Theorie der Funktionen einer Variablen. Mathematische Analyse

Lassen Sie die Variable X N nimmt eine unendliche Folge von Werten an

X 1 , X 2 , ..., X N , ..., (1)

und das Änderungsgesetz der Variablen ist bekannt X N, d.h. für jede natürliche Zahl N Sie können den entsprechenden Wert angeben X N. Es wird also davon ausgegangen, dass die Variable X N ist eine Funktion von N:

X N = f(n)

Lassen Sie uns einen der wichtigsten Begriffe der mathematischen Analyse definieren – den Grenzwert einer Folge oder, was dasselbe ist, den Grenzwert einer Variablen X N laufende Sequenz X 1 , X 2 , ..., X N , ... . .

Definition. konstante Zahl A genannt Sequenzlimit X 1 , X 2 , ..., X N , ... . oder die Grenze einer Variablen X N, falls es zu einer beliebig kleinen positiven Zahl e eine solche natürliche Zahl gibt N(also Nummer N), dass alle Werte der Variablen X N, mit ... anfangen X N, unterscheiden sich von A weniger im absoluten Wert als z. Diese Definition wird kurz wie folgt geschrieben:

| X N -A |< (2)

für alle N  N, oder, was dasselbe ist,

Definition der Cauchy-Grenze. Eine Zahl A heißt Grenzwert einer Funktion f (x) an einem Punkt a, wenn diese Funktion in irgendeiner Umgebung des Punktes a definiert ist, außer vielleicht für den Punkt a selbst, und für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert so dass für alle x die Bedingung |x – a| erfüllt< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definition der Heine-Grenze. Eine Zahl A heißt Grenzwert einer Funktion f (x) an einem Punkt a, wenn diese Funktion in irgendeiner Umgebung des Punktes a definiert ist, außer vielleicht für den Punkt a selbst, und für jede solche Folge konvergiert zur Zahl a konvergiert die entsprechende Folge von Werten der Funktion zur Zahl A.

Hat die Funktion f(x) im Punkt a einen Grenzwert, so ist dieser Grenzwert eindeutig.

Die Zahl A 1 heißt der linke Grenzwert der Funktion f (x) im Punkt a, falls es zu jedem ε > 0 ein δ > gibt

Die Zahl A 2 heißt rechter Grenzwert der Funktion f (x) im Punkt a, falls es für jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass die Ungleichung

Die linke Grenze wird als rechte Grenze bezeichnet - Diese Grenzen charakterisieren das Verhalten der Funktion links und rechts des Punktes a. Sie werden oft als Einweggrenzen bezeichnet. Bei der Notation einseitiger Grenzwerte als x → 0 wird die erste Null meist weggelassen: und . Also zur Funktion

Wenn für jedes ε > 0 eine δ-Umgebung eines Punktes a existiert, so dass für alle x die Bedingung |x – a| erfüllt< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, dann sagen wir, dass die Funktion f (x) im Punkt a einen unendlichen Grenzwert hat:

Die Funktion hat also an der Stelle x = 0 einen unendlichen Grenzwert. Häufig werden Grenzwerte gleich +∞ und –∞ unterschieden. So,

Wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für jedes x > δ die Ungleichung |f (x) – A| gilt< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Existenzsatz für die kleinste obere Schranke

Definition: AR mR, m - obere (untere) Fläche von A, wenn аА аm (аm).

Definition: Die Menge A ist von oben (von unten) beschränkt, falls es m gibt, so dass аА, dann ist аm (аm) erfüllt.

Definition: SupA=m, wenn 1) m - Obergrenze von A

2) m’: m’ m' ist keine Oberseite von A

InfA = n falls 1) n das Infimum von A ist

2) n’: n’>n => n’ ist kein Infimum von A

Definition: SupA=m ist eine Zahl, so dass: 1)  aA am

2) >0 a  A, so dass a  a-

InfA = n heißt eine Zahl, so dass:

2) >0 a  A, so dass a E a+

Satz: Jede von oben begrenzte nichtleere Menge ÀR hat eine beste obere Schranke, und zwar eine eindeutige.

Nachweisen:

Wir konstruieren eine Zahl m auf der reellen Geraden und beweisen, dass dies die kleinste obere Schranke von A ist.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - Oberseite von A

Segment [[m],[m]+1] - aufgeteilt in 10 Teile

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m bis =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - Oberseite A

Beweisen wir, dass m=[m],m 1 ...m K die kleinste obere Schranke ist und dass sie eindeutig ist:

an: .

Reis. 11. Graph der Funktion y arcsin x.

Lassen Sie uns nun den Begriff einer komplexen Funktion ( Kompositionen anzeigen). Gegeben seien drei Mengen D, E, M und f: D→E, g: E→M. Offensichtlich ist es möglich, eine neue Abbildung h: D→M zu konstruieren, die als Zusammensetzung der Abbildungen f und g oder als komplexe Funktion bezeichnet wird (Abb. 12).

Eine komplexe Funktion wird wie folgt bezeichnet: z = h(x)=g(f(x)) oder h = f o g.

Reis. 12. Illustration für den Begriff einer komplexen Funktion.

Die Funktion f (x) wird aufgerufen interne Funktion, und die Funktion g ( y ) - externe Funktion.

1. Interne Funktion f (x) = x², externes g (y) sin y. Komplexe Funktion z= g(f(x))=sin(x²)

2. Jetzt umgekehrt. Innere Funktion f (x)= sinx, äußere g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Der Studiengang richtet sich an Bachelor- und Master-Studierende der Fachrichtungen Mathematik, Wirtschafts- oder Naturwissenschaften sowie an Lehramtsstudierende für Mathematik an Gymnasien und Hochschullehrer. Es wird auch für Schüler nützlich sein, die sich intensiv mit Mathematik beschäftigen.

Der Aufbau des Studiums ist traditionell. Der Kurs umfasst den klassischen Stoff zur mathematischen Analyse, der im ersten Studienjahr im ersten Semester studiert wird. Es werden die Abschnitte "Elemente der Theorie der Mengen und reellen Zahlen", "Theorie der Zahlenfolgen", "Limit und Stetigkeit einer Funktion", "Differenzierbarkeit einer Funktion", "Anwendungen der Differenzierbarkeit" vorgestellt. Wir werden uns mit dem Konzept einer Menge vertraut machen, eine strenge Definition einer reellen Zahl geben und die Eigenschaften reeller Zahlen untersuchen. Dann werden wir über Zahlenfolgen und ihre Eigenschaften sprechen. Dies wird es uns ermöglichen, das Konzept einer numerischen Funktion, das Schulkindern gut bekannt ist, auf einer neuen, strengeren Ebene zu betrachten. Wir führen das Konzept des Grenzwerts und der Stetigkeit einer Funktion ein, diskutieren die Eigenschaften stetiger Funktionen und ihre Anwendung zur Lösung von Problemen.

Im zweiten Teil der Vorlesung definieren wir die Ableitung und Differenzierbarkeit einer Funktion einer Variablen und untersuchen die Eigenschaften differenzierbarer Funktionen. Auf diese Weise lernen Sie, wie Sie so wichtige angewandte Probleme lösen, wie die ungefähre Berechnung der Werte einer Funktion und die Lösung von Gleichungen, die Berechnung von Grenzwerten, die Untersuchung der Eigenschaften einer Funktion und die Konstruktion ihres Graphen .

Format

Die Ausbildungsform ist berufsbegleitend (Fernstudium).
Zu den wöchentlichen Kursen gehören das Ansehen von thematischen Videovorträgen und das Absolvieren von Testaufgaben mit automatischer Überprüfung der Ergebnisse.
Ein wichtiges Element des Studiums der Disziplin ist die eigenständige Lösung von Rechen- und Beweisproblemen. Die Lösung muss eine strenge und logisch korrekte Argumentation enthalten, die zur richtigen Antwort führt (im Falle eines Rechenproblems) oder die notwendige Aussage vollständig beweist (im Falle eines theoretischen Problems).

Anforderungen

Der Kurs ist für Bachelors mit einem Studienjahr konzipiert. Erfordert Grundkenntnisse in Mathematik im Umfang der Sekundarstufe (11 Klassen).

Kursprogramm

Vortrag 1 Elemente der Mengenlehre.
Vortrag 2 Das Konzept einer reellen Zahl. Exakte Gesichter von Zahlenmengen.
Vortrag 3 Arithmetische Operationen mit reellen Zahlen. Eigenschaften reeller Zahlen.
Vortrag 4 Numerische Folgen und ihre Eigenschaften.
Vortrag 5 monotone Folgen. Cauchy-Kriterium für die Folgenkonvergenz.
Vortrag 6 Das Konzept einer Funktion einer Variablen. Funktionsgrenze. Unendlich kleine und unendlich große Funktionen.
Vortrag 7 Funktionskontinuität. Breakpoint-Klassifizierung. Lokale und globale Eigenschaften stetiger Funktionen.
Vortrag 8 Monotone Funktionen. Umkehrfunktion.
Vortrag 9 Die einfachsten Elementarfunktionen und ihre Eigenschaften: Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktionen.
Vortrag 10 Trigonometrische und inverse trigonometrische Funktionen. Bemerkenswerte Grenzen. Gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion.
Vortrag 11 Das Konzept der Ableitung und des Differentials. Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Abgrenzungsregeln.
Vortrag 12 Ableitungen elementarer Grundfunktionen. Funktion Differential.
Vortrag 13 Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung. Leibniz-Formel. Ableitungen parametrisch gegebener Funktionen.
Vortrag 14 Grundlegende Eigenschaften differenzierbarer Funktionen. Die Sätze von Rolle und Lagrange.
Vortrag 15 Satz von Cauchy. L'Hospitals erste Regel zur Offenlegung von Unsicherheiten.
Vortrag 16 Die zweite Regel von L'Hopital zur Offenlegung von Unsicherheiten. Taylor-Formel mit Restterm in Peano-Form.
Vortrag 17 Taylorsche Formel mit Restterm in allgemeiner Form, in Form von Lagrange und Cauchy. Maclaurins Erweiterung elementarer Grundfunktionen. Anwendungen der Taylor-Formel.
Vortrag 18 Hinreichende Bedingungen für ein Extremum. Asymptoten des Graphen einer Funktion. Konvex.
Vortrag 19 Wendepunkte. Das allgemeine Schema der Untersuchung der Funktion. Beispiele für Plotten.

Lernerfolge

Als Ergebnis der Beherrschung des Kurses erhält der Student eine Vorstellung von den Grundkonzepten der mathematischen Analyse: Menge, Zahl, Folge und Funktion, lernt ihre Eigenschaften kennen und lernt, diese Eigenschaften bei der Lösung von Problemen anzuwenden.

Prüfungsfragen in "Mathematische Analysis", 1. Jahr, 1. Semester.

1. Sets. Grundlegende Operationen an Mengen. Metrische und arithmetische Räume.

2. Numerische Mengen. Mengen auf dem Zahlenstrahl: Segmente, Intervalle, Halbachsen, Nachbarschaften.

3. Definition einer beschränkten Menge. Ober- und Untergrenzen von Zahlenmengen. Postulate über obere und untere Schranken numerischer Mengen.

4. Methode der mathematischen Induktion. Bernoulli- und Cauchy-Ungleichungen.

5. Funktionsdefinition. Funktionsgraph. Gerade und ungerade Funktionen. Periodische Funktionen. Möglichkeiten, eine Funktion einzustellen.

6. Sequenzlimit. Eigenschaften konvergenter Folgen.

7. begrenzte Sequenzen. Ein Satz über eine hinreichende Bedingung für die Divergenz einer Folge.

8. Definition einer monotonen Folge. Satz von Weierstraß über die monotone Folge.

9. Nummer z.

10. Grenzwert einer Funktion an einem Punkt. Der Grenzwert einer Funktion im Unendlichen. Einseitige Grenzen.

11. Unendlich kleine Funktionen. Grenzwert von Summen-, Produkt- und Quotientenfunktionen.

12. Sätze über die Stabilität von Ungleichungen. Übergang zur Grenze der Ungleichheiten. Satz über drei Funktionen.

13. Die erste und zweite wunderbare Grenze.

14. Unendlich große Funktionen und ihr Zusammenhang mit infinitesimalen Funktionen.

15. Vergleich infinitesimaler Funktionen. Eigenschaften äquivalenter Infinitesimalzahlen. Der Satz über die Ersetzung von Infinitesimalen durch äquivalente. Grundlegende Äquivalenzen.

16. Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt. Aktionen mit stetigen Funktionen. Kontinuität elementarer Grundfunktionen.

17. Klassifikation von Breakpoints einer Funktion. Erweiterung durch Kontinuität

18. Definition einer komplexen Funktion. Grenzwert einer komplexen Funktion. Stetigkeit einer komplexen Funktion. Hyperbolische Funktionen

19. Kontinuität einer Funktion auf einem Segment. Die Sätze von Cauchy über das Verschwinden einer intervallstetigen Funktion und über den Zwischenwert einer Funktion.

20. Eigenschaften von Funktionen, die auf einem Segment stetig sind. Der Satz von Weierstraß über die Beschränktheit einer stetigen Funktion. Der Satz von Weierstraß über den größten und kleinsten Wert einer Funktion.

21. Definition einer monotonen Funktion. Der Satz von Weierstraß über den Grenzwert einer monotonen Funktion. Satz über die Wertemenge einer Funktion, die monoton und intervallstetig ist.

22. Umkehrfunktion. Umkehrfunktionsgraph. Satz über die Existenz und Stetigkeit der Umkehrfunktion.

23. Inverse trigonometrische und hyperbolische Funktionen.

24. Definition der Ableitung einer Funktion. Ableitungen elementarer Grundfunktionen.

25. Definition einer differenzierbaren Funktion. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Differenzierbarkeit einer Funktion. Stetigkeit einer differenzierbaren Funktion.

26. Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Die Gleichung der Tangente und Normalen zum Graphen der Funktion.

27. Ableitung der Summe, des Produkts und des Quotienten zweier Funktionen

28. Ableitung einer zusammengesetzten Funktion und einer Umkehrfunktion.

29. Logarithmische Ableitung. Ableitung einer parametrisch gegebenen Funktion.

30. Der Hauptteil des Funktionsinkrements. Formel zur Funktionslinearisierung. Die geometrische Bedeutung des Differentials.

31. Differential einer zusammengesetzten Funktion. Invarianz der Differentialform.

32. Die Sätze von Rolle, Lagrange und Cauchy über die Eigenschaften differenzierbarer Funktionen. Formel endlicher Zuwächse.

33. Anwendung des Derivats zur Offenlegung von Unsicherheiten innerhalb. Die Regel von L'Hopital.

34. Ableitungsdefinition nte Ordnung. Regeln zum Finden der Ableitung n-ter Ordnung. Leibniz-Formel. Differentiale höherer Ordnung.

35. Taylor-Formel mit Restterm in Peano-Form. Restterme in Form von Lagrange und Cauchy.

36. Zunehmende und abnehmende Funktionen. Extrempunkte.

37. Konvexität und Konkavität einer Funktion. Wendepunkte.

38. Endlose Funktionsunterbrechungen. Asymptoten.

39. Schema zum Zeichnen eines Funktionsgraphen.

40. Definition von Stammfunktion. Die Haupteigenschaften des Antiderivativs. Die einfachsten Integrationsregeln. Tabelle einfacher Integrale.

41. Integration durch Variablenänderung und die Formel für die partielle Integration im unbestimmten Integral.

42. Integration von Ausdrücken des Formulars e ax cos bx und e ax sin bx unter Verwendung rekursiver Beziehungen.

	43. Integrieren eines Bruchs			Verwendung rekursiver Beziehungen.
			ein 2 n

44. Unbestimmtes Integral einer rationalen Funktion. Integration einfacher Brüche.

45. Unbestimmtes Integral einer rationalen Funktion. Zerlegung echter Brüche in einfache.

46. Unbestimmtes Integral einer irrationalen Funktion. Ausdrucksintegration

	R x, m

47. Unbestimmtes Integral einer irrationalen Funktion. Integration von Ausdrücken der Form R x , ax 2 bx c . Eulersche Substitutionen.

48. Integration von Ausdrücken des Formulars

ax2 bx c

ax2 bx c

2 Kästchen c

49. Unbestimmtes Integral einer irrationalen Funktion. Integration binomialer Differentiale.

50. Integration trigonometrischer Ausdrücke. Universelle trigonometrische Substitution.

51. Integration rationaler trigonometrischer Ausdrücke für den Fall, dass der Integrand in Bezug auf die Sünde ungerade ist x (oder cos x ) oder sogar in Bezug auf sin x und cos x .

52. Ausdrucksintegration sin n x cos m x und sin n x cos mx .

53. Ausdrucksintegration tg m x und ctg m x .

54. Ausdrucksintegration R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 und R x , x 2 a 2 unter Verwendung trigonometrischer Substitutionen.

55. Bestimmtes Integral. Das Problem der Berechnung der Fläche eines krummlinigen Trapezes.

56. ganzzahlige Summen. Darboux-Summen. Satz über die Bedingung für die Existenz eines bestimmten Integrals. Klassen integrierbarer Funktionen.

57. Eigenschaften eines bestimmten Integrals. Sätze über den Mittelwert.

58. Bestimmtes Integral als Funktion der Obergrenze. Formel Newton-Leibniz.

59. Änderung der Variablenformel und Formel zur partiellen Integration in ein bestimmtes Integral.

60. Anwendung der Integralrechnung auf die Geometrie. Das Volumen der Figur. Das Volumen der Rotationsfiguren.

61. Anwendung der Integralrechnung auf die Geometrie. Die Fläche einer ebenen Figur. Der Bereich des krummlinigen Sektors. Kurvenlänge.

62. Definition eines uneigentlichen Integrals erster Art. Formel Newton-Leibniz für uneigentliche Integrale erster Art. Die einfachsten Eigenschaften.

63. Konvergenz uneigentlicher Integrale erster Art für eine positive Funktion. 1. und 2. Vergleichssatz.

64. Absolute und bedingte Konvergenz von uneigentlichen Integralen der ersten Art einer alternierenden Funktion. Konvergenzkriterien für Abel und Dirichlet.

65. Definition eines uneigentlichen Integrals zweiter Art. Formel Newton-Leibniz für uneigentliche Integrale zweiter Art.

66. Verbindung uneigentlicher Integrale 1. und 2. Art. Uneigentliche Integrale im Sinne des Hauptwertes.