 0.00;
• «Витрата рідини малий» - 0.00;
• «Витрата рідини середній» - 0.50;
• «Витрата рідини великий» - 1.00.

Агрегування- Це процедура визначення ступеня істинності умов щодо кожного з правил системи нечіткого висновку. При цьому використовуються отримані на етапі фазифікації значення функцій належності термів лінгвістичних змінних, що становлять вищезазначені умови (антецеденти) ядер нечітких продукційних правил.

Якщо умова нечіткого продукційного правила є простим нечітким висловлюванням, то рівень його істинності відповідає значенню функції належності відповідного терма лінгвістичної змінної.

Якщо умова представляє складове висловлювання, то ступінь істинності складного висловлювання визначається з урахуванням відомих значень істинності складових його елементарних висловлювань з допомогою введених раніше нечітких логічних операцій на одному з заздалегідь обумовлених базисів.

Наприклад, з урахуванням отриманих в результаті фазифікації значень істинності елементарних висловлювань, ступінь істинності умов для кожного складового правила системи нечіткого виведення по управлінню рівнем рідини в баку, відповідно до визначення Заду нечіткого логічного «І» двох елементарних висловлювань A, B: T(A ∩ B)=min(T(A);T(B)) буде наступною.

ПРАВИЛО<1>: антецедент – «рівень рідини малий» та «витрата рідини великий»; ступінь істинності
антецедента min (0.75; 1.00) = 0.00.

ПРАВИЛО<2>: антецедент – «рівень рідини малий» та «витрата рідини середній»; ступінь істинності
антецедента min (0.75; 0.50) = 0.00.

ПРАВИЛО<3>: антецедент – «рівень рідини малий» І «витрата рідини малий», ступінь істинності
антецедента min (0.75; 0.00) = 0.00.

ПРАВИЛО<4>: антецедент – «рівень рідини середній» І «витрата рідини великий», ступінь істинності
антецедента min (0.25; 1.00) = 0.00.

ПРАВИЛО<5>: антецедент – «рівень рідини середній» І «витрата рідини середній», ступінь істинності
антецедента min (0.25; 0.50) = 0.00.

ПРАВИЛО<6>: антецедент – «рівень рідини середній» І «витрата рідини малий», ступінь істинності
антецедента min (0.25; 0.00) = 0.00.

ПРАВИЛО<7>: антецедент – «рівень рідини великий» І «витрата рідини великий», ступінь істинності
антецедента min (0.00; 1.00) = 0.00.

ПРАВИЛО<8>: антецедент – «рівень рідини великий» І «витрата рідини середній», ступінь істинності
антецедента min (0.00; 0.50) = 0.00.

ПРАВИЛО<9>: антецедент – «рівень рідини великий» І «витрата рідини малий», ступінь істинності
антецедента min (0.00; 0.00) = 0.00.

Рівень 0.75 0.25 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.25 0 1 0.75 0.25 0

Активізаціяу системах нечіткого висновку – це процедура чи процес знаходження ступеня істинності кожного з елементарних логічних висловлювань (підзаключень), що становлять консеквенти ядер усіх нечітких продукційних правил. Оскільки висновки робляться щодо вихідних лінгвістичних змінних, то ступеням істинності елементарних підскладання при активізації ставляться у відповідність елементарні функції належності.

Якщо висновок (консеквент) нечіткого продукційного правила є простим нечітким висловлюванням, то ступінь його істинності дорівнює твору алгебри вагового коефіцієнта і ступеня істинності антецедента даного нечіткого продукційного правила.

Якщо висновок представляє складове висловлювання, то ступінь істинності кожного з елементарних висловлювань дорівнює твору алгебри вагового коефіцієнта і ступеня істинності антецедента даного нечіткого продукційного правила.

Якщо вагові коефіцієнти продукційних правил не зазначені явно на етапі формування бази правил, їх значення за замовчуванням рівні одиниці.

Функції приналежності μ(y) кожного з елементарних підключень консеквентів всіх продукційних правил знаходяться за допомогою одного з методів нечіткої композиції:

• min-активізація - μ (y) = min (c; μ (x));
• prod-активізація - μ (y) = c μ (x);
• average-активізація - μ (y) = 0.5 (c + μ (x));

Де μ(x) і c – відповідно функції належності термів лінгвістичних змінних та ступеня істинності нечітких висловлювань, що утворюють відповідні наслідки (консеквенти) ядер нечітких продукційних правил.

приклад.Якщо формалізація опису припливу рідини в баку проведена за допомогою лінгвістичної змінної, в кортежі якої міститься три нечітких змінних, що відповідають поняттям малого, середнього та великого значення припливу рідини, функції належності яких представлені на рис.2.19, то для продукційних правил системи нечіткого виведення рівнем рідини в ємності за допомогою зміни припливу рідини функції приналежності всіх підв'язків при min активізації будуть виглядати наступним чином (рис.2.20(а), (б)).

Рис.2.20(а). Функція приладдя кортежу лінгвістичних змінних, що відповідають нечітким поняттям малого, середнього, великого припливу рідини в бак і min-активізація всіх підзаключень правил нечіткої продукції системи управління рівнем рідини в баку

Рис.2.20(б). Функція приладдя кортежу лінгвістичних змінних, що відповідають нечітким поняттям малого, середнього, великого припливу рідини в бак і min-активізація всіх підзаключень правил нечіткої продукції системи управління рівнем рідини в баку

Акумуляція(або акумулювання) у системах нечіткого висновку – це процес знаходження функції приналежності кожної з вихідних лінгвістичних змінних. Мета акумуляції полягає в об'єднанні всіх ступенів істинності підукладень для отримання функції належності кожної з вихідних змінних. Результат акумуляції для кожної вихідної лінгвістичної змінної визначається як об'єднання нечітких множин всіх підзаключень нечіткої бази правил щодо відповідної лінгвістичної змінної. Об'єднання функцій приналежності всіх підключень проводиться зазвичай класично ∀ x ∈ X μ A ∪ B (x) = max ( μ A (x) ; μ B (x) ) (max-об'єднання), також можуть використовуватися операції:

• алгебраїчного об'єднання ∀ x ∈ X μ A+B x = μ A x + μ B x - μ A x ⋅ μ B x ,
• граничного об'єднання ∀ x ∈ X μ A B x = min( μ A x ⋅ μ B x ;1) ,
• драстичного об'єднання ∀ x ∈ X μ A ∇ B (x) = ( μ B (x) , якщо μ A (x) = 0, μ A (x) , якщо μ B (x) = 0 , 1, в інших випадках,
• а також ?

приклад.Для продукційних правил системи нечіткого виведення по управлінню рівнем рідини в ємності за допомогою зміни припливу рідини, функція приналежності лінгвістичної змінної «приплив рідини», отримана в результаті акумуляції всіх підскладання при max-об'єднанні виглядатиме таким чином (рис.2.21).

Рис.2.21Функція приналежності лінгвістичної змінної «приплив рідини»

Дефаззифікаціяу системах нечіткого виведення – це процес переходу від функції належності вихідний лінгвістичної змінної до її чіткого (числового) значення. Мета дефазифікації полягає в тому, щоб, використовуючи результати акумуляції всіх вихідних лінгвістичних змінних, отримати кількісні значення для кожної вихідної змінної, яке використовується зовнішніми по відношенню до системи нечіткого виведення пристроями (виконавчими механізмами інтелектуальної САУ).

Перехід від отриманої в результаті акумуляції функції належності μ(x) вихідної лінгвістичної змінної до чисельного значення y вихідної змінної проводиться одним з наступних методів:

• метод центру важкості(Centre of Gravity) полягає у розрахунку центроїду площі y = ∫ x min x max x μ (x) d x ∫ x min x max μ (x) d x , де [x max; x min ] – носій нечіткої множини вихідний лінгвістичної змінної; (на рис. 2.21 результат дефазифікації позначений зеленою лінією)
• метод центру площі(Centre of Area) полягає в розрахунку абсциси y, що ділить площу, обмежену кривою функції приналежності μ (x), так званої бісектриси площі ∫ x min y μ (x) d x = ∫ y x max μ (x) d x ;(на рис. 2.21 результат дефазифікації позначений синьою лінією)
• метод лівого модального значення y = x min;
• метод правого модального значення y= x max

  приклад.Для продукційних правил системи нечіткого виведення з управління рівнем рідини в ємності за допомогою зміни припливу рідини дефаззифікація функції належності лінгвістичної змінної «приплив рідини» (рис.2.21) призводить до наступних результатів:

• метод центру ваги y=0.35375 м-коду 3 /сек;
• метод центру площі y=0, м3/сек
• метод лівого модального значення y = 0.2 м3/сек;
• метод правого модального значення y = 0.5 м 3 /сек

Розглянуті етапи нечіткого висновку можуть бути реалізовані неоднозначним чином: агрегування може проводитися не тільки в базисі нечіткої логіки. Заде, активізація може проводитися різними методами нечіткої композиції, на етапі акумуляції об'єднання можна провести відмінним від max-об'єднання способом, дефаззифікація також може проводитися різними методами. Отже, вибір конкретних способів реалізації окремих етапів нечіткого висновку визначає той чи інший алгоритм нечіткого виведення. В даний час залишається відкритим питання критеріїв та методів вибору алгоритму нечіткого виведення залежно від конкретного технічного завдання. На даний момент у системах нечіткого виведення найчастіше застосовуються такі алгоритми.

Алгоритм Мамдані (Mamdani)знайшов застосування у перших нечітких системах автоматичного управління. Був запропонований у 1975 році англійським математиком Е.Мамдані для керування паровим двигуном.

• Формування бази правил системи нечіткого виведення здійснюється як упорядкованого узгодженого списку нечітких продукційних правил як «IF A THEN B », де антецеденти ядер правил нечіткої продукції побудовано з допомогою логічних зв'язок «І», а консеквенти ядер правил нечіткої продукції прості.
• Фаззифікація вхідних змінних здійснюється описаним вище способом, як і, як і загальному випадку побудови системи нечіткого виведення.
• Агрегування умов правил нечіткої продукції здійснюється за допомогою класичної нечіткої логічної операції «І» двох елементарних висловлювань A, B: T (A ∩ B) = min (T (A); T (B)).
• Активізація підукладень правил нечіткої продукції здійснюється методом min-активізації μ(y) = min(c; μ(x) ) , де μ(x) і c – відповідно функції належності термів лінгвістичних змінних та ступеня істинності нечітких висловлювань, що утворюють відповідні наслідки (консеквенти ) ядер нечітких продукційних правил.
• Акумуляція підзаключень правил нечіткої продукції проводиться за допомогою класичного для нечіткої логіки max-об'єднання функцій належності ∀ x ∈ X μ A B x = max( μ A x ; μ B x ).
• Дефаззифікація проводиться методом центру тяжкості чи центру площі.

Наприклад, описаний вище випадок управління рівнем бака відповідає алгоритму Мамдані, якщо на етапі дефазифікації чітке значення вихідної змінної шукається методом центру ваги або площі: y=0.35375 м 3 /сек або y= 0.38525 м 3 /сек відповідно.

Алгоритм Цукамото (Tsukamoto)формально виглядає так.

• Агрегування умов правил нечіткої продукції здійснюється аналогічно алгоритму Мамдані за допомогою класичної нечіткої логічної операції «І» двох елементарних висловлювань A, B: T(A ∩ B) = min( T(A);T(B) )
• Активізація підв'язків правил нечіткої продукції проводиться у два етапи. На першому етапі, ступеня істинності висновків (консеквентів) нечітких продукційних правил знаходяться аналогічно алгоритму Мамдані, як добуток ваги алгебри і ступеня істинності антецедента даного нечіткого продукційного правила. На другому етапі, на відміну від алгоритму Мамдані, для кожного з продукційних правил замість побудови функцій належності підзаключень вирішується рівняння μ(x)=c та визначається чітке значення ω вихідної лінгвістичної змінної, де μ(x) та c – відповідно функції належності термів лінгвістичних змінних та ступеня істинності нечітких висловлювань, що утворюють відповідні наслідки (консеквенти) ядер нечітких продукційних правил.
• На етапі дефазифікації для кожної лінгвістичної змінної здійснюється перехід від дискретної множини чітких значень (w 1 . . w n ) до єдиного чіткого значення згідно з дискретним аналогом методу центру тяжіння y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ i = 1

  де n – кількість правил нечіткої продукції, в підзаключення якої фігурує дана лінгвістична змінна, c i – ступінь істинності підзаключення продукційного правила, w i – чітке значення даної лінгвістичної змінної, отримане на стадії активізації шляхом вирішення рівняння μ (x) = c i , тобто. μ (w i) = c i , а μ (x) представляє функцію належності відповідного терму лінгвістичної змінної.

Наприклад,алгоритм Цукамото реалізується, якщо в описаному вище випадку керування рівнем бака:

• на етапі активізації скористатися даними рис.2.20 і кожного продукційного правила графічно вирішити рівняння μ (x) = c i , тобто. знайти пари значень (c i , w i) : rule1 - (0,75 ; 0,385), rule2 - (0,5 ; 0,375), rule3 - (0 ; 0), rule4 - (0,25 ; 0,365), rule5 - ( 0,25; 0,365),
  rule6 - (0 ; 0), rule7 - (0 ; 0), rule7 - (0 ; 0), rule8 - (0 ; 0), rule9 - (0 ; 0), для п'ятого правила існує два корені;
• на етапі дефазифікації для лінгвістичної змінної «приплив рідини» здійснити перехід від дискретної множини чітких значень (ω 1 . . ω n ) до єдиного чіткого значення згідно з дискретним аналогом методу центру тяжіння y = ∑ i = 1 = 0.35375 м 3 /сек

Алгоритм Ларсена формально виглядає так.

• Формування бази правил системи нечіткого виведення здійснюється аналогічно алгоритму Мамдані.
• Фаззифікація вхідних змінних здійснюється аналогічно алгоритму Мамдані.
• Активізація підзакладів правил нечіткої продукції здійснюється методом prod-активізації, μ(y)=c μ(x) , де μ(x) і c – відповідно функції належності термів лінгвістичних змінних та ступеня істинності нечітких висловлювань, що утворюють відповідні наслідки (консеквенти) ядер нечітких продукційних правил.
• Акумуляція підзаключень правил нечіткої продукції проводиться аналогічно алгоритму Мамдані за допомогою класичного для нечіткої логіки max-об'єднання функцій належності T(A ∩ B) = min(T(A); T(B)).
• Дефаззифікація проводиться будь-яким із розглянутих вище методів.

Наприклад,алгоритм Ларсена реалізується, якщо в описаному вище випадку управління рівнем бака, на етапі активізації отримані функції належності всіх підзаключень згідно з prod-активізації (рис.2.22(а),(б)), тоді функція приналежності лінгвістичної змінної «приплив рідини», отримана в внаслідок акумуляції всіх підзаключень при max-об'єднанні буде виглядати наступним чином (рис.2.22(б)), а дефаззифікація функції належності лінгвістичної змінної «приплив рідини» призводить до наступних результатів: метод центру ваги y= 0.40881 м 3 /сек y= 0.41017 м 3 /сек

Рис.2.22(а) Prod-активізація всіх підзаключень правил нечіткої продукції системи керування рівнем рідини в баку

Рис.2.22(б) Prod-активізація всіх підзаключень правил нечіткої продукції системи управління рівнем рідини в баку та отримана шляхом max-об'єднання функція приналежності лінгвістичної змінної «приплив рідини»

,Алгоритм Сугено(Sugeno)виглядає наступним чином.

• Формування бази правил системи нечіткого виведення здійснюється у вигляді упорядкованого узгодженого списку нечітких продукційних правил у вигляді "IF A AND B THEN w = ε 1 a + ε 2 b ", де антецеденти ядер правил нечіткої продукції побудовані з двох простих нечітких висловлювань A, B при допомоги логічних зв'язок «І», a і b – чіткі значення вхідних змінних, відповідні висловлюванням A і B відповідно, ε 1 і ε 2 – вагові коефіцієнти, що визначають коефіцієнти пропорційності між чіткими значеннями вхідних змінних та вихідної змінної системи нечіткого виведення, w – чітке значення вихідний змінної, визначене у висновку нечіткого правила, як дійсне число.
• Фаззифікація вхідних змінних, визначальних висловлювання і, здійснюється аналогічно алгоритму Мамдані.
• Агрегування умов умов нечіткої продукції здійснюється аналогічно алгоритму Мамдані за допомогою класичної нечіткої логічної операції «І» двох елементарних висловлювань A, B: T(A ∩ B) = min( T(A);T(B) ) .
• «Активізація підв'язків правил нечіткої продукції проводиться у два етапи. На першому етапі, ступеня істинності з висновків (консеквентів) нечітких продукційних правил, що ставлять у відповідність вихідний змінної дійсні числа, знаходяться аналогічно алгоритму Мамдані, як добуток алгебри вагового коефіцієнта і ступеня істинності антецедента даного нечіткого продукційного правила. На другому етапі, на відміну від алгоритму Мамдані, для кожного з продукційних правил замість побудови функцій належності підукладень у явному вигляді знаходиться чітке значення вихідної змінної w = ε 1 a + ε 2 b . Отже, кожному i-му продукційному правилу ставиться у відповідність точка (c i w i) , де c i – ступінь істинності продукційного правила, w i – чітке значення вихідний змінної, визначеної консеквенті продукційного правила.
• Акумуляція висновків правил нечіткої продукції не проводиться, оскільки на етапі активізації вже отримано дискретні множини чітких значень для кожної з вихідних лінгвістичних змінних.
• Дефаззифікація проводиться як і алгоритмі Цукамото. Для кожної лінгвістичної змінної здійснюється перехід від дискретної множини чітких значень (w 1 . . w n ) до єдиного чіткого значення згідно з дискретним аналогом методу центру тяжіння y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ i = 1 n c i , де n у підв'язненнях якої фігурує дана лінгвістична змінна, c i – ступінь істинності підскладання продукційного правила, w i – чітке значення цієї лінгвістичної змінної, встановлене у консеквенті продукційного правила.

Наприклад,алгоритм Сугено реалізується, якщо в описаному вище випадку управління рівнем рідини в баку на етапі формування бази правил системи нечіткого виведення правила задаються виходячи з того, що при підтримці постійного рівня рідини чисельні значення припливу w і витрати b повинні бути рівними між собою ε 2 =1 а швидкість наповнюваності ємності визначається відповідною зміною коефіцієнта пропорційності ε 1 між припливом w і рівнем рідини a . У цьому випадку база правил системи нечіткого висновку, що відповідає знанням експерта про те, який необхідно вибрати приплив рідини w = ε 1 a + ε 2 b щоб рівень рідини в баку залишався середнім, виглядатиме так:

ПРАВИЛО<1>: ЯКЩО «рівень рідини малий» І «витрата рідини великий» ТО w = 0,3 a + b;

ПРАВИЛО<2>: ЯКЩО «рівень рідини малий» І «витрата рідини середній» ТО w = 0,2 a + b;

ПРАВИЛО<3>: ЯКЩО «рівень рідини малий» І «витрата рідини малий» ТО w = 0,1 a + b;

ПРАВИЛО<4>: ЯКЩО «рівень рідини середній» І «витрата рідини великий» ТО w = 0,3 a + b;

ПРАВИЛО<5>: ЯКЩО «рівень рідини середній» І «витрата рідини середній» ТО w=0,2a+b;

ПРАВИЛО<6>: ЯКЩО «рівень рідини середній» І «витрата рідини малий» ТО w = 0,1 a + b;

ПРАВИЛО<7>:ЯКЩО «рівень рідини великий» І «витрата рідини великий» ТО w=0,4a+b ;

ПРАВИЛО<8>: ЯКЩО «рівень рідини великий» І «витрата рідини середній» ТО w = 0,2 a + b;

ПРАВИЛО<9>: ЯКЩО «Рівень рідини великий» І «витрата рідини малий» ТО w = 0,1 a + b.

При вже розглянутих раніше поточних рівнях і витраті рідини a = 2.5 м і b = 0.4 м 3 /сек відповідно, в результаті фазифікації, агрегування та активізації з урахуванням явного визначення чітких значень вихідної змінної в консеквентах продукційних правил отримуємо пари значень (c i w i) : rule1 - (0,75; 1,15), rule2 - (0,5; 0.9), rule3- (0; 0,65), rule4 - (0,25; 1,15), rule5 - (0,25; 0,9), rule6 - (0 ; 0,65), rule7 - (0 ; 0), rule7 - (0 ; 1,14), rule8 - (0 ; 0,9), rule9 - (0 ; 0, 65). На етапі дефазифікації для лінгвістичної змінної «приплив рідини» здійснюється перехід від дискретної множини чітких значень (w 1 . . w n ) до єдиного чіткого значення згідно з дискретним аналогом методу центру тяжіння y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ 1.0475 м 3 /сек

Спрощений алгоритм нечіткого висновкуформально задається точно так, як і алгоритм Сугено, тільки при явному завданні чітких значень в консеквентах продукційних правил замість співвідношення w = ε 1 a + ε 1 b використовується явне завдання безпосереднього значення w . Таким чином, формування бази правил системи нечіткого виведення здійснюється у вигляді упорядкованого узгодженого списку нечітких продукційних правил у вигляді "IF A AND B THEN w=ε", де антецеденти ядер правил нечіткої продукції побудовані з двох простих нечітких висловлювань A, B за допомогою логічних зв'язок «І», w – чітке значення вихідної змінної, визначене для кожного висновку i-го правила, як дійсне число ε i.

Наприклад,спрощений алгоритм нечіткого виведення реалізується, якщо в описаному вище випадку керування рівнем рідини в баку на етапі формування бази правил системи нечіткого виведення правила задаються наступним чином:

ПРАВИЛО<1>: ЯКЩО «рівень рідини малий» І «витрата рідини великий» ТО w = 0,6;

ПРАВИЛО<2>: ЯКЩО «рівень рідини малий» І «витрата рідини середній» ТО w = 0,5;

ПРАВИЛО<3>: ЯКЩО «Рівень рідини малий» І «витрата рідини малий» ТО w = 0,4;

ПРАВИЛО<4>: ЯКЩО «рівень рідини середній» І «витрата рідини великий» ТО w = 0,5;

ПРАВИЛО<5>: ЯКЩО «рівень рідини середній» І «витрата рідини середній» ТО w = 0,4;

ПРАВИЛО<6>: ЯКЩО «рівень рідини середній» І «витрата рідини малий» ТО w = 0,3;

ПРАВИЛО<7>:ЯКЩО «рівень рідини великий» І «витрата рідини великий» ТО w = 0,3;

ПРАВИЛО<8>: ЯКЩО «рівень рідини великий» І «витрата рідини середній» ТО w = 0,2;

ПРАВИЛО<9>: ЯКЩО «Рівень рідини великий» І «витрата рідини малий» ТО w = 0,1.

При вже розглянутих раніше поточних рівнях і витраті рідини і, відповідно, в результаті фазифікації, агрегування та активізації з урахуванням явного визначення чітких значень вихідної змінної в консеквентах продукційних правил отримуємо пари значень (c i w i) : rule1 - (0,75 ; 0,6), rule2 - (0,5 ; 0,5), rule3- (0 ; 0,4), rule4 - (0,25 ; 0,5), rule5 - (0,25 ; 0,4), rule6 - (0 ; 0,3),
rule7 - (0; 0,3), rule7 - (0; 0,3), rule8 - (0; 0,2), rule9 - (0; 0,1). На етапі дефазифікації для лінгвістичної змінної «приплив рідини» здійснюється перехід від дискретної множини чітких значень (w 1 . . w n ) до єдиного чіткого значення згідно з дискретним аналогом методу центру тяжіння y = ∑ i = 1 n c i w i ∑ 1.0475 м-коду 3 /сек, y= 0.5 м-коду 3 /сек