თეორემა წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ. თეორემა წერტილის კუთხური იმპულსის შეცვლის შესახებ თეორემა წერტილის კუთხური იმპულსის შეცვლის შესახებ

თეორემაში განხილული სისტემა შეიძლება იყოს ნებისმიერი ორგანოსგან შემდგარი ნებისმიერი მექანიკური სისტემა.

თეორემის განცხადება

მექანიკური სისტემის მოძრაობის (იმპულსის) რაოდენობა არის სიდიდე, რომელიც უდრის სისტემაში შემავალი ყველა სხეულის მოძრაობის (იმპულსების) რაოდენობას. სისტემის სხეულებზე მოქმედი გარე ძალების იმპულსი არის სისტემის სხეულებზე მოქმედი ყველა გარე ძალების იმპულსების ჯამი.

( კგ მ/წმ)

თეორემა სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ აცხადებს

სისტემის იმპულსის ცვლილება გარკვეული პერიოდის განმავლობაში უდრის სისტემაზე მოქმედი გარე ძალების იმპულსს დროის იმავე პერიოდში.

სისტემის იმპულსის შენარჩუნების კანონი

თუ სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების ჯამი ნულია, მაშინ სისტემის მოძრაობის (იმპულსის) რაოდენობა არის მუდმივი სიდიდე.

, ვიღებთ თეორემის გამოხატვას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით:

შედეგად მიღებული თანასწორობის ორივე მხარის ინტეგრირება თვითნებურად მიღებულ დროში ზოგიერთ და , ჩვენ ვიღებთ თეორემის გამოხატვას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ ინტეგრალური ფორმით:

იმპულსის შენარჩუნების კანონი (იმპულსის შენარჩუნების კანონი) აღნიშნავს, რომ სისტემის ყველა სხეულის იმპულსების ვექტორული ჯამი არის მუდმივი მნიშვნელობა, თუ სისტემაზე მოქმედი გარე ძალების ვექტორული ჯამი ნულის ტოლია.

(იმპულსის მომენტი m 2 kg s −1)

თეორემა ცენტრთან მიმართებაში კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ

მატერიალური წერტილის იმპულსის მომენტის (კინეტიკური მომენტის) დროითი წარმოებული ნებისმიერი ფიქსირებული ცენტრის მიმართ უდრის იმავე ცენტრთან მიმართებაში წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტს.

დკ 0 /dt = M 0 (ფ ) .

თეორემა ღერძის მიმართ კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ

მატერიალური წერტილის იმპულსის მომენტის (კინეტიკური მომენტის) დროითი წარმოებული ნებისმიერი ფიქსირებული ღერძის მიმართ უდრის ამ წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტს იმავე ღერძის მიმართ.

დკ x /dt = M x (ფ ); დკ წ /dt = M წ (ფ ); დკ ზ /dt = M ზ (ფ ) .

განვიხილოთ მატერიალური წერტილი მ მასა მ , მოძრაობს ძალის გავლენის ქვეშ ფ (სურათი 3.1). ჩამოვწეროთ და ავაშენოთ კუთხური იმპულსის ვექტორი (კინეტიკური იმპულსი) მ 0 მატერიალური წერტილი ცენტრთან შედარებით ო :

მოდით განვასხვავოთ გამოხატულება კუთხოვანი იმპულსისთვის (კინეტიკური მომენტი კ 0) დროის მიხედვით:

იმიტომ რომ Dr /dt = ვ , შემდეგ ვექტორული პროდუქტი ვ ⊗ მ ⋅ ვ (კოლნეარული ვექტორები ვ და მ ⋅ ვ ) ნულის ტოლია. Ამავე დროს დ(მ ⋅ V) /dt = F მატერიალური წერტილის იმპულსის თეორემის მიხედვით. ამიტომ მივიღებთ ამას

დკ 0 /dt = რ ⊗ფ , (3.3)

სად რ ⊗ფ = მ 0 (ფ ) – ვექტორი-ძალის მომენტი ფ ფიქსირებულ ცენტრთან შედარებით ო . ვექტორი კ 0 ⊥ თვითმფრინავი ( რ , მ ⊗ვ ), და ვექტორი მ 0 (ფ ) ⊥ თვითმფრინავი ( რ ,ფ ), საბოლოოდ გვაქვს

დკ 0 /dt = M 0 (ფ ) . (3.4)

განტოლება (3.4) გამოხატავს თეორემას მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსის (კუთხური იმპულსის) ცვლილების შესახებ ცენტრთან მიმართებაში: მატერიალური წერტილის იმპულსის მომენტის (კინეტიკური მომენტის) დროითი წარმოებული ნებისმიერი ფიქსირებული ცენტრის მიმართ უდრის იმავე ცენტრთან მიმართებაში წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტს.

ტოლობის (3.4) პროექტირება დეკარტის კოორდინატების ღერძებზე, მივიღებთ

დკ x /dt = M x (ფ ); დკ წ /dt = M წ (ფ ); დკ ზ /dt = M ზ (ფ ) . (3.5)

ტოლობები (3.5) გამოხატავს თეორემას მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსის (კინეტიკური იმპულსის) ცვლილების შესახებ ღერძთან მიმართებაში: ნებისმიერი ფიქსირებული ღერძის მიმართ მატერიალური წერტილის იმპულსის (კინეტიკური მომენტის) მომენტის დროითი წარმოებული უდრის ამ წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტს იმავე ღერძის მიმართ.

განვიხილოთ თეორემების (3.4) და (3.5) შედეგები.

დასკვნა 1.განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ძალის ფ მთელი მოძრაობის დროს წერტილი გადის სტაციონარულ ცენტრში ო (ცენტრალური ძალის შემთხვევა), ე.ი. Როდესაც მ 0 (ფ ) = 0. შემდეგ თეორემიდან (3.4) გამომდინარეობს, რომ კ 0 = კონსტ ,

იმათ. ცენტრალური ძალის შემთხვევაში, მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსი (კინეტიკური მომენტი) ამ ძალის ცენტრთან შედარებით მუდმივი რჩება სიდიდითა და მიმართულებით (სურათი 3.2).

სურათი 3.2

მდგომარეობიდან კ 0 = კონსტ აქედან გამომდინარეობს, რომ მოძრავი წერტილის ტრაექტორია არის ბრტყელი მრუდი, რომლის სიბრტყე გადის ამ ძალის ცენტრს.

დასკვნა 2.დაე მ ზ (ფ ) = 0, ე.ი. ძალა კვეთს ღერძს ზ ან მის პარალელურად. ამ შემთხვევაში, როგორც ჩანს განტოლების მესამედიდან (3.5), კ ზ = კონსტ ,

იმათ. თუ რომელიმე ფიქსირებულ ღერძთან მიმართებაში წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტი ყოველთვის ნულია, მაშინ ამ ღერძის მიმართ წერტილის კუთხური იმპულსი (კინეტიკური მომენტი) მუდმივი რჩება.

იმპულსის ცვლილების თეორემის დადასტურება

მოდით, სისტემა შედგებოდეს მატერიალური წერტილებისგან მასებითა და აჩქარებით. სისტემის სხეულებზე მოქმედ ყველა ძალას ვყოფთ ორ ტიპად:

გარე ძალები არის ძალები, რომლებიც მოქმედებენ სხეულებიდან, რომლებიც არ შედის განსახილველ სისტემაში. მატერიალურ წერტილზე მოქმედი გარე ძალების შედეგი რიცხვით მეაღვნიშნოთ

შინაგანი ძალები არის ძალები, რომლებთანაც თავად სისტემის სხეულები ურთიერთქმედებენ ერთმანეთთან. ძალა, რომლითაც წერტილზე რიცხვით მეპუნქტი ნომრით მოქმედებს კ, აღვნიშნავთ და გავლენის ძალას მეპუნქტზე კპუნქტი -. ცხადია, როდის, მაშინ

შემოღებული აღნიშვნის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ ნიუტონის მეორე კანონს თითოეული განხილული მატერიალური პუნქტისთვის სახით.

Იმის გათვალისწინებით და შევაჯამოთ ნიუტონის მეორე კანონის ყველა განტოლება, მივიღებთ:

გამოთქმა წარმოადგენს სისტემაში მოქმედი ყველა შინაგანი ძალის ჯამს. ნიუტონის მესამე კანონის მიხედვით, ამ ჯამში, თითოეულ ძალას შეესაბამება ისეთ ძალას, რომელიც, შესაბამისად, მოქმედებს ვინაიდან მთელი ჯამი შედგება ასეთი წყვილებისგან, თავად ჯამი არის ნული. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ

სისტემის იმპულსისთვის აღნიშვნის გამოყენებით ვიღებთ

გარე ძალების იმპულსის ცვლილების გათვალისწინებით , ვიღებთ თეორემის გამოხატვას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით:

ამრიგად, მიღებული ყოველი ბოლო განტოლება საშუალებას გვაძლევს განვაცხადოთ: სისტემის იმპულსის ცვლილება ხდება მხოლოდ გარე ძალების მოქმედების შედეგად და შიდა ძალებს არ შეუძლიათ რაიმე გავლენა მოახდინონ ამ მნიშვნელობაზე.

შედეგად მიღებული თანასწორობის ორივე მხარის ინტეგრირებით თვითნებურად აღებულ დროულ ინტერვალზე ზოგიერთ და ს შორის, მივიღებთ თეორემის გამოხატვას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ ინტეგრალური ფორმით:

სადაც და არის სისტემის მოძრაობის მოცულობის მნიშვნელობები დროის მომენტებში და, შესაბამისად, არის გარე ძალების იმპულსი გარკვეული პერიოდის განმავლობაში. ადრე ნათქვამისა და შემოღებული აღნიშვნების შესაბამისად,

ვინაიდან წერტილის მასა მუდმივია და მისი აჩქარება, განტოლება (2), რომელიც გამოხატავს დინამიკის ძირითად კანონს, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სახით

განტოლება (32) ერთდროულად გამოხატავს თეორემას წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით: წერტილის იმპულსის დროითი წარმოებული უდრის წერტილზე მოქმედი ძალების ჯამს.

მოდით, მოძრავ წერტილს ჰქონდეს სიჩქარე დროის მომენტში და სიჩქარე მომენტში, შემდეგ ვამრავლებთ ტოლობის ორივე მხარეს (32) და ვიღებთ მათგან განსაზღვრულ ინტეგრალებს. ამ შემთხვევაში, მარჯვნივ, სადაც ინტეგრაცია ხდება დროთა განმავლობაში, იქნება ინტეგრალის საზღვრები და მარცხნივ, სადაც სიჩქარე ინტეგრირებულია, ინტეგრალის საზღვრები იქნება სიჩქარის შესაბამისი მნიშვნელობები.

ვინაიდან ინტეგრალი ტოლია, შედეგი არის

ინტეგრალები მარჯვნივ, როგორც ჩანს ფორმულიდან (30), წარმოადგენს მოქმედი ძალების იმპულსებს. ამიტომ საბოლოოდ იქნება

განტოლება (33) გამოხატავს თეორემას წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ საბოლოო ფორმით: წერტილის იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში უდრის წერტილზე მოქმედი ყველა ძალის იმპულსების ჯამს. დროის იგივე პერიოდი.

ამოცანების ამოხსნისას, ვექტორული განტოლების ნაცვლად (33), ხშირად გამოიყენება განტოლებები პროგნოზებში. ტოლობის ორივე მხარის (33) პროექცია კოორდინატთა ღერძებზე, მივიღებთ

ღერძის გასწვრივ მართკუთხა მოძრაობის შემთხვევაში, თეორემა გამოიხატება ამ განტოლებიდან პირველით.

Პრობლემის გადაჭრა. განტოლებები (33) ან (34) საშუალებას გვაძლევს ვიცოდეთ, თუ როგორ იცვლება წერტილის სიჩქარე წერტილის გადაადგილებისას, განვსაზღვროთ მოქმედი ძალების იმპულსი (დინამიკის პირველი პრობლემა) ან, იცოდეთ მოქმედი ძალების იმპულსები, განვსაზღვროთ. როგორ იცვლება წერტილის სიჩქარე მოძრაობისას (დინამიკის მეორე ამოცანა). მეორე ამოცანის ამოხსნისას ძალების მოყვანისას აუცილებელია მათი იმპულსების გამოთვლა.როგორც ტოლობებიდან ჩანს (30) ან (31) ეს შეიძლება გაკეთდეს მხოლოდ მაშინ, როცა ძალები მუდმივია ან მხოლოდ დროზეა დამოკიდებული.

ამრიგად, განტოლებები (33), (34) შეიძლება პირდაპირ იქნას გამოყენებული დინამიკის მეორე პრობლემის გადასაჭრელად, როდესაც ამოცანის მონაცემები და საჭირო სიდიდეები მოიცავს: მოქმედ ძალებს, წერტილის მოძრაობის დროს და მის საწყის და საბოლოო სიჩქარეებს (ე.ი. რაოდენობები), და ძალები უნდა იყოს მუდმივი ან დამოკიდებული მხოლოდ დროზე.

ამოცანა 95. კგ მასის წერტილი მოძრაობს წრეში რიცხობრივად მუდმივი სიჩქარით განსაზღვრეთ წერტილზე მოქმედი ძალის იმპულსი იმ დროის განმავლობაში, როდესაც წერტილი გადის წრის მეოთხედს.

გამოსავალი. იმპულსის ცვლილების თეორემის მიხედვით, გეომეტრიულად აგებს სხვაობას მოძრაობის ამ რაოდენობებს შორის (ნახ. 222), ჩვენ ვპოულობთ მიღებული მართკუთხა სამკუთხედიდან

მაგრამ პრობლემის პირობების მიხედვით, შესაბამისად,

ანალიტიკური გამოთვლებისთვის, განტოლების (34) პირველი ორის გამოყენებით, შეგვიძლია ვიპოვოთ

ამოცანა 96. დატვირთვას, რომელსაც აქვს მასა და დევს ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე, ენიჭება (ბიძგით) საწყისი სიჩქარე, დატვირთვის შემდგომ მოძრაობას ანელებს მუდმივი ძალით F. დაადგინეთ რამდენი დრო დასჭირდება დატვირთვას. შეჩერება,

გამოსავალი. პრობლემის მონაცემების მიხედვით, ცხადია, რომ მოძრაობის დროის დასადგენად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ დადასტურებული თეორემა. ჩვენ გამოვსახავთ დატვირთვას თვითნებურ მდგომარეობაში (ნახ. 223). მასზე მოქმედებს გრავიტაციის ძალა P, სიბრტყის N რეაქცია და დამუხრუჭების ძალა F. ღერძის მოძრაობის მიმართულებით, ჩვენ ვადგენთ განტოლებიდან პირველს (34).

ამ შემთხვევაში სიჩქარე გაჩერების მომენტში), ა. ძალებიდან მხოლოდ F ძალა იძლევა პროექციას ღერძზე.რადგან ის მუდმივია, სად არის დამუხრუჭების დრო. ყველა ამ მონაცემის (a) განტოლებით ჩანაცვლებით, მივიღებთ საჭირო დროს

მატერიალური წერტილის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლება ძალის გავლენის ქვეშ ფშეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ვექტორული ფორმით:

ვინაიდან წერტილის მასა მმიღებულია როგორც მუდმივი, მაშინ ის შეიძლება შევიდეს წარმოებული ნიშნის ქვეშ. მერე

ფორმულა (1) გამოხატავს თეორემას წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით: პირველი წარმოებული წერტილის იმპულსის დროის მიმართ უდრის წერტილზე მოქმედ ძალას.

კოორდინატულ ღერძებზე პროგნოზებში (1) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

თუ ორივე მხარე (1) გამრავლებულია dt, მაშინ ვიღებთ იმავე თეორემის სხვა ფორმას - იმპულსის თეორემა დიფერენციალური ფორმით:

იმათ. წერტილის იმპულსის დიფერენციალი უდრის წერტილზე მოქმედი ძალის ელემენტარულ იმპულსს.

(2)-ის ორივე ნაწილის პროექცია კოორდინატთა ღერძებზე, მივიღებთ

(2)-ის ორივე ნაწილის ნულიდან t-მდე ინტეგრირება (ნახ. 1), გვაქვს

სად არის წერტილის სიჩქარე მომენტში ტ; - სიჩქარეზე ტ = 0;

ს- ძალის იმპულსი დროთა განმავლობაში ტ.

გამოხატვას (3) სახით ხშირად უწოდებენ იმპულსის თეორემას სასრული (ან ინტეგრალური) ფორმით: წერტილის იმპულსის ცვლილება დროის ნებისმიერ მონაკვეთში უდრის ძალის იმპულსს დროის იმავე პერიოდში.

კოორდინატთა ღერძებზე პროგნოზებში ეს თეორემა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი სახით:

მატერიალური წერტილისთვის, თეორემა იმპულსის ცვლილების შესახებ რომელიმე ფორმაში არსებითად არ განსხვავდება წერტილის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებისგან.

თეორემა სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ

სისტემის მოძრაობის რაოდენობას ვექტორული სიდიდე დაერქმევა ქ, სისტემის ყველა წერტილის მოძრაობის სიდიდეების გეომეტრიული ჯამის (ძირითადი ვექტორის) ტოლი.

განვიხილოთ სისტემა, რომელიც შედგება ნ მატერიალური ქულები. მოდით შევადგინოთ ამ სისტემის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებები და დავამატოთ ისინი ტერმინით. შემდეგ მივიღებთ:

ბოლო ჯამი, შინაგანი ძალების თვისებიდან გამომდინარე, ნულის ტოლია. გარდა ამისა,

საბოლოოდ ჩვენ ვიპოვით:

განტოლება (4) გამოხატავს თეორემას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით: სისტემის იმპულსის დროითი წარმოებული უდრის სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების გეომეტრიულ ჯამს.

მოდი ვიპოვოთ თეორემის სხვა გამოთქმა. ნება მომენტში ტ= 0 არის სისტემის მოძრაობის მოცულობა Q 0და დროის მომენტში t 1თანაბარი ხდება Q 1.შემდეგ, ტოლობის ორივე მხარის (4) გამრავლება dtდა ინტეგრირებისას მივიღებთ:

ან სად:

(S- ძალის იმპულსი)

ვინაიდან მარჯვნივ ინტეგრალები აძლევენ გარე ძალების იმპულსებს,

განტოლება (5) გამოხატავს თეორემას სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ ინტეგრალური სახით: სისტემის იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში უდრის სისტემაზე მოქმედი გარე ძალების იმპულსების ჯამს დროის იმავე პერიოდში.

კოორდინატთა ღერძებზე პროგნოზებში გვექნება:

იმპულსის შენარჩუნების კანონი

სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ თეორემიდან შეიძლება მივიღოთ შემდეგი მნიშვნელოვანი თანხლებები:

1. სისტემაზე მოქმედი ყველა გარეგანი ძალის ჯამი იყოს ნულის ტოლი:

შემდეგ (4) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ ამ შემთხვევაში Q = კონსტ.

ამრიგად, თუ სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების ჯამი ნულის ტოლია, მაშინ სისტემის იმპულსის ვექტორი იქნება მუდმივი სიდიდითა და მიმართულებით.

2. 01 სისტემაზე მოქმედი გარე ძალები იყოს ისეთი, რომ მათი პროგნოზების ჯამი რომელიმე ღერძზე (მაგალითად Ox) ნულის ტოლია:

შემდეგ (4`) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ ამ შემთხვევაში Q = კონსტ.

ამრიგად, თუ ყველა მოქმედი გარე ძალების პროგნოზების ჯამი რომელიმე ღერძზე ნულის ტოლია, მაშინ ამ ღერძზე სისტემის მოძრაობის სიდიდის პროექცია არის მუდმივი მნიშვნელობა.

ეს შედეგები გამოხატავს სისტემის იმპულსის შენარჩუნების კანონი.აქედან გამომდინარეობს, რომ შინაგანი ძალები ვერ შეცვლიან სისტემის მოძრაობის მთლიან რაოდენობას.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

· ფენომენი როლის დაბრუნების შესახებ. თუ თოფი და ტყვია ერთ სისტემად განვიხილავთ, მაშინ ფხვნილის აირების წნევა გასროლისას შიდა ძალა იქნება. ეს ძალა არ შეუძლია შეცვალოს სისტემის მთლიანი იმპულსი. მაგრამ რადგან ფხვნილი აირები, რომლებიც მოქმედებენ ტყვიაზე, ანიჭებენ მას გარკვეული რაოდენობის წინ მიმართულ მოძრაობას, მათ ერთდროულად უნდა მიაწოდონ თოფს იგივე მოძრაობა საპირისპირო მიმართულებით. ეს გამოიწვევს თოფის უკან გადაადგილებას, ე.ი. დაბრუნებას ე.წ. მსგავსი ფენომენი ხდება თოფის სროლისას (დაბრუნება).

· პროპელერის (პროპელერის) მუშაობა. პროპელერი ავრცელებს მოძრაობას ჰაერის (ან წყლის) გარკვეულ მასას პროპელერის ღერძის გასწვრივ, აბრუნებს ამ მასას უკან. თუ დაყრილ მასას და თვითმფრინავს (ან გემს) ერთ სისტემად მივიჩნევთ, მაშინ პროპელერსა და გარემოს შორის ურთიერთქმედების ძალები, როგორც შიდა, ვერ შეცვლიან ამ სისტემის მოძრაობის მთლიან რაოდენობას. მაშასადამე, როდესაც ჰაერის (წყლის) მასა უკან იხევს, თვითმფრინავი (ან გემი) იღებს შესაბამის წინსვლის სიჩქარეს, რომ განსახილველი სისტემის მოძრაობის მთლიანი რაოდენობა ნულის ტოლი რჩება, რადგან მოძრაობის დაწყებამდე ის იყო ნული. .

მსგავსი ეფექტი მიიღწევა ნიჩბების ან ბორბლების მოქმედებით.

· R e c t i v e Propulsion რაკეტაში (რაკეტაში) საწვავის წვის აირისებრი პროდუქტები დიდი სიჩქარით გამოიდევნება რაკეტის კუდის ხვრელიდან (რეაქტიული ძრავის საქშენიდან). ამ შემთხვევაში მოქმედი წნევის ძალები იქნება შიდა ძალები და ისინი ვერ შეცვლიან რაკეტა-ფხვნილის აირების სისტემის მთლიან იმპულსს. მაგრამ რადგან გაშვებულ გაზებს აქვთ გარკვეული რაოდენობის მოძრაობა მიმართული უკან, რაკეტა იღებს შესაბამის წინსვლას.

მომენტების თეორემა ღერძის გარშემო.

განვიხილოთ მასის მატერიალური წერტილი მ, მოძრაობს ძალის გავლენის ქვეშ ფ. მოდი ვიპოვოთ მისთვის კავშირი ვექტორების მომენტს შორის mVდა ფზოგიერთ ფიქსირებულ Z ღერძთან შედარებით.

m z (F) = xF - yF (7)

ანალოგიურად ღირებულებისთვის მ(მვ)თუ ამოიღეს მიქნება ფრჩხილებიდან

მ z (mV) = m(xV - yV)(7`)

ამ თანასწორობის ორივე მხრიდან დროის მიმართ წარმოებულების აღებით, ჩვენ ვპოულობთ

მიღებული გამოხატვის მარჯვენა მხარეს, პირველი ფრჩხილი უდრის 0-ს, ვინაიდან dx/dt=V და dу/dt = V, მეორე ფრჩხილი (7) ფორმულის მიხედვით უდრის

მზ(F), ვინაიდან დინამიკის ძირითადი კანონის მიხედვით:

საბოლოოდ გვექნება (8)

მიღებული განტოლება გამოხატავს მომენტების თეორემას ღერძის გარშემო: ნებისმიერი ღერძის მიმართ წერტილის იმპულსის მომენტის დროითი წარმოებული უდრის იმავე ღერძთან მიმართებაში მოქმედი ძალის მომენტს.მსგავსი თეორემა მოქმედებს ნებისმიერი O ცენტრის შესახებ მომენტებისთვის.

Შედგება ნმატერიალური ქულები. მოდით ავირჩიოთ გარკვეული წერტილი ამ სისტემიდან მჯმასით მ ჯ. როგორც ცნობილია, ამ პუნქტზე მოქმედებენ გარე და შინაგანი ძალები.

მოდით გამოვიყენოთ იგი პუნქტში მჯყველა შინაგანი ძალის შედეგი F j iდა ყველა გარე ძალის შედეგი ფ ჯ ე(სურათი 2.2). შერჩეული მატერიალური წერტილისთვის მჯ(რაც შეეხება თავისუფალ წერტილს) ჩვენ ვწერთ თეორემას იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალური ფორმით (2.3):

მოდით დავწეროთ მსგავსი განტოლებები მექანიკური სისტემის ყველა წერტილისთვის (j=1,2,3,…,n).

სურათი 2.2

მოდით ეს ყველაფერი ნაწილ-ნაწილ დავამატოთ ნგანტოლებები:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Აქ ∑m j ×V j =Q– მექანიკური სისტემის მოძრაობის რაოდენობა;
∑F j e = R e- მექანიკურ სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალის მთავარი ვექტორი;
∑F j i = R i =0– სისტემის შინაგანი ძალების მთავარი ვექტორი (შინაგანი ძალების თვისების მიხედვით, ნულის ტოლია).

საბოლოოდ, მექანიკური სისტემისთვის ვიღებთ

dQ/dt = R e. (2.11)

გამოხატულება (2.11) არის თეორემა მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ დიფერენციალურ ფორმაში (ვექტორულ გამოხატულებაში): მექანიკური სისტემის იმპულსის ვექტორის დროითი წარმოებული უდრის სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალის მთავარ ვექტორს..

ვექტორული თანასწორობის (2.11) პროექციით დეკარტის კოორდინატთა ღერძებზე, ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამებს მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ თეორემისთვის კოორდინატულ (სკალარული) გამოსახულებაში:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

იმათ. ნებისმიერ ღერძზე მექანიკური სისტემის იმპულსის პროექციის დროითი წარმოებული ტოლია ამ მექანიკურ სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების მთავარი ვექტორის ამ ღერძზე პროექციისა..

ტოლობის ორივე მხარის (2.12) გამრავლება dt, ჩვენ ვიღებთ თეორემას სხვა დიფერენციალური ფორმით:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

იმათ. მექანიკური სისტემის დიფერენციალური იმპულსი უდრის სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალის მთავარი ვექტორის ელემენტარულ იმპულსს (ელემენტარული იმპულსების ჯამი)..

ტოლობის ინტეგრირება (2.13) დროის ცვლილებაში 0-დან ტ, ვიღებთ თეორემას მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ საბოლოო (ინტეგრალურ) ფორმაში (ვექტორული გამოსახულებით):

Q - Q 0 = S e,

იმათ. მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილება დროის სასრულ მონაკვეთში უდრის სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალის მთავარი ვექტორის მთლიან იმპულსს (მთლიანი იმპულსების ჯამი) დროის იმავე პერიოდში..

ვექტორული თანასწორობის (2.14) პროექციით დეკარტის კოორდინატთა ღერძებზე, ვიღებთ თეორემის გამოსახულებებს პროექციებში (სკალარული გამოსახულებით):

იმათ. მექანიკური სისტემის იმპულსის პროექციის ცვლილება ნებისმიერ ღერძზე გარკვეული დროის განმავლობაში ტოლია ყველა გარე ძალების მთავარი ვექტორის მთლიანი იმპულსის იმავე ღერძზე პროექციის (მთლიანი იმპულსების ჯამი). მოქმედებს მექანიკურ სისტემაზე დროის იმავე პერიოდში.

განხილული თეორემიდან (2.11) - (2.15) გამომდინარეობს შემდეგი თანხლებები:

1. თუ R e = ∑F j e = 0, ეს Q = კონსტ- გვაქვს მექანიკური სისტემის იმპულსის ვექტორის შენარჩუნების კანონი: თუ მთავარი ვექტორი რ ემექანიკურ სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალის ტოლია ნულის ტოლი, მაშინ ამ სისტემის იმპულსის ვექტორი რჩება მუდმივი სიდიდითა და მიმართულებით და ტოლია მისი საწყისი სიდიდე. Q 0, ე.ი. Q = Q 0.
2. თუ R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), ეს Q x = კონსტ- ჩვენ გვაქვს პროექციის კონსერვაციის კანონი მექანიკური სისტემის იმპულსის ღერძზე: თუ მექანიკურ სისტემაზე მოქმედი ყველა ძალის მთავარი ვექტორის პროექცია ნებისმიერ ღერძზე არის ნული, მაშინ პროექცია იმავე ღერძზე. ამ სისტემის იმპულსის ვექტორი იქნება მუდმივი მნიშვნელობა და ტოლი პროექციისა ამ ღერძზე იმპულსის საწყის ვექტორზე, ე.ი. Q x = Q 0x.

მატერიალური სისტემის იმპულსის ცვლილების შესახებ თეორემის დიფერენციალურ ფორმას მნიშვნელოვანი და საინტერესო გამოყენება აქვს უწყვეტობის მექანიკაში. (2.11)-დან შეგვიძლია მივიღოთ ეილერის თეორემა.

მიეცით მატერიალურ წერტილს გადაადგილება ძალის გავლენის ქვეშ ფ. საჭიროა ამ წერტილის მოძრაობის განსაზღვრა მოძრავ სისტემასთან შედარებით ოქსიზი(იხ. მატერიალური წერტილის რთული მოძრაობა), რომელიც ცნობილი გზით მოძრაობს სტაციონარული სისტემის მიმართ ო 1 x 1 წ 1 ზ 1 .

დინამიკის ძირითადი განტოლება სტაციონარულ სისტემაში

მოდით დავწეროთ წერტილის აბსოლუტური აჩქარება კორიოლისის თეორემის გამოყენებით

სად ა აბს- აბსოლუტური აჩქარება;

ა rel- ფარდობითი აჩქარება;

ა შესახვევი- პორტატული აჩქარება;

ა ბირთვი– კორიოლისის აჩქარება.

მოდით გადავიწეროთ (25) (26) გათვალისწინებით

შემოვიღოთ აღნიშვნა
- პორტატული ინერციის ძალა,
- კორიოლისის ინერციული ძალა. შემდეგ განტოლება (27) იღებს ფორმას

ფარდობითი მოძრაობის შესწავლის დინამიკის ძირითადი განტოლება (28) იწერება ისევე, როგორც აბსოლუტური მოძრაობისთვის, წერტილზე მოქმედ ძალებს უნდა დაემატოს მხოლოდ ინერციის გადაცემის და კორიოლისის ძალები.

ზოგადი თეორემები მატერიალური წერტილის დინამიკის შესახებ

მრავალი პრობლემის გადაჭრისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ წინასწარ დამზადებული ბლანკები, რომლებიც მიღებულია ნიუტონის მეორე კანონის საფუძველზე. პრობლემის გადაჭრის ასეთი მეთოდები გაერთიანებულია ამ განყოფილებაში.

თეორემა მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილების შესახებ

წარმოგიდგენთ შემდეგ დინამიურ მახასიათებლებს:

1. მატერიალური წერტილის იმპულსი– წერტილის მასისა და მისი სიჩქარის ვექტორის ნამრავლის ტოლი ვექტორული რაოდენობა

. (29)

2. ძალის იმპულსი

ძალის ელემენტარული იმპულსი– ვექტორული სიდიდე, რომელიც ტოლია ძალის ვექტორის ნამრავლისა და ელემენტარული დროის ინტერვალის

(30).

მერე სრული იმპულსი

. (31)

ზე ფ= და ბოლოს მივიღებთ ს=Ft.

მთლიანი იმპულსი დროის სასრული პერიოდისთვის შეიძლება გამოითვალოს მხოლოდ ორ შემთხვევაში, როდესაც წერტილზე მოქმედი ძალა მუდმივია ან დროზეა დამოკიდებული. სხვა შემთხვევაში აუცილებელია ძალის გამოხატვა დროის ფუნქციით.

იმპულსის (29) და იმპულსის (30) ზომების თანასწორობა საშუალებას გვაძლევს დავამყაროთ რაოდენობრივი კავშირი მათ შორის.

განვიხილოთ M მატერიალური წერტილის მოძრაობა თვითნებური ძალის მოქმედებით ფთვითნებური ტრაექტორიის გასწვრივ.

შესახებ UD:
. (32)

ჩვენ გამოვყოფთ ცვლადებს (32) და ვაერთიანებთ

. (33)

შედეგად, (31) გათვალისწინებით, ვიღებთ

. (34)

განტოლება (34) გამოხატავს შემდეგ თეორემას.

თეორემა: მატერიალური წერტილის იმპულსის ცვლილება დროის გარკვეულ მონაკვეთში უდრის წერტილზე მოქმედი ძალის იმპულსს იმავე დროის ინტერვალში.

ამოცანების ამოხსნისას განტოლება (34) დაპროექტებული უნდა იყოს კოორდინატთა ღერძებზე

ეს თეორემა მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც მოცემულ და უცნობ სიდიდეებს შორის არის წერტილის მასა, მისი საწყისი და საბოლოო სიჩქარე, ძალები და მოძრაობის დრო.

თეორემა მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ

მ
მატერიალური წერტილის იმპულსის მომენტიცენტრთან შედარებით უდრის წერტილის და მხრის იმპულსის მოდულის ნამრავლს, ე.ი. უმოკლეს მანძილი (პერპენდიკულარული) ცენტრიდან წრფემდე, რომელიც ემთხვევა სიჩქარის ვექტორს

, (36)

. (37)

ძალის (მიზეზის) მომენტსა და იმპულსის (ეფექტის) მომენტს შორის კავშირი დადგენილია შემდეგი თეორემით.

მივცეთ M წერტილი მოცემული მასისა მმოძრაობს ძალის გავლენის ქვეშ ფ.

,
,

, (38)

. (39)

გამოვთვალოთ წარმოებული (39)

. (40)

(40) და (38) კომბინაციით, საბოლოოდ მივიღებთ

. (41)

განტოლება (41) გამოხატავს შემდეგ თეორემას.

თეორემა: მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსის ვექტორის დროითი წარმოებული რაღაც ცენტრთან მიმართებაში უდრის იმავე ცენტრთან მიმართებაში წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტს.

ამოცანების ამოხსნისას განტოლება (41) დაპროექტებული უნდა იყოს კოორდინატთა ღერძებზე

განტოლებებში (42), იმპულსის და ძალის მომენტები გამოითვლება კოორდინატთა ღერძების მიმართ.

(41)-დან გამომდინარეობს კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი (კეპლერის კანონი).

თუ რაიმე ცენტრთან მიმართებაში მატერიალურ წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტი ნულია, მაშინ წერტილის კუთხური იმპულსი ამ ცენტრთან მიმართებაში ინარჩუნებს სიდიდეს და მიმართულებას.

თუ
, ეს
.

თეორემა და კონსერვაციის კანონი გამოიყენება მრუდი წრფივი მოძრაობის ამოცანებში, განსაკუთრებით ცენტრალური ძალების მოქმედების დროს.