تئوری توابع یک متغیر. تجزیه و تحلیل ریاضی

سوالات آزمون "تحلیل ریاضی" سال اول ترم 1.

1. مجموعه ها عملیات اساسی روی مجموعه ها فضاهای متریک و حسابی.

2. مجموعه های عددی مجموعه های روی خط اعداد: بخش ها، فواصل، نیم محورها، همسایگی ها.

3. تعریف مجموعه محدود. مرزهای بالایی و پایینی مجموعه های عددی. فرضیه هایی در مورد کران های بالا و پایین مجموعه های عددی.

4. روش استقراء ریاضی. نابرابری های برنولی و کوشی

5. تعریف تابع نمودار تابع توابع زوج و فرد. توابع دوره ای راه های تنظیم یک تابع

6. محدودیت توالی ویژگی های دنباله های همگرا

7. توالی های محدود قضیه ای در مورد شرط کافی برای واگرایی یک دنباله.

8. تعریف دنباله یکنواخت قضیه دنباله یکنواخت وایرشتراس.

9. شماره e.

10. حد یک تابع در یک نقطه حد یک تابع در بی نهایت. محدودیت های یک طرفه

11. توابع بی نهایت کوچک حد توابع مجموع، حاصلضرب و ضریب.

12. قضایای پایداری نابرابری ها. عبور به مرز در نابرابری ها. قضیه سه تابع

13. اولین و دومین محدودیت فوق العاده.

14. توابع بی نهایت بزرگ و ارتباط آنها با توابع بی نهایت کوچک.

15. مقایسه توابع بینهایت کوچک. خواص بی نهایت کوچکی معادل. قضیه جایگزینی بینهایت کوچک با معادل ها. معادلات اساسی

16. تداوم یک تابع در یک نقطه اقدامات با توابع پیوسته. تداوم توابع ابتدایی اولیه.

17. طبقه بندی نقاط شکست یک تابع گسترش با تداوم

18. تعریف تابع پیچیده حد یک تابع پیچیده تداوم یک تابع پیچیده توابع هذلولی

19. تداوم یک تابع در یک قطعه قضایای کوشی در مورد ناپدید شدن یک تابع پیوسته در یک بازه و در مورد مقدار میانی یک تابع.

20. خواص توابع پیوسته روی یک قطعه قضیه وایرشتراس در مورد کران تابع پیوسته. قضیه وایرشتراس در مورد بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع.

21. تعریف تابع یکنواخت قضیه وایرشتراس در مورد حد تابع یکنواخت. قضیه در مورد مجموعه مقادیر تابعی که در یک بازه یکنواخت و پیوسته است.

22. تابع معکوس. نمودار تابع معکوس قضیه وجود و تداوم تابع معکوس.

23. توابع مثلثاتی معکوس و هذلولی.

24. تعریف مشتق تابع. مشتقات توابع ابتدایی پایه

25. تعریف تابع قابل تفکیک شرط لازم و کافی برای تمایزپذیری یک تابع. تداوم یک تابع متمایز

26. معنای هندسی مشتق. معادله مماس و نرمال بر نمودار تابع.

27. مشتق حاصل جمع، حاصلضرب و ضریب دو تابع

28. مشتق تابع مرکب و تابع معکوس.

29. تمایز لگاریتمی مشتق تابعی که به صورت پارامتری داده می شود.

30. بخش اصلی افزایش تابع. فرمول خطی سازی توابع معنای هندسی دیفرانسیل.

31. دیفرانسیل یک تابع مرکب عدم تغییر شکل دیفرانسیل.

32. قضایای رول، لاگرانژ و کوشی در مورد خواص توابع متمایز. فرمول افزایش های محدود

33. استفاده از مشتق برای افشای عدم قطعیت ها در داخل. قانون L'Hopital.

34. تعریف مشتقمرتبه نهم قوانین برای یافتن مشتق از مرتبه n. فرمول لایب نیتس دیفرانسیل های مرتبه بالاتر

35. فرمول تیلور با عبارت باقیمانده به شکل Peano. اصطلاحات باقیمانده به شکل لاگرانژ و کوشی.

36. افزایش و کاهش توابع. نقاط افراطی

37. تحدب و تقعر یک تابع. نقاط عطف

38. عملکرد بی پایان می شکند. مجانب.

39. طرحی برای رسم نمودار تابع.

40. تعریف آنتی مشتق. خواص اصلی ضد مشتق. ساده ترین قوانین یکپارچه سازی جدول انتگرال های ساده

41. ادغام با تغییر متغیر و فرمول ادغام توسط قطعات در انتگرال نامعین.

42. ادغام عبارات فرم e ax cos bx و e ax sin bx با استفاده از روابط بازگشتی.

	43. ادغام کسری			با استفاده از روابط بازگشتی
			a 2 n

44. انتگرال نامعین یک تابع گویا. ادغام کسرهای ساده

45. انتگرال نامعین یک تابع گویا. تجزیه کسرهای مناسب به کسرهای ساده.

46. انتگرال نامعین یک تابع غیرمنطقی. ادغام بیان

	R x، m

47. انتگرال نامعین تابع غیرمنطقی. ادغام عبارات به شکل R x , ax 2 bx c . تعویض های اویلر

48. ادغام عبارات فرم

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. انتگرال نامعین یک تابع غیرمنطقی. ادغام دیفرانسیل های دوجمله ای

50. ادغام عبارات مثلثاتی جایگزینی مثلثاتی جهانی

51. ادغام عبارات مثلثاتی منطقی در حالتی که انتگرال نسبت به گناه فرد باشد. x (یا cos x) یا حتی با توجه به sin x و cos x.

52. ادغام بیان sin n x cos m x و sin n x cos mx .

53. ادغام بیان tg m x و ctg m x .

54. ادغام بیان R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 و R x , x 2 a 2 با استفاده از جانشینی های مثلثاتی.

55. انتگرال معین. مشکل محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی.

56. مجموع انتگرال مبالغ داربوکس قضیه شرط وجود انتگرال معین. کلاس های توابع قابل ادغام

57. ویژگی های یک انتگرال معین قضایای مقدار میانگین

58. انتگرال معین به عنوان تابعی از حد بالایی. فرمولنیوتن لایب نیتس.

59. تغییر فرمول و فرمول متغیر برای ادغام توسط قطعات در یک انتگرال معین.

60. کاربرد حساب انتگرال در هندسه. حجم شکل. حجم ارقام چرخش.

61. کاربرد حساب انتگرال در هندسه. مساحت یک شکل هواپیما. مساحت بخش منحنی. طول منحنی.

62. تعریف انتگرال نادرست از نوع اول. فرمولنیوتن-لایبنیتس برای انتگرال های نادرست نوع اول. ساده ترین خواص

63. همگرایی انتگرال های نادرست نوع اول برای یک تابع مثبت.قضایای مقایسه اول و دوم.

64. همگرایی مطلق و شرطی انتگرال های نامناسب نوع اول یک تابع متناوب. معیارهای همگرایی برای آبل و دیریکله.

65. تعریف انتگرال نادرست از نوع دوم. فرمولنیوتن-لایبنیتس برای انتگرال های نادرست نوع دوم.

66. اتصال انتگرال های نامناسبنوع 1 و 2. انتگرال های نامناسب به معنای ارزش اصلی.

اجازه دهید متغیر ایکس nدنباله ای بی نهایت از مقادیر را می گیرد

ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n , ..., (1)

و قانون تغییر متغیر مشخص است ایکس n، یعنی برای هر عدد طبیعی nمی توانید مقدار مربوطه را مشخص کنید ایکس n. بنابراین فرض می شود که متغیر ایکس nتابعی از n:

ایکس n = f(n)

اجازه دهید یکی از مهمترین مفاهیم تحلیل ریاضی را تعریف کنیم - حد یک دنباله، یا همان چیزی است، حد یک متغیر. ایکس nدنباله دویدن ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n , ... . .

تعریف.عدد ثابت آتماس گرفت محدودیت توالی ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس n , ... . یا حد یک متغیر ایکس n، اگر برای یک عدد مثبت دلخواه کوچک e چنین عدد طبیعی وجود داشته باشد ن(یعنی شماره ن) که تمام مقادیر متغیر ایکس n، شروع با ایکس ن، متفاوت از آاز نظر قدر مطلق کمتر از e. این تعریف به اختصار به صورت زیر نوشته شده است:

| ایکس n - آ |< (2)

برای همه n  ن، یا، که همان است،

تعریف حد کوشی. عدد A حد تابع f (x) در نقطه a نامیده می‌شود اگر این تابع در همسایگی نقطه a تعریف شده باشد، به جز خود نقطه a، و برای هر ε > 0 δ > 0 وجود داشته باشد. به طوری که برای همه x شرایط ارضا کننده |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

تعریف حد هاینه. عدد A حد تابع f (x) در نقطه a نامیده می‌شود اگر این تابع در نزدیکی نقطه a تعریف شده باشد، به جز خود نقطه a و برای هر دنباله‌ای که با همگرا شدن به عدد a، دنباله مقادیر مربوط به تابع به عدد A همگرا می شود.

اگر تابع f(x) در نقطه a حد داشته باشد، این حد منحصر به فرد است.

عدد A 1 حد چپ تابع f (x) در نقطه a نامیده می شود اگر برای هر ε > 0 δ > وجود داشته باشد.

عدد A 2 را حد راست تابع f (x) در نقطه a می نامند اگر برای هر ε > 0 δ > 0 وجود داشته باشد به طوری که نابرابری وجود داشته باشد.

حد در سمت چپ به عنوان حد در سمت راست نشان داده می شود - این محدودیت ها رفتار تابع را در سمت چپ و راست نقطه a مشخص می کنند. آنها اغلب به عنوان محدودیت های یک طرفه نامیده می شوند. در علامت گذاری محدودیت های یک طرفه به صورت x → 0، صفر اول معمولا حذف می شود: و. بنابراین، برای تابع

اگر برای هر ε > 0 یک همسایگی δ یک نقطه a وجود داشته باشد به طوری که برای همه x که شرط را ارضا می کنند |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε، سپس می گوییم که تابع f (x) در نقطه a حد نامتناهی دارد:

بنابراین، تابع یک حد نامتناهی در نقطه x = 0 دارد. محدودیت‌های برابر با +∞ و –∞ اغلب متمایز می‌شوند. بنابراین،

اگر برای هر ε > 0 δ > 0 وجود داشته باشد به طوری که برای هر x > δ نابرابری |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

قضیه وجود برای حداقل کران بالا

تعریف: AR mR، m - وجه بالا (پایین) A، اگر аА аm (аm).

تعریف:مجموعه A از بالا (از پایین) محدود می شود، اگر m وجود داشته باشد به طوری که аА وجود داشته باشد، آنگاه am (аm) برآورده می شود.

تعریف: SupA=m، اگر 1) m - کران بالایی A

2) m’: m’ m' وجه بالایی A نیست

InfA = n اگر 1) n infimum A باشد

2) n’: n’>n => n’ مقداری از A نیست

تعریف: SupA=m عددی است که: 1)  aA am

2) >0 a  A، به طوری که a  a-

به عددی گفته می شود که:

2) >0 a  A، به طوری که E a+

قضیه:هر مجموعه غیر خالی AR که از بالا محدود شده باشد بهترین کران بالایی و در آن واحد منحصر به فرد دارد.

اثبات:

عدد m را روی خط واقعی می سازیم و ثابت می کنیم که این حداقل کران بالای A است.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - وجه بالایی A

بخش [[m]، [m]+1] - به 10 قسمت تقسیم می شود

m 1 = حداکثر:aA)]

m 2 = حداکثر، m 1:aA)]

m تا = max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1/10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - صورت بالا A

اجازه دهید ثابت کنیم که m=[m],m 1 ...m K حداقل کران بالایی است و منحصر به فرد است:

به: .

برنج. 11. نمودار تابع y arcsin x.

اکنون مفهوم تابع پیچیده را معرفی می کنیم ( نمایش ترکیبات). بگذارید سه مجموعه D، E، M داده شود و f: D→E، g: E→M. بدیهی است که می توان یک نگاشت جدید h ساخت: D→M که ترکیبی از نگاشتهای f و g یا یک تابع مختلط نامیده می شود (شکل 12).

یک تابع مختلط به صورت زیر نشان داده می شود: z =h(x)=g(f(x)) یا h = f o g.

برنج. 12. تصویر برای مفهوم تابع پیچیده.

تابع f (x) فراخوانی می شود عملکرد داخلیو تابع g (y) - عملکرد خارجی.

1. تابع داخلی f (x) = x²، g خارجی (y) sin y. تابع مختلط z= g(f(x))=sin(x²)

2. حالا برعکس تابع درونی f (x)= sinx، بیرونی g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

این دوره برای لیسانس ها و کارشناسی ارشد متخصص در ریاضیات، اقتصاد یا علوم طبیعی و همچنین معلمان ریاضی دبیرستان و اساتید دانشگاه برگزار می شود. همچنین برای دانش آموزانی که عمیقاً درگیر ریاضیات هستند مفید خواهد بود.

ساختار دوره سنتی است. این دوره مطالب کلاسیک در مورد تجزیه و تحلیل ریاضی را پوشش می دهد که در سال اول دانشگاه در ترم اول مطالعه شده است. بخش‌های «عناصر نظریه مجموعه‌ها و اعداد حقیقی»، «نظریه دنباله‌های عددی»، «محدودیت و پیوستگی یک تابع»، «تمایزپذیری تابع»، «کاربردهای تمایزپذیری» ارائه خواهد شد. با مفهوم مجموعه آشنا می شویم، تعریف دقیقی از اعداد حقیقی ارائه می دهیم و خواص اعداد حقیقی را مطالعه می کنیم. سپس در مورد دنباله اعداد و خواص آنها صحبت خواهیم کرد. این به ما امکان می دهد تا مفهوم یک تابع عددی را که برای دانش آموزان مدرسه ای کاملاً شناخته شده است، در سطح جدید و دقیق تر در نظر بگیریم. ما مفهوم حد و پیوستگی یک تابع را معرفی می کنیم، در مورد خواص توابع پیوسته و کاربرد آنها برای حل مسائل بحث می کنیم.

در قسمت دوم درس به تعریف مشتق و تمایز پذیری تابع یک متغیر و بررسی خواص توابع متمایز می پردازیم. این به شما امکان می دهد تا نحوه حل مسائل کاربردی مهم مانند محاسبه تقریبی مقادیر یک تابع و حل معادلات، محاسبه حدود، مطالعه خواص یک تابع و ساخت نمودار آن را بیاموزید. .

قالب

شکل آموزش بصورت پاره وقت (از راه دور) می باشد.
کلاس‌های هفتگی شامل تماشای سخنرانی‌های ویدیویی موضوعی و تکمیل تکالیف آزمون با تأیید خودکار نتایج است.
یکی از عناصر مهم مطالعه این رشته، حل مستقل مسائل محاسباتی و مسائل اثبات است. راه حل باید حاوی استدلال دقیق و منطقی صحیح باشد که منجر به پاسخ صحیح (در مورد یک مسئله محاسباتی) یا اثبات کامل عبارت لازم (برای مسائل نظری) می شود.

الزامات

این دوره برای لیسانس های 1 ساله طراحی شده است. نیاز به دانش ریاضی ابتدایی در دوره متوسطه (11 کلاس) دارد.

برنامه دوره

سخنرانی 1عناصر نظریه مجموعه ها
سخنرانی 2مفهوم عدد واقعی صورت های دقیق مجموعه های عددی.
سخنرانی 3عملیات حسابی روی اعداد حقیقی خواص اعداد حقیقی
سخنرانی 4دنباله های عددی و خواص آنها
سخنرانی 5دنباله های یکنواخت معیار کوشی برای همگرایی توالی.
سخنرانی 6مفهوم تابع یک متغیر. محدودیت عملکرد توابع بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ.
سخنرانی 7تداوم عملکرد طبقه بندی نقطه شکست ویژگی های محلی و جهانی توابع پیوسته
سخنرانی 8توابع یکنواخت تابع معکوس.
سخنرانی 9ساده ترین توابع ابتدایی و خواص آنها: توابع نمایی، لگاریتمی و توانی.
سخنرانی 10توابع مثلثاتی و معکوس مثلثاتی. محدودیت های قابل توجه پیوستگی یکنواخت یک تابع.
سخنرانی 11مفهوم مشتق و دیفرانسیل. معنای هندسی مشتق. قوانین تمایز
سخنرانی 12مشتقات توابع ابتدایی پایه دیفرانسیل عملکرد
سخنرانی 13مشتقات و دیفرانسیل های مرتبه بالاتر. فرمول لایب نیتس مشتقات توابع داده شده به صورت پارامتری
سخنرانی 14ویژگی های اساسی توابع متمایز قضایای رول و لاگرانژ.
سخنرانی 15قضیه کوشی. اولین قانون L'Hospital برای افشای عدم قطعیت ها.
سخنرانی 16قانون دوم L'Hopital برای افشای عدم قطعیت ها. فرمول تیلور با عبارت باقیمانده به شکل Peano.
سخنرانی 17فرمول تیلور با یک عبارت باقی مانده به صورت کلی، به شکل لاگرانژ و کوشی. بسط توابع ابتدایی پایه مکلارین. کاربردهای فرمول تیلور
سخنرانی 18شرایط کافی برای یک افراطی مجانب نمودار یک تابع. محدب.
سخنرانی 19نقاط عطف. طرح کلی مطالعه تابع. نمونه هایی از نقشه کشی

نتایج یادگیری

در نتیجه تسلط بر این دوره، دانش آموز ایده ای از مفاهیم اساسی تجزیه و تحلیل ریاضی: مجموعه، عدد، دنباله و تابع پیدا می کند، با ویژگی های آنها آشنا می شود و نحوه استفاده از این ویژگی ها را در حل مسائل یاد می گیرد.

این دوره یک ضبط ویدئویی استودیویی از نیمه اول ترم اول سخنرانی های تجزیه و تحلیل ریاضی به شکلی است که در دانشگاه آکادمیک خوانده می شود. برای 4 ماژول، دانش آموزان با مفاهیم اساسی تجزیه و تحلیل ریاضی آشنا می شوند: توالی، محدودیت ها و تداوم. ما خود را به اعداد واقعی و توابع یک متغیر محدود می کنیم. ارائه در یک سطح نسبتاً ابتدایی بدون تعمیم های ممکن انجام می شود که ایده های اصلی اثبات ها را تغییر نمی دهد، اما درک را به طور قابل توجهی پیچیده می کند. همه گزاره ها (به جز برخی از توجیهات رسمی خسته کننده در همان ابتدای دوره و در تعریف توابع ابتدایی) به شدت ثابت خواهند شد. ضبط های ویدئویی با تعداد زیادی کار برای دانش آموزان همراه است تا به طور مستقل کار کنند.

این دوره برای چه کسانی است

دانشجویان مقطع کارشناسی رشته های فنی

دانش آموزان باید بر برنامه درسی مدرسه در ریاضی تسلط کافی داشته باشند. یعنی باید بدانیم نمودارهای توابع ابتدایی اصلی چگونه به نظر می رسند، فرمول های اساسی توابع مثلثاتی، نمایی و لگاریتمی، پیشروی های حسابی و هندسی را بدانیم و همچنین بتوانیم با اطمینان، تبدیل های جبری را با برابری ها و تساوی ها انجام دهیم. نابرابری ها برای چندین مشکل، باید ساده ترین ویژگی های اعداد گویا و غیر منطقی را نیز بدانیم.