შინაარსი 4
თარგმანის რედაქტორიდან 10
მესამე გამოცემის წინასიტყვაობა 13
მეორე გამოცემის წინასიტყვაობა 15
პირველი გამოცემის წინასიტყვაობა 16
აღნიშვნები 20
თავი 1 შესავალი 22
§ 1. ელასტიურობა 22
§ 2. ხაზს უსვამს 23
§ 3. ძალებისა და ძაბვის აღნიშვნა 24
§ 4. სტრესის კომპონენტები 25
§ 5. დეფორმაციის კომპონენტები 26
§ 6. ჰუკის კანონი 28
§ 7. ინდექსის აღნიშვნა 32
ამოცანები 34
თავი 2 თვითმფრინავის დაძაბულობა და სიბრტყის დაძაბულობა 35
§ 8. სიბრტყის დაძაბულობა შედგებოდა 35
§ 9. სიბრტყის დეფორმაცია 35
§ 10. ხაზს უსვამს 37-ე პუნქტს
§ 11. დეფორმაციები 42-ე პუნქტში
§ 12. ზედაპირის დეფორმაციების გაზომვა 44
§ 13. მოჰრის დეფორმაციების წრის აგება როზეტისათვის 46
§ 14. დიფერენციალური წონასწორობის განტოლებები 46
§ 15. სასაზღვრო პირობები 47
§ 16. თავსებადობის განტოლებები 48
§ 17. სტრესის ფუნქცია 50
ამოცანები 52
თავი 3. 2D დეკარტის ამოცანები 54
§ 18. ამოხსნა მრავალწევრებში 54
§ 19. ბოლო ეფექტები. სენ-ვენანის პრინციპი 58
§ 20. გადაადგილების განმარტება 59
§ 21. ბოლოში დატვირთული კონსოლის მოხრა 60
§ 22. ერთიანი დატვირთვით სხივის მოხრა 64
§ 23. სხივების სხვა შემთხვევები დატვირთვის უწყვეტი განაწილებით 69
§ 24. ორგანზომილებიანი ამოცანის ამოხსნა ფურიეს სერიის 71 გამოყენებით
§ 25. ფურიეს სერიის სხვა აპლიკაციები. თვითწონის დატვირთვა 77
§ 26. კონდოების გავლენა. მშობლიური ფუნქციები 78
ამოცანები 80
თავი 4. 2D ამოცანები პოლარულ კოორდინატებში 83
§ 27. ზოგადი განტოლებები პოლარულ კოორდინატებში 83
§ 28. პოლარული-სიმეტრიული დაძაბულობის განაწილება 86
§ 29. მრუდე ზოლების სუფთა მოხრა 89
§ 30. დეფორმაციის კომპონენტები პოლარულ კოორდინატებში 93
§ 31. გადაადგილებები სიმეტრიული ძაბვის ნულებით 94
§ 32. მბრუნავი დისკები 97
§ 33. მოხრილი სხივის მოხრა ბოლოზე გამოყენებული ძალით 100
§ 34. კიდეების დისლოკაციები 105
§ 35. მრგვალი ხვრელის გავლენა ძაბვის განაწილებაზე 106 ფირფიტაზე
§ 36. კონცენტრირებული ძალა მიმართული მართკუთხა საზღვრის ზოგიერთ წერტილში 113
§ 37. თვითნებური ვერტიკალური დატვირთვა სწორხაზოვან საზღვარზე 119
§ 38. სოლის წვერზე მოქმედი ძალა 125
§ 39. სოლის წვერზე მოქმედი მოხრის მომენტი 127
§ 40. მოქმედება კონცენტრირებული ძალის სხივზე 128
§ 41. ხაზს უსვამს მრგვალ დისკს 137
§ 42. უსასრულო ფირფიტის წერტილზე მოქმედი ძალა 141
§ 43. ორგანზომილებიანი ამოცანის განზოგადებული ამოხსნა პოლარულ კოორდინატებში 146
§ 44. განზოგადებული ამოხსნის გამოყენება პოლარულ კოორდინატებში 150
§ 45. სახეების გასწვრივ დატვირთული სოლი 153
§ 46. სოლისა და ამონაჭრის საკუთარი ხსნარები 155
ამოცანები 158
თავი 5. ექსპერიმენტული მეთოდები. ფოტოელასტიურობა და მუარის მეთოდი 163
§ 47. ექსპერიმენტული მეთოდები და თეორიული ამონახსნების გადამოწმება 163
§ 48. დაძაბულობების გაზომვა ფოტოელასტიური მეთოდით 163
§ 49. წრიული პოლარისკოპი 169
§ 50. ფოტოელასტიური მეთოდით დაძაბულობის განსაზღვრის მაგალითები 171
§ 51. ძირითადი სტრესების განსაზღვრა 174
§ 52. ფოტოელასტიურობის მეთოდები სამგანზომილებიან საქმეში 175
§ 53. Moire მეთოდი 177
თავი 6
§ 54. რთული ცვლადის ფუნქციები 180
§ 55. ანალიტიკური ფუნქციები და ლაპლასის განტოლება 182
§ 56. დაძაბულობის ფუნქციები გამოხატული ჰარმონიული და რთული ფუნქციებით 184
§ 57. მოცემული დაძაბულობის ფუნქციის შესაბამისი გადაადგილებები 186
§ 58. ძაბვისა და გადაადგილების გამოხატვა რთული პოტენციალების მეშვეობით 188
§ 59. გარკვეულ მრუდზე მოქმედი შედეგიანი დაძაბულობა. სასაზღვრო პირობები 190
§ 60. მრუდი კოორდინატები 193
§ 61. დაძაბულობის კომპონენტები მრუდის კოორდინატებში 196
ამოცანები 198
§ 62. ამონახსნები ელიფსურ კოორდინატებში. ელიფსური ხვრელი თეფშზე ერთიანი დაძაბულობის მდგომარეობით 198
§ 63. ელიფსური ხვრელი ფირფიტაში, რომელიც ექვემდებარება ცალღერძულ დაძაბულობას 202
§ 64. ჰიპერბოლური საზღვრები. ამოჭრა 206
§ 65. ბიპოლარული კოორდინატები 208
§ 66. ამონახსნები ბიპოლარულ კოორდინატებში 209
§ 67. რთული პოტენციალების განსაზღვრა მოცემული სასაზღვრო პირობებით. ნ.ი.მუსხელიშვილის მეთოდები 214
§ 68 რთული პოტენციალის ფორმულები 217
§ 69. რთული პოტენციალის შესაბამისი ძაბვისა და დაძაბვის თვისებები, ანალიტიკური 219 ხვრელის გარშემო მდებარე მასალის არეში.
§ 70. თეორემები სასაზღვრო ინტეგრალებისთვის 221
§ 71. რუკების ფუნქცია ω(ξ) ელიფსური ხვრელისთვის. მეორე სასაზღვრო ინტეგრალი 224
§ 72. ელიფსური ხვრელი. ფორმულა ψ(ζ) 225-ისთვის
§ 73. ელიფსური ხვრელი. კონკრეტული ამოცანები 226
ამოცანები 229
თავი 7 სტრესისა და დაძაბულობის ანალიზი სივრცულ საქმეში 230
§ 74 შესავალი 230
§ 75. ძირითადი ხაზგასმა 232
§ 76. დაძაბულობის ელიფსოიდი და დაძაბულობის მიმართული ზედაპირი 233
§ 77. ძირითადი სტრესების განსაზღვრა 234
§ 78. სტრესის ინვარიანტები 235
§ 79. ათვლის მაქსიმალური დაძაბულობის განსაზღვრა 236
§ 80. ერთგვაროვანი დეფორმაცია 238
§ 81. დეფორმაციები სხეულის წერტილში 239
§ 82. ძირითადი დაძაბვის ცულები 242
§ 83. როტაცია 243
ამოცანები 245
თავი 8 ზოგადი თეორემები 246
§ 84. დიფერენციალური წონასწორობის განტოლებები 246
§ 85. თავსებადობის პირობები 247
§ 86. გადაადგილების განმარტება 250
§ 87. წონასწორობის განტოლებები გადაადგილებებში 251
§ 88. გადაადგილების ზოგადი გადაწყვეტა 252
§ 89. სუპერპოზიციის პრინციპი 253
§ 90. დეფორმაციის ენერგია 254
§ 91. დაჭიმვის ენერგია კიდის დისლოკაციისთვის 259
§ 92. ვირტუალური მუშაობის პრინციპი 261
§ 93. კასტილიანოს თეორემა 266
§ 94. მინიმალური მუშაობის პრინციპის გამოყენება. მართკუთხა ფირფიტები 270
§ 95. სხივების ფართო ფარნების ეფექტური სიგანე 273
ამოცანები 279
§ 96. ამოხსნის უნიკალურობა 280
§ 97. ურთიერთობის თეორემა 282
§ 98. სიბრტყის დაძაბულობის მდგომარეობის ამონახსნების მიახლოებითი ბუნება 285
ამოცანები 287
თავი 9. დრეკადობის თეორიის ელემენტარული სამგანზომილებიანი ამოცანები 289
§ 99. ერთიანი სტრესის მდგომარეობა 289
§ 100. პრიზმული ღეროს დაჭიმვა საკუთარი წონის ქვეშ 290
§ 101. მუდმივი კვეთის მრგვალი ლილვების ტორსიონი 293
§ 102. პრიზმული ღეროების სუფთა მოხრა 294
§ 103. ფირფიტების სუფთა მოხრა 298
თავი 10
§ 104. სწორხაზოვანი ღეროების ტორსიონი 300
§ 105. ელიფსური ჯვარი 305
§ 106. სხვა ელემენტარული გადაწყვეტილებები 307
§ 107. მემბრანის ანალოგია 310
§ 108. ვიწრო ოთხკუთხა ჯვრის მონაკვეთის ჯოხის ტორსიონი 314
§ 109. მართკუთხა ღეროების ტორსიონი 317
§ 110. დამატებითი შედეგები 320
§ 111. ბრუნვის ამოცანების ამოხსნა ენერგეტიკული მეთოდით 323
§ 112. ნაგლინი პროფილების ღეროების ტორსიონი 329
§ 113. ექსპერიმენტული ანალოგიები 331
§ 114. ჰიდროდინამიკური ანალოგიები 332
§ 115. ღრუ ლილვების ტორსიონი 335
§ 116. თხელკედლიანი მილების ტორსიონი 339
§ 117. ხრახნიანი დისლოკაციები 343
§ 118. ჯოხის ბრუნვა, რომლის ერთ-ერთი ჯვარი ბრტყელი რჩება 345
§ 119. ცვლადი დიამეტრის მრგვალი ლილვების ტორსიონი 347
ამოცანები 355
თავი 11
§ 120. კონსოლის მოხრა 359
§ 121. სტრესის ფუნქცია 361
§ 122. მრგვალი კვეთა 363
§ 123. ელიფსური ჯვარი 364
§ 124. მართკუთხა ჯვარი 365
§ 125. დამატებითი შედეგები 371
§ 126. ასიმეტრიული კვეთები 373
§ 127. მოსახვევის ცენტრი 375
§ 128. მოხრის ამოცანების ამოხსნა საპნის ფირის მეთოდით 378
მუხლი 129 გადარიცხვები 381
§ 130. ღეროების მოხრის შემდგომი კვლევები 382
თავი 12
§ 131. ზოგადი განტოლებები 384
§ 132. ამოხსნა მრავალწევრებში 387
§ 133. მრგვალი ფირფიტის მოხრა 388
§ 134. მბრუნავი დისკის სამგანზომილებიანი პრობლემა 391
§ 135. უსასრულო სხეულის რაღაც წერტილში გამოყენებული ძალა 393
§ 136. სფერული ჭურჭელი შიდა ან გარე ერთიანი წნევის გავლენის ქვეშ 396
§ 137. ადგილობრივი ძაბვები სფერული ღრუს ირგვლივ 399
§ 138. ნახევრად უსასრულო სხეულის საზღვარზე გამოყენებული ძალა 401
§ 139. დატვირთვა განაწილებული ნახევრად უსასრულო სხეულის საზღვრის ნაწილზე 405
§ 140. წნევა ორ კონტაქტურ სფერულ სხეულს შორის 412
§ 141. წნევა ორ სხეულს შორის კონტაქტში. უფრო ზოგადი შემთხვევა 417
§ 142. ბურთების შეჯახება 422
§ 143. მრგვალი ცილინდრის სიმეტრიული დეფორმაცია 424
§ 144. მრგვალი ცილინდრი სარტყელის წნევის მოქმედებით 428
§ 145. ბუსინესკის ამოხსნა ორი ჰარმონიული ფუნქციის სახით 430
§ 146. სპირალური ზამბარის გაჭიმვა (ხრახნიანი დისლოკაციები რგოლში) 431
§ 147. მრგვალი რგოლის ნაწილის სუფთა მოხრა 434
თავი 13 თერმული სტრესები 436
§ 148. თერმული სტრესების განაწილების უმარტივესი შემთხვევები. დეფორმაციის მეთოდი 436
ამოცანები 442
§ 149. გრძივი ტემპერატურის ცვლილება ზოლში 442
§ 150. წვრილი მრგვალი დისკი: ტემპერატურის განაწილება სიმეტრიულია ცენტრის მიმართ 445
§ 151. გრძელი მრგვალი ცილინდრი 447
ამოცანები 455
§ 152. ფარგლები 455
§ 153. ზოგადი განტოლებები 459
§ 154. ურთიერთგაგების თეორემა თერმოელასტიურობაში 463
§ 155. სულ თერმოელასტიური დეფორმაციები. ტემპერატურის თვითნებური განაწილება 464
§ 156. თერმოელასტიური გადაადგილებები. V.M. Maizel-ის ინტეგრალური ამოხსნა 466
ამოცანები 469
§ 157. საწყისი ხაზგასმა 469
§ 158. მოცულობის ზოგადი ცვლილება, რომელიც დაკავშირებულია საწყის სტრესებთან 472
§ 159. სიბრტყის დეფორმაცია და სიბრტყის დაძაბულობის მდგომარეობა. დეფორმაციის მეთოდი 472
§ 160. ორგანზომილებიანი ამოცანები სტაციონარული სითბოს ნაკადთან 474
§ 161. სიბრტყე თერმულად დაძაბული მდგომარეობა გამოწვეული იზოლირებული ხვრელის მიერ ერთგვაროვანი სითბოს ნაკადის დარღვევით 480
§ 162. ზოგადი განტოლების ამონახსნები. თერმოელასტიური გადაადგილების პოტენციალი 481
§ 163. ზოგადი ორგანზომილებიანი პრობლემა წრიული რეგიონებისთვის 485
§ 164. ზოგადი ორგანზომილებიანი პრობლემა. ამოხსნა რთულ პოტენციალებში 487
თავი 14. ტალღების გავრცელება დრეკად უწყვეტ გარემოში 490
§ 165 შესავალი 490
§ 166. გაფართოების ტალღები და დამახინჯების ტალღები იზოტროპულ ელასტიურ გარემოში 491
§ 167. თვითმფრინავის ტალღები 492
§ 168. გრძივი ტალღები მუდმივი მონაკვეთის წნელებში. ელემენტარული თეორია 497
§ 169. ღეროების გრძივი ზემოქმედება 502
§ 170. რეილის ზედაპირული ტალღები 510
§ 171. ტალღები სფერული სიმეტრიით უსასრულო გარემოში 513
§ 172. ფეთქებადი წნევა სფერულ ღრუში 514
განაცხადი. სასრული სხვაობის განტოლებების გამოყენება დრეკადობის თეორიაში 518
§ 1. სასრული სხვაობის განტოლებების წარმოშობა 518
§ 2. თანმიმდევრული დაახლოების მეთოდები 522
§ 3. რელაქსაციის მეთოდი 525
§ 4. სამკუთხა და ექვსკუთხა ბადეები 530
§ 5. ბლოკი და ჯგუფური დასვენება 535
§ 6. ღეროების ტორსიონი გამრავლებული ჯვარედინი კვეთებით 536
§ 7. 538 საზღვრის მიმდებარედ მდებარე პუნქტები
§ 8. ბიჰარმონიული განტოლება 540
§ 9. ცვლადი დიამეტრის წრიული ლილვების ტორსიონი 548
§ 10. ამოცანების ამოხსნა კომპიუტერის დახმარებით 551
სახელის ინდექსი 553
ინდექსი 558

მე-4-6 თავებში მიღებული იქნა დრეკადობის თეორიის ძირითადი განტოლებები, რომლებიც ადგენენ ძაბვისა და დაძაბულობის ცვლილების კანონებს სხეულის თვითნებური წერტილის სიახლოვეს, აგრეთვე დაძაბულობასთან დაძაბულობასთან და დაძაბულობასთან გადაადგილებასთან დაკავშირებულ კავშირებს. . წარმოგიდგენთ ელასტიურობის განტოლებების სრულ სისტემას დეკარტის კოორდინატებში.

ნავიერის წონასწორობის განტოლებები:

კოშის ურთიერთობები:

ჰუკის კანონი (პირდაპირი და შებრუნებული ფორმით):

გავიხსენოთ, რომ აქ e = e x + e y + მე-ფარდობითი მოცულობითი დეფორმაცია და ათვლის ძაბვის დაწყვილების კანონის მიხედვით Xj. = Tj;და შესაბამისად y~ = ^ 7 . ლამის მუდმივები, რომლებიც შედის (16.3, ა)-ში განისაზღვრება ფორმულებით (6.13).

ზემოაღნიშნული სისტემიდან ჩანს, რომ იგი მოიცავს 15 დიფერენციალურ და ალგებრულ განტოლებას, რომლებიც შეიცავს 15 უცნობ ფუნქციას (ძაბვის ტენზორის 6 კომპონენტი, დაძაბულობის ტენზორის 6 კომპონენტი და გადაადგილების ვექტორის 3 კომპონენტი).

განტოლებათა სრული სისტემის სირთულის გამო, შეუძლებელია ისეთი ზოგადი ამოხსნის პოვნა, რომელიც მოქმედი იქნება დრეკადობის თეორიის ყველა პრობლემისთვის, რომელიც გვხვდება პრაქტიკაში.

განტოლებათა რაოდენობის შემცირების სხვადასხვა გზა არსებობს, თუ, მაგალითად, მხოლოდ ძაბვები ან გადაადგილება მიიღება, როგორც უცნობი ფუნქციები.

თუ ელასტიურობის თეორიის პრობლემის გადაჭრისას გამოვრიცხავთ გადაადგილებებს განხილვისაგან, მაშინ კოშის მიმართებების ნაცვლად (16.2) შეგვიძლია მივიღოთ განტოლებები, რომლებიც აკავშირებენ დაძაბულობის ტენზორის კომპონენტებს ერთმანეთთან. დეფორმაციის დიფერენცირება r x,განსაზღვრულია პირველი ტოლობით (16.2), ორჯერ in y,დეფორმაცია g y -ორჯერ x-ისთვის და დაამატეთ მიღებული გამონათქვამები. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ

გამოხატულება ფრჩხილებში, (16.2) მიხედვით, განსაზღვრავს y კუთხურ დეფორმაციას. ამრიგად, ბოლო ტოლობა შეიძლება დაიწეროს როგორც

ანალოგიურად, კიდევ ორი ​​ტოლობის მიღება შეიძლება, რომლებიც ბოლო მიმართებასთან ერთად ქმნიან პირველ ჯგუფს სენ-ვენანის დეფორმაციების თავსებადობის განტოლებები:

თითოეული ტოლობა (16.4) ადგენს კავშირს დეფორმაციებს შორის ერთ სიბრტყეში. კოშის მიმართებები ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვადასხვა სიბრტყეში დეფორმაციების თავსებადობის პირობების მისაღებად. კუთხური დეფორმაციების გამონათქვამებს (16.2) განვასხვავებთ შემდეგნაირად: y - by ზ y - მიერ X;

y-ის მიერ; დაამატეთ პირველი ორი ტოლობა და გამოაკლეთ მესამე. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ

ამ თანასწორობის დიფერენცირება y-სთან მიმართებაში და იმის გათვალისწინებით, რომ,

მივდივართ შემდეგ მიმართებაში:

წრიული ჩანაცვლების დახმარებით ვიღებთ კიდევ ორ ტოლობას, რომლებიც ბოლო მიმართულებასთან ერთად შეადგენენ სენ-ვენანის დეფორმაციის თავსებადობის განტოლებების მეორე ჯგუფს:

დეფორმაციის თავსებადობის განტოლებებს ასევე უწოდებენ პირობებს უწყვეტობაან უწყვეტობა.ეს ტერმინები ახასიათებს იმ ფაქტს, რომ სხეული რჩება მყარი დეფორმაციის დროს. თუ ჩვენ წარმოვადგენთ სხეულს, როგორც ცალკეული ელემენტებისაგან შემდგარს და მივიღებთ დეფორმაციებს e x, y, როგორც თვითნებურ ფუნქციებს, მაშინ დეფორმირებულ მდგომარეობაში შეუძლებელი იქნება ამ ელემენტებიდან მყარი სხეულის შეკრება. პირობების დაკმაყოფილების შემთხვევაში (16.4), (16.5), ცალკეული ელემენტების საზღვრების გადაადგილება ისეთი იქნება, რომ სხეული დარჩება მყარი დეფორმირებულ მდგომარეობაშიც კი.

ამრიგად, ელასტიურობის თეორიის ამოცანების გადაჭრისას უცნობის რაოდენობის შემცირების ერთ-ერთი გზა არის გადაადგილების განხილვისაგან გამორიცხვა. შემდეგ, კოშის მიმართებების ნაცვლად, განტოლებათა სრული სისტემა მოიცავს სენ-ვენანის დეფორმაციების თავსებადობის განტოლებებს.

ელასტიურობის თეორიის განტოლებათა სრული სისტემის გათვალისწინებით, ყურადღება უნდა მიაქციოთ იმ ფაქტს, რომ იგი პრაქტიკულად არ შეიცავს ფაქტორებს, რომლებიც განსაზღვრავენ სხეულის სტრეს-დაძაბულობის მდგომარეობას. ასეთ ფაქტორებს მიეკუთვნება სხეულის ფორმა და ზომები, მისი დამაგრების მეთოდები, სხეულზე მოქმედი დატვირთვები, სხეულის ძალების გარდა. X, Y, Z.

ამრიგად, დრეკადობის თეორიის განტოლებათა სრული სისტემა ადგენს დრეკად სხეულებში დაძაბულობის, დაძაბულობისა და გადაადგილების ცვლილების მხოლოდ ზოგად შაბლონებს. კონკრეტული პრობლემის გადაწყვეტა შესაძლებელია, თუ მოცემულია სხეულის დატვირთვის პირობები. ეს მოცემულია სასაზღვრო პირობებში, რომლებიც განასხვავებენ ელასტიურობის თეორიის ერთ პრობლემას მეორისგან.

მათემატიკური თვალსაზრისით ასევე ცხადია, რომ დიფერენციალური განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნები მოიცავს თვითნებურ ფუნქციებს და მუდმივებს, რომლებიც უნდა განისაზღვროს სასაზღვრო პირობებიდან.

4. დედამიწის სტრუქტურა სეისმოლოგიის მონაცემების მიხედვით

დრეკადობის თეორიის საფუძვლები: დაძაბულობის ტენსორი, დაძაბულობის ტენსორი, ჰუკის კანონი, დრეკადობის მოდულები, ერთგვაროვანი დეფორმაციები, ელასტიური ტალღები იზოტროპულ გარემოში, ფერმას, ჰაიგენსის, სნელის კანონები. სეისმური ტალღები. სეისმომეტრული დაკვირვებების განვითარება: სეისმური სადგურები და მათი ქსელები, ჰოდოგრაფები, ტალღების ტრაექტორიები დედამიწის შიგნით. სეისმური ტალღების გავრცელების სიჩქარის განსაზღვრა გერტლოც-ვიჩერტის განტოლების გამოყენებით. P და S ტალღების სიჩქარე დედამიწის რადიუსის ფუნქციით. დედამიწის მატერიის მდგომარეობა სეისმოლოგიის მიხედვით. Დედამიწის ქერქი. ლითოსფერო და ასთენოსფერო. სეისმოლოგია და გლობალური ტექტონიკა.

ელასტიურობის თეორიის საფუძვლები[Landau, Lifshitz, 2003, გვ. 9-25, 130-144]

დაძაბულობის ტენსორი

მყარი ნივთიერებების მექანიკა, რომელიც განიხილება როგორც უწყვეტი მედია, არის შინაარსი ელასტიურობის თეორია. ელასტიურობის თეორიის ძირითადი განტოლებები დაადგინა ო.ლ. კოში და ს.დ. პუასონი 1920-იან წლებში (დაწვრილებით იხილეთ თავი 15).

გამოყენებული ძალების გავლენით მყარი სხეულები დეფორმირდება ამა თუ იმ ხარისხით, ე.ი. შეცვალოს მათი ფორმა და მოცულობა. სხეულის დეფორმაციის მათემატიკური აღწერისთვის გააგრძელეთ შემდეგნაირად. სხეულის თითოეული წერტილის პოზიცია განისაზღვრება მისი რადიუსის ვექტორით r (კომპონენტებით x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z) ზოგიერთ კოორდინატულ სისტემაში. როდესაც სხეული დეფორმირებულია, მისი ყველა წერტილი, ზოგადად რომ ვთქვათ, გადაადგილდება. განვიხილოთ სხეულის გარკვეული წერტილი; თუ მისი რადიუსის ვექტორი დეფორმაციამდე იყო r, მაშინ დეფორმირებულ სხეულში მას სხვა ექნება

მნიშვნელობა r / (x i / კომპონენტებით). სხეულის წერტილის გადაადგილება დეფორმაციის დროს იქნება წარმოდგენილი ვექტორით r/-r, რომელსაც აღვნიშნავთ u ასოთი:

u = x/ − x .

ვექტორი u სახელი დაძაბულობის ვექტორი(ან გადაადგილების ვექტორი). ვექტორის ცოდნა u

x-ის ფუნქციით i მთლიანად განსაზღვრავს სხეულის დეფორმაციას.

როდესაც სხეული დეფორმირებულია, მის წერტილებს შორის მანძილი იცვლება. თუ მათ შორის რადიუსის ვექტორი დეფორმაციამდე იყო dx i, მაშინ დეფორმირებულ სხეულში რადიუსი

ვექტორი იმავე ორ წერტილს შორის იქნება dx i / = dx i + du i. წერტილებს შორის მანძილი დეფორმაციამდე ტოლი იყო:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2,

და დეფორმაციის შემდეგ:

dl / = dx 1 / 2 + dx 2 / 2 + dx 3 / 2 .

საბოლოოდ მივიღებთ:

dl / 2 = dl 2 + 2u

∂უ ი

∂ დიდი ბრიტანეთი

∂უ ლ

∂უ ლ

∂xk

∂xk

∂x ი

∂x ი

ეს გამონათქვამები განსაზღვრავს სიგრძის ელემენტის ცვლილებას სხეულის დეფორმაციის დროს. ტენსორი u ik ეწოდება დაძაბულობის ტენსორი; განმარტებით, ის სიმეტრიულია:

უ იკ = უ კი .

ნებისმიერი სიმეტრიული ტენზორის მსგავსად, ტენსორი u ik თითოეულ წერტილში შეიძლება შემცირდეს

მთავარი ღერძი და დარწმუნდით, რომ სხეულის თითოეულ მოცულობით ელემენტში, დეფორმაცია შეიძლება ჩაითვალოს სამი დამოუკიდებელი დეფორმაციის ერთობლიობად სამი პერპენდიკულარული მიმართულებით - დაძაბულობის ტენზორის ძირითადი ღერძი. სხეულების დეფორმაციის თითქმის ყველა შემთხვევაში, დეფორმაციები მცირეა. ეს ნიშნავს, რომ სხეულში ნებისმიერი მანძილის ცვლილება მცირეა თავად მანძილთან შედარებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შედარებითი წაგრძელებები მცირეა ერთიანობასთან შედარებით.

გარდა ზოგიერთი განსაკუთრებული შემთხვევისა, რომელსაც არ შევეხებით, თუ სხეული ექვემდებარება მცირე დეფორმაციას, მაშინ დაძაბულობის ტენზორის ყველა კომპონენტი ასევე მცირეა. ამიტომ, გამონათქვამში (4.3), ბოლო ტერმინი შეიძლება უგულებელვყოთ, როგორც მეორე რიგის მცირე რაოდენობა. ამრიგად, მცირე შტამების შემთხვევაში, დაძაბულობის ტენსორი განისაზღვრება გამონათქვამით:

u = 1			∂უ ი	+ ∂u k ) .
			∂xk	∂x ი

ასე რომ, ძალები არის სხეულში წარმოქმნილი მოძრაობების (გადაადგილების) მიზეზი, ხოლო დეფორმაციები მოძრაობების შედეგია [Khaikin, 1963, გვ. 176].

ელასტიურობის კლასიკური თეორიის მთავარი დაშვება

არადეფორმირებულ სხეულში მოლეკულების განლაგება შეესაბამება მისი თერმული წონასწორობის მდგომარეობას. ამავდროულად, მისი ყველა ნაწილი ერთმანეთთან და მექანიკურ წონასწორობაშია. ეს ნიშნავს, რომ თუ რომელიმე მოცულობა გამოიყოფა სხეულის შიგნით, მაშინ ამ მოცულობაზე მოქმედი ყველა ძალის შედეგი სხვა ნაწილებიდან არის ნულის ტოლი.

დეფორმაციისას, მოლეკულების განლაგება იცვლება და სხეული ამოღებულია წონასწორობის მდგომარეობიდან, რომელშიც ის თავდაპირველად იყო. შედეგად, მასში წარმოიქმნება ძალები, რომლებიც შეეცდებიან სხეულის წონასწორობის მდგომარეობაში დაბრუნებას. დეფორმაციის შედეგად წარმოქმნილ ამ შინაგან ძალებს ე.წ შიდა სტრესები. თუ სხეული არ არის დეფორმირებული, მაშინ მასში არ არის შინაგანი სტრესები.

შიდა სტრესები გამოწვეულია მოლეკულური ბმებით, ე.ი. სხეულის მოლეკულების ერთმანეთთან ურთიერთქმედების ძალები. ელასტიურობის თეორიისთვის ძალიან მნიშვნელოვანია ის ფაქტი, რომ მოლეკულურ ძალებს აქვთ მოქმედების ძალიან მცირე რადიუსი. მათი გავლენა ვრცელდება ნაწილაკზე, რომელიც ქმნის მათ მხოლოდ ინტერმოლეკულური რიგის მანძილზე. მაგრამ ელასტიურობის თეორიაში, ისევე როგორც მაკროსკოპულ თეორიაში, განიხილება მხოლოდ დისტანციები, რომლებიც დიდია ინტერმოლეკულურთან შედარებით. ამიტომ მოლეკულური ძალების „მოქმედების დიაპაზონი“ დრეკადობის თეორიაში ნულის ტოლად უნდა ჩაითვალოს. შეიძლება ითქვას, რომ შინაგანი დაძაბულობის გამომწვევი ძალები დრეკადობის თეორიაში „მოკლე დიაპაზონის“ ძალებია, რომლებიც ყოველი წერტილიდან გადაეცემა მხოლოდ მასთან ყველაზე ახლოს მდებარე წერტილებს.

ამრიგად, ელასტიურობის კლასიკურ თეორიაში ამ მოქმედებას ავლენს ძალები, რომლებიც მოქმედებენ სხეულის ნებისმიერ ნაწილზე მის გარშემო მყოფი ნაწილებიდან. მხოლოდ პირდაპირ ზედაპირზესხეულის ეს ნაწილი.

ფაქტობრივად, ფუნდამენტური ნაშრომის ავტორი [Khaikin, 1963, გვ. 484].

სტრესის ტენსორი

დასკვნა, რომ ყველა ძალა ახორციელებს თავის მოქმედებას მხოლოდ ზედაპირის მეშვეობით, არის ელასტიურობის კლასიკური თეორიის გასაღები. იგი იძლევა სხეულის ნებისმიერი მოცულობის შესაძლებლობას ყველა შინაგანი სტრესის ძალის შედეგის სამი კომპონენტიდან თითოეული

∫ F i dV (სადაც F i არის ძალა, რომელიც მოქმედებს ერთეულ მოცულობაზე dV ) გარდაიქმნება ინტეგრალურად ამ მოცულობის ზედაპირზე. ამ შემთხვევაში, როგორც ვექტორული ანალიზიდან ჩანს, ვექტორი F i უნდა იყოს მეორე რიგის რომელიმე ტენზორის დივერგენცია, ე.ი. გამოიყურება როგორც:

F i = ∂ σ ik. (4.6)

∂xk

მაშინ ძალა, რომელიც მოქმედებს გარკვეულ მოცულობაზე, შეიძლება ჩაიწეროს როგორც ინტეგრალი დახურულ ზედაპირზე, რომელიც ფარავს ამ მოცულობას:

∫ Fi dV = ∫ ∂ ∂ σ x ik			= / σ ik df k,
სადაც ვექტორი d f = df 2			Df 2	მიმართული	ზედაპირის გარე ნორმალის გასწვრივ,

დაფარავს მოცულობას dV.

ტენსორი σ ik ეწოდება სტრესის ტენსორი. როგორც (4.7) ჩანს, σ ik df k არის i -th

ზედაპირის ელემენტზე მოქმედი ძალის კომპონენტი d f. xy, уz, xz სიბრტყეებში ზედაპირის ელემენტების არჩევისას აღმოვაჩენთ, რომ დაძაბულობის ტენზორის კომპონენტი σ ik.

არის x k ღერძის პერპენდიკულარულ ერთეულ ზედაპირზე მოქმედი ძალის მე-მერე კომპონენტი. ასე რომ, x ღერძის პერპენდიკულარულ ერთეულ ფართობზე, ნორმალური

მისი ( მიმართულია x ღერძის გასწვრივ) ძალა σ xx და ტანგენციალური ( მიმართულია y და z ღერძების გასწვრივ)

ძალები σ yx და σ zx.

გაითვალისწინეთ, რომ ძალა, რომელიც მოქმედებს სხეულის მთელ ზედაპირზე შიდა დაძაბულობის მხრიდან, განსხვავებით (4.7), არის:

− ∫ σ ik df k .

M ik ძალების მომენტის ჩაწერა სხეულის გარკვეულ მოცულობაზე:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

და იმის მოთხოვნით, რომ იგი გამოისახოს როგორც ინტეგრალი მხოლოდ ზედაპირზე, მივიღებთ, რომ დაძაბულობის ტენსორი სიმეტრიულია:

σ ik = σ ki .

მსგავსი დასკვნის გაკეთება უფრო მარტივი გზითაც შეიძლება [Sivukhin, 1974, გვ. 383]. სახელდობრ. მომენტი dM ik პირდაპირპროპორციულია ელემენტარულის ინერციის მომენტისა

მოცულობა dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 და, შესაბამისად, ვიღებთ (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0 , საიდანაც (4.8) მიმართება ავტომატურად მოდის.

დაძაბულობის ტენზორის სიმეტრია საშუალებას აძლევს მას მიიყვანოს მთავარ ღერძებთან თითოეულ წერტილში, ე.ი. თითოეულ წერტილში, სტრესის ტენსორი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

σ ik = σ xx + σ yy + σ zz.

წონასწორობისას შინაგანი სტრესების ძალები უნდა იყოს ორმხრივი კომპენსირებული სხეულის მოცულობის თითოეულ ელემენტში, ე.ი. უნდა იყოს F i = 0. ასე რომ, განტოლებები

დეფორმირებული სხეულის წონასწორობას აქვს ფორმა:

∂σ ik = 0 .

∂xk

თუ სხეული სიმძიმის ველშია, მაშინ F + ρ g შინაგანი დაძაბულობის ძალების ჯამი F და გრავიტაციის ძალა ρ g, რომელიც მოქმედებს ერთეულ მოცულობაზე, ρ -

სხეულის სიმკვრივე, g არის თავისუფალი ვარდნის აჩქარების ვექტორი. წონასწორობის განტოლებებს ამ შემთხვევაში აქვს ფორმა:

∂ σ ik + ρ g i = 0 .
∂xk

დეფორმაციის ენერგია

განვიხილოთ ზოგიერთი დეფორმირებული სხეული და ჩავთვალოთ, რომ მისი დეფორმაცია იცვლება ისე, რომ დეფორმაციის ვექტორი u i იცვლება მცირე რაოდენობით δ u i.

განვსაზღვროთ ამ შემთხვევაში შესრულებული სამუშაო შინაგანი სტრესების ძალებით. ძალის (4.6) გამრავლებით δ u i გადაადგილებით და სხეულის მთელ მოცულობაზე ინტეგრირება, მივიღებთ:

		∫ ∂ xk
	δRdV =		∂σik	δ ui dV .

სიმბოლო δ R აღნიშნავს შინაგანი დაძაბულობის ძალების მუშაობას სხეულის ერთეულ მოცულობაში. ნაწილების მიხედვით ინტეგრირება, უსასრულობაში დეფორმირებული შეუზღუდავი გარემოს გათვალისწინება, ინტეგრაციის ზედაპირის უსასრულობამდე წასვლა, შემდეგ σ ik = 0 მასზე, მივიღებთ:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

ამრიგად, ჩვენ ვპოულობთ:

δ R = − σ ikδ u ik .

მიღებული ფორმულა განსაზღვრავს მუშაობას დაძაბულობის ტენზორის შეცვლაზე, რომელიც განსაზღვრავს სხეულის შიდა ენერგიის ცვლილებას.

რუსეთის სახელმწიფო უნივერსიტეტი

ნავთობი და გაზი მათ. I.M. გუბკინა

ტექნიკური მექანიკის დეპარტამენტი

ᲐᲑᲡᲢᲠᲐᲥᲢᲣᲚᲘ

"ელასტიურობის თეორია"

დაასრულა: პოლიაკოვი A.A.

შეამოწმა: ევდოკიმოვი A.P.

მოსკოვი 2011 წელი

ელასტიურობის თეორიის განტოლება

1. შესავალი

სტრესი-დაძაბულობის მდგომარეობის თეორია სხეულის წერტილში

2.1 სტრესის თეორია

2 დეფორმაციის თეორია

3 კავშირი დაძაბულ და დეფორმირებულ მდგომარეობას დრეკადი სხეულებისთვის

დრეკადობის თეორიის ძირითადი განტოლებები. პრობლემების სახეები დრეკადობის თეორიაში

1 დრეკადობის თეორიის ძირითადი განტოლებები

2 პრობლემების ტიპები დრეკადობის თეორიაში

4 დრეკადობის თეორიის განტოლებები გადაადგილებებში (ლამის განტოლებები)

ელასტიურობის თეორიის ვარიაციული პრინციპები

1 შესაძლო გადაადგილების პრინციპი (ლაგრანგის პრინციპი)

2 შესაძლო მდგომარეობების პრინციპი (კასტილანოს პრინციპი)

3 კავშირი ზუსტ ამოხსნასა და ლაგრანჟისა და კასტილიანოს პრინციპებზე დაყრდნობით მიღებულ ამონახსნებს შორის

გამოყენებული ლიტერატურის სია

1. შესავალი

სტრესებისა და დეფორმაციების თეორიები შექმნა ო.კოშიმ. ისინი ჩამოყალიბებულია 1822 წელს პარიზის მეცნიერებათა აკადემიაში წარდგენილ ნაშრომში, რომლის რეზიუმე გამოიცა 1823 წელს და რამდენიმე შემდგომი სტატია. ო. კოშიმ გამოიღო ელემენტარული ტეტრაედრის წონასწორობის სამი განტოლება, დაამტკიცა ტანგენციალური ძაბვების დაწყვილების კანონი, შემოიტანა ძირითადი ღერძებისა და ძირითადი ძაბვების ცნებები და გამოიტანა დიფერენციალური წონასწორობის განტოლებები (ჩვეულებრივ, ისინი არ გამოიყოფა სიძლიერის დროს. მასალები). მან ასევე გააცნო ნორმალური ძაბვის ზედაპირი (კოშის ოთხკუთხედი), რომელზედაც განლაგებულია რადიუსის ვექტორების ბოლოები, რომელთა მიმართულებები ემთხვევა ნორმალების მიმართულებას უბნებისკენ, ხოლო მნიშვნელობა უკუპროპორციულია კვადრატულ ფესვთან. ამ არეში ნორმალური სტრესის აბსოლუტური მნიშვნელობისაა და დადასტურდა, რომ ეს ზედაპირი არის მეორე რიგის ზედაპირი, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე. ნორმალური ძაბვის ზედაპირის ძირითად ღერძებად გადაქცევის შესაძლებლობა მიუთითებს სამი ერთმანეთის ძირითადი პერპენდიკულარული არეების არსებობაზე თითოეულ წერტილში.

მსგავსი ათვლის დაძაბულობის ზედაპირი შემოიღო რუსმა მექანიკოსმა გ.ვ. კოლოსოვი 1933 წელს

სივრცეში სტრესის მდგომარეობის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია სტრესების ელიფსოიდის სახით მისცეს გ.ლამმა და ბ.კლაპეირონმა თავიანთ მემუარებში, წარდგენილი პარიზის მეცნიერებათა აკადემიაში 1828 წელს და გამოქვეყნდა 1833 წელს.

დაძაბულობის მდგომარეობის გეომეტრიული წარმოდგენა სიბრტყეზე ერთი რიგის პლატფორმებისთვის, რომელიც გადის მთავარ ღერძზე, დაძაბულობის წრის სახით, შემოგვთავაზა კ. კულმანმა თავის წიგნში 1866 წელს.

სტრესული მდგომარეობის ზოგადი შემთხვევისთვის, მისი ძალიან მკაფიო გეომეტრიული ინტერპრეტაცია სიბრტყეზე მისცა ო. მოჰრმა (ე.წ. წრიული მორის დიაგრამა) 1882 წელს. მისგან რამდენიმე მნიშვნელოვანი დასკვნის გაკეთება შეიძლება. ძირითადი ძაბვების კიდური, იმ უბნების პოზიცია, რომლებშიც ტანგენციალური ძაბვები მაქსიმალურია და ამ მაქსიმალური ათვლის დაძაბულობის მნიშვნელობების შესახებ.

ო. კოშიმ მისცა შტამების განმარტება, გამოიტანა მათი დამოკიდებულება გადაადგილებაზე მცირე დაძაბულობის კონკრეტულ შემთხვევაში (ეს დამოკიდებულებები, როგორც წესი, არ წარმოიქმნება მასალების სიმტკიცის დროს), განსაზღვრა ძირითადი დაძაბულობის და ძირითადი ცნებები. შტამების, და მიღებულია დაძაბულობის კომპონენტების დამოკიდებულება დაძაბულობის კომპონენტებზე, როგორც იზოტროპული, ასევე ანიზოტროპული ელასტიური სხეულისთვის. მასალების წინააღმდეგობისას, როგორც წესი, დადგენილია დაძაბულობის კომპონენტების დამოკიდებულება იზოტროპული სხეულის სტრესის კომპონენტებზე. მათ ჰუკის განზოგადებულ კანონს უწოდებენ, თუმცა, რა თქმა უნდა, ეს სახელი პირობითია, ვინაიდან რ.ჰუკმა არ იცოდა სტრესის ცნება.

ამ დამოკიდებულებებში, კოშიმ პირველად შემოიტანა ორი მუდმივი და ჩამოწერა დაძაბულობის დამოკიდებულება შტამებზე.

მ, ,

თუმცა მოგვიანებით ო.კოშიმ მიიღო L. Navier-ის კონცეფცია. მისი მიხედვით, ელასტიური სხეულები შედგება მოლეკულებისგან, რომელთა შორის დეფორმაციის დროს წარმოიქმნება ძალები, რომლებიც მოქმედებენ მოლეკულების დამაკავშირებელი სწორი ხაზების მიმართულებით და პროპორციულია მოლეკულებს შორის მანძილების ცვლილებისა. მაშინ ანისოტროპული სხეულის ზოგადი შემთხვევისთვის დრეკადობის მუდმივთა რიცხვი არის 15, ხოლო იზოტროპული სხეულისთვის ვიღებთ ერთ დრეკად მუდმივას. ამ ჰიპოთეზას იცავდა ს.პუასონი, დასაწყისში კი – გ.ლამი და ბ.კლაპეირონი. მასზე დაყრდნობით პუასონმა აღმოაჩინა, რომ განივი დაძაბულობის კოეფიციენტი არის 1/4.

დ. გრინმა 1839 წელს გამოიტანა კავშირი შტამებსა და სტრესებს შორის დრეკადი სხეულების მოლეკულური სტრუქტურის ჰიპოთეზის გამოყენების გარეშე. მან ისინი მოიპოვა ენერგიის კონსერვაციის პრინციპზე დაყრდნობით, შემოიტანა დრეკადობის პოტენციალის კონცეფცია და აჩვენა, რომ ექვსი დაძაბულობის კომპონენტის წრფივი დამოკიდებულების გამოყენებისას ძაბვის ექვს კომპონენტზე, 36 კოეფიციენტიდან 21 დამოუკიდებელია, ე.ი. ანისოტროპული სხეული, დრეკადობის მუდმივთა რიცხვი არის 21 იზოტროპული სხეულისთვის დრეკადობის მუდმივთა რაოდენობა ორამდე მცირდება. თეორიას, რომელშიც ანისოტროპული სხეულისთვის დრეკადობის მუდმივთა რიცხვი არის 15, ხოლო იზოტროპული სხეულისთვის 1, ზოგჯერ უწოდებდნენ "იშვიათად მუდმივობას" ან "უნიკონსტანტს", ხოლო თეორიას, რომელშიც ანისოტროპული სხეულის დრეკადობის მუდმივთა რაოდენობაა. 21, ხოლო იზოტროპული 2-ისთვის - "მრავალმუდმივი".

ამ თეორიების მომხრეებს შორის კამათმა აიძულა ფიზიკოსები ექსპერიმენტული კვლევისკენ.

G. Wertheim-მა ღერძულ დაძაბულობაში მინის და ლითონის მილების შიდა მოცულობების გაზომვების საფუძველზე დაადგინა 1848 წელს, რომ განივი დეფორმაციის კოეფიციენტი არ არის 1/4-ის ტოლი. იგი განსხვავებულად თვლიდა სხვადასხვა მასალისთვის, მაგრამ ბევრი მასალისთვის ეს იყო 1/3-თან ახლოს.

ᲓᲐ ᲛᲔ. კუპფერმა, 1853 წელს, ლითონის ღეროების დაჭიმვისა და ბრუნვის ტესტირებისას, ასევე აღმოაჩინა, რომ მოდულების თანაფარდობა ათვლისა და დაჭიმვისას არ შეესაბამება განივი დაძაბულობას ტოლი 1/4.

1855 წელს ფ.ნეიმანმა გამოსცადა მართკუთხა განივი კვეთის ნიმუშები მოსახვევად და გაზომა სხივის ორი სახის ბრუნვის კუთხეები (განივი ტრაპეციულ ფორმას იღებს). შედეგად მან აჩვენა, რომ განივი დეფორმაციის კოეფიციენტი არ არის 1/4-ის ტოლი. გ. კირჩჰოფი, ფ. ნეუმანის სტუდენტი, იმავე დასკვნამდე მივიდა 1859 წელს ჩატარებული ტესტების საფუძველზე მრგვალი სპილენძის ღეროების ერთობლივი ღუნვისა და ტორსიისთვის, ერთ ბოლოზე დალუქული და მეორეზე დატვირთული კონცენტრირებული ძალით. ღეროს გადახვევის კუთხის გაზომვა და მონაკვეთის ბრუნვის კუთხის გაზომვა.

ფოლადის სხვადასხვა კლასის განივი დეფორმაციის კოეფიციენტების დიდი ექსპერიმენტული კვლევა ჩაატარა გ.კირჩჰოფის ერთ-ერთმა სტუდენტმა, მ.ფ. ოკატოვი 1865 - 1866 წლებში შედეგები მოცემულია მის სადოქტორო დისერტაციაში. ერთკრისტალებისგან მოჭრილი წვრილი პრიზმების ტორსიული და ღუნვის ტესტები, ასევე კრისტალების შეკუმშვის ტესტები ერთგვაროვანი თანაბარი შეკუმშვის ქვეშ, ჩაატარა ვ. ვოიგტმა და აღწერა მის მრავალ სტატიაში, მოგვიანებით. გაერთიანდა 1910 წელს გამოცემულ წიგნში, მათ დაადასტურეს მრავალ მუდმივი თეორიის სისწორე.

ანისოტროპული სხეულებისთვის ჰუკის კანონის მათემატიკური სტრუქტურის ღრმა შესწავლა ჩაატარა მექანიკოსმა და ინჟინერმა იან რიჩლევსკიმ 1984 წელს, მის მიერ შემოღებული ელასტიური საკუთრივ მდგომარეობის კონცეფციის საფუძველზე. კერძოდ, მან აჩვენა, რომ 21 დრეკადობის მუდმივი წარმოადგენს ექვს ნამდვილ სიმყარის მოდულს, 12 სიხისტის გამანაწილებელს და სამ კუთხეს.

2. დაძაბულობა-დაძაბულობის მდგომარეობის თეორია სხეულის წერტილში

1 სტრესის თეორია

შინაგანი ძალის ფაქტორები, რომლებიც წარმოიქმნება ელასტიური სხეულის დატვირთვისას, ახასიათებს სხეულის კონკრეტული მონაკვეთის მდგომარეობას, მაგრამ არ პასუხობს კითხვას, თუ რომელი წერტილია ჯვრის მონაკვეთის ყველაზე დატვირთული, ან, როგორც ამბობენ, საშიში წერტილი. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია გავითვალისწინოთ გარკვეული დამატებითი რაოდენობა, რომელიც ახასიათებს სხეულის მდგომარეობას მოცემულ წერტილში.

თუ სხეული, რომელზეც გარე ძალები გამოიყენება, წონასწორობაშია, მაშინ შინაგანი წინააღმდეგობის ძალები წარმოიქმნება მის ნებისმიერ მონაკვეთში. აღვნიშნოთ ელემენტარული ფართობზე მოქმედი შინაგანი ძალით, ხოლო ამ ფართობის ნორმალური მნიშვნელობით

სრული ძაბვა ეწოდება.

ზოგადად, მთლიანი სტრესი არ ემთხვევა მიმართულებით ნორმალურს ელემენტარულ ზონაში, ამიტომ უფრო მოსახერხებელია მისი კომპონენტებით მუშაობა კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ -

თუ გარე ნორმა ემთხვევა რომელიმე კოორდინატულ ღერძს, მაგალითად, X ღერძს, მაშინ დაძაბულობის კომპონენტები მიიღებენ ფორმას, ხოლო კომპონენტი აღმოჩნდება მონაკვეთის პერპენდიკულარული და ეწოდება ნორმალური სტრესი, და კომპონენტები დევს მონაკვეთის სიბრტყე და ეწოდება ათვლის ძაბვები.

ნორმალური და ათვლის ძაბვის მარტივად გასარჩევად, ჩვეულებრივ გამოიყენება სხვა აღნიშვნები: - ნორმალური ძაბვა, - ათვლის.

გარე ძალების მოქმედების ქვეშ მყოფი სხეულიდან გამოვყოთ უსასრულოდ პატარა პარალელეპიპედი, რომლის სახეები კოორდინატთა სიბრტყეების პარალელურია, ხოლო კიდეებს აქვს სიგრძე. ასეთი ელემენტარული პარალელეპიპედის თითოეულ სახეზე არის სამი სტრესის კომპონენტი, რომლებიც პარალელურია კოორდინატთა ღერძებთან. საერთო ჯამში, ექვს სახეზე ვიღებთ სტრესის 18 კომპონენტს.

ნორმალური სტრესები აღინიშნება როგორც , სადაც ინდექსი აღნიშნავს ნორმას შესაბამის სახეზე (ანუ მას შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები). ათვლის ძაბვებს აქვთ ფორმა; აქ პირველი მაჩვენებელი შეესაბამება იმ ადგილის ნორმას, რომელზეც მოქმედებს მოცემული ათვლის ძაბვა, ხოლო მეორე მიუთითებს იმ ღერძზე, რომლის პარალელურადაც მიმართულია ეს ძაბვა (ნახ. 1).

ნახ.1. ნორმალური და ათვლის ძაბვები

ამ ძაბვებისთვის მიღებულია შემდეგი ნიშნის წესი. ნორმალური სტრესი განიხილება დადებითად დაძაბულობაში, ან ექვივალენტურად, როდესაც იგი ემთხვევა გარე ნორმალის მიმართულებას იმ ადგილისკენ, რომელზეც ის მოქმედებს. ტანგენციალური სტრესი დადებითად ითვლება, თუ იმ ადგილზე, რომლის ნორმაც ემთხვევა მის პარალელურად კოორდინატთა ღერძის მიმართულებას, ის მიმართულია ამ ძაბვის შესაბამისი დადებითი კოორდინატთა ღერძისკენ.

სტრესის კომპონენტები სამი კოორდინატის ფუნქციებია. მაგალითად, ნორმალური სტრესი კოორდინატებით წერტილში შეიძლება აღინიშნოს

იმ წერტილში, რომელიც განსახილველისგან უსასრულოდ მცირე მანძილზეა, ძაბვა, პირველი რიგის უსასრულო ზომებამდე, შეიძლება გაფართოვდეს ტეილორის სერიაში:

პლატფორმებისთვის, რომლებიც სიბრტყის პარალელურად არიან, იცვლება მხოლოდ x-კოორდინატი და მატება, ამიტომ პარალელეპიპედის სახეზე, რომელიც სიბრტყეს ემთხვევა, ნორმალური ძაბვა იქნება. აქედან გამომდინარე, ძაბვის 18 კომპონენტიდან მხოლოდ ცხრაა უცნობი.

დრეკადობის თეორიაში დადასტურებულია ათვლის ძაბვების დაწყვილების კანონი, რომლის მიხედვითაც, ორი ურთიერთ პერპენდიკულარული უბნის გასწვრივ, ათვლის დაძაბულობის კომპონენტები, ამ უბნების გადაკვეთის ხაზებზე პერპენდიკულარული, ერთმანეთის ტოლია:

ტოლობები (2) მივყავართ იმ ფაქტს, რომ ცხრა სტრესული კომპონენტიდან, რომელიც ახასიათებს სტრესის მდგომარეობას სხეულის წერტილში, რჩება მხოლოდ ექვსი:

შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ სტრესები (3) არა მხოლოდ ახასიათებს სხეულის სტრესულ მდგომარეობას მოცემულ წერტილში, არამედ განსაზღვრავს მას ცალსახად. ამ სტრესების კომბინაცია ქმნის სიმეტრიულ მატრიცას, რომელსაც სტრესის ტენსორი ეწოდება:

(4)

ტენზორის სკალარული სიდიდეზე გამრავლებისას მიიღება ახალი ტენსორი, რომლის ყველა კომპონენტი ჯერ უფრო დიდია, ვიდრე საწყისი ტენზორის კომპონენტები.

2 დეფორმაციის თეორია

გარე დატვირთვების გავლენით ელასტიური სხეული იცვლის ფორმას და დეფორმირდება. ამ შემთხვევაში, სხეულის წერტილები ახალ პოზიციას იკავებენ. დრეკადი სხეულის დეფორმაციის დასადგენად, ვადარებთ სხეულის წერტილების პოზიციებს დატვირთვის გამოყენებამდე და მის შემდეგ.

განვიხილოთ დატვირთული სხეულის წერტილი და მისი ახალი პოზიცია დატვირთვის გამოყენების შემდეგ. ვექტორს ეწოდება წერტილის გადაადგილების ვექტორი (ნახ. 2).

ნახ.2. წერტილის მოძრავი ვექტორი

შესაძლებელია ორი სახის გადაადგილება: მთლიანი სხეულის გადაადგილება დეფორმაციის გარეშე - ასეთ გადაადგილებებს თეორიული მექანიკა სწავლობს, როგორც აბსოლუტურად ხისტი სხეულის გადაადგილება, და სხეულის დეფორმაციასთან დაკავშირებული გადაადგილება - ასეთ გადაადგილებებს სწავლობს თეორია. ელასტიურობის.

მოდით, დანიშნოთ წერტილოვანი გადაადგილების ვექტორის პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე შესაბამისად. ისინი უდრის სხვაობას წერტილების შესაბამის კოორდინატებს შორის და:

და არის კოორდინატების ფუნქციები:

სხეულის დეფორმაცია გამოწვეულია მისი სხვადასხვა წერტილების გადაადგილების სხვაობით. უსასრულოდ პატარა პარალელეპიპედი ელასტიური სხეულისგან ამოჭრილი კიდეებით თვითნებურ წერტილთან ახლოს, მისი წერტილების სხვადასხვა გადაადგილების გამო, დეფორმირებულია ისე, რომ იცვლება მისი კიდეების სიგრძე და სახეებს შორის თავდაპირველად სწორი კუთხეები დამახინჯებულია.

ნახაზი 3.3 გვიჩვენებს ამ პარალელეპიპედის ორ კიდეს: და კიდის სიგრძე ტოლია და კიდე არის

დეფორმაციის შემდეგ წერტილები იკავებენ პოზიციას.ამ შემთხვევაში წერტილი მიიღებს გადაადგილებას, რომლის კომპონენტები ნახაზის სიბრტყეში ტოლია, ხოლო წერტილიდან გამოყოფილი წერტილი უსასრულოდ მცირე მანძილზე მიიღებს გადაადგილებას. რომლის კომპონენტები განსხვავდებიან წერტილის გადაადგილების კომპონენტებისგან უსასრულო მნიშვნელობით კოორდინატის ცვლილების გამო

ნახ.3. წრფივი და კუთხოვანი დეფორმაციები

წერტილის გადაადგილების კომპონენტები განსხვავდებიან წერტილის გადაადგილების კომპონენტებისგან უსასრულო მნიშვნელობით კოორდინატის ცვლილების გამო.

ნეკნის პროექციის სიგრძე ღერძზე დეფორმაციის შემდეგ:

ნეკნის აბსოლუტური დრეკადობის პროექცია ღერძზე

შედარებითი დრეკადობა ღერძის გასწვრივ

(6)

ეწოდება წრფივი დეფორმაცია ღერძის მიმართულებით.

ანალოგიურად, ხაზოვანი დეფორმაციები ღერძების მიმართულებით და

(7)

განვიხილოთ პარალელეპიპედის კიდეებს შორის კუთხეების ცვლილება (ნახ. 3). სიბრტყეში ნეკნის ბრუნვის კუთხის ტანგენსი

დეფორმაციების სიმცირის გამო a, წრფივი დეფორმაცია შეიძლება იყოს უგულებელყოფილი მისი სიმცირის გამო ერთიანობასთან შედარებით და შემდეგ

ანალოგიურად, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ნეკნის ბრუნვის კუთხე იმავე სიბრტყეში:

მართი კუთხის დამახინჯებას ეწოდება კუთხოვანი დეფორმაცია და განისაზღვრება, როგორც ნეკნების ბრუნვის კუთხეების ჯამი და:

(8)

ანალოგიურად, განისაზღვრება კუთხური დეფორმაციები ორ სხვა კოორდინატულ სიბრტყეში:

(9)

ფორმულები (6)-(9) იძლევა ექვს ძირითად დამოკიდებულებას წრფივი და კუთხოვანი დეფორმაციებისთვის გადაადგილების კომპონენტებზე. ამ დამოკიდებულებებს უწოდებენ კოშის განტოლებებს:

(10)

იმ ზღვარში, როდესაც პარალელეპიპედის კიდეების სიგრძე ნულისკენ მიისწრაფვის, კოშის მიმართებები განსაზღვრავს წრფივ და კუთხურ დეფორმაციებს წერტილის სიახლოვეს.

დადებითი ხაზოვანი დეფორმაციები შეესაბამება დრეკადებს, ხოლო უარყოფითი - შემოკლებებს. ცვლის კუთხე დადებითად ითვლება, როდესაც კუთხე შესაბამისი კოორდინატთა ღერძების დადებით მიმართულებებს შორის მცირდება და უარყოფითი - წინააღმდეგ შემთხვევაში.

დაძაბულობის ტენზორის მსგავსად, სხეულის დეფორმირებული მდგომარეობა მოცემულ წერტილში აღწერილია დაძაბულობის ტენსორის მიერ.

(11)

სტრესის ტენსორის მსგავსად, დაძაბულობის ტენსორი არის სიმეტრიული მატრიცა, რომელიც შეიცავს ცხრა კომპონენტს, რომელთაგან ექვსი განსხვავებულია.

2.3 კავშირი სტრესსა და დაძაბვას შორის ელასტიური სხეულებისთვის

სტრესსა და დაძაბულობას შორის ურთიერთობა ფიზიკურ ხასიათს ატარებს. შეზღუდული მცირე შტამებით, დაძაბულობასა და დაძაბულობას შორის ურთიერთობა შეიძლება ჩაითვალოს წრფივად.

ღეროს დაძაბულობაში ტესტირებისას (მასალების მექანიკური გამოცდა დეტალურად იქნება განხილული შემდეგ ნაწილში), პროპორციული ურთიერთობა დგინდება ნორმალურ სტრესსა და წრფივ დეფორმაციას შორის ერთი მიმართულებით, რასაც ჰუკის კანონი ჰქვია:

სადაც დრეკადობის მუდმივას ეწოდება გრძივი ელასტიურობის მოდული.

ანალოგიურად ექსპერიმენტული გზით დამყარდა კავშირი გრძივი და განივი მიმართულებით წრფივ დეფორმაციებს შორის:

სადაც - წრფივი დეფორმაცია განივი მიმართულებით, - მეორე დრეკადობის მუდმივი, რომელსაც ეწოდება პუასონის თანაფარდობა.

სუფთა ათვლის მექანიკურ ტესტებში დადგინდა პირდაპირპროპორციული კავშირი ათვლის ძაბვასა და კუთხურ დეფორმაციას შორის ამ დაძაბულობის მოქმედების სიბრტყეში, რომელსაც ჰუკის კანონი ათვლისას ეწოდა:

სადაც მნიშვნელობა არის მესამე დრეკადობის მუდმივი და ეწოდება ათვლის მოდული. თუმცა, ეს ელასტიური მუდმივი არ არის დამოუკიდებელი, რადგან პირველ ორთან ასოცირდება

დაძაბულობასა და დაძაბულობას შორის კავშირის დასადგენად, სხეულიდან ვირჩევთ უსასრულოდ პატარა პარალელეპიპედს (ნახ. 1) და განვიხილავთ მხოლოდ ნორმალური ძაბვების მოქმედებას. ეს იწვევს უფრო მაღალი ხარისხის სიმცირის დეფორმაციას.

განვსაზღვროთ ნეკნის დრეკადობა დაძაბულობის პარალელურად ამ დაძაბულობის მოქმედებით, ჰუკის კანონის მიხედვით (3.12) მოხდება ნეკნის ფარდობითი დრეკადობა.

სტრესი იწვევს მსგავს დრეკადობას ნეკნის პერპენდიკულარული მიმართულებით

ხოლო ნეკნის მიმართულებით - დამოკლება, რაც (13)-ის მიხედვით არის

ან დეფორმაციის გამოხატვის გათვალისწინებით

ანალოგიურად, განისაზღვრება ნეკნის შედარებითი დამოკლება სტრესის მოქმედების ქვეშ

ძალების მოქმედების დამოუკიდებლობის პრინციპიდან გამომდინარე, ნეკნის მთლიანი ფარდობითი დრეკადობა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც თითოეული დაძაბულობის მოქმედების დრეკადობების ჯამი:

ანალოგიურად, შეიძლება განვსაზღვროთ წრფივი დეფორმაციები დანარჩენი ორი ღერძის მიმართულებით:

ჰუკის კანონის შესაბამისად, ათვლის (14), კუთხური დეფორმაციებისა და ათვლის ძაბვის მიმართება შეიძლება დამოუკიდებლად იყოს წარმოდგენილი კოორდინატთა სიბრტყეების პარალელურად სამი სიბრტყიდან:

ამრიგად, მიღებულია ექვსი ფორმულა, რომელიც გამოხატავს წრფივ კავშირს დაძაბულობასა და დაძაბულობის კომპონენტებს შორის იზოტროპულ ელასტიურ სხეულში და ეწოდება განზოგადებული ჰუკის კანონი:

(16)

3. დრეკადობის თეორიის ძირითადი განტოლებები. პრობლემების სახეები დრეკადობის თეორიაში

დრეკადობის თეორიის მთავარი ამოცანაა დაძაბულობა-დაძაბულობის მდგომარეობის განსაზღვრა სხეულის დატვირთვისა და დამაგრების მოცემული პირობების მიხედვით.

ძაბვის დაძაბულობის მდგომარეობა განისაზღვრება, თუ აღმოჩენილია დაძაბულობის ტენზორის(ებ)ის კომპონენტები და გადაადგილების ვექტორი, ცხრა ფუნქცია.

3.1 დრეკადობის თეორიის ძირითადი განტოლებები

ამ ცხრა ფუნქციის საპოვნელად, თქვენ უნდა ჩამოვწეროთ ელასტიურობის თეორიის ძირითადი განტოლებები, ან:

დიფერენციალური კაუშები

(17)

სად არის კოშის დეფორმაციების წრფივი ნაწილის ტენზორის კომპონენტები;

რადიუსის გასწვრივ გადაადგილების წარმოებულის ტენზორის კომპონენტები.

დიფერენციალური წონასწორობის განტოლებები

სად არის სტრესის ტენსორის კომპონენტები; არის სხეულის ძალის პროექცია j ღერძზე.

ჰუკის კანონი ხაზოვანი ელასტიური იზოტროპული სხეულისთვის

სად არის ლამის მუდმივები; იზოტროპული სხეულისთვის. აქ არის ნორმალური და ათვლის ძაბვები; დაძაბულობის და ათვლის კუთხეები, შესაბამისად.

ზემოაღნიშნული განტოლებები უნდა აკმაყოფილებდეს Saint-Venant დამოკიდებულებებს

ელასტიურობის თეორიაში პრობლემა წყდება, თუ ყველა ძირითადი განტოლება დაკმაყოფილებულია.

2 პრობლემების ტიპები დრეკადობის თეორიაში

სხეულის ზედაპირზე სასაზღვრო პირობები დაკმაყოფილებული უნდა იყოს და, სასაზღვრო პირობების ტიპებიდან გამომდინარე, ელასტიურობის თეორიაში სამი სახის პრობლემაა.

პირველი ტიპი. ძალები მოცემულია სხეულის ზედაპირზე. სასაზღვრო პირობები

მეორე ტიპი. პრობლემები, რომლებშიც გადაადგილება მითითებულია სხეულის ზედაპირზე. სასაზღვრო პირობები

მესამე ტიპი. ელასტიურობის თეორიის შერეული ამოცანები. ძალები მოცემულია სხეულის ზედაპირის ნაწილზე, გადაადგილება მოცემულია სხეულის ზედაპირის ნაწილზე. სასაზღვრო პირობები

პრობლემებს, რომლებშიც ძალები ან გადაადგილებები მითითებულია სხეულის ზედაპირზე, მაგრამ საჭიროა სხეულის შიგნით დაძაბულობა-დაძაბულობის მდგომარეობის და ის, რაც ზედაპირზე არ არის მითითებული, პირდაპირი პრობლემები ეწოდება. თუმცა, თუ სხეულის შიგნით მითითებულია ძაბვები, დეფორმაციები, გადაადგილებები და ა.შ. და საჭიროა დადგინდეს ის, რაც არ არის მითითებული სხეულის შიგნით, ასევე გადაადგილებები და ძაბვები სხეულის ზედაპირზე (ანუ პოვნა მიზეზები, რამაც გამოიწვია ასეთი სტრესი-დაძაბულობა)), მაშინ ასეთ პრობლემებს ინვერსიული ეწოდება.

4 დრეკადობის თეორიის განტოლებები გადაადგილებებში (ლამის განტოლებები)

გადაადგილებებში დრეკადობის თეორიის განტოლებების დასადგენად ვწერთ: დიფერენციალური წონასწორობის განტოლებები (18) ჰუკის კანონი ხაზოვანი დრეკადი იზოტროპული სხეულისთვის (19)

თუ გავითვალისწინებთ, რომ დეფორმაციები გამოიხატება გადაადგილების მიხედვით (17), ვწერთ:

ასევე უნდა გვახსოვდეს, რომ ათვლის კუთხე დაკავშირებულია გადაადგილებთან შემდეგი მიმართებით (17):

(23)

გამოხატვის (22) ჩანაცვლებით ტოლობის პირველ განტოლებაში (19), მივიღებთ, რომ ნორმალური ძაბვები

(24)

გაითვალისწინეთ, რომ აღნიშვნა u ამ შემთხვევაში არ ნიშნავს i-ზე შეჯამებას.

გამონათქვამის (23) ჩანაცვლებით ტოლობის მეორე განტოლებაში (19), მივიღებთ, რომ ათვლის ძაბვები

(25)

მოდით დავწეროთ წონასწორობის განტოლებები (18) გაფართოებული სახით j = 1-ისთვის

(26)

ნორმალური (24) და ტანგენციალური (25) ძაბვის განტოლების (26) გამოსახულებების ჩანაცვლებით, მივიღებთ

სადაც λ არის კოჭლის მუდმივი, რომელიც განისაზღვრება გამოსახულებით:

ჩვენ ვცვლით გამოხატულებას (28) განტოლებაში (27) და ვწერთ,

სადაც განისაზღვრება გამოხატულებით (22), ან გაფართოებული ფორმით

ჩვენ ვყოფთ გამოსახულებას (29) G-ზე და ვამატებთ მსგავს წევრებს და ვიღებთ ლამის პირველ განტოლებას:

(30)

სად არის ლაპლასის ოპერატორი (ჰარმონიული ოპერატორი), რომელიც განისაზღვრება როგორც

(31)

ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ:

(32)

განტოლებები (30) და (32) შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

(33)

განტოლებები (33) ან (30) და (32) ლამის განტოლებებია. თუ სხეულის ძალები ნულოვანი ან მუდმივია, მაშინ

(34)

უფრო მეტიც, აღნიშვნა ამ შემთხვევაში არ გულისხმობს i-ზე შეჯამებას. Აქ

შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ გადაადგილების ასეთი წარმოდგენა ჰარმონიული ფუნქციის მიხედვით აქცევს ლამის განტოლებებს (33) იდენტურად. ხშირად მათ პოპკოვიჩ-გროდსკის პირობებს უწოდებენ. ოთხი ჰარმონიული ფუნქცია არ არის აუცილებელი, რადგან φ0 შეიძლება გაუტოლდეს ნულს.

4. დრეკადობის თეორიის ვარიაციული პრინციპები.

1 შესაძლო გადაადგილების პრინციპი (ლაგრანგის პრინციპი)

ლაგრანგის პრინციპი. წონასწორობაში მყოფი სხეულისთვის, გარე და შინაგანი ძალების მუშაობა ნებისმიერ შესაძლო უსასრულო გადაადგილების ნამატებზე არის ნული.

კლაპეირონის თეორემის გამოყენებით, რომ ელასტიურად დეფორმირებული სხეულისთვის გადაადგილების ცვალებადობით მივიღებთ ლაგრანგის პრინციპს.

დეფორმირებადი სხეულების მექანიკაში შესაძლებელია ისეთი გადაადგილებები, რომლებიც აკმაყოფილებს სხეულზე დაწესებულ გარე და შინაგან შეზღუდვებს.

გარე კავშირები დამაგრების პირობაა, შიდა კავშირები უწყვეტობის პირობაა.

შიდა შეზღუდვების დასაკმაყოფილებლად აუცილებელია, რომ გადაადგილების მატება იყოს კოორდინატების უწყვეტი ერთმნიშვნელოვანი ფუნქციები.

ამ ფორმით, ლაგრანგის პრინციპი მოქმედებს ნებისმიერი დეფორმირებადი სხეულისთვის.

ელასტიური სხეულებისთვის მიიღეს რომ

(41)

შემდეგ (40), (41) გათვალისწინებით, შეიძლება დაიწეროს როგორც

(42)

სადაც W არის სპეციფიკური შტამი და

აქ U არის სხეულის მთელი პოტენციური ენერგიის ვარიაცია.

ჩვენ ვცვლით გამონათქვამს (43) (42) და რადგან ძალები არ იცვლება, ვწერთ ამას

(44)

განტოლება (44) არის ვარიაციური ლაგრანგის განტოლება.

თუ ძალები კონსერვატიულია, მაშინ პირველი ორი ინტეგრალი წარმოადგენს გარე ძალების პოტენციალის ცვლილებას დეფორმირებული მდგომარეობიდან დეფორმირებულზე გადასვლისას.

გარე ძალების პოტენციალი

(45)

სადაც - გარე ძალების შესაძლო მუშაობა დეფორმირებული მდგომარეობიდან დეფორმირებულ მდგომარეობაში გადასვლისას გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ გარე ძალები უცვლელი რჩება. სისტემის მთლიანი ენერგია

შემდეგ, გამონათქვამების (44) - (46) გათვალისწინებით, დაიწერება ლაგრანგის პრინციპი:

ანუ, სისტემის მთლიანი ენერგიის ცვალებადობა წონასწორობის მდგომარეობაში შესაძლო გადაადგილებაზე უდრის ნულს. გამოხატულება (47) არის ლაგრანჟის ვარიაციული განტოლება მხოლოდ კონსერვატიული ძალების მოქმედების შემთხვევაში.

სტაბილური წონასწორობის მდგომარეობაში, მთლიანი ენერგია P არის მინიმალური,

ლაგრანგის პრინციპი არის მინიმალური ენერგიის პრინციპი.

2 შესაძლო მდგომარეობების პრინციპი (კასტილანოს პრინციპი)

ჩვენ დავარქმევთ შესაძლო მდგომარეობებს, რომლებიც შეესაბამება გარე და შინაგან ძალებს, ანუ აკმაყოფილებენ წონასწორობის განტოლებებს.

განტოლება (57) წერს კასტილიანოს პრინციპს. სხეულის სტრესის მდგომარეობის შესაძლო ცვლილებებით, ცვალებადობა უდრის ინტეგრალს სხეულის ზედაპირის იმ ნაწილზე, რომელზეც გადაადგილებები მოცემულია შესაძლო ზედაპირული ძალებისა და გადაადგილების პროდუქტებიდან.

3 კავშირი ზუსტ ამოხსნასა და ლაგრანჟისა და კასტილიანოს პრინციპებზე დაყრდნობით მიღებულ ამონახსნებს შორის

ლაგრანგის პრინციპზე დაყრდნობით, ვირჩევთ რამდენიმე ფუნქციას, ან მათ ერთობლიობას და ვინაიდან ფუნქციების ნაკრები შეზღუდულია, მივიღებთ სისტემის თავისუფლების ხარისხების უფრო მცირე რაოდენობას, რითაც მცირდება სტრუქტურის თავისუფლების ხარისხი. ანუ ენერგეტიკული გაგებით გამოსავალი უფრო ხისტი გამოდის ვიდრე ზუსტი.

თუ ავიღებთ ინტეგრალურ მახასიათებლებს, მაშინ სავარაუდო ამოხსნა უფრო ხისტი ინტეგრალურია.

სამაგრის შუაში განივი ძალით ჩამოკიდებული სხივის დატვირთვის პრობლემის გადაჭრისას (ნახ. 1), სავარაუდო ამოხსნა მისცემს უფრო მცირე გადაადგილებას ძალის ქვეშ, ვიდრე ზუსტი ამონახსნით.

ზუსტი გამოსავალი

კასტილიანოს ვარიაციული პრინციპის გამოყენებით ერთი და იგივე პრობლემის გადაჭრისას, რადგან უწყვეტობის პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, სისტემა უფრო მეტ თავისუფლებას იღებს, ვიდრე სინამდვილეში.

ზუსტი გამოსავალი მდგომარეობს ამ ორ სავარაუდო მეთოდს შორის (ლაგრანჟი და კასტილიანო). ზოგჯერ სხვაობა მიღებულ ხსნარებს შორის მცირეა.

5. გამოყენებული ლიტერატურის სია

1. ალექსანდროვი ა.ვ., პოტაპოვი ვ.დ. ელასტიურობისა და პლასტიურობის თეორიის საფუძვლები. 400გვ.უმაღლესი სკოლა.1990წ.

2. ვერეტიმუს დ.კ. დრეკადობის თეორიის საფუძვლები ნაწილი I სტრესის თეორია მეთოდოლოგიური გზამკვლევი კურსის ,,ელასტიურობის და პლასტიურობის თეორიის საფუძვლები”. 2005.-37 წწ.

ვერეტიმუს დ.კ. დრეკადობის თეორიის საფუძვლები ნაწილი II დეფორმაციების თეორია. დაძაბულ და დეფორმირებულ მდგომარეობას შორის ურთიერთობა მეთოდოლოგიური გზამკვლევი კურსის „ელასტიურობის და პლასტიურობის თეორიის საფუძვლები“ ​​2005.-53გვ.

ვერეტიმუს დ.კ. დრეკადობის თეორიის საფუძვლები ნაწილი III დრეკადობის თეორიის ძირითადი განტოლებები დრეკადობის თეორიის ამოცანების ტიპები კურსის მეთოდოლოგიური გზამკვლევი ,,ელასტიურობისა და პლასტიურობის თეორიის საფუძვლები” 2005.-45გვ.