Ich werde nicht versuchen, Sie davon zu überzeugen, keine Spickzettel zu schreiben. Schreiben! Einschließlich Spickzettel zur Trigonometrie. Später möchte ich erklären, warum Spickzettel benötigt werden und warum Spickzettel nützlich sind. Und hier finden Sie Informationen darüber, wie Sie einige trigonometrische Formeln nicht lernen, sondern sich merken können. Also - Trigonometrie ohne Spickzettel! Wir nutzen Assoziationen zum Auswendiglernen.
1. Additionsformeln:
Kosinuswerte kommen immer „paarweise“ vor: Kosinus-Kosinus, Sinus-Sinus.
Und noch etwas: Kosinuswerte sind „unzureichend“. „Alles stimmt nicht“, also ändern sie die Vorzeichen: „-“ zu „+“ und umgekehrt.
Nebenhöhlen – „mix“: Sinus-Cosinus, Cosinus-Sinus.
2. Summen- und Differenzformeln:
Kosinuswerte kommen immer „paarweise“ vor. Durch Addition zweier Kosinuswerte – „Koloboks“ – erhalten wir ein Kosinuspaar – „Koloboks“. Und wenn wir subtrahieren, erhalten wir definitiv keine Koloboks. Wir bekommen ein paar Sinus. Auch mit einem Minus voraus.
Nebenhöhlen – „mix“ :
3. Formeln zur Umrechnung eines Produkts in Summe und Differenz.
Wann erhalten wir ein Kosinuspaar? Wenn wir Kosinus addieren. Deshalb
Wann bekommen wir ein paar Sinus? Beim Subtrahieren von Kosinuswerten. Von hier:
„Mischen“ entsteht sowohl beim Addieren als auch beim Subtrahieren von Sinuswerten. Was macht mehr Spaß: Addieren oder Subtrahieren? Genau, falten. Und für die Formel nehmen sie den Zusatz:
In der ersten und dritten Formel steht die Summe in Klammern. Durch die Neuanordnung der Begriffe ändert sich die Summe nicht. Die Reihenfolge ist nur für die zweite Formel wichtig. Aber um nicht zu verwirren und sich leichter zu merken, nehmen wir in allen drei Formeln in den ersten Klammern die Differenz
und zweitens - die Menge
Spickzettel in Ihrer Tasche geben Ihnen Sicherheit: Wenn Sie die Formel vergessen, können Sie sie kopieren. Und sie geben Ihnen Sicherheit: Wenn Sie den Spickzettel nicht verwenden, können Sie sich die Formeln leicht merken.
Additionsformeln werden verwendet, um durch die Sinus- und Cosinuswerte der Winkel a und b die Werte der Funktionen cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b) auszudrücken.
Additionsformeln für Sinus und Cosinus
Satz: Für jedes a und b gilt die folgende Gleichheit: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).
Beweisen wir diesen Satz. Betrachten Sie die folgende Abbildung:
Darauf werden die Punkte Ma, M-b, M(a+b) durch Drehen des Punkts Mo um die Winkel a, -b bzw. a+b erhalten. Aus den Definitionen von Sinus und Cosinus ergeben sich folgende Koordinaten dieser Punkte: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+ b) (cos(a+ b); sin(a+b)). AngleMoOM(a+b) = angleM-bOMa, daher sind die Dreiecke MoOM(a+b) und M-bOMa gleich und gleichschenklig. Das bedeutet, dass die Basen MoM(a-b) und M-bMa gleich sind. Daher ist (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir:
(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.
sin(-a) = -sin(a) und cos(-a) = cos(a). Lassen Sie uns unsere Gleichheit unter Berücksichtigung dieser Formeln und des Quadrats von Summe und Differenz umwandeln, dann:
1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.
Jetzt wenden wir die grundlegende trigonometrische Identität an:
2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).
Geben wir ähnliche an und reduzieren sie um -2:
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.
Es gelten auch folgende Formeln:
- cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
- sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
- sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).
Diese Formeln können aus der oben bewiesenen erhalten werden, indem man Reduktionsformeln verwendet und b durch -b ersetzt. Es gibt auch Additionsformeln für Tangenten und Kotangenten, die jedoch nicht für alle Argumente gültig sind.
Formeln zum Addieren von Tangenten und Kotangenten
Für alle Winkel a,b außer a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n und a+b =pi/2 +pi*m gilt für alle ganzen Zahlen k,n,m Folgendes sei wahr Formel:
tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).
Für alle Winkel a,b außer a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n und a-b =pi/2 +pi*m gilt für alle ganzen Zahlen k,n,m die folgende Formel gültig:
tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).
Für alle Winkel a,b außer a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m und für alle ganzen Zahlen k,n,m gilt die folgende Formel:
ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).
Wir setzen unser Gespräch über die am häufigsten verwendeten Formeln in der Trigonometrie fort. Die wichtigsten davon sind Additionsformeln.
Definition 1
Mit Additionsformeln können Sie Funktionen der Differenz oder Summe zweier Winkel mithilfe trigonometrischer Funktionen dieser Winkel ausdrücken.
Zunächst geben wir eine vollständige Liste der Additionsformeln, beweisen sie dann und analysieren einige anschauliche Beispiele.
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Grundlegende Additionsformeln in der Trigonometrie
Es gibt acht Grundformeln: Sinus der Summe und Sinus der Differenz zweier Winkel, Kosinus der Summe und Differenz, Tangens und Kotangens der Summe und Differenz. Nachfolgend finden Sie ihre Standardformulierungen und Berechnungen.
1. Der Sinus der Summe zweier Winkel kann wie folgt ermittelt werden:
Wir berechnen das Produkt aus dem Sinus des ersten Winkels und dem Cosinus des zweiten;
Multiplizieren Sie den Kosinus des ersten Winkels mit dem Sinus des ersten;
Addieren Sie die resultierenden Werte.
Die grafische Darstellung der Formel sieht folgendermaßen aus: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Der Sinus der Differenz wird fast auf die gleiche Weise berechnet, nur dass die resultierenden Produkte nicht addiert, sondern voneinander subtrahiert werden müssen. Wir berechnen also die Produkte des Sinus des ersten Winkels mit dem Cosinus des zweiten und des Cosinus des ersten Winkels mit dem Sinus des zweiten und ermitteln deren Differenz. Die Formel lautet wie folgt: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Kosinus der Summe. Dafür ermitteln wir die Produkte des Kosinus des ersten Winkels mit dem Kosinus des zweiten bzw. des Sinus des ersten Winkels mit dem Sinus des zweiten und ermitteln deren Differenz: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Kosinus der Differenz: Berechnen Sie wie zuvor die Produkte aus Sinus und Kosinus dieser Winkel und addieren Sie sie. Formel: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangens der Summe. Diese Formel wird als Bruch ausgedrückt, dessen Zähler die Summe der Tangenten der erforderlichen Winkel ist und dessen Nenner eine Einheit ist, von der das Produkt der Tangenten der gewünschten Winkel subtrahiert wird. Aus der grafischen Notation geht alles klar hervor: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tangens der Differenz. Wir berechnen die Werte der Differenz und des Produkts der Tangenten dieser Winkel und gehen damit auf ähnliche Weise vor. Im Nenner addieren wir zu eins und nicht umgekehrt: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Kotangens des Betrags. Um mit dieser Formel zu rechnen, benötigen wir das Produkt und die Summe der Kotangenten dieser Winkel, wobei wir wie folgt vorgehen: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Kotangens der Differenz . Die Formel ähnelt der vorherigen, aber Zähler und Nenner sind minus und nicht plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass diese Formeln paarweise ähnlich sind. Mithilfe der Vorzeichen ± (Plus-Minus) und ∓ (Minus-Plus) können wir sie zur Vereinfachung der Aufzeichnung gruppieren:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Dementsprechend haben wir eine Formel zur Aufzeichnung der Summe und Differenz jedes Wertes, nur achten wir in einem Fall auf das obere Vorzeichen, im anderen auf das untere.
Definition 2
Wir können beliebige Winkel α und β annehmen und die Additionsformeln für Kosinus und Sinus funktionieren für sie. Wenn wir die Werte der Tangenten und Kotangens dieser Winkel richtig bestimmen können, gelten für sie auch die Additionsformeln für Tangens und Kotangens.
Wie die meisten Konzepte in der Algebra können Additionsformeln bewiesen werden. Die erste Formel, die wir beweisen werden, ist die Differenzkosinusformel. Der Rest der Beweise lässt sich dann leicht daraus ableiten.
Lassen Sie uns die Grundkonzepte klären. Wir brauchen einen Einheitskreis. Es funktioniert, wenn wir einen bestimmten Punkt A nehmen und die Winkel α und β um den Mittelpunkt (Punkt O) drehen. Dann ist der Winkel zwischen den Vektoren O A 1 → und O A → 2 gleich (α - β) + 2 π · z oder 2 π - (α - β) + 2 π · z (z ist eine beliebige ganze Zahl). Die resultierenden Vektoren bilden einen Winkel, der gleich α – β oder 2 π – (α – β) ist, oder er kann von diesen Werten um eine ganzzahlige Anzahl voller Umdrehungen abweichen. Schauen Sie sich das Bild an:
Wir haben die Reduktionsformeln verwendet und folgende Ergebnisse erhalten:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Ergebnis: Der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren O A 1 → und O A 2 → ist gleich dem Kosinus des Winkels α - β, daher gilt cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Erinnern wir uns an die Definitionen von Sinus und Cosinus: Sinus ist eine Funktion des Winkels, gleich dem Verhältnis des Schenkels des Gegenwinkels zur Hypotenuse, Cosinus ist der Sinus des Komplementärwinkels. Daher die Punkte Eine 1 Und Eine 2 haben die Koordinaten (cos α, sin α) und (cos β, sin β).
Wir erhalten Folgendes:
O A 1 → = (cos α, sin α) und O A 2 → = (cos β, sin β)
Wenn es nicht klar ist, schauen Sie sich die Koordinaten der Punkte an, die sich am Anfang und Ende der Vektoren befinden.
Die Längen der Vektoren sind gleich 1, weil Wir haben einen Einheitskreis.
Analysieren wir nun das Skalarprodukt der Vektoren O A 1 → und O A 2 → . In Koordinaten sieht es so aus:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Daraus können wir die Gleichheit ableiten:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Damit ist die Differenzkosinusformel bewiesen.
Jetzt beweisen wir die folgende Formel – den Kosinus der Summe. Dies ist einfacher, da wir die vorherigen Berechnungen verwenden können. Nehmen wir die Darstellung α + β = α - (- β) . Wir haben:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Dies ist der Beweis der Kosinussummenformel. Die letzte Zeile nutzt die Eigenschaft von Sinus und Cosinus entgegengesetzter Winkel.
Die Formel für den Sinus einer Summe lässt sich aus der Formel für den Kosinus einer Differenz ableiten. Nehmen wir hierfür die Reduktionsformel:
der Form sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Also
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Und hier ist der Beweis der Differenzsinusformel:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Beachten Sie die Verwendung der Sinus- und Kosinuseigenschaften entgegengesetzter Winkel in der letzten Berechnung.
Als nächstes benötigen wir Beweise für die Additionsformeln für Tangens und Kotangens. Erinnern wir uns an die grundlegenden Definitionen (Tangens ist das Verhältnis von Sinus zu Cosinus und Kotangens ist umgekehrt) und nehmen wir die bereits abgeleiteten Formeln im Voraus. Wir haben es geschafft:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Wir haben einen komplexen Bruch. Als nächstes müssen wir seinen Zähler und Nenner durch cos α · cos β dividieren. Vorausgesetzt, dass cos α ≠ 0 und cos β ≠ 0, erhalten wir:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Jetzt reduzieren wir die Brüche und erhalten die folgende Formel: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Wir erhalten t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Dies ist der Beweis der Tangentenadditionsformel.
Die nächste Formel, die wir beweisen werden, ist der Tangens der Differenzenformel. In den Berechnungen wird alles klar dargestellt:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Formeln für den Kotangens werden auf ähnliche Weise bewiesen:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Weiter:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
