ორმაგი ინტეგრალების გამოთვლა: თეორია და მაგალითები. მრავალჯერადი ინტეგრალი მრავალჯერადი ინტეგრალი

მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ ოსტროგრადსკის ნაშრომზე მრავალ ინტეგრალზე.

ოსტროგრადსკის ფორმულა სამმაგი ინტეგრალის ორმაგ ინტეგრალად გადაქცევის შესახებ, რომელსაც ჩვეულებრივ ვწერთ ფორმაში

სადაც div A არის A ვექტორის ველის განსხვავება,

An არის A ვექტორის სკალარული ნამრავლი და სასაზღვრო ზედაპირის გარე ნორმალური n-ის ერთეული ვექტორი, მათემატიკური ლიტერატურაში ხშირად მას ადრე უკავშირებდნენ გაუსის და გრინის სახელებს.

ფაქტობრივად, გაუსის ნაშრომში სფეროიდების მიზიდულობის შესახებ, შეგიძლიათ ნახოთ (1) ფორმულის მხოლოდ ძალიან კონკრეტული შემთხვევები, მაგალითად, P=x, Q=R=0 და ა.შ. რაც შეეხება ჯ. გრინს, მისი მუშაობა ელექტროენერგიის თეორიაზე და საერთოდ არ არსებობს (1) ფორმულის მაგნეტიზმი; იგი იღებს სხვა მიმართებას სამმაგ და ორმაგ ინტეგრალებს შორის, კერძოდ გრინის ფორმულა ლაპლასის ოპერატორისთვის, რომელიც შეიძლება დაიწეროს როგორც

რა თქმა უნდა, ფორმულა (1) ასევე შეიძლება გამოვიდეს (2-დან), თუ ვივარაუდებთ

და ფორმულა (2) ზუსტად იგივე გზით შეიძლება მივიღოთ ფორმულიდან (1), მაგრამ გრინს ამის გაკეთება არც უფიქრია.

სადაც მარცხნივ არის ინტეგრალი მოცულობაზე, ხოლო მარჯვნივ არის ინტეგრალი სასაზღვრო ზედაპირზე და ეს არის გარე ნორმალის მიმართულების კოსინუსები.

ოსტროგრადსკის პარიზული ხელნაწერები სრული დარწმუნებით მოწმობს, რომ ინტეგრალური თეორემის (1) აღმოჩენაც და პირველი კომუნიკაციაც მას ეკუთვნის. ის პირველად გამოცხადდა და დადასტურდა, ზუსტად ისე, როგორც ახლა კეთდება „ინტეგრალური კალკულუსის თეორემის დადასტურებაში“, რომელიც წარდგენილ იქნა პარიზის მეცნიერებათა აკადემიაში 1826 წლის 13 თებერვალს, რის შემდეგაც იგი კვლავ ჩამოყალიბდა იმ ნაწილში. „მემუარები მყარ სხეულებში სითბოს გავრცელების შესახებ“, რომელიც ოსტროგრადსკიმ წარმოადგინა 1827 წლის 6 აგვისტოს. „მემუარები“ გადასცეს ფურიეს და პუასონს განსახილველად და ამ უკანასკნელებმა, რა თქმა უნდა, წაიკითხეს ის, როგორც ჩანაწერი პირველ გვერდებზე. ხელნაწერის ორივე ნაწილი მოწმობს. რა თქმა უნდა, პუასონს არც კი უფიქრია თეორემის დამსახურება, რომელიც ოსტროგრადსკის ნაშრომში შეხვდა ელასტიურობის თეორიის შესახებ ნაშრომის წარდგენამდე ორი წლით ადრე.

რაც შეეხება ოსტროგრადსკის და გრინის მრავალ ინტეგრალზე ნამუშევრებს შორის ურთიერთობას, გავიხსენებთ, რომ „სითბოს თეორიის შენიშვნაში“ მიღებულია ფორმულა, რომელიც მოიცავს გრინის საკუთარ ფორმულას, როგორც განსაკუთრებულ შემთხვევას. კოშის ახლა უცნობი სიმბოლიზმი, რომელსაც ოსტროგრადსკი იყენებდა შენიშვნაში, ბოლო დრომდე მალავდა ამ მნიშვნელოვან აღმოჩენას მკვლევარებისგან. რა თქმა უნდა, მისი სახელის მქონე ლაპლასის ოპერატორების ფორმულის აღმოჩენისა და პირველი გამოქვეყნების პატივი 1828 წელს რჩება გრინს.

სამმაგი ინტეგრალის ორმაგ ინტეგრალში გარდაქმნის ფორმულის აღმოჩენამ დაეხმარა ოსტროგრადსკის გადაჭრას n-ნაკეც ინტეგრალის ცვალებადობის პრობლემა, კერძოდ, გამოეყვანა ინტეგრალის გარდაქმნის ზოგადი ფორმულა n-განზომილებიანზე დივერგენციის ტიპის გამოხატულებიდან. დომენი და ინტეგრალი S ზეზედაზე, რომელიც ზღუდავს მას განტოლებით L(x, y, z,…)=0. თუ დავიცავთ წინა აღნიშვნას, მაშინ ფორმულას აქვს ფორმა

თუმცა, ოსტროგრადსკიმ არ გამოიყენა გეომეტრიული გამოსახულებები და ტერმინები, რომლებსაც ჩვენ ვიყენებთ: მრავალგანზომილებიანი სივრცეების გეომეტრია იმ დროს ჯერ არ არსებობდა.

მემუარებში მრავლობითი ინტეგრალების ვარიაციების გამოთვლის შესახებ, განხილულია კიდევ ორი ​​მნიშვნელოვანი საკითხი ასეთი ინტეგრალების თეორიაში. პირველი, ოსტროგრადსკი იღებს ფორმულას ცვლადების ცვლილების მრავალგანზომილებიან ინტეგრალში; მეორეც, პირველად ის იძლევა n-ნაკეც ინტეგრალის გამოთვლის ტექნიკის სრულ და ზუსტ აღწერას n-ჯერადი ინტეგრაციის გამოყენებით თითოეულ ცვლადზე შესაბამის საზღვრებში. დაბოლოს, ამ მემუარში მოცემული ფორმულებიდან ადვილია გამოვიტანოთ დიფერენციაციის ზოგადი წესი მრავალგანზომილებიანი ინტეგრალის პარამეტრთან მიმართებაში, როდესაც ამ პარამეტრზეა დამოკიდებული არა მხოლოდ ინტეგრანტი, არამედ ინტეგრაციის დომენის საზღვარიც. აღნიშნული წესი მემუარებში არსებული ფორმულებიდან გამომდინარეობს ისე ბუნებრივად, რომ მოგვიანებით მათემატიკოსებმა ის ამ მემუარის ერთ-ერთ ფორმულასთანაც კი გააიგივეს.

ოსტროგრადსკიმ სპეციალური ნაშრომი მიუძღვნა მრავალ ინტეგრალში ცვლადების შეცვლას. ორმაგი ინტეგრალისთვის შესაბამისი წესი ფორმალური გარდაქმნების გამოყენებით იქნა მიღებული ეილერის მიერ, სამმაგისთვის - ლაგრანჟის მიერ. თუმცა, მიუხედავად იმისა, რომ ლაგრანჟის შედეგი სწორია, მისი მსჯელობა არ იყო ზუსტი: ის თითქოს გამომდინარეობდა იქიდან, რომ მოცულობის ელემენტები ძველ და ახალ ცვლადებში - კოორდინატებში - ერთმანეთის ტოლია. ოსტროგრადსკიმ თავიდანვე დაუშვა მსგავსი შეცდომა ცვლადების ცვლილების წესის ახლახან ხსენებულ დეივაციაში. სტატიაში „ცვლადების ტრანსფორმაციის შესახებ მრავალ ინტეგრალებში“, ოსტროგრადსკიმ გამოავლინა ლაგრანჟის შეცდომა და ასევე პირველად გამოკვეთა ცვლადების ორმაგ ინტეგრალში გარდაქმნის საილუსტრაციო გეომეტრიული მეთოდი, რომელიც გარკვეულწილად უფრო მკაცრი ფორმატითაც არის წარმოდგენილი. ჩვენს სახელმძღვანელოებში. კერძოდ, ინტეგრალში ცვლადების ფორმულებით შეცვლისას, ინტეგრაციის არეალი იყოფა ორი სისტემის კოორდინატთა ხაზებით u=const, v=const უსასრულოდ პატარა მრუდის ოთხკუთხედებად. შემდეგ ინტეგრალი შეიძლება მივიღოთ ჯერ მისი ელემენტების შეკრებით, რომლებიც შეესაბამება უსასრულოდ ვიწრო მრუდი ზოლს, შემდეგ კი გავაგრძელოთ ელემენტების შეჯამება ზოლებად, სანამ ისინი არ ამოიწურება. მარტივი გამოთვლა იძლევა ფართობს, რომელიც მცირე უფრო მაღალი რიგით შეიძლება ჩაითვალოს პარალელოგრამად, გამოთქმა, სადაც, არჩეულია ისე, რომ ფართობი დადებითი იყოს. შედეგი არის ცნობილი ფორმულა

რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო

კურსის მუშაობა

დისციპლინის მიხედვით: უმაღლესი მათემატიკა

(ხაზოვანი პროგრამირების საფუძვლები)

თემაზე: მრავლობითი ინტეგრალები

შესრულებულია: ______________

მასწავლებელი:___________

თარიღი __________________

კლასი _________________

ხელმოწერა ________________

ვორონეჟი 2008 წ

1 მრავალჯერადი ინტეგრალი

1.1 ორმაგი ინტეგრალი

1.2 სამმაგი ინტეგრალი

1.3 მრავლობითი ინტეგრალი მრუდის კოორდინატებში

1.4 მრავალი ინტეგრალის გეომეტრიული და ფიზიკური გამოყენება

2 მრუდი და ზედაპირული ინტეგრალი

2.1 მრუდი ინტეგრალები

2.2 ზედაპირული ინტეგრალები

2.3 გეომეტრიული და ფიზიკური აპლიკაციები

ბიბლიოგრაფია

1 მრავალჯერადი ინტეგრალი

1.1 ორმაგი ინტეგრალი

განვიხილოთ დახურული რეგიონი D Oxy სიბრტყეში, რომელიც შემოიფარგლება L ხაზით. მოდით გავყოთ ეს რეგიონი n ნაწილად რამდენიმე წრფით.

, და თითოეულ ამ ნაწილში წერტილებს შორის შესაბამისი უდიდესი მანძილი აღინიშნა d 1 , d 2 , ..., d n . ავირჩიოთ წერტილი Р i თითოეულ ნაწილში.

მოდით D დომენში მოცემული იყოს z = f(x, y) ფუნქცია. აღნიშნეთ f(P 1), f(P 2),…, f(P n) ამ ფუნქციის მნიშვნელობები არჩეულ წერტილებში და შეადგინეთ f(P i)ΔS i ფორმის პროდუქციის ჯამი:

, (1)

ეწოდება ინტეგრალური ჯამი f(x, y) ფუნქციისთვის D დომენში.

თუ არსებობს ინტეგრალური ჯამების იგივე ზღვარი (1).

და , რომელიც არ არის დამოკიდებული D დომენის ნაწილებად დაყოფის მეთოდზე და არც მათში P i წერტილების არჩევაზე, მაშინ მას ეწოდება f(x, y) ფუნქციის ორმაგი ინტეგრალი D დომენზე და არის. აღინიშნა . (2)

ორმაგი ინტეგრალის გამოთვლა D ფართობზე, ხაზებით შემოსაზღვრული

x = a, x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла: = (3)

1.2 სამმაგი ინტეგრალი

სამმაგი ინტეგრალის ცნება შემოტანილია ორმაგი ინტეგრალის ანალოგიით.

სივრცეში მოცემული იყოს S დახურული ზედაპირით შემოსაზღვრული V დომენი. განვსაზღვროთ უწყვეტი ფუნქცია f(x, y, z) ამ დახურულ დომენში. შემდეგ V რეგიონს ვყოფთ თვითნებურ ნაწილებად Δv i, თითოეული ნაწილის მოცულობის გათვალისწინებით Δv i-ის ტოლი და შევადგენთ ფორმის განუყოფელ ჯამს.

, (4)

ლიმიტი ზე

ინტეგრალური ჯამები (11), რომელიც არ არის დამოკიდებული V დომენის დაყოფის მეთოდზე და ამ დომენის თითოეულ ქვედომენში P i წერტილების არჩევაზე, ეწოდება f(x, y, z) ფუნქციის სამმაგი ინტეგრალი. დომენი V: . (5)

f(x,y,z) ფუნქციის სამმაგი ინტეგრალი V დომენზე ტოლია სამმაგი ინტეგრალის იმავე დომენზე:

. (6)

1.3 მრავლობითი ინტეგრალი მრუდის კოორდინატებში

სიბრტყეზე შემოგვაქვს მრუდი კოორდინატები, რომლებსაც პოლარული ეწოდება. ჩვენ ვირჩევთ O წერტილს (პოლუსს) და მისგან გამომავალ სხივს (პოლარული ღერძი).

ბრინჯი. 2 ნახ. 3

M წერტილის კოორდინატები (ნახ. 2) იქნება MO სეგმენტის სიგრძე - პოლარული რადიუსი ρ და კუთხე φ MO-სა და პოლარულ ღერძს შორის: М(ρ,φ). გაითვალისწინეთ, რომ სიბრტყის ყველა წერტილისთვის, გარდა პოლუსისა, ρ > 0 და პოლარული კუთხე φ ჩაითვლება დადებითად საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით გაზომვისას და უარყოფითად საპირისპირო მიმართულებით გაზომვისას.

M წერტილის პოლარულ და დეკარტის კოორდინატებს შორის კავშირი შეიძლება დადგინდეს, თუ დეკარტის კოორდინატთა სისტემის საწყისი პოლუსთან არის გასწორებული, ხოლო დადებითი ნახევრადღერძი Ox პოლარული ღერძის მიმართ (ნახ. 3). შემდეგ x=ρcosφ, y=ρsinφ . აქედან

, ტგ.

მოდით დავაყენოთ D რეგიონში, რომელიც შემოიფარგლება მრუდებით ρ=Φ 1 (φ) და ρ=Φ 2 (φ), სადაც φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

(7)

ცილინდრული და სფერული კოორდინატები შემოტანილია სამგანზომილებიან სივრცეში.

P(ρ,φ,z) წერტილის ცილინდრული კოორდინატები არის ამ წერტილის პროექციის ρ, φ პოლარული კოორდინატები Oxy სიბრტყეზე და ამ z წერტილის აპლიკაცია (ნახ. 5).

სურ.5 სურ.6

გარდაქმნის ფორმულები ცილინდრულიდან დეკარტის კოორდინატებზე შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

სფერულ კოორდინატებში წერტილის პოზიცია სივრცეში განისაზღვრება წრფივი კოორდინატით r - მანძილი წერტილიდან დეკარტის კოორდინატთა სისტემის საწყისამდე (ან სფერული სისტემის პოლუსამდე), φ - პოლარული კუთხე დადებითს შორის. Ox ნახევრად ღერძი და წერტილის პროექცია Oxy სიბრტყეზე, და θ - კუთხე Oz ღერძის პოზიტიურ ნახევრადღერძსა და OP სეგმენტს შორის (ნახ. 6). სადაც

მოდით დავაყენოთ ფორმულები სფერულიდან დეკარტის კოორდინატებზე გადასვლისთვის:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

შემდეგ სამმაგ ინტეგრალში ცილინდრულ ან სფერულ კოორდინატებზე გადასვლის ფორმულები ასე გამოიყურება:

, (10)

სადაც F 1 და F 2 არის ფუნქციები, რომლებიც მიიღება მათი გამოსახულებების ცილინდრული (8) ან სფერული (9) კოორდინატების ჩანაცვლებით f ფუნქციაში x, y, z-ის ნაცვლად.

1.4 მრავალი ინტეგრალის გეომეტრიული და ფიზიკური გამოყენება

1) ბრტყელი რეგიონის ტერიტორია S:

(11)

მაგალითი 1

იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული D ფიგურის ფართობი

მოსახერხებელია ამ ფართობის გამოთვლა y-ის გარე ცვლადად დათვლით. შემდეგ რეგიონის საზღვრები მოცემულია განტოლებებით

და
გამოითვლება ნაწილების მიერ ინტეგრაციის გამოყენებით:

ადრე ჩვენ დავამტკიცეთ განსაზღვრული ინტეგრალის თვისებები მისი განმარტებით, როგორც ჯამების ზღვარი. მრავალი ინტეგრალის ძირითადი თვისებები შეიძლება დადასტურდეს ზუსტად იმავე გზით. სიმარტივისთვის, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ყველა ფუნქცია უწყვეტია, ასე რომ მათ ინტეგრალებს რა თქმა უნდა აქვს აზრი.

I. მუდმივი კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან, ხოლო ფუნქციების სასრული ჯამის ინტეგრალი ტოლია ტერმინების ინტეგრალების ჯამის:

II. თუ ფართობი დაიშალა სასრული რაოდენობის ნაწილებად [მაგალითად, ორ ნაწილად, მაშინ ინტეგრალი მთელ ფართობზე უდრის ინტეგრალების ჯამს ყველა ნაწილზე:

III. თუ რაიონში, მაშინ

Კერძოდ :

IV. თუ ის ინარჩუნებს ნიშანს (a) რეგიონში, მაშინ მოქმედებს საშუალო მნიშვნელობის თეორემა, რომელიც გამოიხატება ფორმულით

სად არის რაღაც წერტილი რეგიონის შიგნით (a).

კერძოდ, როცა მივიღებთ

სად არის რეგიონის ტერიტორია.

მსგავსი თვისებები მოქმედებს სამმაგი ინტეგრალისთვის. გაითვალისწინეთ, რომ ორმაგი და სამმაგი ინტეგრალის ჯამის ზღვრად განსაზღვრისას, ყოველთვის ვარაუდობენ, რომ ინტეგრაციის რეგიონი სასრულია და ინტეგრადი ნებისმიერ შემთხვევაში შემოსაზღვრულია, ანუ არის ისეთი დადებითი რიცხვი A, რომ ყველა N წერტილში. ინტეგრაციის რეგიონის. თუ ეს პირობები არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ინტეგრალი შეიძლება არსებობდეს როგორც არასათანადო ინტეგრალი, ისევე როგორც მარტივი განსაზღვრული ინტეგრალის შემთხვევაში. ჩვენ განვიხილავთ არასწორ მრავალ ინტეგრალს § 8-ში.

სიფრთხილე. ინტეგრაციის ინტერვალის შიგნით სინგულარული წერტილებით არასწორი ინტეგრალების გამოთვლისას, თქვენ არ შეგიძლიათ მექანიკურად გამოიყენოთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, რადგან ამან შეიძლება გამოიწვიოს შეცდომები.

Ზოგადი წესი:ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა სწორია, თუ ანტიდერივატია f(x)ამ უკანასკნელის სინგულარულ წერტილში უწყვეტია.

მაგალითი 2.11.

განვიხილოთ არასათანადო ინტეგრალი სინგულარული წერტილით x = 0. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, რომელიც ოფიციალურად გამოიყენება, იძლევა

თუმცა, ზოგადი წესი აქ არ მოქმედებს; f(x) = 1/x-ისთვის ანტიწარმოებული ln |x| არ არის განსაზღვრული x = 0-ზე და არის უსასრულოდ დიდი ამ ეტაპზე, ე.ი. არ არის უწყვეტი ამ ეტაპზე. პირდაპირი გადამოწმებით ადვილია იმის შემოწმება, რომ ინტეგრალი განსხვავდება. მართლაც,

შედეგად მიღებული გაურკვევლობა შეიძლება განიხილებოდეს სხვადასხვა გზით, რადგან e და d დამოუკიდებლად ნულისკენ მიდრეკილნი არიან. კერძოდ, თუ დავუშვებთ e = d, მივიღებთ არასწორი ინტეგრალის ძირითად მნიშვნელობას 0-ის ტოლი. თუ e = 1/n და d =1/n 2, ე.ი. d მიდრეკილია 0-მდე უფრო სწრაფად ვიდრე e, მივიღებთ

და, პირიქით,

იმათ. ინტეგრალი განსხვავდება.ნ

მაგალითი 2.12.

განვიხილოთ არასათანადო ინტეგრალი სინგულარული წერტილით x = 0. ფუნქციის ანტიწარმოებულს აქვს ფორმა და არის უწყვეტი x = 0 წერტილში. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა:

განსაზღვრული რიმანის ინტეგრალის ცნების ბუნებრივი განზოგადება რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის შემთხვევისთვის არის მრავალჯერადი ინტეგრალის ცნება. ორი ცვლადის შემთხვევაში, ასეთი ინტეგრალები ეწოდება ორმაგი.

განვიხილოთ ორგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცე R'R, ე.ი. თვითმფრინავზე დეკარტის კოორდინატთა სისტემით, კომპლექტი ებოლო ფართობი ს.

აღნიშნეთ ( მე = 1, …, კ) დანაყოფის დაყენება ე, ე.ი. მისი ქვეჯგუფების ასეთი სისტემა ემე, მე = 1,. . ., კრომ Ø i ¹ j-სთვის და (ნახ. 2.5). აქ, აღინიშნება ქვესიმრავლით ემე მისი საზღვრის გარეშე, ე.ი. E i ქვესიმრავლის შიდა წერტილები, რომლებიც მის საზღვართან ერთად გრ ემე ვქმნი დახურულ ქვეჯგუფს ემე, . გასაგებია, რომ ტერიტორია ს(ეი) ქვეჯგუფები ემე ემთხვევა მისი ინტერიერის ფართობს, ვინაიდან საზღვრის ფართობი GREმე ვარ ნული.

აღნიშნეთ d(E i)-ით მითითებული დიამეტრიე მე, ე.ი. მაქსიმალური მანძილი მის ორ წერტილს შორის. რაოდენობას l(t) = d(E i) ეწოდება გაყოფის სიზუსტეტ. თუ ფუნქცია f(x),x = (x, y), განისაზღვრება E-ზე, როგორც ორი არგუმენტის ფუნქცია, მაშინ ფორმის ნებისმიერი ჯამი

X i О E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i, y i),

დამოკიდებულია როგორც f ფუნქციიდან, ასევე t დანაყოფიდან და წერტილების არჩევით x i н E i м t ეწოდება f ფუნქციის ინტეგრალური ჯამი .

თუ f ფუნქციისთვის არსებობს , რომელიც არ არის დამოკიდებული t დანაყოფებზე ან წერტილების არჩევანზე (i = 1, …, k), მაშინ ეს ზღვარი ე.წ. რიმანის ორმაგი ინტეგრალი f(x,y)-დან და აღინიშნება

ამ შემთხვევაში იწოდება თავად f ფუნქცია რიმანის ინტეგრირებადი.

შეგახსენებთ, რომ ერთი არგუმენტის სიმრავლის ფუნქციის შემთხვევაში ე, რომელზედაც ხდება ინტეგრაცია, ჩვეულებრივ აღებულია სეგმენტი და მის დაყოფად t განვიხილავთ დანაყოფს, რომელიც შედგება სეგმენტებისგან. წინააღმდეგ შემთხვევაში, როგორც ადვილი მისახვედრია, რიმანის ორმაგი ინტეგრალის განმარტება იმეორებს განსაზღვრული რიმანის ინტეგრალის განმარტებას ერთი არგუმენტის ფუნქციისთვის.

ორი ცვლადის შემოსაზღვრული ფუნქციების რიმანის ორმაგ ინტეგრალს აქვს განსაზღვრული ინტეგრალის ჩვეულებრივი თვისებები ერთი არგუმენტის ფუნქციებისთვის - წრფივობა, ადიტიურობაიმ კომპლექტებთან მიმართებაში, რომლებზეც ხდება ინტეგრაცია, კონსერვაციაინტეგრირებისას არამკაცრი უთანასწორობები, პროდუქტის ინტეგრირებაინტეგრირებადი ფუნქციები და ა.შ.

რიმანის მრავალი ინტეგრალის გამოთვლა მცირდება გამოთვლამდე გამეორებული ინტეგრალები. განვიხილოთ ორმაგი რიმანის ინტეგრალის შემთხვევა. დაუშვით ფუნქცია f(x,y)განისაზღვრება E სიმრავლეზე, რომელიც დევს X ´ Y, E Ì X ´ სიმრავლეთა დეკარტის ნამრავლში.

გამეორებული ინტეგრალი f(x, y) ფუნქციის ინტეგრალი ეწოდება, რომელშიც ინტეგრაცია სხვადასხვა ცვლადზე თანმიმდევრულად ხორციელდება, ე.ი. ფორმის ინტეგრალი

ნაკრები E(y) = (x: О E) М X ეწოდება განყოფილებამოცემული y, y н E y შესაბამისი E სიმრავლე; ნაკრები E y ეწოდება - პროექტირებადააყენეთ E Y ღერძზე.

განმეორებადი ინტეგრალისთვის ასევე გამოიყენება შემდეგი აღნიშვნა:

რაც, ისევე როგორც წინა, ნიშნავს, რომ პირველ რიგში, ფიქსირებული y, y О E y,ფუნქცია ინტეგრირებულია f(x, y)მიერ xსეგმენტის გასწვრივ ე(წ), რომელიც არის ნაკრების ნაწილი ეამის შესაბამისი წ.შედეგად, შიდა ინტეგრალი განსაზღვრავს ერთი ცვლადის გარკვეულ ფუნქციას − წ.ეს ფუნქცია შემდეგ ინტეგრირებულია, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქცია, როგორც ეს მითითებულია გარე ინტეგრალური სიმბოლოთი.

ინტეგრაციის რიგის შეცვლა იწვევს ფორმის განმეორებით ინტეგრალს

სადაც შიდა ინტეგრაცია სრულდება y,და გარე - x.როგორ ადარებს ეს განმეორებადი ინტეგრალი ზემოთ განსაზღვრულ განმეორებით ინტეგრალს?

თუ არსებობს ფუნქციის ორმაგი ინტეგრალი ვ, ე.ი.

მაშინ ორივე განმეორებადი ინტეგრალიც არსებობს და ისინი მნიშვნელობით ერთნაირია და ორმაგის ტოლია, ე.ი.

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ ამ განცხადებაში ჩამოყალიბებული პირობა განმეორებით ინტეგრალებში ინტეგრაციის რიგის შეცვლის შესაძლებლობისთვის არის მხოლოდ საკმარისიმაგრამ არა აუცილებელი.

სხვა საკმარისი პირობებიგანმეორებით ინტეგრალებში ინტეგრაციის რიგის შეცვლის შესაძლებლობები ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:

თუ ინტეგრალიდან ერთი მაინც არსებობს

შემდეგ ფუნქცია f(x, y) Riemann ინტეგრირებადი გადასაღებ მოედანზე ე, მისი ორივე განმეორებადი ინტეგრალი არსებობს და უდრის ორმაგ ინტეგრალს. ნ

ჩვენ ვაკონკრეტებთ პროგნოზების და მონაკვეთების წარმოდგენებს განმეორებითი ინტეგრალების აღნიშვნით.

თუ E არის მართკუთხედი

რომ E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d);სადაც E(y) = E x ნებისმიერი y, y н E y. ,ა E(x) = E yნებისმიერი x-ისთვის , x О E x ..

ფორმალური აღნიშვნა: " y y О E yÞ E(y) = E xÙ" x x О E xÞ E(x) = E y

თუ E სიმრავლეს აქვს მრუდი საზღვარიდა იძლევა წარმომადგენლობებს

ამ შემთხვევაში, განმეორებადი ინტეგრალები იწერება შემდეგნაირად:

მაგალითი 2.13.

გამოთვალეთ ორმაგი ინტეგრალი მართკუთხა ფართობზე, შეამცირეთ იგი განმეორებით.

ვინაიდან პირობა sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, შემდეგ შეამოწმეთ საკმარისი პირობების მიზანშეწონილობა ორმაგი ინტეგრალის I არსებობისთვის რომელიმე განმეორებადი ინტეგრალის არსებობის სახით.

აქ არ არის საჭირო სპეციალური შესრულება და შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გააგრძელოთ განმეორებადი ინტეგრალის გამოთვლა

თუ ის არსებობს, მაშინ ორმაგი ინტეგრალიც არსებობს და I = I 1 . Იმიტომ რომ

ასე რომ მე = .n

მაგალითი 2.14.

გამოთვალეთ ორმაგი ინტეგრალი სამკუთხა რეგიონზე (იხ. ნახ. 2.6), დაყვანით გამეორებამდე

გრ(E) = ( : x = 0, y = 0, x + y = 2).

პირველ რიგში, ჩვენ ვამოწმებთ I ორმაგი ინტეგრალის არსებობას. ამისათვის საკმარისია გადავამოწმოთ განმეორებადი ინტეგრალის არსებობა.

იმათ. ინტეგრადები უწყვეტია ინტეგრაციის ინტერვალებზე, რადგან ისინი ყველა ძალაუფლების ფუნქციაა. მაშასადამე, ინტეგრალი I 1 არსებობს. ამ შემთხვევაში ორმაგი ინტეგრალიც არსებობს და უდრის ნებისმიერ განმეორებითს, ე.ი.

მაგალითი 2.15.

ორმაგი და განმეორებადი ინტეგრალების ცნებებს შორის კავშირის უკეთ გასაგებად, განიხილეთ შემდეგი მაგალითი, რომელიც შეიძლება გამოტოვოთ პირველი წაკითხვისას. მოცემულია ორი ცვლადის ფუნქცია f(x, y)

გაითვალისწინეთ, რომ ეს ფუნქცია უცვლელია y-ში ფიქსირებული x-ისთვის და უცნაური x-ში ფიქსირებული y-ისთვის. როგორც E სიმრავლე, რომელზეც ეს ფუნქცია ინტეგრირებულია, ვიღებთ კვადრატს E = ( : -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1).

ჯერ განვიხილოთ განმეორებითი ინტეგრალი

შიდა ინტეგრალი

მიღებულია ფიქსირებული y, -1 £ y £ 1. ვინაიდან ინტეგრანტი ფიქსირებული y-ისთვის არის უცნაური x-ში და ამ ცვლადზე ინტეგრაცია ხორციელდება [-1, 1] სეგმენტზე, რომელიც სიმეტრიულია. 0 წერტილამდე, მაშინ შიდა ინტეგრალი უდრის 0-ს. ცხადია, რომ გარე ინტეგრალი ნულოვანი ფუნქციის y ცვლადზე ასევე 0-ის ტოლია, ე.ი.

მეორე განმეორებადი ინტეგრალის მსგავსი მსჯელობა იწვევს იმავე შედეგს:

ასე რომ, განხილული ფუნქციისთვის f(x, y), განმეორებადი ინტეგრალები არსებობს და ერთმანეთის ტოლია. თუმცა, f(x, y) ფუნქციის ორმაგი ინტეგრალი არ არსებობს. ამის დასადასტურებლად, მოდით მივმართოთ გამეორებული ინტეგრალების გამოთვლის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.

გამეორებადი ინტეგრალის გამოსათვლელად

გამოყენებულია სპეციალური ფორმის E კვადრატის დანაყოფი, ასევე ინტეგრალური ჯამების სპეციალური გამოთვლა. სახელდობრ, კვადრატი E იყოფა ჰორიზონტალურ ზოლებად (იხ. ნახ. 2.7) და თითოეული ზოლი დაყოფილია პატარა ოთხკუთხედებად. თითოეული ზოლი შეესაბამება y ცვლადის გარკვეულ მნიშვნელობას; მაგალითად, ეს შეიძლება იყოს ზოლის ჰორიზონტალური ღერძის ორდინატი.

ინტეგრალური ჯამები გამოითვლება შემდეგნაირად: ჯერ ერთი, ჯამები გამოითვლება თითოეული ჯგუფისთვის ცალ-ცალკე, ე.ი. ფიქსირებულ y-ზე სხვადასხვა x-ისთვის და შემდეგ ეს ქვეჯამები ჯამდება სხვადასხვა ზოლებისთვის, ე.ი. სხვადასხვა y-სთვის. თუ დანაყოფის სიზუსტე ნულისკენ მიისწრაფვის, მაშინ ლიმიტში ვიღებთ ზემოთ მითითებულ განმეორებით ინტეგრალს.

ცხადია, რომ მეორე განმეორებადი ინტეგრალისთვის

ნაკრები E იყოფა სხვადასხვა x-ის შესაბამისი ვერტიკალური ზოლებით. ქვეჯამები გამოითვლება თითოეულ ზოლში მცირე მართკუთხედებით, ე.ი. y-ზე და შემდეგ ისინი ჯამდება სხვადასხვა ჯგუფისთვის, ე.ი. x. ლიმიტში, დანაყოფის სიზუსტით ნულისკენ მიდრეკილი, ვიღებთ შესაბამის გამეორებულ ინტეგრალს.

იმის დასამტკიცებლად, რომ ორმაგი ინტეგრალი არ არსებობს, საკმარისია დანაყოფის ერთი მაგალითის მოყვანა, ინტეგრალური ჯამების გამოთვლა, რომლებზედაც ზღვარში, დანაყოფის სიზუსტით ნულისკენ მიდრეკილი, იძლევა მნიშვნელობისგან განსხვავებულ შედეგს. განმეორებადი ინტეგრალების. მოვიყვანოთ ასეთი დანაყოფის მაგალითი, რომელიც შეესაბამება პოლარული კოორდინატთა სისტემას (r, j) (იხ. სურ. 2.8).

პოლარულ კოორდინატთა სისტემაში ნებისმიერი წერტილის პოზიცია სიბრტყეზე M 0 (x 0, y 0), სადაც x 0, y 0 არის M 0 წერტილის დეკარტის კოორდინატები - განისაზღვრება რადიუსის r 0 სიგრძით. აკავშირებს მას საწყისთან და j 0 კუთხესთან, რომელიც ქმნის ამ რადიუსს დადებითი x ღერძის მიმართულებით (კუთხე ითვლიება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ). აშკარაა კავშირი დეკარტისა და პოლარულ კოორდინატებს შორის:

y 0 = r 0 × sinj 0.

დანაყოფი აგებულია შემდეგნაირად. ჯერ კვადრატი E იყოფა სექტორებად კოორდინატების ცენტრიდან გამომავალი რადიუსით, შემდეგ კი თითოეული სექტორი იყოფა მცირე ტრაპეციებად სექტორის ღერძის პერპენდიკულარული ხაზებით. ინტეგრალური ჯამების გამოთვლა ხდება შემდეგნაირად: ჯერ თითოეული სექტორის შიგნით მცირე ტრაპეციის გასწვრივ მისი ღერძის გასწვრივ (r) და შემდეგ - ყველა სექტორზე (j-ს გასწვრივ). თითოეული სექტორის პოზიცია ხასიათდება მისი j ღერძის კუთხით, ხოლო r(j) ღერძის სიგრძე დამოკიდებულია ამ კუთხეზე:

თუ ან, მაშინ;

თუ , მაშინ ;

თუ, მაშინ

თუ , მაშინ .

პოლარული დანაყოფის ინტეგრალური ჯამების ზღვარზე გადასვლისას დანაყოფის სიმსუბუქე ნულისკენ მიდრეკილია, ვიღებთ ორმაგ ინტეგრალს პოლარულ კოორდინატებში. ასეთი აღნიშვნა ასევე შეიძლება მიღებულ იქნას წმინდა ფორმალური გზით, დეკარტის კოორდინატების (x, y) პოლარული (r, j) ჩანაცვლებით.

დეკარტისეულიდან პოლარულ კოორდინატებზე ინტეგრალებში გადასვლის წესების მიხედვით, განმარტებით უნდა დაწეროთ:

პოლარულ კოორდინატებში ფუნქცია f(x, y) შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

საბოლოოდ გვაქვს

შიდა ინტეგრალი (არასწორი) ბოლო ფორმულაში

სადაც ზემოთ მითითებული r(j) ფუნქცია, 0 £ j £ 2p , უდრის +¥ ნებისმიერი j-სთვის, რადგან

მაშასადამე, j-ზე შეფასებული ინტეგრანტი გარე ინტეგრალში არ არის განსაზღვრული რომელიმე j-სთვის. მაგრამ მაშინ თავად გარე ინტეგრალი არ არის განსაზღვრული, ე.ი. ორიგინალური ორმაგი ინტეგრალი არ არის განსაზღვრული.

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია f(x, y) არ აკმაყოფილებს ორმაგი ინტეგრალის არსებობის საკმარის პირობას E სიმრავლეზე. ვაჩვენოთ, რომ ინტეგრალი

არ არსებობს. მართლაც,

ანალოგიურად, იგივე შედეგი დადგენილია ინტეგრალისთვის

ორმაგი ინტეგრალის კონცეფცია

ორმაგი ინტეგრალი (DI) არის ერთი ცვლადის ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალის (DI) განზოგადება ორი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში.

მოდით განისაზღვროს უწყვეტი არაუარყოფითი ფუნქცია $z=f\left(x,y\right)$ დახურულ დომენში $D$, რომელიც მდებარეობს კოორდინატულ სიბრტყეში $xOy$. ფუნქცია $z=f\left(x,y\right)$ აღწერს ზოგიერთ ზედაპირს, რომელიც დაპროექტებულია $D$ რეგიონში. რეგიონი $D$ შემოიფარგლება $L$ დახურული ხაზით, რომლის სასაზღვრო წერტილები ასევე ეკუთვნის $D$ რეგიონს. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ $L$ წრფე წარმოიქმნება უწყვეტი მრუდების სასრული რაოდენობით, რომლებიც მოცემულია $y=\vartheta \left(x\right)$ ან $x=\psi \left(y\right)$-ის ფორმის განტოლებით. .

მოდით გავყოთ დომენი $D$ $n$ თვითნებურ სექციებად $\Delta S_(i) $ ფართობით. თითოეულ სექციაში ვირჩევთ ერთ თვითნებურ წერტილს $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. თითოეულ ამ წერტილში ჩვენ ვიანგარიშებთ მოცემული ფუნქციის $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$ მნიშვნელობას. განვიხილოთ მოცულობა ზედაპირის იმ ნაწილის ქვეშ $z=f\left(x,y\right)$, რომელიც დაპროექტებულია $\Delta S_(i) $ სეგმენტში. გეომეტრიულად, ეს მოცულობა შეიძლება იყოს დაახლოებით წარმოდგენილი, როგორც ცილინდრის მოცულობა $\Delta S_(i) $ და სიმაღლე $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$, ე.ი. $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $-ის ნამრავლის ტოლია. შემდეგ მოცულობა მთელ ზედაპირზე $z=f\left(x,y\right)$ რეგიონში $D$ შეიძლება გამოითვალოს, როგორც ყველა ცილინდრის მოცულობის ჯამი $\sigma =\sum \limits _( i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. ამ ჯამს ეწოდება ინტეგრალური ჯამი $f\left(x,y\right)$ ფუნქციისთვის $D$-ში.

მოდით ვუწოდოთ $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ სეგმენტის დიამეტრს $\Delta S_(i) $ ამ სეგმენტის უკიდურეს წერტილებს შორის ყველაზე დიდი მანძილი. $\lambda $-ით აღნიშნეთ $D$ რეგიონის ყველა მონაკვეთის დიამეტრიდან ყველაზე დიდი. მოდით $\lambda \ to 0$-მდე $D$-ის დანაყოფის შეუზღუდავი $n\to \infty $ დახვეწის გამო.

განმარტება

თუ არსებობს $I=\mathop(\lim)\limits_(\lambda \0) \sigma $-ის ინტეგრალური ჯამის ზღვარი, მაშინ ამ რიცხვს ეწოდება $f\left(x,y\) ფუნქციის CI. მარჯვნივ)$ დომენზე $D $ და აღნიშნეთ $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ ან $I=\iint \limits _(D)f\ მარცხენა (x,y\right) \cdot dx\cdot dy$.

$D$ რეგიონს ეწოდება ინტეგრაციის რეგიონი, $x$ და $y$ არის ინტეგრაციის ცვლადები და $dS=dx\cdot dy$ არის ფართობის ელემენტი.

განმარტებიდან გამომდინარეობს CI-ის გეომეტრიული მნიშვნელობა: ის იძლევა ზოგიერთი მრუდი ცილინდრის მოცულობის ზუსტ მნიშვნელობას.

ორმაგი ინტეგრალის გამოყენება

სხეულის მოცულობა

DI-ს გეომეტრიული მნიშვნელობის შესაბამისად, ზოგიერთი სხეულის $V$ მოცულობა, რომელიც ზემოთ არის შემოსაზღვრული ზედაპირით $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, ქვემოთ $D$ რეგიონით სიბრტყეზე. $xOy$, ხოლო გვერდებზე ცილინდრული ზედაპირის გვერდით, რომლის გენერატორები პარალელურია $Oz$ ღერძისა და რომლის მიმართულების ხაზი არის $D$-ის კონტური (ხაზი $L$), გამოითვლება $V= ფორმულით. \iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

დაე, სხეულმა შეზღუდოს ზედაპირი $z=f_(2) \left(x,y\right)$ ზემოდან, ხოლო ზედაპირი $z=f_(1) \left(x,y\right)$ ქვემოდან, და $f_( 2) \left(x,y\right)\ge f_(1) \left(x,y\right)$. ორივე ზედაპირის პროექცია $xOy$ სიბრტყეზე არის იგივე დომენი $D$. შემდეგ ასეთი სხეულის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y \right)\right )\cdot dx\cdot dy $.

დავუშვათ, რომ დომენში $D$ ფუნქცია $f\left(x,y\right)$ ცვლის ნიშანს. შემდეგ, შესაბამისი სხეულის მოცულობის გამოსათვლელად, $D$ რეგიონი უნდა დაიყოს ორ ნაწილად: ნაწილი $D_(1) $, სადაც $f\left(x,y\right)\ge 0$ და ნაწილი $D_(2) $, სადაც $f\left(x,y\right)\le 0$. ამ შემთხვევაში, $D_(1) $ რეგიონის ინტეგრალი იქნება დადებითი და ტოლი სხეულის იმ ნაწილის მოცულობას, რომელიც მდებარეობს $xOy$ სიბრტყის ზემოთ. ინტეგრალი $D_(2)$-ზე იქნება უარყოფითი და აბსოლუტური მნიშვნელობით უდრის სხეულის იმ ნაწილის მოცულობას, რომელიც მდებარეობს $xOy$ სიბრტყის ქვემოთ.

ბრტყელი ფიგურის ფართობი

თუ $f\left(x,y\right)\equiv 1$ დომენში $D$ ყველგან დავაყენეთ $xOy$ კოორდინატულ სიბრტყეზე, მაშინ DI რიცხობრივად უდრის $D ინტეგრაციის დომენის ფართობს. $, ანუ $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. პოლარულ კოორდინატთა სისტემაში იგივე ფორმულა ხდება $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $.

თავისუფალი ზედაპირი

მოდით, $z=f_(1) \left(x,y\right)$ განტოლებით მოცემული $Q$-ის ზოგიერთი ზედაპირი დაპროექტებული იყოს $xOy$ კოორდინატულ სიბრტყეზე $D_(1) $ რეგიონში. ამ შემთხვევაში, ზედაპირის ფართობი $Q$ შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) \right)^ (2) +\left(\frac(\partial z)(\partial y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.

ნივთიერების რაოდენობა

დავუშვათ, რომ რაღაც სუბსტანცია ზედაპირის სიმკვრივით $\rho \left(x,y\right)$ განაწილებულია დომენში $D$ სიბრტყეზე $xOy$. ეს ნიშნავს, რომ ზედაპირის სიმკვრივე $\rho \left(x,y\right)$ არის მატერიის მასა ერთეულ ფართობზე $dx\cdot dy$ $D$-დან. ამ პირობებში მატერიის მთლიანი მასა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

გაითვალისწინეთ, რომ „ნივთიერება“ შეიძლება იყოს ელექტრული მუხტი, სითბო და ა.შ.

სიბრტყე ფიგურის მასის ცენტრის კოორდინატები

ბრტყელი ფიგურის მასის ცენტრის კოორდინატების გამოთვლის ფორმულებია: $$$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x,y\right) \cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy) (მ) $.

მრიცხველებში მნიშვნელობებს ეწოდება $M_(y)$ და $M_(x)$ ბრტყელი ფიგურის $D$ სტატიკური მომენტები $Oy$ და $Ox$ ღერძების მიმართ, შესაბამისად.

თუ ბრტყელი ფიგურა ერთგვაროვანია, ანუ $\rho =const$, მაშინ ეს ფორმულები გამარტივებულია და გამოიხატება არა მასის, არამედ ბრტყელი ფიგურის ფართობის მიხედვით $S$: $x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot dx\cdot dy)(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy) (S) $.

სიბრტყის ფიგურის ფართობის ინერციის მომენტები

განვიხილოთ მატერიალური სიბრტყის ფიგურა $xOy$ სიბრტყეზე. მოდით წარმოვიდგინოთ ის, როგორც გარკვეული ფართობი $D$, რომელზედაც განაწილებულია $M$ საერთო მასის მქონე ნივთიერება $\rho \left(x,y\right)$ ცვლადი ზედაპირის სიმკვრივით.

ბრტყელი ფიგურის ფართობის ინერციის მომენტის მნიშვნელობა $Oy$ ღერძთან მიმართებაში: $I_(y) \; =\; \iint \limits _(D)x^(2) \cdot \; \rho(x,\;y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. ინერციის მომენტის მნიშვნელობა $Ox$ ღერძის მიმართ: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot \; dx\; \cdot dy $. ბრტყელი ფიგურის ინერციის მომენტი საწყისის შესახებ უდრის ინერციის მომენტების ჯამს კოორდინატთა ღერძების მიმართ, ანუ $I_(O) =I_(x) +I_(y) $.

სამმაგი ინტეგრალები შემოღებულია სამი ცვლადის ფუნქციისთვის.

დავუშვათ, რომ მოცემულია სამგანზომილებიანი სივრცის $V$ რაღაც რეგიონი, რომელიც შემოსაზღვრულია $S$ დახურული ზედაპირით. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ წერტილები, რომლებიც ზედაპირზე მდებარეობს, ასევე ეკუთვნის $V$ რეგიონს. დავუშვათ, რომ უწყვეტი ფუნქცია $f\left(x,y,z\right)$ მოცემულია $V$-ში. მაგალითად, $f\left(x,y,z\right)\ge 0$ პირობით, ასეთი ფუნქცია შეიძლება იყოს რომელიმე ნივთიერების მოცულობითი განაწილების სიმკვრივე, ტემპერატურის განაწილება და ა.შ.

მოდით გავყოთ დომენი $V$ $n$ თვითნებურ ნაწილებად, რომელთა ტომებია $\Delta V_(i) $. თითოეულ ნაწილში ვირჩევთ ერთ თვითნებურ წერტილს $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. თითოეულ ამ წერტილში ჩვენ ვიანგარიშებთ მოცემული $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$ ფუნქციის მნიშვნელობას.

ჩვენ ვქმნით ინტეგრალურ ჯამს $\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot \ Delta V_ (i) $ და დახვეწეთ $\left(n\ to \infty \right)$ $V$-ის ქვედანაყოფი განუსაზღვრელი ვადით ისე, რომ $\lambda $ ყველა ნაწილის $\Delta V_(i) $ განუსაზღვრელი ვადით შემცირდეს $ \მარცხნივ(\ლამბდა \0-მდე\მარჯვნივ)$.

განმარტება

ზემოაღნიშნულ პირობებში, ამ ინტეგრალური ჯამის $I$ ლიმიტი არსებობს, რომელსაც ეწოდება $f\left(x,y,z\right)$ ფუნქციის სამმაგი ინტეგრალი $V$ დომენზე და აღინიშნება $I-ით. \; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\; \cdot dV$ ან $I\; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz $.