فرمول ها و خواص یک مستطیل اشکال هندسی

مستطیلچهار ضلعی است که هر گوشه آن یک زاویه قائمه است.

اثبات

این ویژگی با عملکرد ویژگی 3 متوازی الاضلاع توضیح داده می شود (یعنی \ زاویه A = \ زاویه C ، \ زاویه B = \ زاویه D )

2. اضلاع مقابل برابرند.

AB = CD،\enspace BC = AD

3. اضلاع مقابل موازی هستند.

AB \ CD موازی ، \ فضای BC \ موازی AD

4. اضلاع مجاور بر هم عمود هستند.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. قطرهای مستطیل برابر است.

AC=BD

اثبات

مطابق با دارایی 1مستطیل متوازی الاضلاع است که به معنای AB = CD است.

بنابراین، \ مثلث ABD = \مثلث DCA در امتداد دو پایه (AB = CD و AD - مفصل).

اگر هر دو شکل - ABC و DCA یکسان باشند، هیپوتنوس BD و AC آنها نیز یکسان هستند.

بنابراین AC = BD.

فقط یک مستطیل از تمام اشکال (فقط از متوازی الاضلاع!) دارای قطرهای برابر است.

این را هم ثابت کنیم.

ABCD یک متوازی الاضلاع است \Rightarrow AB = CD , AC = BD بر اساس شرط. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCAدر حال حاضر در سه طرف

معلوم می شود که \ زاویه A = \ زاویه D (مانند گوشه های متوازی الاضلاع). و \ زاویه A = \ زاویه C ، \ زاویه B = \ زاویه D .

ما آن را استنباط می کنیم \ زاویه A = \ زاویه B = \ زاویه C = \ زاویه D. همه آنها 90^(\circ) هستند. مجموع 360^(\circ) است.

ثابت شده!

6. مربع مورب برابر است با مجموع مربع های دو ضلع مجاور آن.

این ویژگی بر اساس قضیه فیثاغورث معتبر است.

AC^2=AD^2+CD^2

7. مورب مستطیل را به دو مثلث قائم الزاویه یکسان تقسیم می کند.

\مثلث ABC = \مثلث ACD, \enspace \مثلث ABD = \مثلث BCD

8. نقطه تلاقی قطرها آنها را به دو نیم می کند.

AO=BO=CO=DO

9. نقطه تلاقی مورب ها مرکز مستطیل و دایره محصور شده است.

10. مجموع تمام زوایا 360 درجه است.

\ زاویه ABC + \ زاویه BCD + \ زاویه CDA + \ زاویه DAB = 360^ (\circ)

11. تمام گوشه های مستطیل راست است.

\ زاویه ABC = \ زاویه BCD = \ زاویه CDA = \ زاویه DAB = 90^(\circ)

12. قطر دایره محصور دور مستطیل برابر است با قطر مستطیل.

13. همیشه می توان یک دایره را در اطراف یک مستطیل توصیف کرد.

این ویژگی به این دلیل معتبر است که مجموع زوایای مقابل یک مستطیل 180^(\circ) است.

\ زاویه ABC = \ زاویه CDA = 180 ^ (\circ) ، \ فضای \ زاویه BCD = \ زاویه DAB = 180^(\circ)

14. یک مستطیل می تواند دارای یک دایره محاط باشد و فقط یک دایره در صورتی که طول ضلع آن یکسان باشد (مربع باشد).

متوازی الاضلاعی است که در آن همه زوایای آن 90 درجه و اضلاع مقابل به صورت زوجی موازی و مساوی هستند.

مستطیل دارای چندین ویژگی غیرقابل انکار است که در حل بسیاری از مسائل، در فرمول های مساحت مستطیل و محیط آن استفاده می شود. اینجا اند:

طول ضلع یا قطر مجهول مستطیل توسط قضیه فیثاغورث یا توسط قضیه محاسبه می شود. مساحت یک مستطیل را می توان به دو روش پیدا کرد - با حاصل ضرب اضلاع آن یا با فرمول مساحت مستطیل از طریق مورب. اولین و ساده ترین فرمول به صورت زیر است:

یک مثال از محاسبه مساحت یک مستطیل با استفاده از این فرمول بسیار ساده است. با دانستن دو ضلع، به عنوان مثال a = 3 cm، b = 5 cm، به راحتی می توانیم مساحت مستطیل را محاسبه کنیم:
ما دریافتیم که در چنین مستطیلی مساحت برابر با 15 متر مربع خواهد بود. سانتی متر.

مساحت مستطیل بر حسب مورب

گاهی اوقات لازم است فرمول مساحت یک مستطیل را بر حسب مورب اعمال کنید. برای آن، نه تنها باید طول قطرها، بلکه زاویه بین آنها را نیز بدانید:

مثالی از محاسبه مساحت یک مستطیل با استفاده از مورب ها را در نظر بگیرید. اجازه دهید مستطیلی با قطر d = 6 سانتی متر و زاویه = 30 درجه داده شود. ما داده ها را در فرمول از قبل شناخته شده جایگزین می کنیم:

بنابراین، مثال محاسبه مساحت یک مستطیل از طریق قطر به ما نشان داد که یافتن مساحت به این ترتیب با توجه به زاویه، بسیار ساده است.
یک معمای جالب دیگر را در نظر بگیرید که به ما کمک می کند کمی مغزمان را بکشیم.

یک وظیفه:مربع داده شده است. مساحت آن 36 متر مربع است. سانتی متر محیط مستطیلی را بیابید که طول یکی از اضلاع آن 9 سانتی متر است و مساحت آن با مربعی که در بالا داده شد یکسان است.
پس ما چند شرط داریم. برای وضوح، آنها را یادداشت می کنیم تا تمام پارامترهای شناخته شده و ناشناخته را ببینیم:
اضلاع شکل به صورت جفتی موازی و مساوی هستند. بنابراین، محیط شکل برابر است با دو برابر مجموع طول اضلاع:
از فرمول مساحت یک مستطیل که برابر با حاصلضرب دو ضلع شکل است، طول ضلع b را پیدا می کنیم.
از اینجا:
داده های شناخته شده را جایگزین می کنیم و طول ضلع b را پیدا می کنیم:
محیط شکل را محاسبه کنید:
بنابراین، با دانستن چند فرمول آسان، می توانید محیط یک مستطیل را با دانستن مساحت آن محاسبه کنید.

تعریف.

مستطیلچهار ضلعی است که دو ضلع آن برابر و هر چهار زاویه آن برابر است.

مستطیل ها فقط در نسبت ضلع بلند به ضلع کوتاه با یکدیگر تفاوت دارند، اما هر چهار آنها راست هستند، یعنی هر کدام 90 درجه.

ضلع بلند مستطیل نامیده می شود طول مستطیل، و کوتاه عرض مستطیل.

اضلاع یک مستطیل نیز ارتفاع آن است.

ویژگی های اساسی یک مستطیل

یک مستطیل می تواند متوازی الاضلاع، مربع یا لوزی باشد.

1. اضلاع مقابل مستطیل دارای طول یکسان هستند، یعنی مساوی هستند:

AB=CD، BC=AD

2. اضلاع مقابل مستطیل موازی هستند:

3. اضلاع مجاور مستطیل همیشه عمود هستند:

AB ┴ قبل از میلاد، قبل از میلاد ┴ CD، CD ┴ AD، AD ┴ AB

4. هر چهار گوشه مستطیل مستقیم است:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90 درجه

5- مجموع زوایای یک مستطیل 360 درجه است:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360 درجه

6. قطرهای یک مستطیل دارای طول یکسان هستند:

7. مجموع مربعات مورب مستطیل برابر است با مجموع مربعات اضلاع:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. هر مورب مستطیل، مستطیل را به دو شکل یکسان یعنی مثلث قائم الزاویه تقسیم می کند.

9. قطرهای مستطیل همدیگر را قطع می کنند و در نقطه تلاقی به نصف تقسیم می شوند:

		AO=BO=CO=DO=	د
			2

10. نقطه تلاقی مورب ها مرکز مستطیل نامیده می شود و مرکز دایره محصور نیز می باشد.

11. قطر یک مستطیل قطر دایره محصور شده است

12. همیشه می توان یک دایره را در اطراف یک مستطیل توصیف کرد، زیرا مجموع زوایای مقابل 180 درجه است:

∠ABC = ∠CDA = 180 درجه ∠BCD = ∠DAB = 180 درجه

13. یک دایره را نمی توان در مستطیلی که طول آن با عرض آن برابر نیست، محاط کرد، زیرا مجموع اضلاع مخالف با یکدیگر برابر نیستند (دایره را فقط می توان در یک حالت خاص از یک مستطیل - یک مربع) محاط کرد.

اضلاع یک مستطیل

تعریف.

طول مستطیلطول جفت بلندتر اضلاع آن را صدا بزنید. عرض مستطیلطول جفت کوتاهتر اضلاع آن را نام ببرید.

فرمول های تعیین طول اضلاع یک مستطیل

1. فرمول ضلع مستطیل (طول و عرض مستطیل) بر حسب قطر و ضلع دیگر:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. فرمول ضلع مستطیل (طول و عرض مستطیل) بر حسب مساحت و ضلع دیگر:

b = dcos	β
	2

مستطیل مورب

تعریف.

مستطیل موربهر قطعه ای که دو راس گوشه های متضاد یک مستطیل را به هم متصل کند، نامیده می شود.

فرمول های تعیین طول مورب یک مستطیل

1. فرمول قطر مستطیل بر حسب دو ضلع مستطیل (از طریق قضیه فیثاغورث):

d = √ a 2 + b 2

2. فرمول قطر مستطیل بر حسب مساحت و هر ضلع:

4. فرمول قطر مستطیل بر حسب شعاع دایره محصور شده:

d=2R

5. فرمول قطر یک مستطیل بر حسب قطر دایره محدود شده:

d = D o

6. فرمول قطر مستطیل بر حسب سینوس زاویه مجاور قطر و طول ضلع مقابل این زاویه:

8. فرمول مورب یک مستطیل بر حسب سینوس زاویه حاد بین قطرها و مساحت مستطیل

d = √2S: sinβ

محیط یک مستطیل

تعریف.

محیط یک مستطیلمجموع طول تمام اضلاع مستطیل است.

فرمول های تعیین طول محیط یک مستطیل

1. فرمول محیط مستطیل بر حسب دو ضلع مستطیل:

P = 2a + 2b

P = 2 (a+b)

2. فرمول محیط مستطیل بر حسب مساحت و هر ضلع:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	آ		ب

3. فرمول محیط مستطیل بر حسب قطر و هر ضلع:

P = 2 (a + √ d 2 - a 2) = 2 (b + √ d 2 - b 2)

4. فرمول محیط مستطیل بر حسب شعاع دایره محصور و هر ضلع:

P = 2 (a + √4R 2 - یک 2) = 2 (b + √4R 2 - ب 2)

5. فرمول محیط مستطیل بر حسب قطر دایره محصور و هر ضلع:

P = 2 (a + √D o 2 - یک 2) = 2 (b + √D o 2 - ب 2)

مساحت مستطیل

تعریف.

مساحت مستطیلفضای محدود شده توسط اضلاع مستطیل، یعنی در محیط مستطیل نامیده می شود.

فرمول های تعیین مساحت یک مستطیل

1. فرمول مساحت یک مستطیل بر حسب دو ضلع:

S = a b

2. فرمول مساحت یک مستطیل از طریق محیط و هر ضلع:

5. فرمول مساحت یک مستطیل بر حسب شعاع دایره محصور و هر ضلع:

S = a √4R 2 - یک 2= b √4R 2 - ب 2

6. فرمول مساحت یک مستطیل بر حسب قطر دایره محصور و هر ضلع:

S \u003d a √ D o 2 - یک 2= b √ D o 2 - ب 2

دایره ای که دور یک مستطیل محصور شده است

تعریف.

دایره ای که دور یک مستطیل محصور شده استدایره به دایره ای گفته می شود که از چهار راس مستطیل می گذرد که مرکز آن در محل تلاقی قطرهای مستطیل قرار دارد.

فرمول هایی برای تعیین شعاع دایره ای که دور یک مستطیل محصور شده است

1. فرمول شعاع دایره ای که دور یک مستطیل از دو ضلع احاطه شده است:

4. فرمول شعاع یک دایره که در مورد یک مستطیل از طریق قطر مربع توضیح داده شده است:

5. فرمول شعاع یک دایره، که در نزدیکی یک مستطیل از طریق قطر یک دایره (محدود شده) توضیح داده شده است:

6. فرمول شعاع دایره، که در نزدیکی یک مستطیل از طریق سینوس زاویه ای که در مجاورت قطر قرار دارد، و طول ضلع مقابل این زاویه توضیح داده شده است:

7. فرمول شعاع دایره که در مورد یک مستطیل بر حسب کسینوس زاویه ای که مجاور آن قطر است و طول ضلع در این زاویه توضیح داده شده است:

8. فرمول شعاع یک دایره که در نزدیکی یک مستطیل از طریق سینوس یک زاویه حاد بین قطرها و مساحت مستطیل توضیح داده شده است:

زاویه بین ضلع و مورب مستطیل.

فرمول های تعیین زاویه بین ضلع و مورب مستطیل:

1. فرمول تعیین زاویه بین ضلع و مورب مستطیل از طریق مورب و ضلع:

2. فرمول تعیین زاویه بین ضلع و مورب مستطیل از طریق زاویه بین قطرها:

زاویه بین قطرهای مستطیل.

فرمول های تعیین زاویه بین قطرهای یک مستطیل:

1. فرمول تعیین زاویه بین قطرهای یک مستطیل از طریق زاویه بین ضلع و مورب:

β = 2α

2. فرمول تعیین زاویه بین قطرهای یک مستطیل از طریق مساحت و قطر.

محتوا:

مورب پاره خطی است که دو راس متضاد یک مستطیل را به هم متصل می کند. یک مستطیل دارای دو قطر مساوی است. اگر اضلاع مستطیل مشخص باشد، می توان قطر آن را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کرد، زیرا قطر مستطیل را به دو مثلث قائم الزاویه تقسیم می کند. اگر اضلاع داده نشده است، اما مقادیر دیگری شناخته شده است، به عنوان مثال، مساحت و محیط یا نسبت اضلاع، می توانید اضلاع مستطیل را پیدا کنید و سپس با استفاده از قضیه فیثاغورث قطر را محاسبه کنید.

مراحل

1 در کنار هم

1. 1 قضیه فیثاغورث را بنویسید.فرمول: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 طرفین را به فرمول وصل کنید.آنها در مسئله آورده شده اند یا باید اندازه گیری شوند. مقادیر جانبی جایگزین 3 می شوند
   • در مثال ما:
     4 2 + 3 2 = ج 2 4

     2 بر حسب مساحت و محیط

     1. 1 فرمول: S \u003d l w (در شکل، نماد A به جای S استفاده شده است.)
     2. 2 این مقدار جایگزین S 3 می شود فرمول را دوباره بنویسید تا w 4 جدا شود فرمول محاسبه محیط مستطیل را بنویسید.فرمول: P = 2 (w + l)
     3. 5 مقدار محیط مستطیل را با فرمول جایگزین کنید.این مقدار جایگزین P 6 می شود دو طرف معادله را بر 2 تقسیم کنید.مجموع اضلاع مستطیل یعنی w + l 7 را به دست خواهید آورد در فرمول، عبارت را برای محاسبه w 8 جایگزین کنید از شر کسری خلاص شوید.برای این کار هر دو قسمت معادله را در l 9 ضرب کنید معادله را 0 قرار دهید.برای انجام این کار، عبارت با متغیر مرتبه اول را از دو طرف معادله کم کنید.
        • در مثال ما:
          12 لیتر \u003d 35 + l 2 10 شرایط معادله را مرتب کنید.اولین عضو، دومین عضو متغیر، سپس اولین عضو متغیر و سپس عضو آزاد خواهد بود. در عین حال، علائم ("بعلاوه" و "منهای") را که در جلوی اعضا قرار دارد فراموش نکنید. توجه داشته باشید که معادله به صورت یک معادله درجه دوم نوشته می شود.
          • در مثال ما 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • در مثال ما، معادله 0 = l 2 − 12 l + 35 12 l 13 را پیدا کنید قضیه فیثاغورث را بنویسید.فرمول: a 2 + b 2 = c 2
              • از قضیه فیثاغورث استفاده کنید، زیرا هر قطر مستطیل آن را به دو مثلث قائم الزاویه مساوی تقسیم می کند. علاوه بر این، اضلاع مستطیل پایه های مثلث هستند و مورب مستطیل، ضخامت مثلث است.
            • 14 این مقادیر جایگزین عدد 15 می شوند طول و عرض را مربع کنید و سپس نتایج را اضافه کنید.به یاد داشته باشید که هنگام مربع کردن یک عدد، آن در خودش ضرب می شود.
              • در مثال ما:
                5 2 + 7 2 = ج 2 16 جذر دو طرف معادله را بگیرید.از ماشین حساب برای پیدا کردن سریع ریشه دوم استفاده کنید. شما همچنین می توانید از ماشین حساب آنلاین استفاده کنید. ج را خواهید یافت

                3 بر اساس مساحت و نسبت ابعاد

                1. 1 معادله ای بنویسید که نسبت اضلاع را مشخص می کند.جداسازی l 2 فرمول محاسبه مساحت یک مستطیل را بنویسید.فرمول: S = l w (از علامت A به جای S در شکل استفاده شده است.)
                   • این روش برای زمانی که مقدار محیط مستطیل مشخص است نیز قابل استفاده است، اما پس از آن باید از فرمول برای محاسبه محیط استفاده کنید نه مساحت. فرمول محاسبه محیط مستطیل: P = 2 (w + l)
                2. 3 ناحیه مستطیل را به فرمول وصل کنید.این مقدار جایگزین S 4 می شود عبارت مشخص کننده نسبت اضلاع را در فرمول جایگزین کنید.در مورد مستطیل، می توانید یک عبارت را برای محاسبه l 5 جایگزین کنید یک معادله درجه دوم بنویسید.برای این کار، براکت ها را باز کرده و معادله را با صفر برابر کنید.
                   • در مثال ما:
                     35 = w (w + 2) 6 معادله درجه دوم را فاکتورسازی کنید.برای دستورالعمل های دقیق به ادامه مطلب بروید.
                     • در مثال ما، معادله 0 = w 2 − 12 w + 35 7 w 8 را پیدا کنید مقدار عرض (یا طول) موجود در معادله مشخص کننده نسبت اضلاع را جایگزین کنید.بنابراین می توانید طرف دیگر مستطیل را پیدا کنید.
                       • به عنوان مثال، اگر شما محاسبه کنید که عرض یک مستطیل 5 سانتی متر است و نسبت تصویر با معادله l = w + 2 9 به دست می آید. قضیه فیثاغورث را بنویسید.فرمول: a 2 + b 2 = c 2
                         • از قضیه فیثاغورث استفاده کنید، زیرا هر قطر مستطیل آن را به دو مثلث قائم الزاویه مساوی تقسیم می کند. علاوه بر این، اضلاع مستطیل پایه های مثلث هستند و مورب مستطیل، ضخامت مثلث است.
                       • 10 مقادیر طول و عرض را به فرمول وصل کنید.این مقادیر جایگزین 11 می شوند طول و عرض را مربع کنید و سپس نتایج را اضافه کنید.به یاد داشته باشید که هنگام مربع کردن یک عدد، آن در خودش ضرب می شود.
                         • در مثال ما:
                           5 2 + 7 2 = ج 2 12 جذر دو طرف معادله را بگیرید.از ماشین حساب برای پیدا کردن سریع ریشه دوم استفاده کنید. شما همچنین می توانید از ماشین حساب آنلاین استفاده کنید. c (سبک نمایش c) را پیدا خواهید کرد که فرضیه مثلث و از این رو مورب مستطیل است.
                           • در مثال ما:
                             74 = c 2 (سبک نمایش 74=c^(2))
                             74 = c 2 (سبک نمایش (sqrt (74)) = (sqrt (c^(2)))
                             8, 6024 = c (سبک نمایش 8,6024=c)
                             بنابراین، قطر مستطیلی که طول آن 2 سانتی متر بیشتر از عرض آن و مساحت آن 35 سانتی متر مربع است، تقریباً 8.6 سانتی متر است.