d'Alembertsches Prinzip für einen materiellen Punkt. Die Form der Bewegungsgleichung nach den Newtonschen Gesetzen ist nicht die einzige. Diese Gleichungen können auch in anderen Formen geschrieben werden. Eine dieser Möglichkeiten ist d'Alembertsches Prinzip, wodurch die Differentialgleichungen der Bewegung formal die Form von Gleichgewichtsgleichungen annehmen können.

Dieses Prinzip kann als eigenständiges Axiom betrachtet werden, das das zweite Newtonsche Gesetz ersetzt. Wir verwenden es als Mittel zur Lösung von Problemen und leiten es aus dem Newtonschen Gesetz ab.

Betrachten Sie die Bewegung eines materiellen Punktes relativ zu einem Trägheitsbezugssystem. Für einen kostenlosen Materialpunkt

wir haben: Das = = ICH.

Vektor übertragen Das auf der rechten Seite der Gleichheit kann dieses Verhältnis als Gleichgewichtsgleichung dargestellt werden: ich - das - 0.

Wir stellen das Konzept vor Trägheitskräfte. Nennen wir den Vektor, der der Beschleunigung entgegengesetzt gerichtet ist und gleich dem Produkt aus der Masse des Punktes und seiner Beschleunigung ist Trägheitskraft eines materiellen Punktes: = -ta.

Mit diesem Konzept können wir schreiben (Abb. 3.42):

• ? ^ + P "n) = 0. (3.47)

Reis. 3.42.

für Materialpunkt

Gleichung (3.47) ist das d'Alembert-Prinzip für einen freien materiellen Punkt: Wenn die Trägheitskraft zu den auf den Punkt ausgeübten Kräften hinzugefügt wird, befindet sich der Punkt in einem Gleichgewichtszustand.

Streng genommen ist die geäußerte Position nicht das d'Alembert-Prinzip in der vom Autor formulierten Form.

d'Alembert überlegte unfreie Bewegung eines Punktes, ohne das Prinzip der Bindungslösung anzuwenden, ohne eine Bindungsreaktion einzuführen. Beachten Sie, dass bei Vorhandensein einer Verbindung die Beschleunigung eines Punktes in Richtung nicht mit der Kraft und zusammenfällt ta FR, Er stellte das Konzept vor Machtverlust P - Das und erklärte, dass die Anwendung einer verlorenen Kraft auf einen Punkt seinen Gleichgewichtszustand nicht stört, da die verlorene Kraft durch die Reaktion der Verbindung ausgeglichen wird.

Beziehung (3.47) ist Grundgleichung der Kinetostatik, oder Hermanns Petersburger Hauptgleichung-Euler. Die Kinetostatik-Methode kann als eine für die praktische Anwendung bequemere Modifikation des d'Alembert-Prinzips auch für einen freien Materialpunkt angesehen werden. Daher wird Gleichung (3.47) in den meisten literarischen Quellen als d'Alembert-Prinzip bezeichnet.

Ist der Punkt nicht frei, d.h. es wird ihm eine Beschränkung auferlegt, es ist zweckmäßig, die Kräfte, die auf den Punkt wirken, in aktive 1 aufzuteilen , R°(Einstellung-

gegeben) und die Reaktion der CU-Bindung: p(a) + n =

Diese Technik ist praktisch, da es für einige Arten von Bindungen möglich ist, eine Bewegungsgleichung so aufzustellen, dass die Reaktionen dieser Bindungen nicht darin enthalten sind. Damit lässt sich das d'Alembert-Prinzip für einen nicht freien Punkt schreiben als (Abb. 3.43):

R (a)+/V+ RW) = 0, (3.48)

h. wirkt auf einen nicht freien materiellen Punkt zusätzlich zu Wirkkräften und der Kopplungsreaktion eine Trägheitskraft, so befindet sich das resultierende Kräftesystem jederzeit im Gleichgewicht.

Reis. 3.43.

materieller Punkt

A- aus dem Englischen, aktiv- aktiv. Denken Sie daran, dass Kräfte als aktiv bezeichnet werden, wenn sie ihre Werte behalten, wenn alle Bindungen entfernt werden.

Bei der Betrachtung der krummlinigen Bewegung eines Punktes empfiehlt es sich, die Trägheitskraft in Form von zwei Komponenten darzustellen: Г "‘ n) \u003d -ta n- Zentrifugal u W, p) \u003d -ta x - Tangente (Abb. 3.44).

Reis. 3.44.

Bewegung eines materiellen Punktes

Erinnern Sie sich, dass die Ausdrücke für die Normal- und Tangentialbeschleunigung die Form haben: a p-U 2 / p und ich t = s1U D/L

Dann kannst du schreiben: P^t)--t-p Rp p) - -t-t, oder schließlich: P

rt + p(t) + p(a) + yy = o (3,49)

Gleichheit (3.49) drückt das d'Alembert-Prinzip für die krummlinige Bewegung eines nicht freien Punktes aus.

Betrachten Sie einen Faden der Länge /, an dessen Ende ein Massepunkt befestigt ist T. Der Faden rotiert um eine vertikale Achse und beschreibt eine Kegelfläche mit konstantem Neigungswinkel der Mantellinie A. Bestimmen Sie die entsprechende konstante Geschwindigkeit der Spitze und die Spannung des Fadens T(Abb. 3.45).

Reis. 3.45.

Bewegung eines unfreien materiellen Punktes

Ja, aber: /u, /, a = const. Finden: FERNSEHER.

Wenden wir auf den Punkt die Trägheitskräfte an, die den entsprechenden Komponenten der Beschleunigung entgegengerichtet sind. Beachten Sie, dass die tangentiale Trägheitskraft Null ist, da die Geschwindigkeit bedingt konstant ist:

/1°") = -ta = -t-= Ach

und die Zentrifugalkraft der Trägheit wird durch den Ausdruck bestimmt P^m) \u003d mU 2 /p, wobei p = /Bta.

Die Anwendung des d'Alembert-Prinzips auf dieses Problem erlaubt es uns, die Bewegungsgleichung des untersuchten materiellen Punktes in Form einer Bedingung für das Gleichgewicht der konvergierenden Kräfte zu schreiben: T? + T + Pp n) = 0.

In diesem Fall gelten alle Gleichgewichtsgleichungen in der Projektion auf die natürlichen Koordinatenachsen:

X^n=0, - FJ" 1+ Tsina = 0; ^ F h = 0, - mg + T Kosa = 0,

+ T Sünde a =

-mg + T Kosa = 0,

wo finden wir T= /u#/coBa; v= Btal/^/TCosa.

d'Alemberts Prinzip für ein System materieller Punkte. Betrachten Sie die Bewegung eines mechanischen Systems materieller Punkte. Wie beim Zurückziehen des OZMS teilen wir die an jedem Punkt angreifenden Kräfte in äußere und innere Kräfte ein (Abb. 3.46).

Reis. 3.46.

Sei ' die Resultierende von äußeren Kräften, die auf den /-ten Punkt wirken, und / G (L - die Resultierende von inneren Kräften, die auf denselben Punkt wirken. Gemäß dem d'Alembert-Prinzip müssen Trägheitskräfte auf jedes Material aufgebracht werden Punkt des Systems: Рр n) = -т,а г

Dann erfüllen die an jedem Punkt des Systems angreifenden Kräfte die Beziehung:

1?E) + pY) + p0p)

diese. Das System materieller Punkte befindet sich im Gleichgewicht, wenn auf jeden seiner Punkte eine zusätzliche Trägheitskraft ausgeübt wird. Mit Hilfe des d'Alembert-Prinzips ist es also möglich, den Bewegungsgleichungen des Systems die Form von Gleichgewichtsgleichungen zu geben.

Lassen Sie uns die kinetostatischen Gleichgewichtsbedingungen des Systems durch die statischen Äquivalente von Trägheitskräften und äußeren Kräften ausdrücken. Dazu summieren wir über alles P Gleichungen (A), beschreibt die an einzelnen Punkten des Systems angreifenden Kräfte. Dann berechnen wir die Momente aller äußeren und inneren Kräfte und Trägheitskräfte, die an einzelnen Punkten angreifen, relativ zu einem beliebigen Punkt UM:

g ein X R "E> + g ein X /*") + g a X P t > =0. і = 1,2,..., ".

Dann fassen wir zusammen, als Ergebnis bekommen wir

// p p

'(E) і G(1)

1l (?) + L (/) + L (, n) \u003d 0;

[M ( 0 E) + M ( 0 n + M % a) = 0.

Weil das K ich)= 0 und M 1 0 p = 0, haben wir endlich:

ІЯ (?) + Ë (/И) = 0;

M (ein E) + M(‘n) = 0.

Aus dem Gleichungssystem (3.50) ist ersichtlich, dass der Hauptvektor der Trägheitskräfte durch den Hauptvektor der äußeren Kräfte ausgeglichen ist und das Hauptträgheitsmoment der Kräfte relativ zu einem beliebigen Punkt durch das Hauptmoment der äußeren Kräfte ausgeglichen ist relativ zum gleichen Punkt.

Bei der Lösung von Problemen ist es notwendig, Ausdrücke für den Hauptvektor und das Hauptträgheitsmoment zu haben. Die Beträge und Richtungen dieser Vektoren hängen von der Verteilung der Beschleunigungen einzelner Punkte und ihrer Massen ab. In der Regel eine direkte Definition ich (sch) Und M ( "" ] Eine geometrische Summierung kann nur dann relativ einfach durchgeführt werden, wenn P - 2 oder P= 3. Gleichzeitig ist es beim Problem der Bewegung eines starren Körpers möglich, die statischen Äquivalente der Trägheitskräfte in einigen speziellen Bewegungsfällen in Abhängigkeit von den kinematischen Eigenschaften auszudrücken.

Hauptvektor und Hauptträgheitsmoment der Trägheitskräfte eines starren Körpers in verschiedenen Bewegungsfällen. Nach dem Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts t mit einem c \u003d I (E). Nach dem d'Alembertschen Prinzip gilt: Ich (1P) + Ich (E) = Ach, wo finden wir: Ich "1P) = -t mit einem mit. Also bei jeder Bewegung des Körpers der Hauptvektor der Trägheitskräfte ist gleich dem Produkt aus der Masse des Körpers und der Beschleunigung des Massenschwerpunkts und ist der Beschleunigung des Massenschwerpunkts entgegengesetzt gerichtet(Abb. 3.47).

Reis. 3.47.

Drücken wir das Hauptträgheitsmoment während der Rotationsbewegung des Körpers um eine feste Achse senkrecht zur Ebene der materiellen Symmetrie des Körpers aus (Abb. 3.48). Trägheitskräfte am / -Punkt: R"! n) = m, x op; 2 und R? P)= /u,ep,.

Da alle Fliehkräfte die Rotationsachse schneiden, ist das Hauptmoment dieser Massenkräfte Null und das Hauptmoment der tangentialen Massenkräfte:

m t =?_ C\u003e P (= ?-sh.d x / R. = = -e? / i. p; = - J z (3.51)

Somit ist das Hauptmoment der tangentialen Trägheitskräfte um die Rotationsachse gleich dem Produkt aus dem Trägheitsmoment um diese Achse und der Winkelbeschleunigung, und die Richtung des Hauptmoments der tangentialen Trägheitskräfte ist entgegengesetzt dazu die Richtung der Winkelbeschleunigung.

Reis. 3.48.

um die Rotationsachse

Als nächstes drücken wir die Trägheitskräfte für eine planparallele Bewegung des Körpers aus. Betrachtet man die planparallele Bewegung des Körpers (Abb. 3.49) als Summe der Translationsbewegung zusammen mit dem Massenmittelpunkt und Drehung herum Achse, die durch den Massenmittelpunkt geht senkrecht zur Bewegungsebene kann bei Vorliegen einer materiellen Symmetrieebene, die mit der Bewegungsebene des Massenschwerpunkts zusammenfällt, nachgewiesen werden, dass die Trägheitskräfte bei planparalleler Bewegung äquivalent zum Hauptvektor / ? (" p) auf den Massenmittelpunkt angewendet, ist der Beschleunigung des Massenmittelpunkts und den Hauptträgheitskräften entgegengesetzt M^n) relativ zur Mittelachse, senkrecht zur Bewegungsebene, gerichtet in die der Winkelbeschleunigung entgegengesetzte Richtung:

Reis. 3.49.

Anmerkungen.

• 1. Beachten Sie, dass es das d’Alembert-Prinzip erlaubt Schreiben Sie die Bewegungsgleichung einfach in Form einer Gleichgewichtsgleichung, dann gibt es keine Integrale der Bewegungsgleichung.
• 2. Das betonen wir Trägheitskraft in d'Alemberts Prinzip ist fiktives grau, zusätzlich zu den einwirkenden Kräften mit dem alleinigen Zweck, ein Gleichgewichtssystem zu erhalten, aufgebracht werden. In der Natur gibt es jedoch Kräfte, die den Trägheitskräften geometrisch gleich sind, aber diese Kräfte werden auf andere (beschleunigende) Körper ausgeübt, in deren Wechselwirkung eine beschleunigende Kraft entsteht, die auf den betrachteten bewegten Körper ausgeübt wird. Wenn Sie beispielsweise einen Punkt, der auf einem mit konstanter Geschwindigkeit rotierenden Faden befestigt ist, um einen Kreis in einer horizontalen Ebene bewegen, ist die Spannung des Fadens genau gleich Trägheitskraft, diese. die Reaktionskraft eines Punktes auf einem Faden, während sich der Punkt unter der Wirkung der Reaktion des Fadens darauf bewegt.
• 3. Wie bereits gezeigt, unterscheidet sich die obige Form des d'Alembert-Prinzips von der von d'Alembert selbst verwendeten. Die hier verwendete Methode zur Aufstellung von Differentialgleichungen der Bewegung des Systems wurde von einer Reihe von St. Petersburger Wissenschaftlern entwickelt und erweitert und erhielt den Namen kinetostatische Methode.

Anwendung der Methoden der Mechanik auf einige Probleme der Fahrdynamik von Schienenfahrzeugen:

? Bewegung eines Schienenfahrzeugs entlang einer gekrümmten Strecke. Gegenwärtig wird aufgrund der Möglichkeiten der Computertechnologie die Analyse aller mechanischen Phänomene, die während der Bewegung eines Schienenfahrzeugs in einer Kurve auftreten, unter Verwendung eines ziemlich komplexen Modells durchgeführt, das die Gesamtheit der einzelnen Körper des Systems berücksichtigt und die Merkmale der Verbindungen zwischen ihnen. Dieser Ansatz ermöglicht es, alle notwendigen kinematischen und dynamischen Eigenschaften der Bewegung zu erhalten.

Bei der Analyse der Endergebnisse und der Durchführung vorläufiger Schätzungen in der Fachliteratur werden jedoch häufig gewisse Verzerrungen einiger Konzepte der Mechanik festgestellt. Daher ist es ratsam, über die "originellsten Grundlagen" zu sprechen, die zur Beschreibung der Bewegung der Besatzung in einer Kurve verwendet werden.

Lassen Sie uns einige mathematische Beschreibungen der betrachteten Prozesse in einer elementaren Formulierung präsentieren.

Für eine korrekte, konsistente Erklärung der Merkmale stationäre Bewegung der Besatzung in einer Kreiskurve ist es notwendig:

• Wählen Sie die Methode der Mechanik, die verwendet wird, um diese Bewegung zu beschreiben;
• von einem aus Sicht der Mechanik klaren Begriff der "Kraft" ausgehen;
• vergiss nicht das Gesetz der Gleichheit von Aktion und Reaktion.

Der Bewegungsvorgang der Besatzung in einer Kurve impliziert zwangsläufig eine Änderung der Geschwindigkeitsrichtung. Kennzeichnend für die Geschwindigkeit dieser Änderung ist die auf den Krümmungsmittelpunkt gerichtete Normalbeschleunigung der krummlinigen Bahn des Massenschwerpunkts: ein p - V 2/p, wobei p der Radius der Kurve ist.

Während der Bewegung interagiert das Fahrzeug mit dem Gleis, was zu normalen und tangentialen Reaktionskräften führt, die auf die Radsätze wirken. Auf die Schienen werden naturgemäß gleiche und entgegengesetzte Druckkräfte ausgeübt. Nach den obigen mechanischen Begriffen wird Kraft als Ergebnis der Wechselwirkung von Körpern oder einem Körper und einem Feld verstanden. Bei dem betrachteten Problem handelt es sich um zwei physikalische Systeme: einen Wagen mit Radsätzen und ein Gleis, daher müssen die Kräfte an den Orten ihres Kontakts gesucht werden. Darüber hinaus erzeugt das Zusammenspiel der Besatzung und des Gravitationsfeldes der Erde die Schwerkraft.

Die Beschreibung der Bewegung der Besatzung in der Kurve kann mit erfolgen Allgemeine Sätze der Dynamik, die Folgen des OZMS sind, oder darauf beruhen Prinzipien der Mechanik(zum Beispiel das d'Alembert-Prinzip), das die Grundlage bildet kinetostatische Methode.

Erklären wollen gleiche Eigenschaften Methoden zur Berücksichtigung der Krümmung der Gleisachse auf die Eigenschaften der Bewegung der Besatzung verwenden wir zunächst das einfachste idealisierte Modell. Die Besatzung wird als materielle Ebene betrachtet, deren Masse gleich der Masse dieses Systems ist.

Der in dieser Ebene liegende Massenschwerpunkt führt eine vorgegebene Bewegung entlang einer zur Bahnachse kongruenten Trajektorie mit einer Geschwindigkeit aus v. Der Kontakt mit dem Schienenstrang erfolgt an zwei Schnittpunkten der bewegten Ebene mit den Schienenfäden. Wenn wir also über die Wechselwirkung des Fahrzeugs mit dem Schienenstrang sprechen, können wir von konzentrierten Kräften sprechen, die sich aus allen Reaktionen der Schienen auf einzelne Radsätze von jeder der Schienen ergeben. Darüber hinaus ist die Art des Auftretens von Reaktionskräften unbedeutend;

? Schlittenbewegung entlang des Gleises ohne Anheben der äußeren Schiene. Auf Abb. 3.50 zeigt das Konstruktionsschema der Besatzung, die sich entlang einer gekrümmten Bahn bewegt. Die äußeren und inneren Schienen befinden sich in diesem Fall auf der gleichen Ebene. Auf Abb. 3.50 zeigt die auf die Besatzung einwirkenden Kräfte und die Reaktionen der Bindungen. Wir betonen, dass es keine gibt in diesem Schema gibt es keine wirklichen Zentrifugalkräfte.

Im Rahmen der Newtonschen geometrischen Mechanik wird die Bewegung eines Fahrzeugs in einer Kurve durch allgemeine Sätze der Systemdynamik beschrieben.

In diesem Fall gilt nach dem Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts

t c a c - I a), (a)

wobei R) der Hauptvektor der äußeren Kräfte ist.

Projektion beider Teile des Ausdrucks (A) auf den begleitenden natürlichen Koordinatenachsen, deren Mittelpunkt im Massenmittelpunkt des Fahrzeugs liegt, mit den Einheitsvektoren m, i, B und glaube t s = T.

In der Projektion auf die Hauptnormale erhalten wir dass n \u003d F n, oder

mV / p \u003d Fn (b)

Wo F n - echte Kraft Schienenreaktionen auf Radsätze, die die Summe der Projektionen der Schienenreaktionen auf die Normale zur Trajektorie ist. Dies können die richtenden Druckkräfte der Schienen auf die Spurkränze sein. Es gibt keine anderen äußeren Kräfte in dieser Richtung.

In der Ausdrucksprojektion (A) auf der Binormalen erhalten wir:

O = -mg+Nout+N Gasthaus. (Mit)

Hier die Indizes aus 1 entsprechen dem äußeren, a Gasthaus- innere Schiene der Kurve. Die linke Seite in Ausdruck (c) ist gleich Null, da die Projektion der Beschleunigung auf die Binormale gleich Null ist.

Die dritte Gleichung erhalten wir mit dem Satz über die Änderung des Drehimpulses relativ zum Schwerpunkt:

dKc /dt = ^Mc . (D)

Entwerfen eines Ausdrucks D auf der t-Achse, wobei t = nxb - Vektorprodukt von Einheitsvektoren P Und B, bedenkt, dass KCl\u003d U St mit t, U St - das Trägheitsmoment der Besatzung um die Achse, die die Flugbahn des Massenschwerpunkts tangiert, werden wir haben

J a * i = NJS-N m S + F K H = 0, (e)

da die Winkelbeschleunigung um die m-Achse bei stetiger Bewegung entlang einer kreisförmigen Kurve Null ist.

Ausdrücke ( B), (c) und (e) sind ein System linearer algebraischer Gleichungen für drei Unbekannte M-tp> Wenn wir das lösen, erhalten wir:

Reis. 3,50.

Die konsequente Anwendung der allgemeinen Sätze der Dynamik ermöglicht es uns also, im betrachteten Problem alle Phänomene zu ermitteln, die mit dem Durchgang der Besatzung durch einen krummlinigen Abschnitt der Strecke verbunden sind.

Tatsächlich wirken auf beide Räder in die Kurve gerichtete Kräfte. Die Resultierende dieser Kräfte erzeugt ein Moment um den Massenmittelpunkt des Fahrzeugs, das eine Drehung und sogar ein Kippen aus der Kurve heraus verursachen kann, wenn V 2 N/p5" > G. Die Einwirkung dieser Kraft führt zum Verschleiß der Räder. Naturgemäß wirkt die entgegengesetzt gerichtete Kraft auf die Schiene -R p Schienenverschleiß verursacht.

Beachten Sie, dass man in der obigen Aussage nur die Resultierende der horizontalen Reaktionen zweier Schienen finden kann R. Um die Verteilung dieser Kraft zwischen Innen- und Außenschiene zu ermitteln, muss ein statisch unbestimmtes Problem mit Zusatzbedingungen gelöst werden. Außerdem haben während der Bewegung des Schlittens die normalen Reaktionen der äußeren und inneren Schiene unterschiedliche Werte. Das äußere Schienengewinde wird stärker belastet.

Die Reaktion des Innengewindes auf das Fahrzeug ist geringer und kann bei einem bestimmten Geschwindigkeitswert sogar gleich Null sein.

In der klassischen Mechanik heißt dieser Zustand umkippen, obwohl es eigentlich noch keinen Rollover gibt. Um herauszufinden, wann der Zustand des tatsächlichen Umkippens eintritt, sollte man die Drehung des Wagens um eine zu m parallele Achse betrachten, die durch den Kontaktpunkt des Rads mit der äußeren Schiene bei &agr; T F 0. Eine solche Aufgabe ist von rein akademischem Interesse, da es natürlich nicht akzeptabel ist, ein reales System in einen solchen Zustand zu bringen.

Wir betonen noch einmal, dass wir bei der Erklärung aller Phänomene von Tatsachen ausgegangen sind die Bewegung des Autos unter der Wirkung von nur realen Kräften.

Beachten Sie, dass die Differentialgleichung der Drehung um die m-Achse auch bei = 0 in Bezug auf die Mittelachse m geschrieben wird. Die Wahl dieser Achse an einem anderen Punkt führt zu einer Änderung der Form der linken Seite der Gleichung von Momentsatz. Daher ist es beispielsweise unmöglich, diese Gleichung in derselben Form relativ zu der Achse zu schreiben, die durch den Kontaktpunkt des Rads mit der Schiene verläuft, obwohl es scheint, dass es einfacher wäre, den Wert der normalen Reaktionen zu finden in diesem Fall. Diese Vorgehensweise führt jedoch zu einem falschen Ergebnis: Ich osh \u003d M 1Sh1 \u003d mg | 2.

Es kann gezeigt werden, dass der Punkt darin besteht, dass die Rotationsgleichung um eine Achse geht, die beispielsweise durch einen Punkt geht ZU, muss unter Berücksichtigung des Impulsmoments des Körpers aus dem translatorischen Teil der Bewegung geschrieben werden g x x ta s: J Cl? t+ T(g ks xxd)=^ M Kh.

Daher erhalten wir anstelle von Gleichung (c) in der Projektion auf die Achse St den Ausdruck

(8 )

/St? t+ t[g ks X ein c) t = -teB + Nipp 25,

wobei in Klammern der Wert der Projektion auf die Achse St des Vektorprodukts ist ? ks ha s.

Lassen Sie uns zeigen, dass die sukzessive Implementierung der notwendigen Verfahren es uns ermöglicht, zu finden s w aus der resultierenden Gleichung). Von Abb. 3,50 zeigt das

g ks - bp + Hb Und ein c =

Lassen Sie uns das Vektorprodukt berechnen:

Das wird hier berücksichtigt php = 0 Und bxn = - t. Daher

tNU 2

2L g/lp 5',

wo wir die Reaktion der inneren Schiene finden:

was dasselbe ist wie das im Ausdruck (/) erhaltene Ergebnis.

Abschließend zur Darstellung der Problematik weisen wir darauf hin, dass die Betrachtung des Autos in Bewegung die Verwendung von Newtons Methoden der geometrischen Mechanik ermöglicht die Lösung des Problems ohne die Einführung von fiktiven und diese Trägheit. Es ist nur notwendig, alle Bestimmungen der Mechanik korrekt zu verwenden. Allerdings ist zu beachten, dass die Anwendung dieser Methode mit einem größeren Rechenaufwand verbunden sein kann als beispielsweise bei der Anwendung des d'Alembert-Prinzips.

Lassen Sie uns nun zeigen, wie das gleiche Problem basierend auf der Verwendung des d'Alembert-Prinzips in der allgemein anerkannten Form der kinetostatischen Methode gelöst wird. In diesem Fall ist eine zusätzliche Anwendung erforderlich

Einfädeln fiktiv Trägheitskraft: G* = -ta sp = -T-P. Und eki-

Buchseite stoppt, d.h. jetzt die Beschleunigung seines Massenmittelpunkts ein c= 0. In Abb. 3.51 zeigt solche Ruhesystem. Alle darauf ausgeübten Kräfte, einschließlich der Trägheitskraft, müssen die kinetostatischen Gleichungen erfüllen Gleichgewicht, nicht Bewegung, wie im vorherigen Fall.

Dieser Umstand ermöglicht es uns, alle unbekannten Größen aus zu finden Gleichgewichtsgleichung. In diesem Fall wird die Wahl der Form der Gleichgewichtsgleichungen und der Punkte, bezüglich derer die Momente berechnet werden, willkürlich. Letzterer Umstand erlaubt uns, alle Unbekannten unabhängig voneinander zu finden:

ICH M. = ach ICH M,_= ach

-n = ungefähr.

1 bei MP

Reis. 3.51. Das Bemessungsschema der auf die Besatzung wirkenden Kräfte unter den gleichen Bedingungen wie in Abb. 3,50 bei Anwendung des d'Alembert-Prinzips

Es ist leicht einzusehen, dass die Lösungen dieses Gleichungssystems mit den entsprechenden Formeln aus der Dynamiktheorie übereinstimmen. So ermöglichte im betrachteten Beispiel die Anwendung des d'Alembert-Prinzips, die Lösung des Problems etwas zu vereinfachen.

Bei der Interpretation der Ergebnisse ist jedoch zu beachten, dass die zusätzlich aufgebrachte Trägheitskraft fiktiv im Sinne der Realität ist Auf die Besatzung wirkt keine solche Kraft. Außerdem erfüllt diese Kraft nicht das dritte Newtonsche Gesetz – es gibt kein „zweites Ende“ dieser Kraft, d.h. kein Widerspruch.

Im Allgemeinen ist es bei der Lösung vieler Probleme der Mechanik, einschließlich des Problems der Besatzungsbewegung in einer Kurve, zweckmäßig, das d'Alembert-Prinzip anzuwenden. Allerdings sollte man damit keine Phänomene assoziieren Aktion diese Trägheitskraft. Zum Beispiel zu sagen, dass diese Fliehkraft die äußere Schiene zusätzlich belastet und die innere entlastet, und dass diese Kraft darüber hinaus das Fahrzeug zum Umkippen bringen kann. Das ist nicht nur Analphabet, sondern auch bedeutungslos.

Wir erinnern noch einmal daran, dass die von außen auf den Wagen in einer Kurve einwirkenden Kräfte, die seinen Bewegungszustand ändern, Schwerkraft, vertikale und horizontale Reaktionen der Schienen sind;

? Bewegung des Schlittens entlang einer Kurve mit einer Erhöhung der äußeren Schiene. Wie sich gezeigt hat, sind die Vorgänge beim Durchfahren von Kurven ohne Anheben der äußeren Schiene mit unerwünschten Folgen verbunden - ungleichmäßige vertikale Belastung der Schienen, eine erhebliche normale horizontale Reaktion der Schiene auf das Rad, begleitet von erhöhtem Verschleiß von Rädern und Schienen, die Möglichkeit des Umkippens bei Überschreiten der Geschwindigkeit, Bewegung einer bestimmten Grenze usw.

Die unangenehmen Begleiterscheinungen beim Durchfahren von Kurven können weitgehend vermieden werden, indem die äußere Schiene über die innere angehoben wird. In diesem Fall rollt der Schlitten mit dem Neigungswinkel der Erzeugenden zur horizontalen Achse entlang der Kegeloberfläche (Abb. 3.52): f L \u003d arcsin (L / 25) oder in kleinen Winkeln

F A * L/2 S.

Reis. 3.52.

mit einer Erhöhung der äußeren Schiene

Im stationären Fall wann V- const und φ A = const können wir die Bewegung eines ebenen Teils des Laufwagens in seiner eigenen Ebene genauso betrachten wie beim Einpassen in eine Kurve ohne Anheben der Außenschiene.

Betrachten Sie eine Technik zur Lösung des Problems unter Verwendung allgemeiner Sätze der Dynamik. Wir nehmen an, dass sich der Schwerpunkt des Fahrzeugs entlang einer Kreiskurve mit dem Radius p bewegt, obwohl im betrachteten Fall streng genommen der Krümmungsradius der Gleisachse vom Krümmungsradius der Bahnachse des Mittelpunkts abweicht der Masse um einen kleinen Betrag:

H Sünde vgl. L ~ H weit.

Letzterer Wert kann daher im Vergleich zu p vernachlässigt werden. Die Bewegung des "flachen Abschnitts" der Besatzung wird den begleitenden Achsen zugeschrieben SuSi x(siehe Abb. 3.52), wobei die Achse So] parallel zur Gleisebene. Bei einer konstanten Bewegungsgeschwindigkeit kann die Projektion der Beschleunigung des Massenschwerpunkts auf die Hauptnormale seiner Bewegungsbahn genauso geschrieben werden wie bei einer Bewegung in einer Kurve ohne Erhebung, d.h. ein p = V ich/R.

Projektionen der Beschleunigung auf der Achse Su, und CZ^ sind jeweils gleich:

ein ux = ein p sovf,; ICH. \u003d ein „smy h.

Die Bewegungsgleichungen eines ebenen Schnitts auf der Grundlage des Satzes über die Bewegung des Massenschwerpunkts und des Satzes über die Änderung des Drehimpulses relativ zur Cx-Achse lauten:

Unter Berücksichtigung von = 0 erhalten wir nach der Substitution ein System von drei linearen algebraischen Gleichungen in drei Unbekannten F vi, N iiw, N (null:

/i-si Pf l= -mg cosV/ , + N Mn + N aus; P

-soof A = mgs ipfA+ F ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

Beachten Sie, dass die Neigung der Ebene der Gleisachse aufgrund der Anhebung der äußeren Schiene zu einer Änderung der Projektion der Beschleunigung des Massenschwerpunkts auf die Achse Cy und Cr führt, was mit einer Änderung der verbunden ist Reaktionen der Schienen im Vergleich zu denen ohne Elevation, wenn A. - 0, a l Diese Änderungen in den Beschleunigungsprojektionen lassen sich erklären, wenn wir die Drehung des Fahrzeugs um die durch den Krümmungsmittelpunkt der Kurve verlaufende Binormale als geometrische Summe zweier Drehungen ω = ω (+ b) um die Achsen betrachten?, y, die durch denselben Mittelpunkt der Kurve gehen.

Beim Erstellen eines Gleichungssystems (Zu) die Kleinheit des Winkels cp L war nicht vorgesehen. Allerdings in praktischer Ausführung

wtf A ~ /g/25.

Das Gleichungssystem zur Bestimmung der Rückwirkungen der Strecke auf das Fahrzeug hat also bei kleinem f L folgende Form:

= -g^+ LG, „ + M gsch,;

T- = /yy#--1- r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + R p N.

Lösen wir diese Gleichungen, erhalten wir:

N...... =

mg + TE/G

Fr/77 K UND /77 „

• - +--+-N
• 2r 25 25

In dem besonderen Fall, in dem keine Erhebung vorhanden ist (UND= 0), stimmen diese Ausdrücke mit den früher erhaltenen überein (/).

Wenden wir uns nun der Analyse der Ergebnisse der Problemlösung zu WENN 0.

Zu beachten ist, dass in diesem Fall die in Gleisebene gerichtete Querkraft der Schiene abnimmt. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass an der Bildung der Beschleunigung des Massenschwerpunkts in Richtung der Achse Su nicht nur die Kraft //, sondern auch die Komponente der Schwerkraft beteiligt ist. Außerdem für einen bestimmten Wert UND\u003d 25K 2 / p? Gewalt R wird Null:

Unter Berücksichtigung, dass

t g - T,= X A,%>+X A[

• (3.42)

Der Wert in Klammern wird aufgerufen herausragende Beschleunigung. Der Zustand wann P = 0, entspricht dem Fall, in dem die normale Beschleunigung A entsteht nur durch die Projektion auf die Achse d> die Schwerkraft der Besatzung.

Bei der Diskussion des betrachteten Problems gibt es manchmal eine sophistische Begründung, dass die Beschleunigung ein p horizontal gerichtet und die Gravitation vertikal (siehe Abb. 3.52), kann also die betrachtete Beschleunigung nicht bilden ein p bei R= 0. Diese Überlegung enthält einen Fehler, da bei der Bildung der Horizontalbeschleunigung zusätzlich zur Kraft R, nehmen auch die normalen Reaktionen D r w u und / V o r teil, deren Summe bei kleinem f A gleich ist 1H tp + 1U oig \u003d mg. Daher ist die Schwerkraft immer noch an der Bildung der Horizontalbeschleunigung beteiligt ein p, sondern durch die Wirkung von Reaktionen Nm Und S oiG

Lassen Sie uns nun diskutieren, wie sich die normalen Reaktionen von Schienen senkrecht zur Gleisoberfläche ändern.

Beachten Sie, dass im Gegensatz zum Fall /7 = 0 die Reaktionen um den gleichen Wert ansteigen TU 2 I/2r28, was vernachlässigt wird, weil ///25 - der Wert ist klein. Lassen Sie jedoch bei strenger Argumentation diesen Begriff für Ausdrücke und weg N w TU es nicht.

Wenn -> -2-, d.h. mit positiver hervorragender Beschleunigung, S. 25

Die Reaktion der inneren Schiene ist geringer als die der äußeren, der Unterschied zwischen ihnen ist jedoch nicht so groß wie bei UND = 0.

Wenn die ausstehende Beschleunigung gleich Null ist, werden die Reaktionswerte gleich IV oSH = mg|2(für klein UND), diese. die Höhe der äußeren Schiene ermöglicht nicht nur zu erhalten RU= 0, sondern gleicht auch den Druck an den Außen- und Außenschienen aus. Diese Umstände ermöglichen es, gleichmäßigere Verschleißwerte für beide Schienen zu erreichen.

Aufgrund der Höhe der äußeren Schiene besteht jedoch die Möglichkeit eines negativen Werts R“, was in einem realen System mit nicht haltenden Zwangsbedingungen dem Vorgang des Gleitens des Fahrzeugs entlang der Achse entspricht y g diese. innerhalb der Kurve. Aufgrund der gleichen Steigung des Pfades kann es zu einer Umverteilung der Reaktionen kommen N w Und Nein, oh! Dominant M sch.

Somit ermöglichen Untersuchungen der Bewegung eines Fahrzeugs in einer Kurve entlang einer Bahn mit einer Erhöhung der äußeren Schiene, die mit Newtons Methoden der geometrischen Mechanik durchgeführt werden, eine Analyse des Systemzustands ohne zusätzliche begriffliche Hypothesen. Es gibt keine Trägheitskräfte in der Argumentation.

Betrachten wir nun, wie die Bewegung des Wagens in derselben Kurve mit dem d'Alembert-Prinzip beschrieben wird.

Wendet man dieses Prinzip bei der Formulierung der kinetostatischen Methode auf die gleiche Weise wie im vorherigen Fall an, ist es notwendig, die normale (Zentrifugal-)Trägheitskraft auf den Massenmittelpunkt anzuwenden Р„ n), entgegen der Normalbeschleunigung gerichtet (Abb. 3.53):

Dabei System nochmal stoppt, d.h. Die Besatzung bewegt sich nicht entlang der Strecke. Daher gelten alle Gleichungen des kinetostatischen Gleichgewichts:

ICH Zu= °-X r* =Ö.

/L^ypf,- G‘p sovf* + GU[ = 0;

- /L?S08f /; -BIPf, + +N^1

Wenn wir hier den Wert einsetzen, erhalten wir dasselbe Gleichungssystem wie das System (/) für jedes f / (oder (Zu) bei klein UND.

Somit führt die Verwendung beider Methoden zu genau den gleichen Ergebnissen. Gleichungssystem ( Zu) und das auf der Grundlage des d'Alembert-Prinzips erhaltene System sind identisch.

Beachten Sie jedoch, dass in die Endergebnisse enthalten keine Trägheitskräfte. Dies ist verständlich, da das d'Alembert-Prinzip, das der Methode der Kinetostatik zugrunde liegt, nur gilt ein Mittel zur Erstellung von Differentialgleichungen der Bewegung des Systems. Gleichzeitig sehen wir, dass bei dem betrachteten Problem die Anwendung des d'Alembert-Prinzips eine Vereinfachung der Berechnungen ermöglicht hat und für praktische Berechnungen empfohlen werden kann.

Wir betonen jedoch noch einmal, dass es in Wirklichkeit keine Macht gibt TU 2/p auf den Massenmittelpunkt des fahrenden Fahrzeugs angewendet. Daher sollten alle Phänomene, die mit der Bewegung in einer Kurve verbunden sind, so erklärt werden, wie es auf der Grundlage einer Analyse der Ergebnisse der Lösung des Systems (/) getan wurde, oder (Zu).

Abschließend weisen wir darauf hin, dass das „Newton-Verfahren“ und das „D'Alembert-Verfahren“ in der betrachteten Problemstellung nur zum Zwecke der Aufstellung von Bewegungsdifferentialgleichungen verwendet wurden. Gleichzeitig erhalten wir in der ersten Stufe keine Informationen, außer den Differentialgleichungen selbst. Die anschließende Lösung der erhaltenen Gleichungen und die durchgeführte Analyse stehen in keinem Zusammenhang mit dem Verfahren zum Erhalten der Gleichungen selbst.

Reis. 3.53.

• aus- aus dem Englischen, äußere- extern.
• Gasthaus- aus dem Englischen, innere- Innere.
• Gasthaus- aus dem Englischen, innere- Innere.

d'Alembert-Prinzip

Das Hauptwerk von Zh.L. d’Alembert(1717-1783) - "Abhandlung über Dynamik" - wurde 1743 veröffentlicht

Der erste Teil der Abhandlung ist der Konstruktion der analytischen Statik gewidmet. Hier formuliert d'Alembert die "Grundprinzipien der Mechanik", darunter das "Trägheitsprinzip", das "Prinzip der Addition von Bewegungen" und das "Prinzip des Gleichgewichts".

Das „Trägheitsprinzip“ wird für den Fall der Ruhe und für den Fall der gleichförmigen geradlinigen Bewegung getrennt formuliert. "Die Trägheitskraft, - schreibt d'Alembert, nenne ich zusammen mit Newton die Eigenschaft des Körpers, den Zustand zu erhalten, in dem er sich befindet."

Das "Prinzip der Addition von Bewegungen" ist das Gesetz der Addition von Geschwindigkeiten und Kräften nach der Parallelogrammregel. Basierend auf diesem Prinzip löst d'Alembert die Probleme der Statik.

Das "Prinzip des Gleichgewichts" wird als folgender Satz formuliert: "Wenn zwei Körper, die sich mit umgekehrt proportionaler Geschwindigkeit zu ihrer Masse bewegen, entgegengesetzte Richtungen haben, so dass sich ein Körper nicht bewegen kann, ohne von einem Ort zum anderen zu wechseln, dann befinden sich diese Körper im Gleichgewicht ". Im zweiten Teil der Abhandlung schlug d'Alembert eine allgemeine Methode zur Erstellung von Bewegungsdifferentialgleichungen für beliebige Materialsysteme vor, die auf der Reduzierung des Problems der Dynamik auf die Statik basiert. Er formulierte für jedes System materieller Punkte eine Regel, später „d’Alembert-Prinzip“ genannt, nach der die auf die Punkte des Systems einwirkenden Kräfte in „wirkende“, also diejenigen, die die Beschleunigung bewirken, zerlegt werden können des Systems, und "verloren", notwendig für das Gleichgewicht des Systems. d'Alembert glaubt, dass die Kräfte, die der "verlorenen" Beschleunigung entsprechen, eine solche Kombination bilden, die das tatsächliche Verhalten des Systems nicht beeinflusst. Mit anderen Worten, wenn nur ein Satz "verlorener" Kräfte auf das System ausgeübt wird, bleibt das System in Ruhe. Die moderne Formulierung des d'Alembert-Prinzips wurde von M. E. Zhukovsky in seinem "Kurs der Theoretischen Mechanik" gegeben: "Wenn das System zu irgendeinem Zeitpunkt angehalten wird, bewegt es sich, und wir fügen es zusätzlich zu seinem Antrieb hinzu Kräfte, alle Trägheitskräfte, die einem gegebenen Zeitpunkt entsprechen, dann wird ein Gleichgewicht beobachtet, während alle Kräfte des Drucks, der Spannung usw., die sich zwischen den Teilen des Systems bei einem solchen Gleichgewicht entwickeln, echte Kräfte von sein werden Druck, Spannung usw., wenn sich das System zum betrachteten Zeitpunkt bewegt ". Es sei darauf hingewiesen, dass d'Alembert selbst bei der Darstellung seines Prinzips weder auf den Kraftbegriff zurückgegriffen hat (da dieser nicht klar genug ist, um in die Liste der Grundbegriffe der Mechanik aufgenommen zu werden), noch weniger auf den Begriff der Trägheitskraft. Die Darstellung des d’Alembert-Prinzips mit dem Begriff „Kraft“ stammt von Lagrange, der in seiner „Analytischen Mechanik“ seinen analytischen Ausdruck in Form des Prinzips möglicher Verschiebungen gab, von Joseph Louis Lagrange (1736-1813) und insbesondere Leonardo Euler (1707-1783), der eine wesentliche Rolle bei der endgültigen Umwandlung der Mechanik in die analytische Mechanik spielte.

Analytische Mechanik eines materiellen Punktes und Eulersche Starrkörperdynamik

Leonardo Euler- einer der herausragenden Wissenschaftler, die im 18. Jahrhundert einen großen Beitrag zur Entwicklung der physikalischen und mathematischen Wissenschaften geleistet haben. Seine Arbeit besticht durch die Einsicht in das Forschungsdenken, die Universalität des Talents und die enorme Menge an hinterlassenem wissenschaftlichem Erbe.

Schon in den ersten Jahren seiner wissenschaftlichen Tätigkeit in St. Petersburg (Euler traf 1727 in Russland ein) entwarf er ein Programm eines grandiosen und umfassenden Arbeitszyklus auf dem Gebiet der Mechanik. Dieser Anhang findet sich in seinem zweibändigen Werk „Mechanik oder Bewegungslehre, analytisch festgestellt“ (1736). Euler's Mechanics war der erste systematische Kurs in Newtonscher Mechanik. Es enthielt die Grundlagen der Dynamik eines Punktes – unter Mechanik verstand Euler die Wissenschaft der Bewegung, im Gegensatz zur Wissenschaft des Kräftegleichgewichts oder der Statik. Das bestimmende Merkmal von Eulers "Mechanik" war die breite Verwendung eines neuen mathematischen Apparats - der Differential- und Integralrechnung. Euler charakterisierte kurz die Hauptwerke über Mechanik, die um die Wende vom 17. zum 18. Jahrhundert erschienen, und bemerkte den son-tethiko-geometrischen Stil ihrer Arbeit, der den Lesern viel Arbeit bereitete. Auf diese Weise wurden Newtons Elements und das spätere Foronomia (1716) von J. Herman geschrieben. Euler weist darauf hin, dass die Arbeiten von Hermann und Newton "nach alter Sitte mit Hilfe synthetischer geometrischer Beweise" ohne den Einsatz von Analysen angegeben werden, "nur durch die man ein vollständiges Verständnis dieser Dinge erreichen kann".

Die synthetisch-geometrische Methode hatte keinen verallgemeinernden Charakter, sondern erforderte in der Regel individuelle Konstruktionen für jede Aufgabe gesondert. Euler gibt zu, dass er nach dem Studium der „Phoronomie“ und der „Anfänge“, wie es ihm schien, „die Lösungen vieler Probleme ganz klar verstanden, aber einigermaßen davon abweichende Probleme nicht mehr lösen konnte“. Dann versuchte er, "die Analyse dieser Synthesemethode zu isolieren und die gleichen Vorschläge zu seinem eigenen Nutzen analytisch zu machen". Euler stellt fest, dass er dadurch die Essenz des Problems viel besser verstanden hat. Er entwickelte grundlegend neue Methoden zum Studium der Probleme der Mechanik, schuf ihren mathematischen Apparat und wandte ihn brillant auf viele komplexe Probleme an. Dank Euler wurden die Differentialgeometrie, die Differentialgleichungen und die Variationsrechnung zu Werkzeugen der Mechanik. Eulers Methode, die später von seinen Nachfolgern entwickelt wurde, war eindeutig und dem Thema angemessen.

Eulers Arbeit über die Dynamik eines starren Körpers „Theorie der Bewegung starrer Körper“ hat eine große Einführung von sechs Abschnitten, in denen die Dynamik eines Punktes nochmals umrissen wird. An der Einleitung wurden einige Änderungen vorgenommen: Insbesondere werden die Bewegungsgleichungen eines Punktes mit der Projektion auf die Achse fester rechtwinkliger Koordinaten geschrieben (und nicht auf die Tangente, Hauptnormale und Normale, dh die Achse eines unbeweglichen natürlichen Trieders, der mit Bahnpunkten verbunden ist, wie in "Mechanik").

Die der Einleitung folgende „Abhandlung über die Bewegung starrer Körper" besteht aus 19 Abschnitten. Die Abhandlung basiert auf dem d'Alembert-Prinzip. Kurz verweilt man auf der Translationsbewegung eines starren Körpers und führt den Begriff des Trägheitszentrums ein, Euler betrachtet Drehungen um eine feste Achse und um einen festen Punkt.Hier werden die Formeln für Projektionen der momentanen Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung auf die Koordinatenachsen, die sogenannten Euler-Winkel verwendet usw. Als nächstes werden die Eigenschaften des Moments von Trägheit beschrieben, wonach Euler zur eigentlichen Dynamik eines starren Körpers übergeht. Er leitet Differentialgleichungen für die Rotation eines schweren Körpers um seinen unbeweglichen Schwerpunkt bei Abwesenheit äußerer Kräfte her und löst sie für einen einfachen Spezialfall. So entstand das bekannte und ebenso wichtige Problem der Kreiseltheorie der Rotation eines starren Körpers um einen festen Punkt. Euler arbeitete auch an der Theorie des Schiffbaus, in den Augen der Hydro- und Aeromechanik, der Ballistik, Stabilitätstheorie und Theorie der kleinen Schwingungen, Himmelsmechanik und ETC.

Acht Jahre nach der Veröffentlichung von Mechanics bereicherte Euler die Wissenschaft mit der ersten präzisen Formulierung des Prinzips der kleinsten Wirkung. Die Formulierung des Prinzips der kleinsten Wirkung, die Maupertuis gehörte, war noch sehr unvollkommen. Die erste wissenschaftliche Formulierung des Prinzips stammt von Euler. Sein Prinzip formulierte er wie folgt: Das Integral hat den kleinsten Wert für eine reale Bahn, wenn man es bedenkt

die letzte in der Gruppe möglicher Trajektorien, die eine gemeinsame Anfangs- und Endposition haben und mit demselben Energiewert durchgeführt werden. Euler gibt seinem Prinzip einen exakten mathematischen Ausdruck und eine rigorose Begründung für einen materiellen Punkt, testet die Wirkungen zentraler Kräfte. Während 1746-1749 pp. Euler schrieb mehrere Arbeiten über die Gleichgewichtsfiguren eines flexiblen Fadens, in denen das Prinzip der kleinsten Wirkung auf Probleme angewendet wurde, bei denen elastische Kräfte wirken.

So wurde die Mechanik 1744 um zwei wichtige Prinzipien bereichert: das d'Alembert-Prinzip und das Maupertuis-Euler-Prinzip der kleinsten Wirkung. Basierend auf diesen Prinzipien baute Lagrange ein System der analytischen Mechanik auf.

Wenn sich ein materieller Punkt bewegt, ist seine Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt so, dass die gegebenen (wirksamen) Kräfte, die auf den Punkt wirken, die Reaktionen der Bindungen und die fiktive d'Alembert-Kraft Ф = - ein ausgeglichenes Kräftesystem bilden.

Nachweisen. Betrachten Sie die Bewegung eines nicht freien materiellen Punktes mit einer Masse T in einem inertialen Bezugssystem. Nach dem Grundgesetz der Dynamik und dem Prinzip der Bindungslösung gilt:

wobei F die Resultierende der gegebenen (wirksamen) Kräfte ist; N ist das Ergebnis der Reaktionen aller dem Punkt auferlegten Bindungen.

Es ist leicht, (13.1) in die Form umzuwandeln:

Vektor Ф = - Das genannt die d'Alembert-Trägheitskraft, die Kraft der Trägheit oder einfach d'Alemberts Macht. Im Folgenden verwenden wir nur den letzten Term.

Gleichung (13.3), die das d'Alembert-Prinzip in symbolischer Form ausdrückt, wird aufgerufen Kinetostatische Gleichung materieller Punkt.

Eine Verallgemeinerung des d'Alembert-Prinzips für ein mechanisches System (system P materielle Punkte).

Für alle Zu Punkt des mechanischen Systems ist Gleichheit (13.3) erfüllt:

Wo ? Zu - Resultierende gegebener (Wirk-)Kräfte wirken auf Zu-ter Punkt; N Zu - resultierend aus den Reaktionen der überlagerten Bindungen k-te Punkt; F k \u003d - das k- d'Alembert-Kraft Zu-ter Punkt.

Wenn die Gleichgewichtsbedingungen (13.4) für jedes Kräftetripel F*, N* : , Ф* (Zu = 1,. .., P), dann das ganze System 3 P Kräfte

ist ausgeglichen.

Folglich bilden während der Bewegung eines mechanischen Systems zu jedem Zeitpunkt die darauf ausgeübten aktiven Kräfte, die Reaktionen der Bindungen und die d'Alembert-Kräfte der Punkte des Systems ein ausgeglichenes Kräftesystem.

Die Kräfte des Systems (13.5) sind nicht mehr konvergent, daher haben, wie aus der Statik (Abschnitt 3.4) bekannt, die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für sein Gleichgewicht folgende Form:

Die Gleichungen (13.6) heißen die Gleichungen der Kinetostatik eines mechanischen Systems. Für Berechnungen werden die Projektionen dieser Vektorgleichungen auf die durch den Momentenpunkt verlaufenden Achsen verwendet UM.

Bemerkung 1. Da die Summe aller inneren Kräfte des Systems sowie die Summe ihrer Momente in Bezug auf einen beliebigen Punkt gleich Null sind, reicht es in den Gleichungen (13.6) aus, nur die Reaktionen zu berücksichtigen extern Verbindungen.

Die Gleichungen der Kinetostatik (13.6) werden üblicherweise verwendet, um die Reaktionen der Zwangsbedingungen eines mechanischen Systems bei gegebener Bewegung des Systems und damit die Beschleunigungen der Punkte des Systems und die davon abhängigen d'Alembert-Kräfte zu bestimmen sind bekannt.

Beispiel 1 Finden Sie Unterstützungsreaktionen A Und IN Welle mit ihrer gleichmäßigen Rotation bei einer Frequenz von 5000 U / min.

Punktmassen sind starr mit der Welle verbunden GP= 0,1 kg, t 2 = 0,2 kg. Größen bekannt AC - CD - DB = 0,4 m H= 0,01 m. Betrachten Sie die Masse der Welle als vernachlässigbar.

Lösung. Um das d'Alembert-Prinzip für ein mechanisches System aus zwei Massenpunkten anzuwenden, geben wir im Diagramm (Abb. 13.2) die gegebenen Kräfte (Schwerkraft) Gi, G 2, die Reaktion der Bindungen N4, N # und die d an 'Alembert zwingt Ф|, Ф 2.

Die Richtungen der Dalambres-Kräfte sind den Beschleunigungen von Punktmassen entgegengesetzt T B t 2j die Kreise mit Radien einheitlich beschreiben H um die Achse AB Welle.

Wir finden die Größen der Gewichtskräfte und Dalambres-Kräfte:

Hier die Winkelgeschwindigkeit der Welle Mit- 5000* l/30 = 523,6 s Ah ah, Az erhalten wir die Gleichgewichtsbedingungen für ein flaches Parallelkräftesystem Gi, G 2 , 1Chd, N tf , Ä ¼ Ä 2:

Aus der Momentengleichung finden wir N ein = - + - 1 - - - 2 --- =

(0,98 + 274) 0,4 - (548 -1,96) 0,8 W "

272 N und ab der Projektionsgleichung

Achse Ja: Na \u003d -NB + G, + G 2 + F, -F 2 \u003d 272 + 0,98 + 1,96 + 274-548 \u003d 0,06 N.

Die Gleichungen der Kinetostatik (13.6) können auch verwendet werden, um Differentialgleichungen der Bewegung des Systems zu erhalten, wenn sie so zusammengesetzt sind, dass die Reaktionen der Bindungen ausgeschlossen werden und dadurch die Abhängigkeiten erhalten werden können der Beschleunigungen auf die gegebenen Kräfte.

Trägheitskräfte in der Dynamik eines materiellen Punktes und eines mechanischen Systems

Durch die Trägheitskraft eines materiellen Punktes ist das Produkt aus der Masse eines Punktes und seiner Beschleunigung mit Minuszeichen, d.h. Trägheitskräfte in der Dynamik treten in folgenden Fällen auf:

• 1. Wenn Sie die Bewegung eines Materials untersuchen, zeigen Sie hinein nicht träge(bewegtes) Koordinatensystem, also Relativbewegung. Dies sind die Translations- und Coriolis-Trägheitskräfte, die oft als Euler-Kräfte bezeichnet werden.
• 2. Bei der Lösung dynamischer Probleme mit der Methode der Kinetostatik. Diese Methode basiert auf dem d'Alembert-Prinzip, wonach die Trägheitskräfte eines materiellen Punktes oder eines Systems von materiellen Punkten sich mit einer gewissen Beschleunigung in sich bewegen träge Referenzsystem. Diese Trägheitskräfte werden d'Alembert-Kräfte genannt.
• 3. Die d'Alembert-Trägheitskräfte werden auch zur Lösung dynamischer Probleme unter Verwendung des Lagrange-D'Alembert-Prinzips oder der allgemeinen Dynamikgleichung verwendet.

Ausdruck in Projektionen auf die Achsen kartesischer Koordinaten

Wo - Module von Punktbeschleunigungsprojektionen auf der kartesischen Koordinatenachse.

Bei einer krummlinigen Bewegung eines Punktes kann die Trägheitskraft in tangential und normal zerlegt werden:; , - Modul der Tangential- und Normalbeschleunigung; - Krümmungsradius der Flugbahn;

V- Punktgeschwindigkeit.

d'Alembertsches Prinzip für einen materiellen Punkt

Wenn nicht kostenlos auf einen materiellen Punkt, der sich unter der Wirkung von angelegten aktiven Kräften und Reaktionskräften von Bindungen bewegt, seine Trägheitskraft aufbringt, dann wird das resultierende Kräftesystem jederzeit ausgeglichen sein, d. H. Die geometrische Summe dieser Kräfte wird gleich Null sein.

mechanisches Punktkörpermaterial

Wo - die Resultierende der auf den Punkt aufgebrachten Wirkkräfte; - das Ergebnis der Reaktionen der Bindungen, die dem Punkt auferlegt werden; Trägheitskraft eines materiellen Punktes. Hinweis: Tatsächlich wirkt die Trägheitskraft eines materiellen Punktes nicht auf den Punkt selbst, sondern auf den Körper, der diesen Punkt beschleunigt.

d'Alembertsches Prinzip für ein mechanisches System

geometrische Summe die Hauptvektoren der auf das System einwirkenden äußeren Kräfte und die Trägheitskräfte aller Punkte des Systems sowie die geometrische Summe der Hauptmomente dieser Kräfte relativ zu einem bestimmten Zentrum für ein nicht freies mechanisches System zu jeder Zeit gleich Null sind, d.h.

Hauptvektor und Hauptmoment der Trägheitskräfte eines starren Körpers

Der Hauptvektor und das Hauptmoment der Trägheitskräfte der Punkte des Systems werden für jeden in diesem mechanischen System enthaltenen starren Körper separat bestimmt. Ihre Definition basiert auf der aus der Statik bekannten Poinsot-Methode, ein beliebiges Kräftesystem auf einen gegebenen Mittelpunkt zu bringen.

Basierend auf dieser Methode können die Trägheitskräfte aller Punkte des Körpers im allgemeinen Fall seiner Bewegung auf den Massenmittelpunkt gebracht und durch den Hauptvektor * und das Hauptmoment ersetzt werden über den Massenmittelpunkt. Sie werden durch die Formeln bestimmt d.h. für irgendwelche Bewegung eines starren Körpers, der Hauptvektor der Trägheitskräfte ist mit einem Minuszeichen gleich dem Produkt aus der Körpermasse und der Beschleunigung des Massenschwerpunkts des Körpers; ,Wo R kc -- Radius-Vektor k-te vom Massenmittelpunkt gezogener Punkt. Diese Formeln haben in besonderen Fällen der Bewegung eines starren Körpers die Form:

1. Progressive Bewegung.

2. Drehung eines Körpers um eine Achse, die durch den Massenmittelpunkt verläuft

3. Planparallele Bewegung

Einführung in die Analytische Mechanik

Grundbegriffe der analytischen Mechanik

Analytische Mechanik- ein Bereich (Abschnitt) der Mechanik, in dem die Bewegung oder das Gleichgewicht mechanischer Systeme unter Verwendung allgemeiner, einheitlicher analytischer Methoden untersucht werden, die für beliebige mechanische Systeme verwendet werden.

Betrachten wir die charakteristischsten Konzepte der analytischen Mechanik.

1. Verbindungen und ihre Klassifizierung.

Verbindungen-- Beschränkungen in Form von Körpern oder kinematischen Bedingungen, die der Bewegung von Punkten eines mechanischen Systems auferlegt werden. Diese Beschränkungen können als Gleichungen oder Ungleichungen geschrieben werden.

Geometrische Verbindungen-- Verbindungen, deren Gleichungen nur die Koordinaten von Punkten enthalten, d.h. Beschränkungen werden nur den Koordinaten von Punkten auferlegt. Das sind Verbindungen in Form von Körpern, Flächen, Linien etc.

Differenzielle Verbindungen-- Verbindungen, die nicht nur die Koordinaten von Punkten einschränken, sondern auch ihre Geschwindigkeit.

Holonome Verbindungen -- alle geometrischen Zusammenhänge und die differentiellen, deren Gleichungen integriert werden können.

Nichtholonome Beschränkungen-- differenzielle nicht integrierbare Verbindungen.

Stationäre Kommunikation -- Verbindungen, deren Gleichungen die Zeit nicht explizit enthalten.

Nichtstationäre Kommunikation- Verbindungen, die sich zeitlich ändern, d.h. in deren Gleichungen explizit die Zeit eingeht.

Bilaterale (haltende) Verbindungen -- Verbindungen, die die Bewegung eines Punktes in zwei entgegengesetzte Richtungen begrenzen. Solche Verbindungen werden durch die Gleichungen beschrieben .

Einseitig(nicht haltende) Verbindungen - Verbindungen, die die Bewegung nur in eine Richtung einschränken. Solche Zusammenhänge werden durch die Ungleichungen beschrieben

2. Mögliche (virtuelle) und tatsächliche Bewegungen.

Möglich oder virtuell Verschiebungen von Punkten eines mechanischen Systems sind imaginäre infinitesimale Verschiebungen, die durch dem System auferlegte Beschränkungen erlaubt sind.

Möglich Die Verschiebung eines mechanischen Systems ist eine Menge gleichzeitig möglicher Verschiebungen der Punkte des Systems, die mit Beschränkungen kompatibel sind. Das mechanische System sei ein Kurbeltrieb.

Möglicher Bewegungspunkt A ist eine Verschiebung, die aufgrund ihrer Kleinheit als geradlinig und senkrecht dazu betrachtet wird OA.

Möglicher Bewegungspunkt IN(Schieber) bewegt sich in den Führungen. Mögliche Bewegung der Kurbel OA ist die Drehung um einen Winkel und die Pleuelstange AB -- in einem Winkel um das MCS herum (Punkt R).

Gültig Die Verschiebungen der Punkte des Systems werden auch als Elementarverschiebungen bezeichnet, die überlagerte Verbindungen zulassen, jedoch unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen der Bewegung und der auf das System wirkenden Kräfte.

Gradzahl Freiheit S eines mechanischen Systems ist die Anzahl seiner unabhängigen möglichen Verschiebungen, die den Punkten des Systems zu einem festen Zeitpunkt mitgeteilt werden können.

Prinzip möglicher Verschiebungen (Lagrange-Prinzip)

Das Prinzip der möglichen Verschiebungen oder das Lagrange-Prinzip drückt den Gleichgewichtszustand für ein nicht freies mechanisches System unter der Wirkung aufgebrachter aktiver Kräfte aus. Formulierung des Prinzips.

Für das Gleichgewicht Für ein unfreies mechanisches System mit bilateralen, stationären, holonomen und ideellen Beschränkungen, das unter der Wirkung aufgebrachter aktiver Kräfte in Ruhe ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Summe der elementaren Arbeiten aller aktiven Kräfte gleich einer Kugel auf jede ist mögliche Verschiebung des Systems aus der betrachteten Gleichgewichtslage:

Allgemeine Gleichung der Dynamik (Lagrange-D'Alembert-Prinzip)

Die allgemeine Dynamikgleichung wird auf die Untersuchung der Bewegung unfreier mechanischer Systeme angewendet, deren Körper oder Punkte sich mit bestimmten Beschleunigungen bewegen.

Nach dem d'Alembert-Prinzip bildet die Gesamtheit der auf das mechanische System wirkenden Kräfte, der Reaktionskräfte der Bindungen und der Trägheitskräfte aller Punkte des Systems ein ausgewogenes Kräftesystem.

Wendet man auf ein solches System das Prinzip der möglichen Verschiebungen (das Lagrange-Prinzip) an, so erhält man das kombinierte Lagrange-D'Alembert-Prinzip bzw Allgemeine Gleichung der Dynamik.Formulierung dieses Grundsatzes.

Beim Umzug nicht frei eines mechanischen Systems mit wechselseitigen, idealen, stationären und holonomen Beschränkungen ist die Summe der Elementararbeiten aller aktiven Kräfte und Trägheitskräfte, die bei jeder möglichen Verschiebung des Systems auf die Punkte des Systems wirken, gleich Null:

Lagrange-Gleichungen zweiter Art

Lagrange-Gleichungen der zweiten Art sind Differentialgleichungen der Bewegung eines mechanischen Systems in verallgemeinerten Koordinaten.

Für ein System mit S Freiheitsgrade haben diese Gleichungen die Form

Unterschied die Gesamtzeitableitung der partiellen Ableitung der kinetischen Energie des Systems in Bezug auf die verallgemeinerte Geschwindigkeit und die partielle Ableitung der kinetischen Energie in Bezug auf die verallgemeinerte Koordinate ist gleich der verallgemeinerten Kraft.

Lagrange-Gleichungen für konservative mechanische Systeme. Zyklische Koordinaten und Integrale

Für ein konservatives System werden die verallgemeinerten Kräfte in Bezug auf die potentielle Energie des Systems durch die Formel bestimmt

Dann werden die Lagrange-Gleichungen in die Form umgeschrieben

Da die potentielle Energie des Systems nur eine Funktion von verallgemeinerten Koordinaten ist, d.h. dann unter Berücksichtigung dessen, stellen wir sie in der Form dar wo T - P \u003d L - Lagrange-Funktion (kinetisches Potential). Schließlich die Lagrange-Gleichungen für ein konservatives System

Stabilität der Gleichgewichtslage eines mechanischen Systems

Die Frage nach der Stabilität der Gleichgewichtslage mechanischer Systeme ist von unmittelbarer Bedeutung in der Theorie der Systemschwingungen.

Die Gleichgewichtslage kann stabil, instabil und indifferent sein.

nachhaltig Gleichgewichtslage - eine Gleichgewichtslage, bei der sich die aus dieser Lage abgeleiteten Punkte eines mechanischen Systems unter Einwirkung von Kräften in unmittelbarer Nähe in der Nähe ihrer Gleichgewichtslage bewegen.

Diese Bewegung wird sich zeitlich unterschiedlich wiederholen, d. h. das System führt eine oszillierende Bewegung aus.

instabil Gleichgewichtsposition - eine Gleichgewichtsposition, aus der die einwirkenden Kräfte bei einer beliebig kleinen Abweichung der Punkte des Systems in Zukunft die Punkte weiter aus ihrer Gleichgewichtsposition entfernen werden .

gleichgültig Gleichgewichtsposition - die Gleichgewichtsposition, wenn bei jeder kleinen anfänglichen Abweichung der Punkte des Systems von dieser Position in der neuen Position das System auch im Gleichgewicht bleibt. .

Zur Bestimmung der stabilen Gleichgewichtslage eines mechanischen Systems gibt es verschiedene Methoden.

Betrachten Sie die Definition eines stabilen Gleichgewichts basierend auf Lagrange-Dirichlet-Theoreme

Wenn in Position Gleichgewicht eines konservativen mechanischen Systems mit idealen und stationären Zwangsbedingungen, dessen potentielle Energie ein Minimum hat, dann ist diese Gleichgewichtslage stabil.

Impact-Phänomen. Schlagkraft und Schlagimpuls

Das Phänomen, bei dem sich die Geschwindigkeiten der Punkte des Körpers in einer vernachlässigbar kleinen Zeitspanne um einen endlichen Betrag ändern, wird als Schlag. Diese Zeitspanne wird aufgerufen Einwirkzeit. Bei einem Aufprall wirkt eine Aufprallkraft für einen unendlich kleinen Zeitraum. Kampftruppe heißt eine Kraft, deren Impuls beim Stoß einen endlichen Wert hat.

Wenn die modulo endliche Kraft wirkt im Laufe der Zeit und beginnt seine Aktion zu einem bestimmten Zeitpunkt , dann hat sein Impuls die Form

Auch wenn die Stoßkraft auf einen materiellen Punkt wirkt, können wir sagen:

die Einwirkung nicht-momentaner Kräfte während des Aufpralls kann vernachlässigt werden;

die Bewegung eines materiellen Punktes während des Aufpralls kann vernachlässigt werden;

das Ergebnis der Einwirkung der Stoßkraft auf einen materiellen Punkt drückt sich in der endgültigen Änderung seines Geschwindigkeitsvektors beim Aufprall aus.

Satz über die Änderung des Impulses eines mechanischen Systems beim Stoß

die Änderung des Impulses des mechanischen Systems während des Stoßes ist gleich der geometrischen Summe aller äußeren Stoßimpulse, die auf die Punkte des Systems einwirken, Wo - das Ausmaß der Bewegung des mechanischen Systems im Moment der Beendigung der Einwirkung von Stoßkräften, - das Ausmaß der Bewegung des mechanischen Systems in dem Moment, in dem die Stoßkräfte zu wirken beginnen, - äußerer Stoßimpuls.

Das d'Alembert-Prinzip ermöglicht es, die Probleme der Dynamik mechanischer Systeme als Probleme der Statik zu formulieren. Die dynamischen Differentialgleichungen der Bewegung erhalten dabei die Form von Gleichgewichtsgleichungen. Eine solche Methode wird aufgerufen kinetostatische Methode .

d'Alemberts Prinzip für einen materiellen Punkt: « Zu jedem Zeitpunkt der Bewegung eines materiellen Punktes bilden die tatsächlich auf ihn wirkenden Wirkkräfte, die Reaktionen der Bindungen und die auf den Punkt bedingt aufgebrachte Trägheitskraft ein ausgeglichenes Kräftesystem»

Punkt Trägheitskraft eine vektorielle Größe genannt, die die Dimension einer Kraft hat, die betragsmäßig gleich dem Produkt aus der Masse eines Punktes und seiner Beschleunigung ist und dem Beschleunigungsvektor entgegengesetzt gerichtet ist

. (3.38)

Betrachtet man ein mechanisches System als eine Menge materieller Punkte, von denen jeder nach dem d'Alembert-Prinzip von ausgeglichenen Kräftesystemen beeinflusst wird, so ergeben sich aus diesem Prinzip Konsequenzen in Bezug auf das System. Der Hauptvektor und das Hauptmoment relativ zu einem beliebigen Zentrum äußerer Kräfte, die auf das System einwirken, und die Trägheitskräfte aller seiner Punkte sind gleich Null:

(3.39)

Hier sind äußere Kräfte Wirkkräfte und Bindungsreaktionen.

Der Hauptvektor der Trägheitskräfte eines mechanischen Systems ist gleich dem Produkt aus der Masse des Systems und der Beschleunigung seines Massenschwerpunkts und ist dieser Beschleunigung entgegen gerichtet

. (3.40)

Das Hauptträgheitsmoment Kräfte System relativ zu einem beliebigen Zentrum UM gleich der Zeitableitung seines Drehimpulses in Bezug auf denselben Mittelpunkt

. (3.41)

Für einen starren Körper, der sich um eine feste Achse dreht Unze, finden wir das Hauptmoment der Trägheitskräfte um diese Achse

. (3.42)

3.8. Elemente der analytischen Mechanik

Der Abschnitt "Analytische Mechanik" betrachtet die allgemeinen Prinzipien und analytischen Methoden zur Lösung von Problemen in der Mechanik materieller Systeme.

3.8.1 Mögliche Bewegungen des Systems. Einstufung

einige Verbindungen

Mögliche Punktbewegungen
alle imaginären, unendlich kleinen Verschiebungen von ihnen, die durch die dem System auferlegten Beschränkungen zu einem festen Zeitpunkt zulässig sind, werden als mechanische Systeme bezeichnet. A-Priorat, Anzahl der Freiheitsgrade eines mechanischen Systems ist die Anzahl seiner unabhängigen möglichen Verschiebungen.

Die dem System auferlegten Verbindungen werden aufgerufen Ideal , wenn die Summe der elementaren Arbeiten ihrer Reaktionen auf eine der möglichen Verschiebungen der Punkte des Systems gleich Null ist

. (3. 43)

Verbindungen, für die die von ihnen auferlegten Beschränkungen an beliebigen Stellen des Systems erhalten bleiben, werden aufgerufen zurückhalten . Es werden zeitlich unveränderliche Relationen genannt, deren Gleichungen die Zeit explizit nicht enthalten stationär . Die Verbindungen, die nur die Verschiebungen der Punkte des Systems begrenzen, werden aufgerufen geometrisch , und die Grenzgeschwindigkeiten sind kinematisch . In Zukunft betrachten wir nur noch geometrische Zusammenhänge und solche kinematischen, die sich durch Integration auf geometrische zurückführen lassen.

3.8.2. Das Prinzip der möglichen Bewegungen

Für das Gleichgewicht eines mechanischen Systems mit einschränkenden ideellen und stationären Nebenbedingungen ist dies notwendig und ausreichend

die Summe der Elementararbeiten aller auf ihn einwirkenden Wirkkräfte bei möglichen Verschiebungen des Systems war gleich Null

. (3.44)

In Projektionen auf die Koordinatenachsen:

. (3.45)

Das Prinzip der möglichen Verschiebungen erlaubt es uns, die Bedingungen für das Gleichgewicht eines beliebigen mechanischen Systems in allgemeiner Form aufzustellen, ohne das Gleichgewicht seiner einzelnen Teile zu berücksichtigen. Dabei werden nur die auf das System einwirkenden Wirkkräfte berücksichtigt. Unbekannte Reaktionen idealer Bindungen sind in diesen Bedingungen nicht enthalten. Gleichzeitig ermöglicht dieses Prinzip, unbekannte Reaktionen idealer Bindungen zu bestimmen, indem diese Bindungen verworfen und ihre Reaktionen in die Zahl der wirkenden Kräfte eingebracht werden. Wenn die Bindungen, deren Reaktionen bestimmt werden müssen, verworfen werden, erhält das System zusätzlich die entsprechende Anzahl an Freiheitsgraden.

Beispiel 1 . Finden Sie die Beziehung zwischen Kräften Und Jack, wenn es bekannt ist, dass mit jeder Umdrehung des Griffs AB = l, schrauben MIT erstreckt sich soweit H(Abb. 3.3).

Lösung

Die möglichen Bewegungen des Mechanismus sind die Drehung des Griffs  und die Bewegung der Last  H. Die Bedingung der Nullgleichheit der elementaren Kräftearbeit:

pl- Qh = 0;

Dann
. Seit H 0 also

3.8.3. Allgemeine Variationsgleichung der Dynamik

Betrachten Sie die Bewegung eines Systems bestehend aus N Punkte. Auf ihn wirken aktive Kräfte und Bindungsreaktionen .(k = 1,…,N) Addieren wir zu den wirkenden Kräften die Trägheitskräfte der Punkte
, dann ist nach dem d'Alembert-Prinzip das resultierende Kräftesystem im Gleichgewicht und daher gilt der nach dem Prinzip der möglichen Verschiebungen (3.44) geschriebene Ausdruck:

. (3.46)

Wenn alle Verbindungen ideal sind, dann ist die 2. Summe gleich Null und in Projektionen auf die Koordinatenachsen sieht die Gleichheit (3.46) so aus:

Die letzte Gleichheit ist eine allgemeine Variationsgleichung der Dynamik in Projektionen auf die Koordinatenachsen, die es erlaubt, Differentialgleichungen der Bewegung eines mechanischen Systems aufzustellen.

Die allgemeine Variationsgleichung der Dynamik ist ein mathematischer Ausdruck d'Alembert-Lagrange-Prinzip: « Wenn sich ein System in Bewegung befindet und stationären, idealen, einschränkenden Beschränkungen unterliegt, ist zu jedem Zeitpunkt die Summe der elementaren Arbeiten aller auf das System wirkenden aktiven Kräfte und der Trägheitskräfte bei einer möglichen Verschiebung des Systems gleich Null».

Beispiel 2 . Bestimmen Sie für ein mechanisches System (Abb. 3.4), bestehend aus drei Körpern, die Beschleunigung der Last 1 und die Spannung des Seils 1-2, wenn: M 1 = 5M; M 2 = 4M; M 3 = 8M; R 2 = 0,5R 2; Trägheitsradius von Block 2 ich = 1,5R 2. Rolle 3 ist eine kontinuierliche homogene Scheibe.

Lösung

Stellen wir uns die Kräfte vor, die bei einer möglichen Verschiebung  elementare Arbeit leisten S Last 1:

Wir schreiben die möglichen Verschiebungen aller Körper durch die möglichen Verschiebungen der Last 1:

Wir drücken die Linear- und Winkelbeschleunigungen aller Körper durch die gewünschte Beschleunigung der Last 1 aus (die Verhältnisse sind die gleichen wie bei möglichen Verschiebungen):

.

Die allgemeine Variationsgleichung für dieses Problem hat die Form:

Durch Ersetzen der zuvor erhaltenen Ausdrücke für aktive Kräfte, Trägheitskräfte und mögliche Verschiebungen erhalten wir nach einfachen Transformationen

Seit  S 0, daher ist der Klammerausdruck, der die Beschleunigung enthält, gleich Null A 1 , Wo A 1 = 5G/8,25 = 0,606G.

Um die Spannung des Seils zu bestimmen, das die Last hält, lösen wir die Last vom Seil und ersetzen ihre Wirkung durch die gewünschte Reaktion . Unter dem Einfluss gegebener Kräfte ,und die auf die Last ausgeübte Trägheitskraft
er ist im gleichgewicht. Daher gilt das d’Alembert-Prinzip für die betrachtete Last (Punkt), d. h. das schreiben wir
. Von hier
.

3.8.4. Lagrange-Gleichung 2. Art

Verallgemeinerte Koordinaten und verallgemeinerte Geschwindigkeiten. Als solche werden alle voneinander unabhängigen Parameter bezeichnet, die eindeutig die Position eines mechanischen Systems im Raum bestimmen verallgemeinerte Koordinaten . Diese Koordinaten, bezeichnet Q 1 ,....Q i , kann jede Dimension haben. Insbesondere können die verallgemeinerten Koordinaten Verschiebungen oder Rotationswinkel sein.

Für die betrachteten Systeme ist die Anzahl der verallgemeinerten Koordinaten gleich der Anzahl der Freiheitsgrade. Die Position jedes Punktes des Systems ist eine einwertige Funktion der verallgemeinerten Koordinaten

Somit wird die Bewegung des Systems in verallgemeinerten Koordinaten durch die folgenden Abhängigkeiten bestimmt:

Die ersten Ableitungen verallgemeinerter Koordinaten werden aufgerufen verallgemeinerte Geschwindigkeiten :
.

Verallgemeinerte Kräfte. Ausdruck für die elementare Arbeit einer Kraft über einen möglichen Umzug
sieht aus wie:

.

Für die elementare Arbeit des Kräftesystems schreiben wir

Unter Verwendung der erhaltenen Abhängigkeiten kann dieser Ausdruck wie folgt geschrieben werden:

,

wo ist die verallgemeinerte Kraft entsprechend ich-te verallgemeinerte Koordinate,

. (3.49)

Auf diese Weise, verallgemeinerte Kraft entsprechend ich-te verallgemeinerte Koordinate, ist der Variationskoeffizient dieser Koordinate im Ausdruck der Summe der elementaren Arbeiten der aktiven Kräfte auf die mögliche Verschiebung des Systems . Um die verallgemeinerte Kraft zu berechnen, muss dem System eine mögliche Verschiebung mitgeteilt werden, bei der sich nur die verallgemeinerte Koordinate ändert Q ich. Koeffizient bei
und wird die gewünschte verallgemeinerte Kraft sein.

Gleichungen der Systembewegung in verallgemeinerten Koordinaten. Gegeben sei ein mechanisches System mit S Freiheitsgrade. In Kenntnis der darauf wirkenden Kräfte ist es notwendig, Differentialgleichungen der Bewegung in verallgemeinerten Koordinaten aufzustellen
. Wir wenden das Verfahren zur Aufstellung der Bewegungsdifferentialgleichungen des Systems - die Lagrange-Gleichungen 2. Art - analog zur Herleitung dieser Gleichungen für einen freien materiellen Punkt an. Basierend auf Newtons 2. Gesetz schreiben wir

Wir erhalten ein Analogon dieser Gleichungen, indem wir die Notation für die kinetische Energie eines materiellen Punktes verwenden,

Partielle Ableitung der kinetischen Energie in Bezug auf die Projektion der Geschwindigkeit auf die Achse
ist gleich der Projektion des Bewegungsbetrags auf diese Achse, d.h.

Um die notwendigen Gleichungen zu erhalten, berechnen wir die Ableitungen nach der Zeit:

Das resultierende Gleichungssystem sind die Lagrange-Gleichungen 2. Art für einen materiellen Punkt.

Für ein mechanisches System stellen wir die Lagrange-Gleichungen 2. Art in Form von Gleichungen dar, in denen statt Projektionen wirksame Kräfte auftreten P X , P j , P z verallgemeinerte Kräfte verwenden Q 1 , Q 2 ,...,Q i und berücksichtigen im allgemeinen Fall die Abhängigkeit der kinetischen Energie von den verallgemeinerten Koordinaten.

Die Lagrange-Gleichungen 2. Art für ein mechanisches System haben die Form:

. (3.50)

Sie können verwendet werden, um die Bewegung eines beliebigen mechanischen Systems mit geometrischen, idealen und einschränkenden Bedingungen zu untersuchen.

Beispiel 3 . Stellen Sie für das mechanische System (Abb. 3.5), dessen Daten im vorigen Beispiel gegeben sind, eine Differentialgleichung der Bewegung mit der Lagrange-Gleichung 2. Art auf,

Lösung

Das mechanische System hat einen Freiheitsgrad. Als verallgemeinerte Koordinate nehmen wir die lineare Bewegung der Last Q 1 = s; verallgemeinerte Geschwindigkeit - . Dazu schreiben wir die Lagrange-Gleichung 2. Art

.

Lassen Sie uns einen Ausdruck für die kinetische Energie des Systems zusammenstellen

.

Wir drücken alle Winkel- und Lineargeschwindigkeiten durch die verallgemeinerte Geschwindigkeit aus:

Jetzt bekommen wir

Lassen Sie uns die verallgemeinerte Kraft berechnen, indem wir den Ausdruck für elementare Arbeit auf einer möglichen Verschiebung  zusammensetzen S alle aktiven Kräfte. Ohne Reibungskräfte wird die Arbeit im System nur durch die Schwerkraft der Last 1 verrichtet
Wir schreiben die verallgemeinerte Kraft bei  S, als Koeffizient in elementarer Arbeit Q 1 = 5mg. Als nächstes finden wir

Schließlich hat die Differentialgleichung der Bewegung des Systems die Form: