Formeln und Eigenschaften eines Rechtecks. Geometrische Figuren

Rechteck ist ein Viereck, bei dem jede Ecke ein rechter Winkel ist.

Nachweisen

Die Eigenschaft wird durch die Wirkung von Merkmal 3 des Parallelogramms erklärt (d. h. \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Gegenüberliegende Seiten sind gleich.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Gegenüberliegende Seiten sind parallel.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Benachbarte Seiten sind senkrecht zueinander.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​​​\perp AB

5. Die Diagonalen des Rechtecks ​​sind gleich.

AC=BD

Nachweisen

Entsprechend Eigentum 1 das Rechteck ist ein Parallelogramm, was AB = CD bedeutet.

Also \triangle ABD = \triangle DCA entlang zweier Schenkel (AB = CD und AD - Gelenk).

Wenn beide Figuren - ABC und DCA - identisch sind, dann sind auch ihre Hypotenusen BD und AC identisch.

Also AC = BD.

Nur ein Rechteck aller Figuren (nur aus Parallelogrammen!) hat gleiche Diagonalen.

Lassen Sie uns das auch beweisen.

ABCD ist ein Parallelogramm \Rightarrow AB = CD , AC = BD nach Bedingung. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA schon auf drei Seiten.

Es stellt sich heraus, dass \angle A = \angle D (wie die Ecken eines Parallelogramms). Und \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Das leiten wir ab \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Sie sind alle 90^(\circ) . Die Summe ist 360^(\circ) .

Bewährt!

6. Das Quadrat der Diagonale ist gleich der Summe der Quadrate ihrer beiden benachbarten Seiten.

Diese Eigenschaft gilt aufgrund des Satzes des Pythagoras.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei identische rechtwinklige Dreiecke.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Der Schnittpunkt der Diagonalen halbiert sie.

AO=BO=CO=TUN

9. Der Schnittpunkt der Diagonalen ist der Mittelpunkt des Rechtecks ​​und des umschriebenen Kreises.

10. Die Summe aller Winkel beträgt 360 Grad.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Alle Ecken des Rechtecks ​​sind richtig.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Der Durchmesser des Umkreises um das Rechteck ist gleich der Diagonale des Rechtecks.

13. Um ein Rechteck herum lässt sich immer ein Kreis beschreiben.

Diese Eigenschaft ist gültig aufgrund der Tatsache, dass die Summe der gegenüberliegenden Ecken eines Rechtecks ​​180^(\circ) ist.

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Ein Rechteck kann einen einbeschriebenen Kreis enthalten und nur einen, wenn es die gleichen Seitenlängen hat (es ist ein Quadrat).

ist ein Parallelogramm, bei dem alle Winkel 90° betragen und gegenüberliegende Seiten paarweise parallel und gleich sind.

Das Rechteck hat mehrere unwiderlegbare Eigenschaften, die zur Lösung vieler Probleme in den Formeln für die Fläche des Rechtecks ​​​​und seinen Umfang verwendet werden. Hier sind sie:

Die Länge der unbekannten Seite oder Diagonalen des Rechtecks ​​wird nach oder durch den Satz des Pythagoras berechnet. Die Fläche eines Rechtecks ​​kann auf zwei Arten ermittelt werden - durch das Produkt seiner Seiten oder durch die Formel für die Fläche eines Rechtecks ​​durch die Diagonale. Die erste und einfachste Formel sieht so aus:

Ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Rechtecks ​​​​mit dieser Formel ist sehr einfach. Wenn wir die beiden Seiten kennen, zum Beispiel a = 3 cm, b = 5 cm, können wir die Fläche des Rechtecks ​​leicht berechnen:
Wir bekommen, dass in einem solchen Rechteck die Fläche 15 Quadratmeter beträgt. cm.

Fläche eines Rechtecks ​​in Diagonalen

Manchmal müssen Sie die Formel für die Fläche eines Rechtecks ​​​​in Bezug auf Diagonalen anwenden. Dazu müssen Sie nicht nur die Länge der Diagonalen kennen, sondern auch den Winkel zwischen ihnen:

Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Rechtecks ​​​​unter Verwendung von Diagonalen. Gegeben sei ein Rechteck mit Diagonale d = 6 cm und Winkel = 30°. Wir ersetzen die Daten in der bereits bekannten Formel:

Das Beispiel der Berechnung der Fläche eines Rechtecks ​​durch die Diagonale hat uns also gezeigt, dass es ziemlich einfach ist, die Fläche auf diese Weise zu ermitteln, wenn man den Winkel angibt.
Betrachten Sie ein weiteres interessantes Rätsel, das uns helfen wird, unser Gehirn ein wenig zu dehnen.

Aufgabe: Gegeben ein Quadrat. Seine Fläche beträgt 36 qm. cm Finden Sie den Umfang eines Rechtecks, dessen eine Seite 9 cm lang ist und dessen Fläche die gleiche ist wie die des oben angegebenen Quadrats.
Wir haben also ein paar Bedingungen. Der Übersichtlichkeit halber schreiben wir sie auf, um alle bekannten und unbekannten Parameter zu sehen:
Die Seiten der Figur sind paarweise parallel und gleich. Daher ist der Umfang der Figur gleich der doppelten Summe der Seitenlängen:
Aus der Formel für die Fläche eines Rechtecks, die gleich dem Produkt der beiden Seiten der Figur ist, finden wir die Länge der Seite b
Von hier:
Wir ersetzen die bekannten Daten und finden die Länge der Seite b:
Berechnen Sie den Umfang der Figur:
Wenn du also ein paar einfache Formeln kennst, kannst du den Umfang eines Rechtecks ​​berechnen, wenn du seine Fläche kennst.

Definition.

Rechteck Es ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich sind und alle vier Winkel gleich sind.

Rechtecke unterscheiden sich nur im Verhältnis der langen Seite zur kurzen Seite, aber alle vier sind richtig, dh jeweils 90 Grad.

Die lange Seite eines Rechtecks ​​heißt rechteckige länge, und die kurze Breite des Rechtecks.

Die Seiten eines Rechtecks ​​sind auch seine Höhen.

Grundlegende Eigenschaften eines Rechtecks

Ein Rechteck kann ein Parallelogramm, ein Quadrat oder eine Raute sein.

1. Gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks ​​sind gleich lang, d. h. sie sind gleich:

AB=CD, BC=AD

2. Gegenüberliegende Seiten des Rechtecks ​​sind parallel:

3. Benachbarte Seiten eines Rechtecks ​​sind immer senkrecht:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Alle vier Ecken des Rechtecks ​​sind gerade:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Die Summe der Winkel eines Rechtecks ​​beträgt 360 Grad:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Die Diagonalen eines Rechtecks ​​sind gleich lang:

7. Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Rechtecks ​​ist gleich der Summe der Quadrate der Seiten:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Jede Diagonale eines Rechtecks ​​teilt das Rechteck in zwei identische Figuren, nämlich rechtwinklige Dreiecke.

9. Die Diagonalen des Rechtecks ​​schneiden sich und werden am Schnittpunkt halbiert:

		AO=BO=CO=TUN=	D
			2

10. Der Schnittpunkt der Diagonalen heißt Mittelpunkt des Rechtecks ​​und ist auch Mittelpunkt des umschriebenen Kreises

11. Die Diagonale eines Rechtecks ​​ist der Durchmesser des umschriebenen Kreises

12. Ein Kreis kann immer um ein Rechteck herum beschrieben werden, da die Summe der gegenüberliegenden Winkel 180 Grad beträgt:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Ein Kreis kann nicht in ein Rechteck eingeschrieben werden, dessen Länge nicht gleich seiner Breite ist, da die Summen der gegenüberliegenden Seiten nicht gleich sind (ein Kreis kann nur in einen Sonderfall eines Rechtecks ​​eingeschrieben werden - ein Quadrat).

Seiten eines Rechtecks

Definition.

Rechtecklänge nennen wir die Länge des längeren Seitenpaares. Breite des Rechtecks Nennen Sie die Länge des kürzeren Seitenpaares.

Formeln zur Bestimmung der Seitenlängen eines Rechtecks

1. Die Formel für die Seite eines Rechtecks ​​(die Länge und Breite des Rechtecks) in Bezug auf die Diagonale und die andere Seite:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Die Formel für die Seite eines Rechtecks ​​(die Länge und Breite des Rechtecks) in Bezug auf die Fläche und die andere Seite:

b = dcos	β
	2

Rechteck diagonal

Definition.

Diagonales Rechteck Jedes Segment, das zwei Eckpunkte gegenüberliegender Ecken eines Rechtecks ​​verbindet, wird aufgerufen.

Formeln zur Bestimmung der Länge der Diagonalen eines Rechtecks

1. Die Formel für die Diagonale eines Rechtecks ​​in Bezug auf zwei Seiten des Rechtecks ​​(über den Satz des Pythagoras):

d = √ a 2 + b 2

2. Die Formel für die Diagonale eines Rechtecks ​​nach Fläche und beliebiger Seite:

4. Die Formel für die Diagonale eines Rechtecks ​​bezogen auf den Radius des umschriebenen Kreises:

d=2R

5. Die Formel für die Diagonale eines Rechtecks ​​bezogen auf den Durchmesser des umschriebenen Kreises:

d = D o

6. Die Formel der Diagonale eines Rechtecks ​​in Bezug auf den Sinus des an die Diagonale angrenzenden Winkels und die Länge der diesem Winkel gegenüberliegenden Seite:

8. Die Formel der Diagonale eines Rechtecks ​​​​in Bezug auf den Sinus eines spitzen Winkels zwischen den Diagonalen und der Fläche des Rechtecks

d = √2S: sinβ

Umfang eines Rechtecks

Definition.

Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe der Längen aller Seiten des Rechtecks.

Formeln zur Bestimmung der Länge des Umfangs eines Rechtecks

1. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks ​​in Bezug auf zwei Seiten des Rechtecks:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks ​​in Bezug auf Fläche und beliebige Seite:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	A		B

3. Formel für den Umfang eines Rechtecks ​​in Diagonale und beliebiger Seite:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks ​​in Bezug auf den Radius des umschriebenen Kreises und einer beliebigen Seite:

P = 2(a + √4R 2 - eine 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks ​​in Bezug auf den Durchmesser des umschriebenen Kreises und einer beliebigen Seite:

P = 2(a + √D o 2 - eine 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Rechteckiger Bereich

Definition.

Rechteckiger Bereich wird der von den Seiten des Rechtecks ​​begrenzte Raum genannt, dh innerhalb des Umfangs des Rechtecks.

Formeln zur Bestimmung der Fläche eines Rechtecks

1. Die Formel für die Fläche eines Rechtecks ​​​​in Bezug auf zwei Seiten:

S = ein b

2. Die Formel für die Fläche eines Rechtecks ​​​​durch den Umfang und jede Seite:

5. Die Formel für die Fläche eines Rechtecks ​​​​in Bezug auf den Radius des umschriebenen Kreises und einer beliebigen Seite:

S = a √4R 2 - eine 2= b √4R 2 - b 2

6. Die Formel für die Fläche eines Rechtecks ​​​​in Bezug auf den Durchmesser des umschriebenen Kreises und einer beliebigen Seite:

S \u003d ein √ D o 2 - eine 2= b √ D o 2 - b 2

Kreis um ein Rechteck umschrieben

Definition.

Ein Kreis, der um ein Rechteck umschrieben ist Ein Kreis heißt ein Kreis, der durch vier Eckpunkte eines Rechtecks ​​verläuft, dessen Mittelpunkt im Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks ​​liegt.

Formeln zur Bestimmung des Radius eines um ein Rechteck umschriebenen Kreises

1. Die Formel für den Radius eines Kreises, der um ein Rechteck durch zwei Seiten umschrieben wird:

4. Die Formel für den Radius eines Kreises, der über ein Rechteck durch die Diagonale eines Quadrats beschrieben wird:

5. Die Formel für den Radius eines Kreises, der in der Nähe eines Rechtecks ​​durch den Durchmesser eines Kreises (umschrieben) beschrieben wird:

6. Die Formel für den Radius eines Kreises, der in der Nähe eines Rechtecks ​​durch den Sinus des an die Diagonale angrenzenden Winkels und die Länge der diesem Winkel gegenüberliegenden Seite beschrieben wird:

7. Die Formel für den Radius eines Kreises, der um ein Rechteck durch den Kosinus des an die Diagonale angrenzenden Winkels und die Seitenlänge dieses Winkels beschrieben wird:

8. Die Formel für den Radius eines Kreises, der in der Nähe eines Rechtecks ​​durch den Sinus eines spitzen Winkels zwischen den Diagonalen und der Fläche des Rechtecks ​​beschrieben wird:

Winkel zwischen einer Seite und einer Diagonalen eines Rechtecks.

Formeln zur Bestimmung des Winkels zwischen Seite und Diagonale eines Rechtecks:

1. Die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen Seite und Diagonale eines Rechtecks ​​durch die Diagonale und die Seite:

2. Die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen Seite und Diagonale eines Rechtecks ​​durch den Winkel zwischen den Diagonalen:

Der Winkel zwischen den Diagonalen des Rechtecks.

Formeln zur Bestimmung des Winkels zwischen den Diagonalen eines Rechtecks:

1. Die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen den Diagonalen eines Rechtecks ​​durch den Winkel zwischen Seite und Diagonale:

β = 2α

2. Die Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen den Diagonalen eines Rechtecks ​​durch die Fläche und der Diagonalen.

Inhalt:

Eine Diagonale ist eine Strecke, die zwei gegenüberliegende Eckpunkte eines Rechtecks ​​verbindet. Ein Rechteck hat zwei gleiche Diagonalen. Wenn die Seiten des Rechtecks ​​bekannt sind, kann die Diagonale mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden, da die Diagonale das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke teilt. Wenn die Seiten nicht angegeben sind, aber andere Größen bekannt sind, zum Beispiel die Fläche und der Umfang oder das Verhältnis der Seiten, kannst du die Seiten des Rechtecks ​​bestimmen und dann die Diagonale mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

Schritte

1 Seite an Seite

1. 1 Schreiben Sie den Satz des Pythagoras auf. Formel: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Stecken Sie die Seiten in die Formel. Sie sind in der Aufgabe gegeben oder müssen gemessen werden. Seitenwerte werden durch eine 3 ersetzt
   • In unserem Beispiel:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Nach Fläche und Umfang

     1. 1 Formel: S \u003d l w (In der Abbildung wird das Symbol A anstelle von S verwendet.)
     2. 2 Dieser Wert wird für S 3 ersetzt Schreiben Sie die Formel um, um w 4 zu isolieren Schreibe die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks ​​auf. Formel: P = 2 (w + l)
     3. 5 Setze den Wert des Umfangs des Rechtecks ​​in die Formel ein. Dieser Wert wird für P 6 ersetzt Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 2. Sie erhalten die Summe der Seiten des Rechtecks, nämlich w + l 7 Ersetzen Sie in der Formel den Ausdruck, um w 8 zu berechnen Befreien Sie sich von Brüchen. Multiplizieren Sie dazu beide Teile der Gleichung mit l 9 Setze die Gleichung auf 0. Subtrahieren Sie dazu den Term mit der Variable erster Ordnung von beiden Seiten der Gleichung.
        • In unserem Beispiel:
          12 l \u003d 35 + l 2 10 Ordne die Terme der Gleichung. Das erste Mitglied ist das zweite variable Mitglied, dann das erste variable Mitglied und dann das freie Mitglied. Vergessen Sie dabei nicht die Zeichen („Plus“ und „Minus“), die vor den Mitgliedern stehen. Beachten Sie, dass die Gleichung als quadratische Gleichung geschrieben wird.
          • In unserem Beispiel ist 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • In unserem Beispiel ist die Gleichung 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Finden Sie l 13 Schreiben Sie den Satz des Pythagoras auf. Formel: a 2 + b 2 = c 2
              • Verwende den Satz des Pythagoras, denn jede Diagonale eines Rechtecks ​​teilt es in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke. Außerdem sind die Seiten des Rechtecks ​​die Beine des Dreiecks und die Diagonale des Rechtecks ​​ist die Hypotenuse des Dreiecks.
            • 14 Diese Werte werden durch eine 15 ersetzt Quadriere die Länge und Breite und addiere dann die Ergebnisse. Denken Sie daran, dass beim Quadrieren einer Zahl diese mit sich selbst multipliziert wird.
              • In unserem Beispiel:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Ziehen Sie die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichung. Benutze einen Taschenrechner, um schnell die Quadratwurzel zu finden. Sie können auch den Online-Rechner verwenden. Sie finden c

                3 Nach Fläche und Seitenverhältnis

                1. 1 Schreiben Sie eine Gleichung auf, die das Seitenverhältnis charakterisiert. l isolieren 2 Schreiben Sie die Formel zur Berechnung der Fläche eines Rechtecks ​​auf. Formel: S = l w (In der Abbildung wird anstelle von S die Notation A verwendet.)
                   • Diese Methode ist auch anwendbar, wenn der Wert des Umfangs des Rechtecks ​​bekannt ist, aber dann müssen Sie die Formel verwenden, um den Umfang und nicht die Fläche zu berechnen. Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks: P = 2 (w + l)
                2. 3 Setzen Sie die Fläche des Rechtecks ​​in die Formel ein. Dieser Wert wird für S 4 ersetzt Setzen Sie den Ausdruck, der das Seitenverhältnis charakterisiert, in die Formel ein. Im Fall eines Rechtecks ​​können Sie einen Ausdruck ersetzen, um l 5 zu berechnen Schreiben Sie eine quadratische Gleichung auf.Öffnen Sie dazu die Klammern und setzen Sie die Gleichung mit Null gleich.
                   • In unserem Beispiel:
                     35 = w (w + 2) 6 Faktorisiere die quadratische Gleichung. Lesen Sie weiter für detaillierte Anweisungen.
                     • In unserem Beispiel ist die Gleichung 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Finden Sie w 8 Setzen Sie den Wert der Breite (oder Länge) ein, der in der Gleichung gefunden wird, die das Seitenverhältnis charakterisiert. So finden Sie die andere Seite des Rechtecks.
                       • Wenn Sie beispielsweise berechnet haben, dass die Breite eines Rechtecks ​​5 cm beträgt und das Seitenverhältnis durch die Gleichung l = w + 2 9 gegeben ist Schreiben Sie den Satz des Pythagoras auf. Formel: a 2 + b 2 = c 2
                         • Verwende den Satz des Pythagoras, denn jede Diagonale eines Rechtecks ​​teilt es in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke. Außerdem sind die Seiten des Rechtecks ​​die Beine des Dreiecks und die Diagonale des Rechtecks ​​ist die Hypotenuse des Dreiecks.
                       • 10 Setzen Sie die Längen- und Breitenwerte in die Formel ein. Diese Werte werden durch eine 11 ersetzt Quadriere die Länge und Breite und addiere dann die Ergebnisse. Denken Sie daran, dass beim Quadrieren einer Zahl diese mit sich selbst multipliziert wird.
                         • In unserem Beispiel:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Ziehen Sie die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichung. Benutze einen Taschenrechner, um schnell die Quadratwurzel zu finden. Sie können auch den Online-Rechner verwenden. Sie finden c (displaystyle c) , das ist die Hypotenuse des Dreiecks und damit die Diagonale des Rechtecks.
                           • In unserem Beispiel:
                             74 = c 2 (Anzeigestil 74=c^(2))
                             74 = c 2 (displaystyle (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8, 6024 = c (Anzeigestil 8,6024 = c)
                             Somit beträgt die Diagonale eines Rechtecks, dessen Länge 2 cm größer als seine Breite ist und dessen Fläche 35 cm 2 beträgt, ungefähr 8,6 cm.