اصل دالامبر برای یک نقطه مادی. شکل معادله حرکت مطابق با قوانین نیوتن تنها شکل نیست. این معادلات را می توان به اشکال دیگر نیز نوشت. یکی از این احتمالات است اصل دالامبر، که به طور رسمی به معادلات دیفرانسیل حرکت اجازه می دهد تا به شکل معادلات تعادلی درآیند.

این اصل را می توان به عنوان یک اصل مستقل، جایگزین قانون دوم نیوتن در نظر گرفت. ما از آن به عنوان وسیله ای برای حل مسائل استفاده می کنیم و آن را از قانون نیوتن استخراج می کنیم.

حرکت یک نقطه مادی را نسبت به چارچوب مرجع اینرسی در نظر بگیرید. برای یک امتیاز مواد رایگان

ما داریم: که = = من.

بردار انتقال کهدر سمت راست برابری، این نسبت را می توان به عنوان یک معادله تعادل نشان داد: من که - 0.

ما مفهوم را معرفی می کنیم نیروهای اینرسیبیایید بردار را بر خلاف شتاب و برابر حاصلضرب جرم نقطه و شتاب آن بنامیم. نیروی اینرسی یک نقطه مادی: = -ta.

با استفاده از این مفهوم، می توانیم بنویسیم (شکل 3.42):

• ? ^ + P "n) = 0. (3.47)

برنج. 3.42.

برای نقطه مادی

معادله (3.47) اصل دالامبر برای یک نقطه مادی آزاد است: اگر نیروی اینرسی به نیروهای وارده به نقطه اضافه شود، آن نقطه در حالت تعادل خواهد بود.

به بیان دقیق، موضع بیان شده اصل دالامبر به شکلی که نویسنده آن را فرموله کرده است، نیست.

دالامبر در نظر گرفته شد حرکت غیر آزاد یک نقطه، بدون استفاده از اصل رها شدن از پیوندها، بدون معرفی واکنش پیوند. با توجه به اینکه در حضور یک اتصال، شتاب یک نقطه در جهت با نیرو و تا اف آر،او این مفهوم را معرفی کرد قدرت از دست رفته P - کهو بیان کرد که اعمال نیروی از دست رفته به یک نقطه، حالت تعادل آن را به هم نمی زند، زیرا نیروی از دست رفته توسط واکنش اتصال متعادل می شود.

رابطه (3.47) است معادله پایه سینتواستاتیک،یا معادله اصلی هرمان پترزبورگ-اویلر.روش kinetostatics را می توان به عنوان اصلاحی از اصل d'Alembert، از جمله برای یک نقطه ماده آزاد، که برای استفاده عملی راحت تر است، در نظر گرفت. بنابراین در بیشتر منابع ادبی معادله (47/3) را اصل دالامبر می نامند.

اگر نقطه آزاد نباشد، یعنی. محدودیتی بر آن تحمیل شده است، تقسیم نیروهایی که روی نقطه عمل می کنند به فعال 1 راحت است، R°(تنظیمات-

داده شده) و واکنش پیوند CU: p(a) + n =

این تکنیک راحت است، زیرا برای برخی از انواع پیوندها می توان معادله حرکت را به گونه ای تنظیم کرد که واکنش های این پیوندها در آن لحاظ نشود. بنابراین، اصل d'Alembert برای یک نقطه غیرآزاد را می توان به صورت (شکل 3.43) نوشت:

R (a)+/V+ R W) = 0, (3.48)

یعنی اگر نیروی اینرسی به یک نقطه مادی غیرآزاد، علاوه بر نیروهای فعال و واکنش جفت، وارد شود، آنگاه سیستم نیروها در هر زمانی در تعادل خواهد بود.

برنج. 3.43.

نقطه مادی

آ- از انگلیسی، فعال- فعال. به یاد بیاورید که نیروها در صورتی فعال نامیده می شوند که با حذف همه پیوندها ارزش خود را حفظ کنند.

هنگام در نظر گرفتن حرکت منحنی یک نقطه، توصیه می شود نیروی اینرسی را به صورت دو جزء نشان دهیم: Г "‘ n) \u003d -ta n- گریز از مرکز و W، p) \u003d -ta x -مماس (شکل 3.44).

برنج. 3.44.

حرکت یک نقطه مادی

به یاد بیاورید که عبارات شتاب های عادی و مماسی به شکل زیر است: a p -U 2 / p و i t = s1U D/L

سپس می توانید بنویسید: P^ t) - -t-p Rp p) - -t-t یا در نهایت: R

rt + p(t) + p(a) + yy = o (3.49)

تساوی (3.49) اصل دالامبر را برای حرکت منحنی یک نقطه غیرآزاد بیان می کند.

یک نخ به طول / را در نظر بگیرید که در انتهای آن یک نقطه جرم ثابت است تی.نخ حول یک محور عمودی می چرخد ​​و یک سطح مخروطی شکل با زاویه تمایل ثابت ژنراتیکس را توصیف می کند. آ.سرعت ثابت متناظر نقطه و کشش نخ را تعیین کنید تی(شکل 3.45).

برنج. 3.45.

حرکت یک نقطه مادی غیر آزاد

بله، اما: /u، /، a = const. پیدا کردن: تلویزیون.

اجازه دهید نیروهای اینرسی را در نقطه ای اعمال کنیم که مخالف اجزای مربوط به شتاب هستند. توجه داشته باشید که نیروی مماسی اینرسی صفر است، زیرا بر اساس شرط سرعت ثابت است:

/1 درجه") = -ta = -t-= اوه

و نیروی گریز از مرکز اینرسی با بیان تعیین می شود P^ m) \u003d mU 2 /p،جایی که p = /Bta.

استفاده از اصل دالامبر برای این مسئله به ما امکان می دهد معادله حرکت نقطه مادی مورد مطالعه را به صورت شرطی برای تعادل نیروهای همگرا بنویسیم: تی؟ + T + Pp n) = 0.

در این مورد، تمام معادلات تعادل در طرح ریزی بر روی محورهای مختصات طبیعی معتبر هستند:

X^n=0، - FJ" 1+ سینا = 0; ^ F h = 0, - میلی گرم + تیکوزا = 0،

+ تیگناه a =

-mg + Tکوزا = 0،

کجا پیدا کنیم تی= /u#/coBa; V= Btal/^/Tcosa.

اصل دالامبر برای سیستمی از نقاط مادی. حرکت یک سیستم مکانیکی از نقاط مادی را در نظر بگیرید. مانند خروج OZMS، نیروهای اعمال شده به هر نقطه را به خارجی و داخلی تقسیم می کنیم (شکل 3.46).

برنج. 3.46.

برآیند نیروهای خارجی اعمال شده به نقطه /- و / G (L - برآیند نیروهای داخلی اعمال شده به همان نقطه باشد. مطابق با اصل d'Alembert، نیروهای اینرسی باید به هر ماده اعمال شود. نقطه سیستم: Рр n) = -т,а г

سپس نیروهای اعمال شده به هر نقطه از سیستم این رابطه را برآورده می کند:

1?E) + pY) + p0p)

آن ها سیستم نقاط مادی در حالت تعادل خواهد بود اگر نیروی اینرسی اضافی به هر یک از نقاط آن اعمال شود. بنابراین با کمک اصل دالامبر می توان به معادلات حرکت سیستم شکل معادلات تعادل داد.

اجازه دهید شرایط تعادل کینتوستاتیکی سیستم را با استفاده از معادلهای استاتیکی نیروهای اینرسی و نیروهای خارجی بیان کنیم. برای این منظور همه را جمع می کنیم پمعادلات (آ)،توصیف نیروهای اعمال شده به نقاط منفرد سیستم. سپس گشتاور تمام نیروهای خارجی و داخلی و نیروهای اینرسی اعمال شده به نقاط منفرد را نسبت به یک نقطه دلخواه محاسبه می کنیم. در باره:

GAایکس R "E> + g aایکس /*") + g aایکس P t > =0. і = 1،2،...، ".

سپس جمع بندی می کنیم، در نتیجه به دست می آوریم

// ص ص

'(E) і G(1)

1l (?) + L (/) + L (، n) \u003d 0;

[M (0 E) + M (0 n + M% a) = 0.

از آنجا که ک من)= 0 و M 1 0 p = 0، بالاخره داریم:

ІЯ (?) + Л (/И) = 0;

M (a E) + M(‘n) = 0.

از سیستم معادلات (3.50) می توان دریافت که بردار اصلی نیروهای اینرسی توسط بردار اصلی نیروهای خارجی متعادل می شود و ممان اصلی نیروهای اینرسی نسبت به یک نقطه دلخواه با ممان اصلی نیروهای خارجی متعادل می شود. نسبت به همان نقطه

هنگام حل مسائل، باید عباراتی برای بردار اصلی و ممان اصلی نیروهای اینرسی داشته باشیم. قدر و جهت این بردارها به توزیع شتاب هر نقطه و جرم آنها بستگی دارد. به عنوان یک قاعده، یک تعریف مستقیم من (ش)و م ("" ]جمع‌بندی هندسی را می‌توان نسبتاً ساده تنها زمانی انجام داد پ - 2 یا پ= 3. در عین حال، در مسئله حرکت یک جسم صلب، می توان معادل های استاتیکی نیروهای اینرسی را در برخی موارد خاص حرکت بسته به ویژگی های سینماتیکی بیان کرد.

بردار اصلی و گشتاور اصلی نیروهای اینرسی جسم صلب در موارد مختلف حرکت. با توجه به قضیه حرکت مرکز جرم t با c \u003d I (E).طبق اصل دالامبر داریم: I (1P) + I (E) =اوه، کجا پیدا کنیم: من "1P) = -t با یک با.بنابراین، با هر حرکت بدن بردار اصلی نیروهای اینرسی برابر است با حاصل ضرب جرم بدن و شتاب مرکز جرم و در جهت مخالف شتاب مرکز جرم است.(شکل 3.47).

برنج. 3.47.

اجازه دهید گشتاور اصلی نیروهای اینرسی را در حین حرکت چرخشی جسم حول محور ثابت عمود بر صفحه تقارن مادی جسم بیان کنیم (شکل 3.48). نیروهای اینرسی اعمال شده به / -point: R"! n) = m، x op 2 و R؟ پ)= /u، ep،.

از آنجایی که تمام نیروهای گریز از مرکز اینرسی محور چرخش را قطع می کنند، ممان اصلی این نیروهای اینرسی صفر است و ممان اصلی نیروهای اینرسی مماسی برابر است با:

m t =?_ C\u003e P (= ?-sh.d x / R. = = -e? / i. p; = - J z (3.51)

بنابراین ممان اصلی نیروهای مماس اینرسی حول محور چرخش برابر با حاصل ضرب ممان اینرسی حول این محور و شتاب زاویه ای است و جهت ممان اصلی نیروهای مماس اینرسی مخالف است. جهت شتاب زاویه ای

برنج. 3.48.

در مورد محور چرخش

در مرحله بعد، نیروهای اینرسی را برای یک حرکت صفحه موازی جسم بیان می کنیم. در نظر گرفتن حرکت صفحه موازی جسم (شکل 3.49) به عنوان مجموع حرکت انتقالی همراه با مرکز جرمو چرخش به اطراف محوری که از مرکز جرم عبور می کندعمود بر صفحه حرکت، در حضور صفحه تقارن مواد منطبق بر صفحه حرکت مرکز جرم، می توان ثابت کرد که نیروهای اینرسی در حرکت صفحه موازی معادل بردار اصلی است / ? (" p) اعمال شده به مرکز جرم مخالف شتاب مرکز جرم و ممان اصلی نیروهای اینرسی است. M^ n)نسبت به محور مرکزی، عمود بر صفحه حرکت، در جهت مخالف شتاب زاویه ای:

برنج. 3.49.

یادداشت.

• 1. توجه داشته باشید که از آنجایی که اصل d’Alembert اجازه می دهد فقط معادله حرکت را به شکل یک معادله تعادل بنویسید،پس هیچ انتگرالی از معادله حرکت نمی دهد.
• 2. تاکید می کنیم که نیروی اینرسیدر اصل دالامبر این است خاکستری ساختگی،علاوه بر نیروهای عامل تنها با هدف به دست آوردن یک سیستم تعادل اعمال می شود. با این حال، در طبیعت نیروهایی وجود دارد که از نظر هندسی با نیروهای اینرسی برابری می کنند، اما این نیروها به اجسام دیگر (شتاب دهنده) اعمال می شود که در اثر متقابلی که با آنها یک نیروی شتاب ایجاد می شود، به جسم متحرک در نظر گرفته شده اعمال می شود. به عنوان مثال، هنگام حرکت دادن یک نقطه ثابت روی نخی که با سرعت ثابت به دور یک دایره در یک صفحه افقی می چرخد، کشش نخ دقیقا برابر است با نیروی اینرسی،آن ها نیروی واکنش یک نقطه روی یک نخ،در حالی که نقطه تحت عمل واکنش نخ به آن حرکت می کند.
• 3. همانطور که قبلاً نشان داده شد، شکل بالا از اصل d'Alembert با آنچه توسط خود d'Alembert استفاده شده است متفاوت است. روش گردآوری معادلات دیفرانسیل حرکت سیستم که در اینجا مورد استفاده قرار می گیرد، توسط تعدادی از دانشمندان سن پترزبورگ توسعه و گسترش یافت و نام آن را دریافت کرد. روش کینتوستاتیک

کاربرد روش های مکانیک در برخی مسائل دینامیک وسایل نقلیه ریلی:

? حرکت یک وسیله نقلیه ریلی در امتداد یک مسیر منحنیدر حال حاضر، با توجه به قابلیت های فناوری رایانه، تجزیه و تحلیل تمام پدیده های مکانیکی که در حین حرکت یک وسیله نقلیه ریلی در یک منحنی رخ می دهد با استفاده از یک مدل نسبتاً پیچیده انجام می شود که مجموعه ای از بدنه های فردی سیستم را در نظر می گیرد. و ویژگی های ارتباطات بین آنها. این رویکرد به دست آوردن تمام ویژگی های حرکتی و دینامیکی لازم برای حرکت امکان پذیر می شود.

با این حال، هنگام تجزیه و تحلیل نتایج نهایی و انجام تخمین‌های اولیه در ادبیات فنی، اغلب با اعوجاج‌های خاصی در برخی مفاهیم مکانیک مواجه می‌شویم. بنابراین، توصیه می شود در مورد "اصلی ترین پایه های" مورد استفاده در توصیف حرکت خدمه در یک منحنی صحبت کنید.

اجازه دهید برخی از توصیفات ریاضی فرآیندهای در نظر گرفته شده را در یک فرمول اولیه ارائه کنیم.

برای توضیح صحیح و منسجم ویژگی ها حرکت ثابت خدمهدر یک منحنی دایره ای لازم است:

• روش مکانیک مورد استفاده برای توصیف این حرکت را انتخاب کنید.
• از دیدگاه مکانیک، مفهوم واضح "نیرو" را دنبال کنید.
• قانون برابری کنش و واکنش را فراموش نکنید.

روند حرکت خدمه در یک منحنی ناگزیر مستلزم تغییر جهت سرعت است. مشخصه سرعت این تغییر، شتاب معمولی است که به مرکز انحنای مسیر منحنی مرکز جرم هدایت می شود: a p - V 2/p که p شعاع منحنی است.

در حین حرکت، وسیله نقلیه با مسیر راه آهن تعامل می کند و در نتیجه نیروهای واکنشی عادی و مماسی به چرخ ها اعمال می شود. به طور طبیعی نیروهای فشاری برابر و مخالف به ریل ها اعمال می شود. با توجه به مفاهیم مکانیکی فوق، نیرو به عنوان نتیجه برهم کنش اجسام یا جسم و میدان درک می شود. در مسئله مورد بررسی، دو سیستم فیزیکی وجود دارد: یک واگن با چرخ و یک مسیر ریلی، بنابراین نیروها را باید در محل تماس آنها جستجو کرد. علاوه بر این، تعامل خدمه و میدان گرانشی زمین باعث ایجاد جاذبه می شود.

شرح حرکت خدمه در منحنی را می توان با استفاده از قضایای عمومی دینامیک، که پیامدهای OZMS هستند یا بر اساس اصول مکانیک(مثلاً اصل دالامبر) که اساس است روش کینتوستاتیک

خواستن توضیح بده ویژگی های برابرروش هایی برای در نظر گرفتن انحنای محور مسیر بر روی ویژگی های حرکت خدمه، ابتدا از ساده ترین مدل ایده آل استفاده می کنیم. خدمه به عنوان یک هواپیمای مادی با جرمی برابر با جرم این سیستم در نظر گرفته می شود.

مرکز جرم واقع در این صفحه یک حرکت معین را در امتداد یک مسیر همسان با محور مسیر، با سرعت انجام می دهد. vتماس با مسیر راه آهن در دو نقطه تقاطع صفحه متحرک با رزوه های ریل انجام می شود. بنابراین، در مورد تعامل وسیله نقلیه با مسیر راه آهن، می توان در مورد نیروهای متمرکز صحبت کرد که حاصل همه واکنش های ریل روی مجموعه چرخ های جداگانه از هر یک از ریل ها است. علاوه بر این، ماهیت وقوع نیروهای واکنشی ناچیز است.

? حرکت واگن در امتداد مسیر بدون ارتفاع از ریل بیرونی.روی انجیر 3.50 طرح طراحی خدمه را نشان می دهد که در امتداد یک مسیر منحنی حرکت می کنند. ریل های بیرونی و داخلی، در این مورد، در یک سطح قرار دارند. روی انجیر 3.50 نیروهای وارد بر خدمه و واکنش باندها را نشان می دهد. تاکید می کنیم که وجود ندارد هیچ نیروی گریز از مرکز واقعی در این طرح وجود ندارد.

در چارچوب مکانیک هندسی نیوتن، حرکت یک وسیله نقلیه در یک منحنی با قضایای کلی دینامیک سیستم توصیف می‌شود.

در این مورد، با توجه به قضیه حرکت مرکز جرم،

t c a c - I a), (a)

که در آن R) بردار اصلی نیروهای خارجی است.

فرافکنی هر دو قسمت بیان (آ)روی محورهای مختصات طبیعی همراه، که مرکز آن در مرکز جرم وسیله نقلیه است، با بردارهای واحد m, i, بو باور کن تی اس = تی.

در طرح ریزی بر روی نرمال اصلی، ما دریافت می کنیم که n \u003d F n،یا

mV / p \u003d Fn (b)

جایی که F n - قدرت حقیقیواکنش‌های ریلی به مجموعه‌های چرخ، که مجموع پیش‌بینی‌های واکنش‌های ریلی به حالت عادی به مسیر است. اینها می توانند نیروهای فشار هدایت کننده ریل بر روی فلنج چرخ باشند. هیچ نیروی خارجی دیگری در این مسیر وجود ندارد.

در طرح بیان (آ)بر روی دو نرمال دریافت می کنیم:

O = -mg+nout+Nمسافرخانه (با)

در اینجا شاخص ها بیرون 1مطابق با بیرونی، الف مسافرخانه-ریل داخلی منحنی سمت چپ در عبارت (c) برابر با صفر است، زیرا پیش بینی شتاب بر روی دونرمال برابر با صفر است.

معادله سوم را با استفاده از قضیه تغییر تکانه زاویه ای بدست می آوریم نسبت به مرکز جرم:

dK c /dt = ^M c . (د)

طراحی یک بیان ددر محور t، جایی که t = nx b -حاصلضرب برداری بردارهای واحد پو ب، با توجه به آن KCl\u003d U St با t, U St - لحظه اینرسی خدمه در مورد محور مماس بر مسیر مرکز جرم، خواهیم داشت

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, (ه)

زیرا شتاب زاویه ای حول محور m در حرکت ثابت در امتداد منحنی دایره ای صفر است.

اصطلاحات ( ب)، (ج) و (ه)سیستمی از معادلات جبری خطی برای سه کمیت مجهول است M-tp> با حل آن، به دست می آوریم:

برنج. 3.50.

بنابراین، کاربرد مداوم قضایای عمومی دینامیک به ما امکان می دهد تا تمام پدیده های مرتبط با عبور خدمه یک بخش منحنی از مسیر را در مسئله مورد بررسی قرار دهیم.

در واقع، هر دو چرخ در معرض نیروهایی هستند که به داخل منحنی هدایت می شوند. حاصل این نیروها یک لحظه در مورد مرکز جرم وسیله نقلیه ایجاد می کند که می تواند باعث چرخش و حتی انحراف به خارج از منحنی شود. V 2 N/p5" > g.عمل این نیرو منجر به سایش چرخ ها می شود. به طور طبیعی، نیروی معکوس بر روی ریل عمل می کند -R pباعث سایش ریل می شود.

توجه داشته باشید که در عبارت فوق، تنها برآیند واکنش های افقی دو ریل را می توان یافت آر.برای تعیین توزیع این نیرو بین ریل های داخلی و خارجی، لازم است با استفاده از شرایط اضافی، یک مشکل استاتیکی نامشخص حل شود. به علاوه در حین حرکت واگن، واکنش های طبیعی ریل بیرونی و داخلی مقادیر متفاوتی دارد. نخ ریل بیرونی بار بیشتری دارد.

واکنش نخ داخلی به وسیله نقلیه کمتر است و در مقدار معینی از سرعت حتی می تواند برابر با صفر باشد.

در مکانیک کلاسیک به این حالت می گویند واژگون شدن، اگرچه در واقع هنوز جابجایی وجود ندارد. برای پی بردن به زمان وقوع واژگونی واقعی، باید چرخش خودرو حول محوری موازی با m و عبور از نقطه تماس چرخ با ریل بیرونی را در نظر گرفت؟ تی اف 0. چنین وظیفه ای صرفاً جنبه آکادمیک دارد، زیرا، البته، آوردن یک سیستم واقعی به چنین وضعیتی غیرقابل قبول است.

بار دیگر تاکید می کنیم که در تبیین همه پدیده ها از واقعیت اقتدا کردیم حرکت ماشین فقط تحت عمل نیروهای واقعی.

توجه داشته باشید که معادله دیفرانسیل چرخش حول محور m، حتی در = 0، با توجه به محور مرکزی m نوشته می شود. انتخاب این محور در نقطه ای دیگر منجر به تغییر شکل سمت چپ معادله می شود. قضیه لحظه ای بنابراین، برای مثال، نوشتن این معادله به یک شکل نسبت به محوری که از نقطه تماس چرخ با ریل می گذرد غیرممکن است، اگرچه به نظر می رسد که یافتن مقدار واکنش های عادی آسان تر باشد. در این مورد. با این حال، این رویکرد منجر به نتیجه اشتباه خواهد شد: I osh \u003d M 1Sh1 \u003d mg | 2.

می توان نشان داد که موضوع این است که معادله چرخش حول محوری که مثلاً از یک نقطه می گذرد به، باید با در نظر گرفتن ممان تکانه بدن از قسمت انتقالی حرکت نوشته شود g x x ta s: J Cl? t+ تی(g ks xx د)=^ م خ.

بنابراین، به جای معادله (c) در طرح ریزی بر روی محور St، عبارت را به دست می آوریم

(8 )

/ خیابان؟ t+ t[g ksایکس یک ج) t = -teB + N ipp 25,

که در داخل پرانتز مقدار طرح ریزی بر روی محور St حاصلضرب برداری است ? ks ha s.

اجازه دهید نشان دهیم که اجرای متوالی رویه های لازم به ما امکان می دهد پیدا کنیم s wاز معادله به دست آمده). از انجیر 3.50 این را نشان می دهد

g ks - bp + Hbو a c =

بیایید حاصل ضرب برداری را محاسبه کنیم:

در اینجا در نظر گرفته شده است که php = 0و bxn = - t. بنابراین،

tNU 2

2 لیتر گرم / لیتر 5 '،

جایی که واکنش ریل داخلی را می یابیم:

که همان نتیجه به دست آمده در عبارت (/) است.

در خاتمه ارائه مشکل به این نکته اشاره می کنیم که در نظر گرفتن خودرو در جنبشاستفاده از روش های نیوتن در مکانیک هندسی امکان حل مسئله را فراهم می کند بدون معرفی ساختگی و اینرسی.فقط لازم است از تمام مفاد مکانیک به درستی استفاده شود. با این حال، باید توجه داشت که استفاده از این روش ممکن است با مقدار بیشتری از محاسبات نسبت به استفاده از اصل d'Alembert همراه باشد.

اکنون اجازه دهید نشان دهیم که چگونه همان مشکل بر اساس استفاده از اصل d'Alembert در شکل عمومی پذیرفته شده روش kinetostatics حل می شود. در این مورد، لازم است یک اضافی اعمال شود

نخ زنی ساختگینیروی اینرسی: G* = -ta sp = -تی-پ.و ایکی-

صفحه متوقف می شود، یعنی اکنون شتاب مرکز جرم آن یک ج= 0. در شکل. 3.51 چنین نشان می دهد سیستم استراحتتمام نیروهای اعمال شده به آن، از جمله نیروی اینرسی، باید معادلات جنبشی استاتیکی را برآورده کنند تعادل، نه حرکت،مانند مورد قبلی.

این شرایط به ما این امکان را می دهد که همه کمیت های ناشناخته را پیدا کنیم معادله تعادلدر این حالت، انتخاب شکل معادلات تعادل و نقاطی که با توجه به آنها گشتاورها محاسبه می شود، دلخواه می شود. شرایط اخیر به ما امکان می دهد همه مجهولات را مستقل از یکدیگر پیدا کنیم:

من م = اوهمن m,_= اوه

-n = در مورد.

1 در نماینده مجلس

برنج. 3.51. طرح طراحی نیروهای وارد بر خدمه تحت شرایط مشابه در شکل 1. 3.50 هنگام استفاده از اصل d'Alembert

به راحتی می توان دید که جواب های این سیستم معادلات با فرمول های مربوطه به دست آمده با استفاده از تئوری دینامیک منطبق است. بنابراین، در مثال مورد بررسی، به کارگیری اصل d'Alembert این امکان را فراهم کرد تا حل مسئله تا حدودی ساده شود.

با این حال، هنگام تفسیر نتایج، باید در نظر داشت که نیروی اینرسی اضافی اعمال شده به این معنا ساختگی است که در واقعیت چنین نیرویی روی خدمه کار نمی کند.علاوه بر این، این نیرو قانون سوم نیوتن را برآورده نمی کند - هیچ "پایان دوم" این نیرو وجود ندارد، یعنی. بدون مخالفت

به طور کلی، هنگام حل بسیاری از مسائل مکانیک، از جمله مشکل حرکت خدمه در یک منحنی، استفاده از اصل d'Alembert راحت است. با این حال، نباید هیچ پدیده ای را با آن مرتبط کرد عملاین نیروی اینرسی مثلاً بگوییم که این نیروی گریز از مرکز اینرسی، ریل بیرونی را بارگذاری می کند و ریل داخلی را تخلیه می کند و علاوه بر این، این نیرو می تواند باعث واژگونی وسیله نقلیه شود. این نه تنها بی سواد، بلکه بی معنی است.

بار دیگر به یاد می آوریم که نیروهای اعمال شده خارجی که در یک منحنی بر روی کالسکه وارد می شوند و وضعیت حرکت آن را تغییر می دهند، واکنش های گرانشی، عمودی و افقی ریل ها هستند.

? حرکت واگن در امتداد یک منحنی با ارتفاع ریل بیرونی.همانطور که نشان داده شد، فرآیندهایی که هنگام عبور وسیله نقلیه از منحنی ها بدون ارتفاع ریل بیرونی رخ می دهد، با پیامدهای نامطلوب همراه است - بارگذاری عمودی ناهموار ریل ها، پاسخ افقی قابل توجهی از ریل به چرخ، همراه با افزایش سایش. از هر دو چرخ و ریل، امکان واژگونی در صورت تجاوز از سرعت، حرکت یک حد معین و غیره.

تا حد زیادی می توان از پدیده های ناخوشایند همراه با عبور منحنی ها با بالا بردن ریل بیرونی بالای ریل داخلی جلوگیری کرد. در این حالت، کالسکه در امتداد سطح مخروط با زاویه شیب ژنراتیکس به محور افقی (شکل 3.52): f L \u003d قوس الکتریکی (L / 25) یا در زوایای کوچک می چرخد.

F A * L/2 اس.

برنج. 3.52.

با ارتفاع از ریل بیرونی

در حالت ثابت، زمانی که V- const و φ A = const، می‌توانیم حرکت یک بخش مسطح از واگن را در صفحه خودش به همان شکلی که در یک منحنی قرار می‌گیریم بدون بالا بردن ریل بیرونی در نظر بگیریم.

تکنیکی را برای حل مسئله با استفاده از قضایای عمومی دینامیک در نظر بگیرید. ما فرض می کنیم که مرکز جرم وسیله نقلیه در امتداد یک منحنی دایره ای با شعاع p حرکت می کند، اگرچه در مورد مورد بررسی، به طور دقیق، شعاع انحنای محور مسیر با شعاع انحنای مسیر مرکز متفاوت است. جرم به مقدار کم:

اچگناه cf L ~ اچ f A "r.

بنابراین، در مقایسه با p، مقدار دوم را می توان نادیده گرفت. حرکت "بخش مسطح" خدمه به محورهای همراه نسبت داده می شود SuSi x(نگاه کنید به شکل 3.52)، که در آن محور سو]موازی با هواپیمای مسیر در یک سرعت حرکت ثابت، طرح شتاب مرکز جرم بر روی نرمال اصلی مسیر حرکت آن را می توان به همان روشی که هنگام حرکت در یک منحنی بدون ارتفاع نوشته می شود، یعنی. یک صفحه = V i/ر.

پیش بینی شتاب در محور سو، و Cz^به ترتیب برابر هستند:

a ux = a p sovf،; من. \u003d یک «smy h.

معادلات حرکت یک مقطع مسطح بر اساس قضیه حرکت مرکز جرم و قضیه تغییر تکانه زاویه ای نسبت به محور Cx به شرح زیر است:

با در نظر گرفتن اینکه = 0، پس از جایگزینی، سیستمی از سه معادله جبری خطی در سه مجهول به دست می آوریم. اف vi، ن iiw، N ( صفر:

/i-si Pf l = -میلی گرم cosV/، + N mn + N بیرون; پ

-Sof A = mgs ipf A + اف ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

توجه داشته باشید که شیب صفحه محور مسیر به دلیل ارتفاع ریل بیرونی منجر به تغییر در پیش بینی شتاب مرکز جرم روی محور Cy و Cr می شود که با تغییر در واکنش‌های ریل در مقایسه با واکنش‌های بدون ارتفاع، زمانی که آ. - 0, a l این تغییرات در پیش بینی شتاب ها را می توان توضیح داد اگر چرخش وسیله نقلیه حول دونرمال عبوری از مرکز انحنای منحنی را به عنوان مجموع هندسی دو چرخش ω = ω (+ b) حول محورها در نظر بگیریم؟ y، از همان مرکز منحنی عبور می کند.

هنگام تدوین یک سیستم معادلات (به)کوچکی زاویه cp L در نظر گرفته نشده بود. با این حال، در یک طراحی عملی

wtf A ~ /g/25.

بنابراین، در مورد f L کوچک، سیستم معادلات برای تعیین واکنش های مسیر به وسیله نقلیه به شکل زیر است:

= -g^+ ال جی، + م گش،;

تی- = /yy#--1- r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + R p N.

با حل این معادلات بدست می آوریم:

ن...... =

mg + TU/G

جمعه/77 K و /77 „

• - +--+-n
• 2r 25 25

در مورد خاص که ارتفاع وجود ندارد (و= 0)، این عبارات با عباراتی که قبلاً (/) به دست آمده منطبق است.

اکنون به تحلیل نتایج حل مسئله می پردازیم من اف 0.

لازم به ذکر است که در این حالت واکنش عرضی ریل که در صفحه مسیر هدایت می شود کاهش می یابد. این با این واقعیت توضیح داده می شود که در شکل گیری شتاب مرکز جرم در جهت محور سو، نه تنها نیروی //، بلکه جزء گرانش نیز نقش دارد. علاوه بر این، برای یک مقدار مشخص و\u003d 25K 2 / p؟ زور آرصفر می شود:

با در نظر گرفتن اینکه

t g - تی،= X A,%>+ X آ[

• (3.42)

مقدار داخل براکت نامیده می شود شتاب فوق العادهایالت وقتی P = 0، مربوط به موردی است که در آن شتاب عادی است آتنها با برآمدگی بر روی محور d>، نیروی گرانش خدمه تشکیل می شود.

هنگام بحث در مورد مشکل مورد بررسی، گاهی اوقات یک استدلال پیچیده وجود دارد که شتاب یک صفحهبه صورت افقی هدایت می شود و گرانش عمودی است (شکل 3.52 را ببینید) و بنابراین نمی تواند شتاب مورد نظر را تشکیل دهد. یک صفحهدر آر= 0. این استدلال حاوی یک خطا است، زیرا در شکل گیری شتاب افقی، علاوه بر نیرو آر، واکنش های معمولی Dr w u و / V o r نیز شرکت می کنند.مجموع این دو واکنش در f A کوچک برابر است با 1H tp + 1U Oig \u003d mg.بنابراین، گرانش همچنان در شکل گیری شتاب افقی شرکت می کند a pاما از طریق کنش واکنش ها N mو S oiG

حال اجازه دهید در مورد چگونگی تغییر واکنش های طبیعی ریل ها، عمود بر سطح مسیر بحث کنیم.

توجه داشته باشید که بر خلاف حالت /7 = 0، واکنش ها به همان مقدار افزایش می یابد TU 2 I/2r28،که مورد غفلت قرار می گیرد زیرا ///25 - ارزش کوچک است با این حال، در استدلال دقیق، این اصطلاح را برای عبارات و N wانجامش نده.

وقتی -> -2-، یعنی. با شتاب برجسته مثبت، ص 25

واکنش ریل داخلی کمتر از بیرونی است، با این حال، تفاوت بین آنها به اندازه با و = 0.

اگر شتاب برجسته برابر با صفر باشد، مقادیر واکنش برابر می شود IV oSH = میلی گرم | 2(برای کوچک و)آن ها ارتفاع ریل بیرونی اجازه می دهد تا نه تنها به دست آورید RU= 0، بلکه فشار روی ریل های بیرونی و بیرونی را نیز برابر کنید. این شرایط دستیابی به مقادیر سایش یکنواخت تری را برای هر دو ریل ممکن می سازد.

اما به دلیل مرتفع بودن ریل بیرونی، احتمال مقدار منفی وجود دارد آر"، که در یک سیستم واقعی با محدودیت های غیر نگهدارنده مربوط به فرآیند لغزش خودرو در امتداد محور است. y gآن ها داخل منحنی به دلیل شیب یکسان مسیر، توزیع مجدد واکنش ها می تواند رخ دهد N wو نه اوهغالب م ش.

بنابراین، مطالعات حرکت یک وسیله نقلیه در یک منحنی در امتداد یک مسیر با ارتفاع ریل بیرونی، که با استفاده از روش‌های مکانیک هندسی نیوتن انجام شده است، امکان تجزیه و تحلیل وضعیت سیستم را بدون فرضیه‌های اصطلاحی اضافی ممکن می‌سازد. هیچ نیروی اینرسی در استدلال وجود ندارد.

حال بیایید در نظر بگیریم که چگونه حرکت کالسکه در همان منحنی با استفاده از اصل d'Alembert توصیف می شود.

با اعمال این اصل در فرمول بندی روش kinetostatics به همان روشی که در مورد قبل انجام شد، لازم است نیروی اینرسی نرمال (گریز از مرکز) به مرکز جرم اعمال شود. Ä n)در جهت مخالف شتاب معمولی (شکل 3.53):

که در آن سیستماز نو متوقف می شود، یعنی خدمه در طول مسیر حرکت نمی کنند. بنابراین، تمام معادلات تعادل جنبشی استاتیک معتبر هستند:

من به= °-X r* = O.

/L^ypf، - G‘ p sovf* + GU[ = 0;

- /L?S08f /; - BIPf، + +N^1

با جایگزینی مقدار در اینجا، همان سیستم معادلات سیستم (/) را برای هر f / (یا به دست می آوریم. (به)در کوچک و.

بنابراین، استفاده از هر دو روش دقیقاً به نتایج یکسانی منجر می شود. سیستم معادلات ( به) و سیستم به دست آمده بر اساس اصل d'Alembert یکسان است.

البته توجه داشته باشید که در نتایج نهایی شامل هیچ نیروی اینرسی نمی شود.این قابل درک است، زیرا اصل دالامبر، که زیربنای روش کینتوستاتیک است، فقط وسیله ای برای تدوین معادلات دیفرانسیل حرکت سیستم.در عین حال می بینیم که در مسئله مورد بررسی، اعمال اصل d'Alembert امکان ساده سازی محاسبات را فراهم کرده و می توان آن را برای محاسبات عملی توصیه کرد.

با این حال، بار دیگر تأکید می کنیم که در واقعیت قدرت وجود ندارد TU 2/p به مرکز جرم وسیله نقلیه در حال حرکت اعمال می شود. بنابراین، تمام پدیده های مرتبط با حرکت در یک منحنی باید توضیح داده شوند، همانطور که بر اساس تجزیه و تحلیل نتایج حل سیستم (/) انجام شد، یا (به).

در خاتمه به این نکته اشاره می کنیم که «روش نیوتن» و «روش دالامبر» در مسئله مورد بررسی تنها به منظور تدوین معادلات دیفرانسیل حرکت استفاده شده است. در عین حال در مرحله اول به جز خود معادلات دیفرانسیل هیچ اطلاعاتی دریافت نمی کنیم. حل بعدی معادلات به دست آمده و تجزیه و تحلیل انجام شده ارتباطی با روش به دست آوردن خود معادلات ندارد.

برنج. 3.53.

• خارج از-از انگلیسی، بیرونی-خارجی
• مسافرخانه-از انگلیسی، درونی-داخلی.
• مسافرخانه-از انگلیسی، درونی-داخلی.

اصل دالامبر

کار اصلی Zh.L. دالامبر(1717-1783) - "رساله دینامیک" - در سال 1743 منتشر شد.

بخش اول رساله به ساخت استاتیک تحلیلی اختصاص دارد. در اینجا دالامبر «اصول اساسی مکانیک» را فرموله می‌کند که از جمله آنها می‌توان به «اصل اینرسی»، «اصل اضافه کردن حرکات» و «اصل تعادل» اشاره کرد.

"اصل اینرسی" به طور جداگانه برای حالت سکون و برای مورد حرکت یکنواخت یکنواخت فرموله شده است. دالامبر می نویسد: "نیروی اینرسی، من، همراه با نیوتن، خاصیت بدن را برای حفظ حالتی که در آن قرار دارد می نامیم."

«اصل جمع حرکات» قانون جمع کردن سرعت ها و نیروها بر اساس قانون متوازی الاضلاع است. بر اساس این اصل، دالامبر مسائل استاتیک را حل می کند.

«اصل تعادل» به صورت قضیه زیر بیان می‌شود: «اگر دو جسمی که با سرعت‌های متناسب با جرمشان حرکت می‌کنند، جهت مخالف هم داشته باشند، به طوری که یک جسم بدون جابجایی از مکانی به جسم دیگر نتواند حرکت کند، آن‌گاه این اجسام در حالت تعادل خواهند بود. ". در بخش دوم رساله، دالامبر روشی کلی برای تدوین معادلات دیفرانسیل حرکت برای هر سیستم مادی ارائه کرد که بر اساس تقلیل مسئله دینامیک به استاتیک است. او قاعده ای را برای هر سیستمی از نقاط مادی تنظیم کرد که بعداً «اصل دالامبر» نامیده شد، طبق آن نیروهای اعمال شده به نقاط سیستم را می توان به «عملی» تجزیه کرد، یعنی نیروهایی که باعث شتاب می شوند. سیستم، و "از دست رفته"، لازم برای تعادل سیستم. دالامبر معتقد است که نیروهایی که با شتاب "از دست رفته" مطابقت دارند چنین ترکیبی را تشکیل می دهند که بر رفتار واقعی سیستم تأثیر نمی گذارد. به عبارت دیگر، اگر تنها مجموعه ای از نیروهای "از دست رفته" به سیستم اعمال شود، سیستم در حالت سکون باقی می ماند. فرمول مدرن اصل دالامبر توسط M. E. ژوکوفسکی در "دوره مکانیک نظری" ارائه شده است: "اگر در هر نقطه ای از زمان سیستم متوقف شود، در حال حرکت است و ما علاوه بر حرکت آن به آن اضافه می کنیم. نیروها، تمام نیروهای اینرسی مربوط به یک نقطه زمانی معین، سپس یک تعادل مشاهده می شود، در حالی که تمام نیروهای فشار، کشش و غیره که بین اجزای سیستم در چنین تعادلی ایجاد می شوند، نیروهای واقعی خواهند بود. فشار، کشش و غیره زمانی که سیستم در لحظه در نظر گرفته شده حرکت می کند. لازم به ذکر است که خود دالامبر هنگام ارائه اصل خود، به مفهوم نیرو (با توجه به اینکه به اندازه کافی واضح نیست که در فهرست مفاهیم اساسی مکانیک قرار گیرد) متوسل نشده است، چه رسد به مفهوم. نیروی اینرسی ارائه اصل دالامبر با استفاده از اصطلاح "نیرو" متعلق به لاگرانژ است که در "مکانیک تحلیلی" خود بیان تحلیلی خود را در قالب اصل جابجایی های احتمالی بیان کرده است. به ویژه لئوناردو اویلر (1707-1783) که نقش اساسی در تبدیل نهایی مکانیک به مکانیک تحلیلی داشت.

مکانیک تحلیلی یک نقطه مادی و دینامیک جسم صلب اویلر

لئوناردو اویلر- یکی از دانشمندان برجسته ای که در قرن هجدهم سهم زیادی در توسعه علوم فیزیکی و ریاضی داشت. کار او از نظر بینش تفکر پژوهشی، جهانی بودن استعداد و حجم عظیم میراث علمی به جا مانده قابل توجه است.

او قبلاً در اولین سالهای فعالیت علمی خود در سن پترزبورگ (اولر در سال 1727 وارد روسیه شد) برنامه یک چرخه کاری عظیم و جامع در زمینه مکانیک را تنظیم کرد. این ضمیمه در اثر دو جلدی او "مکانیک یا علم حرکت، بیان تحلیلی" (1736) یافت می شود. مکانیک اویلر اولین درس سیستماتیک در مکانیک نیوتنی بود. این شامل اصول دینامیک یک نقطه بود - توسط مکانیک، اویلر علم حرکت را بر خلاف علم تعادل نیروها یا استاتیک فهمید. ویژگی تعیین کننده "مکانیک" اویلر، استفاده گسترده از یک دستگاه جدید ریاضی - حساب دیفرانسیل و انتگرال بود. اویلر با توصیف مختصر آثار اصلی مکانیک که در اواخر قرن هفدهم تا هجدهم ظاهر شد، به سبک پسر-تتیکو-هندسی کار آنها اشاره کرد که آثار زیادی برای خوانندگان ایجاد کرد. به این ترتیب است که عناصر نیوتن و فورونومیا بعدی (1716) توسط جی. هرمان نوشته شد. اویلر اشاره می کند که آثار هرمان و نیوتن «بر اساس عرف گذشتگان با کمک براهین هندسی ترکیبی» بدون استفاده از تحلیل بیان شده است، «تنها از طریق آن می توان به درک کامل این چیزها دست یافت».

روش ترکیبی-هندسی خصوصیت تعمیم‌دهنده نداشت، اما معمولاً به ساختارهای فردی در مورد هر کار به طور جداگانه نیاز داشت. اویلر اعتراف می‌کند که پس از مطالعه «فرونومی» و «آغاز»، همانطور که به نظر او می‌رسید، «راه‌حل‌های بسیاری از مسائل را کاملاً واضح می‌فهمید، اما دیگر نمی‌توانست مسائلی را که تا حدی از آنها منحرف می‌شد، حل کند». سپس سعی کرد «تحلیل این روش مصنوعی را جدا کند و همان پیشنهادات را به نفع خود به صورت تحلیلی انجام دهد». اویلر خاطرنشان می کند که به لطف این، او اصل موضوع را خیلی بهتر درک کرد. او اساساً روش های جدیدی را برای مطالعه مسائل مکانیک ایجاد کرد، دستگاه ریاضی آن را ایجاد کرد و به طرز درخشانی آن را برای بسیاری از مسائل پیچیده به کار برد. به لطف اویلر، هندسه دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل و محاسبات تغییرات به ابزار مکانیک تبدیل شدند. روش اویلر که بعداً توسط جانشینان او توسعه یافت، مبهم و مناسب با موضوع بود.

کار اویلر در مورد دینامیک یک جسم صلب "تئوری حرکت اجسام صلب" دارای یک مقدمه بزرگ از شش بخش است که در آن دینامیک یک نقطه دوباره مشخص شده است. تعدادی از تغییرات در مقدمه ایجاد شده است: به ویژه، معادلات حرکت یک نقطه با استفاده از طرح ریزی بر روی محور مختصات مستطیلی ثابت (و نه بر مماس، نرمال اصلی و نرمال، یعنی محور، نوشته می شود. از یک سه وجهی طبیعی غیرقابل حرکت مرتبط با نقاط مسیر، مانند "مکانیک").

"رساله حرکت اجسام صلب" در ادامه مقدمه شامل 19 بخش است. این رساله بر اساس اصل دالامبر است. به طور خلاصه به حرکت انتقالی جسم صلب و معرفی مفهوم مرکز اینرسی، اویلر می پردازد. چرخش حول یک محور ثابت و حول یک نقطه ثابت را در نظر می گیرد.در اینجا فرمول های پیش بینی سرعت زاویه ای آنی، شتاب زاویه ای روی محورهای مختصات، به اصطلاح زوایای اویلر و غیره استفاده می شود. در ادامه، خواص ممان اینرسی توصیف شده است، پس از آن اویلر به دینامیک یک جسم صلب ادامه می دهد. او معادلات دیفرانسیل را برای چرخش یک جسم سنگین به دور مرکز ثقل غیر متحرک خود در غیاب نیروهای خارجی استخراج می کند و آنها را برای یک مورد خاص ساده حل می کند. اینگونه بود که مشکل شناخته شده و به همان اندازه مهم در نظریه ژیروسکوپ در مورد چرخش یک جسم صلب به دور یک نقطه ثابت بوجود آمد. اویلر همچنین بر روی نظریه کشتی سازی کار کرد، از نظر هیدرو- و هوا مکانیک، بالستیک، نظریه پایداری و تئوری ارتعاشات کوچک، مکانیک آسمانی و غیره.

هشت سال پس از انتشار کتاب مکانیک، اویلر علم را با اولین فرمول دقیق اصل کمترین عمل غنی کرد. فرمول اصل حداقل عمل، که متعلق به Maupertuis بود، هنوز بسیار ناقص بود. اولین فرمول علمی این اصل متعلق به اویلر است. او اصل خود را اینگونه فرموله کرد: اگر در نظر بگیریم انتگرال کمترین مقدار را برای یک مسیر واقعی دارد.

آخرین در گروه مسیرهای ممکن که دارای موقعیت اولیه و نهایی مشترک هستند و با ارزش انرژی یکسان انجام می شوند. اویلر اصل خود را با بیان دقیق ریاضی و توجیهی دقیق برای یک نقطه مادی ارائه می دهد و اعمال نیروهای مرکزی را آزمایش می کند. در طول 1746-1749 ص. اویلر چندین مقاله در مورد ارقام تعادل یک نخ منعطف نوشت که در آن اصل کمترین عمل برای مسائلی که در آنها نیروهای الاستیک عمل می کنند اعمال می شود.

بنابراین، در سال 1744، مکانیک با دو اصل مهم غنی شد: اصل d'Alembert و اصل Maupertuis-Euler برای حداقل عمل. بر اساس این اصول، لاگرانژ سیستمی از مکانیک تحلیلی را ساخت.

هنگامی که یک نقطه مادی حرکت می کند، شتاب آن در هر لحظه از زمان به گونه ای است که نیروهای داده شده (فعال) اعمال شده به نقطه، واکنش پیوندها و نیروی ساختگی d'Alembert Ф = - که یک سیستم متعادل از نیروها را تشکیل می دهند.

اثباتحرکت یک نقطه مادی غیرآزاد با یک جرم را در نظر بگیرید تیدر یک چارچوب مرجع اینرسی. با توجه به قانون اساسی دینامیک و اصل رهایی از اوراق قرضه داریم:

که در آن F حاصل نیروهای (فعال) داده شده است. N حاصل واکنش همه پیوندهای تحمیل شده بر نقطه است.

تبدیل (13.1) به شکل زیر آسان است:

بردار Ф = - کهنیروی اینرسی دالامبر، نیروی اینرسی یا به سادگی نامیده می شود قدرت دالامبردر ادامه فقط از آخرین عبارت استفاده خواهیم کرد.

معادله (13.3) که اصل دالامبر را به صورت نمادین بیان می کند، نامیده می شود معادله سینتواستاتیکنقطه مادی

به راحتی می توان یک تعمیم از اصل دالامبر برای یک سیستم مکانیکی (سیستم پنقاط مادی).

برای هرچی بهنقطه ی سوم سیستم مکانیکی، برابری (13.3) برآورده می شود:

جایی که ? به -برآیند نیروهای داده شده (فعال) که بر آن اثر می کنند به-مین نقطه؛ ن به -حاصل واکنش پیوندهای روی هم قرار گرفته است k-thنقطه؛ اف k \u003d - که k- نیروی دالامبر به-نقطه

بدیهی است که اگر شرایط تعادل (13.4) برای هر سه نیروی F*، N*: , Ф* برقرار باشد. (به = 1,. .., پ) سپس کل سیستم 3 پنیروها

متعادل است.

در نتیجه، در حین حرکت یک سیستم مکانیکی در هر لحظه از زمان، نیروهای فعال اعمال شده به آن، واکنش پیوندها و نیروهای دالامبر نقاط سیستم یک سیستم متعادل از نیروها را تشکیل می دهند.

نیروهای سیستم (13.5) دیگر همگرا نیستند، بنابراین، همانطور که از استاتیک (بخش 3.4) مشخص است، شرایط لازم و کافی برای تعادل آن به شکل زیر است:

معادلات (13.6) معادلات سینتواستاتیک یک سیستم مکانیکی نامیده می شود. برای محاسبات، از پیش بینی این معادلات برداری بر روی محورهای عبوری از نقطه لحظه استفاده می شود. در باره.

نکته 1. از آنجایی که مجموع تمام نیروهای داخلی سیستم و همچنین مجموع گشتاورهای آنها نسبت به هر نقطه برابر با صفر است، بنابراین در معادلات (13.6) کافی است فقط واکنش ها را در نظر بگیریم. خارجیاتصالات

معادلات سینتواستاتیک (13.6) معمولاً برای تعیین واکنش های قیود یک سیستم مکانیکی در زمانی که حرکت سیستم داده می شود و بنابراین شتاب نقاط سیستم و نیروهای دالامبر که به آنها بستگی دارد استفاده می شود. شناخته شده اند.

مثال 1واکنش های حمایتی را پیدا کنید آو که درشفت با چرخش یکنواخت آن در فرکانس 5000 دور در دقیقه.

توده های نقطه ای به طور صلب به شفت متصل می شوند gp= 0.1 کیلوگرم، t 2 = 0.2 کیلوگرم اندازه های شناخته شده AC - CD - DB = 0.4 متر ساعت= 0.01 متر. جرم شفت را ناچیز در نظر بگیرید.

راه حل.برای استفاده از اصل d'Alembert برای یک سیستم مکانیکی متشکل از دو جرم نقطه ای، در نمودار (شکل 13.2) نیروهای داده شده (گرانش) Gi, G 2، واکنش پیوندهای N4، N # و d را نشان می دهیم. نیروهای آلمبر Ф|، Ф 2.

جهت نیروهای دالامبرس مخالف شتاب های توده های نقطه ای است تیب t 2yکه به طور یکنواخت دایره های شعاع را توصیف می کنند ساعتحول محور ABشفت

ما بزرگی نیروهای گرانش و نیروهای دالامبرس را پیدا می کنیم:

در اینجا سرعت زاویه ای شفت همکاری 5000* l/30 = 523.6 s اه اه, آز، شرایط تعادل را برای یک سیستم مسطح از نیروهای موازی Gi, G 2 , 1Chd, N tf , Ф ь Ф 2 بدست می آوریم:

از معادله لحظه هایی که پیدا می کنیم N در = - + - 1 - - - 2 --- =

(0.98 + 274) 0.4 - (548 -1.96) 0.8 w "

272 N، و از معادله طرح ریزی در

محور آی: نa \u003d -N B + G، + G 2 + F، -F 2 \u003d 272 + 0.98 + 1.96 + 274-548 \u003d 0.06 N.

معادلات سینتواستاتیک (13.6) را می توان برای به دست آوردن معادلات دیفرانسیل حرکت سیستم نیز استفاده کرد، در صورتی که به گونه ای ترکیب شوند که واکنش پیوندها حذف شده و در نتیجه امکان بدست آوردن وابستگی ها فراهم شود. از شتاب های نیروهای داده شده.

نیروهای اینرسی در دینامیک یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی

با نیروی اینرسییک نقطه مادی حاصل ضرب جرم یک نقطه و شتاب آن است که با علامت منفی گرفته می شود، یعنی نیروهای اینرسی در دینامیک در موارد زیر اعمال می شود:

• 1. هنگام مطالعه حرکت یک نقطه مادی در غیر اینرسیسیستم مختصات (متحرک)، یعنی حرکت نسبی. اینها نیروهای اینرسی انتقالی و کوریولیس هستند که اغلب به آنها نیروهای اویلر می گویند.
• 2. هنگام حل مسائل دینامیک با استفاده از روش کینتوستاتیک. این روش مبتنی بر اصل دالامبر است که بر اساس آن نیروهای اینرسی یک نقطه مادی یا سیستمی از نقاط مادی که با مقداری شتاب در حرکت هستند اینرسیسیستم مرجع این نیروهای اینرسی را نیروهای دالامبر می نامند.
• 3. نیروهای اینرسی دالامبر نیز در حل مسائل دینامیک با استفاده از اصل لاگرانژ-دآمبر یا معادله کلی دینامیک استفاده می شود.

بیان در برآمدگی روی محورهای مختصات دکارتی

جایی که - ماژول های پیش بینی شتاب نقطه ای در محور مختصات دکارتی.

با حرکت منحنی یک نقطه، نیروی اینرسی را می توان به مماسی و عادی تجزیه کرد:; , - مدول شتاب های مماسی و نرمال. - شعاع انحنای مسیر؛

V-سرعت نقطه

اصل دالامبر برای یک نقطه مادی

اگر رایگان نیستبه یک نقطه مادی که تحت تأثیر نیروهای فعال اعمال شده و نیروهای واکنش پیوندها حرکت می کند، نیروی اینرسی آن را اعمال کنید، سپس در هر زمان سیستم نیروهای حاصل متعادل می شود، یعنی مجموع هندسی این نیروها برابر با صفر خواهد بود.

ماده مکانیکی بدنه

جایی که - حاصل نیروهای فعال اعمال شده به نقطه. - نتیجه واکنش های پیوندهای تحمیل شده بر نقطه؛ نیروی اینرسی یک نقطه مادی نکته: در واقع نیروی اینرسی یک نقطه مادی به خود نقطه اعمال نمی شود، بلکه به جسمی که به این نقطه شتاب می دهد اعمال می شود.

اصل دالامبر برای یک سیستم مکانیکی

جمع هندسیبردارهای اصلی نیروهای خارجی وارد بر سیستم، و نیروهای اینرسی تمام نقاط سیستم، و همچنین مجموع هندسی گشتاورهای اصلی این نیروها نسبت به یک مرکز خاص برای یک سیستم مکانیکی غیر آزاد در هر زمان. برابر با صفر هستند، یعنی

بردار اصلی و گشتاور اصلی نیروهای اینرسی جسم صلب

بردار اصلی و ممان اصلی نیروهای اینرسی نقاط سیستم به طور جداگانه برای هر جسم صلب موجود در این سیستم مکانیکی تعیین می شود. تعریف آنها بر اساس روش پوینسو است که از استاتیک در مورد آوردن یک سیستم دلخواه نیروها به یک مرکز مشخص شناخته شده است.

بر اساس این روش می توان نیروهای اینرسی تمام نقاط بدن را در حالت کلی حرکت آن به مرکز جرم رساند و بردار اصلی * و ممان اصلی را جایگزین کرد. در مورد مرکز جرم آنها با فرمول تعیین می شوند یعنی برای هرحرکت یک جسم صلب، بردار اصلی نیروهای اینرسی برابر است با علامت منفی حاصل ضرب جرم بدن و شتاب مرکز جرم بدن. ،جایی که r kc -- بردار شعاع k-thنقطه ای که از مرکز جرم گرفته شده است. این فرمول ها در موارد خاص حرکت یک جسم صلب به شکل زیر است:

1. جنبش مترقی

2. چرخش جسم حول محوری که از مرکز جرم می گذرد

3. حرکت صفحه موازی

مقدمه ای بر مکانیک تحلیلی

مفاهیم اساسی مکانیک تحلیلی

مکانیک تحلیلی- ناحیه (بخش) مکانیک که در آن حرکت یا تعادل سیستم های مکانیکی با استفاده از روش های تحلیلی عمومی و یکپارچه مورد استفاده برای هر سیستم مکانیکی مورد مطالعه قرار می گیرد.

بیایید مشخص ترین مفاهیم مکانیک تحلیلی را در نظر بگیریم.

1. اتصالات و طبقه بندی آنها.

اتصالات- هرگونه محدودیت به شکل اجسام یا هر شرایط سینماتیکی که بر حرکت نقاط یک سیستم مکانیکی اعمال می شود. این محدودیت ها را می توان به صورت معادله یا نامساوی نوشت.

پیوندهای هندسی-- اتصالاتی که معادلات آنها فقط مختصات نقاط را شامل می شود، یعنی محدودیت هایی فقط بر مختصات نقاط اعمال می شود. اینها اتصالات به شکل بدنه، سطوح، خطوط و غیره هستند.

اتصالات دیفرانسیل-- اتصالاتی که نه تنها در مختصات نقاط، بلکه در سرعت آنها نیز محدودیت ایجاد می کنند.

اتصالات هولونومیک --همه اتصالات هندسی و آن دسته از اتصالات دیفرانسیل که معادلات آنها قابل ادغام است.

محدودیت های غیرهولونومیک-- اتصالات غیر قابل ادغام دیفرانسیل.

ارتباطات ثابت --اتصالاتی که معادلات آنها به صراحت شامل زمان نمی شود.

ارتباطات غیر ثابت- اتصالاتی که در طول زمان تغییر می کنند، یعنی معادلات آنها به صراحت شامل زمان می شود.

پیوندهای دوجانبه (نگهداری) --پیوندهایی که حرکت یک نقطه را در دو جهت مخالف محدود می کنند. چنین اتصالاتی توسط معادلات توصیف می شود .

یک جانبهپیوندهای (غیر نگهدارنده) - پیوندهایی که حرکت را فقط در یک جهت محدود می کنند. چنین ارتباطاتی با نابرابری ها توصیف می شوند

2. حرکات ممکن (مجازی) و واقعی.

ممکن استیا مجازیجابجایی نقاط یک سیستم مکانیکی، جابجایی های بی نهایت کوچک خیالی هستند که توسط محدودیت های اعمال شده بر سیستم مجاز می باشند.

ممکن استجابجایی یک سیستم مکانیکی مجموعه ای از جابجایی های ممکن همزمان نقاط سیستم است که با محدودیت ها سازگار است. اجازه دهید سیستم مکانیکی یک مکانیسم میل لنگ باشد.

نقطه حرکتی احتمالی آجابجایی است که به دلیل کوچکی آن به صورت مستطیل در نظر گرفته شده و عمود بر آن است. OA.

نقطه حرکتی احتمالی که در(لغزنده) در راهنماها در حال حرکت است. حرکت احتمالی میل لنگ OAچرخش توسط یک زاویه و میله اتصال است AB --در یک زاویه در اطراف MCS (نقطه ر).

معتبربه جابجایی نقاط سیستم، جابجایی های ابتدایی نیز گفته می شود که امکان اتصالات روی هم را فراهم می کند، اما با در نظر گرفتن شرایط اولیه حرکت و نیروهای وارد بر سیستم.

تعداد درجاتآزادی اسیک سیستم مکانیکی تعداد جابجایی های ممکن مستقل آن است که می تواند در یک نقطه زمانی ثابت به نقاط سیستم ارتباط برقرار کند.

اصل جابجایی های ممکن (اصل لاگرانژ)

اصل جابجایی های ممکن یا اصل لاگرانژ شرایط تعادل یک سیستم مکانیکی غیرآزاد را تحت تأثیر نیروهای فعال اعمال شده بیان می کند. تدوین اصل.

برای تعادلبرای یک سیستم مکانیکی غیرآزاد با قیود دو طرفه، ساکن، هولونومی و ایده آل که تحت تأثیر نیروهای فعال در حالت سکون قرار دارد، لازم و کافی است که مجموع کارهای ابتدایی همه نیروهای فعال برابر با یک گلوله در هر یک از آنها باشد. جابجایی احتمالی سیستم از موقعیت تعادل در نظر گرفته شده:

معادله عمومی دینامیک (اصل لاگرانژ-دآلمبر)

معادله کلی دینامیک برای مطالعه حرکت سیستم‌های مکانیکی غیرآزاد که اجسام یا نقاط آنها با شتاب‌های معینی حرکت می‌کنند، به کار می‌رود.

مطابق با اصل دالامبر، مجموع نیروهای فعال اعمال شده به سیستم مکانیکی، نیروهای واکنش پیوندها و نیروهای اینرسی تمام نقاط سیستم یک سیستم متعادل از نیروها را تشکیل می دهد.

اگر اصل جابجایی های ممکن (اصل لاگرانژ) در چنین سیستمی اعمال شود، آنگاه اصل ترکیبی لاگرانژ-دآمبر یا معادله کلی دینامیکتدوین این اصل

هنگام حرکت آزاد نیستدر یک سیستم مکانیکی با محدودیت‌های دو طرفه، ایده‌آل، ثابت و هولونومیک، مجموع کارهای اولیه تمام نیروهای فعال و نیروهای اینرسی اعمال شده به نقاط سیستم در هر جابجایی احتمالی سیستم برابر با صفر است:

معادلات لاگرانژ از نوع دوم

معادلات لاگرانژنوع دوم معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم مکانیکی در مختصات تعمیم یافته است.

برای سیستمی با اسدرجات آزادی، این معادلات شکل دارند

تفاوتکل مشتق زمانی مشتق جزئی انرژی جنبشی سیستم با توجه به سرعت تعمیم یافته و مشتق جزئی انرژی جنبشی با توجه به مختصات تعمیم یافته برابر با نیروی تعمیم یافته است.

معادلات لاگرانژ برای سیستم های مکانیکی محافظه کارانه مختصات چرخه ای و انتگرال

برای یک سیستم محافظه کار، نیروهای تعمیم یافته بر حسب انرژی پتانسیل سیستم با فرمول تعیین می شوند

سپس معادلات لاگرانژ به شکل بازنویسی می شوند

از آنجایی که انرژی پتانسیل سیستم تابعی از مختصات تعمیم یافته است، یعنی با در نظر گرفتن این موضوع، آن را به شکلی نشان می دهیم که T - P \u003d L -تابع لاگرانژ (پتانسیل جنبشی). در نهایت معادلات لاگرانژ برای یک سیستم محافظه کارانه

پایداری موقعیت تعادل یک سیستم مکانیکی

مسئله پایداری موقعیت تعادل سیستم های مکانیکی در تئوری نوسانات سیستم ها اهمیت مستقیم دارد.

موقعیت تعادل می تواند پایدار، ناپایدار و بی تفاوت باشد.

پایدارموقعیت تعادل - موقعیتی از تعادل که در آن نقاط یک سیستم مکانیکی که از این موقعیت به دست می‌آیند، متعاقباً تحت تأثیر نیروها در نزدیکی موقعیت تعادل خود حرکت می‌کنند.

این حرکت دارای درجات متفاوتی از تکرار در زمان خواهد بود، یعنی سیستم یک حرکت نوسانی را انجام خواهد داد.

ناپایدارموقعیت تعادل - موقعیتی از تعادل که از آن، با انحراف خودسرانه کوچک نقاط سیستم، در آینده، نیروهای عامل نقاط را از موقعیت تعادل خود خارج می کنند. .

بي تفاوتموقعیت تعادل - موقعیت تعادل، زمانی که برای هر انحراف اولیه کوچک نقاط سیستم از این موقعیت در موقعیت جدید، سیستم نیز در حالت تعادل باقی می ماند. .

روش های مختلفی برای تعیین موقعیت تعادل پایدار یک سیستم مکانیکی وجود دارد.

تعریف تعادل پایدار را بر اساس در نظر بگیرید قضایای لاگرانژ- دیریکله

اگر در موقعیتتعادل یک سیستم مکانیکی محافظه کار با محدودیت های ایده آل و ثابت، انرژی پتانسیل آن حداقل است، پس این موقعیت تعادل پایدار است.

پدیده ضربه. نیروی ضربه و ضربه ضربه

پدیده ای که در آن سرعت نقاط بدن در یک بازه زمانی بسیار ناچیز به مقدار محدود تغییر می کند، نامیده می شود. فوت کردن، دمیدن.این دوره زمانی نامیده می شود زمان تاثیردر طول یک ضربه، یک نیروی ضربه برای یک دوره زمانی بی نهایت کوچک عمل می کند. نیروی ضربتنیرویی نامیده می شود که تکانه آن در هنگام ضربه یک مقدار محدود است.

اگر نیروی متناهی مدول در طول زمان عمل می کند و عمل خود را در نقطه ای از زمان آغاز می کند , سپس تکانه آن شکل می گیرد

همچنین هنگامی که نیروی ضربه بر روی یک نقطه مادی وارد می شود، می توان گفت:

عمل نیروهای غیر آنی در طول ضربه را می توان نادیده گرفت.

حرکت یک نقطه مادی در هنگام ضربه را می توان نادیده گرفت.

نتیجه اثر نیروی ضربه بر یک نقطه مادی در تغییر نهایی در طول ضربه بردار سرعت آن بیان می شود.

قضیه تغییر تکانه سیستم مکانیکی بر اثر ضربه

تغییر در تکانه سیستم مکانیکی در هنگام ضربه برابر است با مجموع هندسی تمام ضربه های خارجی اعمال شده به نقاط سیستم،جایی که - میزان حرکت سیستم مکانیکی در لحظه خاتمه اثر نیروهای ضربه، - مقدار حرکت سیستم مکانیکی در لحظه ای که نیروهای ضربه شروع به عمل می کنند، - ضربه شوک خارجی

اصل d'Alembert این امکان را فراهم می کند که مسائل دینامیک سیستم های مکانیکی را به عنوان مسائل استاتیکی فرموله کنیم. در این حالت معادلات دیفرانسیل دینامیکی حرکت به شکل معادلات تعادلی داده می شود. چنین روشی نامیده می شود روش کینتوستاتیک .

اصل دالامبر برای یک نکته مادی: « در هر لحظه از زمان حرکت یک نقطه مادی، نیروهای فعال عملاً بر روی آن، واکنش های پیوندها و نیروی اینرسی اعمال شده مشروط به نقطه، سیستم متعادلی از نیروها را تشکیل می دهند.»

نیروی اینرسی نقطه ای کمیت برداری نامیده می شود که ابعاد نیرویی برابر با قدر مطلق حاصلضرب جرم یک نقطه و شتاب آن و در جهت مخالف بردار شتاب دارد.

. (3.38)

با در نظر گرفتن یک سیستم مکانیکی به عنوان مجموعه ای از نقاط مادی که هر یک طبق اصل دالامبر تحت تأثیر سیستم های متوازن نیروها قرار می گیرند، پیامدهایی از این اصل در رابطه با سیستم داریم. بردار اصلی و ممان اصلی نسبت به هر مرکز نیروهای خارجی اعمال شده به سیستم و نیروهای اینرسی تمام نقاط آن برابر با صفر است:

(3.39)

در اینجا نیروهای خارجی نیروهای فعال و واکنش پیوندها هستند.

بردار اصلی نیروهای اینرسییک سیستم مکانیکی برابر است با حاصل ضرب جرم سیستم و شتاب مرکز جرم آن و در جهت مخالف این شتاب هدایت می شود.

. (3.40)

لحظه اصلی نیروهای اینرسیسیستم نسبت به یک مرکز دلخواه در بارهبرابر با مشتق زمانی تکانه زاویه ای آن نسبت به همان مرکز

. (3.41)

برای یک جسم صلب که حول یک محور ثابت می چرخد اوز، گشتاور اصلی نیروهای اینرسی را حول این محور می یابیم

. (3.42)

3.8. عناصر مکانیک تحلیلی

بخش "مکانیک تحلیلی" اصول کلی و روش های تحلیلی برای حل مسائل مکانیک سیستم های مواد را در نظر می گیرد.

3.8.1. حرکات احتمالی سیستم. طبقه بندی

برخی از اتصالات

حرکات نقطه ای ممکن
هر جابجایی خیالی و بی‌نهایت کوچکی از آن‌ها که توسط محدودیت‌های اعمال‌شده بر سیستم در یک نقطه زمانی ثابت مجاز باشد، سیستم‌های مکانیکی نامیده می‌شوند. الف مقدماتی، تعداد درجات آزادی یک سیستم مکانیکی تعداد جابجایی های ممکن مستقل آن است.

اتصالات تحمیل شده به سیستم نامیده می شوند ایده آل اگر مجموع کارهای ابتدایی واکنش های آنها به هر یک از جابجایی های احتمالی نقاط سیستم برابر با صفر باشد.

. (3. 43)

اتصالاتی که محدودیت های اعمال شده توسط آنها در هر موقعیتی از سیستم حفظ می شود نامیده می شوند عقب نگه داشتن . روابطی که در زمان تغییر نمی کنند و معادلات آنها به صراحت شامل زمان نمی شود، نامیده می شود ثابت . اتصالاتی که فقط جابجایی نقاط سیستم را محدود می کنند نامیده می شوند هندسی ، و سرعت های محدود کننده هستند حرکتی . در آینده فقط روابط هندسی و آن دسته از روابط سینماتیکی را در نظر خواهیم گرفت که با ادغام می توان آنها را به هندسی تقلیل داد.

3.8.2. اصل حرکات ممکن

برای تعادل یک سیستم مکانیکی با محدودیت های ایده آل و ثابت، لازم و کافی است که

مجموع کارهای ابتدایی همه نیروهای فعال وارد بر آن، در هر جابجایی احتمالی سیستم، برابر با صفر بود.

. (3.44)

در پیش بینی ها روی محورهای مختصات:

. (3.45)

اصل جابجایی های ممکن به ما اجازه می دهد تا بدون در نظر گرفتن تعادل اجزای جداگانه آن، شرایط تعادل هر سیستم مکانیکی را به صورت کلی ایجاد کنیم. در این حالت فقط نیروهای فعال وارد بر سیستم در نظر گرفته می شوند. واکنش های ناشناخته پیوندهای ایده آل در این شرایط گنجانده نشده است. در عین حال، این اصل امکان تعیین واکنش های ناشناخته پیوندهای ایده آل را با دور انداختن این پیوندها و وارد کردن واکنش های آنها به تعداد نیروهای فعال می دهد. هنگامی که پیوندهایی که واکنش آنها باید تعیین شود کنار گذاشته می شوند، سیستم علاوه بر این تعداد درجات آزادی متناظر را به دست می آورد.

مثال 1 . رابطه بین نیروها را پیدا کنید و جک، اگر معلوم باشد که با هر چرخش دسته AB = l، پیچ باتا حدی گسترش می یابد ساعت(شکل 3.3).

راه حل

حرکات ممکن مکانیزم عبارتند از چرخش دسته  و حرکت بار  ساعت. شرط تساوی به صفر کار اولیه نیروها:

pl- سh = 0;

سپس
. از زمان ساعت 0، سپس

3.8.3. معادله تغییرات کلی دینامیک

حرکت یک سیستم متشکل از nنکته ها. نیروهای فعال بر روی آن عمل می کنند و واکنش های پیوند .(ک = 1,…,n) اگر به نیروهای عامل نیروهای اینرسی نقاط را اضافه کنیم
بنابراین، طبق اصل دالامبر، سیستم نیروهای حاصل در تعادل خواهد بود و بنابراین، عبارتی که بر اساس اصل جابجایی های ممکن (3.44) نوشته شده است معتبر است:

. (3.46)

اگر همه اتصالات ایده آل باشند، مجموع 2 برابر با صفر است و در پیش بینی ها روی محورهای مختصات، برابری (3.46) به صورت زیر خواهد بود:

آخرین برابری یک معادله کلی تغییر دینامیک در پیش بینی ها روی محورهای مختصات است که به فرد اجازه می دهد معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم مکانیکی را بسازد.

معادله تغییرات کلی دینامیک یک عبارت ریاضی است اصل d'Alembert-Lagrange: « هنگامی که یک سیستم در حال حرکت است، مشروط به محدودیت های ثابت، ایده آل و بازدارنده، در هر لحظه از زمان، مجموع کارهای اولیه همه نیروهای فعال اعمال شده به سیستم و نیروهای اینرسی در هر جابجایی احتمالی سیستم است. برابر با صفر».

مثال 2 . برای یک سیستم مکانیکی (شکل 3.4)، متشکل از سه بدنه، شتاب بار 1 و کشش کابل 1-2 را تعیین کنید اگر: متر 1 = 5متر; متر 2 = 4متر; متر 3 = 8متر; r 2 = 0,5آر 2 شعاع چرخش بلوک 2 من = 1,5r 2. غلتک 3 یک دیسک همگن پیوسته است.

راه حل

بیایید نیروهایی را که کار ابتدایی را روی یک جابجایی احتمالی  انجام می‌دهند، به تصویر بکشیم سمحموله 1:

جابجایی های احتمالی همه اجسام را از طریق جابجایی احتمالی بار 1 می نویسیم:

شتاب های خطی و زاویه ای همه اجسام را بر حسب شتاب مورد نظر بار 1 بیان می کنیم (نسبت ها مانند جابجایی های احتمالی است):

.

معادله تغییرات کلی برای این مسئله به شکل زیر است:

با جایگزینی عبارات به دست آمده قبلی به جای نیروهای فعال، نیروهای اینرسی و جابجایی های احتمالی، پس از تبدیل های ساده، به دست می آوریم.

از آنجایی که  س 0، بنابراین، عبارت در پرانتز حاوی شتاب برابر با صفر است آ 1 ، جایی که آ 1 = 5g/8,25 = 0,606g.

برای تعیین کشش کابل نگهدارنده بار، بار را از کابل رها می کنیم و عمل آن را با واکنش مورد نظر جایگزین می کنیم. . تحت تأثیر نیروهای معین ,و نیروی اینرسی اعمال شده به بار
او در تعادل است بنابراین، اصل d’Alembert برای بار (نقطه) در نظر گرفته شده، یعنی. ما آن را می نویسیم
. از اینجا
.

3.8.4. معادله لاگرانژ از نوع دوم

مختصات تعمیم یافته و سرعت های تعمیم یافته. هر پارامتر متقابل مستقلی که موقعیت یک سیستم مکانیکی را در فضا مشخص می کند نامیده می شود مختصات تعمیم یافته . این مختصات، نشان داده شده است q 1 ,....qمن، می تواند هر ابعادی داشته باشد. به طور خاص، مختصات تعمیم یافته ممکن است جابجایی یا زاویه چرخش باشد.

برای سیستم های مورد بررسی، تعداد مختصات تعمیم یافته برابر با تعداد درجات آزادی است. موقعیت هر نقطه از سیستم تابع تک مقداری مختصات تعمیم یافته است

بنابراین، حرکت سیستم در مختصات تعمیم یافته توسط وابستگی های زیر تعیین می شود:

اولین مشتقات مختصات تعمیم یافته نامیده می شوند سرعت های تعمیم یافته :
.

نیروهای تعمیم یافتهبیان برای کار ابتدایی یک نیرو در یک حرکت احتمالی
به نظر می رسد:

.

برای کار ابتدایی نظام نیروها می نویسیم

با استفاده از وابستگی های به دست آمده، این عبارت را می توان به صورت زیر نوشت:

,

نیروی تعمیم یافته مربوط به کجاست من- مختصات تعمیم یافته،

. (3.49)

بدین ترتیب، نیروی تعمیم یافته مربوطه من-مین مختصات تعمیم یافته، ضریب تغییرات این مختصات در بیان مجموع کارهای اولیه نیروهای فعال بر روی جابجایی احتمالی سیستم است. . برای محاسبه نیروی تعمیم یافته، لازم است سیستم را از یک جابجایی احتمالی مطلع کنیم، که در آن فقط مختصات تعمیم یافته تغییر می کند. q من. ضریب در
و نیروی تعمیم یافته مورد نظر خواهد بود.

معادلات حرکت سیستم در مختصات تعمیم یافته. اجازه دهید یک سیستم مکانیکی با داده شود سدرجه آزادی. با دانستن نیروهای وارد بر آن، لازم است معادلات دیفرانسیل حرکت را در مختصات تعمیم یافته بسازیم.
. ما روشی را برای کامپایل معادلات دیفرانسیل حرکت سیستم - معادلات لاگرانژ از نوع دوم - با قیاس با استخراج این معادلات برای یک نقطه مادی آزاد اعمال می کنیم. بر اساس قانون دوم نیوتن می نویسیم

ما یک آنالوگ از این معادلات را با استفاده از نماد انرژی جنبشی یک نقطه مادی بدست می آوریم.

مشتق جزئی انرژی جنبشی با توجه به طرح سرعت بر روی محور
برابر است با طرح ریزی مقدار حرکت روی این محور، یعنی.

برای بدست آوردن معادلات لازم، مشتقات را با توجه به زمان محاسبه می کنیم:

سیستم معادلات حاصل معادلات لاگرانژ از نوع دوم برای یک نقطه مادی است.

برای یک سیستم مکانیکی، معادلات لاگرانژ از نوع دوم را به شکل معادلاتی نشان می دهیم که در آن به جای پیش بینی نیروهای فعال پ ایکس , پ y , پ zاستفاده از نیروهای تعمیم یافته س 1 , س 2 ,...,س i و در حالت کلی وابستگی انرژی جنبشی به مختصات تعمیم یافته را در نظر بگیرید.

معادلات لاگرانژ نوع دوم برای یک سیستم مکانیکی به شکل زیر است:

. (3.50)

می توان از آنها برای مطالعه حرکت هر سیستم مکانیکی با محدودیت های هندسی، ایده آل و محدود استفاده کرد.

مثال 3 . برای سیستم مکانیکی (شکل 3.5)، که داده های آن در مثال قبلی آورده شده است، یک معادله دیفرانسیل حرکت را با استفاده از معادله لاگرانژ از نوع دوم ترسیم کنید.

راه حل

سیستم مکانیکی یک درجه آزادی دارد. برای مختصات تعمیم یافته، حرکت خطی بار را می گیریم q 1 = s; سرعت تعمیم یافته - . با در نظر گرفتن این موضوع، معادله لاگرانژ را از نوع دوم می نویسیم

.

اجازه دهید یک عبارت برای انرژی جنبشی سیستم بسازیم

.

تمام سرعت های زاویه ای و خطی را بر حسب سرعت تعمیم یافته بیان می کنیم:

حالا می گیریم

اجازه دهید نیروی تعمیم یافته را با نوشتن عبارت برای کار ابتدایی بر روی یک جابجایی احتمالی  محاسبه کنیم سهمه نیروهای فعال بدون نیروهای اصطکاک، کار در سیستم تنها با گرانش بار 1 انجام می شود
نیروی تعمیم یافته را در  می نویسیم س، به عنوان ضریب در کار ابتدایی س 1 = 5میلی گرم. بعد پیدا می کنیم

در نهایت معادله دیفرانسیل حرکت سیستم به شکل زیر خواهد بود: