ექსპონენტაცია და ფესვის ამოღება Excel-ში. ფესვების ამოღება: მეთოდები, მაგალითები, ამონახსნები როგორ გამოვთვალოთ სიმძლავრის კვადრატული ფესვი

ხარისხის ფორმულებიგამოიყენება რთული გამონათქვამების შემცირებისა და გამარტივების პროცესში, განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

ნომერი გარის ნ- რიცხვის ხარისხში აᲠოდესაც:

ოპერაციები ხარისხით.

1. გრადუსების გამრავლებით იმავე ფუძეზე ემატება მათი მაჩვენებლები:

ვარ·a n = a m + n.

2. გრადუსების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას მათ მაჩვენებლებს აკლებენ:

3. 2 ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი უდრის ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლს:

(abc…) n = a n · b n · c n…

4. წილადის ხარისხი დივიდენდისა და გამყოფის ხარისხების თანაფარდობის ტოლია:

(a/b) n = a n /b n .

5. სიმძლავრის ხარისხზე აწევით, მაჩვენებლები მრავლდება:

(a m) n = a m n .

თითოეული ზემოთ მოყვანილი ფორმულა მართალია მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

Მაგალითად. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

ოპერაციები ფესვებით.

1. რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლის ფესვი უდრის ამ ფაქტორების ფესვების ნამრავლს:

2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და ფესვების გამყოფის შეფარდებას:

3. ფესვის ძლიერებამდე აყვანისას საკმარისია რადიკალური რიცხვის ამ ხარისხამდე აყვანა:

4. თუ გაზრდის ფესვის ხარისხს ნერთხელ და ამავდროულად ჩაშენებული ნსიძლიერე არის რადიკალური რიცხვი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

5. თუ შეამცირებთ ფესვის ხარისხს ნამოიღეთ ფესვი ამავე დროს ნ-რადიკალური რიცხვის მერვე ხარისხი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით.გარკვეული რიცხვის სიმძლავრე არაპოზიტიური (მთლიანი) მაჩვენებლით განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი იმავე რიცხვის სიმძლავრეზე, რომლის მაჩვენებლით ტოლია არაპოზიტიური მაჩვენებლის აბსოლუტური მნიშვნელობა:

ფორმულა ვარ:a n =a m - nშეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მ> ნ, არამედ თან მ< ნ.

Მაგალითად. ა4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ფორმულამდე ვარ:a n =a m - nსამართლიანი გახდა, როცა m=n, საჭიროა ნულოვანი ხარისხის არსებობა.

ხარისხი ნულოვანი ინდექსით.ნებისმიერი რიცხვის სიმძლავრე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი ნულოვანი მაჩვენებლით, უდრის ერთს.

Მაგალითად. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

ხარისხი წილადის მაჩვენებლით.რეალური რიცხვის ასამაღლებლად ახარისხით მ/ნ, თქვენ უნდა ამოიღოთ ფესვი ნე ხარისხი მ- ამ რიცხვის ხარისხში ა.

Excel იყენებს ჩაშენებულ ფუნქციებს და მათემატიკურ ოპერატორებს ფესვის ამოსაღებად და რიცხვის სიმძლავრემდე ასაყვანად. მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

SQRT ფუნქციის მაგალითები Excel-ში

ჩაშენებული SQRT ფუნქცია აბრუნებს დადებითი კვადრატული ფესვის მნიშვნელობას. ფუნქციების მენიუში ის არის მათემატიკის კატეგორიაში.

ფუნქციის სინტაქსი: =ROOT(რიცხვი).

ერთადერთი და აუცილებელი არგუმენტი არის დადებითი რიცხვი, რომლისთვისაც ფუნქცია ითვლის კვადრატულ ფესვს. თუ არგუმენტი უარყოფითია, Excel დააბრუნებს #NUM! შეცდომას.

თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ კონკრეტული მნიშვნელობა ან მითითება უჯრედზე რიცხვითი მნიშვნელობით, როგორც არგუმენტი.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

ფუნქციამ დააბრუნა 36 რიცხვის კვადრატული ფესვი. არგუმენტი არის კონკრეტული მნიშვნელობა.

ABS ფუნქცია აბრუნებს აბსოლუტურ მნიშვნელობას -36. მისი გამოყენება საშუალებას გვაძლევს აგვეცილებინა შეცდომები უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღებისას.

ფუნქციამ მიიღო 13-ის ჯამის კვადრატული ფესვი და C1 უჯრედის მნიშვნელობა.



ექსპონენტაციის ფუნქცია Excel-ში

ფუნქციის სინტაქსი: =POWER(მნიშვნელობა, რიცხვი). ორივე არგუმენტია საჭირო.

მნიშვნელობა არის ნებისმიერი რეალური რიცხვითი მნიშვნელობა. რიცხვი არის ინდიკატორი იმ სიმძლავრისა, რომლითაც უნდა გაიზარდოს მოცემული მნიშვნელობა.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

C2 უჯრედში - 10 რიცხვის კვადრატის შედეგი.

ფუნქციამ დააბრუნა რიცხვი 100 გაზრდილი ¾-მდე.

ექსპონენტაცია ოპერატორის გამოყენებით

Excel-ში რიცხვის სიმძლავრემდე ასაყვანად შეგიძლიათ გამოიყენოთ მათემატიკური ოპერატორი „^“. მასში შესასვლელად დააჭირეთ Shift + 6 (ინგლისური კლავიატურის განლაგებით).

იმისათვის, რომ Excel-მა შეყვანილი ინფორმაცია ფორმულად განიხილოს, ჯერ იდება "=" ნიშანი. შემდეგი არის რიცხვი, რომელიც უნდა გაიზარდოს სიმძლავრემდე. და "^" ნიშნის შემდეგ არის ხარისხის მნიშვნელობა.

ამ მათემატიკური ფორმულის ნებისმიერი მნიშვნელობის ნაცვლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ციფრული უჯრედების მითითებები.

ეს მოსახერხებელია, თუ საჭიროა მრავალი მნიშვნელობის აგება.

ფორმულის მთელ სვეტზე კოპირებით, ჩვენ სწრაფად მივიღეთ A სვეტის რიცხვების მესამე ხარისხზე აყვანის შედეგები.

n-ე ფესვების ამოღება

ROOT არის კვადრატული ფესვის ფუნქცია Excel-ში. როგორ ამოიღოთ მე-3, მე-4 და სხვა გრადუსების ფესვი?

გავიხსენოთ ერთ-ერთი მათემატიკური კანონი: n-ე ფესვის ამოსაღებად, თქვენ უნდა აიყვანოთ რიცხვი 1/n ხარისხამდე.

მაგალითად, კუბის ფესვის ამოსაღებად, რიცხვს ვზრდით 1/3-ის ხარისხზე.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა Excel-ში სხვადასხვა ხარისხის ფესვების ამოსაღებად.

ფორმულამ დააბრუნა 21 რიცხვის კუბური ფესვის მნიშვნელობა. წილადის სიმძლავრემდე ასაყვანად გამოყენებული იქნა ოპერატორი „^“.

გილოცავთ: დღეს ჩვენ გადავხედავთ ფესვებს - ერთ-ერთ ყველაზე დამაფიქრებელ თემას მე-8 კლასში. :)

ბევრი ადამიანი იბნევა ფესვებს, არა იმიტომ, რომ ისინი რთულია (რა არის ამაში რთული - რამდენიმე განმარტება და კიდევ რამდენიმე თვისება), არამედ იმიტომ, რომ სასკოლო სახელმძღვანელოების უმეტესობაში ფესვები ისეთი ჯუნგლებშია განსაზღვრული, რომ მხოლოდ სახელმძღვანელოების ავტორები თავადაც შეუძლიათ ამ ნაწერის გაგება. და მაშინაც მხოლოდ ერთი ბოთლი კარგი ვისკით. :)

ამიტომ, ახლა მე მოგცემთ ფესვის ყველაზე სწორ და კომპეტენტურ განმარტებას - ერთადერთი, რომელიც ნამდვილად უნდა გახსოვდეთ. შემდეგ კი აგიხსნით: რატომ არის ეს ყველაფერი საჭირო და როგორ გამოვიყენოთ იგი პრაქტიკაში.

მაგრამ პირველ რიგში, გახსოვდეთ ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი, რომელსაც ბევრი სახელმძღვანელოს შემდგენელი რატომღაც „ავიწყდება“:

ფესვები შეიძლება იყოს ლუწი ხარისხის (ჩვენი საყვარელი $\sqrt(a)$, ისევე როგორც ყველა სახის $\sqrt(a)$ და ლუწი $\sqrt(a)$) და კენტი ხარისხის (ყველა სახის $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ და ა.შ.). და კენტი ხარისხის ფესვის განმარტება გარკვეულწილად განსხვავდება ლუწისაგან.

ფესვებთან დაკავშირებული ყველა შეცდომის და გაუგებრობის ალბათ 95% იმალება ამ გარყვნილ „გარკვეულ განსხვავებულში“. მოდით, ერთხელ და სამუდამოდ გავარკვიოთ ტერმინოლოგია:

განმარტება. ფესვიც კი ნ$a$ რიცხვიდან არის ნებისმიერი არაუარყოფითირიცხვი $b$ ისეთია, რომ $((b)^(n))=a$. ხოლო $a$ იგივე რიცხვის კენტი ფესვი არის ზოგადად ნებისმიერი რიცხვი $b$, რომლისთვისაც იგივე თანასწორობაა: $((b)^(n))=a$.

ნებისმიერ შემთხვევაში, ფესვი აღინიშნება ასე:

\(ა)\]

რიცხვს $n$ ასეთ ნოტაციაში ეწოდება ძირეული მაჩვენებელი, ხოლო რიცხვს $a$ ეწოდება რადიკალური გამოხატულება. კერძოდ, $n=2$-ისთვის ვიღებთ ჩვენს „საყვარელ“ კვადრატულ ფესვს (სხვათა შორის, ეს არის ლუწი ხარისხის ფესვი), ხოლო $n=3$-ისთვის ვიღებთ კუბურ ფესვს (კენტი ხარისხი), რომელიც არის ასევე ხშირად გვხვდება პრობლემებსა და განტოლებებში.

მაგალითები. კვადრატული ფესვების კლასიკური მაგალითები:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

სხვათა შორის, $\sqrt(0)=0$ და $\sqrt(1)=1$. ეს საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან $((0)^(2))=0$ და $((1)^(2))=1$.

ასევე გავრცელებულია კუბის ფესვები - არ უნდა შეგეშინდეთ მათი:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

კარგი, რამდენიმე "ეგზოტიკური მაგალითი":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

თუ არ გესმით რა განსხვავებაა ლუწ და კენტ ხარისხს შორის, ხელახლა წაიკითხეთ განმარტება. Ეს ძალიან მნიშვნელოვანია!

ამასობაში განვიხილავთ ფესვების ერთ უსიამოვნო მახასიათებელს, რის გამოც დაგვჭირდა ლუწი და კენტი მაჩვენებლების ცალკე განმარტების შემოღება.

რატომ არის საჭირო ფესვები საერთოდ?

განმარტების წაკითხვის შემდეგ, ბევრი სტუდენტი იკითხავს: "რას ეწეოდნენ მათემატიკოსები, როცა ამას მოიფიქრეს?" და მართლაც: რისთვის არის საჭირო ყველა ეს ფესვი?

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, ცოტა ხნით დავუბრუნდეთ დაწყებით სკოლას. დაიმახსოვრეთ: იმ შორეულ დროში, როცა ხეები უფრო გამწვანებული იყო და პელმენი უფრო გემრიელი, ჩვენი მთავარი საზრუნავი რიცხვების სწორად გამრავლება იყო. ისე, რაღაც "ხუთი ხუთზე - ოცდახუთი", ეს ყველაფერია. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ რიცხვები არა წყვილებში, არამედ სამეულებში, ოთხჯერ და ზოგადად მთლიან სიმრავლეებში:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \ბოლო(გასწორება)\]

თუმცა, ეს არ არის მთავარი. ხრიკი განსხვავებულია: მათემატიკოსები ზარმაცები არიან, ამიტომ მათ გაუჭირდათ ათი ხუთეულის გამრავლების ასე ჩამოწერა:

ამიტომაც გამოვიდნენ დიპლომები. რატომ არ უნდა დაწეროთ ფაქტორების რაოდენობა ზემოწერის სახით გრძელი სტრიქონის ნაცვლად? Რაღაც მსგავსი:

ძალიან მოსახერხებელია! ყველა გამოთვლა საგრძნობლად მცირდება და 5183-ის ჩასაწერად არ დაგჭირდებათ პერგამენტის ფურცლებისა და ბლოკნოტების დახარჯვა. ამ ჩანაწერს რიცხვის ძალა ეწოდა, მასში მრავალი თვისება იყო ნაპოვნი, მაგრამ ბედნიერება ხანმოკლე აღმოჩნდა.

გრანდიოზული სასმელის წვეულების შემდეგ, რომელიც მხოლოდ ხარისხების „აღმოჩენისთვის“ მოეწყო, ზოგიერთმა განსაკუთრებით ჯიუტმა მათემატიკოსმა მოულოდნელად იკითხა: „რა მოხდება, თუ ვიცით რიცხვის ხარისხი, მაგრამ თავად რიცხვი უცნობია? ახლა, მართლაც, თუ ვიცით, რომ გარკვეული რიცხვი $b$, ვთქვათ, მე-5 ხარისხში იძლევა 243-ს, მაშინ როგორ გამოვიცნოთ რის ტოლია თავად რიცხვი $b$?

ეს პრობლემა ბევრად უფრო გლობალური აღმოჩნდა, ვიდრე ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს. იმის გამო, რომ აღმოჩნდა, რომ "მზა" ძალების უმეტესობისთვის არ არსებობს ასეთი "საწყისი" ნომრები. თავად განსაჯეთ:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((ბ)^(3))=64\მარჯვენა arrow b=4\cdot 4\cdot 4\rightarrow b=4. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

რა მოხდება, თუ $((b)^(3))=50$? გამოდის, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გარკვეული რიცხვი, რომელიც თავის თავზე სამჯერ გამრავლებისას მოგვცემს 50-ს. მაგრამ რა არის ეს რიცხვი? ის აშკარად მეტია 3-ზე, ვინაიდან 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. ანუ ეს რიცხვი სადღაც სამიდან ოთხს შორისაა, მაგრამ ვერ გაიგებთ რის ტოლია.

სწორედ ამიტომ გამოვიდნენ მათემატიკოსებმა $n$th ფესვები. სწორედ ამიტომ შემოვიდა რადიკალური სიმბოლო $\sqrt(*)$. აღვნიშნოთ თავად რიცხვი $b$, რომელიც მითითებული ხარისხით მოგვცემს ადრე ცნობილ მნიშვნელობას

\[\sqrt[n](a)=b\მარჯვენა ისარი ((b)^(n))=a\]

მე არ ვკამათობ: ხშირად ეს ფესვები ადვილად გამოითვლება - ზემოთ ვნახეთ რამდენიმე ასეთი მაგალითი. მაგრამ მაინც, უმეტეს შემთხვევაში, თუ თქვენ ფიქრობთ თვითნებურ რიცხვზე და შემდეგ ცდილობთ მისგან თვითნებური ხარისხის ფესვის ამოღებას, საშინელი უბედურება დაგემუქრებათ.

Რა არის იქ! უმარტივესი და ყველაზე ნაცნობი $\sqrt(2)$ კი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჩვენი ჩვეული ფორმით - როგორც მთელი რიცხვი ან წილადი. და თუ შეიყვანთ ამ რიცხვს კალკულატორში, ნახავთ ამას:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

როგორც ხედავთ, ათობითი წერტილის შემდეგ არის რიცხვების გაუთავებელი თანმიმდევრობა, რომელიც არ ემორჩილება არანაირ ლოგიკას. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ ამ რიცხვის დამრგვალება, რათა სწრაფად შეადაროთ სხვა რიცხვებს. Მაგალითად:

\[\sqrt(2)=1.4142...\დაახლოებით 1.4 \lt 1.5\]

ან აი კიდევ ერთი მაგალითი:

\[\sqrt(3)=1.73205...\დაახლოებით 1.7 \gt 1.5\]

მაგრამ ყველა ეს დამრგვალება, პირველ რიგში, საკმაოდ უხეშია; და მეორეც, თქვენ ასევე უნდა გქონდეთ მიახლოებითი მნიშვნელობებით მუშაობა, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეგიძლიათ დაიჭიროთ არააშკარა შეცდომები (სხვათა შორის, შედარებისა და დამრგვალების უნარი საჭიროა პროფილზე ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტესტირება).

მაშასადამე, სერიოზულ მათემატიკაში ფესვების გარეშე შეუძლებელია - ისინი $\mathbb(R)$-ის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლის იგივე თანაბარი წარმომადგენლები არიან, ისევე როგორც ჩვენთვის დიდი ხანია ნაცნობი წილადები და მთელი რიცხვები.

ფესვის წარმოდგენის შეუძლებლობა $\frac(p)(q)$ ფორმის წილადად ნიშნავს, რომ ეს ფესვი არ არის რაციონალური რიცხვი. ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ და მათი ზუსტად წარმოდგენა შეუძლებელია, გარდა რადიკალური ან ამისთვის სპეციალურად შექმნილი სხვა კონსტრუქციების (ლოგარითმები, სიმძლავრეები, ლიმიტები და ა.შ.) დახმარებით. მაგრამ ამაზე უფრო სხვა დროს.

განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი, სადაც, ყველა გამოთვლების შემდეგ, ირაციონალური რიცხვები კვლავ დარჩება პასუხში.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\დაახლოებით 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\დაახლოებით -1.2599... \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ბუნებრივია, ფესვის გარეგნობიდან თითქმის შეუძლებელია გამოცნობა რა რიცხვები მოვა ათობითი წერტილის შემდეგ. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ დაეყრდნოთ კალკულატორს, მაგრამ ყველაზე მოწინავე თარიღის კალკულატორიც კი გვაძლევს მხოლოდ ირაციონალური რიცხვის პირველ რამდენიმე ციფრს. ამიტომ ბევრად უფრო სწორია პასუხების დაწერა $\sqrt(5)$ და $\sqrt(-2)$ სახით.

სწორედ ამიტომ გამოიგონეს ისინი. პასუხების მოსახერხებლად ჩასაწერად.

რატომ არის საჭირო ორი განმარტება?

ყურადღებიანმა მკითხველმა ალბათ უკვე შენიშნა, რომ მაგალითებში მოცემული ყველა კვადრატული ფესვი დადებითი რიცხვებიდან არის აღებული. ისე, ყოველ შემთხვევაში ნულიდან. მაგრამ კუბის ფესვები შეიძლება მშვიდად ამოიღოთ აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვიდან - იქნება ეს დადებითი თუ უარყოფითი.

Რატომ ხდება ეს? შეხედეთ $y=(x)^(2))$ ფუნქციის გრაფიკს:

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი იძლევა ორ ფესვს: დადებითი და უარყოფითი

შევეცადოთ გამოვთვალოთ $\sqrt(4)$ ამ გრაფიკის გამოყენებით. ამისთვის დიაგრამაზე იხაზება ჰორიზონტალური ხაზი $y=4$ (მონიშნულია წითლად), რომელიც კვეთს პარაბოლას ორ წერტილში: $((x)_(1))=2$ და $((x). )_(2)) =-2$. ეს საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან

პირველი რიცხვით ყველაფერი ნათელია - ის დადებითია, ამიტომ არის ფესვი:

მაგრამ მერე რა ვუყოთ მეორე პუნქტს? თითქოს ოთხს ერთდროულად ორი ფესვი აქვს? ბოლოს და ბოლოს, თუ −2 რიცხვს კვადრატში გამოვყოფთ, ასევე მივიღებთ 4-ს. რატომ არ დავწეროთ $\sqrt(4)=-2$ მაშინ? და რატომ უყურებენ მასწავლებლები ასეთ პოსტებს, თითქოს შენი ჭამა უნდათ? :)

უბედურება ის არის, რომ თუ რაიმე დამატებით პირობებს არ დააწესებთ, მაშინ ოთხკუთხედს ექნება ორი კვადრატული ფესვი - დადებითი და უარყოფითი. და ნებისმიერ დადებით რიცხვს ასევე ექნება ორი მათგანი. მაგრამ უარყოფით რიცხვებს საერთოდ არ ექნებათ ფესვები - ეს ჩანს იმავე გრაფიკიდან, რადგან პარაბოლა არასოდეს ეცემა ღერძის ქვემოთ. წ, ე.ი. არ იღებს უარყოფით მნიშვნელობებს.

მსგავსი პრობლემა ჩნდება ყველა ფესვისთვის ლუწი მაჩვენებლით:

1. მკაცრად რომ ვთქვათ, თითოეულ დადებით რიცხვს ექნება ორი ფესვი $n$ ლუწი მაჩვენებლით;
2. უარყოფითი რიცხვებიდან, ფესვი $n$-ით კი საერთოდ არ არის ამოღებული.

სწორედ ამიტომ, $n$ ლუწი ხარისხის ფესვის განსაზღვრაში კონკრეტულად არის გათვალისწინებული, რომ პასუხი უნდა იყოს არაუარყოფითი რიცხვი. ასე ვიხსნით გაურკვევლობას.

მაგრამ კენტი $n$-ისთვის ასეთი პრობლემა არ არის. ამის სანახავად გადავხედოთ $y=((x)^(3))$ ფუნქციის გრაფიკს:

კუბის პარაბოლას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა, ამიტომ კუბის ფესვის აღება შესაძლებელია ნებისმიერი რიცხვიდან

ამ გრაფიკიდან ორი დასკვნის გამოტანა შეიძლება:

1. კუბური პარაბოლის ტოტები, ჩვეულებრივისგან განსხვავებით, უსასრულობისკენ მიდიან ორივე მიმართულებით - ზემოთაც და ქვემოთაც. ამიტომ, რა სიმაღლეზეც არ უნდა დავხატოთ ჰორიზონტალური ხაზი, ეს ხაზი აუცილებლად გადაიკვეთება ჩვენს გრაფიკთან. შესაბამისად, კუბის ფესვის ამოღება ყოველთვის შესაძლებელია აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვიდან;
2. გარდა ამისა, ასეთი კვეთა ყოველთვის უნიკალური იქნება, ასე რომ თქვენ არ გჭირდებათ ფიქრი იმაზე, თუ რომელი რიცხვი ითვლება "სწორ" ფესვად და რომელი უნდა უგულებელყოთ. ამიტომ ფესვების დადგენა კენტი ხარისხისთვის უფრო მარტივია, ვიდრე ლუწი ხარისხისთვის (არაუარყოფითობის მოთხოვნა არ არსებობს).

სამწუხაროა, რომ ეს მარტივი რამ არ არის ახსნილი უმეტეს სახელმძღვანელოებში. ამის ნაცვლად, ჩვენი ტვინი იწყებს ამაღლებას ყველა სახის არითმეტიკული ფესვებით და მათი თვისებებით.

დიახ, მე არ ვკამათობ: თქვენ ასევე უნდა იცოდეთ რა არის არითმეტიკული ფესვი. და ამაზე დეტალურად ვისაუბრებ ცალკე გაკვეთილზე. დღეს ჩვენ ასევე ვისაუბრებთ მასზე, რადგან ამის გარეშე ყველა ფიქრი $n$-th სიმრავლის ფესვებზე არასრული იქნებოდა.

მაგრამ ჯერ ნათლად უნდა გესმოდეთ განმარტება, რომელიც მე ზემოთ მოვიყვანე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ტერმინების სიმრავლის გამო, ისეთი არეულობა დაიწყება თქვენს თავში, რომ საბოლოოდ ვერაფერს გაიგებთ.

საკმარისია გაიგოთ განსხვავება ლუწ და კენტ ინდიკატორებს შორის. ამიტომ, კიდევ ერთხელ შევაგროვოთ ყველაფერი, რაც ნამდვილად უნდა იცოდეთ ფესვების შესახებ:

1. ლუწი ხარისხის ფესვი არსებობს მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვიდან და თავისთავად ყოველთვის არაუარყოფითი რიცხვია. უარყოფითი რიცხვებისთვის ასეთი ფესვი განუსაზღვრელია.
2. მაგრამ კენტი ხარისხის ფესვი არსებობს ნებისმიერი რიცხვიდან და თავისთავად შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: დადებითი რიცხვებისთვის ის დადებითია, ხოლო უარყოფითი რიცხვებისთვის, როგორც ქუდი მიუთითებს, უარყოფითია.

რთულია? არა, არ არის რთული. Ნათელია? დიახ, ეს სრულიად გასაგებია! ახლა ჩვენ ცოტას ვივარჯიშებთ გამოთვლებით.

ძირითადი თვისებები და შეზღუდვები

ფესვებს ბევრი უცნაური თვისება და შეზღუდვა აქვთ - ეს ცალკე გაკვეთილზე იქნება განხილული. ამიტომ, ახლა განვიხილავთ მხოლოდ ყველაზე მნიშვნელოვან "ხრიკს", რომელიც ეხება მხოლოდ ფესვებს თანაბარი ინდექსით. მოდით დავწეროთ ეს თვისება ფორმულის სახით:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\მარცხენა| x\მარჯვნივ|\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ რიცხვს გავზრდით ლუწი ხარისხამდე და შემდეგ გამოვყოფთ იმავე სიმძლავრის ფესვს, მივიღებთ არა თავდაპირველ რიცხვს, არამედ მის მოდულს. ეს არის მარტივი თეორემა, რომლის დამტკიცებაც შესაძლებელია (საკმარისია ცალკე განვიხილოთ არაუარყოფითი $x$, შემდეგ კი უარყოფითი). ამაზე მუდმივად საუბრობენ მასწავლებლები, ეს ყველა სასკოლო სახელმძღვანელოშია მოცემული. მაგრამ როგორც კი საქმე ეხება ირაციონალური განტოლებების ამოხსნას (ანუ განტოლებები, რომლებიც შეიცავს რადიკალურ ნიშანს), სტუდენტებს ერთხმად ავიწყდებათ ეს ფორმულა.

საკითხის დეტალურად გასაგებად, მოდით, ერთი წუთით დავივიწყოთ ყველა ფორმულა და შევეცადოთ გამოვთვალოთ ორი რიცხვი პირდაპირ:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \მარჯვნივ))^(4)))=?\]

ეს არის ძალიან მარტივი მაგალითები. ადამიანების უმეტესობა გადაჭრის პირველ მაგალითს, მაგრამ ბევრი ადამიანი ჩერდება მეორეზე. ნებისმიერი ასეთი სისულელის უპრობლემოდ მოსაგვარებლად, ყოველთვის გაითვალისწინეთ პროცედურა:

1. პირველი, რიცხვი ამაღლებულია მეოთხე ხარისხზე. ისე, ეს რაღაც მარტივია. თქვენ მიიღებთ ახალ რიცხვს, რომელიც შეგიძლიათ ნახოთ თუნდაც გამრავლების ცხრილში;
2. ახლა კი ამ ახალი რიცხვიდან აუცილებელია მეოთხე ფესვის ამოღება. იმათ. ფესვებისა და ძალების „შემცირება“ არ ხდება - ეს არის თანმიმდევრული მოქმედებები.

მოდით შევხედოთ პირველ გამონათქვამს: $\sqrt((3)^(4)))$. ცხადია, თქვენ ჯერ უნდა გამოთვალოთ გამოხატულება ფესვის ქვეშ:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

შემდეგ გამოვყოფთ 81 რიცხვის მეოთხე ფესვს:

ახლა იგივე გავაკეთოთ მეორე გამონათქვამთან დაკავშირებით. პირველ რიგში, ჩვენ ვზრდით რიცხვს −3 მეოთხე ხარისხზე, რაც მოითხოვს მის 4-ჯერ გამრავლებას:

\[((\left(-3 \მარჯვნივ))^(4))=\left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \ მარცხენა (-3 \მარჯვნივ)=81\]

ჩვენ მივიღეთ დადებითი რიცხვი, რადგან პროდუქტში მინუსების ჯამური რაოდენობა არის 4 და ისინი ყველა გააუქმებენ ერთმანეთს (ბოლოს და ბოლოს, მინუს მინუსს აძლევს პლუსს). შემდეგ კვლავ გამოვყავით ფესვი:

პრინციპში, ეს სტრიქონი ვერ დაიწერა, რადგან უაზროა, რომ პასუხი იგივე იქნებოდა. იმათ. ერთი და იგივე სიმძლავრის თანაბარი ფესვი "წვავს" მინუსებს და ამ თვალსაზრისით შედეგი არ განსხვავდება ჩვეულებრივი მოდულისგან:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \მარჯვნივ|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \მარჯვნივ))^(4)))=\მარცხნივ| -3 \მარჯვნივ|=3. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ეს გამოთვლები კარგად ემთხვევა ლუწი ხარისხის ფესვის განსაზღვრას: შედეგი ყოველთვის არაუარყოფითია და რადიკალური ნიშანი ასევე ყოველთვის შეიცავს არაუარყოფით რიცხვს. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ფესვი არ არის განსაზღვრული.

შენიშვნა პროცედურის შესახებ

1. აღნიშვნა $\sqrt(((a)^(2)))$ ნიშნავს, რომ ჩვენ ჯერ კვადრატში ვაკეთებთ რიცხვს $a$ და შემდეგ ვიღებთ მიღებული მნიშვნელობის კვადრატულ ფესვს. მაშასადამე, შეგვიძლია დარწმუნებული ვიყოთ, რომ ფესვის ნიშნის ქვეშ ყოველთვის არის არაუარყოფითი რიცხვი, ვინაიდან $((a)^(2))\ge 0$ ნებისმიერ შემთხვევაში;
2. მაგრამ აღნიშვნა $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, პირიქით, ნიშნავს, რომ ჯერ ავიღებთ $a$-ის გარკვეული რიცხვის ფესვს და მხოლოდ ამის შემდეგ კვადრატში ვიღებთ შედეგს. ამიტომ, რიცხვი $a$ არავითარ შემთხვევაში არ შეიძლება იყოს უარყოფითი - ეს არის სავალდებულო მოთხოვნა, რომელიც შედის განმარტებაში.

ამრიგად, არავითარ შემთხვევაში არ უნდა შემცირდეს დაუფიქრებლად ფესვები და ხარისხები, რითაც თითქოსდა „გამარტივდეს“ ორიგინალური გამოთქმა. რადგან თუ ფესვს აქვს უარყოფითი რიცხვი და მისი მაჩვენებელი ლუწია, მივიღებთ ამოცანების წყებას.

თუმცა, ყველა ეს პრობლემა აქტუალურია მხოლოდ თუნდაც ინდიკატორებისთვის.

მინუს ნიშნის ამოღება ფესვის ნიშნის ქვეშ

ბუნებრივია, კენტი მაჩვენებლების მქონე ფესვებსაც აქვთ საკუთარი თავისებურება, რაც პრინციპში არ არსებობს ლუწებთან. კერძოდ:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

მოკლედ, თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ მინუსი უცნაური ხარისხის ფესვების ნიშნის ქვეშ. ეს არის ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ "გადააგდოთ" ყველა უარყოფითი მხარე:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \ბოლო (გასწორება)\]

ეს მარტივი თვისება მნიშვნელოვნად ამარტივებს ბევრ გამოთვლას. ახლა თქვენ არ გჭირდებათ ინერვიულოთ: რა მოხდება, თუ უარყოფითი გამონათქვამი დამალული იყო ფესვის ქვეშ, მაგრამ ფესვის ხარისხი თანაბარი აღმოჩნდა? საკმარისია ყველა მინუსი ფესვებს გარეთ „გადააგდოთ“, რის შემდეგაც შეიძლება ერთმანეთზე გამრავლება, გაყოფა და საერთოდ ბევრი საეჭვო რამის გაკეთება, რაც „კლასიკური“ ფესვების შემთხვევაში გარანტირებული მიგვიყვანს. შეცდომა.

და აქ სცენაზე ჩნდება სხვა განმარტება - იგივე, რომლითაც უმეტეს სკოლებში იწყებენ ირაციონალური გამონათქვამების შესწავლას. და ამის გარეშე ჩვენი მსჯელობა არასრული იქნებოდა. Შეხვედრა!

არითმეტიკული ფესვი

ერთი წუთით დავუშვათ, რომ ძირის ნიშნის ქვეშ შეიძლება იყოს მხოლოდ დადებითი რიცხვები ან, უკიდურეს შემთხვევაში, ნული. დავივიწყოთ ლუწი/კენტი მაჩვენებლები, დავივიწყოთ ყველა ზემოთ მოცემული განმარტება - ვიმუშავებთ მხოლოდ არაუარყოფით რიცხვებზე. Რა იქნება შემდეგ?

შემდეგ კი ჩვენ მივიღებთ არითმეტიკულ ფესვს - ის ნაწილობრივ ემთხვევა ჩვენს "სტანდარტულ" განმარტებებს, მაგრამ მაინც განსხვავდება მათგან.

განმარტება. არაუარყოფითი რიცხვის $n$th ხარისხის არითმეტიკული ფესვი $a$ არის არაუარყოფითი რიცხვი $b$ ისეთი, რომ $((b)^(n))=a$.

როგორც ვხედავთ, პარიტეტი აღარ გვაინტერესებს. ამის ნაცვლად, გამოჩნდა ახალი შეზღუდვა: რადიკალური გამოხატულება ახლა ყოველთვის არაუარყოფითია, ხოლო თავად ფესვი ასევე არაუარყოფითი.

იმის გასაგებად, თუ როგორ განსხვავდება არითმეტიკული ფესვი ჩვეულებრივისგან, გადახედეთ კვადრატისა და კუბური პარაბოლის გრაფიკებს, რომლებსაც უკვე ვიცნობთ:

არითმეტიკული ფესვის საძიებო არე - არაუარყოფითი რიცხვები

როგორც ხედავთ, ამიერიდან ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ ის გრაფიკები, რომლებიც განლაგებულია პირველ კოორდინატთა კვარტალში - სადაც $x$ და $y$ კოორდინატები დადებითია (ან მინიმუმ ნული). აღარ დაგჭირდებათ ინდიკატორის ყურება იმის გასაგებად, გვაქვს თუ არა უფლება ფესვის ქვეშ უარყოფითი რიცხვის ჩასმა. რადგან უარყოფითი რიცხვები პრინციპში აღარ განიხილება.

თქვენ შეიძლება იკითხოთ: "კარგი, რატომ გვჭირდება ასეთი სტერილური განმარტება?" ან: "რატომ ვერ მივაღწევთ ზემოთ მოცემულ სტანდარტულ განმარტებას?"

ისე, მე მივცემ მხოლოდ ერთ ქონებას, რის გამოც ახალი განმარტება ხდება შესაბამისი. მაგალითად, ექსპონენტაციის წესი:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ჩვენ შეგვიძლია რადიკალური გამოხატულება ავიყვანოთ ნებისმიერ სიმძლავრემდე და ამავდროულად გავამრავლოთ ფესვის მაჩვენებელი იმავე სიმძლავრეზე - და შედეგი იქნება იგივე რიცხვი! აქ არის მაგალითები:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \ბოლო(გასწორება)\]

მაშ რა არის დიდი საქმე? რატომ არ შეგვეძლო ამის გაკეთება ადრე? აი რატომ. განვიხილოთ მარტივი გამოთქმა: $\sqrt(-2)$ - ეს რიცხვი საკმაოდ ნორმალურია ჩვენი კლასიკური გაგებით, მაგრამ აბსოლუტურად მიუღებელია არითმეტიკული ფესვის თვალსაზრისით. შევეცადოთ მისი გადაკეთება:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \მარჯვნივ))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end (გასწორება)$

როგორც ხედავთ, პირველ შემთხვევაში მინუსი ამოვიღეთ რადიკალის ქვეშ (ჩვენ გვაქვს ყველა უფლება, რადგან მაჩვენებელი უცნაურია), ხოლო მეორე შემთხვევაში გამოვიყენეთ ზემოაღნიშნული ფორმულა. იმათ. მათემატიკური თვალსაზრისით, ყველაფერი კეთდება წესების მიხედვით.

WTF?! როგორ შეიძლება ერთი და იგივე რიცხვი იყოს დადებითიც და უარყოფითიც? Არ არსებობს გზა. უბრალოდ, სიძლიერის ფორმულა, რომელიც მშვენივრად მუშაობს დადებით რიცხვებზე და ნულზე, იწყებს სრული ერესის წარმოქმნას უარყოფითი რიცხვების შემთხვევაში.

სწორედ ასეთი ბუნდოვანებისგან თავის დასაღწევად გამოიგონეს არითმეტიკული ფესვები. მათ ეძღვნება ცალკე დიდი გაკვეთილი, სადაც დეტალურად განვიხილავთ მათ ყველა თვისებას. ასე რომ, ჩვენ ახლა მათზე არ ვისაუბრებთ - გაკვეთილი უკვე ძალიან გრძელი აღმოჩნდა.

ალგებრული ფესვი: მათთვის, ვისაც სურს მეტი იცოდეს

დიდხანს ვფიქრობდი, ეს თემა ცალკე აბზაცში ჩამეტანა თუ არა. ბოლოს გადავწყვიტე აქ დამეტოვებინა. ეს მასალა განკუთვნილია მათთვის, ვისაც სურს ფესვების კიდევ უფრო კარგად გაგება - აღარ არის საშუალო "სკოლის" დონეზე, არამედ ოლიმპიადასთან ახლოს.

ასე რომ: რიცხვის $n$th ფესვის „კლასიკური“ განმარტებისა და ასოცირებული დაყოფის ლუწ და კენტ მაჩვენებლებად გარდა, არსებობს უფრო „ზრდასრული“ განმარტება, რომელიც საერთოდ არ არის დამოკიდებული პარიტეტზე და სხვა დახვეწილობაზე. ამას ალგებრული ფესვი ჰქვია.

განმარტება. ნებისმიერი $a$-ის ალგებრული $n$th ფესვი არის $b$ ყველა რიცხვის სიმრავლე, რომ $((b)^(n))=a$. ასეთი ფესვებისთვის დადგენილი აღნიშვნა არ არსებობს, ასე რომ, ჩვენ მხოლოდ ტირეს დავდებთ თავზე:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \მარჯვნივ. \მარჯვნივ\) \]

ფუნდამენტური განსხვავება გაკვეთილის დასაწყისში მოცემული სტანდარტული განმარტებისგან არის ის, რომ ალგებრული ფესვი არის არა კონკრეტული რიცხვი, არამედ სიმრავლე. და რადგან ჩვენ ვმუშაობთ რეალურ რიცხვებთან, ეს ნაკრები მხოლოდ სამი ტიპისაა:

1. ცარიელი ნაკრები. ხდება მაშინ, როცა უარყოფითი რიცხვიდან ლუწი ხარისხის ალგებრული ფესვის პოვნა გჭირდებათ;
2. ნაკრები, რომელიც შედგება ერთი ელემენტისგან. ამ კატეგორიას მიეკუთვნება კენტი ძალების ყველა ფესვი, ისევე როგორც ლუწი ნულის ხარისხების ფესვები;
3. დაბოლოს, ნაკრები შეიძლება შეიცავდეს ორ რიცხვს - იგივე $((x)_(1))$ და $((x)_(2))=-((x)_(1))$, რაც ვნახეთ გრაფიკის კვადრატული ფუნქცია. შესაბამისად, ასეთი განლაგება შესაძლებელია მხოლოდ დადებითი რიცხვიდან ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღებისას.

ბოლო შემთხვევა უფრო დეტალურ განხილვას იმსახურებს. მოდი დავთვალოთ რამდენიმე მაგალითი, რომ გავიგოთ განსხვავება.

მაგალითი. შეაფასეთ გამონათქვამები:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

გამოსავალი. პირველი გამოთქმა მარტივია:

\[\overline(\sqrt(4))=\მარცხნივ\( 2;-2 \მარჯვნივ\)\]

ეს არის ორი რიცხვი, რომლებიც კომპლექტის ნაწილია. რადგან თითოეული მათგანი კვადრატში იძლევა ოთხს.

\[\overline(\sqrt(-27))=\მარცხნივ\( -3 \მარჯვნივ\)\]

აქ ჩვენ ვხედავთ კომპლექტს, რომელიც შედგება მხოლოდ ერთი ნომრისგან. ეს საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან ფესვის მაჩვენებლები უცნაურია.

და ბოლოს, ბოლო გამოთქმა:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

ჩვენ მივიღეთ ცარიელი ნაკრები. რადგან არ არსებობს არც ერთი რეალური რიცხვი, რომელიც მეოთხე (ანუ ლუწი!) ხარისხზე აყვანისას მოგვცემს უარყოფით რიცხვს -16.

დასკვნითი შენიშვნა. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: შემთხვევითი არ იყო, რომ ყველგან აღვნიშნე, რომ რეალურ რიცხვებთან ვმუშაობთ. რადგან კომპლექსური რიცხვებიც არის - იქ $\sqrt(-16)$-ის გამოთვლა სავსებით შესაძლებელია და კიდევ ბევრი უცნაური რამ.

თუმცა, რთული რიცხვები თითქმის არასოდეს ჩნდება თანამედროვე სკოლის მათემატიკის კურსებში. ისინი ამოღებულია სახელმძღვანელოების უმეტესობიდან, რადგან ჩვენი ჩინოვნიკები ამ თემას „ზედმეტად რთულად გასაგებად“ მიიჩნევენ.

Სულ ეს არის. შემდეგ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ ფესვების ყველა ძირითად თვისებას და ბოლოს ვისწავლით როგორ გავამარტივოთ ირაციონალური გამონათქვამები. :)

ოპერაციები ძალებითა და ფესვებით. ხარისხი უარყოფითით ,

ნულოვანი და წილადი მაჩვენებელი. უაზრო გამონათქვამების შესახებ.

ოპერაციები ხარისხით.

1. ძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძეზე გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები იკრიბება:

ვარ · a n = a m + n.

2. გრადუსების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას მათი მაჩვენებლები გამოიქვითება .

3. ორი ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი ტოლია ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლის.

(abc… ) n = a n· b n · c n…

4. თანაფარდობის (წილადის) ხარისხი უდრის დივიდენდის (მრიცხველის) და გამყოფის (მნიშვნელის) ხარისხების შეფარდებას:

(ა/ბ ) n = a n / b n.

5. სიმძლავრის ხარისხზე აყვანისას მათი მაჩვენებლები მრავლდება:

(ვარ ) n = a m n.

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა იკითხება და სრულდება ორივე მიმართულებით მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

მაგალითი (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

ოპერაციები ფესვებით. ქვემოთ მოცემულ ყველა ფორმულაში სიმბოლო ნიშნავს არითმეტიკული ფესვი(რადიკალური გამოხატულება დადებითია).

1. რამდენიმე ფაქტორის პროდუქტის ფესვი ტოლია პროდუქტის ამ ფაქტორების ფესვები:

2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და გამყოფის ფესვების შეფარდებას:

3. ფესვის ძლიერებამდე ამაღლებისას საკმარისია ამ ძალამდე აყვანა რადიკალური რიცხვი:

4. თუ ფესვის ხარისხს გავზრდითმ ამაღლებამ მერვე ძალა არის რადიკალური რიცხვი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

5. თუ ფესვის ხარისხს შევამცირებთმ ამოიღეთ ფესვი ერთხელ და ერთდროულადმ რადიკალური რიცხვის ე ხარისხი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ არისშეიცვლება:

ხარისხის ცნების გაფართოება. ჯერჯერობით ჩვენ განვიხილავდით ხარისხებს მხოლოდ ბუნებრივი მაჩვენებლებით;მაგრამ მოქმედებები გრადუსი და ფესვები ასევე შეიძლება გამოიწვიოს უარყოფითი, ნულიდა წილადიინდიკატორები. ყველა ეს მაჩვენებელი მოითხოვს დამატებით განმარტებას.

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით. ზოგიერთი რიცხვის სიმძლავრე c უარყოფითი (მთლიანი) მაჩვენებელი განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი აბსოლუტური სიდიდის ტოლი ერთი და იგივე რიცხვის სიმძლავრითუარყოფითი მაჩვენებელი:

თახლა ფორმულა ვარ: a n= ვარ - ნ შეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდმ, მეტი ვიდრე ნ, არამედ თან მ, ნაკლები ვიდრე ნ .

მაგალითი ა 4 :ა 7 =ა 4 - 7 =ა - 3 .

თუ ფორმულა გვინდავარ : a n= ვარ - ნსამართლიანი იყო როცაm = n, ჩვენ გვჭირდება ნულოვანი ხარისხის განმარტება.

ხარისხი ნულოვანი ინდექსით. ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის სიმძლავრე ნულის მაჩვენებლით არის 1.

მაგალითები. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

ხარისხი წილადის მაჩვენებლით. რეალური რიცხვის ასამაღლებლადდა სიმძლავრის m/n , თქვენ უნდა ამოიღოთ ფესვიმ-ის n-ე ძალა - ამ რიცხვის ხარისხშია :

უაზრო გამონათქვამების შესახებ. რამდენიმე ასეთი გამოთქმა არსებობს.ნებისმიერი ნომერი.

ფაქტობრივად, თუ დავუშვებთ, რომ ეს გამონათქვამი უდრის რაღაც რიცხვს x, მაშინ გაყოფის ოპერაციის განსაზღვრის მიხედვით გვაქვს: 0 = 0 · x. მაგრამ ეს თანასწორობა ხდება მაშინ, როდესაც ნებისმიერი რიცხვი xრისი დამტკიცება იყო საჭირო.

შემთხვევა 3.

0 0 - ნებისმიერი ნომერი.

მართლა,

გამოსავალი. განვიხილოთ სამი ძირითადი შემთხვევა:

1) x = 0 – ეს მნიშვნელობა არ აკმაყოფილებს ამ განტოლებას

(რატომ?).

2) როდის x> 0 ვიღებთ: x/x = 1, ე.ი. 1 = 1, რაც ნიშნავს

Რა x- ნებისმიერი ნომერი; მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ ში

ჩვენს შემთხვევაში x> 0, პასუხი არისx > 0 ;

3) როდის x < 0 получаем: – x/x= 1, ანუ ე . –1 = 1, შესაბამისად,

ამ შემთხვევაში გამოსავალი არ არის.

ამრიგად, x > 0.

ხშირად, მათემატიკური გამონათქვამების გარდაქმნა და გამარტივება მოითხოვს ფესვებიდან ძალებზე გადასვლას და პირიქით. ამ სტატიაში საუბარია იმაზე, თუ როგორ უნდა გადაიყვანოთ ფესვი ხარისხში და უკან. განხილულია თეორია, პრაქტიკული მაგალითები და ყველაზე გავრცელებული შეცდომები.

წილადი მაჩვენებლების მქონე ძალებიდან ფესვებზე გადასვლა

ვთქვათ, გვაქვს რიცხვი მაჩვენებლით ჩვეულებრივი წილადის სახით - a m n. როგორ დავწეროთ ასეთი გამოთქმა ფესვად?

პასუხი გამომდინარეობს ხარისხის განსაზღვრებიდან!

განმარტება

დადებითი რიცხვი a m n ხარისხზე არის a m რიცხვის n ფესვი.

ამ შემთხვევაში, შემდეგი პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს:

a > 0; მ ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.

ნულის წილადი სიძლიერე განისაზღვრება ანალოგიურად, მაგრამ ამ შემთხვევაში რიცხვი m მიიღება არა როგორც მთელი რიცხვი, არამედ როგორც ნატურალური რიცხვი, რათა არ მოხდეს 0-ზე გაყოფა:

0 m n = 0 m n = 0 .

განმარტების შესაბამისად, a m n ხარისხი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ფესვი a m n.

მაგალითად: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.

თუმცა, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, არ უნდა დავივიწყოთ პირობები: a > 0; მ ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.

ამდენად, გამოთქმა - 8 1 3 არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სახით - 8 1 3, რადგან აღნიშვნა - 8 1 3 უბრალოდ აზრი არ აქვს - უარყოფითი რიცხვების ხარისხი არ არის განსაზღვრული. უფრო მეტიც, თავად ფესვი - 8 1 3. მისცე მნიშვნელობა.

გრადუსებიდან გადასვლა საბაზისო და წილადი ექსპონენტებით გამოსახულებებით ხორციელდება ანალოგიურად, ხარისხის საფუძველში თავდაპირველი გამონათქვამების დასაშვები მნიშვნელობების მთელ დიაპაზონში (შემდგომში VA).

მაგალითად, გამოხატულება x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 შეიძლება დაიწეროს x 2 + 2 x + 1 - 4-ის კვადრატული ფესვი. x 2 + x · y · z - z 3 ხარისხზე - 7 3 ხდება გამოხატულება x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 ყველა x, y, z ამ გამოხატვის ODZ-დან.

ასევე შესაძლებელია ფესვების უკუ ჩანაცვლება ძალებით, როდესაც ფესვით გამოსახულების ნაცვლად იწერება სიმძლავრის მქონე გამონათქვამები. ჩვენ უბრალოდ ვაბრუნებთ წინა აბზაცის ტოლობას და ვიღებთ:

ისევ და ისევ, გარდამავალი აშკარაა დადებითი რიცხვებისთვის a. მაგალითად, 7 6 4 = 7 6 4, ან 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.

უარყოფითი a-სთვის ფესვებს აზრი აქვს. მაგალითად - 4 2 6, - 2 3. თუმცა, შეუძლებელია ამ ფესვების წარმოდგენა ძალაუფლების სახით - 4 2 6 და - 2 1 3.

შესაძლებელია კი ასეთი გამონათქვამების გადაკეთება ძალებით? დიახ, თუ წინასწარ შეცვლით. განვიხილოთ რომელი მათგანი.

ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით, თქვენ შეგიძლიათ გარდაქმნათ გამოხატულება - 4 2 6 .

4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .

ვინაიდან 4 > 0, შეგვიძლია დავწეროთ:

უარყოფითი რიცხვის კენტი ფესვის შემთხვევაში შეგვიძლია დავწეროთ:

A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .

შემდეგ გამოთქმა - 2 3 მიიღებს ფორმას:

2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .

ახლა გავიგოთ, როგორ იცვლება ფესვები, რომლებშიც არის გამოსახულებები, ჩანაცვლებულია ამ გამონათქვამების შემცველობით ფუძეში.

ასო A-ით ავღნიშნოთ ზოგიერთი გამოთქმა. თუმცა, ჩვენ არ ვიჩქარებთ A m n-ის სახით A m n-ის წარმოდგენას. მოდით განვმარტოთ, რა იგულისხმება აქ. მაგალითად, გამოთქმა x - 3 2 3, პირველი აბზაცის ტოლობიდან გამომდინარე, მინდა წარმოგიდგინოთ x - 3 2 3 სახით. ასეთი ჩანაცვლება შესაძლებელია მხოლოდ x - 3 ≥ 0-სთვის, ხოლო ODZ-დან დარჩენილი x-სთვის ეს არ არის შესაფერისი, რადგან უარყოფითი a-სთვის ფორმულა m n = a m n აზრი არ აქვს.

ამრიგად, განხილულ მაგალითში A m n = A m n ფორმის ტრანსფორმაცია არის ტრანსფორმაცია, რომელიც ავიწროებს ODZ-ს და A m n = A m n ფორმულის არაზუსტი გამოყენების გამო, ხშირად ხდება შეცდომები.

A m n ფესვიდან A m n ხარისხზე სწორად გადასასვლელად, რამდენიმე პუნქტი უნდა დაიცვან:

• თუ რიცხვი m არის მთელი და კენტი, ხოლო n ბუნებრივი და ლუწი, მაშინ ფორმულა A m n = A m n მოქმედებს ცვლადების მთელი ODZ-სთვის.
• თუ m არის მთელი და კენტი, ხოლო n არის ბუნებრივი და კენტი, მაშინ გამოთქმა A m n შეიძლება შეიცვალოს:
  - A m n-ზე ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის, რომლისთვისაც A ≥ 0;
  - on - - A m n ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის, რომლებისთვისაც A< 0 ;
• თუ m არის მთელი და ლუწი, და n არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი, მაშინ A m n შეიძლება შეიცვალოს A m n-ით.

მოდით შევაჯამოთ ყველა ეს წესი ცხრილში და მოვიყვანოთ მათი გამოყენების რამდენიმე მაგალითი.

დავუბრუნდეთ გამოთქმას x - 3 2 3. აქ m = 2 არის მთელი და ლუწი რიცხვი, ხოლო n = 3 არის ნატურალური რიცხვი. ეს ნიშნავს, რომ გამოხატულება x - 3 2 3 სწორად იქნება დაწერილი სახით:

x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .

მოვიყვანოთ კიდევ ერთი მაგალითი ფესვებითა და ძალებით.

მაგალითი. ფესვის ძალაუფლებად გადაქცევა

x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - - x - 5 - 3 5 , x< - 5

დავასაბუთოთ ცხრილში წარმოდგენილი შედეგები. თუ რიცხვი m არის მთელი და კენტი, ხოლო n არის ბუნებრივი და ლუწი, ODZ-ის ყველა ცვლადი გამოსახულებაში A m n A-ს მნიშვნელობა არის დადებითი ან არაუარყოფითი (m> 0-ისთვის). ამიტომ A m n = A m n.

მეორე ვარიანტში, როდესაც m არის მთელი რიცხვი, დადებითი და კენტი, ხოლო n არის ბუნებრივი და უცნაური, A m n-ის მნიშვნელობები გამოყოფილია. ODZ-ის ცვლადებისთვის, რომლებისთვისაც A არის არაუარყოფითი, A m n = A m n = A m n. ცვლადებისთვის, რომლებისთვისაც A უარყოფითია, ვიღებთ A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n .

ანალოგიურად განვიხილოთ შემდეგი შემთხვევა, როდესაც m არის მთელი და ლუწი, ხოლო n არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი. თუ A-ს მნიშვნელობა დადებითია ან არაუარყოფითი, მაშინ ODZ-დან ცვლადების ასეთი მნიშვნელობებისთვის A m n = A m n = A m n . უარყოფითი A-სთვის მივიღებთ A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n.

ამრიგად, მესამე შემთხვევაში, ODZ-დან ყველა ცვლადზე შეგვიძლია დავწეროთ A m n = A m n.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter