03.07.202327.05.2017

დაე, რეალური ფუნქცია აკმაყოფილებდეს დირიხლეს პირობებს ინტერვალზე - ლ, ლ. მოდით დავწეროთ მისი გაფართოება ტრიგონომეტრიულ ფურიეს სერიაში:

თუ (10.1)-ში გამოვხატავთ და წარმოსახვითი არგუმენტის ექსპონენციალური ფუნქციის მეშვეობით:

შემდეგ მივიღებთ სერიას

სადაც (10.2)

ბოლო სამი ფორმულა შეიძლება გაერთიანდეს:

სერიებს (10.3) კოეფიციენტებით (10.4) ეწოდება ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერია რთული ფორმით.

მაგალითი 1.გააფართოვეთ ფუნქცია, სადაც არის რთული რიცხვი, ინტერვალზე ფურიეს სერიაში.

გამოსავალი . ვიპოვოთ ფურიეს კოეფიციენტები:

Მას შემდეგ

საჭირო გაფართოებას ექნება ფორმა

სადაც მხედველობაში მიიღება რომ

პარსევალის ტოლობის გამოყენება სერიაზე (10.5)

შეგიძლიათ იპოვოთ სხვა რიცხვების სერიის ჯამი. მართლაც, ჩვენს შემთხვევაში

შემდეგ (10.6)-დან მოყვება

სავარჯიშო 1. დაამტკიცეთ რომ

შენიშვნა. ჩასვით (10.5) X= 0 და X = .

სავარჯიშო 2. დაამტკიცეთ, რომ როცა

ფურიეს ინტეგრალი

ფურიეს ინტეგრალის კონვერგენცია

დაე, ფუნქცია განისაზღვროს მთელ რიცხვით ხაზზე. ვივარაუდოთ, რომ თვითნებურ სასრულ ინტერვალზე - ლ, ლმოცემული ფუნქცია აკმაყოფილებს დირიხლეს პირობებს, მოდით წარმოვიდგინოთ იგი ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერიით რთული ფორმით:

სიხშირე კე ჰარმონიკა; .

გამონათქვამების (11.2) შემოტანით (11.1) მივიღებთ

ზომაზე. ფორმულის მარჯვენა მხარე (11.3) მსგავსია ინტერვალში ცვლადის ფუნქციის ინტეგრალური ჯამისა. მაშასადამე, შეიძლება ველოდოთ, რომ (11.3) ზე ლიმიტზე გადასვლის შემდეგ სერიების ნაცვლად მივიღებთ ინტეგრალს

ფორმულას (11.4) ეწოდება ფურიეს ინტეგრალური ფორმულა, ხოლო მის მარჯვენა მხარეს - ფურიეს ინტეგრალი.

ფორმულის (11.4) გამოსატანად გამოყენებული მსჯელობა არ არის მკაცრი და მხოლოდ დამაფიქრებელია. პირობები, რომლებშიც მოქმედებს ფურიეს ინტეგრალური ფორმულა, დადგენილია თეორემით, რომელსაც ჩვენ ვიღებთ მტკიცებულების გარეშე.

თეორემა.დაე, ფუნქცია, პირველ რიგში, იყოს აბსოლუტურად ინტეგრირებადი ინტერვალზე, ე.ი. ინტეგრალი იყრის თავს და, მეორეც, აკმაყოფილებს დირიხლეს პირობებს ყოველ სასრულ ინტერვალზე (- ლ, ლ). მაშინ ფურიეს ინტეგრალი გადაიყრება (ძირითადი მნიშვნელობის მნიშვნელობით) ყველგან, ე.ი. თანასწორობა (11.4) დაკმაყოფილებულია ყველასთვის Xშორისიდან. აქ, როგორც ადრე, ვარაუდობენ, რომ წყვეტის წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობა უდრის ამ წერტილში მისი ცალმხრივი ზღვრების ჯამის ნახევარს.

ფურიეს ტრანსფორმაცია

ჩვენ გარდაქმნით ფურიეს ინტეგრალურ ფორმულას (11.4) შემდეგნაირად. დავსვათ

თუ ფუნქცია უწყვეტია და აბსოლუტურად ინტეგრირებადია მთელ ღერძზე, მაშინ ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე. მართლაც, მას შემდეგ

და რადგან მარჯვნიდან ინტეგრალი იყრის თავს, მარცხნივ ინტეგრალი იყრის თავს. შესაბამისად, ინტეგრალი (12.1) აბსოლუტურად ემთხვევა. თანასწორობა (12.2) დაკმაყოფილებულია ერთდროულად ყველასთვის, ამიტომ ინტეგრალი (12.1) თანაბრად იყრის თავს. აქედან გამომდინარეობს, რომ ფუნქცია უწყვეტია (ისევე, როგორც უწყვეტი ფუნქციებისგან შემდგარი სერიის ერთგვაროვანი კონვერგენცია გულისხმობს მისი ჯამის უწყვეტობას).

(11.4)-დან ვიღებთ

(12.1) ფორმულით განსაზღვრულ კომპლექსურ ფუნქციას ეწოდება ფურიეს ტრანსფორმაცია ან ფუნქციის ფურიეს ტრანსფორმაცია. თავის მხრივ, ფორმულა (12.3) განსაზღვრავს, როგორც შებრუნებულ ფურიეს ტრანსფორმაციას, ან ფუნქციის შებრუნებულ სურათს. ტოლობა (12.3) მოცემული ფუნქციისთვის შეიძლება ჩაითვალოს ინტეგრალურ განტოლებად ფუნქციასთან მიმართებაში, რომლის ამონახსნობა მოცემულია ფორმულით (12.1). და, პირიქით, ინტეგრალური განტოლების (12.1) ამონახსნი მოცემული ფუნქციისთვის მოცემულია ფორმულით (12.3).

ფორმულაში (12.3) გამოთქმა განსაზღვრავს, შედარებით რომ ვთქვათ, რთული ჰარმონიების პაკეტს, სიხშირეებით, რომლებიც მუდმივად ნაწილდება ინტერვალზე და მთლიან კომპლექსურ ამპლიტუდაზე. ფუნქციას ეწოდება სპექტრული სიმკვრივე. ფორმულა (12.2), დაწერილი ფორმით

შეიძლება განიმარტოს, როგორც ფუნქციის გაფართოება ჰარმონიული პაკეტების ჯამად, რომელთა სიხშირეები ქმნიან უწყვეტ სპექტრს, რომელიც განაწილებულია ინტერვალზე.

პარსევალის თანასწორობები.მოდით და იყოს რეალური ფუნქციების ფურიეს გამოსახულებები და, შესაბამისად. მერე

იმათ. სკალარული პროდუქტები და ფუნქციების ნორმები ფურიეს ტრანსფორმაციის ინვარიანტებია. დავამტკიცოთ ეს განცხადება. სკალარული პროდუქტის განმარტებით გვაქვს. ფუნქციის ჩანაცვლებით მისი გამოსახულებით (12.3) ფურიეს ტრანსფორმაციის საშუალებით, მივიღებთ

(12.1) ძალით

ამიტომ, ე.ი. ფორმულა (12.4) დადასტურებულია. ფორმულა (12.5) მიიღება (12.4)-დან.

კოსინუსი და სინუს ფურიეს გარდაქმნები.თუ რეალური ფუნქცია ლუწია, მაშინ მისი ფურიეს ტრანსფორმაცია, რომელსაც აქ აღვნიშნავთ, ასევე რეალური ლუწი ფუნქციაა. მართლაც,

ბოლო ინტეგრალი, ინტეგრანტის უცნაურობის გამო, ქრება. ამრიგად,

აქ ვიყენებთ ლუწი ფუნქციების თვისებას (7.1).

(12.6)-დან გამომდინარეობს, რომ ფუნქცია რეალურია და თანაბრად არის დამოკიდებული, რადგან ის (12.6) შედის მხოლოდ კოსინუსის მეშვეობით.

შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნის ფორმულა (12.3) ამ შემთხვევაში იძლევა

ვინაიდან და არის ცვლადის ლუწი და კენტი ფუნქციები, მაშინ

ფორმულები (12.6) და (12.7) განსაზღვრავენ ფურიეს კოსინუს ტრანსფორმაციას.

ანალოგიურად, თუ რეალური ფუნქცია კენტია, მაშინ მისი ფურიეს ტრანსფორმაცია არის იქ, სადაც არის რეალური კენტი ფუნქცია. სადაც

ტოლობები (12.8), (12.9) განსაზღვრავენ ფურიეს სინუს ტრანსფორმაციას.

გაითვალისწინეთ, რომ ფორმულები (12.6) და (12.8) შეიცავს მხოლოდ ფუნქციის მნიშვნელობებს. მაშასადამე, კოსინუსისა და სინუსური ფურიეს გარდაქმნები ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნახევრად უსასრულო ინტერვალზე განსაზღვრულ ფუნქციაზე. ამ შემთხვევაში, ინტეგრალებში (12.7) და (12.9) ფორმულებში ემთხვევა მოცემულ ფუნქციას და მის ლუწ და კენტ გაგრძელებას, შესაბამისად.

რომლებიც უკვე საკმაოდ მოსაწყენია. და ვგრძნობ, რომ დადგა მომენტი, როდესაც დადგა დრო, რომ ახალი კონსერვები გამოვიტანოთ თეორიის სტრატეგიული მარაგებიდან. შესაძლებელია თუ არა ფუნქციის სერიის გაფართოება სხვა გზით? მაგალითად, გამოხატეთ სწორი ხაზის სეგმენტი სინუსებით და კოსინუსებით? წარმოუდგენლად გამოიყურება, მაგრამ ასეთი ერთი შეხედვით შორეული ფუნქციები შეიძლება იყოს
"გაერთიანება". თეორიასა და პრაქტიკაში ნაცნობი ხარისხების გარდა, არსებობს სხვა მიდგომები ფუნქციის სერიებად გაფართოებისთვის.

ამ გაკვეთილზე გავეცნობით ტრიგონომეტრიულ ფურიეს სერიებს, შევეხებით მისი თანხვედრისა და ჯამის საკითხს და, რა თქმა უნდა, გავაანალიზებთ ფურიეს სერიებში ფუნქციების გაფართოების მრავალ მაგალითს. მე გულწრფელად მინდოდა დამერქვა სტატია "ფურიეს სერია დუმებისთვის", მაგრამ ეს არაგულწრფელი იქნებოდა, რადგან პრობლემების გადაჭრა მოითხოვს მათემატიკური ანალიზის სხვა დარგების ცოდნას და გარკვეულ პრაქტიკულ გამოცდილებას. მაშასადამე, პრეამბულა ასტრონავტების მომზადებას წააგავს =)

პირველ რიგში, თქვენ უნდა მიუახლოვდეთ გვერდის მასალების შესწავლას შესანიშნავი ფორმით. მძინარე, დასვენებული და ფხიზელი. ზაზუნის გატეხილი ფეხის შესახებ ძლიერი ემოციების გარეშე და აკვარიუმის თევზებისთვის ცხოვრების გაჭირვებაზე აკვიატებული ფიქრების გარეშე. ფურიეს სერიის გაგება არ არის რთული, მაგრამ პრაქტიკული ამოცანები უბრალოდ ყურადღების კონცენტრაციას მოითხოვს - იდეალურ შემთხვევაში, თქვენ მთლიანად უნდა მოშორდეთ გარე სტიმულს. სიტუაციას ისიც ამძიმებს, რომ გამოსავლის და პასუხის შესამოწმებლად მარტივი გზა არ არსებობს. ამრიგად, თუ თქვენი ჯანმრთელობა საშუალოზე დაბალია, მაშინ ჯობია რაიმე უფრო მარტივი გააკეთოთ. Მართალია.

მეორეც, კოსმოსში გაფრენამდე აუცილებელია კოსმოსური ხომალდის ინსტრუმენტთა პანელის შესწავლა. დავიწყოთ იმ ფუნქციების მნიშვნელობებით, რომლებიც უნდა დააწკაპუნოთ მანქანაზე:

ნებისმიერი ბუნებრივი ღირებულებისთვის:

1) . მართლაც, სინუსოიდი „კერავს“ x-ღერძს თითოეული „pi“-ს მეშვეობით:
. არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების შემთხვევაში, შედეგი, რა თქმა უნდა, იგივე იქნება: .

2) . მაგრამ ეს ყველამ არ იცოდა. კოსინუსი "pi" არის "მოციმციმე"-ს ტოლფასი:

უარყოფითი არგუმენტი არ ცვლის საკითხს: .

ალბათ ეს საკმარისია.

და მესამე, ძვირფასო კოსმონავტთა კორპუსი, თქვენ უნდა შეძლოთ... ინტეგრირება.
კერძოდ, თავდაჯერებულად ჩაწერეთ ფუნქცია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ, ცალ-ცალკე ინტეგრირებადა მშვიდად იყავი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა. დავიწყოთ ფრენისწინა მნიშვნელოვანი ვარჯიშები. კატეგორიულად არ გირჩევ მის გამოტოვებას, რათა შემდგომში უწონადობა არ დარჩეს:

მაგალითი 1

განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლა

სადაც ბუნებრივი ფასეულობებია.

გამოსავალი: ინტეგრაცია ხორციელდება "x" ცვლადზე და ამ ეტაპზე დისკრეტული ცვლადი "en" ითვლება მუდმივად. ყველა ინტეგრალში დააყენეთ ფუნქცია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:

გადაწყვეტის მოკლე ვერსია, რომელიც კარგი იქნება მიზანმიმართულად, ასე გამოიყურება:

მოდი შევეჩვიოთ:

დარჩენილი ოთხი ქულა თქვენზეა. ეცადეთ, კეთილსინდისიერად მიუდგეთ ამოცანას და მოკლედ დაწეროთ ინტეგრალები. ამოხსნის ნიმუშები გაკვეთილის ბოლოს.

სავარჯიშოების QUALITY შესრულების შემდეგ ჩავიცვით კოსმოსური კოსტიუმები
და ემზადები დასაწყებად!

ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიად ინტერვალზე

განვიხილოთ ზოგიერთი ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულისულ მცირე გარკვეული პერიოდის განმავლობაში (და შესაძლოა უფრო ხანგრძლივი პერიოდის განმავლობაში). თუ ეს ფუნქცია ინტეგრირებადია ინტერვალზე, მაშინ ის შეიძლება გაფართოვდეს ტრიგონომეტრიულად ფურიეს სერია:
, სადაც არიან ე.წ ფურიეს კოეფიციენტები.

ამ შემთხვევაში იწოდება ნომერი დაშლის პერიოდიდა ნომერი არის დაშლის ნახევარგამოყოფის პერიოდი.

აშკარაა, რომ ზოგად შემთხვევაში ფურიეს სერია შედგება სინუსებისა და კოსინუსებისგან:

მართლაც, დეტალურად ჩამოვწეროთ:

სერიის ნულოვანი ტერმინი ჩვეულებრივ იწერება ფორმით.

ფურიეს კოეფიციენტები გამოითვლება შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

მშვენივრად მესმის, რომ მათ, ვინც თემის შესწავლას იწყებენ, ჯერ კიდევ გაუგებარია ახალი ტერმინების შესახებ: დაშლის პერიოდი, ნახევრად ციკლი, ფურიეს კოეფიციენტებიდა ა.შ. არ ინერვიულოთ, ეს არ არის შედარებული კოსმოსში გასვლის წინ აღელვებასთან. მოდით გავიგოთ ყველაფერი შემდეგ მაგალითში, რომლის შესრულებამდე ლოგიკურია დაუსვათ აქტუალური პრაქტიკული კითხვები:

რა უნდა გააკეთოთ შემდეგ ამოცანებში?

გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში. გარდა ამისა, ხშირად საჭიროა ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვა, სერიების ჯამის გრაფიკი, ნაწილობრივი ჯამი და დახვეწილი პროფესორული ფანტაზიების შემთხვევაში სხვა რამის გაკეთება.

როგორ გავაფართოვოთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში?

არსებითად, თქვენ უნდა იპოვოთ ფურიეს კოეფიციენტები, ანუ შეადგინეთ და გამოთვალეთ სამი განსაზღვრული ინტეგრალი.

გთხოვთ დააკოპიროთ ფურიეს სერიის ზოგადი ფორმა და სამი სამუშაო ფორმულა თქვენს ნოუთბუქში. ძალიან მიხარია, რომ საიტის ზოგიერთი სტუმარი ჩემს თვალწინ ახორციელებს ბავშვობის ოცნებას ასტრონავტობაზე =)

მაგალითი 2

გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში ინტერვალზე. შექმენით გრაფიკი, სერიის ჯამის გრაფიკი და ნაწილობრივი ჯამი.

გამოსავალი: დავალების პირველი ნაწილი არის ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში.

დასაწყისი სტანდარტულია, აუცილებლად დაწერეთ ეს:

ამ პრობლემაში გაფართოების პერიოდი ნახევარ პერიოდია.

მოდით გავაფართოვოთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში ინტერვალზე:

შესაბამისი ფორმულების გამოყენებით ვპოულობთ ფურიეს კოეფიციენტები. ახლა ჩვენ უნდა შევადგინოთ და გამოვთვალოთ სამი განსაზღვრული ინტეგრალი. მოხერხებულობისთვის დავთვლი ქულებს:

1) პირველი ინტეგრალი არის უმარტივესი, თუმცა მას ასევე სჭირდება თვალის კაკლები:

2) გამოიყენეთ მეორე ფორმულა:

ეს ინტეგრალი ცნობილია და ნაწილ-ნაწილ იღებს მას:

გამოიყენება აღმოჩენისას დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციის შეყვანის მეთოდი.

განსახილველ ამოცანაში უფრო მოსახერხებელია დაუყოვნებლივ გამოყენება ნაწილების მიერ განსაზღვრულ ინტეგრალში ინტეგრაციის ფორმულა :

რამდენიმე ტექნიკური შენიშვნა. პირველ რიგში, ფორმულის გამოყენების შემდეგ მთელი გამონათქვამი უნდა იყოს ჩასმული დიდ ფრჩხილებში, ვინაიდან თავდაპირველი ინტეგრალის წინ არის მუდმივი. ნუ დავკარგავთ მას! ფრჩხილები შეიძლება გაფართოვდეს ნებისმიერ შემდგომ ეტაპზე; მე ეს გავაკეთე როგორც ბოლო საშუალება. პირველ "ნაჭერში" ჩვენ ვიჩენთ უკიდურეს სიფრთხილეს ჩანაცვლებაში; როგორც ხედავთ, მუდმივი არ გამოიყენება და ინტეგრაციის საზღვრები ჩანაცვლებულია პროდუქტში. ეს მოქმედება მონიშნულია კვადრატულ ფრჩხილებში. კარგად, თქვენ იცნობთ ფორმულის მეორე „ნაწილის“ ინტეგრალს სავარჯიშო ამოცანიდან;-)

და რაც მთავარია - უკიდურესი კონცენტრაცია!

3) ჩვენ ვეძებთ მესამე ფურიეს კოეფიციენტს:

მიღებულია წინა ინტეგრალის ნათესავი, რომელიც ასევე აერთიანებს ნაწილებად:

ეს მაგალითი ცოტა უფრო რთულია, მე კომენტარს გავაკეთებ შემდგომ ნაბიჯებზე ეტაპობრივად:

(1) გამოთქმა მთლიანად ჩასმულია დიდ ფრჩხილებში. არ მინდოდა მოსაწყენი მეჩვენებოდა, ისინი ძალიან ხშირად კარგავენ მუდმივობას.

(2) ამ შემთხვევაში, მე მაშინვე გავხსენი ეს დიდი ფრჩხილები. Განსაკუთრებული ყურადღებაჩვენ თავს ვუძღვნით პირველ „ნაჭერს“: მუდმივი ეწევა გვერდით და არ მონაწილეობს პროდუქტში ინტეგრაციის (და) საზღვრების ჩანაცვლებაში. ჩანაწერის არეულობის გამო, კვლავ მიზანშეწონილია ამ მოქმედების ხაზგასმა კვადრატული ფრჩხილებით. მეორე "ნაჭერით" ყველაფერი უფრო მარტივია: აქ წილადი გამოჩნდა დიდი ფრჩხილების გახსნის შემდეგ, ხოლო მუდმივი - ნაცნობი ინტეგრალის გაერთიანების შედეგად;-)

(3) კვადრატულ ფრჩხილებში ვახორციელებთ გარდაქმნებს, ხოლო მარჯვენა ინტეგრალში - ინტეგრაციის ლიმიტების ჩანაცვლებას.

(4) „მოციმციმე შუქს“ ვაშორებთ კვადრატულ ფრჩხილებს: , შემდეგ კი ვხსნით შიდა ფრჩხილებს: .

(5) ჩვენ ვაუქმებთ 1 და –1 ფრჩხილებში და ვაკეთებთ საბოლოო გამარტივებებს.

დაბოლოს, ნაპოვნია სამივე ფურიეს კოეფიციენტი:

მოდით ჩავანაცვლოთ ისინი ფორმულაში :

ამავე დროს, არ უნდა დაგვავიწყდეს გაყოფა შუაზე. ბოლო საფეხურზე მუდმივი ("მინუს ორი"), რომელიც არ არის დამოკიდებული "en"-ზე, მიიღება ჯამის გარეთ.

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში ინტერვალზე:

შევისწავლოთ ფურიეს სერიის კონვერგენციის საკითხი. მე ავხსნი თეორიას, კერძოდ დირიხლეს თეორემა, სიტყვასიტყვით "თითებზე", ასე რომ, თუ მკაცრი ფორმულირებები გჭირდებათ, გთხოვთ, იხილოთ მათემატიკური ანალიზის სახელმძღვანელო (მაგალითად, ბოჰანის მე-2 ტომი; ან ფიხტენჰოლცის მე-3 ტომი, მაგრამ ეს უფრო რთულია).

ამოცანის მეორე ნაწილი მოითხოვს გრაფიკის დახატვას, სერიის ჯამის გრაფიკს და ნაწილობრივი ჯამის გრაფიკს.

ფუნქციის გრაფიკი ჩვეულებრივია სწორი ხაზი თვითმფრინავზე, რომელიც დახატულია შავი წერტილოვანი ხაზით:

მოდით გავარკვიოთ სერიის ჯამი. მოგეხსენებათ, ფუნქციების სერიები ფუნქციებს აერთიანებს. ჩვენს შემთხვევაში, აგებული ფურიეს სერია "x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვისგადაიყრება ფუნქციას, რომელიც ნაჩვენებია წითლად. ეს ფუნქცია მოითმენს 1-ლი სახის რღვევებიწერტილებში, მაგრამ ასევე განსაზღვრულია მათზე (წითელი წერტილები ნახაზზე)

ამრიგად: . ადვილი მისახვედრია, რომ ის შესამჩნევად განსხვავდება ორიგინალური ფუნქციისგან, რის გამოც ჩანაწერში ტილდი გამოიყენება ტოლობის ნიშნის ნაცვლად.

მოდით შევისწავლოთ ალგორითმი, რომელიც მოსახერხებელია რიგის ჯამის ასაგებად.

ცენტრალურ ინტერვალზე, ფურიეს სერია თავსდება ფუნქციასთან (ცენტრალური წითელი სეგმენტი ემთხვევა ხაზოვანი ფუნქციის შავ წერტილოვან ხაზს).

ახლა მოდით ცოტა ვისაუბროთ განხილული ტრიგონომეტრიული გაფართოების ბუნებაზე. ფურიეს სერია მოიცავს მხოლოდ პერიოდულ ფუნქციებს (მუდმივი, სინუსები და კოსინუსები), ასე რომ, რიგის ჯამი ასევე პერიოდული ფუნქციაა.

რას ნიშნავს ეს ჩვენს კონკრეტულ მაგალითში? და ეს ნიშნავს, რომ სერიის ჯამი –რა თქმა უნდა პერიოდულიდა შუალედის წითელი სეგმენტი უნდა განმეორდეს უსასრულოდ მარცხნივ და მარჯვნივ.

ვფიქრობ, ფრაზის „დაშლის პერიოდის“ მნიშვნელობა ახლა საბოლოოდ ნათელი გახდა. მარტივად რომ ვთქვათ, ყოველ ჯერზე სიტუაცია მეორდება ისევ და ისევ.

პრაქტიკაში, როგორც წესი, საკმარისია დაშლის სამი პერიოდის გამოსახვა, როგორც ეს კეთდება ნახატზე. კარგად, და ასევე მეზობელი პერიოდების "ნაკბენები" - ისე, რომ ნათელია, რომ გრაფიკი გრძელდება.

განსაკუთრებით საინტერესოა პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილები. ასეთ წერტილებში ფურიეს სერიები იყრის თავს იზოლირებულ მნიშვნელობებს, რომლებიც განლაგებულია ზუსტად წყვეტის „ნახტომის“ შუაში (წითელი წერტილები ნახაზზე). როგორ გავარკვიოთ ამ პუნქტების ორდინატი? პირველ რიგში, ვიპოვოთ „ზედა სართულის“ ორდინატი: ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობას გაფართოების ცენტრალური პერიოდის ყველაზე მარჯვენა წერტილში: . „ქვედა სართულის“ ორდინატის გამოსათვლელად უმარტივესი გზაა იმავე პერიოდის მარცხენა მნიშვნელობის აღება: . საშუალო მნიშვნელობის ორდინატი არის „ზედა და ქვედა“ ჯამის საშუალო არითმეტიკული: . სასიამოვნო ფაქტი ის არის, რომ ნახატის აგებისას დაუყოვნებლივ დაინახავთ, სწორად არის თუ არა გათვლილი შუა.

მოდით ავაშენოთ სერიის ნაწილობრივი ჯამი და ამავდროულად გავიმეოროთ ტერმინი „კონვერგენცია“. მოტივი ასევე ცნობილია გაკვეთილიდან რიცხვების სერიის ჯამი. მოდით დეტალურად აღვწეროთ ჩვენი სიმდიდრე:

ნაწილობრივი ჯამის შესაქმნელად, თქვენ უნდა დაწეროთ სერიის ნული + კიდევ ორი წევრი. ანუ

ნახაზზე ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია მწვანედ და, როგორც ხედავთ, საკმაოდ მჭიდროდ „ახვევს“ სრულ ჯამს. თუ გავითვალისწინებთ სერიის ხუთი წევრის ნაწილობრივ ჯამს, მაშინ ამ ფუნქციის გრაფიკი კიდევ უფრო ზუსტად დააახლოებს წითელ ხაზებს; თუ ასი წევრია, მაშინ "მწვანე გველი" რეალურად მთლიანად შეერწყმის წითელ სეგმენტებს. და ა.შ. ამრიგად, ფურიეს სერიები ემთხვევა მის ჯამს.

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ნებისმიერი ნაწილობრივი თანხა არის უწყვეტი ფუნქციათუმცა, სერიის მთლიანი ჯამი ჯერ კიდევ წყვეტილია.

პრაქტიკაში არც ისე იშვიათია ნაწილობრივი ჯამის გრაფიკის აგება. Როგორ გავაკეთო ეს? ჩვენს შემთხვევაში, აუცილებელია გავითვალისწინოთ ფუნქცია სეგმენტზე, გამოვთვალოთ მისი მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში და შუალედურ წერტილებში (რაც მეტ ქულას განიხილავთ, მით უფრო ზუსტი იქნება გრაფიკი). შემდეგ თქვენ უნდა მონიშნოთ ეს წერტილები ნახაზზე და ყურადღებით დახაზოთ გრაფიკი პერიოდზე, შემდეგ კი „გაიმეოროთ“ ის მიმდებარე ინტერვალებით. სხვა როგორ? ბოლოს და ბოლოს, მიახლოებაც პერიოდული ფუნქციაა... ...ზოგიერთში მისი გრაფიკი მახსენებს გულის თანაბარ რიტმს სამედიცინო მოწყობილობის ეკრანზე.

კონსტრუქციის განხორციელება, რა თქმა უნდა, არ არის ძალიან მოსახერხებელი, რადგან თქვენ უნდა იყოთ უკიდურესად ფრთხილად, შეინარჩუნოთ სიზუსტე არანაკლებ ნახევარი მილიმეტრით. თუმცა, სიამოვნებით გავახარებ მკითხველებს, რომლებსაც არ აინტერესებთ ხატვა - "რეალურ" პრობლემაში ყოველთვის არ არის საჭირო ნახატის შესრულება; დაახლოებით 50% შემთხვევაში აუცილებელია ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში და ეს არის ის. .

ნახაზის დასრულების შემდეგ ვასრულებთ დავალებას:

უპასუხე:

ბევრ ამოცანაში ფუნქცია განიცდის 1-ლი სახის რღვევაუშუალოდ დაშლის პერიოდში:

მაგალითი 3

გააფართოვეთ ინტერვალზე მოცემული ფუნქცია ფურიეს სერიაში. დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი და სერიების ჯამი.

შემოთავაზებული ფუნქცია მითითებულია ცალ-ცალკე (და, გაითვალისწინეთ, მხოლოდ სეგმენტზე)და უძლებს 1-ლი სახის რღვევაწერტილში. შესაძლებელია თუ არა ფურიეს კოეფიციენტების გამოთვლა? Არაა პრობლემა. ფუნქციის ორივე მარცხენა და მარჯვენა მხარე ინტეგრირებადია მათი ინტერვალებით, ამიტომ თითოეული სამი ფორმულის ინტეგრალები უნდა იყოს წარმოდგენილი, როგორც ორი ინტეგრალის ჯამი. ვნახოთ, მაგალითად, როგორ კეთდება ეს ნულოვანი კოეფიციენტისთვის:

მეორე ინტეგრალი ნულის ტოლი აღმოჩნდა, რამაც შეამცირა სამუშაო, მაგრამ ეს ყოველთვის ასე არ არის.

დანარჩენი ორი ფურიეს კოეფიციენტი აღწერილია ანალოგიურად.

როგორ ვაჩვენოთ სერიის ჯამი? მარცხენა ინტერვალზე ვხატავთ სწორი ხაზის სეგმენტს, ხოლო ინტერვალზე - სწორი ხაზის სეგმენტს (ღერძის მონაკვეთს გამოვყოფთ თამამად და თამამად). ანუ, გაფართოების ინტერვალზე, სერიის ჯამი ყველგან ემთხვევა ფუნქციას, გარდა სამი „ცუდი“ წერტილისა. ფუნქციის შეწყვეტის წერტილში, ფურიეს სერია გადაიყრება იზოლირებულ მნიშვნელობამდე, რომელიც მდებარეობს ზუსტად წყვეტის „ნახტომის“ შუაში. ზეპირად დანახვა არ არის რთული: მარცხენა მხარის ლიმიტი: , მარჯვენა მხარის ლიმიტი: და, ცხადია, შუა წერტილის ორდინატი არის 0,5.

ჯამის პერიოდულობის გამო სურათი უნდა „გამრავლდეს“ მომიჯნავე პერიოდებად, კერძოდ, იგივე უნდა იყოს გამოსახული ინტერვალებზე და . ამავდროულად, წერტილებში, ფურიეს სერია გადაიყრება მედიანურ მნიშვნელობებს.

ფაქტობრივად, აქ ახალი არაფერია.

შეეცადეთ თავად გაუმკლავდეთ ამ ამოცანას. საბოლოო დიზაინის სავარაუდო ნიმუში და ნახატი გაკვეთილის ბოლოს.

ფუნქციის გაფართოება ფურიეს სერიაში თვითნებური პერიოდის განმავლობაში

თვითნებური გაფართოების პერიოდისთვის, სადაც "el" არის ნებისმიერი დადებითი რიცხვი, ფურიეს სერიის და ფურიეს კოეფიციენტების ფორმულები გამოირჩევა სინუსისა და კოსინუსისთვის ოდნავ უფრო რთული არგუმენტით:

თუ , მაშინ ვიღებთ ინტერვალის ფორმულებს, რომლითაც დავიწყეთ.

პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი და პრინციპები მთლიანად არის დაცული, მაგრამ გათვლების ტექნიკური სირთულე იზრდება:

მაგალითი 4

გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიებად და დახაზეთ ჯამი.

გამოსავალი: რეალურად ანალოგი No3 მაგალითის 1-ლი სახის რღვევაწერტილში. ამ პრობლემაში გაფართოების პერიოდი ნახევარ პერიოდია. ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ ნახევარ ინტერვალზე, მაგრამ ეს არ ცვლის საკითხს - მნიშვნელოვანია, რომ ფუნქციის ორივე ნაწილი ინტეგრირებული იყოს.

მოდით გავაფართოვოთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში:

ვინაიდან ფუნქცია სათავეში წყვეტილია, ფურიეს თითოეული კოეფიციენტი აშკარად უნდა დაიწეროს, როგორც ორი ინტეგრალის ჯამი:

1) მე დავწერ პირველ ინტეგრალს რაც შეიძლება დეტალურად:

2) ჩვენ ყურადღებით ვათვალიერებთ მთვარის ზედაპირს:

მეორე ინტეგრალი წაიღეთ ნაწილ-ნაწილ:

რას უნდა მივაქციოთ დიდი ყურადღება მას შემდეგ, რაც ხსნარის გაგრძელებას ვარსკვლავით გავხსნით?

ჯერ ერთი, ჩვენ არ ვკარგავთ პირველ ინტეგრალს , სადაც მაშინვე ვასრულებთ დიფერენციალური ნიშნის გამოწერა. მეორეც, არ დაივიწყოთ უბედური მუდმივი დიდი ფრჩხილების წინ და არ დაიბნეთ ნიშნებიფორმულის გამოყენებისას. დიდი ფრჩხილების გახსნა უფრო მოსახერხებელია შემდეგ ეტაპზე.

დანარჩენი ტექნიკის საკითხია, სირთულეები შეიძლება გამოწვეული იყოს მხოლოდ ინტეგრალების ამოხსნის არასაკმარისი გამოცდილებით.

დიახ, ტყუილად არ აღშფოთდნენ ფრანგი მათემატიკოსის ფურიეს გამოჩენილი კოლეგები - როგორ გაბედა მან ფუნქციების ტრიგონომეტრიულ სერიებად დალაგება?! =) სხვათა შორის, ალბათ ყველას აინტერესებს მოცემული ამოცანის პრაქტიკული მნიშვნელობა. თავად ფურიე მუშაობდა თბოგამტარობის მათემატიკურ მოდელზე და შემდგომში მისი სახელობის სერიების გამოყენება დაიწყო მრავალი პერიოდული პროცესის შესასწავლად, რომლებიც ხილული და უხილავია გარემომცველ სამყაროში. ახლა, სხვათა შორის, ჩემი თავი იმ აზრზე დავიჭირე, რომ შემთხვევით არ შევადარე მეორე მაგალითის გრაფიკი გულის პერიოდულ რიტმს. მსურველებს შეუძლიათ გაეცნონ პრაქტიკულ აპლიკაციას ფურიეს ტრანსფორმაციამესამე მხარის წყაროებში. ...თუმცა ჯობია არა - დაიმახსოვრდება როგორც პირველი სიყვარული =)

3) არაერთხელ ნახსენები სუსტი რგოლების გათვალისწინებით, გადავხედოთ მესამე კოეფიციენტს:

მოდით გავაერთიანოთ ნაწილების მიხედვით:

მოდით შევცვალოთ ნაპოვნი ფურიეს კოეფიციენტები ფორმულაში ნუ დაგავიწყდებათ ნულოვანი კოეფიციენტის ნახევარზე გაყოფა:

მოდით გამოვსახოთ სერიის ჯამი. მოკლედ გავიმეოროთ პროცედურა: ინტერვალზე ვაშენებთ სწორ ხაზს, ინტერვალზე კი სწორ ხაზს. თუ "x" მნიშვნელობა ნულის ტოლია, ჩვენ ვათავსებთ წერტილს უფსკრულის "ნახტომის" შუაში და "ვიმეორებთ" გრაფიკს მიმდებარე პერიოდებისთვის:

პერიოდების „შეერთებისას“ ჯამი ასევე უდრის უფსკრული „ნახტომის“ შუა წერტილებს.

მზადაა. შეგახსენებთ, რომ თავად ფუნქცია პირობით არის განსაზღვრული მხოლოდ ნახევარ ინტერვალზე და, ცხადია, ემთხვევა ინტერვალების სერიების ჯამს.

უპასუხე:

ზოგჯერ ცალ-ცალკე მოცემული ფუნქცია უწყვეტია გაფართოების პერიოდში. უმარტივესი მაგალითი: . გამოსავალი (იხილეთ ბოჰანის ტომი 2)ისევე როგორც წინა ორ მაგალითში: მიუხედავად ფუნქციის უწყვეტობაწერტილში, თითოეული ფურიეს კოეფიციენტი გამოიხატება როგორც ორი ინტეგრალის ჯამი.

დაშლის ინტერვალზე 1-ლი ტიპის შეწყვეტის წერტილებიდა/ან შეიძლება არსებობდეს გრაფიკის მეტი „შეერთების“ წერტილი (ორი, სამი და ზოგადად ნებისმიერი საბოლოორაოდენობა). თუ ფუნქცია ინტეგრირებადია თითოეულ ნაწილზე, მაშინ ის ასევე გაფართოვდება ფურიეს სერიაში. მაგრამ პრაქტიკული გამოცდილებიდან არ მახსოვს ასეთი სასტიკი რამ. თუმცა, არსებობს უფრო რთული ამოცანები, ვიდრე ახლახან განვიხილეთ, და სტატიის ბოლოს არის ბმულები ყველასთვის გაზრდილი სირთულის ფურიეს სერიებზე.

ამასობაში მოდი, დავისვენოთ, დავეყრდნოთ ჩვენს სკამებს და ვიფიქროთ ვარსკვლავების გაუთავებელ სივრცეებზე:

მაგალითი 5

გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიად ინტერვალზე და დახაზეთ სერიების ჯამი.

ამ პრობლემაში ფუნქცია უწყვეტიგაფართოების ნახევარ ინტერვალზე, რაც ამარტივებს ამოხსნას. ყველაფერი ძალიან ჰგავს მაგალითს No2. კოსმოსური ხომალდიდან გაქცევა არ არის - თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ =) გაკვეთილის ბოლოს დიზაინის სავარაუდო ნიმუში, თან ერთვის განრიგი.

ლუწი და კენტი ფუნქციების ფურიეს სერიის გაფართოება

ლუწი და კენტი ფუნქციებით, პრობლემის გადაჭრის პროცესი შესამჩნევად გამარტივებულია. და ამიტომ. დავუბრუნდეთ ფუნქციის გაფართოებას ფურიეს სერიაში „ორი პი“ პერიოდით. და თვითნებური პერიოდი "ორი ელ" .

დავუშვათ, რომ ჩვენი ფუნქცია ლუწია. სერიის ზოგადი ტერმინი, როგორც ხედავთ, შეიცავს ლუწი კოსინუსებს და კენტ სინუსებს. და თუ ჩვენ ვაფართოებთ EVEN ფუნქციას, მაშინ რატომ გვჭირდება კენტი სინუსები?! გადავაყენოთ არასაჭირო კოეფიციენტი: .

ამრიგად, ლუწი ფუნქცია შეიძლება გაფართოვდეს ფურიეს სერიაში მხოლოდ კოსინუსებში:

Იმიტომ რომ ლუწი ფუნქციების ინტეგრალებიინტეგრაციის სეგმენტის გასწვრივ, რომელიც სიმეტრიულია ნულის მიმართ, შეიძლება გაორმაგდეს, შემდეგ ფურიეს დარჩენილი კოეფიციენტები გამარტივდება.

უფსკრულისთვის:

თვითნებური ინტერვალისთვის:

სახელმძღვანელოების მაგალითები, რომლებიც გვხვდება მათემატიკური ანალიზის თითქმის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში, მოიცავს ლუწი ფუნქციების გაფართოებას. . გარდა ამისა, მათ რამდენჯერმე შევხვდი ჩემს პირად პრაქტიკაში:

მაგალითი 6

ფუნქცია მოცემულია. საჭირო:

1) გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში წერტილით, სადაც არის თვითნებური დადებითი რიცხვი;

2) ჩაწერეთ გაფართოება ინტერვალზე, შექმენით ფუნქცია და გამოიტანეთ სერიების ჯამი.

გამოსავალი: პირველ აბზაცში შემოთავაზებულია პრობლემის გადაჭრა ზოგადი ფორმით და ეს ძალიან მოსახერხებელია! თუ საჭიროება გაჩნდება, უბრალოდ შეცვალეთ თქვენი ღირებულება.

1) ამ პრობლემაში გაფართოების პერიოდი არის ნახევარპერიოდი. შემდგომი მოქმედებების დროს, განსაკუთრებით ინტეგრაციის დროს, „ელ“ განიხილება მუდმივად

ფუნქცია ლუწია, რაც ნიშნავს, რომ მისი გაფართოება შესაძლებელია ფურიეს სერიაში მხოლოდ კოსინუსებში: .

ჩვენ ვეძებთ ფურიეს კოეფიციენტებს ფორმულების გამოყენებით . ყურადღება მიაქციეთ მათ უპირობო უპირატესობებს. პირველ რიგში, ინტეგრაცია ხორციელდება გაფართოების პოზიტიურ სეგმენტზე, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ უსაფრთხოდ მოვიშორებთ მოდულს. ორი ნაწილის მხოლოდ „X“-ის გათვალისწინებით. და მეორეც, ინტეგრაცია შესამჩნევად გამარტივებულია.

ორი:

მოდით გავაერთიანოთ ნაწილების მიხედვით:

ამრიგად:
, ხოლო მუდმივი, რომელიც არ არის დამოკიდებული "en"-ზე, აღებულია ჯამის გარეთ.

უპასუხე:

2) მოდით ჩავწეროთ გაფართოება ინტერვალზე; ამისათვის ჩვენ შევცვლით საჭირო ნახევარპერიოდის მნიშვნელობას ზოგად ფორმულაში:

ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერია ფორმის სერიას უწოდებენ

ა0 /2 + ა 1 cos x + ბ 1 ცოდვა x + ა 2cos2 x + ბ 2 ცოდვა2 x + ... + ა cos nx + ბ n ცოდვა nx + ...

სად არის ნომრები ა0 , ა 1 , ბ 1 , ა 2 , ბ 2 , ..., ა n, ბნ... - ფურიეს კოეფიციენტები.

ფურიეს სერიის უფრო შეკუმშული წარმოდგენა სიმბოლოთი "სიგმა":

როგორც ახლა დავადგინეთ, სიმძლავრის სერიებისგან განსხვავებით, ფურიეს სერიაში, უმარტივესი ფუნქციების ნაცვლად აღებულია ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

1/2, cos x, ცოდვა x, cos2 x, ცოდვა2 x, ..., cos nx, ცოდვა nx, ... .

ფურიეს კოეფიციენტები გამოითვლება შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

ყველა ზემოაღნიშნული ფუნქცია ფურიეს სერიაში არის პერიოდული ფუნქცია მე-2 პერიოდით π . ფურიეს ტრიგონომეტრიული სერიის თითოეული წევრი პერიოდული ფუნქციაა 2 პერიოდით π .

ამრიგად, ფურიეს სერიის ნებისმიერ ნაწილობრივ ჯამს აქვს პერიოდი 2 π . აქედან გამომდინარეობს, რომ თუ ფურიეს სერია ერთმანეთს ემთხვევა ინტერვალზე [- π , π ] , მაშინ ის ემთხვევა მთელ რიცხვთა წრფეს და მისი ჯამი, რომელიც არის პერიოდული ნაწილობრივი ჯამების მიმდევრობის ზღვარი, არის პერიოდული ფუნქცია მე-2 პერიოდით. π .

ფურიეს სერიების კონვერგენცია და სერიების ჯამი

დაუშვით ფუნქცია ფ(x) განსაზღვრულია მთელ რიცხვთა წრფეზე და პერიოდული წერტილით 2 π , არის ფუნქციის პერიოდული გაგრძელება ვ(x) თუ სეგმენტზე [- π , π ] ხდება ფ(x) = ვ(x)

თუ სეგმენტზე [- π , π ] ფურიეს სერია აერთიანებს ფუნქციას ვ(x) შემდეგ ის გადადის მთელ რიცხვთა წრფეზე მის პერიოდულ გაგრძელებამდე.

პასუხი კითხვაზე, რა პირობებშია ფუნქციის ფურიეს სერია ვ(x) გადადის ამ ფუნქციასთან, მოცემულია შემდეგი თეორემა.

თეორემა.დაუშვით ფუნქცია ვ(x) და მისი წარმოებული ვ"(x) - უწყვეტი სეგმენტზე [- π , π ] ან აქვს მასზე 1-ლი ტიპის შეწყვეტის წერტილების სასრული რაოდენობა. შემდეგ ფუნქციის ფურიეს სერია ვ(x) ემთხვევა მთელ რიცხვთა წრფეს და თითოეულ წერტილს xსეგმენტს ეკუთვნის [- π , π ] , სადაც ვ(x) არის უწყვეტი, რიგის ჯამი ტოლია ვ(x) და თითოეულ წერტილში x0 ფუნქციის უწყვეტობის სერიების ჯამი ტოლია ფუნქციის ზღვრების საშუალო არითმეტიკულის ვ(x) მარჯვენა და მარცხენა:

სად და .

სეგმენტის ბოლოებში [- π , π ] სერიის ჯამი უდრის ფუნქციის მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკულს გაფართოების პერიოდის ყველაზე მარცხენა და მარჯვენა წერტილებში:

ნებისმიერ მომენტში xსეგმენტს ეკუთვნის [- π , π ] , ფურიეს რიგის ჯამი უდრის ფ(x), თუ x- უწყვეტობის წერტილი ფ(x) , და ტოლია ზღვრების საშუალო არითმეტიკულის ფ(x) მარცხენა და მარჯვენა:

თუ x- შესვენების წერტილი ფ(x), სად ფ(x) - პერიოდული გაგრძელება ვ(x) .

მაგალითი 1.პერიოდული ფუნქცია ვ(x) მე-2 პერიოდით π განისაზღვრება შემდეგნაირად:

უფრო მარტივად, ეს ფუნქცია იწერება როგორც ვ(x) = |x| . გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიებად, განსაზღვრეთ სერიების დაახლოება და რიგის ჯამი.

გამოსავალი. განვსაზღვროთ ამ ფუნქციის ფურიეს კოეფიციენტები:

ახლა ჩვენ გვაქვს ყველაფერი ამ ფუნქციის ფურიეს სერიის მისაღებად:

ეს სერია ყველა წერტილში იყრის თავს და მისი ჯამი მოცემული ფუნქციის ტოლია.

თავად გადაწყვიტეთ ფურიეს სერიის პრობლემა და შემდეგ გადახედეთ გამოსავალს

ფურიეს სერია ლუწი და კენტი ფუნქციებისთვის

დაუშვით ფუნქცია ვ(x) განისაზღვრება სეგმენტზე [- π , π ] და არის ლუწი, ე.ი. ვ(- x) = ვ(x) . შემდეგ მისი კოეფიციენტები ბნნულის ტოლია. და კოეფიციენტებისთვის ანშემდეგი ფორმულები სწორია:

მოდით ახლა ფუნქცია ვ(x) განსაზღვრულია სეგმენტზე [- π , π ] , კენტი, ე.ი. ვ(x) = -ვ(- x) . შემდეგ ფურიეს კოეფიციენტები ანნულის ტოლია და კოეფიციენტები ბნგანისაზღვრება ფორმულით

როგორც ზემოთ მოყვანილი ფორმულებიდან ჩანს, თუ ფუნქცია ვ(x) არის ლუწი, მაშინ ფურიეს რიგი შეიცავს მხოლოდ კოსინუსებს, ხოლო თუ კენტი, მაშინ მხოლოდ სინუსებს.

მაგალითი 3.

გამოსავალი. ეს არის უცნაური ფუნქცია, ამიტომ მისი ფურიეს კოეფიციენტები არის და რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა გამოთვალოთ განსაზღვრული ინტეგრალი:

ეს თანასწორობა ყველასთვის მართალია. წერტილებში, ფურიეს სერიის ჯამი მეორე აბზაცში მოცემული თეორემის მიხედვით არ ემთხვევა ფუნქციის მნიშვნელობებს, მაგრამ უდრის . სეგმენტის გარეთ, სერიის ჯამი არის ფუნქციის პერიოდული გაგრძელება; მისი გრაფიკი ზემოთ იყო მოცემული, როგორც სერიის ჯამის ილუსტრაცია.

მაგალითი 4.გააფართოვეთ ფუნქცია ფურიეს სერიაში.

გამოსავალი. ეს არის ლუწი ფუნქცია, ამიტომ მისი ფურიეს კოეფიციენტები არის და რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა გამოთვალოთ გარკვეული ინტეგრალები:

ჩვენ ვიღებთ ამ ფუნქციის ფურიეს სერიას:

ეს თანასწორობა მოქმედებს ნებისმიერისთვის, რადგან წერტილებში ფურიეს სერიის ჯამი ამ შემთხვევაში ემთხვევა ფუნქციის მნიშვნელობებს, რადგან .

ფურიეს სერია ფუნქციების ნებისმიერი ორთოგონალური სისტემისთვის

უწყვეტი ფუნქციების თანმიმდევრობა ინტერვალზე [ ა,ბ], ე.წ სეგმენტზე ფუნქციების ორთოგონალური სისტემა[ა,ბ], თუ მიმდევრობის ყველა ფუნქცია წყვილი ორთოგონალურია ამ სეგმენტზე, ანუ თუ

სისტემას ეწოდება ორთოგონალური და ნორმალიზებული (ორთონორმული) სეგმენტზე,

თუ პირობა დაკმაყოფილებულია

დაე, ახლავე ვ(x) - ნებისმიერი უწყვეტი ფუნქცია ინტერვალზე [ ა,ბ]. ფურიეს მახლობლადასეთი ფუნქცია ვ(x) სეგმენტზე [ ა,ბ] ორთოგონალური სისტემის მიხედვითრიგს ჰქვია:

რომლის კოეფიციენტები განისაზღვრება ტოლობით:

N=1,2,...

თუ ფუნქციების ორთოგონალური სისტემა ინტერვალზე [ ა,ბ] ორთონორმალური, მაშინ ამ შემთხვევაში

სად ნ=1,2,...

დაე, ახლავე ვ(x) - ნებისმიერი ფუნქცია, რომელიც არის უწყვეტი ან აქვს პირველი ტიპის შეწყვეტის წერტილების სასრული რაოდენობა სეგმენტზე [ ა,ბ]. ასეთი ფუნქციის ფურიეს სერია ვ(x) იმავე სეგმენტზე

ორთოგონალური სისტემის მიხედვით სერიას ეწოდება:

თუ ფუნქციის ფურიეს სერია ვ(x) სისტემის მიხედვით (1) ემთხვევა ფუნქციას ვ(x) მისი უწყვეტობის თითოეულ წერტილში, რომელიც მიეკუთვნება სეგმენტს [ ა,ბ]. ამ შემთხვევაში ასე ამბობენ ვ(x) სეგმენტზე [ ა,ბ] გაფართოვდა სერიებად ორთოგონალურ სისტემაში (1).

ფურიეს სერიის რთული ფორმა

გამოხატვას ეწოდება ფუნქციის ფურიეს სერიის რთული ფორმა ვ(x), თუ განისაზღვრება თანასწორობით

, სად

ფურიეს სერიიდან რთული ფორმით გადასვლა სერიებზე რეალურ ფორმაში და უკან ხდება ფორმულების გამოყენებით:

(ნ=1,2, . . .)

სიმებიანი ვიბრაციის პრობლემა

დაე, სიგრძის სიმები დაიჭიმოს წონასწორობის მდგომარეობაში ლბოლოებით x= 0 და x=ლ. დავუშვათ, რომ სიმები გამოყვანილია წონასწორობიდან და თავისუფლად ვიბრირებს. ჩვენ განვიხილავთ სიმის მცირე ვიბრაციას, რომელიც ხდება ვერტიკალურ სიბრტყეში.

ზემოაღნიშნული ვარაუდების მიხედვით შეიძლება აჩვენოს, რომ ფუნქცია u(x, t) სტრიქონის პოზიციის დახასიათება დროის თითოეულ მომენტში ტ,აკმაყოფილებს განტოლებას

(1) , სადაც a არის დადებითი რიცხვი.

ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ ფუნქცია u(x, t) , რომლის გრაფიკი ნებისმიერ დროს იძლევა სტრიქონის ფორმას ტ, ე.ი. იპოვეთ (1) განტოლების ამონახსნი საზღვრით:

და საწყისი პირობები:

პირველ რიგში, ჩვენ ვეძებთ (1) განტოლების ამონახსნებს, რომლებიც აკმაყოფილებს სასაზღვრო პირობებს (2). ამის დანახვა ძნელი არ არის u(x,ტ) 0 არის (1) განტოლების ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს სასაზღვრო პირობებს (2). ჩვენ ვეძებთ გადაწყვეტილებებს, რომლებიც არ არიან იდენტურად 0-ის ტოლი, წარმოდგენილნი როგორც პროდუქტი u(x, t)=X(x)თ(ტ), (4) , სადაც , .

გამოხატვის (4) ჩანაცვლება განტოლებაში (1) იძლევა:

საიდანაც ჩვენი ამოცანა მოდის განტოლებათა ამონახსნების პოვნამდე:

ამ პირობის გამოყენებით X(0)=0, X(ლ)=0, ყველა შემთხვევის შესწავლით ვამტკიცებთ, რომ ეს არის უარყოფითი რიცხვი.

ა) მოდით მაშინ X”=0 და მისი ზოგადი ამოხსნა დაიწერება შემდეგნაირად:

საიდანაც და, რაც შეუძლებელია, რადგან ჩვენ განვიხილავთ გადაწყვეტილებებს, რომლებიც იდენტურად არ ქრება.

ბ) მოდით. შემდეგ განტოლების ამოხსნა

ვიღებთ და, დაქვემდებარებული, ვპოულობთ ამას

გ) თუ მაშინ

განტოლებებს აქვს ფესვები:

სად -თვითნებური მუდმივები. საწყისი მდგომარეობიდან ვხვდებით:

საიდან, ე.ი.

(ნ=1,2,...)

(ნ=1,2,...).

ამის გათვალისწინებით, შეგვიძლია დავწეროთ:

(N=1,2,...).

და, შესაბამისად

, (ნ=1,2,...),

მაგრამ რადგან A და B განსხვავებულია n-ის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, გვაქვს

, (ნ=1,2,...),

სადაც და არის თვითნებური მუდმივები, რომლებიც შევეცდებით განვსაზღვროთ ისე, რომ სერია აკმაყოფილებს განტოლებას (1), სასაზღვრო პირობებს (2) და საწყის პირობებს (3).

მაშ ასე, მოვახდინოთ ფუნქციას დაქვემდებარება u(x, t) საწყის პირობებზე, ანუ ჩვენ ავირჩევთ ისეთს, რომ პირობები დაკმაყოფილდეს

ეს ტოლობები, შესაბამისად, არის ფუნქციების გაფართოება და სეგმენტებად ფურიეს სერიაში სინუსებში. (ეს ნიშნავს, რომ კოეფიციენტები გამოითვლება როგორც კენტი ფუნქციისთვის). ამრიგად, მოცემული საზღვრისა და საწყისი პირობების მქონე სტრიქონის რხევის გამოსავალი მოცემულია ფორმულით

(ნ=1,2,...)

ფურიეს ინტეგრალი

ფურიეს ინტეგრალში ფუნქციის წარმომადგენლობისათვის საკმარისი პირობები.

Იმისათვის, რომ ვ(x) წარმოდგენილი იყო ფურიეს ინტეგრალით უწყვეტობის ყველა წერტილში და რეგულარული წყვეტის წერტილებში, საკმარისია:

1) აბსოლუტური ინტეგრირება ჩართულია

(ანუ ინტეგრალი იყრის თავს)

2) ნებისმიერ სასრულ სეგმენტზე [- ლ, ლ] ფუნქცია ნაწილებად გლუვი იქნება

3) ფუნქციის უწყვეტობის წერტილებში მისი ფურიეს ინტეგრალი განისაზღვრება ამ წერტილებში მარცხენა და მარჯვენა ზღვრების ნახევრად ჯამით და თავად ფუნქციის უწყვეტობის წერტილებში. ვ(x)

f(x) ფუნქციის ფურიეს ინტეგრალი არის ფორმის ინტეგრალი: