(\large\bf funksiya hosilasi)
Funktsiyani ko'rib chiqing y=f(x), intervalda ko'rsatilgan (a, b). Mayli x- har qanday belgilangan nuqta oralig'i (a, b), A Dx- ixtiyoriy raqam, bunday qiymat x+Dx intervalga ham tegishli (a, b). Bu raqam Dx argument o'sishi deb ataladi.
Ta'rif. Funktsiyaning o'sishi y=f(x) nuqtada x, argumentning o'sishiga mos keladi Dx, raqamga qo'ng'iroq qilaylik
Dy = f(x+Dx) - f(x).
Biz bunga ishonamiz Dx ≠ 0. Berilgan belgilangan nuqtada ko'rib chiqing x funktsiyaning o'sha nuqtadagi o'sishining argumentning mos keladigan o'sishiga nisbati Dx
Bu munosabat farq munosabati deb ataladi. Qiymatidan beri x biz sobit deb hisoblaymiz, farq munosabati argumentning funktsiyasidir Dx. Bu funksiya barcha argument qiymatlari uchun aniqlanadi Dx, nuqtaning etarlicha kichik mahallasiga tegishli Dx=0, nuqta bundan mustasno Dx=0. Shunday qilib, biz ko'rsatilgan funktsiyaning chegarasi mavjudligi haqidagi savolni ko'rib chiqishga haqlimiz Dx → 0.
Ta'rif. Funktsiyaning hosilasi y=f(x) ma'lum bir belgilangan nuqtada x limiti deb ataladi Dx → 0 differensial munosabat, ya'ni
Agar bu chegara mavjud bo'lsa.
Belgilanish. y'(x) yoki f'(x).
Hosilning geometrik ma'nosi: Funktsiyaning hosilasi f(x) ayni paytda x eksa orasidagi burchakning tangensiga teng ho'kiz va tegishli nuqtada ushbu funktsiya grafigiga teginish:
f'(x 0) = \tga.
Hosilning mexanik ma'nosi: Yo'lning vaqtga nisbatan hosilasi nuqtaning to'g'ri chiziqli harakati tezligiga teng:
Chiziqga teguvchi tenglama y=f(x) nuqtada M 0 (x 0 ,y 0) shaklni oladi
y-y 0 = f'(x 0) (x-x 0).
Qaysidir nuqtada egri chiziqning normali xuddi shu nuqtadagi tangensga perpendikulyardir. Agar f'(x 0)≠ 0, keyin normalning chiziqqa tenglamasi y=f(x) nuqtada M 0 (x 0 ,y 0) shunday yozilgan:
Funksiyaning differentsialligi tushunchasi
Funktsiyaga ruxsat bering y=f(x) ma'lum bir oraliqda aniqlanadi (a, b), x- bu oraliqdan ba'zi sobit argument qiymati, Dx- argumentning qiymati argumentning har qanday o'sishi x+Dx ∈ (a, b).
Ta'rif. Funktsiya y=f(x) berilgan nuqtada differentsiallanuvchi deb ataladi x, agar ortib borsa dy nuqtada bu funktsiya x, argument o'sishiga mos keladi Dx, shaklida ifodalanishi mumkin
Dy = A Dx +aDx,
Qayerda A- ba'zi bir raqamdan mustaqil Dx, A α - argument funktsiyasi Dx da cheksiz kichik bo'lgan Dx→ 0.
Ikki cheksiz kichik funktsiyaning mahsuloti bo'lgani uchun adx dan yuqori tartibli cheksiz kichikdir Dx(3 ta cheksiz kichik funktsiyaning xossasi), u holda yozishimiz mumkin:
Dy = A Dx +o(Dx).
Teorema. Funktsiyani bajarish uchun y=f(x) ma'lum bir nuqtada farqlanishi mumkin edi x, bu nuqtada uning cheklangan hosilasi bo'lishi zarur va etarli. Qayerda A=f′(x), ya'ni
Dy = f'(x) Dx +o(Dx).
Hosilni topish operatsiyasi odatda differentsiallash deb ataladi.
Teorema. Agar funktsiya y=f(x) x, keyin bu nuqtada uzluksiz bo'ladi.
Izoh. Funksiyaning uzluksizligidan y=f(x) ayni paytda x, umuman olganda, funksiyaning differentsialligi kuzatilmaydi f(x) ayni paytda. Masalan, funktsiya y=|x|- bir nuqtada uzluksiz x=0, lekin hosilasi yo'q.
Differensial funksiya haqida tushuncha
Ta'rif. Funktsional differentsial y=f(x) bu funktsiyaning hosilasi va mustaqil o'zgaruvchining o'sish ko'paytmasi deyiladi x:
dy = y′ Dx, df(x) = f′(x) Dx.
Funktsiya uchun y=x olamiz dy=dx=x′Dx = 1· Dx= Dx, ya'ni dx=Dx- mustaqil o'zgaruvchining differensialligi ushbu o'zgaruvchining o'sishiga teng.
Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
Differensial dy va oshirish dy funktsiyalari y=f(x) ayni paytda x, ikkalasi ham bir xil argument o'sishiga mos keladi Dx, umuman olganda, bir-biriga teng emas.
Differensialning geometrik ma'nosi: Argument oshirilganda funksiyaning differensialligi ushbu funksiya grafigiga teginish ordinatasining ortishiga teng. Dx.
Farqlash qoidalari
Teorema. Funktsiyalarning har biri bo'lsa u(x) Va v(x) ma'lum bir nuqtada farqlanadi x, so'ngra bu funktsiyalarning yig'indisi, farqi, mahsuloti va qismi (ko'rsatkich bo'lsa v(x)≠ 0) bu nuqtada ham farqlanadi va formulalar quyidagilarni o'z ichiga oladi:
Murakkab funktsiyani ko'rib chiqing y=f(ph(x))≡ F(x), Qayerda y=f(u), u=ph(x). Ushbu holatda u chaqirdi oraliq argument, x - mustaqil o'zgaruvchi.
Teorema. Agar y=f(u) Va u=ph(x) argumentlarining differensiallanuvchi funksiyalari, keyin esa kompleks funksiyaning hosilasi y=f(ph(x)) mavjud va bu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan mahsulotiga va mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga teng, ya'ni.
Izoh. Uch funktsiyaning superpozitsiyasi bo'lgan murakkab funktsiya uchun y=F(f(ph(x))), farqlash qoidasi shaklga ega
y' x = y' u u' v v' x,
qaerda funktsiyalar v=ph(x), u=f(v) Va y=F(u)- ularning argumentlarining differentsial funksiyalari.
Teorema. Funktsiyaga ruxsat bering y=f(x) oshadi (yoki kamayadi) va nuqtaning ba'zi qo'shnilarida uzluksizdir x 0. Bundan tashqari, ushbu funktsiya ko'rsatilgan nuqtada differentsial bo'lsin x 0 va bu nuqtada uning hosilasi f'(x 0) ≠ 0. Keyin tegishli nuqtaning ba'zi mahallalarida y0=f(x0) uchun teskarisi aniqlanadi y=f(x) funktsiyasi x=f -1 (y), va ko'rsatilgan teskari funktsiya mos keladigan nuqtada differentsiallanadi y0=f(x0) va bu nuqtada uning hosilasi uchun y formula haqiqiydir
Hosilalar jadvali
Birinchi differentsial shaklining o'zgarmasligi
Kompleks funktsiyaning differentsialini ko'rib chiqamiz. Agar y=f(x), x=ph(t)- ularning argumentlarining funktsiyalari differentsial bo'ladi, keyin funktsiyaning hosilasi y=f(ph(t)) formula bilan ifodalanadi
y' t = y' x x' t.
A-prior dy=y′ t dt, keyin olamiz
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y' x dx.
Shunday qilib, biz isbotladik
Funktsiyaning birinchi differentsial shaklining o'zgarmaslik xususiyati: argument bo'lganda bo'lgani kabi x mustaqil o'zgaruvchidir va argument bo'lgan holatda x o'zi yangi o'zgaruvchining differentsial funksiyasi, differentsialdir dy funktsiyalari y=f(x) bu funksiya hosilasining argumentning differentsialiga ko‘paytirilganiga teng dx.
Differensialni taxminiy hisoblarda qo'llash
Differensial ekanligini ko'rsatdik dy funktsiyalari y=f(x), umuman olganda, o'sishga teng emas dy bu funksiya. Biroq, kichiklikning yuqori tartibidagi cheksiz kichik funktsiyagacha Dx, taxminiy tenglik amal qiladi
Dy ≈ dy.
Nisbatan bu tenglik tengligining nisbiy xatosi deyiladi. Chunki Dy-dy=o(Dx), keyin bu tenglikning nisbiy xatosi kamayishi bilan kerakli darajada kichik bo'ladi |Dx|.
Shuni hisobga olib Dy=f(x+d x)-f(x), dy=f'(x)Dx, olamiz f(x+dx)-f(x) ≈ f'(x)Dx yoki
f(x+dx) ≈ f(x) + f'(x)Dx.
Bu taxminiy tenglik xato bilan ruxsat beradi o(Dx) funktsiyasini almashtiring f(x) bir nuqtaning kichik mahallasida x(masalan, kichik qiymatlar uchun Dx) argumentning chiziqli funksiyasi Dx o'ng tomonda turish.
Yuqori tartibli hosilalar
Ta'rif. Funktsiyaning ikkinchi hosilasi (yoki ikkinchi tartibli hosilasi). y=f(x) birinchi hosilasining hosilasi deyiladi.
Funktsiyaning ikkinchi hosilasi uchun belgi y=f(x):
Ikkinchi hosilaning mexanik ma'nosi. Agar funktsiya y=f(x) to'g'ri chiziqdagi moddiy nuqtaning harakat qonunini, keyin ikkinchi hosilani tasvirlaydi f″(x) harakatlanuvchi nuqtaning vaqt momentidagi tezlanishiga teng x.
Uchinchi va to'rtinchi hosilalar xuddi shunday aniqlanadi.
Ta'rif. n th lotin (yoki hosila n-chi tartib) funktsiyalari y=f(x) uning hosilasi deyiladi n-1 th hosilasi:
y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
Belgilar: y″', y IV, y V va hokazo.
\(y = (e^x)\) koʻrsatkichli funksiyaning hosilasi uchun hosila taʼrifidan foydalanib, ifoda toping.
Yechim.
Dastlabki qadamlar standartdir: birinchi navbatda, \(\Delta x\) argumentining o'sishiga mos keladigan \(\Delta y\) funksiyasining o'sishini yozing: \[ (\Delta y = y\left((x +) \Delta x) \o'ng) - y\left(x \o'ng) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta) x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] Hosil o'sish chegarasi sifatida hisoblanadi. nisbat: \[ (y"\left(x \o'ng ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_ (\Delta x \to 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \o'ng)))((\Delta x)).) \] Funktsiya Numeratordagi \(y = (e^x)\) D ga bog'liq emas x va u chegara belgisidan tashqarida olinishi mumkin. Keyin hosila quyidagi shaklni oladi: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Olingan chegarani \(L\) bilan belgilang va uni hisoblang. alohida. Aytgancha, \((e^0) = 1\) va shuning uchun biz \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta)) yozishimiz mumkin. x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0))) ((\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] ya'ni bu chegara ko'rsatkichli funktsiyaning nolga teng hosilasi qiymatidir. Binobarin, \ Istalgan hosila \(y = (e^x)\) funktsiyaning o'zi va \(x = 0\) nuqtadagi hosilasi bilan ifodalanadigan munosabatga ega bo'ldik. Buning uchun \(e\) soni cheksiz chegara sifatida aniqlanganligini eslaylik va \(e\) kuchi \(\Delta x\) mos ravishda teng bo'lishini isbotlaymiz. to \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \o'ng)^n) .\] Keyin biz mashhur formulani qo'llaymiz Nyuton binomiali va kirish chegarasi ostidagi ifodani kengaytiring binomial qator: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \o'ng)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left() (\ frac((\Delta x))(n)) \o'ng))^k)) .\] ). Evropa va Amerika darsliklarida kombinatsiyalar soni \ Limitimizga qaytaylik \(L\) sifatida belgilanadi, uni endi quyidagi shaklda yozish mumkin: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) ) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n) \to \infty ) \ left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \o'ng))^k) ) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] Bizga binomial qatordagi dastlabki ikkita hadni ajratib olish qulay: \(k = 0\) va \(k = 1 uchun) \). Natijada, biz \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0)) ni olamiz. )^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \o'ng))^k)) ) \o'ng] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x)) )(n )) \o'ng))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \o'ng))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \o'ng))^k)) ) \o'ng] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x)))(n ) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \o'ng))^k)) ) \o'ng] - 1 ))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k =) 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\ limits_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n ( C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \o'ng))^k)) ) \o'ng] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac(((\left((\Delta x)) \ o'ng)) ^(k - 1))))(((n^k)))) ) \right)) \o'ng].) \] Shubhasiz, qatorlar yig'indisi \(\Delta x) sifatida nolga intiladi. \dan 0\gacha). Shuning uchun, \(L = 1\). Bu \(y = (e^x)\) ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi funktsiyaning o'ziga teng ekanligini anglatadi: \
Geometriya, mexanika, fizika va boshqa bilim sohalarining turli muammolarini hal qilishda ushbu funktsiyadan bir xil analitik jarayondan foydalanish zarurati paydo bo'ldi. y=f(x) deb nomlangan yangi funktsiyani oling hosila funksiyasi(yoki oddiygina berilgan f(x) funksiyaning hosilasi va belgisi bilan belgilanadi
Berilgan funksiyadan kelib chiqadigan jarayon f(x) yangi xususiyatga ega bo'ling f" (x), chaqirildi farqlash va u quyidagi uch bosqichdan iborat: 1) dalil keltiring x oshirish
x va funktsiyaning mos keladigan o'sishini aniqlang
y = f(x+
x) -f(x); 2) munosabatni hosil qiling 
3) hisoblash x doimiy va
x0, topamiz 
, bu bilan belgilanadi f" (x), go'yo natijaviy funktsiya faqat qiymatga bog'liqligini ta'kidlaydi x, bunda biz chegaraga boramiz. Ta'rif:
y "=f" (x) hosilasi
y=f(x) funksiya berilgan
berilgan x uchun funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi deyiladi, agar argumentning o'sishi nolga moyil bo'lsa, agar, albatta, bu chegara mavjud bo'lsa, ya'ni. cheklangan. Shunday qilib, 
, yoki 
E'tibor bering, agar biron bir qiymat uchun x, masalan, qachon x=a, munosabat 
da
x0 chekli chegaraga moyil emas, u holda bu holda ular funktsiyani aytadilar f(x) da x=a(yoki nuqtada x=a) hosilasi yo‘q yoki nuqtada differensiallanmaydi x=a.
2. Hosilning geometrik ma’nosi.
x 0 nuqtaga yaqin joyda differensiallanuvchi y = f (x) funksiya grafigini ko‘rib chiqaylik.
f(x)
Funksiya grafigidagi nuqta - A(x 0, f (x 0)) nuqtadan o‘tuvchi va grafani qandaydir B(x;f(x)) nuqtada kesib o‘tuvchi ixtiyoriy to‘g‘ri chiziqni ko‘rib chiqaylik. Bunday chiziq (AB) sekant deb ataladi. ∆ABC dan: AC = ∆x; VS =∆u; tgb=∆y/∆x.
AC ||dan beri Ox, keyin ALO = BAC = b (parallel uchun mos ravishda). Lekin ALO - AB sekantining Ox o'qining musbat yo'nalishiga moyillik burchagi. Bu tanb = k AB to'g'ri chiziqning qiyaligi ekanligini anglatadi.
Endi biz ∆x ni kamaytiramiz, ya'ni. ∆x→ 0. Bunda B nuqta grafik bo‘yicha A nuqtaga yaqinlashadi, AB sekant esa aylanadi. AB sekantining ∆x→ 0 nuqtadagi chegaralovchi pozitsiyasi A nuqtadagi y = f (x) funktsiya grafigiga teginish deb ataladigan to'g'ri chiziq (a) bo'ladi.
Agar tgb =∆y/∆x tengligida ∆x → 0 sifatida chegaraga chiqsak, hosil bo‘ladi. 
ortg =f "(x 0), chunki 
-tangensning Ox o'qining musbat yo'nalishiga moyillik burchagi 
, hosila ta'rifi bilan. Lekin tg = k tangensning burchak koeffitsienti bo'lib, u k = tg = f "(x 0) ni bildiradi.
Shunday qilib, hosilaning geometrik ma'nosi quyidagicha:
Funksiyaning x nuqtadagi hosilasi 0 abscissa x nuqtada chizilgan funksiya grafigiga teginish qiyaligiga teng. 0 .
3. Hosilning fizik ma’nosi.
Nuqtaning to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatini ko‘rib chiqaylik. Nuqtaning istalgan vaqtda x(t) koordinatasi berilsin. Ma'lumki (fizika kursidan) ma'lum vaqt oralig'idagi o'rtacha tezlik bu vaqt davomida bosib o'tgan masofaning vaqtga nisbatiga teng, ya'ni.
Vav = ∆x/∆t. Oxirgi tenglikdagi chegaraga ∆t → 0 sifatida o‘tamiz.
lim Vav (t) = (t 0) - t 0, ∆t → 0 vaqtidagi oniy tezlik.
va lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (hosilning ta'rifi bo'yicha).
Demak, (t) =x"(t).
Hosilning fizik ma'nosi quyidagicha: funktsiyaning hosilasiy = f(x) nuqtadax 0 funktsiyaning o'zgarish tezligif(x) nuqtadax 0
Bu hosila fizikada koordinatalarning vaqtga nisbatan maʼlum funksiyasidan tezlikni, tezlikning vaqtga nisbatan maʼlum funksiyasidan tezlanishni topish uchun ishlatiladi.
(t) = x"(t) - tezlik,
a(f) = "(t) - tezlanish, yoki
Agar aylanadagi moddiy nuqtaning harakat qonuni ma'lum bo'lsa, u holda aylanish harakati paytida burchak tezligi va burchak tezlanishini topish mumkin:
ph = ph(t) - burchakning vaqt o'tishi bilan o'zgarishi,
ō = ph"(t) - burchak tezligi,
e = ph"(t) - burchak tezlanishi yoki e = ph"(t).
Agar bir jinsli bo'lmagan tayoqning massa taqsimot qonuni ma'lum bo'lsa, unda bir jinsli bo'lmagan tayoqning chiziqli zichligini topish mumkin:
m = m(x) - massa,
x , l - novda uzunligi,
p = m"(x) - chiziqli zichlik.
Hosildan foydalanib, elastiklik va garmonik tebranishlar nazariyasiga oid masalalar yechiladi. Shunday qilib, Guk qonuniga ko'ra
F = -kx, x - o'zgaruvchan koordinata, k - bahor elastiklik koeffitsienti. ō 2 =k/m qo‘yib, prujinali mayatnikning x"(t) + ō 2 x(t) = 0 differensial tenglamasini olamiz,
Bu erda ō = √k/√m tebranish chastotasi (l/c), k - kamon qattiqligi (H/m).
y" + ō 2 y = 0 ko'rinishdagi tenglama garmonik tebranishlar tenglamasi (mexanik, elektr, elektromagnit) deyiladi. Bunday tenglamalarning yechimi funktsiyadir.
y = Asin(ōt + ph 0) yoki y = Acos(ōt + ph 0), bu erda
A - tebranishlar amplitudasi, ō - siklik chastotasi,
ph 0 - dastlabki bosqich.
Matematikada fizik masalalar yoki misollarni yechish hosila va uni hisoblash usullarini bilmasdan turib mutlaqo mumkin emas. Hosila matematik tahlildagi eng muhim tushunchalardan biridir. Biz bugungi maqolani ushbu asosiy mavzuga bag'ishlashga qaror qildik. Hosila nima, uning fizik va geometrik ma'nosi nima, funktsiyaning hosilasi qanday hisoblanadi? Bu savollarning barchasini bittaga birlashtirish mumkin: lotinni qanday tushunish kerak?
Hosilning geometrik va fizik ma'nosi
Funktsiya bo'lsin f(x) , ma'lum bir oraliqda ko'rsatilgan (a, b) . X va x0 nuqtalari shu intervalga tegishli. X o'zgarganda, funktsiyaning o'zi o'zgaradi. Argumentni o'zgartirish - uning qiymatlaridagi farq x-x0 . Bu farq quyidagicha yoziladi delta x va argument ortishi deyiladi. Funktsiyaning o'zgarishi yoki ortishi - bu funktsiyaning ikki nuqtadagi qiymatlari orasidagi farq. lotin ta'rifi:
Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi - bu funksiyaning ma'lum nuqtadagi o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi, ikkinchisi nolga intiladi.
Aks holda shunday yozilishi mumkin:
Bunday chegarani topishning nima keragi bor? Va bu nima:
nuqtadagi funktsiyaning hosilasi OX o'qi orasidagi burchak tangensiga va berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginishga teng.
Hosilning fizik ma'nosi: yo'lning vaqtga nisbatan hosilasi to'g'ri chiziqli harakat tezligiga teng.
Darhaqiqat, maktab davridan beri hamma tezlikni o'ziga xos yo'l ekanligini biladi x=f(t) va vaqt t . Muayyan vaqt oralig'idagi o'rtacha tezlik:
Bir vaqtning o'zida harakat tezligini aniqlash t0 limitni hisoblashingiz kerak:
Birinchi qoida: doimiyni o'rnating
Konstantani hosila belgisidan chiqarish mumkin. Bundan tashqari, buni qilish kerak. Matematikadan misollarni yechayotganda, uni qoida sifatida qabul qiling - Agar siz ifodani soddalashtira olsangiz, uni soddalashtirishga ishonch hosil qiling .
Misol. Keling, hosilani hisoblaylik:
Ikkinchi qoida: funksiyalar yig'indisining hosilasi
Ikki funktsiya yig'indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalari yig'indisiga teng. Xuddi shu narsa funksiyalar farqining hosilasi uchun ham amal qiladi.
Biz bu teoremaning isbotini keltirmaymiz, balki amaliy misolni ko'rib chiqamiz.
Funktsiyaning hosilasini toping:
Uchinchi qoida: funksiyalar mahsulotining hosilasi
Ikki differentsiallanuvchi funktsiyaning hosilasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
Misol: funktsiyaning hosilasini toping:
Yechim: 
Bu yerda murakkab funksiyalarning hosilalarini hisoblash haqida gapirish muhim. Murakkab funktsiyaning hosilasi bu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasi va mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasi ko'paytmasiga teng.
Yuqoridagi misolda biz quyidagi iboraga duch kelamiz:
Bunday holda, oraliq argument beshinchi darajaga 8x. Bunday ifodaning hosilasini hisoblash uchun birinchi navbatda tashqi funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasini hisoblab chiqamiz, so'ngra mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga ko'paytiramiz.
To'rtinchi qoida: ikkita funktsiyaning ko'rsatkichining hosilasi
Ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasini aniqlash formulasi:
Biz noldan dummies uchun derivativlar haqida gapirishga harakat qildik. Bu mavzu ko'rinadigan darajada oddiy emas, shuning uchun ogohlantiring: misollarda ko'pincha tuzoqlar mavjud, shuning uchun lotinlarni hisoblashda ehtiyot bo'ling.
Ushbu va boshqa mavzular bo'yicha har qanday savollar bilan siz talabalar xizmatiga murojaat qilishingiz mumkin. Qisqa vaqt ichida biz sizga eng qiyin testni hal qilishda va vazifalarni tushunishda yordam beramiz, hatto siz ilgari hech qachon lotin hisob-kitoblarini qilmagan bo'lsangiz ham.
Eslash juda oson.
Xo'sh, uzoqqa bormaylik, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqaylik. Qaysi funksiya ko‘rsatkichli funktsiyaga teskari funksiya hisoblanadi? Logarifm:
Bizning holatda, asosiy raqam:
Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.
Nimaga teng? Albatta, .
Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:
Misollar:
- Funktsiyaning hosilasini toping.
- Funktsiyaning hosilasi nima?
Javoblar: Eksponensial va natural logarifm hosila nuqtai nazaridan juda oddiy funksiyalardir. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.
Farqlash qoidalari
Qanday qoidalar? Yana yangi atama, yana?!...
Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.
Ana xolos. Bu jarayonni bir so'z bilan yana nima deb atash mumkin? Hosil emas... Matematiklar differensialni funksiyaning bir xil o'sish qismi deb atashadi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerga.
Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Ularning o'sishi uchun bizga formulalar ham kerak bo'ladi:
Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.
Konstanta hosila belgisidan olinadi.
Agar - qandaydir doimiy son (doimiy), keyin.
Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .
Keling, buni isbotlaylik. Bo'lsin, yoki oddiyroq.
Misollar.
Funksiyalarning hosilalarini toping:
- nuqtada;
- nuqtada;
- nuqtada;
- nuqtada.
Yechimlar:
- (hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki u chiziqli funktsiyadir, esingizdami?);
Mahsulotning hosilasi
Bu erda hamma narsa o'xshash: keling, yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:
Hosil:
Misollar:
- va funksiyalarining hosilalarini toping;
- Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.
Yechimlar:
Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi
Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichlarni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (bu nima ekanligini hali unutdingizmi?).
Xo'sh, qandaydir raqam qaerda.
Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga qisqartirishga harakat qilaylik:
Buning uchun oddiy qoidadan foydalanamiz: . Keyin:
Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.
Bo'ldimi?
Mana, o'zingizni tekshiring:
Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: u xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.
Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:
Javoblar:
Bu shunchaki kalkulyatorsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni oddiyroq shaklda yozib bo'lmaydi. Shuning uchun biz uni javobda ushbu shaklda qoldiramiz.
E'tibor bering, bu erda ikkita funktsiyaning nisbati mavjud, shuning uchun biz mos keladigan farqlash qoidasini qo'llaymiz:
Ushbu misolda ikkita funktsiyaning mahsuloti:
Logarifmik funktsiyaning hosilasi
Bu erda ham xuddi shunday: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:
Shuning uchun, boshqa asosli ixtiyoriy logarifmni topish uchun, masalan:
Biz bu logarifmni bazaga qisqartirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:
Faqat hozir uning o'rniga yozamiz:
Maxraj oddiygina doimiy (o‘zgarmas son, o‘zgaruvchisiz). lotin juda oddiy olinadi:
Eksponensial va logarifmik funktsiyalarning hosilalari Yagona davlat imtihonida deyarli topilmaydi, ammo ularni bilish ortiqcha bo'lmaydi.
Murakkab funktsiyaning hosilasi.
"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, arktangent emas. Ushbu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi siz logarifmni qiyin deb bilsangiz, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va siz yaxshi bo'lasiz), lekin matematik nuqtai nazardan, "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.
Kichkina konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Natijada kompozitsion ob'ekt paydo bo'ladi: shokolad bari o'ralgan va lenta bilan bog'langan. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz teskari tartibda teskari qadamlarni bajarishingiz kerak.
Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda biz sonning kosinusini topamiz, so'ngra olingan sonning kvadratini olamiz. Shunday qilib, bizga raqam (shokolad) beriladi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (tasma bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funktsiyaga misol: uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni to'g'ridan-to'g'ri o'zgaruvchi bilan, so'ngra ikkinchi amalni birinchisidan kelib chiqqan holda bajaramiz.
Boshqa so'z bilan, murakkab funksiya - bu argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funksiya: .
Bizning misolimiz uchun, .
Xuddi shu amallarni teskari tartibda bemalol bajarishimiz mumkin: avval siz uni kvadratga aylantirasiz, keyin esa natijada olingan sonning kosinusini qidiraman: . Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Murakkab funktsiyalarning muhim xususiyati: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.
Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .
Oxirgi qilgan amalimiz chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).
Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini aniqlashga harakat qiling:
Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchilarni o'zgartirishga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada
- Avval qaysi harakatni bajaramiz? Birinchidan, sinusni hisoblab chiqamiz va shundan keyingina uni kubga aylantiramiz. Bu shuni anglatadiki, bu ichki funktsiya, lekin tashqi funktsiyadir.
Va asl vazifasi ularning tarkibi: . - Ichki: ; tashqi: .
Imtihon: . - Ichki: ; tashqi: .
Imtihon: . - Ichki: ; tashqi: .
Imtihon: . - Ichki: ; tashqi: .
Imtihon: .
Biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.
Xo'sh, endi biz shokolad barimizni ajratib olamiz va hosilani qidiramiz. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiya hosilasiga ko'paytiramiz. Asl misolga kelsak, u quyidagicha ko'rinadi:
Yana bir misol:
Shunday qilib, keling, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:
Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:
Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?
Keling, misollar bilan tekshiramiz:
Yechimlar:
1) ichki: ;
Tashqi: ;
2) ichki: ;
(Faqat hozircha uni kesishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqmaydi, esingizdami?)
3) ichki: ;
Tashqi: ;
Bu uch darajali murakkab funktsiya ekanligi darhol ayon bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiyadir va biz undan ildizni ham chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'rashga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: biz hali ham bu funktsiyani odatdagidek tartibda "ochamiz": oxiridan.
Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.
Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifoda qiymatini hisoblash uchun qanday tartibda amallarni bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:
Harakat qanchalik kech bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi avvalgisiga o'xshaydi:
Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.
1. Radikal ifoda. .
2. Ildiz. .
3. Sinus. .
4. Kvadrat. .
5. Hammasini birlashtirib:
HOSILA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA
Funktsiyaning hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishi uchun argumentning o'sishiga nisbati:
Asosiy hosilalar:
Farqlash qoidalari:
Konstanta hosila belgisidan olinadi:
Yig'indining hosilasi:
Mahsulot hosilasi:
Ko'rsatkichning hosilasi:
Murakkab funktsiyaning hosilasi:
Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:
- Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
- Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
- Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.
