Lösen von Problemen mit dem Satz von Menelaos. Satz von Menelaos Satz von Menelaos, Beweis des Flächenverhältnisses

THEOREME VON CHEVA UND MENELAOS

Satz von Ceva

Die meisten der bemerkenswerten Dreieckspunkte können mit dem folgenden Verfahren ermittelt werden. Es gebe eine Regel, nach der wir einen bestimmten Punkt A wählen können 1 , auf der Seite BC (oder ihrer Verlängerung) des Dreiecks ABC (wählen Sie beispielsweise den Mittelpunkt dieser Seite). Dann werden wir ähnliche Punkte B konstruieren 1, C 1 auf den anderen beiden Seiten des Dreiecks (in unserem Beispiel gibt es zwei weitere Mittelpunkte der Seiten). Wenn die Auswahlregel erfolgreich ist, dann gerade AA 1, BB 1, CC 1 wird sich irgendwann Z schneiden (die Wahl der Seitenmittelpunkte in diesem Sinne ist natürlich erfolgreich, da sich die Mediane des Dreiecks in einem Punkt schneiden).

Ich hätte gerne eine allgemeine Methode, mit der man anhand der Position von Punkten auf den Seiten eines Dreiecks bestimmen kann, ob sich das entsprechende Linientripel in einem Punkt schneidet oder nicht.

Eine universelle Bedingung, die dieses Problem „schloss“, wurde 1678 von einem italienischen Ingenieur gefundenGiovanni Cheva .

Definition. Segmente, die die Eckpunkte eines Dreiecks mit Punkten auf gegenüberliegenden Seiten (oder deren Verlängerungen) verbinden, werden Cevians genannt, wenn sie sich in einem Punkt schneiden.

Es gibt zwei mögliche Standorte für die Cevians. In einer Version der Punkt

Schnittpunkte liegen intern und die Enden der Cevians liegen auf den Seiten des Dreiecks. Bei der zweiten Option liegt der Schnittpunkt außen, das Ende eines Cevians liegt auf der Seite und die Enden der beiden anderen Cevians liegen auf den Verlängerungen der Seiten (siehe Zeichnungen).

Satz 3. (Cevas direkter Satz) In einem beliebigen Dreieck ABC werden die Punkte A auf den Seiten BC, CA, AB bzw. deren Verlängerungen genommen 1 , IN 1 , MIT 1 , so dass gerade AA 1 , BB 1 , SS 1 sich dann an einem gemeinsamen Punkt schneiden

.

Nachweisen: Während mehrere Originalbeweise des Satzes von Ceva bekannt sind, betrachten wir einen Beweis, der auf einer doppelten Anwendung des Satzes von Menelaos basiert. Schreiben wir die Beziehung des Menelaos-Theorems zum ersten Mal für ein Dreieck aufABB 1 und Sekante CC 1 (Wir bezeichnen den Schnittpunkt der CeviansZ):

,

und das zweite Mal für ein DreieckB 1 B.C. und Sekante A.A. 1 :

.

Wenn wir diese beiden Verhältnisse multiplizieren und die notwendigen Reduktionen vornehmen, erhalten wir das Verhältnis, das in der Aussage des Theorems enthalten ist.

Satz 4. (Cevas umgekehrter Satz) . Wenn für diejenigen, die an den Seiten des Dreiecks ausgewählt wurden ABC oder deren Erweiterungen von Punkten A 1 , IN 1 Und C 1 Chevas Bedingung ist erfüllt:

,

dann gerade A.A. 1 , BB 1 Und CC 1 sich in einem Punkt schneiden .

Der Beweis dieses Theorems erfolgt durch Widerspruch, ebenso wie der Beweis des Menelaos-Theorems.

Betrachten wir Beispiele für die Anwendung der direkten und inversen Sätze von Ceva.

Beispiel 3. Beweisen Sie, dass sich die Mediane eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Lösung. Betrachten Sie die Beziehung

für die Eckpunkte eines Dreiecks und die Mittelpunkte seiner Seiten. Offensichtlich haben Zähler und Nenner in jedem Bruch gleiche Segmente, sodass alle diese Brüche gleich eins sind. Folglich ist Chevas Beziehung erfüllt, daher schneiden sich die Mediane nach dem umgekehrten Satz in einem Punkt.

Satz (Cevas Satz) . Lassen Sie die Punkte auf den Seiten liegen und Dreieck jeweils. Lassen Sie die Segmente Und sich in einem Punkt schneiden. Dann

(Wir gehen im Uhrzeigersinn um das Dreieck herum).

Nachweisen. Bezeichnen wir mit Schnittpunkt der Segmente Und . Lassen wir die Punkte weg Und Senkrechte zu einer Liniebevor er es punktuell schneidet Und entsprechend (siehe Abbildung).

Weil Dreiecke Und haben eine gemeinsame Seite, dann beziehen sich ihre Flächen auf die auf dieser Seite eingezeichneten Höhen, d.h. Und :

Die letzte Gleichheit gilt seit rechtwinkligen Dreiecken Und ähnlich im spitzen Winkel.

Ebenso erhalten wir

Und

Lassen Sie uns diese drei Gleichungen multiplizieren:

Q.E.D.

Über Mediane:

1. Platzieren Sie Masseneinheiten an den Eckpunkten des Dreiecks ABC.
2. Der Massenschwerpunkt der Punkte A und B liegt in der Mitte von AB. Der Schwerpunkt des gesamten Systems muss in der Mitte der Seite AB liegen, da der Schwerpunkt des Dreiecks ABC der Schwerpunkt des Schwerpunkts der Punkte A und B sowie des Punktes C ist.
(es wurde verwirrend)
3. Ebenso muss das CM auf der Mittellinie zu den Seiten AC und BC liegen
4. Da der CM ein einzelner Punkt ist, müssen sich alle drei Mediane dort schneiden.

Daraus folgt übrigens sofort, dass sie durch Schnittmenge im Verhältnis 2:1 geteilt werden. Da die Masse des Massenschwerpunkts der Punkte A und B 2 und die Masse des Punktes C 1 beträgt, teilt der gemeinsame Massenschwerpunkt gemäß dem Proportionssatz den Median im Verhältnis 2/1 .

Vielen Dank, es wird auf eine verständliche Weise präsentiert. Ich denke, es wäre nicht verkehrt, den Beweis mit den Methoden der Massengeometrie zu präsentieren, zum Beispiel:
Die Linien AA1 und CC1 schneiden sich im Punkt O; AC1: C1B = p und BA1: A1C = q. Wir müssen beweisen, dass die Linie BB1 ​​genau dann durch den Punkt O verläuft, wenn CB1: B1A = 1: pq.
Platzieren wir die Massen 1, p und pq jeweils an den Punkten A, B und C. Dann ist Punkt C1 der Massenschwerpunkt der Punkte A und B, und Punkt A1 ist der Massenschwerpunkt der Punkte B und C. Daher ist der Massenschwerpunkt der Punkte A, B und C mit diesen Massen der Schnittpunkt O von Linien CC1 und AA1. Andererseits liegt Punkt O auf dem Segment, das Punkt B mit dem Massenschwerpunkt der Punkte A und C verbindet. Wenn B1 der Massenschwerpunkt der Punkte A und C mit den Massen 1 und pq ist, dann gilt AB1: B1C = pq: 1. Es bleibt zu beachten, dass es auf dem Segment AC einen einzigen Punkt gibt, der es im angegebenen Verhältnis AB1:B1C teilt.

2. Satz von Ceva

Ein Segment, das einen Scheitelpunkt eines Dreiecks mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet, heißtCeviana . Also, wenn in einem DreieckABC X , Y und Z - seitlich liegende PunkteB.C. , C.A. , AB entsprechend dann die SegmenteAXT , VON , CZ sind Chevianer. Der Begriff stammt vom italienischen Mathematiker Giovanni Ceva, der 1678 den folgenden sehr nützlichen Satz veröffentlichte:

Satz 1.21. Wenn drei Cevianer AX, BY, CZ (einer von jedem Scheitelpunkt) des Dreiecks ABC konkurrieren, dann

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Reis. 3.

Wenn wir sagen, dass drei Linien (oder Segmente)wettbewerbsfähig , dann meinen wir, dass sie alle durch einen Punkt gehen, den wir mit bezeichnenP . Um den Satz von Ceva zu beweisen, erinnern Sie sich daran, dass die Flächen von Dreiecken mit gleicher Höhe proportional zu den Grundflächen der Dreiecke sind. Bezugnehmend auf Abbildung 3 haben wir:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX−SPBXSAXC−SPXC= SABPSCAP.

Ebenfalls,

|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

Wenn wir sie nun multiplizieren, erhalten wir

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

Auch die Umkehrung dieses Theorems gilt:

Satz 1.22. Wenn drei Cevianer AX, BY, CZ die Beziehung erfüllen

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

dann sind sie konkurrenzfähig .

Um dies zu zeigen, nehmen wir an, dass sich die ersten beiden Cevians an diesem Punkt schneidenP , wie zuvor, und der dritte Cevian geht durch den PunktP , WilleCZ′ . Dann gilt nach Satz 1.21:

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z′B|=1 .

Aber durch Annahme

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Somit,

|AZ||ZB|= |AZ′||Z′B| ,

PunktZ‘ stimmt mit dem Punkt übereinZ , und wir haben bewiesen, dass die SegmenteAXT , VON UndCZ wettbewerbsfähig (, S. 54 und , S. 48, 317).

Klasse: 9

Lernziele:

1. das Wissen und die Fähigkeiten der Studierenden verallgemeinern, erweitern und systematisieren; lehren, wie man Wissen bei der Lösung komplexer Probleme nutzt;
2. die Entwicklung von Fähigkeiten zur selbstständigen Anwendung von Wissen bei der Lösung von Problemen fördern;
3. das logische Denken und die mathematische Sprache der Schüler sowie die Fähigkeit zum Analysieren, Vergleichen und Verallgemeinern entwickeln;
4. den Schülern Selbstvertrauen und harte Arbeit vermitteln; Teamfähigkeit.

Lernziele:

• Lehrreich: Wiederholen Sie die Sätze von Menelaos und Cheva. Wenden Sie sie bei der Lösung von Problemen an.
• Entwicklung: lernen Sie, eine Hypothese aufzustellen und Ihre Meinung geschickt mit Beweisen zu verteidigen; Testen Sie Ihre Fähigkeit, Ihr Wissen zu verallgemeinern und zu systematisieren.
• Lehrreich: das Interesse am Thema steigern und sich auf die Lösung komplexerer Probleme vorbereiten.

Unterrichtsart: Lektion der Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen.

Ausrüstung: Karten für die gemeinsame Arbeit in einer Unterrichtsstunde zu diesem Thema, Einzelkarten für selbstständiges Arbeiten, Computer, Multimedia-Beamer, Leinwand.

Während des Unterrichts

Stufe I. Organisatorischer Moment (1 Min.)

Der Lehrer gibt das Thema und den Zweck des Unterrichts bekannt.

Stufe II. Grundkenntnisse und Fertigkeiten aktualisieren (10 Min.)

Lehrer: Während des Unterrichts werden wir uns an die Theoreme von Menelaos und Cheva erinnern, um erfolgreich mit der Lösung von Problemen fortzufahren. Werfen wir einen Blick auf den Bildschirm, auf dem es angezeigt wird. Für welchen Satz ist diese Zahl angegeben? (Satz von Menelaos). Versuchen Sie, den Satz klar zu formulieren.

Bild 1

Punkt A 1 liege auf der Seite BC des Dreiecks ABC, Punkt C 1 auf der Seite AB, Punkt B 1 auf der Fortsetzung der Seite AC über Punkt C hinaus. Die Punkte A 1 , B 1 und C 1 liegen genau dann auf derselben Geraden wenn Gleichheit gilt

Lehrer: Schauen wir uns gemeinsam das folgende Bild an. Geben Sie einen Satz für diese Zeichnung an.

Figur 2

Die Linie AD schneidet zwei Seiten und die Verlängerung der dritten Seite des IUP-Dreiecks.

Nach dem Satz von Menelaos

Die Gerade MB schneidet zwei Seiten und die Verlängerung der dritten Seite des Dreiecks ADC.

Nach dem Satz von Menelaos

Lehrer: Welchem ​​Satz entspricht das Bild? (Cevas Theorem). Formulieren Sie den Satz.

Figur 3

Lassen Sie Punkt A 1 im Dreieck ABC auf der Seite BC liegen, Punkt B 1 auf der Seite AC, Punkt C 1 auf der Seite AB. Die Segmente AA 1, BB 1 und CC 1 schneiden sich genau dann in einem Punkt, wenn die Gleichheit gilt

Stufe III. Probleme lösen. (22 Min.)

Die Klasse wird in 3 Teams aufgeteilt, die jeweils eine Karte mit zwei unterschiedlichen Aufgaben erhalten. Es wird Zeit gegeben, sich zu entscheiden, dann erscheint Folgendes auf dem Bildschirm:<Рисунки 4-9>. Anhand der fertigen Zeichnungen zu den Aufgaben erläutern die Teamvertreter abwechselnd ihre Lösungen. Auf jede Erklärung folgt eine Diskussion, die Beantwortung von Fragen und die Überprüfung der Richtigkeit der Lösung am Bildschirm. Alle Teammitglieder beteiligen sich an der Diskussion. Je aktiver das Team ist, desto höher wird es bei der Zusammenfassung der Ergebnisse bewertet.

Karte 1.

1. Im Dreieck ABC wird Punkt N auf der Seite BC genommen, sodass NC = 3BN; Auf der Fortsetzung der Seite AC wird Punkt M als Punkt A genommen, sodass MA = AC. Die Linie MN schneidet die Seite AB am Punkt F. Finden Sie das Verhältnis

2. Beweisen Sie, dass sich die Mediane eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Lösung 1

Figur 4

Gemäß den Bedingungen des Problems ist MA = AC, NC = 3BN. Sei MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Die Linie MN schneidet zwei Seiten des Dreiecks ABC und die Fortsetzung der dritten.

Nach dem Satz von Menelaos

Antwort:

Beweis 2

Abbildung 5

Seien AM 1, BM 2, CM 3 die Mediane des Dreiecks ABC. Um zu beweisen, dass sich diese Segmente in einem Punkt schneiden, reicht es aus, dies zu zeigen

Dann schneiden sich nach dem (umgekehrten) Satz von Ceva die Segmente AM 1, BM 2 und CM 3 in einem Punkt.

Wir haben:

Es ist also bewiesen, dass sich die Mittelwerte eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Karte 2.

1. Punkt N wird auf der PQ-Seite des Dreiecks PQR genommen, und Punkt L wird auf der PR-Seite genommen, und NQ = LR. Der Schnittpunkt der Segmente QL und NR teilt QL im Verhältnis m:n, gezählt vom Punkt Q. Finden

2. Beweisen Sie, dass sich die Winkelhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Lösung 1

Abbildung 6

Bedingung: NQ = LR, Sei NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Die Linie NR schneidet zwei Seiten des Dreiecks PQL und die Fortsetzung der dritten.

Nach dem Satz von Menelaos

Antwort:

Beweis 2

Abbildung 7

Zeigen wir das

Dann schneiden sich nach dem (umgekehrten) Satz von Ceva AL 1, BL 2, CL 3 in einem Punkt. Durch die Eigenschaft von Dreieckshalbierenden

Durch Multiplikation der erhaltenen Gleichungen Term für Term erhalten wir:

Für die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist die Cheva-Gleichheit erfüllt, daher schneiden sie sich in einem Punkt.

Karte 3.

1. Im Dreieck ABC ist AD der Median, Punkt O ist die Mitte des Medians. Die Gerade BO schneidet die Seite AC im Punkt K. In welchem ​​Verhältnis teilt Punkt K AC, gerechnet ab Punkt A?

2. Beweisen Sie, dass sich die Segmente, die die Eckpunkte des Dreiecks mit den Kontaktpunkten gegenüberliegender Seiten verbinden, in einem Punkt schneiden, wenn ein Kreis in ein Dreieck eingeschrieben ist.

Lösung 1

Abbildung 8

Sei BD = DC = a, AO = OD = m. Die Gerade BK schneidet zwei Seiten und die Verlängerung der dritten Seite des Dreiecks ADC.

Nach dem Satz von Menelaos

Antwort:

Beweis 2

Abbildung 9

Seien A 1, B 1 und C 1 die Tangentenpunkte des eingeschriebenen Kreises des Dreiecks ABC. Um zu beweisen, dass sich die Strecken AA 1, BB 1 und CC 1 in einem Punkt schneiden, genügt es zu zeigen, dass die Cheva-Gleichheit gilt:

Unter Verwendung der Eigenschaft von Tangenten, die von einem Punkt an einen Kreis gezogen werden, führen wir die folgende Notation ein: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Die Cheva-Gleichheit ist erfüllt, was bedeutet, dass sich die Winkelhalbierenden des Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Stufe IV. Problemlösung (selbstständiges Arbeiten) (8 Min.)

Lehrer: Die Arbeit der Teams ist abgeschlossen und jetzt beginnen wir mit der eigenständigen Arbeit an einzelnen Karten für 2 Optionen.

Unterrichtsmaterialien für die selbstständige Arbeit der Studierenden

Variante 1. In einem Dreieck ABC, dessen Fläche 6 beträgt, gibt es auf der Seite AB einen Punkt K, der diese Seite im Verhältnis AK:BK = 2:3 teilt, und auf der Seite AC gibt es einen Punkt L, der AC teilt im Verhältnis AL:LC = 5:3. Der Schnittpunkt Q der Geraden СК und BL liegt im Abstand von der Geraden AB. Finden Sie die Länge der Seite AB. (Antwort: 4.)

Option 2. Auf der Seite AC im Dreieck ABC wird der Punkt K genommen. AK = 1, KS = 3. Auf der Seite AB wird der Punkt L genommen. AL:LB = 2:3, Q ist der Schnittpunkt der Geraden BK und CL. Ermitteln Sie die Länge der Höhe des Dreiecks ABC, das vom Scheitelpunkt B abfällt. (Antwort: 1.5.)

Die Arbeit wird der Lehrkraft zur Prüfung vorgelegt.

V-Stufe. Zusammenfassung der Lektion (2 Min.)

Unterlaufene Fehler werden analysiert, Originalantworten und Kommentare notiert. Die Ergebnisse der Teamarbeit werden zusammengefasst und benotet.

Stufe VI. Hausaufgaben (1 Min.)

Die Hausaufgaben bestehen aus den Aufgaben Nr. 11, 12 S. 289-290, Nr. 10 S. 301.

Abschließende Worte des Lehrers (1 Minute).

Heute haben Sie sich gegenseitig die mathematische Rede von außen angehört und Ihre Fähigkeiten eingeschätzt. In Zukunft werden wir solche Diskussionen zum besseren Verständnis des Themas nutzen. Die Argumente in der Lektion waren Freundschaft mit Fakten und Theorie mit Praxis. Danke euch allen.

Literatur:

1. Tkachuk V.V. Mathematik für Bewerber. – M.: MTsNMO, 2005.

Der Geometriekurs enthält Theoreme, die in der Schule nicht ausführlich genug studiert werden, die aber zur Lösung der komplexesten Probleme des Einheitlichen Staatsexamens und des Einheitlichen Staatsexamens nützlich sein können. Dazu gehört beispielsweise der Satz von Menelaos. Traditionell wird es in Klassen mit vertieftem Mathematikstudium in der 8. Klasse studiert, und im regulären Programm (laut Atanasyans Lehrbuch) ist der Satz von Menelaos im Lehrbuch für die Klassen 10-11 enthalten.
Unterdessen zeigt das Ergebnis der Untersuchung von Internetquellen, in denen der Satz von Menelaos erwähnt wird, dass er normalerweise unvollständig und daher ungenau formuliert ist und nicht alle Fälle seiner Verwendung sowie der Beweis des umgekehrten Satzes angegeben werden. Der Zweck dieses Artikels besteht darin, zu verstehen, was der Satz von Menelaos ist, wie und warum er verwendet wird, und auch die Methodik zur Vermittlung dieses Satzes im Einzelunterricht mit den Schülern zu teilen.
Betrachten wir ein typisches Problem (Aufgabe Nr. 26, OGE), das in Prüfungen in vielen Varianten auftaucht und sich nur in den Zahlen in der Bedingung unterscheidet.

Die Lösung des Problems selbst ist einfach – Sie finden sie unten. In diesem Artikel interessiert uns vor allem ein etwas anderer Punkt, der oft weggelassen und als selbstverständlich angesehen wird. Aber das Offensichtliche ist das, was bewiesen werden kann. Und das lässt sich auf verschiedene Arten beweisen – meist erfolgt der Beweis ausschließlich durch Ähnlichkeit –, aber auch durch den Satz von Menelaos.
Aus der Bedingung, dass sich die Winkel an der unteren Basis des Trapezes zu 90° addieren, ergibt sich bei Verlängerung der Seiten ein rechtwinkliges Dreieck. Zeichnen Sie als nächstes vom resultierenden Schnittpunkt der Verlängerungen der Seitenseiten ein Segment, das durch die Mitte der Basen verläuft. Warum durchläuft dieses Segment alle diese drei Punkte? Normalerweise verlieren die im Internet gefundenen Problemlösungen kein Wort darüber. Es gibt nicht einmal einen Hinweis auf den Vierpunkt-Trapezsatz, geschweige denn einen Beweis dieser Aussage. Mittlerweile kann es mit dem Satz von Menelaos bewiesen werden, der die Bedingung dafür darstellt, dass drei Punkte zu einer Geraden gehören.

Formulierungen des Menelaos-Theorems
Es ist Zeit, den Satz zu formulieren. Es ist zu beachten, dass es in verschiedenen Lehrbüchern und Handbüchern recht unterschiedliche Formulierungen gibt, obwohl der Kern unverändert bleibt. Im Lehrbuch von Atanasyan et al. für die Klassen 10-11 wird die folgende Formulierung des Menelaos-Theorems gegeben, nennen wir es „Vektor“:

Im Lehrbuch „Geometrie Klassen 10-11“ von Aleksandrov et al. sowie im Lehrbuch der gleichen Autoren „Geometrie. „8. Klasse“ bietet eine etwas andere Formulierung des Menelaos-Theorems und ist für die Klassen 10-11 und 8 gleich:
Hier müssen drei Anmerkungen gemacht werden.
Hinweis 1: Bei Prüfungen gibt es keine Probleme, die nur mit Vektoren gelöst werden müssen, für die „minus eins“ verwendet wird. Daher ist für den praktischen Gebrauch die Formulierung am bequemsten, die im Wesentlichen eine Folge des Satzes für Segmente ist (dies ist die zweite Formulierung, hervorgehoben in Fettschrift). Für die weitere Untersuchung des Satzes von Menelaos beschränken wir uns hierauf, da unser Ziel darin besteht, zu lernen, wie wir ihn zur Lösung von Problemen anwenden können.
Anmerkung 2. Trotz der Tatsache, dass alle Lehrbücher eindeutig den Fall festlegen, dass alle drei Punkte A 1, B 1 und C 1 auf den Verlängerungen der Seiten des Dreiecks (oder auf Geraden, die die Seiten des Dreiecks enthalten) liegen können, auf Auf mehreren Nachhilfeseiten im Internet wird nur der Fall formuliert, dass zwei Punkte auf zwei Seiten liegen und der dritte auf der Fortsetzung der dritten Seite liegt. Dies lässt sich kaum damit begründen, dass in Prüfungen nur Probleme der ersten Art auftreten und Probleme nicht auftreten können, wenn alle diese Punkte auf drei Seiten liegen.
Anmerkung 3. Der Umkehrsatz, d.h. Die Bedingung, dass drei Punkte auf derselben Geraden liegen, wird normalerweise überhaupt nicht berücksichtigt, und einige Tutoren raten sogar (???), nur den direkten Satz zu studieren und den Umkehrsatz nicht zu berücksichtigen. In der Zwischenzeit ist der Beweis des Umkehrsatzes recht aufschlussreich und ermöglicht es Ihnen, Aussagen zu beweisen, die denen in der Lösung von Problem 1 ähneln. Die Erfahrung beim Beweis des Umkehrsatzes wird dem Schüler zweifellos greifbare Vorteile bei der Lösung von Problemen bringen.

Zeichnungen und Muster

Um einem Schüler beizubringen, den Satz von Menelaos in Problemen zu sehen und ihn bei der Entscheidungsfindung anzuwenden, ist es wichtig, beim Schreiben des Satzes für einen bestimmten Fall auf die Bilder und Muster zu achten. Und da der Satz selbst in seiner „reinen“ Form vorliegt, d.h. Wenn die Seiten verschiedener Figuren nicht von anderen Segmenten umgeben sind, kommt man in Problemen normalerweise nicht vor. Dann ist es angemessener, den Satz an bestimmten Problemen zu zeigen. Und wenn Sie Zeichnungen als Erklärung zeigen, dann machen Sie sie multivariat. Markieren Sie in diesem Fall die gerade Linie, die aus drei Punkten besteht, in einer Farbe (z. B. Rot) und in Blau die Segmente des Dreiecks, die beim Schreiben des Satzes von Menelaos beteiligt sind. In diesem Fall bleiben die nicht beteiligten Elemente schwarz:

Auf den ersten Blick scheint die Formulierung des Theorems recht komplex und nicht immer verständlich zu sein; schließlich handelt es sich um drei Brüche. Wenn der Student nämlich nicht über genügend Erfahrung verfügt, kann er beim Schreiben leicht einen Fehler machen und dadurch das Problem falsch lösen. Und hier beginnen manchmal Probleme. Die Sache ist, dass sich Lehrbücher normalerweise nicht darauf konzentrieren, wie man beim Schreiben eines Theorems „umgeht“. Über die Gesetze zur Aufzeichnung des Theorems selbst wird nichts gesagt. Aus diesem Grund zeichnen einige Nachhilfelehrer sogar unterschiedliche Pfeile ein, um die Reihenfolge anzuzeigen, in der die Formel geschrieben werden soll. Und sie bitten die Schüler, solche Richtlinien strikt zu befolgen. Das ist teilweise richtig, aber es ist viel wichtiger, die Essenz des Satzes zu verstehen, als ihn rein mechanisch mit der „Bypass-Regel“ und Pfeilen aufzuschreiben.
Tatsächlich ist es nur wichtig, die Logik des „Bypasses“ zu verstehen, und sie ist so präzise, ​​dass es unmöglich ist, beim Schreiben der Formel einen Fehler zu machen. In beiden Fällen a) und b) schreiben wir die Formel für das Dreieck AMC.
Zuerst definieren wir für uns drei Punkte – die Eckpunkte des Dreiecks. Für uns sind das die Punkte A, M, C. Dann bestimmen wir die Punkte, die auf der Schnittlinie (rote Linie) liegen, das sind B, P, K. Wir beginnen die „Bewegung“ beispielsweise vom Scheitelpunkt des Dreiecks aus: von Punkt C. Von diesem Punkt aus „gehen“ wir zu dem Punkt, der beispielsweise durch den Schnittpunkt der Seite AC und der Schnittlinie gebildet wird – für uns ist das Punkt K. Wir schreiben im Zähler des ersten Bruchs – SK . Dann „gehen“ wir vom Punkt K zum verbleibenden Punkt auf der Geraden AC – zum Punkt A. Wir schreiben KA in den Nenner des ersten Bruchs. Da Punkt A auch zur Linie AM gehört, machen wir dasselbe mit Segmenten auf der Linie AM. Und auch hier beginnen wir am Scheitelpunkt, dann „gehen“ wir zu einem Punkt auf der Schnittlinie und bewegen uns dann zum Scheitelpunkt M. „Nachdem wir uns auf der Linie BC „gefunden“ haben, machen wir dasselbe mit den Segmenten auf diese Linie. Von M „gehen“ wir natürlich nach B, danach kehren wir nach C zurück. Dieser „Umweg“ kann entweder im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn erfolgen. Es ist nur wichtig, die Durchquerungsregel zu verstehen – von einem Scheitelpunkt zu einem Punkt auf einer Linie und von einem Punkt auf einer Linie zu einem anderen Scheitelpunkt. So ungefähr wird üblicherweise die Regel zum Schreiben des Produkts von Brüchen erklärt. Das Ergebnis ist:
Bitte beachten Sie, dass der gesamte „Umweg“ in der Aufzeichnung wiedergegeben und der Einfachheit halber mit Pfeilen angezeigt wird.
Der resultierende Datensatz kann jedoch erhalten werden, ohne dass eine „Durchquerung“ durchgeführt werden muss. Nachdem die Punkte ausgeschrieben sind – die Eckpunkte des Dreiecks (A, M, C) und die Punkte – die auf der Schnittlinie (B, P, K) liegen, schreiben Sie auch Buchstabentripel auf, die Punkte bezeichnen, die auf jeder der drei liegen Linien. In unseren Fällen sind dies I) B, M, C; II) A, P, M und III) A, C, K. Danach kann die richtige linke Seite der Formel geschrieben werden, ohne auch nur einen Blick auf die Zeichnung zu werfen und in beliebiger Reihenfolge. Es genügt uns, aus jeweils drei Buchstaben, die der Regel gehorchen, echte Brüche zu schreiben – herkömmlicherweise sind die „mittleren“ Buchstaben die Punkte der Schnittlinie (rot). Herkömmlicherweise sind die „äußeren“ Buchstaben die Spitzen der Dreiecksecken (blau). Wenn Sie eine Formel auf diese Weise schreiben, müssen Sie nur darauf achten, dass jeder „blaue“ Buchstabe (die Spitze des Dreiecks) sowohl im Zähler als auch im Nenner einmal vorkommt. Beispielsweise.
Diese Methode eignet sich besonders für Fälle vom Typ b) sowie für Selbsttests.

Satz von Menelaos. Nachweisen
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Satz von Menelaos zu beweisen. Manchmal beweisen sie es anhand der Ähnlichkeit von Dreiecken, für die vom Punkt M aus ein zu AC paralleles Segment gezeichnet wird (wie in dieser Zeichnung). Andere zeichnen eine zusätzliche Linie, die nicht parallel zur Schnittlinie verläuft, und scheinen dann mithilfe gerader Linien parallel zur Schnittlinie alle notwendigen Segmente auf diese Linie zu „projizieren“ und unter Verwendung einer Verallgemeinerung des Satzes von Thales (d. h. der Satz über proportionale Segmente), leiten Sie die Formel her. Die vielleicht einfachste Beweismethode erhält man jedoch, indem man eine gerade Linie vom Punkt M parallel zum Schnittpunkt zieht. Lassen Sie uns den Satz von Menelaos auf diese Weise beweisen.
Gegeben: Dreieck ABC. Die Linie PK schneidet die Seiten des Dreiecks und die Fortsetzung der Seite MC am Punkt B.
Beweisen Sie, dass die Gleichheit gilt:
Nachweisen. Zeichnen wir den Strahl MM 1 parallel zu BK. Schreiben wir die Beziehungen auf, an denen die Segmente beteiligt sind, die in der Formel des Satzes von Menelaos enthalten sind. Betrachten Sie in einem Fall Linien, die sich im Punkt A schneiden, und im anderen Fall Linien, die sich im Punkt C schneiden. Lassen Sie uns die linke und rechte Seite dieser Gleichungen multiplizieren:

Der Satz ist bewiesen.
Der Satz wird analog für Fall b) bewiesen.

Von Punkt C aus zeichnen wir ein Segment CC 1 parallel zur Geraden BK. Schreiben wir die Beziehungen auf, an denen die Segmente beteiligt sind, die in der Formel des Satzes von Menelaos enthalten sind. Betrachten Sie in einem Fall Linien, die sich im Punkt A schneiden, und im anderen Fall Linien, die sich im Punkt M schneiden. Da der Satz von Thales nichts über die Position von Segmenten auf zwei sich schneidenden Linien aussagt, können sich die Segmente auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes M befinden . Daher,

Der Satz ist bewiesen.

Lassen Sie uns nun den umgekehrten Satz beweisen.
Gegeben:
Beweisen Sie, dass die Punkte B, P, K auf derselben Geraden liegen.
Nachweisen. Die Gerade BP schneide AC an einem Punkt K 2, der nicht mit dem Punkt K zusammenfällt. Da BP eine Gerade ist, die den Punkt K 2 enthält, gilt für sie der gerade bewiesene Satz von Menelaos. Schreiben wir es also für sie auf
Allerdings haben wir das gerade bewiesen
Daraus folgt, dass die Punkte K und K 2 zusammenfallen, da sie die Seite AC im gleichen Verhältnis teilen.
Für Fall b) wird der Satz auf ähnliche Weise bewiesen.

Lösen von Problemen mit dem Satz von Menelaos

Kehren wir zunächst zu Problem 1 zurück und lösen es. Lesen wir es noch einmal. Machen wir eine Zeichnung:

Gegeben sei ein Trapez ABCD. ST – Mittellinie des Trapezes, d.h. einer der angegebenen Abstände. Die Winkel A und D ergeben zusammen 90°. Wir verlängern die Seiten AB und CD und an ihrem Schnittpunkt erhalten wir Punkt K. Verbinden Sie Punkt K mit Punkt N – der Mitte von BC. Nun beweisen wir, dass der Punkt P, der der Mittelpunkt der Basis AD ist, auch zur Geraden KN gehört. Betrachten wir nacheinander die Dreiecke ABD und ACD. Zwei Seiten jedes Dreiecks werden von der Linie KP geschnitten. Angenommen, die Gerade KN schneidet die Basis AD an einem Punkt X. Nach dem Satz von Menelaos:
Da das Dreieck AKD rechtwinklig ist, ist Punkt P, der der Mittelpunkt der Hypotenuse AD ist, von A, D und K gleich weit entfernt. Ebenso ist Punkt N von den Punkten B, C und K gleich weit entfernt. Wobei ist eine Basis gleich 36 und die andere gleich 2?
Lösung. Betrachten Sie das Dreieck BCD. Er wird vom Strahl AX gekreuzt, wobei X der Schnittpunkt dieses Strahls mit der Verlängerung der Seite BC ist. Nach dem Satz von Menelaos:
Wenn wir (1) in (2) einsetzen, erhalten wir:

Lösung. Bezeichnen wir mit den Buchstaben S 1 , S 2 , S 3 und S 4 die Flächen der Dreiecke AOB, AOM, BOK bzw. des Vierecks MOKC.

Da BM der Median ist, gilt S ABM = S BMC.
Das bedeutet S 1 + S 2 = S 3 + S 4.
Da wir das Verhältnis der Flächen S 1 und S 4 ermitteln müssen, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch S 4:
Setzen wir diese Werte in Formel (1) ein: Aus dem Dreieck BMC mit Sekante AK ergibt sich nach dem Satz von Menelaos: Aus dem Dreieck AKC mit Sekante BM ergibt sich nach dem Satz von Menelaos: Alle notwendigen Beziehungen werden durch k ausgedrückt und Sie können sie nun in Ausdruck (2) einsetzen:
Die Lösung dieses Problems mithilfe des Menelaos-Theorems wird auf der Seite besprochen.

Anmerkung des Mathematiklehrers. Die Anwendung des Menelaos-Theorems auf dieses Problem ist genau dann der Fall, wenn Sie mit dieser Methode bei der Prüfung erheblich Zeit sparen können. Diese Aufgabe wird in der Demoversion der Aufnahmeprüfung zum Lyceum der Higher School of Economics für die 9. Klasse (2019) angeboten.

© Mathematiklehrer in Moskau, Alexander Anatolyevich, 8-968-423-9589.

Entscheide dich selbst

1) Die Aufgabe ist einfacher. Auf dem Median BD des Dreiecks ABC wird ein Punkt M markiert, so dass BM: MD = m: n. Die Linie AM schneidet die Seite BC im Punkt K.
Finden Sie das Verhältnis BK:KC.
2) Die Aufgabe ist schwieriger. Die Winkelhalbierende des Winkels A des Parallelogramms ABCD schneidet die Seite BC im Punkt P und die Diagonale BD im Punkt T. Es ist bekannt, dass AB: AD = k (0 3) Aufgabe Nr. 26 OGE. Im Dreieck ABC stehen die Winkelhalbierende BE und der Median AD senkrecht zueinander und haben die gleiche Länge von 36. Finden Sie die Seiten des Dreiecks ABC.
Hinweis für den Mathematiklehrer. Im Internet kann man eine Lösung für ein solches Problem finden, indem man zusätzliche Konstruktionen verwendet und dann entweder Ähnlichkeit oder die Flächen und erst danach die Seiten des Dreiecks ermittelt. Diese. Beide Methoden erfordern eine zusätzliche Konstruktion. Die Lösung eines solchen Problems mithilfe der Winkelhalbierendeneigenschaft und des Satzes von Menelaos erfordert jedoch keine zusätzlichen Konstruktionen. Es ist viel einfacher und rationaler.

— Was haben der Satz des Menelaos und die Drogen gemeinsam?
„Jeder kennt sie, aber niemand spricht darüber.“
Typisches Gespräch mit einem Studenten

Dies ist ein cooler Satz, der Ihnen in einer Zeit helfen wird, in der es den Anschein hat, als könne nichts helfen. In dieser Lektion werden wir den Satz selbst formulieren, mehrere Optionen für seine Verwendung in Betracht ziehen und als Nachtisch werden wir einige schwierige Hausaufgaben haben. Gehen!

Zunächst der Wortlaut. Vielleicht werde ich nicht die „schönste“ Version des Satzes geben, aber die verständlichste und bequemste.

Satz von Menelaos. Betrachten wir ein beliebiges Dreieck $ABC$ und eine bestimmte gerade Linie $l$, die zwei Seiten unseres Dreiecks intern und eine Seite auf der Fortsetzung schneidet. Bezeichnen wir die Schnittpunkte von $M$, $N$ und $K$:

Dreieck $ABC$ und Sekante $l$

Dann gilt folgende Beziehung:

\[\frac(AM)(MB)\cdot \frac(BN)(NC)\cdot \frac(CK)(KA)=1\]

Ich möchte anmerken: Es besteht keine Notwendigkeit, die Platzierung der Buchstaben in dieser bösen Formel zu überfrachten! Jetzt verrate ich Ihnen einen Algorithmus, mit dem Sie immer alle drei Brüche buchstäblich im Handumdrehen wiederherstellen können. Auch während einer Prüfung unter Stress. Auch wenn du um 3 Uhr morgens am Geometrietisch sitzt und überhaupt nichts verstehst. :)

Das Schema ist einfach:

1. Zeichne ein Dreieck und eine Sekante. Zum Beispiel, wie im Satz gezeigt. Wir bezeichnen Eckpunkte und Punkte mit einigen Buchstaben. Es kann ein beliebiges Dreieck $ABC$ und eine gerade Linie mit den Punkten $M$, $N$, $K$ oder irgendein anderes sein – darum geht es nicht.
2. Platzieren Sie einen Stift (Bleistift, Marker, Federkiel) an einem beliebigen Scheitelpunkt des Dreiecks und beginnen Sie, die Seiten dieses Dreiecks zu überqueren mit obligatorischer Eingabe der Schnittpunkte mit der Geraden. Wenn wir zum Beispiel zuerst vom Punkt $A$ zum Punkt $B$ gehen, erhalten wir die Segmente: $AM$ und $MB$, dann $BN$ und $NC$ und dann (Achtung!) $CK$ und $KA$ . Da der Punkt $K$ auf der Fortsetzung der Seite $AC$ liegt, müssen Sie beim Übergang von $C$ nach $A$ das Dreieck vorübergehend verlassen.
3. Und jetzt teilen wir benachbarte Segmente einfach genau in der Reihenfolge ineinander auf, in der wir sie beim Durchlaufen erhalten haben: $AM/MB$, $BN/NC$, $CK/KA$ – wir erhalten drei Brüche, deren Produkt wird gib uns eins.

In der Zeichnung sieht es so aus:

Ein einfaches Schema, mit dem Sie die Formel von Menelaos wiederherstellen können

Und nur ein paar Kommentare. Genauer gesagt handelt es sich nicht einmal um Kommentare, sondern um Antworten auf typische Fragen:

• Was passiert, wenn die Linie $l$ durch den Scheitelpunkt des Dreiecks verläuft? Antwort: nichts. Der Satz von Menelaos funktioniert in diesem Fall nicht.
• Was passiert, wenn Sie einen anderen Scheitelpunkt als Startpunkt wählen oder in die andere Richtung gehen? Antwort: Es wird das Gleiche sein. Die Reihenfolge der Brüche ändert sich einfach.

Ich denke, wir haben den Wortlaut geklärt. Sehen wir uns an, wie all dieses Zeug zur Lösung komplexer geometrischer Probleme eingesetzt wird.

Warum ist das alles nötig?

Warnung. Die übermäßige Verwendung des Satzes von Menelaos zur Lösung planimetrischer Probleme kann Ihrer Psyche irreparablen Schaden zufügen, da dieser Satz die Berechnungen erheblich beschleunigt und Sie dazu zwingt, sich an andere wichtige Fakten aus einem Schulgeometriekurs zu erinnern.

Nachweisen

Ich werde es nicht beweisen. :)

Okay, ich werde es beweisen:

Jetzt müssen noch die beiden erhaltenen Werte für das Segment $CT$ verglichen werden:

\[\frac(AM\cdot BN\cdot CK)(BM\cdot CN\cdot AK)=1;\]

\[\frac(AM)(BM)\cdot \frac(BN)(CN)\cdot \frac(CK)(AK)=1;\]

OK, jetzt ist alles vorbei. Jetzt müssen Sie nur noch diese Formel „kämmen“, indem Sie die Buchstaben richtig in die Segmente einfügen – und schon ist die Formel fertig. :)