03.07.202327.05.2017

Gerçek bir fonksiyonun aralıktaki Dirichlet koşullarını karşılamasına izin verin - L, L. Genişlemesini trigonometrik Fourier serisinde yazalım:

Eğer (10.1)'de hayali argümanın üstel fonksiyonunu ifade edersek:

sonra seriyi alırız

(10.2) nedeniyle

Son üç formül birleştirilebilir:

Katsayıları (10.4) olan seriye (10.3), karmaşık biçimde trigonometrik Fourier serisi denir.

Örnek 1. Karmaşık bir sayı olan fonksiyonu aralıktaki bir Fourier serisine genişletin.

Çözüm . Fourier katsayılarını bulalım:

O zamandan beri

Gerekli genişletme şu şekilde olacaktır:

nerede dikkate alınır

Parseval eşitliğinin seriye uygulanması (10.5)

başka bir sayı serisinin toplamını bulabilirsiniz. Gerçekten de bizim durumumuzda

Daha sonra (10.6)'dan şu sonuç çıkar:

Alıştırma 1. Bunu kanıtlayın

Not. (10.5) koyun X= 0 ve X = .

Alıştırma 2. Bunu ne zaman kanıtlayın

Fourier integrali

Fourier integralinin yakınsaması

Fonksiyon sayı doğrusunun tamamında tanımlansın. Keyfi bir sonlu aralıkta olduğunu varsayarsak - L, L verilen fonksiyon Dirichlet koşullarını karşılıyorsa, onu karmaşık biçimde trigonometrik Fourier serisiyle temsil edelim:

Sıklık k harmonikler; .

(11.2) ifadelerini (11.1)'e dahil ederek, şunu elde ederiz:

Boyutunda. Formül (11.3)'ün sağ tarafı, aralıktaki bir değişken üzerindeki bir fonksiyonun integral toplamına benzer. Bu nedenle, seri yerine (11.3)'teki limite geçtikten sonra integrali elde etmemizi bekleyebiliriz.

Formül (11.4)'e Fourier integral formülü, sağ tarafına ise Fourier integrali denir.

Formül (11.4)'ü türetmek için kullanılan mantık kesin değildir ve yalnızca fikir vericidir. Fourier integral formülünün geçerli olduğu koşullar, kanıt olmadan kabul ettiğimiz bir teorem tarafından belirlenir.

Teorem.Öncelikle fonksiyonun aralıkta tamamen integrallenebilir olmasına izin verin, yani. integral yakınsar ve ikinci olarak her sonlu aralıkta Dirichlet koşullarını karşılar (- L, L). O halde Fourier integrali her yerde (temel değer anlamında) şuna yakınsar: eşitlik (11.4) herkes için sağlanır X arasından. Burada, daha önce olduğu gibi, süreksizlik noktasında fonksiyonun değerinin, bu noktadaki tek taraflı limitlerinin toplamının yarısına eşit olduğu varsayılmaktadır.

Fourier dönüşümü

Fourier integral formülünü (11.4) aşağıdaki gibi dönüştürüyoruz. Hadi koyalım

Bir fonksiyon sürekli ise ve tüm eksen üzerinde mutlak olarak integrallenebilirse, o zaman fonksiyon aralıkta süreklidir. Gerçekten de o zamandan beri

ve sağdaki integral yakınsadığı için soldaki integral de yakınsar. dolayısıyla (12.1)'deki integral mutlak yakınsaktır. Eşitlik (12.2) herkes için aynı anda sağlanır, dolayısıyla integral (12.1)'e göre düzgün yakınsar. Bundan, fonksiyonun sürekli olduğu sonucu çıkar (tıpkı sürekli fonksiyonlardan oluşan bir serinin düzgün yakınsaklığının, toplamının sürekliliğini ima etmesi gibi).

(11.4)'ten şunu elde ederiz:

Formül (12.1) ile tanımlanan karmaşık fonksiyona, fonksiyonun Fourier dönüşümü veya Fourier dönüşümü denir. Formül (12.3) ise ters Fourier dönüşümü veya fonksiyonun ters görüntüsü olarak tanımlanır. Belirli bir fonksiyon için eşitlik (12.3), çözümü formül (12.1) ile verilen fonksiyona göre bir integral denklem olarak düşünülebilir. Ve tersine, belirli bir fonksiyon için integral denklemin (12.1) çözümü formül (12.3) ile verilmektedir.

Formül (12.3)'te ifade, nispeten konuşursak, aralık boyunca sürekli olarak dağıtılan frekanslara ve toplam karmaşık genliğe sahip bir karmaşık harmonikler paketini belirtir. Fonksiyona spektral yoğunluk denir. Formül (12.2), şu şekilde yazılmıştır:

Bir fonksiyonun, frekansları aralık boyunca dağıtılmış sürekli bir spektrum oluşturan harmonik paketlerin toplamına genişletilmesi olarak yorumlanabilir.

Parseval eşitlikleri. Sırasıyla ve gerçek fonksiyonların Fourier görüntüleri olsun ve olsun. Daha sonra

onlar. Skaler ürünler ve fonksiyonların normları Fourier dönüşümünün değişmezleridir. Bu ifadeyi kanıtlayalım. Sahip olduğumuz skaler çarpımın tanımı gereği. Fonksiyonu Fourier dönüşümü yoluyla ifadesi (12.3) ile değiştirerek şunu elde ederiz:

(12.1) sayesinde

Bu nedenle, yani. formül (12.4) kanıtlanmıştır. Formül (12.5), (12.4)'ten elde edilir.

Kosinüs ve sinüs Fourier dönüşümleri. Eğer gerçek bir fonksiyon çift ise, burada belirttiğimiz Fourier dönüşümü de gerçek bir çift fonksiyondur. Gerçekten mi,

Son integral, integralin tuhaflığından dolayı yok olur. Böylece,

Burada çift fonksiyonların (7.1) özelliğini kullanıyoruz.

(12.6)'dan, fonksiyonun gerçek olduğu ve (12.6)'ya yalnızca kosinüs yoluyla girdiği için eşit derecede bağımlı olduğu sonucu çıkar.

Bu durumda ters Fourier dönüşümünün formülü (12.3) şunu verir:

ve değişkenin sırasıyla çift ve tek fonksiyonları olduğundan, o zaman

Formüller (12.6) ve (12.7), Fourier kosinüs dönüşümünü tanımlar.

Benzer şekilde, eğer gerçek bir fonksiyon tek ise, o zaman onun Fourier dönüşümü, gerçek tek fonksiyonun olduğu yerdir. burada

(12.8), (12.9) eşitlikleri Fourier sinüs dönüşümünü tanımlar.

Formül (12.6) ve (12.8)'in yalnızca fonksiyon değerlerini içerdiğini unutmayın. Bu nedenle kosinüs ve sinüs Fourier dönüşümleri yarı sonsuz aralıkta tanımlanan bir fonksiyona da uygulanabilir. Bu durumda (12.7) ve (12.9) formüllerindeki integraller verilen fonksiyona ve onun çift ve tek devamlarında sırasıyla yakınsar.

Bunlar zaten oldukça sıkıcı. Ve teorinin stratejik rezervlerinden yeni konserve ürünleri çıkarma zamanının geldiğini hissediyorum. Fonksiyonu başka bir şekilde bir seriye genişletmek mümkün müdür? Örneğin, bir düz çizgi parçasını sinüs ve kosinüs cinsinden ifade edebilir misiniz? İnanılmaz görünüyor, ancak bu kadar uzak görünen işlevler
"yeniden birleşme". Teorik ve pratikteki bilinen derecelere ek olarak, bir fonksiyonu bir seriye genişletmeye yönelik başka yaklaşımlar da vardır.

Bu dersimizde trigonometrik Fourier serilerini tanıyacağız, yakınsaklığı ve toplamı konusuna değineceğiz ve elbette Fourier serilerinde fonksiyonların açılımına ilişkin çok sayıda örneği analiz edeceğiz. Makaleyi içtenlikle “Aptallar için Fourier Serisi” olarak adlandırmak istedim, ancak bu samimiyetsiz olurdu çünkü problemleri çözmek, diğer matematiksel analiz dalları hakkında bilgi ve biraz pratik deneyim gerektirecektir. Dolayısıyla giriş kısmı astronot eğitimine benzeyecek =)

Öncelikle sayfa materyallerinin incelenmesine mükemmel biçimde yaklaşmalısınız. Uykulu, dinlenmiş ve ayık. Kırık bir hamster bacağına dair güçlü duygular ve akvaryum balıkları için yaşamın zorluklarına dair takıntılı düşünceler olmadan. Fourier serisini anlamak zor değil, ancak pratik görevler sadece daha fazla dikkat konsantrasyonu gerektirir - ideal olarak kendinizi dış uyaranlardan tamamen ayırmalısınız. Çözümü kontrol etmenin ve cevaplamanın kolay bir yolu olmadığı için durum daha da kötüleşiyor. Bu nedenle sağlığınız ortalamanın altındaysa daha basit bir şey yapmak daha iyidir. Bu doğru mu.

İkincisi, uzaya uçmadan önce uzay aracının gösterge panelini incelemek gerekir. Makinede tıklanması gereken fonksiyonların değerleriyle başlayalım:

Herhangi bir doğal değer için:

1). Aslında sinüzoid, x eksenini her bir "pi" boyunca "diker":
. Argümanın negatif değerleri durumunda sonuç elbette aynı olacaktır: .

2). Ancak bunu herkes bilmiyordu. Kosinüs "pi" bir "yanıp sönen" değere eşdeğerdir:

Olumsuz bir argüman meseleyi değiştirmez: .

Belki bu yeterlidir.

Ve üçüncü olarak, sevgili kozmonot birlikleri, şunları yapabilmelisiniz... birleştirmek.
Özellikle güvenle fonksiyonu diferansiyel işareti altına alın, parça parça entegre etmek ve barış içinde ol Newton-Leibniz formülü. Önemli uçuş öncesi egzersizlere başlayalım. Daha sonra ağırlıksızlıkta ezilmemek için kategorik olarak atlamanızı önermiyorum:

örnek 1

Belirli integralleri hesaplayın

doğal değerleri nereden alır?

Çözüm: “x” değişkeni üzerinden entegrasyon yapılır ve bu aşamada ayrık değişken “en” sabit kabul edilir. Tüm integrallerde fonksiyonu diferansiyel işaretinin altına koyun:

Hedeflenmesi iyi olacak çözümün kısa versiyonu şöyle görünür:

Hadi alışalım:

Geriye kalan dört puan size aittir. Göreve dikkatli yaklaşmaya çalışın ve integralleri kısa bir şekilde yazın. Dersin sonunda örnek çözümler.

KALİTE egzersizlerini yaptıktan sonra uzay kıyafetlerini giyiyoruz
ve başlamaya hazırlanıyoruz!

Bir fonksiyonun aralıkta Fourier serisine genişletilmesi

Bazı işlevleri düşünün azimli en azından bir süreliğine (ve muhtemelen daha uzun bir süre için). Bu fonksiyon aralıkta integrallenebilirse trigonometrik fonksiyona genişletilebilir. Fourier serisi:
, sözde olanlar nerede Fourier katsayıları.

Bu durumda numara aranır ayrışma dönemi ve sayı ayrışmanın yarı ömrü.

Genel durumda Fourier serisinin sinüs ve kosinüslerden oluştuğu açıktır:

Aslında detaylı olarak yazalım:

Serinin sıfır terimi genellikle şeklinde yazılır.

Fourier katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

Konuyu incelemeye başlayanların yeni terimler konusunda hâlâ net olmadıklarını gayet iyi anlıyorum: ayrışma dönemi, yarım döngü, Fourier katsayıları Panik yapmayın, uzaya çıkmadan önceki heyecanla kıyaslanamaz bu. Acil pratik sorular sormanın mantıklı olduğu, uygulamadan önce aşağıdaki örnekteki her şeyi anlayalım:

Aşağıdaki görevlerde ne yapmanız gerekiyor?

Fonksiyonu Fourier serisine genişletin. Ek olarak, genellikle bir fonksiyonun grafiğini, bir serinin toplamının grafiğini, kısmi bir toplamı tasvir etmek ve karmaşık profesörlük fantezileri durumunda başka bir şey yapmak gerekir.

Bir fonksiyon Fourier serisine nasıl genişletilir?

Esasen, bulmanız gerekiyor Fourier katsayıları yani üç tane oluştur ve hesapla kesin integral.

Lütfen Fourier serisinin genel formunu ve üç çalışma formülünü not defterinize kopyalayın. Bazı site ziyaretçilerinin çocukluk hayalleri olan astronot olma hayalini gözlerimin önünde gerçekleştirmelerine çok sevindim =)

Örnek 2

Fonksiyonu aralıktaki Fourier serisine genişletin. Bir serinin toplamı ve kısmi toplamın grafiğini oluşturun.

Çözüm: Görevin ilk kısmı fonksiyonu Fourier serisine genişletmektir.

Başlangıç standarttır, şunu yazdığınızdan emin olun:

Bu problemde genişleme periyodu yarım periyottur.

Fonksiyonu aralıkta bir Fourier serisine genişletelim:

Uygun formülleri kullanarak şunu buluruz: Fourier katsayıları. Şimdi üçünü oluşturup hesaplamamız gerekiyor kesin integral. Kolaylık sağlamak için noktaları numaralandıracağım:

1) İlk integral en basitidir ancak aynı zamanda gözbebekleri de gerektirir:

2) İkinci formülü kullanın:

Bu integral iyi bilinmektedir ve onu parça parça alıyor:

Bulunduğunda kullanılır bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına alma yöntemi.

Söz konusu görevde hemen kullanmak daha uygundur Belirli bir integralde parçalara göre entegrasyon formülü :

Birkaç teknik not. Formülü uyguladıktan sonra öncelikle ifadenin tamamı büyük parantez içine alınmalıdırÇünkü orijinal integralden önce bir sabit vardır. Onu kaybetmeyelim! Parantezler herhangi bir aşamada genişletilebilir; bunu son çare olarak yaptım. İlk "parça"da Yer değiştirmede çok dikkatli davranıyoruz, gördüğünüz gibi sabit kullanılmıyor, integralin sınırları çarpıma aktarılıyor. Bu eylem köşeli parantez içinde vurgulanır. Formülün ikinci “parçasının” integralini eğitim görevinden biliyorsunuz;-)

Ve en önemlisi aşırı konsantrasyon!

3) Üçüncü Fourier katsayısını arıyoruz:

Önceki integralin bir akrabası elde edilir; bu aynı zamanda parça parça bütünleşir:

Bu örnek biraz daha karmaşık, sonraki adımlar hakkında adım adım yorum yapacağım:

(1) İfade tamamen büyük parantez içine alınmıştır. Sıkıcı görünmek istemedim, sabitleri çok sık kaybediyorlar.

(2) Bu durumda hemen bu büyük parantezleri açtım. Özel dikkat Kendimizi ilk "parçaya" adadık: sürekli kenarda sigara içiyor ve ürüne entegrasyon sınırlarının ( ve ) değiştirilmesine katılmıyor. Kaydın yoğunluğu nedeniyle bu eylemin köşeli parantezlerle vurgulanması tavsiye edilir. İkinci "parça" ile her şey daha basit: burada kesir büyük parantezlerin açılmasından sonra ortaya çıktı ve sabit - tanıdık integralin entegrasyonunun bir sonucu olarak ;-)

(3) Köşeli parantezlerde dönüşümler gerçekleştiriyoruz ve sağ integralde entegrasyon sınırlarının yerine koyuyoruz.

(4) "Yanıp sönen ışığı" köşeli parantezlerden kaldırıyoruz: ve ardından iç parantezleri açıyoruz: .

(5) Parantez içindeki 1 ve –1’i iptal edip son sadeleştirmeleri yapıyoruz.

Son olarak, üç Fourier katsayısının tümü bulunur:

Bunları formülde yerine koyalım :

Aynı zamanda ikiye bölmeyi de unutmayın. Son adımda “en”e bağlı olmayan sabit (“eksi iki”) toplamın dışına alınır.

Böylece fonksiyonun aralıkta Fourier serisine genişletilmesini elde ettik:

Fourier serisinin yakınsaklığı konusunu inceleyelim. Teoriyi özellikle açıklayacağım Dirichlet teoremi, kelimenin tam anlamıyla "parmaklarda", bu nedenle katı formülasyonlara ihtiyacınız varsa, lütfen matematiksel analiz ders kitabına bakın. (örneğin Bohan'ın 2. cildi ya da Fichtenholtz'un 3. cildi ama daha zordur).

Problemin ikinci kısmı bir grafik, bir seri toplamı grafiği ve kısmi toplam grafiği çizmeyi gerektirir.

Fonksiyonun grafiği olağandır uçakta düz çizgi, siyah noktalı bir çizgiyle çizilmiştir:

Serinin toplamını bulalım. Bildiğiniz gibi fonksiyon serileri fonksiyonlara yakınsar. Bizim durumumuzda oluşturulan Fourier serisi herhangi bir "x" değeri için kırmızıyla gösterilen fonksiyona yakınlaşacaktır. Bu fonksiyon tolere eder 1. tür yırtılmalar noktalarda, ancak aynı zamanda bu noktalarda da tanımlanmıştır (çizimde kırmızı noktalar)

Böylece: . Orijinal işlevden gözle görülür derecede farklı olduğunu görmek kolaydır, bu nedenle girişte Eşittir işareti yerine yaklaşık işareti kullanılır.

Bir serinin toplamını oluşturmaya uygun bir algoritmayı inceleyelim.

Merkezi aralıkta, Fourier serisi fonksiyonun kendisine yakınsar (merkezdeki kırmızı bölüm, doğrusal fonksiyonun siyah noktalı çizgisiyle çakışır).

Şimdi ele alınan trigonometrik genişlemenin doğasından biraz bahsedelim. Fourier serisi yalnızca periyodik fonksiyonları (sabit, sinüsler ve kosinüsler) içerir, dolayısıyla serinin toplamı aynı zamanda periyodik bir fonksiyondur.

Özel örneğimizde bu ne anlama geliyor? Bu da serinin toplamı anlamına geliyor –kesinlikle periyodik ve aralığın kırmızı kısmı solda ve sağda sonsuza kadar tekrarlanmalıdır.

Sanırım artık “çözünme dönemi” deyiminin anlamı netleşti. Basitçe söylemek gerekirse, durum her seferinde tekrar tekrar tekrarlanır.

Pratikte, çizimde yapıldığı gibi, genellikle üç ayrışma periyodunu tasvir etmek yeterlidir. Ayrıca komşu dönemlerin "kütükleri" - böylece grafiğin devam ettiği açıktır.

Özellikle ilgi çekici olanlar 1. tür süreksizlik noktaları. Bu tür noktalarda Fourier serisi, süreksizliğin "sıçramasının" tam ortasında bulunan (çizimdeki kırmızı noktalar) izole edilmiş değerlere yakınsar. Bu noktaların ordinatını nasıl öğrenebilirim? Öncelikle “üst katın” koordinatını bulalım: bunun için genişlemenin merkezi periyodunun en sağ noktasındaki fonksiyonun değerini hesaplıyoruz: . “Alt katın” koordinatını hesaplamanın en kolay yolu aynı periyodun en soldaki değerini almaktır: . Ortalama değerin ordinatı, “üst ve alt” toplamının aritmetik ortalamasıdır: . Hoş bir gerçek şu ki, bir çizim oluştururken ortanın doğru mu yoksa yanlış mı hesaplandığını hemen göreceksiniz.

Serinin kısmi bir toplamını oluşturalım ve aynı zamanda "yakınsaklık" teriminin anlamını tekrarlayalım. Sebep aynı zamanda dersten de bilinmektedir. bir sayı serisinin toplamı. Zenginliğimizi ayrıntılı olarak anlatalım:

Kısmi bir toplam oluşturmak için serinin sıfır + iki terimini daha yazmanız gerekir. Yani,

Çizimde fonksiyonun grafiği yeşil renkle gösterilmiştir ve görebileceğiniz gibi tam toplamı oldukça sıkı bir şekilde "sarar". Serinin beş teriminin kısmi toplamını düşünürsek, o zaman bu fonksiyonun grafiği kırmızı çizgilere daha doğru bir şekilde yaklaşacaktır; eğer yüz terim varsa o zaman "yeşil yılan" aslında kırmızı bölümlerle tamamen birleşecektir, vesaire. Böylece Fourier serisi toplamına yakınsar.

Herhangi bir kısmi tutarın olduğunu belirtmek ilginçtir. sürekli fonksiyon ancak serinin toplam toplamı hala süreksizdir.

Pratikte kısmi toplam grafiği oluşturmak o kadar da nadir değildir. Nasıl yapılır? Bizim durumumuzda segment üzerindeki fonksiyonu dikkate almak, segmentin uçlarındaki ve ara noktalardaki değerlerini hesaplamak gerekir (ne kadar çok noktayı dikkate alırsanız grafik o kadar doğru olur). Daha sonra çizim üzerinde bu noktaları işaretlemeli ve periyot üzerinde dikkatlice bir grafik çizmeli ve ardından onu bitişik aralıklara "çoğaltmalısınız". Başka nasıl? Sonuçta, yaklaşıklık aynı zamanda periyodik bir fonksiyondur... ...bazı açılardan grafiği bana tıbbi bir cihazın ekranındaki eşit kalp ritmini hatırlatıyor.

İnşaatı yapmak elbette pek uygun değil, çünkü son derece dikkatli olmanız ve yarım milimetreden az olmayan bir doğruluğu korumanız gerekiyor. Ancak çizim konusunda rahat olmayan okuyucuları memnun edeceğim - "gerçek" bir problemde çizim yapmak her zaman gerekli değildir; vakaların yaklaşık% 50'sinde fonksiyonun Fourier serisine genişletilmesi gerekir ve hepsi bu. .

Çizimi tamamladıktan sonra görevi tamamlıyoruz:

Cevap:

Birçok görevde işlev zarar görür 1. tür yırtılma tam ayrışma döneminde:

Örnek 3

Aralıkta verilen fonksiyonu Fourier serisine genişletin. Fonksiyonun ve serinin toplam toplamının grafiğini çizin.

Önerilen fonksiyon parçalı olarak belirtilmiştir (ve yalnızca segmentte olduğunu unutmayın) ve dayanır 1. tür yırtılma noktada . Fourier katsayılarını hesaplamak mümkün mü? Sorun değil. Fonksiyonun hem sol hem de sağ tarafı kendi aralıklarında integrallenebilir olduğundan, üç formülün her birindeki integraller iki integralin toplamı olarak temsil edilmelidir. Örneğin sıfır katsayı için bunun nasıl yapıldığını görelim:

İkinci integralin sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı, bu da işi azalttı, ancak durum her zaman böyle değildir.

Diğer iki Fourier katsayısı da benzer şekilde açıklanmaktadır.

Bir serinin toplamı nasıl gösterilir? Sol aralıkta düz bir çizgi parçası çiziyoruz ve aralıkta düz bir çizgi parçası çiziyoruz (eksenin bölümünü kalın ve kalın harflerle vurguluyoruz). Yani genişleme aralığında serinin toplamı üç “kötü” nokta dışında her yerde fonksiyonla çakışmaktadır. Fonksiyonun süreksizlik noktasında Fourier serisi, süreksizliğin "sıçramasının" tam ortasında yer alan izole bir değere yakınlaşacaktır. Bunu sözlü olarak görmek zor değil: sol taraf sınırı: , sağ taraf sınırı: ve açıkçası orta noktanın ordinatı 0,5'tir.

Toplamın periyodikliği nedeniyle, resmin bitişik dönemlere "çarpılması" gerekir, özellikle aynı şeyin aralıklarda ve . Aynı zamanda Fourier serisi bazı noktalarda medyan değerlere yakınlaşacaktır.

Aslında burada yeni bir şey yok.

Bu görevle kendiniz başa çıkmaya çalışın. Nihai tasarımın yaklaşık bir örneği ve dersin sonunda bir çizim.

Bir fonksiyonun keyfi bir periyotta Fourier serisine genişletilmesi

"El"in herhangi bir pozitif sayı olduğu keyfi bir genişleme periyodu için, Fourier serisi ve Fourier katsayılarına ilişkin formüller, sinüs ve kosinüs için biraz daha karmaşık bir argümanla farklılık gösterir:

Eğer öyleyse, başladığımız aralık formüllerini elde ederiz.

Sorunu çözmeye yönelik algoritma ve ilkeler tamamen korunur, ancak hesaplamaların teknik karmaşıklığı artar:

Örnek 4

Fonksiyonu Fourier serisine genişletin ve toplamı çizin.

Çözüm: aslında Örnek No. 3'ün bir analogu 1. tür yırtılma noktada . Bu problemde genişleme periyodu yarım periyottur. Fonksiyon yalnızca yarım aralıkta tanımlanır, ancak bu durumu değiştirmez; fonksiyonun her iki parçasının da integrallenebilir olması önemlidir.

Fonksiyonu Fourier serisine genişletelim:

Fonksiyon orijinde süreksiz olduğundan, her Fourier katsayısı açıkça iki integralin toplamı olarak yazılmalıdır:

1) İlk integrali mümkün olduğunca ayrıntılı olarak yazacağım:

2) Ay'ın yüzeyine dikkatlice bakıyoruz:

İkinci integral parça parça al:

Çözümün devamını yıldız işaretiyle açtıktan sonra nelere dikkat etmeliyiz?

Öncelikle ilk integrali kaybetmeyiz , hemen yürüteceğimiz yer diferansiyel işaretine abone olmak. İkinci olarak, büyük parantezlerin önündeki talihsiz sabiti unutmayın ve işaretlere aldanmayın formülü kullanırken. Büyük braketlerin bir sonraki adımda hemen açılması daha da uygundur.

Gerisi bir teknik meselesidir; zorluklar yalnızca integrallerin çözümündeki yetersiz deneyimden kaynaklanabilir.

Evet, Fransız matematikçi Fourier'in seçkin meslektaşlarının öfkeli olması boşuna değildi - fonksiyonları trigonometrik seriler halinde düzenlemeye nasıl cesaret etti?! =) Bu arada, muhtemelen herkes söz konusu görevin pratik anlamı ile ilgileniyor. Fourier'in kendisi termal iletkenliğin matematiksel bir modeli üzerinde çalıştı ve daha sonra onun adını taşıyan seri, çevredeki dünyada görünen ve görünmeyen birçok periyodik süreci incelemek için kullanılmaya başlandı. Şimdi bu arada ikinci örneğin grafiğini kalbin periyodik ritmiyle karşılaştırmamın tesadüf olmadığını düşünürken yakaladım kendimi. İlgilenenler pratik uygulamaya aşina olabilirler Fourier dönüşümüüçüncü taraf kaynaklarda. ...Gerçi yapmamak daha iyi - İlk Aşk olarak hatırlanacak =)

3) Defalarca bahsedilen zayıf halkaları dikkate alarak üçüncü katsayıya bakalım:

Parçalara göre integral alalım:

Bulunan Fourier katsayılarını formülde yerine koyalım sıfır katsayısını ikiye bölmeyi unutmadan:

Serinin toplamını çizelim. İşlemi kısaca tekrarlayalım: Bir aralıkta düz bir çizgi, bir aralıkta da düz bir çizgi çiziyoruz. "X" değeri sıfırsa, boşluğun "atlama" noktasının ortasına bir nokta koyarız ve grafiği bitişik dönemler için "çoğaltırız":

Dönemlerin "kavşaklarında" toplam, aynı zamanda aralığın "sıçramasının" orta noktalarına da eşit olacaktır.

Hazır. Size fonksiyonun kendisinin yalnızca yarım aralıkta tanımlanan koşula göre olduğunu ve açıkça aralıklardaki serilerin toplamı ile çakıştığını hatırlatmama izin verin.

Cevap:

Bazen parçalı olarak verilen bir fonksiyon genişleme periyodu boyunca süreklidir. En basit örnek: . Çözüm (bkz. Bohan cilt 2)önceki iki örnektekiyle aynı: buna rağmen fonksiyonun sürekliliği noktasında her Fourier katsayısı iki integralin toplamı olarak ifade edilir.

Ayrıştırma aralığında 1. tür süreksizlik noktaları ve/veya grafiğin daha fazla "birleşim" noktası olabilir (iki, üç ve genellikle herhangi biri) son miktar). Bir fonksiyon her bir parça üzerinde integrallenebilirse, o zaman Fourier serisinde de genişletilebilir. Ancak pratik deneyimlerime dayanarak bu kadar acımasız bir şey hatırlamıyorum. Bununla birlikte, az önce ele alınanlardan daha zor görevler vardır ve makalenin sonunda herkes için artan karmaşıklığa sahip Fourier serisine bağlantılar bulunmaktadır.

Bu arada rahatlayalım, sandalyelerimize yaslanalım ve yıldızların uçsuz bucaksız genişliğini düşünelim:

Örnek 5

Fonksiyonu aralıkta bir Fourier serisine genişletin ve serinin toplamını çizin.

Bu problemde fonksiyon sürekliçözümü basitleştiren genişleme yarı aralığında. Her şey Örnek No. 2'ye çok benzer. Uzay gemisinden kaçış yok - karar vermeniz gerekecek =) Dersin sonunda yaklaşık bir tasarım örneği, bir program eklenmiştir.

Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı

Çift ve tek işlevlerle, sorunu çözme süreci gözle görülür şekilde basitleştirilmiştir. Ve bu yüzden. Bir fonksiyonun periyodu "iki pi" olan Fourier serisindeki açılımına dönelim. ve keyfi nokta “iki el” .

Fonksiyonumuzun eşit olduğunu varsayalım. Gördüğünüz gibi serinin genel terimi çift kosinüsleri ve tek sinüsleri içeriyor. Ve eğer bir ÇİFT fonksiyonunu genişletiyorsak o zaman neden tek sinüslere ihtiyacımız var?! Gereksiz katsayıyı sıfırlayalım: .

Böylece, Fourier serisinde eşit bir fonksiyon yalnızca kosinüs cinsinden genişletilebilir:

Çünkü çift fonksiyonların integralleri sıfıra göre simetrik olan bir entegrasyon bölümü boyunca iki katına çıkarılabilir, ardından geri kalan Fourier katsayıları basitleştirilir.

Boşluk için:

Rastgele bir aralık için:

Matematiksel analizle ilgili hemen hemen her ders kitabında bulunabilecek ders kitabı örnekleri, çift fonksiyonların açılımlarını içerir. . Ayrıca kişisel pratiğimde birkaç kez karşılaştım:

Örnek 6

Fonksiyon verilmiştir. Gerekli:

1) fonksiyonu, keyfi bir pozitif sayı olan nokta ile bir Fourier serisine genişletin;

2) Aralığın açılımını yazın, bir fonksiyon oluşturun ve serinin toplam toplamının grafiğini çizin.

Çözüm: ilk paragrafta sorunun genel biçimde çözülmesi öneriliyor ve bu çok uygun! İhtiyaç duyulursa değerinizi değiştirin.

1) Bu problemde genişleme periyodu yarım periyottur. Daha sonraki eylemler sırasında, özellikle entegrasyon sırasında "el" sabit olarak kabul edilir

Fonksiyon çifttir, yani Fourier serisine yalnızca kosinüs cinsinden genişletilebilir: .

Formülleri kullanarak Fourier katsayılarını arıyoruz . Koşulsuz avantajlarına dikkat edin. İlk olarak entegrasyon genişlemenin pozitif segmenti üzerinden gerçekleştirilir, bu da modülden güvenli bir şekilde kurtulduğumuz anlamına gelir , iki parçanın yalnızca “X”i dikkate alınarak. İkincisi, entegrasyon gözle görülür şekilde basitleştirildi.

İki:

Parçalara göre integral alalım:

Böylece:
, “en”e bağlı olmayan sabit ise toplamın dışına alınır.

Cevap:

2) Aralığın açılımını yazalım; bunun için gerekli yarım dönem değerini genel formülde yerine koyarız:

Trigonometrik Fourier serisi formun dizisi denir

A0 /2 + A 1 çünkü X + B 1 günah X + A 2cos2 X + B 2 günah2 X + ... + A astsubaylar nx + B günah nx + ...

sayılar nerede A0 , A 1 , B 1 , A 2 , B 2 , ..., A N, B N... - Fourier katsayıları.

Fourier serisinin "sigma" sembolüyle daha yoğun bir temsili:

Az önce kurduğumuz gibi kuvvet serilerinin aksine Fourier serilerinde en basit fonksiyonlar yerine trigonometrik fonksiyonlar alınır

1/2,çünkü X,günah X,cos2 X, günah2 X, ..., çünkü nx,günah nx, ... .

Fourier katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

Fourier serisindeki yukarıdaki fonksiyonların tümü periyodu 2 olan periyodik fonksiyonlardır. π . Trigonometrik Fourier serisinin her terimi periyodik bir fonksiyondur 2. periyot ile π .

Bu nedenle Fourier serisinin herhangi bir kısmi toplamının periyodu 2'dir. π . Bundan şu sonuç çıkıyor ki eğer Fourier serisi şu aralıkta yakınsarsa [- π , π ] , sonra tüm sayı doğrusunda yakınsar ve periyodik kısmi toplamlar dizisinin limiti olan toplamı, periyodu 2 olan periyodik bir fonksiyondur. π .

Fourier serilerinin yakınsaklığı ve seri toplamı

Fonksiyona izin ver F(X) tüm sayı doğrusunda tanımlanmış ve periyot 2 ile periyodik π , fonksiyonun periyodik bir devamıdır F(X) eğer segmentteyse [- π , π ] meydana gelmek F(X) = F(X)

Eğer segmentteyse [- π , π ] Fourier serisi fonksiyona yakınsar F(X) daha sonra tüm sayı doğrusu üzerinde periyodik devamına yakınsar.

Bir fonksiyonun Fourier serisinin hangi koşullar altında olduğu sorusunun cevabı F(X) bu fonksiyona yakınsarsa aşağıdaki teoremi verir.

Teorem. Fonksiyona izin ver F(X) ve türevi F"(X) - segmentte sürekli [- π , π ] veya üzerinde 1. türden sonlu sayıda süreksizlik noktası var. Daha sonra fonksiyonun Fourier serisi F(X) sayı doğrusu üzerinde ve her noktada yakınsar X, segmente ait [- π , π ] , burada F(X) süreklidir, serilerin toplamı eşittir F(X) ve her noktada X0 fonksiyonun süreksizliğinin serilerinin toplamı fonksiyonun limitlerinin aritmetik ortalamasına eşittir F(X) sağ ve sol:

Nerede Ve .

Segmentin sonlarında [- π , π ] serinin toplamı, genişleme periyodunun en sol ve en sağ noktalarındaki fonksiyon değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir:

Herhangi bir noktada X, segmente ait [- π , π ] , Fourier serisinin toplamı şuna eşittir: F(X) , Eğer X- süreklilik noktası F(X) ve limitlerin aritmetik ortalamasına eşittir F(X) sol ve sağ:

Eğer X- kırılma noktası F(X) , Nerede F(X) - periyodik devam F(X) .

Örnek 1. Periyodik fonksiyon F(X) periyod 2 ile π şu şekilde tanımlanır:

Daha basit olarak bu fonksiyon şu şekilde yazılır: F(X) = |X| . Fonksiyonu Fourier serisine genişletin, serinin yakınsaklığını ve serinin toplamını belirleyin.

Çözüm. Bu fonksiyonun Fourier katsayılarını belirleyelim:

Artık bu fonksiyonun Fourier serisini elde etmek için her şeye sahibiz:

Bu seri her noktada yakınsar ve toplamı verilen fonksiyona eşittir.

Fourier serisi problemini kendiniz çözün ve ardından çözüme bakın.

Çift ve tek fonksiyonlar için Fourier serileri

Fonksiyona izin ver F(X) segmentinde tanımlanır [- π , π ] ve eşittir, yani. F(- X) = F(X) . Daha sonra katsayıları BN sıfıra eşittir. Ve katsayılar için AN Aşağıdaki formüller doğrudur:

Şimdi fonksiyona izin ver F(X) segmentte tanımlanmış [- π , π ] , tuhaf, yani F(X) = -F(- X) . Daha sonra Fourier katsayıları AN sıfıra eşittir ve katsayılar BN formülle belirlenir

Yukarıda türetilen formüllerden de görülebileceği gibi, eğer fonksiyon F(X) çift ise Fourier serisi yalnızca kosinüsleri içerir ve tekse yalnızca sinüsleri içerir.

Örnek 3.

Çözüm. Bu tek bir fonksiyondur, dolayısıyla Fourier katsayıları eşittir ve bulmak için belirli integrali hesaplamanız gerekir:

Bu eşitlik herkes için geçerlidir. Noktalarda, ikinci paragrafta verilen teoreme göre Fourier serilerinin toplamı, fonksiyonun değerleriyle örtüşmemektedir ancak şuna eşittir: . Segmentin dışında serinin toplamı fonksiyonun periyodik devamıdır; grafiği yukarıda serinin toplamını göstermek amacıyla verilmiştir.

Örnek 4. Fonksiyonu Fourier serisine genişletin.

Çözüm. Bu bir çift fonksiyon olduğundan Fourier katsayıları şöyledir ve bulmak için belirli integralleri hesaplamanız gerekir:

Bu fonksiyonun Fourier serisini elde ederiz:

Bu eşitlik herhangi biri için geçerlidir, çünkü bu durumda Fourier serisinin toplamı bazı noktalarda fonksiyonun değerleriyle çakışmaktadır, çünkü .

Herhangi bir ortogonal fonksiyon sistemi için Fourier serileri

Aralıkta sürekli olan fonksiyonların sırası [ A,B], isminde segmentteki ortogonal fonksiyon sistemi[A,B], eğer dizinin tüm fonksiyonları bu parça üzerinde ikili dik ise, yani eğer

Sistem, segment üzerinde ortogonal ve normalize edilmiş (ortonormal) olarak adlandırılır,

koşul yerine getirilirse

Şimdi izin ver F(X) - [ aralığında sürekli olan herhangi bir fonksiyon A,B]. Fourier yakınında böyle bir fonksiyon F(X) segmentte [ A,B] ortogonal sisteme göre satır denir:

katsayıları eşitlikle belirlenir:

N=1,2,...

Eğer aralıkta ortogonal bir fonksiyon sistemi varsa [ A,B] ortonormal, bu durumda

Nerede N=1,2,...

Şimdi izin ver F(X) - sürekli olan veya parça üzerinde birinci türden sonlu sayıda süreksizlik noktasına sahip olan herhangi bir fonksiyon [ A,B] Böyle bir fonksiyonun Fourier serisi F(X) aynı segmentte

ortogonal sisteme göre seri şöyle adlandırılır:

Fonksiyonun Fourier serisi ise F(X) sisteme (1) göre fonksiyona yakınsar F(X) segmente ait süreklilik noktalarının her birinde [ A,B] Bu durumda şunu söylüyorlar F(X) segmentte [ A,B] ortogonal sistemdeki (1) bir seriye genişletilir.

Fourier serisinin karmaşık formu

İfadeye fonksiyonun Fourier serisinin karmaşık formu denir. F(X), eğer eşitlikle tanımlanırsa

,Nerede

Fourier serisinden karmaşık formda seriye gerçek formda ve geriye geçiş, aşağıdaki formüller kullanılarak gerçekleştirilir:

(N=1,2, . . .)

Dize Titreşim Sorunu

Denge durumunda bir uzunluktaki ipin gerilmesine izin verin ben uçları ile x= 0 ve X=ben. İpin dengeden çıktığını ve serbestçe titreştiğini varsayalım. İpin düşey düzlemde meydana gelen küçük titreşimlerini ele alacağız.

Yukarıda yapılan varsayımlar altında, fonksiyonun olduğu gösterilebilir. sen(x,t) zamanın her anında dizenin konumunu karakterize etmek T, denklemi karşılıyor

(1) , burada a pozitif bir sayıdır.

Görevimiz fonksiyonu bulmak sen(x,t) , grafiği herhangi bir zamanda dizenin şeklini veren T yani denklem (1)'e sınırla bir çözüm bulun:

ve başlangıç koşulları:

İlk olarak, sınır koşullarını (2) karşılayan denklem (1)'in çözümlerini arayacağız. Bunu görmek zor değil sen(X,T) 0, sınır koşullarını (2) karşılayan denklem (1)'in bir çözümüdür. Tam olarak 0'a eşit olmayan ve çarpım olarak temsil edilebilen çözümler arayacağız. sen(x,t)=X(X)T(T), (4) , burada , .

İfadeyi (4) denklem (1) ile değiştirmek şunu verir:

Görevimiz buradan denklemlere çözüm bulmaya geliyor:

Bu koşulu kullanma X(0)=0, X(ben)=0 ise tüm durumları inceleyerek negatif bir sayı olduğunu kanıtlıyoruz.

a) Bırakalım O zaman X”=0 olup genel çözümü şu şekilde yazılacaktır:

nereden ve , aynı şekilde yok olmayan çözümleri düşündüğümüz için bu imkansızdır.

b) İzin ver. Daha sonra denklemi çözüyoruz

alırız ve ikincilleştirerek şunu buluruz

c) Eğer öyleyse

Denklemlerin kökleri vardır:

Nerede -keyfi sabitler. Başlangıç koşulundan şunları buluyoruz:

nereden, yani

(N=1,2,...)

(N=1,2,...).

Bunu dikkate alarak şunu yazabiliriz:

(N=1,2,...).

ve bu nedenle

, (N=1,2,...),

ancak A ve B, n'nin farklı değerleri için farklı olduğundan, elimizde

, (N=1,2,...),

nerede ve keyfi sabitlerdir; serinin denklem (1), sınır koşullarını (2) ve başlangıç koşullarını (3) karşılayacağı şekilde belirlemeye çalışacağız.

Öyleyse fonksiyonu ikincil hale getirelim sen(x,t) başlangıç koşullarına göre, yani koşullar sağlanacak şekilde seçeceğiz

Bu eşitlikler sırasıyla fonksiyonların sinüs cinsinden Fourier serisindeki segmentlere açılımlarıdır. (Bu, katsayıların tek fonksiyonda olduğu gibi hesaplanacağı anlamına gelir). Böylece, belirli bir sınır ve başlangıç koşulları altında bir ipin salınımının çözümü aşağıdaki formülle verilir:

(N=1,2,...)

Fourier integrali

Bir fonksiyonun Fourier integralinde temsil edilebilirliği için yeterli koşullar.

İçin F(X) tüm süreklilik noktalarında ve düzenli süreksizlik noktalarında Fourier integrali ile temsil edildiyse, bu yeterlidir:

1) mutlak integrallenebilirlik

(yani integral yakınsar)

2) herhangi bir sonlu parça üzerinde [- L, L] fonksiyon parçalı düzgün olacaktır

3) bir fonksiyonun süreksizlik noktalarında, Fourier integrali, bu noktalardaki sol ve sağ limitlerin yarı toplamı ile ve fonksiyonun kendisinin süreklilik noktalarında belirlenir. F(X)

Bir f(x) fonksiyonunun Fourier integrali şu formun bir integralidir:

Nerede ,

Çift ve tek fonksiyonlar için Fourier integrali

İzin vermek F(X), bir Fourier integrali ile temsil edilebilirlik koşullarını karşılayan çift bir fonksiyondur.

Bir nokta üzerinde integrallerin özelliğinin yanı sıra simetrik bir nokta dikkate alındığında X=0 aralığı çift fonksiyonlardan, eşitlik (2)'den şunu elde ederiz:

(3)