დატვირთვის მასის ცენტრის მოძრაობის აჩქარების განსაზღვრა. ნიუტონის მესამე კანონი

სპეციალური შეთანხმებით ჟურნალ „კვანტის“ სარედაქციო კოლეგიასთან და რედაქტორებთან.

მექანიკური პრობლემების გადაჭრისას, მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრის კონცეფციის გამოყენებას შეუძლია ფასდაუდებელი დახმარება. ზოგიერთი პრობლემის გადაჭრა უბრალოდ შეუძლებელია ამ კონცეფციის გამოყენების გარეშე; სხვების გადაჭრა მისი დახმარებით შეიძლება ბევრად უფრო მარტივი და გასაგები გახდეს.

სანამ კონკრეტულ პრობლემებს განვიხილავთ, გავიხსენოთ მასის ცენტრის ძირითადი თვისებები და ილუსტრირებათ მაგალითებით.

მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრი (ინერციის ცენტრი) არის წერტილი, რომელიც ახასიათებს სისტემაში მასების განაწილებას, რომლის კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით.

Აქ მ ი- მატერიალური წერტილების მასები, რომლებიც ქმნიან სისტემას, x i, y მე, z i- ამ წერტილების კოორდინატები. რადიუსის ვექტორის კონცეფციის ცნობილ მკითხველს უპირატესობას ანიჭებს ვექტორულ აღნიშვნას:

(1)

მაგალითი 1. მოდით ვიპოვოთ მასის ცენტრის პოზიცია, უმარტივესი სისტემა, რომელიც შედგება ორი წერტილისგან, რომელთა მასები მ 1 და მ 2 და მათ შორის მანძილი ლ(ნახ. 1).

ღერძის მიმართულება Xპირველი წერტილიდან მეორემდე აღმოვაჩენთ, რომ მანძილი პირველი წერტილიდან მასის ცენტრამდე (ანუ მასის ცენტრის კოორდინატი) ტოლია და მანძილი მასის ცენტრიდან მეორე წერტილამდე ტოლია. რომ ე.ი. მანძილების თანაფარდობა შებრუნებულია მასების თანაფარდობასთან. ეს ნიშნავს, რომ ამ შემთხვევაში მასის ცენტრის პოზიცია ემთხვევა სიმძიმის ცენტრს.

მოდით განვიხილოთ მასის ცენტრის ზოგიერთი თვისება, რომელიც, როგორც ჩანს, ამ ცნების გარკვეულწილად ფორმალურ განმარტებას ზემოთ მოცემული ფიზიკური შინაარსით შეავსებს.

1) მასის ცენტრის პოზიცია არ შეიცვლება, თუ სისტემის ზოგიერთი ნაწილი შეიცვლება ერთი წერტილით ამ ქვესისტემის მასის ტოლი მასით და მდებარეობს მის მასის ცენტრში.

მაგალითი 2. განვიხილოთ ბრტყელი ერთგვაროვანი სამკუთხედი და ვიპოვოთ მისი მასის ცენტრის პოზიცია. სამკუთხედი დაყავით თხელ ზოლებად ერთ-ერთი გვერდის პარალელურად და თითოეული ზოლი შეცვალეთ მის შუაში მდებარე წერტილით. ვინაიდან ყველა ასეთი წერტილი დევს სამკუთხედის მედიანაზე, მასის ცენტრი ასევე უნდა მდებარეობდეს მედიანაზე. თითოეული მხარის მსჯელობის გამეორებით, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ მასის ცენტრი შუამავლების გადაკვეთაზეა.

2) მასის ცენტრის სიჩქარე შეიძლება ვიპოვოთ თანასწორობის ორივე მხარის დროის წარმოებულის აღებით (1):

(2)

სად - სისტემის იმპულსი, მ- სისტემის მთლიანი მასა. ჩანს, რომ დახურული სისტემის მასის ცენტრის სიჩქარე მუდმივია. ეს ნიშნავს, რომ თუ მთარგმნელობით მოძრავ საცნობარო ჩარჩოს დავუკავშირებთ მასის ცენტრს, მაშინ ის ინერციული იქნება.

მაგალითი 3. დავდოთ ერთიანი სიგრძის ღერო ლვერტიკალურად გლუვ სიბრტყეზე (ნახ. 2) და გაათავისუფლეთ. დაცემისას მისი იმპულსის ჰორიზონტალური კომპონენტიც და მასის ცენტრის სიჩქარის ჰორიზონტალური კომპონენტი ნულის ტოლი დარჩება. მაშასადამე, დაცემის მომენტში, ჯოხის ცენტრი იქნება იმ ადგილას, სადაც თავდაპირველად ღერო იდგა, ხოლო ჯოხის ბოლოები ჰორიზონტალურად გადაინაცვლებს. .

3) მასის ცენტრის აჩქარება უდრის მისი სიჩქარის წარმოებულს დროის მიმართ:

(3)

სადაც თანასწორობის მარჯვენა მხარეს არის მხოლოდ გარეგანი ძალები, ვინაიდან ყველა შინაგანი ძალა უქმდება ნიუტონის მესამე კანონის მიხედვით. ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ მასის ცენტრი მოძრაობს, როგორც წარმოსახვითი წერტილი, რომლის მასის ტოლია სისტემის მასა, მოძრაობს მიღებული გარე ძალის მოქმედებით. ეს არის ალბათ მასის ცენტრის ყველაზე ფიზიკური თვისება.

მაგალითი 4. თუ ჯოხს გადააგდებთ, რაც იწვევს მის ბრუნვას, მაშინ ჯოხის მასის ცენტრი (მისი შუა) გადაადგილდება მუდმივი აჩქარებით. პარაბოლას გასწვრივ (სურ. 3).

4) წერტილითა სისტემა იყოს ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში. მაშინ სიმძიმის ჯამური მომენტი ნებისმიერი ღერძის მიმართ, რომელიც გადის მასის ცენტრში, ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ სიმძიმის შედეგი გადის მასის ცენტრში, ე.ი. მასის ცენტრი ასევე არის სიმძიმის ცენტრი.

5) წერტილითა სისტემის პოტენციური ენერგია ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში გამოითვლება ფორმულით

სად თც - სისტემის მასის ცენტრის სიმაღლე.

მაგალითი 5. როდესაც თხრიან ორმოს ერთიანი ფუნტი ღრმა თდა ნიადაგის ზედაპირზე გაფანტვისას მისი პოტენციური ენერგია იზრდება , სადაც მ- გათხრილი ნიადაგის მასა.

6) და კიდევ ერთი სასარგებლო თვისება მასის ცენტრისა. წერტილთა სისტემის კინეტიკური ენერგია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი წევრის ჯამის სახით: სისტემის ზოგადი გადამყვანი მოძრაობის კინეტიკური ენერგია, ტოლი , და კინეტიკური ენერგია ემოძრაობის მიმართ საცნობარო სისტემასთან, რომელიც დაკავშირებულია მასის ცენტრთან:

მაგალითი 6. ჰორიზონტალურ ზედაპირზე სრიალის გარეშე მოძრავი რგოლის კინეტიკური ენერგია υ სიჩქარით უდრის

ვინაიდან ფარდობითი მოძრაობა ამ შემთხვევაში არის სუფთა ბრუნვა, რისთვისაც რგოლის წერტილების წრფივი სიჩქარე უდრის υ (ქვედა წერტილის ჯამური სიჩქარე ნულის ტოლი უნდა იყოს).

ახლა დავიწყოთ პრობლემების ანალიზი მასის ცენტრის გამოყენებით.

პრობლემა 1. გლუვ ჰორიზონტალურ ზედაპირზე დევს ერთგვაროვანი ჯოხი. ღეროზე მოქმედებს თანაბარი სიდიდის, მაგრამ მიმართულების საწინააღმდეგო ორი ჰორიზონტალური ძალა: ერთი ძალა ვრცელდება ღეროს შუაზე, მეორე კი მის ბოლოზე (ნახ. 4). რა წერტილის მიმართ დაიწყებს ღერო ბრუნვას?

ერთი შეხედვით, შეიძლება ჩანდეს, რომ ბრუნვის ღერძი იქნება წერტილი, რომელიც მდებარეობს შუაში ძალების გამოყენების წერტილებს შორის. თუმცა, განტოლება (3) გვიჩვენებს, რომ ვინაიდან გარე ძალების ჯამი ნულია, მასის ცენტრის აჩქარებაც ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ ღეროს ცენტრი მოსვენებულ მდგომარეობაში დარჩება, ე.ი. ემსახურება როგორც ბრუნვის ღერძი.

პრობლემა 2. წვრილი ერთიანი ღეროს სიგრძე ლდა მასა მმოძრაობს გლუვი ჰორიზონტალური ზედაპირის გასწვრივ ისე, რომ ის მოძრაობს ტრანსლაციურად და ერთდროულად ბრუნავს ω კუთხური სიჩქარით. იპოვნეთ ღეროს დაძაბულობა მანძილის მიხედვით xმის ცენტრში.

მოდით გადავიდეთ ინერციულ საცნობარო სისტემაზე, რომელიც დაკავშირებულია ღეროს ცენტრთან. განვიხილოთ ღეროს ნაწილის მოძრაობა განსახილველი ღეროს წერტილს შორის (მდებარეობს მანძილზე xცენტრიდან) და მისი ბოლო (სურ. 5).

ამ ნაწილისთვის ერთადერთი გარეგანი ძალა არის დაძაბულობის საჭირო ძალა ფ n, მასა ტოლია და მისი მასის ცენტრი მოძრაობს რადიუსის წრეში აჩქარებით. არჩეული ნაწილის მასის ცენტრის მოძრაობის განტოლების ჩაწერისას მივიღებთ

პრობლემა 3. ორობითი ვარსკვლავი შედგება ორი კომპონენტისგან შემდგარი მასის მქონე ვარსკვლავისგან მ 1 და მ 2, რომელთა შორის მანძილი არ იცვლება და თანაბარი რჩება ლ. იპოვეთ ორობითი ვარსკვლავის ბრუნვის პერიოდი.

განვიხილოთ შემადგენელი ვარსკვლავების მოძრაობა ინერციულ საცნობარო სისტემაში, რომელიც დაკავშირებულია ორობითი ვარსკვლავის მასის ცენტრთან. ამ საცნობარო ჩარჩოში ვარსკვლავები მოძრაობენ იგივე კუთხური სიჩქარით სხვადასხვა რადიუსის წრეების გასწვრივ (ნახ. 6).

მასის მქონე ვარსკვლავის ბრუნვის რადიუსი მ 1 ტოლია (იხ. მაგალითი 1) და მისი ცენტრიდანული აჩქარება იქმნება სხვა ვარსკვლავის მიმართ მიზიდულობის ძალით:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ორმაგი ვარსკვლავის ბრუნვის პერიოდი ტოლია

და განისაზღვრება ორობითი ვარსკვლავის მთლიანი მასით, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ არის იგი განაწილებული კომპონენტ ვარსკვლავებს შორის.

პრობლემა 4. ორი წერტილის მასა მდა 2 მუწონო ძაფის სიგრძით შეკრული ლდა გადაადგილება გლუვი ჰორიზონტალური სიბრტყის გასწვრივ. დროის რაღაც მომენტში მასის სიჩქარე 2 მუდრის ნულს და მასის სიჩქარეს მυ-ის ტოლი და მიმართულია ძაფზე პერპენდიკულარულად (სურ. 7). იპოვნეთ ძაფის დაძაბულობა და სისტემის ბრუნვის პერიოდი.

ბრინჯი. 7

სისტემის მასის ცენტრი 2 მასისგან დაშორებულია მდა მოძრაობს სიჩქარით. საცნობარო სისტემაში, რომელიც დაკავშირებულია მასის ცენტრთან, მასის წერტილი 2 მმოძრაობს რადიუსის წრეში სიჩქარით. ეს ნიშნავს, რომ ბრუნვის პერიოდი უდრის (შეამოწმეთ, რომ იგივე პასუხი მიიღება, თუ განვიხილავთ მასის წერტილს მ). ჩვენ ვპოულობთ ძაფის დაძაბულობას ორი წერტილიდან რომელიმეს მოძრაობის განტოლებიდან:

პრობლემა 5. მასის ორი იდენტური ბლოკი მთითოეული დაკავშირებულია მსუბუქი ზამბარის სიმყარით კ(ნახ. 8). პირველ ზოლს ეძლევა სიჩქარე υ 0 მეორე ზოლის მიმართულებით. აღწერეთ სისტემის მოძრაობა. რამდენი დრო დასჭირდება ზამბარის დეფორმაციას, რომ პირველად მიაღწიოს მაქსიმალურ მნიშვნელობას?

სისტემის მასის ცენტრი მოძრაობს მუდმივი სიჩქარით. მასის ცენტრის საცნობარო ჩარჩოში, თითოეული ბლოკის საწყისი სიჩქარე არის , ხოლო ნახევარი ზამბარის სიმტკიცე, რომელიც მას აკავშირებს მასის სტაციონარულ ცენტრთან არის 2. კ(ზამბარის სიხისტე მისი სიგრძის უკუპროპორციულია). ასეთი რხევების პერიოდი უდრის

და თითოეული ზოლის ვიბრაციის ამპლიტუდა, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს ენერგიის შენარჩუნების კანონიდან, არის

პირველად დეფორმაცია გახდება მაქსიმალური პერიოდის მეოთხედის შემდეგ, ე.ი. ცოტა ხნის შემდეგ .

პრობლემა 6. ბურთის მასა მეჯახება v სიჩქარით 2 მასის უძრავ ბურთს მ. იპოვეთ ორივე ბურთის სიჩქარე ელასტიური ცენტრალური დარტყმის შემდეგ.

საცნობარო ჩარჩოში, რომელიც დაკავშირებულია მასის ცენტრთან, ორი ბურთის მთლიანი იმპულსი ნულის ტოლია როგორც შეჯახებამდე, ასევე მის შემდეგ. ადვილი მისახვედრია საბოლოო სიჩქარის რომელი პასუხი აკმაყოფილებს ამ პირობასაც და ენერგიის შენარჩუნების კანონსაც: სიჩქარეები იგივე სიდიდით დარჩება, როგორც ზემოქმედებამდე, მაგრამ შეიცვლის მიმართულებებს საპირისპიროდ. სისტემის მასის ცენტრის სიჩქარე უდრის. მასის სისტემის ცენტრში პირველი ბურთი მოძრაობს სიჩქარით, ხოლო მეორე ბურთი პირველისკენ სიჩქარით. დარტყმის შემდეგ ბურთები იმავე სიჩქარით გაფრინდებიან. რჩება საწყის საცნობარო ჩარჩოს დაბრუნება. სიჩქარის მიმატების კანონის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ მასის მქონე ბურთის საბოლოო სიჩქარე მთანაბარი და უკან მიმართული და მანამდე მოსვენებულ მდგომარეობაში 2 მასის ბურთის სიჩქარე მთანაბარი და წინ მიმართული.

გაითვალისწინეთ, რომ მასობრივი სისტემის ცენტრში აშკარაა, რომ ზემოქმედებისას ბურთების ფარდობითი სიჩქარე არ იცვლება სიდიდით, არამედ იცვლება მიმართულებით. და რადგან სხვა ინერციულ საცნობარო სისტემაზე გადასვლისას სიჩქარეთა სხვაობა არ იცვლება, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ჩვენ მივიღეთ ეს მნიშვნელოვანი კავშირი ორიგინალური საცნობარო სისტემისთვის:

υ 1 – υ 2 = u 1 – u 2 ,

სადაც ასო υ გამოიყენება საწყისი სიჩქარის აღსანიშნავად და u- ფინალებისთვის. ეს განტოლება შეიძლება ამოიხსნას იმპულსის შენარჩუნების კანონთან ერთად, ენერგიის შენარჩუნების კანონის ნაცვლად (სადაც სიჩქარეები მოდის მეორე ხარისხში).

პრობლემა 7. ცნობილია, რომ ორი იდენტური ბურთის ელასტიური დარტყმის დროს, რომელთაგან ერთი დარტყმის წინ ისვენებდა, გაფართოების კუთხე არის 90°. დაამტკიცეთ ეს განცხადება.

მასობრივი სისტემის ცენტრში, ცენტრიდან მიღმა ზემოქმედება შეიძლება აღწერილი იყოს შემდეგნაირად. დარტყმის წინ ბურთები უახლოვდება თანაბარი იმპულსებით; დარტყმის შემდეგ ისინი შორდებიან იმავე სიდიდის იმპულსებით, მაგრამ საპირისპირო მიმართულებით და გაფართოების ხაზი ბრუნავს გარკვეული კუთხით მიახლოების ხაზთან შედარებით. საწყის მითითების სისტემაზე დასაბრუნებლად, ყოველი საბოლოო სიჩქარე უნდა დაემატოს (ვექტორულად!) მასის ცენტრის სიჩქარეს. იდენტური ბურთების შემთხვევაში, მასის ცენტრის სიჩქარე უდრის , სადაც υ არის შემხვედრი ბურთის სიჩქარე, ხოლო მასის ცენტრის საცნობარო ჩარჩოში ბურთები უახლოვდება და შორდება იმავე სიჩქარით. ის ფაქტი, რომ მასის ცენტრის სიჩქარეზე ყოველი საბოლოო სიჩქარის დამატების შემდეგ, მიიღება ორმხრივი პერპენდიკულარული ვექტორები, ჩანს ნახაზი 9-დან. ან შეგიძლიათ უბრალოდ შეამოწმოთ, რომ ვექტორების სკალარული ნამრავლი ქრება იმის გამო, რომ მოდულები ვექტორები ერთმანეთის ტოლია.

Სავარჯიშოები

1. მასის ღერო მდა სიგრძე ლერთ ბოლოზე ჩამოკიდებული. ჯოხი ვერტიკალური მდგომარეობიდან გარკვეული კუთხით გადაიხარა და გაათავისუფლა. ვერტიკალური პოზიციის გავლის მომენტში ქვედა წერტილის სიჩქარე υ-ის ტოლია. იპოვეთ დაძაბულობა ღეროს შუა წერტილში დროის ამ მომენტში.

2. მასის ღერო მდა სიგრძე ლბრუნავს ჰორიზონტალურ სიბრტყეში კუთხური სიჩქარით ω მისი ერთ-ერთი ბოლოს გარშემო. იპოვეთ კავშირი ღეროს დაძაბულობასა და მანძილს შორის xბრუნვის ღერძს, თუ მასის მცირე წონა მიმაგრებულია მეორე ბოლოზე მ.

3. იპოვეთ რხევის პერიოდი სტატიის მე-5 ამოცანაში აღწერილი სისტემისთვის, მაგრამ სხვადასხვა მასის ზოლებისთვის მ 1 და მ 2 .

4. გამოიტანეთ ორი ბურთის ელასტიური ცენტრალური ზემოქმედების ცნობილი ზოგადი ფორმულები, მასის საორიენტაციო ჩარჩოს ცენტრში გადასვლის გამოყენებით.

5. მასის ბურთი მ 1 ეჯახება ბურთს მცირე მასის დასვენების დროს მ 2. იპოვეთ შემომავალი ბურთის გადახრის მაქსიმალური შესაძლო კუთხე ელასტიური ცენტრიდან მოშორებული დარტყმის დროს.

1.

2.

3.

მასის ცენტრი მასის ცენტრის მოძრაობის განტოლება. თავად კანონი: სხეულები ერთმანეთზე მოქმედებენ ერთი და იმავე ბუნების ძალებით, რომლებიც მიმართულია იმავე სწორი ხაზის გასწვრივ, სიდიდის თანაბარი და საპირისპირო მიმართულებით: მასის ცენტრი არის გეომეტრიული წერტილი, რომელიც ახასიათებს სხეულის მოძრაობას ან ნაწილაკების სისტემას. მთელი. განმარტება ინერციის ცენტრის მასის ცენტრის პოზიცია კლასიკურ მექანიკაში განისაზღვრება შემდეგნაირად: სადაც მასის ცენტრის რადიუსის ვექტორი არის სისტემის ith წერტილის რადიუსის ვექტორი და ith წერტილის მასა.

7.ნიუტონის მესამე კანონი. მასის ცენტრი მასის ცენტრის მოძრაობის განტოლება.

ნიუტონის მესამე კანონიაცხადებს: მოქმედების ძალა სიდიდით ტოლია და რეაქციის ძალის მიმართულებით საპირისპირო.

თავად კანონი:

სხეულები ერთმანეთზე მოქმედებენ ერთი და იმავე ბუნების ძალებით, რომლებიც მიმართულია იმავე სწორი ხაზის გასწვრივ, სიდიდით თანაბარი და მიმართულების საწინააღმდეგოდ:

მასის ცენტრი ეს არის გეომეტრიული წერტილი, რომელიც ახასიათებსმოძრაობა მთლიანობაში ნაწილაკების სხეული ან სისტემა.

განმარტება

მასის ცენტრის (ინერციის ცენტრის) პოზიცია კლასიკურ მექანიკაში განისაზღვრება შემდეგნაირად:

სადაც მასის ცენტრის რადიუსის ვექტორი, რადიუსის ვექტორი i სისტემის პუნქტი,

i-ე წერტილის მასა.

.

ეს არის მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრის მოძრაობის განტოლება მთელი სისტემის მასის ტოლი მასით, რომელზეც გამოიყენება ყველა გარე ძალების ჯამი (გარე ძალების მთავარი ვექტორი) ან თეორემა. მასის ცენტრის მოძრაობაზე.

ისევე როგორც სხვა ნამუშევრები, რომლებიც შეიძლება დაგაინტერესოთ
22476.		პერსონალური რადიო ზარის სისტემების კლასიფიკაცია, პეიჯერები, გამეორებები, ძირითადი ინფორმაციის გადაცემის პროტოკოლები.	1.21 მბ
	პერსონალური რადიო ზარის სისტემების კლასიფიკაცია პეიჯერების განმეორებით ძირითადი ინფორმაციის გადაცემის პროტოკოლები. სამუშაოს მიზანი პერსონალური რადიოზარის სისტემების, პეიჯერების, რეპეტიტორების, ძირითადი ინფორმაციის გადაცემის პროტოკოლების კლასიფიკაციის შესწავლა. გაეცანით SPRV-ზე ინფორმაციის გადაცემის ძირითად პროტოკოლებს. ამ შემთხვევაში, აბონენტზე ზარის გადასაცემად გამოყენებული იყო მისამართის თანმიმდევრული ტონალური კოდირება, რაც უზრუნველყოფს რამდენიმე ათეულ ათასამდე მომხმარებლის სერვისის შესაძლებლობას.
22477.		მეტყველების სიგნალების კოდირების მეთოდების შესწავლა ტეტრა ტრანკინგის ქსელების სტანდარტში	961.5 კბ
	ამოცანა: გაეცანით მეტყველების სიგნალის კოდირების ალგორითმის ზოგად აღწერას. შეისწავლეთ არხის კოდირების მახასიათებლები სხვადასხვა ლოგიკური არხებისთვის. CELP მეტყველების სიგნალის კოდირების ალგორითმის ზოგადი აღწერა მეტყველების სიგნალების ინფორმაციის მულტიპლექსირების დაშიფვრისთვის, TETRA სტანდარტი იყენებს ენკოდერს ხაზოვანი პროგნოზით და მრავალპულსური აგზნებით CELP Code Excited Linear Pgediction-დან.
22478.		GSM-900 ფიჭური კომუნიკაციის სისტემა	109.5 კბ
	სამუშაოს მიზანი GSM სტანდარტის ციფრული ფიჭური მობილური რადიოკავშირის სისტემაში მიღებული ფუნქციური სტრუქტურისა და ინტერფეისების ძირითადი ტექნიკური მახასიათებლების შესწავლა. ამოცანა: გაეცანით GSM სტანდარტის ზოგად მახასიათებლებს. მოკლე თეორია GSM გლობალური სისტემის მობილური კომუნიკაციების სტანდარტი მჭიდროდ არის დაკავშირებული ყველა თანამედროვე ციფრული ქსელის სტანდარტებთან, პირველ რიგში, ISDN და IN Intelligent Network.

დინამიკის ძირითადი კანონი შეიძლება დაიწეროს სხვა ფორმით, იცოდეთ სისტემის მასის ცენტრის კონცეფცია:

იქ არის სისტემის მასის ცენტრის მოძრაობის განტოლება, მექანიკის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი განტოლება. მასში ნათქვამია, რომ ნაწილაკების ნებისმიერი სისტემის მასის ცენტრი მოძრაობს ისე, თითქოს სისტემის მთელი მასა კონცენტრირებულია ამ წერტილში და მასზე ყველა გარე ძალა იყო გამოყენებული.

სისტემის მასის ცენტრის აჩქარება სრულიად დამოუკიდებელია გარე ძალების გამოყენების წერტილებისგან.

თუ , მაშინ , მაშინ და არის დახურული სისტემის შემთხვევა ინერციულ საცნობარო ჩარჩოში. ამრიგად, თუ სისტემის მასის ცენტრი მოძრაობს ერთნაირად და სწორი ხაზით, ეს ნიშნავს, რომ მისი იმპულსი შენარჩუნებულია მოძრაობის დროს.

მაგალითი: მასისა და რადიუსის ერთგვაროვანი ცილინდრი მოძრაობს დახრილ სიბრტყეში და ქმნის კუთხეს ჰორიზონტალურთან სრიალის გარეშე. იპოვეთ მოძრაობის განტოლება?

ერთობლივი გადაწყვეტა იძლევა პარამეტრების მნიშვნელობებს

მასის ცენტრის მოძრაობის განტოლება ემთხვევა მატერიალური წერტილის დინამიკის ძირითად განტოლებას და წარმოადგენს მის განზოგადებას ნაწილაკების სისტემაზე: მთლიანი სისტემის აჩქარება პროპორციულია ყველა გარე ძალის შედეგისა და საპირისპიროდ. სისტემის მასის პროპორციულია.

მასის ცენტრთან მყარად დაკავშირებულ საცნობარო სისტემას, რომელიც გადაადგილდება ISO-სთან შედარებით, ეწოდება მასის ცენტრს. მისი თავისებურება ის არის, რომ მასში ნაწილაკების სისტემის მთლიანი იმპულსი ყოველთვის ნულის ტოლია, როგორც .

სამუშაოს დასასრული -

ეს თემა ეკუთვნის განყოფილებას:

მთარგმნელობითი მოძრაობის კინემატიკა

მექანიკის ფიზიკური საფუძვლები.. მთარგმნელობითი მოძრაობის კინემატიკა.. მექანიკური მოძრაობა არსებობის ფორმაა..

თუ გჭირდებათ დამატებითი მასალა ამ თემაზე, ან ვერ იპოვნეთ ის, რასაც ეძებდით, გირჩევთ გამოიყენოთ ძიება ჩვენს სამუშაოთა მონაცემთა ბაზაში:

რას ვიზამთ მიღებულ მასალასთან:

თუ ეს მასალა თქვენთვის სასარგებლო იყო, შეგიძლიათ შეინახოთ იგი თქვენს გვერდზე სოციალურ ქსელებში:

ტვიტი

ყველა თემა ამ განყოფილებაში:

მექანიკური მოძრაობა
მატერია, როგორც ცნობილია, არსებობს ორი ფორმით: სუბსტანციისა და ველის სახით. პირველი ტიპი მოიცავს ატომებსა და მოლეკულებს, საიდანაც აგებულია ყველა სხეული. მეორე ტიპი მოიცავს ყველა სახის ველს: გრავიტაციას

სივრცე და დრო
ყველა სხეული არსებობს და მოძრაობს სივრცეში და დროში. ეს ცნებები ფუნდამენტურია ყველა საბუნებისმეტყველო მეცნიერებისთვის. ნებისმიერ სხეულს აქვს ზომები, ე.ი. მისი სივრცითი მასშტაბი

საცნობარო სისტემა
დროის თვითნებურ მომენტში სხეულის პოზიციის ცალსახად დასადგენად, საჭიროა აირჩიოთ საცნობარო სისტემა - კოორდინატთა სისტემა, რომელიც აღჭურვილია საათით და მკაცრად დაკავშირებულია აბსოლუტურად ხისტ სხეულთან, შესაბამისად.

მოძრაობის კინემატიკური განტოლებები
როდესაც t.M მოძრაობს, მისი კოორდინატები იცვლება დროთა განმავლობაში, ამიტომ მოძრაობის კანონის დასაზუსტებლად აუცილებელია ფუნქციის ტიპის მითითება.

მოძრაობა, ელემენტარული მოძრაობა
მოდით, წერტილი M გადავიდეს A-დან B-მდე AB მოსახვევი ბილიკის გასწვრივ. საწყის მომენტში მისი რადიუსის ვექტორი ტოლია

აჩქარება. ნორმალური და ტანგენციალური აჩქარება
წერტილის მოძრაობას ასევე ახასიათებს აჩქარება — სიჩქარის ცვლილების სიჩქარე. თუ წერტილის სიჩქარე თვითნებური დროისთვის

წინ მოძრაობა
ხისტი სხეულის მექანიკური მოძრაობის უმარტივესი ტიპია ტრანსლაციის მოძრაობა, რომლის დროსაც სხეულის ნებისმიერი ორი წერტილის დამაკავშირებელი სწორი ხაზი მოძრაობს სხეულთან და რჩება პარალელურად | მისი

ინერციის კანონი
კლასიკური მექანიკა ემყარება ნიუტონის სამ კანონს, რომლებიც ჩამოყალიბებულია მის მიერ 1687 წელს გამოქვეყნებულ ნარკვევში „ბუნებრივი ფილოსოფიის მათემატიკური პრინციპები“. ეს კანონები გენიოსის შედეგი იყო

ინერციული საცნობარო ჩარჩო
ცნობილია, რომ მექანიკური მოძრაობა ფარდობითია და მისი ბუნება დამოკიდებულია საცნობარო სისტემის არჩევანზე. ნიუტონის პირველი კანონი არ მოქმედებს ყველა მითითების ჩარჩოში. მაგალითად, გლუვ ზედაპირზე მწოლიარე სხეულები

წონა. ნიუტონის მეორე კანონი
დინამიკის მთავარი ამოცანაა სხეულების მოძრაობის მახასიათებლების განსაზღვრა მათზე მიმართული ძალების გავლენის ქვეშ. გამოცდილებიდან ცნობილია, რომ ძალის გავლენის ქვეშ

მატერიალური წერტილის დინამიკის ძირითადი კანონი
განტოლება აღწერს სასრული განზომილების სხეულის მოძრაობის ცვლილებას ძალის გავლენის ქვეშ დეფორმაციის არარსებობის შემთხვევაში და თუ ის

ნიუტონის მესამე კანონი
დაკვირვებები და ექსპერიმენტები მიუთითებს იმაზე, რომ ერთი სხეულის მექანიკური მოქმედება მეორეზე ყოველთვის ურთიერთქმედებაა. თუ სხეული 2 მოქმედებს სხეულზე 1, მაშინ სხეული 1 აუცილებლად ეწინააღმდეგება მათ

გალილეის გარდაქმნები
ისინი შესაძლებელს ხდიან კინემატიკური სიდიდეების განსაზღვრას ერთი ინერციული საცნობარო სისტემიდან მეორეზე გადასვლისას. Მოდი ავიღოთ

გალილეოს ფარდობითობის პრინციპი
ნებისმიერი წერტილის აჩქარება ყველა საცნობარო სისტემაში, რომელიც მოძრაობს ერთმანეთთან სწორხაზოვნად და ერთნაირად ერთნაირად:

კონსერვაციის რაოდენობა
ნებისმიერი სხეული ან სხეულთა სისტემა არის მატერიალური წერტილების ან ნაწილაკების ერთობლიობა. ასეთი სისტემის მდგომარეობა დროის გარკვეულ მომენტში მექანიკაში განისაზღვრება კოორდინატების და სიჩქარის მითითებით.

მასის ცენტრი
ნაწილაკების ნებისმიერ სისტემაში შეგიძლიათ იპოვოთ წერტილი, რომელსაც მასის ცენტრი ეწოდება

კონსერვატიული ძალები
თუ სივრცის თითოეულ წერტილში ძალა მოქმედებს იქ მოთავსებულ ნაწილაკზე, ამბობენ, რომ ნაწილაკი არის ძალების ველში, მაგალითად, მიზიდულობის, გრავიტაციის, კულონის და სხვა ძალების ველში. ველი

ცენტრალური ძალები
ყველა ძალის ველი გამოწვეულია კონკრეტული სხეულის ან სხეულთა სისტემის მოქმედებით. ამ ველში ნაწილაკზე მოქმედი ძალა დაახლოებით

ნაწილაკების პოტენციური ენერგია ძალის ველში
ის ფაქტი, რომ კონსერვატიული ძალის მოქმედება (სტაციონარული ველისთვის) დამოკიდებულია მხოლოდ ნაწილაკების საწყის და საბოლოო პოზიციებზე ველში, საშუალებას გვაძლევს შემოვიტანოთ პოტენციალის მნიშვნელოვანი ფიზიკური კონცეფცია.

კავშირი პოტენციურ ენერგიასა და ძალას შორის კონსერვატიული ველისთვის
ნაწილაკების ურთიერთქმედება გარემომცველ სხეულებთან შეიძლება აღწერილი იყოს ორი გზით: ძალის კონცეფციის გამოყენებით ან პოტენციური ენერგიის კონცეფციის გამოყენებით. პირველი მეთოდი უფრო ზოგადია, რადგან ეს ასევე ეხება ძალებს

ნაწილაკების კინეტიკური ენერგია ძალის ველში
დაე, მასის ნაწილაკი ძალით მოძრაობდეს

ნაწილაკების მთლიანი მექანიკური ენერგია
ცნობილია, რომ ნაწილაკების კინეტიკური ენერგიის ზრდა ძალის ველში მოძრაობისას უდრის ნაწილაკზე მოქმედი ყველა ძალის ელემენტარულ მუშაობას:

ნაწილაკების მექანიკური ენერგიის შენარჩუნების კანონი
გამონათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ კონსერვატიული ძალების სტაციონარულ ველში ნაწილაკების მთლიანი მექანიკური ენერგია შეიძლება შეიცვალოს.

კინემატიკა
თქვენ შეგიძლიათ თქვენი სხეულის როტაცია გარკვეული კუთხით

ნაწილაკების იმპულსი. ძალაუფლების მომენტი
ენერგიისა და იმპულსის გარდა, არსებობს კიდევ ერთი ფიზიკური სიდიდე, რომელთანაც დაკავშირებულია კონსერვაციის კანონი - ეს არის კუთხოვანი იმპულსი. ნაწილაკების კუთხური იმპულსი

იმპულსის მომენტი და ძალის მომენტი ღერძის გარშემო
ავიღოთ თვითნებური ფიქსირებული ღერძი ჩვენთვის საინტერესო საცნობარო სისტემაში

სისტემის კუთხური იმპულსის შენარჩუნების კანონი
განვიხილოთ სისტემა, რომელიც შედგება ორი ურთიერთმოქმედი ნაწილაკისგან, რომლებზეც ასევე მოქმედებს გარე ძალები და

ამრიგად, ნაწილაკების დახურული სისტემის კუთხური იმპულსი მუდმივი რჩება და დროთა განმავლობაში არ იცვლება
ეს მართალია ინერციული საცნობარო სისტემის ნებისმიერ წერტილზე: . სისტემის ცალკეული ნაწილების იმპულსის მომენტები მ

ხისტი სხეულის ინერციის მომენტი
განვიხილოთ მყარი სხეული, რომელსაც შეუძლია

ხისტი სხეულის ბრუნვის დინამიკის განტოლება
ხისტი სხეულის ბრუნვის დინამიკის განტოლება შეიძლება მიღებულ იქნას თვითნებური ღერძის გარშემო მბრუნავი ხისტი სხეულის მომენტების განტოლების ჩაწერით.

მბრუნავი სხეულის კინეტიკური ენერგია
განვიხილოთ აბსოლუტურად ხისტი სხეული, რომელიც ბრუნავს მასში გამავალი ფიქსირებული ღერძის გარშემო. დავყოთ იგი მცირე მოცულობითა და მასით ნაწილაკებად

ხისტი სხეულის ბრუნვის მუშაობა
თუ სხეული ძალით ბრუნავს

ინერციის ცენტრიდანული ძალა
განვიხილოთ დისკი, რომელიც ბრუნავს ბურთთან ერთად სპიკზე დაყენებულ ზამბარაზე, სურ. 5.3. ბურთი მდებარეობს

კორიოლის ძალა
როდესაც სხეული მოძრაობს მბრუნავ CO-სთან შედარებით, გარდა ამისა, ჩნდება სხვა ძალა - კორიოლისის ძალა ან კორიოლისის ძალა.

მცირე რყევები
განვიხილოთ მექანიკური სისტემა, რომლის პოზიციის დადგენა შესაძლებელია ერთი სიდიდის გამოყენებით, როგორიცაა x. ამ შემთხვევაში ამბობენ, რომ სისტემას აქვს თავისუფლების ერთი ხარისხი. x-ის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს

ჰარმონიული ვიბრაციები
ნიუტონის მე-2 კანონის განტოლებას ფორმის კვაზი-ელასტიური ძალისთვის ხახუნის ძალების არარსებობის შემთხვევაში აქვს ფორმა:

მათემატიკის გულსაკიდი
ეს არის მატერიალური წერტილი, რომელიც ჩამოკიდებულია სიგრძის გაუწელვებელ ძაფზე, რხევა ვერტიკალურ სიბრტყეში.

ფიზიკური გულსაკიდი
ეს არის მყარი სხეული, რომელიც ვიბრირებს სხეულთან დაკავშირებული ფიქსირებული ღერძის გარშემო. ღერძი პერპენდიკულარულია ფიგურაზე და

დამსხვრეული რხევები
რეალურ რხევად სისტემაში არსებობენ წინააღმდეგობის ძალები, რომელთა მოქმედება იწვევს სისტემის პოტენციური ენერგიის დაქვეითებას და რხევები ჩაქრება.უმარტივეს შემთხვევაში

თვითრხევები
დამსხვრეული რხევების დროს სისტემის ენერგია თანდათან მცირდება და რხევები ჩერდება. იმისათვის, რომ ისინი დაუცველები იყვნენ, საჭიროა გარკვეული მომენტებში სისტემის ენერგიის შევსება გარედან.

იძულებითი ვიბრაციები
თუ რხევითი სისტემა, წინააღმდეგობის ძალების გარდა, ექვემდებარება გარეგანი პერიოდული ძალის მოქმედებას, რომელიც იცვლება ჰარმონიული კანონის მიხედვით.

რეზონანსი
იძულებითი რხევების ამპლიტუდის დამოკიდებულების მრუდი იწვევს იმ ფაქტს, რომ გარკვეული კონკრეტული სისტემისთვის

ტალღის გავრცელება ელასტიურ გარემოში
თუ რხევის წყარო მოთავსებულია ნებისმიერ ადგილას ელასტიურ გარემოში (მყარი, თხევადი, აირისებრი), მაშინ ნაწილაკებს შორის ურთიერთქმედების გამო რხევა გავრცელდება გარემოში ნაწილაკებიდან საათამდე.

სიბრტყისა და სფერული ტალღების განტოლება
ტალღის განტოლება გამოხატავს რხევადი ნაწილაკების გადაადგილების დამოკიდებულებას მის კოორდინატებზე,

ტალღის განტოლება
ტალღის განტოლება არის გამოსავალი დიფერენციალური განტოლებისა, რომელსაც ეწოდება ტალღის განტოლება. მისი დასადგენად, განტოლებიდან ვპოულობთ მეორე ნაწილობრივ წარმოებულებს დროისა და კოორდინატების მიმართ

სისტემის მასის ცენტრი არის წერტილი რადიუსის ვექტორით

მასის უწყვეტი განაწილებისთვის  სიმკვრივით
. თუ სისტემის თითოეულ ნაწილაკზე მიმართული გრავიტაციული ძალები მიმართულია ერთი გზა, მაშინ მასის ცენტრი ემთხვევა სიმძიმის ცენტრს. Მაგრამ თუ
არა პარალელურად, მაშინ მასის ცენტრი და სიმძიმის ცენტრი არ ემთხვევა ერთმანეთს.

დროის წარმოებულის აღება , ვიღებთ:

იმათ. სისტემის მთლიანი იმპულსი უდრის მისი მასისა და მასის ცენტრის სიჩქარის ნამრავლს.

ამ გამოთქმის ჩანაცვლებით მთლიანი იმპულსის ცვლილების კანონით, ჩვენ ვპოულობთ:

სისტემის მასის ცენტრი მოძრაობს ნაწილაკების მსგავსად, რომელშიც კონცენტრირებულია სისტემის მთელი მასა და რომელსაც მიღებული მასა ედება. გარეძალა

ზე პროგრესულიმოძრაობისას ხისტი სხეულის ყველა წერტილი მოძრაობს ისევე, როგორც მასის ცენტრი (იგივე ტრაექტორიების გასწვრივ), ამიტომ, მთარგმნელობითი მოძრაობის აღსაწერად, საკმარისია ჩაწეროთ და ამოხსნათ მასის ცენტრის მოძრაობის განტოლება. .

იმიტომ რომ
, შემდეგ მასის ცენტრი დახურული სისტემაუნდა შეინარჩუნოს მოსვენების მდგომარეობა ან ერთგვაროვანი წრფივი მოძრაობა, ე.ი. =კონსტ. მაგრამ ამავდროულად, მთელ სისტემას შეუძლია ბრუნოს, დაფრინდეს, აფეთქდეს და ა.შ. მოქმედების შედეგად შინაგანი ძალები.

1. რეაქტიული მოძრაობა. მეშჩერსკის განტოლება

რეაქტიულიეწოდება სხეულის მოძრაობას, რომელშიც ის ხდება შეერთებაან გადაყრამასები. მოძრაობის პროცესში ხდება სხეულის მასის ცვლილება: dt დროში m მასის სხეული მიმაგრებულია (შთანთქავს) ან უარყოფს (გამოყოფს) dm მასას სიჩქარით. სხეულთან შედარებით; პირველ შემთხვევაში dm>0, მეორეში dm<0.

განვიხილოთ ეს მოძრაობა რაკეტის მაგალითის გამოყენებით. გადავიდეთ K ინერციულ საცნობარო ჩარჩოზე, რომელიც დროის მოცემულ მომენტში t მოძრაობს იმავე სიჩქარით , იგივე რაკეტა - ამას ISO ჰქვია კომპანიის გაწევა– ამ საცნობარო ჩარჩოში რაკეტა ამჟამად ტ ისვენებს(რაკეტის სიჩქარე ამ სისტემაში =0). თუ რაკეტაზე მოქმედი გარე ძალების ჯამი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ რაკეტის მოძრაობის განტოლება K სისტემაში, მაგრამ რადგან ყველა ISO ექვივალენტურია, მაშინ K სისტემაში განტოლებას ექნება იგივე ფორმა:

ეს - მეშჩერსკის განტოლება, აღწერს მოძრაობას ნებისმიერი სხეულიცვლადი მასით).

განტოლებაში m მასა არის ცვლადი სიდიდე და ის არ შეიძლება ჩაითვალოს წარმოებული ნიშნის ქვეშ. განტოლების მარჯვენა მხარეს მეორე წევრი ეწოდება რეაქტიული ძალა

რაკეტისთვის რეაქტიული ძალა წევის ძალის როლს ასრულებს, მაგრამ მასის dm/dt>0 დამატების შემთხვევაში, რეაქტიული ძალა ასევე იქნება დამუხრუჭების ძალა (მაგალითად, როდესაც რაკეტა მოძრაობს ღრუბელში. კოსმოსური მტვერი).

1. ნაწილაკების სისტემის ენერგია

ნაწილაკების სისტემის ენერგია შედგება კინეტიკური და პოტენციალისგან. სისტემის კინეტიკური ენერგია არის სისტემის ყველა ნაწილაკების კინეტიკური ენერგიის ჯამი.

და არის, განმარტების მიხედვით, რაოდენობა დანამატი(იმპულსის მსგავსად).

სიტუაცია განსხვავებულია სისტემის პოტენციურ ენერგიასთან დაკავშირებით. პირველ რიგში, ურთიერთქმედების ძალები მოქმედებს სისტემის ნაწილაკებს შორის
. ამიტომA ij =-dU ij, სადაც U ij არის i-ე და j-ე ნაწილაკების ურთიერთქმედების პოტენციური ენერგია. სისტემის ყველა ნაწილაკზე U ij-ის შეჯამებით ვხვდებით ე.წ საკუთარი პოტენციური ენერგიასისტემები:

აუცილებელია, რომ სისტემის საკუთარი პოტენციური ენერგია დამოკიდებულია მხოლოდ მის კონფიგურაციაზე.უფრო მეტიც, ეს რაოდენობა არ არის დანამატი.

მეორეც, სისტემის თითოეულ ნაწილაკზე, ზოგადად რომ ვთქვათ, ასევე გავლენას ახდენს გარე ძალები. თუ ეს ძალები კონსერვატიულია, მაშინ მათი მუშაობა უდრის გარე პოტენციური ენერგიის შემცირებას A=-dU ext, სადაც

სადაც U i არის i-ე ნაწილაკის პოტენციური ენერგია გარე ველში. ეს დამოკიდებულია ყველა ნაწილაკების პოზიციებზე გარე ველში და არის დანამატი.

ამრიგად, ნაწილაკების სისტემის მთლიანი მექანიკური ენერგია, რომელიც მდებარეობს გარე პოტენციურ ველში, განისაზღვრება როგორც

E syst =K syst +U int +U ext

გაკვეთილი "მასობრივი ცენტრი"

განრიგი: 2 გაკვეთილი

სამიზნე:გააცანით მოსწავლეებს „მასების ცენტრის“ ცნება და მისი თვისებები.

აღჭურვილობა:მუყაოს ან პლაივუდისგან დამზადებული ფიგურები, სალათი, კალამი, ფანქრები.

Გაკვეთილის გეგმა

გაკვეთილის ეტაპების დროის მეთოდები და ტექნიკა

I გაცნობა მოსწავლეებისთვის 10 ფრონტალური გამოკითხვა, მოსწავლეთა მუშაობა დაფაზე.

გაკვეთილის პრობლემაზე

II. რაღაც ახლის სწავლა 15-20 მასწავლებლის მოთხრობა, პრობლემის გადაჭრა,

მასალა: 10 ექსპერიმენტული დავალება

III მოსწავლის ახალი 10 შეტყობინების პრაქტიკა

მასალა: 10-15 პრობლემის გადაჭრა,

15 ფრონტალური გამოკითხვა

IV დასკვნები. საშინაო დავალება 5-10 მასწავლებლის მიერ მასალის ზეპირი შეჯამება.

დავალება დაფაზე წერა

გაკვეთილების დროს.

მე გამეორება 1. ფრონტალური გამოკვლევა: ძალის მხრები, ძალის მომენტი, წონასწორობის მდგომარეობა, წონასწორობის სახეები.

ეპიგრაფი: თითოეული სხეულის სიმძიმის ცენტრი არის გარკვეული წერტილი, რომელიც მდებარეობს მის შიგნით - ისეთი, რომ თუ გონებრივად ჩამოკიდებთ სხეულს მისგან, მაშინ ის რჩება მოსვენებულ მდგომარეობაში და ინარჩუნებს თავდაპირველ მდგომარეობას.

II. ახსნაახალი მასალა

მიეცით სხეული ან სხეულთა სისტემა. გონებრივად დავყოთ სხეული თვითნებურად პატარა ნაწილებად m1, m2, m3 მასებით... თითოეული ეს ნაწილი შეიძლება მატერიალურ წერტილად მივიჩნიოთ. i-ე მატერიალური წერტილის პოზიცია სივრცეში mi მასით განისაზღვრება რადიუსის ვექტორით რმე(ნახ. 1.1). სხეულის მასა არის მისი ცალკეული ნაწილების მასების ჯამი: m = ∑ mi.

სხეულის მასის ცენტრი (სხეულების სისტემა) არის ის წერტილი C, რომლის რადიუსის ვექტორი განისაზღვრება ფორმულით.

რ= 1/მ∙∑მი რმე

შეიძლება აჩვენოს, რომ მასის ცენტრის პოზიცია სხეულთან მიმართებაში არ არის დამოკიდებული საწყისი O-ს არჩევანზე, ე.ი. ზემოთ მოცემული მასის ცენტრის განმარტება ცალსახა და სწორია.

ერთგვაროვანი სიმეტრიული სხეულების მასის ცენტრი მდებარეობს მათ გეომეტრიულ ცენტრში ან სიმეტრიის ღერძზე; ბრტყელი სხეულის მასის ცენტრი თვითნებური სამკუთხედის სახით მდებარეობს მისი შუალედების გადაკვეთაზე.

პრობლემის გადაწყვეტა

პრობლემა 1. მსუბუქ ღეროზე მიმაგრებულია ერთგვაროვანი ბურთულები m1 = 3 კგ, m2 = 2 კგ, m3 = 6 კგ და m4 = 3 კგ (ნახ. 1.2). მანძილი ნებისმიერი ახლომდებარე ბურთის ცენტრებს შორის

a = 10 სმ იპოვეთ სიმძიმის ცენტრის პოზიცია და სტრუქტურის მასის ცენტრი.

გადაწყვეტა. სტრუქტურის სიმძიმის ცენტრის პოზიცია ბურთებთან შედარებით არ არის დამოკიდებული ღეროს ორიენტაციაზე სივრცეში. პრობლემის გადასაჭრელად მოსახერხებელია ჯოხის ჰორიზონტალურად განთავსება, როგორც ეს ნაჩვენებია 2-ზე. სიმძიმის ცენტრი იყოს ღეროზე მარცხენა ბურთის ცენტრიდან L დაშორებით, ე.ი. t. A-დან. სიმძიმის ცენტრში გამოიყენება ყველა გრავიტაციული ძალის შედეგი და მისი მომენტი A ღერძთან მიმართებაში ტოლია ბურთების სიმძიმის მომენტების ჯამის. გვაქვს r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,

R L = m2gα + m 3 g 2 a + m 4 g 3 a.

აქედან გამომდინარე L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 სმ

პასუხი. სიმძიმის ცენტრი ემთხვევა მასის ცენტრს და მდებარეობს C წერტილში მარცხენა ბურთის ცენტრიდან L = 16,4 სმ მანძილზე.

ირკვევა, რომ სხეულის მასის ცენტრს (ან სხეულთა სისტემას) აქვს მრავალი შესანიშნავი თვისება. დინამიკაში ნაჩვენებია, რომ თვითნებურად მოძრავი სხეულის იმპულსი უდრის სხეულის მასისა და მისი მასის ცენტრის სიჩქარის ნამრავლს და რომ მასის ცენტრი მოძრაობს ისე, თითქოს სხეულზე მოქმედი ყველა გარეგანი ძალა იყოს გამოყენებული. მასის ცენტრში და მასში მთელი სხეულის მასა იყო კონცენტრირებული.

დედამიწის გრავიტაციულ ველში მდებარე სხეულის სიმძიმის ცენტრს ეწოდება სხეულის ყველა ნაწილზე მოქმედი ყველა სიმძიმის ძალის შედეგის გამოყენების წერტილი. ამ შედეგს ეწოდება სხეულზე მოქმედი მიზიდულობის ძალა. სხეულის სიმძიმის ცენტრში გამოყენებული სიმძიმის ძალა იგივე გავლენას ახდენს სხეულზე, როგორც სიმძიმის ძალები, რომლებიც მოქმედებენ სხეულის ცალკეულ ნაწილებზე.

საინტერესო შემთხვევაა, როდესაც სხეულის ზომა დედამიწის ზომაზე გაცილებით მცირეა. მაშინ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ პარალელური გრავიტაციული ძალები მოქმედებენ სხეულის ყველა ნაწილზე, ე.ი. სხეული ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველშია. პარალელურად და ერთნაირად მიმართულ ძალებს ყოველთვის აქვთ შედეგიანი ძალა, რაც შეიძლება დადასტურდეს. მაგრამ სხეულის გარკვეულ პოზიციაზე სივრცეში, შესაძლებელია მიუთითოთ მხოლოდ სიმძიმის ყველა პარალელური ძალის შედეგის მოქმედების ხაზი; მისი გამოყენების წერტილი ამ დროისთვის განუსაზღვრელი დარჩება, რადგან მყარი სხეულისთვის ნებისმიერი ძალა შეიძლება გადავიდეს მისი მოქმედების ხაზის გასწვრივ. რაც შეეხება განაცხადის პუნქტს?

შეიძლება აჩვენოს, რომ სხეულის ნებისმიერი პოზიციისთვის სიმძიმის ერთგვაროვან ველში, სხეულის ცალკეულ ნაწილებზე მოქმედი ყველა გრავიტაციული ძალის შედეგის მოქმედების ხაზი გადის იმავე წერტილში, სხეულთან შედარებით უმოძრაოდ. ამ დროს გამოიყენება თანაბარი ძალა და წერტილი თავად იქნება სხეულის სიმძიმის ცენტრი.

სიმძიმის ცენტრის პოზიცია სხეულთან შედარებით დამოკიდებულია მხოლოდ სხეულის ფორმაზე და სხეულში მასის განაწილებაზე და არ არის დამოკიდებული სხეულის პოზიციაზე სიმძიმის ერთგვაროვან ველში. სიმძიმის ცენტრი სულაც არ არის განთავსებული თავად სხეულში. მაგალითად, ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში რგოლს აქვს სიმძიმის ცენტრი მის გეომეტრიულ ცენტრში.

ერთგვაროვან სიმძიმის ველში, სხეულის სიმძიმის ცენტრი ემთხვევა მის მასის ცენტრს.

შემთხვევების აბსოლუტურ უმრავლესობაში ერთი ტერმინი შეიძლება უმტკივნეულოდ შეიცვალოს მეორეთი.

მაგრამ: სხეულის მასის ცენტრი არსებობს გრავიტაციული ველის არსებობის მიუხედავად და სიმძიმის ცენტრზე შეგვიძლია ვისაუბროთ მხოლოდ სიმძიმის არსებობისას.

მოსახერხებელია სხეულის სიმძიმის ცენტრის და, შესაბამისად, მასის ცენტრის ადგილმდებარეობის პოვნა, სხეულის სიმეტრიის გათვალისწინებით და ძალის მომენტის კონცეფციის გამოყენებით.

თუ ძალის მკლავი ნულია, მაშინ ძალის მომენტი ნულის ტოლია და ასეთი ძალა არ იწვევს სხეულის ბრუნვის მოძრაობას.

შესაბამისად, თუ ძალის მოქმედების ხაზი გადის მასის ცენტრს, მაშინ ის მოძრაობს ტრანსლაციურად.

ამრიგად, თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ ნებისმიერი ბრტყელი ფიგურის მასის ცენტრი. ამისათვის თქვენ უნდა დააფიქსიროთ იგი ერთ წერტილში, რაც თავისუფლად ბრუნვის შესაძლებლობას აძლევს. იგი დამონტაჟდება ისე, რომ სიმძიმის ძალა, რომელიც აქცევს მას, გაივლის მასის ცენტრში. იმ ადგილას, სადაც ფიგურა არის დამაგრებული, ჩამოკიდეთ ძაფი დატვირთვით (თხილით), დახაზეთ ხაზი საკიდის გასწვრივ (ანუ სიმძიმის ხაზი). გავიმეოროთ ნაბიჯები, დავაფიქსიროთ ფიგურა სხვა წერტილში. სიმძიმის ძალების მოქმედების ხაზების კვეთა არის სხეულის მასის ცენტრი

ექსპერიმენტული დავალება:განსაზღვრეთ ბრტყელი ფიგურის სიმძიმის ცენტრი (მოსწავლეების მიერ ადრე მომზადებული ფიგურების საფუძველზე მუყაოს ან პლაივუდისგან).

ინსტრუქცია: დააფიქსირეთ ფიგურა სამფეხაზე. ფიგურის ერთ-ერთი კუთხიდან ვკიდებთ ქლიავის ხაზს. ჩვენ ვხატავთ სიმძიმის მოქმედების ხაზს. დაატრიალეთ ფიგურა და გაიმეორეთ მოქმედება. მასის ცენტრი დევს სიმძიმის მოქმედების ხაზების გადაკვეთის წერტილში.

მოსწავლეებს, რომლებიც სწრაფად ასრულებენ დავალებას, შეიძლება დაევალონ დამატებითი დავალება: მიამაგრონ წონა (ლითონის ჭანჭიკი) ფიგურას და დაადგინონ მასის ცენტრის ახალი პოზიცია. გამოიტანე დასკვნა.

"ცენტრების" ღირსშესანიშნავი თვისებების შესწავლა, რომლებიც ორ ათას წელზე მეტი ხნისაა, სასარგებლო აღმოჩნდა არა მხოლოდ მექანიკისთვის - მაგალითად, მანქანებისა და სამხედრო აღჭურვილობის დიზაინში, სტრუქტურების მდგრადობის გამოთვლაში ან გამოყვანისთვის. რეაქტიული მანქანების მოძრაობის განტოლებები. ნაკლებად სავარაუდოა, რომ არქიმედესს შეეძლო წარმოედგინა, რომ მასის ცენტრის კონცეფცია ძალიან მოსახერხებელი იქნებოდა ბირთვული ფიზიკის ან ელემენტარული ნაწილაკების ფიზიკის კვლევისთვის.

სტუდენტური შეტყობინებები:

თავის ნაშრომში „ბრტყელი სხეულების წონასწორობის შესახებ“ არქიმედესმა გამოიყენა სიმძიმის ცენტრის კონცეფცია მისი რეალურად განსაზღვრის გარეშე. როგორც ჩანს, ის პირველად შემოიღო არქიმედეს უცნობმა წინამორბედმა ან მისმა, მაგრამ უფრო ადრეულ ნაშრომში, რომელიც ჩვენამდე არ მოაღწია.

ჩვიდმეტი გრძელი საუკუნე უნდა გასულიყო, სანამ მეცნიერებამ არქიმედეს სიმძიმის ცენტრების კვლევას ახალი შედეგები დაამატა. ეს მოხდა მაშინ, როდესაც ლეონარდო და ვინჩიმ მოახერხა ტეტრაედრის სიმძიმის ცენტრის პოვნა. ის, რომელიც ფიქრობდა იტალიური დახრილი კოშკების სტაბილურობაზე, მათ შორის პიზის კოშკზე, მივიდა "თეორემამდე საყრდენი პოლიგონის შესახებ".

არქიმედეს მიერ აღმოჩენილი მცურავი სხეულების წონასწორობის პირობები შემდგომში ხელახლა უნდა აღმოჩენილიყო. ეს გააკეთა მე-16 საუკუნის ბოლოს ჰოლანდიელმა მეცნიერმა სიმონ სტევინმა, რომელმაც სიმძიმის ცენტრის კონცეფციასთან ერთად გამოიყენა ცნება „წნევის ცენტრი“ - წყლის წნევის ძალის გამოყენების წერტილი. სხეულის გარშემო.

ტორიჩელის პრინციპი (და მასის ცენტრის გამოთვლის ფორმულებიც მის სახელს ატარებს), როგორც ირკვევა, მოელოდა მისმა მასწავლებელმა გალილეომ. თავის მხრივ, ეს პრინციპი დაედო საფუძვლად ჰაიგენსის კლასიკურ ნაშრომს ქანქარიან საათებზე და ასევე გამოიყენებოდა პასკალის ცნობილ ჰიდროსტატიკურ კვლევებში.

მეთოდი, რომელიც ეილერს საშუალებას აძლევდა შეესწავლა ხისტი სხეულის მოძრაობა ნებისმიერი ძალების მოქმედებით, იყო ამ მოძრაობის დაშლა სხეულის მასის ცენტრის გადაადგილებად და მასში გამავალი ღერძების გარშემო ბრუნვაში.

ობიექტების მუდმივ მდგომარეობაში შესანარჩუნებლად, როდესაც მათი საყრდენი მოძრაობს, რამდენიმე საუკუნის განმავლობაში გამოიყენება ეგრეთ წოდებული კარდანის სუსპენზია - მოწყობილობა, რომელშიც სხეულის სიმძიმის ცენტრი მდებარეობს ღერძების ქვემოთ, რომლის გარშემოც მას შეუძლია ბრუნვა. მაგალითია გემის ნავთის ნათურა.

მიუხედავად იმისა, რომ მთვარეზე გრავიტაცია ექვსჯერ ნაკლებია, ვიდრე დედამიწაზე, შესაძლებელი იქნებოდა იქ სიმაღლეზე ნახტომის რეკორდის „მხოლოდ“ ოთხჯერ გაზრდა. ამ დასკვნამდე მიგვიყვანს სპორტსმენის სხეულის სიმძიმის ცენტრის სიმაღლის ცვლილებებზე დაფუძნებული გამოთვლები.

თავისი ღერძის გარშემო ყოველდღიური ბრუნვისა და მზის გარშემო წლიური ბრუნვის გარდა, დედამიწა მონაწილეობს სხვა წრიულ მოძრაობაში. მთვარესთან ერთად ის „ტრიალებს“ მასის საერთო ცენტრის გარშემო, რომელიც მდებარეობს დედამიწის ცენტრიდან დაახლოებით 4700 კილომეტრში.

დედამიწის ზოგიერთი ხელოვნური თანამგზავრი აღჭურვილია დასაკეცი ღეროთი რამდენიმე ან თუნდაც ათობით მეტრის სიგრძით, ბოლოში შეწონილი (ე.წ. გრავიტაციული სტაბილიზატორი). ფაქტია, რომ წაგრძელებული თანამგზავრი ორბიტაზე გადაადგილებისას მიდრეკილია ბრუნოს თავისი მასის ცენტრის გარშემო ისე, რომ მისი გრძივი ღერძი ვერტიკალური იყოს. მაშინ ის, ისევე როგორც მთვარე, ყოველთვის იქნება დედამიწისკენ ერთი მხარით.

ზოგიერთი ხილული ვარსკვლავის მოძრაობაზე დაკვირვება მიუთითებს, რომ ისინი ორობითი სისტემების ნაწილია, რომლებშიც „ციური პარტნიორები“ ბრუნავენ საერთო მასის ცენტრის გარშემო. ასეთ სისტემაში ერთ-ერთი უხილავი თანამგზავრი შეიძლება იყოს ნეიტრონული ვარსკვლავი ან, შესაძლოა, შავი ხვრელი.

მასწავლებლის განმარტება

მასის ცენტრის თეორემა: სხეულის მასის ცენტრს შეუძლია შეცვალოს თავისი პოზიცია მხოლოდ გარეგანი ძალების გავლენის ქვეშ.

თეორემის დასკვნა მასის ცენტრის შესახებ: სხეულთა დახურული სისტემის მასის ცენტრი რჩება უმოძრაოდ სისტემის სხეულების ნებისმიერი ურთიერთქმედების დროს.

პრობლემის გადაჭრა (დაფაზე)

პრობლემა 2. ნავი უძრავ წყალში დგას. ნავში მყოფი მშვილდიდან მშვილდისკენ მოძრაობს. რა მანძილზე გადაადგილდება h ნავი, თუ ადამიანის მასა არის m = 60 კგ, ნავის მასა M = 120 კგ, ხოლო ნავის სიგრძე L = 3 მ? წყლის წინააღმდეგობის უგულებელყოფა.

გადაწყვეტა. მოდით გამოვიყენოთ პრობლემის პირობა, რომ მასის ცენტრის საწყისი სიჩქარე ნულის ტოლია (ნავი და ადამიანი თავდაპირველად ისვენებდნენ) და არ არის წყლის წინააღმდეგობა (არ მოქმედებენ გარე ძალები ჰორიზონტალური მიმართულებით ადამიანზე. ნავი” სისტემა). შესაბამისად, სისტემის მასის ცენტრის კოორდინატი ჰორიზონტალური მიმართულებით არ შეცვლილა. სურათი 3 გვიჩვენებს ნავისა და პიროვნების საწყის და საბოლოო პოზიციებს. მასის ცენტრის საწყისი კოორდინატი x0 = (mL+ML/2)/(m+M)

მასის ცენტრის საბოლოო კოორდინატი x = (mh+M(h+L/2))/(m+M)

x0 = x-ის ტოლობით ვპოულობთ h= mL/(m+M) =1m

დამატებით:პრობლემების კრებული სტეპანოვა გ.ნ. No393

მასწავლებლის განმარტება

წონასწორობის პირობების გახსენებისას აღმოვაჩინეთ, რომ

საყრდენი ფართობის მქონე სხეულებისთვის სტაბილური წონასწორობა შეინიშნება, როდესაც სიმძიმის მოქმედების ხაზი გადის ფუძეს.

შედეგი: რაც უფრო დიდია საყრდენი ფართობი და რაც უფრო დაბალია სიმძიმის ცენტრი, მით უფრო სტაბილურია წონასწორობის პოზიცია.

დემონსტრაცია

უხეშ დაფაზე მოათავსეთ საბავშვო სათამაშო სალათი (ვანკა - ვსტანკა) და ასწიეთ დაფის მარჯვენა კიდე. რა მიმართულებით გადაიხრება სათამაშოს „თავი“ წონასწორობის შენარჩუნებისას?

ახსნა: თასმის სიმძიმის ცენტრი C მდებარეობს "ტორსის" სფერული ზედაპირის O გეომეტრიული ცენტრის ქვემოთ. წონასწორობის მდგომარეობაში სათამაშოს წერტილი C და A შეხება დახრილი სიბრტყით უნდა იყოს იმავე ვერტიკალურზე; მაშასადამე, ჭურჭლის „თავი“ მარცხნივ გადაიხრება

როგორ ავხსნათ წონასწორობის შენარჩუნება ფიგურაში ნაჩვენები შემთხვევაში?

ახსნა: ფანქარ-დანის სისტემის სიმძიმის ცენტრი დევს საყრდენი წერტილის ქვემოთ

IIIკონსოლიდაცია.ფრონტალური გამოკვლევა

კითხვები და ამოცანები

1. როდესაც სხეული ეკვატორიდან პოლუსზე გადადის, მასზე მოქმედი მიზიდულობის ძალა იცვლება. ეს გავლენას ახდენს სხეულის სიმძიმის ცენტრის პოზიციაზე?

პასუხი: არა, იმიტომ სხეულის ყველა ელემენტის მიზიდულობის ძალის შედარებითი ცვლილებები ერთნაირია.

2. შესაძლებელია თუ არა „ჰანტელის“ სიმძიმის ცენტრის პოვნა, რომელიც შედგება ორი მასიური ბურთისგან, რომლებიც დაკავშირებულია უწონო ჯოხით, იმ პირობით, რომ „ჰანტელის“ სიგრძე დედამიწის დიამეტრს შეედრება?

პასუხი: არა. სიმძიმის ცენტრის არსებობის პირობა არის გრავიტაციული ველის ერთგვაროვნება. არაერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში, "ჰანტელის" ბრუნვა მისი მასის ცენტრის გარშემო იწვევს იმ ფაქტს, რომ მოქმედების ხაზებს L1 და L2, ბურთებზე მიყენებული მიზიდულობის ძალები, არ აქვთ საერთო წერტილი.

3. რატომ ეცემა მანქანის წინა ნაწილი მკვეთრად დამუხრუჭებისას?

პასუხი: დამუხრუჭებისას გზის მხარეს ბორბლებზე მოქმედებს ხახუნის ძალა, რომელიც ქმნის ბრუნს მანქანის მასის ცენტრის გარშემო.

4. სად არის დონატის სიმძიმის ცენტრი?

პასუხი: ხვრელში!

5. წყალი ასხამენ ცილინდრულ ჭიქაში. როგორ შეიცვლება მინა-წყლის სისტემის სიმძიმის ცენტრის პოზიცია?

პასუხი: სისტემის სიმძიმის ცენტრი ჯერ შემცირდება და შემდეგ გაიზრდება.

6. რა სიგრძის ბოლო უნდა მოიჭრას ერთგვაროვანი ღეროდან ისე, რომ მისი სიმძიმის ცენტრი გადაინაცვლოს ∆ℓ-ით?

პასუხი: სიგრძე 2∆ℓ.

7. ერთგვაროვანი ჯოხი იყო მოხრილი შუაში მარჯვენა კუთხით. სად იყო ახლა მისი სიმძიმის ცენტრი?

პასუხი: O წერტილში - O1O2 სეგმენტის შუა, რომელიც აკავშირებს ღეროს AB და BC მონაკვეთების შუა წერტილებს.

9. სტაციონარული კოსმოსური სადგური არის ცილინდრი. ასტრონავტი იწყებს წრიულ სიარულს სადგურის გარშემო მისი ზედაპირის გასწვრივ. რა მოუვა სადგურს?

პასუხი: თანსადგური დაიწყებს ბრუნვას საპირისპირო მიმართულებით და მისი ცენტრი აღწერს წრეს იმავე მასის ცენტრის გარშემო, როგორც ასტრონავტი.

11. რატომ არის ძნელი საყრდენებზე სიარული?

პასუხი: ჯოხებზე მყოფი ადამიანის სიმძიმის ცენტრი საგრძნობლად იზრდება და მცირდება მისი საყრდენი ფართობი ადგილზე.

12. როდის უადვილდება ბაგირისთვის წონასწორობის შენარჩუნება - თოკის გასწვრივ ნორმალური მოძრაობისას თუ წყლის ვედროებით დატვირთული ძლიერად მოხრილი სხივის ტარებისას?

პასუხი: მეორე შემთხვევაში, ვინაიდან თაიგულებით თოკზე მოსიარულეს მასის ცენტრი უფრო დაბალია, ე.ი. საყრდენთან უფრო ახლოს - თოკი.

IVᲡაშინაო დავალება:(ასრულებენ მსურველები - დავალებები რთულია, ვინც მათ ამოხსნის იღებს "5"-ს).

*1. იპოვეთ ფიგურაში ნაჩვენები ტოლგვერდა უწონო სამკუთხედის წვეროებზე მდებარე ბურთების სისტემის სიმძიმის ცენტრი.

პასუხი: სიმძიმის ცენტრი დგას კუთხის ბისექტრის შუაში, რომლის წვეროზე არის 2 მ მასის ბურთი.

*2. დაფის ხვრელის სიღრმე, რომელშიც ბურთია ჩასმული, არის ბურთის რადიუსის ნახევარი. დაფის ჰორიზონტისკენ მიდრეკილების რა კუთხით გადახტება ბურთი ხვრელიდან?