Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion und Punkte sind mit 7 markiert. 3. Ableitung der Funktion

Neue Aufgaben sind erschienen. Schauen wir uns ihre Lösung an.

Prototyp der Aufgabe B8 (Nr. 317543)

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) und markiert die Punkte -2, -1, 1, 2. An welchem ​​dieser Punkte ist der Wert der Ableitung am größten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Wie wir wissen, heißt es

Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null geht:

Die Ableitung an einem Punkt zeigt Geschwindigkeit der Funktionsänderung an dieser Stelle. Je schneller sich die Funktion ändert, also je größer das Inkrement der Funktion ist, desto größer ist der Neigungswinkel der Tangente. Da das Problem die Bestimmung des Punktes erfordert, an dem der Wert der Ableitung am größten ist, schließen wir die Punkte mit den Abszissen -1 und 1 aus der Betrachtung aus – an diesen Punkten nimmt die Funktion ab und die Ableitung an ihnen ist negativ.

Die Funktion nimmt an den Punkten -2 und 2 zu. Allerdings nimmt sie an ihnen auf unterschiedliche Weise zu - am Punkt -2 steigt der Graph der Funktion steiler an als am Punkt 2, und daher ist das Inkrement der Funktion an diesem Punkt und damit der Ableitung, ist größer.

Antwort: -2

Und eine ähnliche Aufgabe:

Prototyp der Aufgabe B8 (Nr. 317544)

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion und markiert die Punkte -2, -1, 1, 4. An welchem ​​dieser Punkte ist die Ableitung am kleinsten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Die Lösung dieses Problems ähnelt der Lösung des vorherigen „genau das Gegenteil“

Uns interessiert der Punkt, an dem die Ableitung ihren kleinsten Wert annimmt, das heißt, wir suchen den Punkt, an dem die Funktion am schnellsten abnimmt – im Diagramm ist dies der Punkt, an dem der steilste „Abstieg“ auftritt. Dies ist der Abszissenpunkt 4.

Liebe Freunde! Die Aufgabengruppe im Zusammenhang mit der Ableitung umfasst Aufgaben – die Bedingung ergibt einen Graphen einer Funktion, mehrere Punkte auf diesem Graphen und die Frage lautet:

An welchem ​​Punkt ist die Ableitung am größten (am kleinsten)?

Wiederholen wir kurz:

Die Ableitung an einem Punkt ist gleich der Steigung der durch ihn verlaufenden TangenteDieser Punkt in der Grafik.

UDer globale Koeffizient der Tangente wiederum ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels dieser Tangente.

*Dies bezieht sich auf den Winkel zwischen der Tangente und der x-Achse.

1. In Intervallen mit steigender Funktion hat die Ableitung einen positiven Wert.

2. In Intervallen seiner Abnahme hat die Ableitung einen negativen Wert.

Betrachten Sie die folgende Skizze:

An den Punkten 1,2,4 hat die Ableitung der Funktion einen negativen Wert, da diese Punkte zu abnehmenden Intervallen gehören.

An den Punkten 3,5,6 hat die Ableitung der Funktion einen positiven Wert, da diese Punkte zu zunehmenden Intervallen gehören.

Wie Sie sehen, ist mit der Bedeutung der Ableitung alles klar, das heißt, es ist überhaupt nicht schwer zu bestimmen, welches Vorzeichen sie an einem bestimmten Punkt im Diagramm hat (positiv oder negativ).

Wenn wir außerdem gedanklich Tangenten an diesen Punkten konstruieren, werden wir sehen, dass gerade Linien, die durch die Punkte 3, 5 und 6 verlaufen, Winkel mit der oX-Achse im Bereich von 0 bis 90 ° bilden, und dass gerade Linien, die durch die Punkte 1, 2 und 4 verlaufen, Winkel bilden Mit der OX-Achse reichen die Winkel von 90° bis 180°.

*Die Beziehung ist klar: Tangenten, die durch Punkte gehen, die zu Intervallen steigender Funktionen gehören, bilden spitze Winkel mit der oX-Achse, Tangenten, die durch Punkte gehen, die zu Intervallen fallender Funktionen gehören, bilden stumpfe Winkel mit der oX-Achse.

Jetzt die wichtige Frage!

Wie verändert sich der Wert des Derivats? Schließlich bildet die Tangente an verschiedenen Punkten im Diagramm einer stetigen Funktion unterschiedliche Winkel, je nachdem, durch welchen Punkt im Diagramm sie verläuft.

*Oder vereinfacht ausgedrückt: Die Tangente liegt eher „horizontal“ oder „vertikal“. Sehen:

Gerade Linien bilden mit der oX-Achse Winkel im Bereich von 0 bis 90 °

Gerade Linien bilden mit der oX-Achse Winkel im Bereich von 90° bis 180°

Wenn Sie also Fragen haben:

— An welchem ​​der angegebenen Punkte im Diagramm hat die Ableitung den kleinsten Wert?

- An welchem ​​der angegebenen Punkte im Diagramm hat die Ableitung den größten Wert?

Um zu antworten, muss man verstehen, wie sich der Wert des Tangens des Tangentenwinkels im Bereich von 0 bis 180 ° ändert.

*Wie bereits erwähnt, ist der Wert der Ableitung der Funktion an einem Punkt gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Tangente an die oX-Achse.

Der Tangenswert ändert sich wie folgt:

Wenn sich der Neigungswinkel der Geraden von 0° auf 90° ändert, ändert sich der Wert der Tangente und damit der Ableitung entsprechend von 0 auf +∞;

Wenn sich der Neigungswinkel der Geraden von 90° auf 180° ändert, ändert sich der Wert der Tangente und damit die Ableitung entsprechend –∞ auf 0.

Dies ist aus dem Diagramm der Tangensfunktion deutlich zu erkennen:

In einfachen Worten:

Bei einem tangentialen Neigungswinkel von 0° bis 90°

Je näher es an 0 o liegt, desto größer ist der Wert der Ableitung nahe Null (auf der positiven Seite).

Je näher der Winkel bei 90° liegt, desto stärker steigt der Ableitungswert in Richtung +∞.

Mit einem tangentialen Neigungswinkel von 90° bis 180°

Je näher er bei 90 o liegt, desto mehr nimmt der Ableitungswert in Richtung –∞ ab.

Je näher der Winkel bei 180° liegt, desto größer ist der Wert der Ableitung nahe Null (auf der negativen Seite).

317543. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = F(X) und die Punkte sind markiert–2, –1, 1, 2. An welchem ​​dieser Punkte ist die Ableitung am größten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Wir haben vier Punkte: Zwei davon gehören zu den Intervallen, in denen die Funktion abnimmt (das sind die Punkte –1 und 1) und zwei zu den Intervallen, in denen die Funktion zunimmt (das sind die Punkte –2 und 2).

Wir können sofort schließen, dass die Ableitung an den Punkten –1 und 1 einen negativen Wert hat und an den Punkten –2 und 2 einen positiven Wert. Daher ist es in diesem Fall notwendig, die Punkte –2 und 2 zu analysieren und zu bestimmen, welcher von ihnen den größten Wert hat. Konstruieren wir Tangenten, die durch die angegebenen Punkte verlaufen:

Der Wert des Tangens des Winkels zwischen der Geraden a und der Abszissenachse wird größer sein als der Wert des Tangens des Winkels zwischen der Geraden b und dieser Achse. Das bedeutet, dass der Wert der Ableitung am Punkt –2 am größten sein wird.

Beantworten wir die folgende Frage: An welchem ​​Punkt –2, –1, 1 oder 2 ist der Wert der Ableitung am negativsten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Die Ableitung wird an Punkten, die zu den abnehmenden Intervallen gehören, einen negativen Wert haben. Betrachten wir also die Punkte –2 und 1. Konstruieren wir Tangenten, die durch sie verlaufen:

Wir sehen, dass der stumpfe Winkel zwischen der Geraden b und der oX-Achse „näher“ bei 180 liegtÖ , daher ist sein Tangens größer als der Tangens des Winkels, der von der Geraden a und der oX-Achse gebildet wird.

Somit ist der Wert der Ableitung am Punkt x = 1 am größten negativ.

317544. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y = F(X) und die Punkte sind markiert–2, –1, 1, 4. An welchem ​​dieser Punkte ist die Ableitung am kleinsten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Wir haben vier Punkte: Zwei davon gehören zu den Intervallen, in denen die Funktion abnimmt (das sind die Punkte –1 und 4) und zwei zu den Intervallen, in denen die Funktion zunimmt (das sind die Punkte –2 und 1).

Wir können sofort daraus schließen, dass die Ableitung an den Punkten –1 und 4 einen negativen Wert hat und an den Punkten –2 und 1 einen positiven Wert. Daher ist es in diesem Fall notwendig, die Punkte –1 und 4 zu analysieren und zu bestimmen, welcher von ihnen den kleinsten Wert hat. Konstruieren wir Tangenten, die durch die angegebenen Punkte verlaufen:

Der Wert des Tangens des Winkels zwischen der Geraden a und der Abszissenachse wird größer sein als der Wert des Tangens des Winkels zwischen der Geraden b und dieser Achse. Das bedeutet, dass der Wert der Ableitung am Punkt x = 4 am kleinsten ist.

Antwort: 4

Ich hoffe, ich habe Sie mit der Fülle des Schreibens nicht „überfordert“. Tatsächlich ist alles sehr einfach, Sie müssen nur die Eigenschaften der Ableitung, ihre geometrische Bedeutung und wie sich der Wert des Tangens des Winkels von 0 auf 180 ° ändert, verstehen.

1. Bestimmen Sie zunächst die Vorzeichen der Ableitung an diesen Punkten (+ oder -) und wählen Sie die erforderlichen Punkte aus (abhängig von der gestellten Frage).

2. Konstruieren Sie Tangenten an diesen Punkten.

3. Markieren Sie mithilfe des Tangesoiddiagramms schematisch die Winkel und zeigen Sie sie anAlexander.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Aufgabe B9 gibt einen Graphen einer Funktion oder Ableitung an, aus dem Sie eine der folgenden Größen bestimmen müssen:

1. Der Wert der Ableitung an einem Punkt x 0,
2. Maximale oder minimale Punkte (Extrempunkte),
3. Intervalle steigender und fallender Funktionen (Intervalle der Monotonie).

Die in diesem Problem vorgestellten Funktionen und Ableitungen sind immer stetig, was die Lösung erheblich erleichtert. Obwohl die Aufgabe zum Bereich der mathematischen Analysis gehört, ist sie auch für die schwächsten Studierenden zu bewältigen, da hier keine tiefgreifenden theoretischen Kenntnisse erforderlich sind.

Um den Wert der Ableitung, der Extrempunkte und der Monotonieintervalle zu ermitteln, gibt es einfache und universelle Algorithmen – alle werden im Folgenden besprochen.

Lesen Sie die Bedingungen der Aufgabe B9 sorgfältig durch, um dumme Fehler zu vermeiden: Manchmal stößt man auf recht lange Texte, aber es gibt nur wenige wichtige Bedingungen, die den Lösungsverlauf beeinflussen.

Berechnung des Ableitungswertes. Zwei-Punkte-Methode

Wenn dem Problem ein Graph einer Funktion gegeben ist f(x), tangential zu diesem Graphen an einem Punkt x 0, und es erforderlich ist, den Wert der Ableitung an diesem Punkt zu finden, wird der folgende Algorithmus angewendet:

1. Finden Sie zwei „geeignete“ Punkte im Tangentendiagramm: Ihre Koordinaten müssen ganzzahlig sein. Bezeichnen wir diese Punkte als A (x 1 ; y 1) und B (x 2 ; y 2). Schreiben Sie die Koordinaten richtig auf – das ist ein zentraler Punkt der Lösung, und jeder Fehler hier führt zu einer falschen Antwort.
2. Wenn man die Koordinaten kennt, ist es einfach, das Inkrement des Arguments Δx = x 2 − x 1 und das Inkrement der Funktion Δy = y 2 − y 1 zu berechnen.
3. Schließlich finden wir den Wert der Ableitung D = Δy/Δx. Mit anderen Worten: Sie müssen das Inkrement der Funktion durch das Inkrement des Arguments dividieren – und das ist die Antwort.

Beachten wir noch einmal: Die Punkte A und B müssen genau auf der Tangente gesucht werden und nicht auf dem Graphen der Funktion f(x), wie es oft der Fall ist. Die Tangente muss unbedingt mindestens zwei solcher Punkte enthalten, sonst wird das Problem nicht richtig formuliert.

Betrachten Sie die Punkte A (−3; 2) und B (−1; 6) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Finden wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 3) und B (3; 0) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Nun ermitteln wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 2) und B (5; 2) und ermitteln Sie die Inkremente:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Es bleibt noch der Wert der Ableitung zu finden: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Aus dem letzten Beispiel können wir eine Regel formulieren: Wenn die Tangente parallel zur OX-Achse verläuft, ist die Ableitung der Funktion am Tangentialpunkt Null. In diesem Fall müssen Sie nicht einmal etwas zählen – schauen Sie sich einfach die Grafik an.

Berechnung der maximalen und minimalen Punkte

Manchmal gibt Problem B9 anstelle eines Graphen einer Funktion einen Graphen der Ableitung an und erfordert die Ermittlung des Maximal- oder Minimalpunkts der Funktion. In dieser Situation ist die Zwei-Punkte-Methode nutzlos, aber es gibt einen anderen, noch einfacheren Algorithmus. Definieren wir zunächst die Terminologie:

1. Der Punkt x 0 heißt Maximalpunkt der Funktion f(x), wenn in einer Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≥ f(x).
2. Der Punkt x 0 heißt Minimalpunkt der Funktion f(x), wenn in einer Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≤ f(x).

Um die maximalen und minimalen Punkte aus dem Ableitungsdiagramm zu ermitteln, befolgen Sie einfach diese Schritte:

1. Zeichnen Sie den Ableitungsgraphen neu und entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Wie die Praxis zeigt, beeinträchtigen unnötige Daten nur die Entscheidung. Deshalb markieren wir die Nullstellen der Ableitung auf der Koordinatenachse – und das war’s.
2. Finden Sie die Vorzeichen der Ableitung der Intervalle zwischen Nullen heraus. Wenn für einen Punkt x 0 bekannt ist, dass f'(x 0) ≠ 0, dann sind nur zwei Optionen möglich: f'(x 0) ≥ 0 oder f'(x 0) ≤ 0. Das Vorzeichen der Ableitung ist aus der Originalzeichnung leicht zu ermitteln: Wenn der Ableitungsgraph oberhalb der OX-Achse liegt, dann ist f'(x) ≥ 0. Und umgekehrt, wenn der Ableitungsgraph unterhalb der OX-Achse liegt, dann ist f'(x) ≤ 0.
3. Wir überprüfen noch einmal die Nullstellen und Vorzeichen der Ableitung. Wo das Vorzeichen von Minus zu Plus wechselt, ist der Mindestpunkt. Ändert sich umgekehrt das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus, ist dies der Maximalpunkt. Gezählt wird immer von links nach rechts.

Dieses Schema funktioniert nur für kontinuierliche Funktionen – andere gibt es in Aufgabe B9 nicht.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−5; 5]. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden und nur die Grenzen [−5; 5] und Nullstellen der Ableitung x = −3 und x = 2,5. Wir beachten auch die Zeichen:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = −3 das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus. Dies ist die Mindestpunktzahl.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−3; 7]. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Zeichnen wir den Graphen neu und lassen nur die Grenzen [−3; 7] und Nullstellen der Ableitung x = −1,7 und x = 5. Beachten wir die Vorzeichen der Ableitung im resultierenden Diagramm. Wir haben:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = 5 das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus – dies ist der Maximalpunkt.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−6; 4]. Finden Sie die Anzahl der Maximalpunkte der Funktion f(x), die zum Segment [−4; 3].

Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass es ausreicht, nur den durch das Segment [−4; 3]. Deshalb erstellen wir einen neuen Graphen, auf dem wir nur die Grenzen markieren [−4; 3] und Nullstellen der darin enthaltenen Ableitung. Nämlich die Punkte x = −3,5 und x = 2. Wir erhalten:

In diesem Diagramm gibt es nur einen Maximalpunkt x = 2. An diesem Punkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus.

Eine kleine Anmerkung zu Punkten mit nicht ganzzahligen Koordinaten. Beispielsweise wurde im letzten Problem der Punkt x = −3,5 berücksichtigt, aber mit dem gleichen Erfolg können wir x = −3,4 annehmen. Bei richtiger Problemstellung dürften solche Änderungen keinen Einfluss auf die Lösung haben, da die Punkte „ohne festen Wohnsitz“ keinen unmittelbaren Beitrag zur Lösung des Problems leisten. Natürlich funktioniert dieser Trick nicht mit ganzzahligen Punkten.

Finden von Intervallen steigender und fallender Funktionen

Bei einem solchen Problem wie den Maximal- und Minimalpunkten wird vorgeschlagen, den Ableitungsgraphen zu verwenden, um Bereiche zu finden, in denen die Funktion selbst zunimmt oder abnimmt. Definieren wir zunächst, was Zunahme und Abnahme sind:

1. Eine Funktion f(x) heißt auf einem Segment wachsend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 aus diesem Segment die folgende Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Mit anderen Worten: Je größer der Argumentwert, desto größer der Funktionswert.
2. Eine Funktion f(x) heißt auf einem Segment abnehmend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 aus diesem Segment die folgende Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Diese. Ein größerer Argumentwert entspricht einem kleineren Funktionswert.

Lassen Sie uns ausreichende Bedingungen für die Erhöhung und Verringerung formulieren:

1. Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment ansteigt, reicht es aus, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments positiv ist, d. h. f’(x) ≥ 0.
2. Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment abnimmt, reicht es aus, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments negativ ist, d. h. f’(x) ≤ 0.

Akzeptieren wir diese Aussagen ohne Beweise. Somit erhalten wir ein Schema zum Finden von Anstiegs- und Abfallintervallen, das in vielerlei Hinsicht dem Algorithmus zur Berechnung von Extrempunkten ähnelt:

1. Entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Im Originalgraphen der Ableitung interessieren uns vor allem die Nullstellen der Funktion, daher belassen wir nur diese.
2. Markieren Sie die Vorzeichen der Ableitung in den Abständen zwischen den Nullen. Wenn f’(x) ≥ 0, nimmt die Funktion zu, und wenn f’(x) ≤ 0, nimmt sie ab. Wenn das Problem Einschränkungen für die Variable x vorsieht, markieren wir diese zusätzlich in einem neuen Diagramm.
3. Nachdem wir nun das Verhalten der Funktion und die Einschränkungen kennen, müssen wir noch die für das Problem erforderliche Menge berechnen.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall [−3; 7.5]. Finden Sie die Abnahmeintervalle der Funktion f(x). Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzen Zahlen an.

Zeichnen wir wie üblich den Graphen neu und markieren die Grenzen [−3; 7.5], sowie Nullstellen der Ableitung x = −1.5 und x = 5.3. Dann notieren wir die Vorzeichen der Ableitung. Wir haben:

Da die Ableitung im Intervall (− 1,5) negativ ist, ist dies das Intervall der abnehmenden Funktion. Es müssen noch alle ganzen Zahlen summiert werden, die innerhalb dieses Intervalls liegen:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert im Intervall [−10; 4]. Finden Sie die Anstiegsintervalle der Funktion f(x). Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden. Lassen wir nur die Grenzen [−10; 4] und Nullstellen der Ableitung, von denen es diesmal vier gab: x = −8, x = −6, x = −3 und x = 2. Markieren wir die Vorzeichen der Ableitung und erhalten das folgende Bild:

Uns interessieren die Intervalle zunehmender Funktion, d.h. So ist f’(x) ≥ 0. Es gibt zwei solcher Intervalle im Diagramm: (−8; −6) und (−3; 2). Berechnen wir ihre Längen:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Da wir die Länge des größten Intervalls ermitteln müssen, schreiben wir als Antwort den Wert l 2 = 5.

Die Ableitung einer Funktion ist eines der schwierigen Themen im Lehrplan. Nicht jeder Absolvent wird die Frage beantworten, was ein Derivat ist.

Dieser Artikel erklärt auf einfache und klare Weise, was ein Derivat ist und warum es benötigt wird.. Wir streben bei der Darstellung nun nicht nach mathematischer Strenge. Das Wichtigste ist, die Bedeutung zu verstehen.

Erinnern wir uns an die Definition:

Die Ableitung ist die Änderungsrate einer Funktion.

Die Abbildung zeigt Diagramme von drei Funktionen. Welches wächst Ihrer Meinung nach schneller?

Die Antwort liegt auf der Hand – die dritte. Es hat die höchste Änderungsrate, also die größte Ableitung.

Hier ist ein weiteres Beispiel.

Kostya, Grisha und Matvey bekamen gleichzeitig Jobs. Sehen wir uns an, wie sich ihr Einkommen im Laufe des Jahres verändert hat:

Die Grafik zeigt alles auf einmal, nicht wahr? Kostyas Einkommen hat sich innerhalb von sechs Monaten mehr als verdoppelt. Und auch Grischas Einkommen stieg, aber nur geringfügig. Und Matveys Einkommen sank auf Null. Die Startbedingungen sind die gleichen, aber die Änderungsrate der Funktion ist gleich Derivat, - anders. Was Matvey betrifft, ist seine Einkommensableitung im Allgemeinen negativ.

Intuitiv können wir die Änderungsrate einer Funktion leicht abschätzen. Aber wie machen wir das?

Was wir wirklich betrachten, ist, wie steil der Graph einer Funktion nach oben (oder nach unten) verläuft. Mit anderen Worten: Wie schnell ändert sich y, wenn sich x ändert? Offensichtlich kann dieselbe Funktion an verschiedenen Punkten unterschiedliche Ableitungswerte haben – das heißt, sie kann sich schneller oder langsamer ändern.

Die Ableitung einer Funktion wird bezeichnet.

Wir zeigen Ihnen anhand einer Grafik, wie Sie es finden.

Es wurde ein Diagramm einer Funktion gezeichnet. Nehmen wir einen Punkt mit einer Abszisse darauf. Zeichnen wir an dieser Stelle eine Tangente an den Funktionsgraphen. Wir wollen abschätzen, wie steil der Graph einer Funktion ansteigt. Ein praktischer Wert hierfür ist Tangens des Tangentenwinkels.

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich dem Tangens des Tangentenwinkels, der an diesem Punkt an den Graphen der Funktion gezogen wird.

Bitte beachten Sie, dass wir als Neigungswinkel der Tangente den Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse nehmen.

Manchmal fragen Schüler, was eine Tangente an den Graphen einer Funktion ist. Dies ist eine gerade Linie, die einen einzigen gemeinsamen Punkt mit dem Diagramm in diesem Abschnitt hat, wie in unserer Abbildung dargestellt. Es sieht aus wie eine Tangente an einen Kreis.

Finden wir es. Wir erinnern uns, dass der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gleich dem Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite ist. Aus dem Dreieck:

Wir haben die Ableitung mithilfe eines Diagramms gefunden, ohne die Formel der Funktion zu kennen. Solche Probleme finden sich häufig im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik unter der Nummer.

Es gibt noch einen weiteren wichtigen Zusammenhang. Denken Sie daran, dass die Gerade durch die Gleichung gegeben ist

Die Größe in dieser Gleichung heißt Steigung einer Geraden. Er ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Geraden zur Achse.

.

Wir verstehen das

Erinnern wir uns an diese Formel. Es drückt die geometrische Bedeutung der Ableitung aus.

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente, die an den Graphen der Funktion an diesem Punkt gezogen wird.

Mit anderen Worten, die Ableitung ist gleich dem Tangens des Tangentenwinkels.

Wir haben bereits gesagt, dass dieselbe Funktion an verschiedenen Punkten unterschiedliche Ableitungen haben kann. Sehen wir uns an, wie die Ableitung mit dem Verhalten der Funktion zusammenhängt.

Lassen Sie uns einen Graphen einer Funktion zeichnen. Lassen Sie diese Funktion in einigen Bereichen zunehmen und in anderen abnehmen, und zwar mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Und lassen Sie diese Funktion maximale und minimale Punkte haben.

An einem Punkt nimmt die Funktion zu. Eine Tangente an den an einem Punkt gezeichneten Graphen bildet einen spitzen Winkel mit der positiven Richtung der Achse. Das bedeutet, dass die Ableitung an diesem Punkt positiv ist.

An diesem Punkt nimmt unsere Funktion ab. Die Tangente an diesem Punkt bildet einen stumpfen Winkel mit der positiven Richtung der Achse. Da der Tangens eines stumpfen Winkels negativ ist, ist die Ableitung an diesem Punkt negativ.

Folgendes passiert:

Wenn eine Funktion wächst, ist ihre Ableitung positiv.

Wenn sie abnimmt, ist ihre Ableitung negativ.

Was passiert bei der maximalen und minimalen Punktzahl? Wir sehen, dass an den Punkten (Maximalpunkt) und (Minimalpunkt) die Tangente horizontal ist. Daher ist die Tangente der Tangente an diesen Punkten Null und die Ableitung ist ebenfalls Null.

Punkt - Maximalpunkt. An diesem Punkt wird die Zunahme der Funktion durch eine Abnahme ersetzt. Folglich wechselt das Vorzeichen der Ableitung an der Stelle von „Plus“ nach „Minus“.

An dem Punkt – dem Minimalpunkt – ist die Ableitung ebenfalls Null, ihr Vorzeichen ändert sich jedoch von „Minus“ zu „Plus“.

Fazit: Mit der Ableitung können wir alles herausfinden, was uns am Verhalten einer Funktion interessiert.

Wenn die Ableitung positiv ist, wächst die Funktion.

Wenn die Ableitung negativ ist, nimmt die Funktion ab.

Am Maximalpunkt ist die Ableitung Null und ändert das Vorzeichen von „Plus“ zu „Minus“.

Am Minimalpunkt ist die Ableitung ebenfalls Null und wechselt das Vorzeichen von „Minus“ zu „Plus“.

Schreiben wir diese Schlussfolgerungen in Form einer Tabelle:

	erhöht sich	Maximalpunkt	nimmt ab	Mindestpunktzahl	erhöht sich
+	0	-	0	+

Lassen Sie uns zwei kleine Klarstellungen vornehmen. Sie benötigen eine davon, wenn Sie USE-Probleme lösen. Ein weiteres - im ersten Jahr, mit einem ernsthafteren Studium von Funktionen und Ableitungen.

Es ist möglich, dass die Ableitung einer Funktion irgendwann gleich Null ist, die Funktion aber an dieser Stelle weder ein Maximum noch ein Minimum hat. Dies ist das sogenannte :

An einem Punkt ist die Tangente an den Graphen horizontal und die Ableitung ist Null. Vor dem Punkt nahm die Funktion jedoch zu – und nach dem Punkt nimmt sie weiter zu. Das Vorzeichen der Ableitung ändert sich nicht – es bleibt positiv, wie es war.

Es kommt auch vor, dass die Ableitung am Punkt des Maximums oder Minimums nicht existiert. In der Grafik entspricht dies einem scharfen Bruch, wenn es unmöglich ist, an einem bestimmten Punkt eine Tangente zu zeichnen.

Wie findet man die Ableitung, wenn die Funktion nicht durch einen Graphen, sondern durch eine Formel gegeben ist? In diesem Fall gilt es