(\large\bf Bir fonksiyonun türevi)
İşlevi düşünün y=f(x), aralıkta belirtilen (a, b). İzin vermek X- aralığın herhangi bir sabit noktası (a, b), A Δx- değeri sağlayacak şekilde rastgele bir sayı x+Δx aynı zamanda aralığa aittir (a, b). Bu numara Δx argüman artışı denir.
Tanım. Fonksiyon artışı y=f(x) noktada X argüman artışına karşılık gelen Δx, numarayı arayalım
Δy = f(x+Δx) - f(x).
Buna inanıyoruz Δx ≠ 0. Belirli bir sabit noktada düşünün X bu noktadaki fonksiyon artışının karşılık gelen argüman artışına oranı Δx
Bu ilişkiye fark ilişkisi adını vereceğiz. Değerden beri X sabit olduğunu düşünüyoruz, fark oranı argümanın bir fonksiyonudur Δx. Bu fonksiyon tüm argüman değerleri için tanımlanmıştır Δx, noktanın yeterince küçük bir mahallesine ait Δx=0, noktanın kendisi hariç Δx=0. Dolayısıyla, belirtilen fonksiyonun bir limitinin varlığı sorusunu dikkate alma hakkına sahibiz. Δx → 0.
Tanım. Bir fonksiyonun türevi y=f(x) belirli bir sabit noktada X limit denir Δx → 0 fark oranı, yani
Bu sınırın mevcut olması şartıyla.
Tanım. y'(x) veya f'(x).
Türevin geometrik anlamı: Bir fonksiyonun türevi f(x) Bu noktada X eksenler arasındaki açının tanjantına eşit Öküz ve bu fonksiyonun grafiğine karşılık gelen noktada bir teğet:
f'(x 0) = \tgα.
Türevin mekanik anlamı: Yolun zamana göre türevi noktanın doğrusal hareket hızına eşittir:
Bir doğruya teğet denklemi y=f(x) noktada M 0 (x 0, y 0) formu alır
y-y 0 = f'(x 0) (x-x 0).
Bir eğrinin belirli bir noktasındaki normali, aynı noktadaki teğete diktir. Eğer f'(x 0)≠ 0, daha sonra doğrunun normalinin denklemi y=f(x) noktada M 0 (x 0, y 0)şu şekilde yazılmıştır:
Bir fonksiyonun türevlenebilirliği kavramı
Fonksiyona izin ver y=f(x) belirli bir aralıkta tanımlanmış (a, b), X- bu aralıktan bazı sabit argüman değerleri, Δx- argümanın değerini sağlayacak şekilde argümanda yapılan herhangi bir artış x+Δx ∈ (a, b).
Tanım. İşlev y=f(x) Belirli bir noktada türevlenebilir denir X eğer artış varsa Δy bu fonksiyon şu noktada X argüman artışına karşılık gelen Δxşeklinde temsil edilebilir
Δy = Bir Δx +αΔx,
Nerede A- bağımsız bir sayı Δx, A α - argüman işlevi Δx, bu da sonsuz küçük Δx→ 0.
İki sonsuz küçük fonksiyonun çarpımı olduğundan αΔx daha yüksek bir mertebeden sonsuz küçük bir değerdir Δx(3 sonsuz küçük fonksiyonun özelliği), o zaman şunu yazabiliriz:
Δy = Bir Δx +o(Δx).
Teorem. Fonksiyonun gerçekleşebilmesi için y=f(x) belirli bir noktada türevlenebilirdi X Bu noktada sonlu türevinin olması gerekli ve yeterlidir. burada A=f′(x), yani
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
Türevi bulma işlemine genellikle farklılaşma adı verilir.
Teorem. Eğer fonksiyon y=f(x) X ise bu noktada süreklidir.
Yorum. Fonksiyonun sürekliliğinden y=f(x) Bu noktada X genel olarak konuşursak, fonksiyonun türevlenebilirliği takip etmez f(x) Bu noktada. Örneğin, fonksiyon y=|x|- bir noktada sürekli x=0, ancak türevi yoktur.
Diferansiyel fonksiyon kavramı
Tanım. Fonksiyon diferansiyeli y=f(x) bu fonksiyonun türevi ile bağımsız değişkenin artışının çarpımına denir X:
dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.
İşlev için y=x aldık dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, yani dx=Δx- bağımsız bir değişkenin diferansiyeli bu değişkenin artışına eşittir.
Böylece yazabiliriz
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
Diferansiyel ölmek ve artırma Δy işlevler y=f(x) Bu noktada X, her ikisi de aynı bağımsız değişken artışına karşılık gelir Δx genel anlamda birbirine eşit değildir.
Diferansiyelin geometrik anlamı: Bir fonksiyonun diferansiyeli, argüman artırıldığında bu fonksiyonun grafiğine teğetinin ordinatındaki artışa eşittir Δx.
Farklılaşma kuralları
Teorem. Eğer fonksiyonların her biri sen(x) Ve v(x) belirli bir noktada türevlenebilir X, daha sonra bu fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü (şu şartla bölüm) v(x)≠ 0) bu noktada da türevlenebilir ve formüller şunları sağlar:
Karmaşık işlevi düşünün y=f(φ(x))≡ F(x), Nerede y=f(u), u=φ(x). Bu durumda sen isminde ara argüman, X - bağımsız değişken.
Teorem. Eğer y=f(u) Ve u=φ(x) argümanlarının türevlenebilir fonksiyonlarıdır, o zaman karmaşık bir fonksiyonun türevidir y=f(φ(x)) vardır ve ara argümana göre bu fonksiyonun çarpımına ve bağımsız değişkene göre ara argümanın türevine eşittir, yani.
Yorum. Üç fonksiyonun süperpozisyonu olan karmaşık bir fonksiyon için y=F(f(φ(x))), farklılaşma kuralı şu şekildedir:
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
işlevler nerede v=φ(x), u=f(v) Ve y=F(u)- argümanlarının türevlenebilir fonksiyonları.
Teorem. Fonksiyona izin ver y=f(x) artar (veya azalır) ve noktanın bazı mahallelerinde süreklidir x 0. Ayrıca bu fonksiyonun belirtilen noktada türevlenebilir olmasına izin verin. x 0 ve bu noktadaki türevi f'(x 0) ≠ 0. Daha sonra karşılık gelen noktanın bazı mahallelerinde y 0 =f(x 0) tersi şu şekilde tanımlanır: y=f(x) işlev x=f -1 (y) ve belirtilen ters fonksiyon karşılık gelen noktada türevlenebilir y 0 =f(x 0) ve bu noktadaki türevi için sen formül geçerlidir
Türev tablosu
Birinci diferansiyelin formunun değişmezliği
Karmaşık bir fonksiyonun diferansiyelini ele alalım. Eğer y=f(x), x=φ(t)- argümanlarının fonksiyonları türevlenebilirse, fonksiyonun türevi y=f(φ(t)) formülle ifade edilir
y' t = y' x x' t.
A-tarikatı dy=y' t dt, sonra elde ederiz
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y' x dx.
Yani kanıtladık
Bir fonksiyonun birinci diferansiyel formunun değişmezliği özelliği: argümanın olduğu gibi X bağımsız bir değişkendir ve argümanın X kendisi yeni değişkenin türevlenebilir bir fonksiyonudur, diferansiyel ölmek işlevler y=f(x) bu fonksiyonun türevinin argümanın diferansiyeli ile çarpımına eşittir dx.
Diferansiyelin yaklaşık hesaplamalarda uygulanması
Diferansiyelin olduğunu gösterdik. ölmek işlevler y=f(x) genel olarak konuşursak, artışa eşit değildir Δy bu fonksiyon. Bununla birlikte, daha yüksek bir küçüklük derecesine sahip sonsuz küçük bir fonksiyona kadar Δx yaklaşık eşitlik geçerlidir
Δy ≈ dy.
Oran, bu eşitliğin eşitliğinin göreceli hatası olarak adlandırılır. Çünkü Δy-dy=o(Δx), bu eşitliğin bağıl hatası azaldıkça istenildiği kadar küçük olur |Δх|.
Hesaba katıldığında Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, alıyoruz f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx veya
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
Bu yaklaşık eşitlik hataya izin verir o(Δx) işlevi değiştir f(x) noktanın küçük bir mahallesinde X(yani küçük değerler için Δx) argümanın doğrusal fonksiyonu Δx, sağ tarafta duruyor.
Yüksek dereceli türevler
Tanım. Bir fonksiyonun ikinci türevi (veya ikinci dereceden türevi) y=f(x) birinci türevinin türevi denir.
Bir fonksiyonun ikinci türevinin gösterimi y=f(x):
İkinci türevin mekanik anlamı. Eğer fonksiyon y=f(x) maddi bir noktanın düz bir çizgideki hareket yasasını, ardından ikinci türevi açıklar f″(x) Hareket eden bir noktanın o andaki ivmesine eşit X.
Üçüncü ve dördüncü türevler de benzer şekilde belirlenir.
Tanım. N türev (veya türev N-inci sıra) işlevler y=f(x) bunun türevi denir n-1 inci türevi:
y (n) =(y (n-1))', f (n) (x)=(f (n-1) (x))'.
Tanımlar: y", ve IV, ve V vesaire.
Türev tanımını kullanarak \(y = (e^x)\) üstel fonksiyonunun türevi için bir ifade bulun.
Çözüm.
İlk adımlar standarttır: ilk olarak \(\Delta y\ fonksiyonunun artışını, \(\Delta x\) argümanının artışına karşılık gelen artışını yazıyoruz: \[ (\Delta y = y\left(( x + \Delta x) \right) - y\left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^( \Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] Türev, limit olarak hesaplanır. artışların oranı: \[ (y"\left(x \right ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right))))((\Delta x))).) \] Paydaki \(y = (e^x)\) fonksiyonu Δ'ya bağlı değildir X ve limit işaretinin ötesine alınabilir. Daha sonra türev şu formu alır: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limitler_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x))).) \] Ortaya çıkan limiti \(L\) ile gösterelim ve ayrı ayrı hesaplayın.Bu arada \((e^0) = 1\) olduğunu unutmayın ve bu nedenle \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^) yazabiliriz. (\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0 ))))((\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] yani bu limit, üstel fonksiyonun sıfırdaki türevinin değerini temsil eder. Sonuç olarak, \ İstenilen türevin fonksiyonun kendisi \(y = (e^x)\) ve \(x = 0\) noktasındaki türevi aracılığıyla ifade edildiği bir ilişki elde ettik. Bunu kanıtlayalım Bunu yapmak için, \(e\) sayısının \ olarak sonsuz bir limit biçiminde tanımlandığını ve \(e\) sayısının \(\Delta x\) kuvvetinin buna göre olacağını hatırlayın. , şuna eşit olmalıdır: \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right) ^n).\] Daha sonra ünlü formülü uyguluyoruz. Newton'un iki terimlisi ve limit oturum açma altındaki ifadeyi genişletin binom serisi: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left() (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] Burada \((C_n^k)\), \(n\) öğelerinin \( ile kombinasyonlarının sayısını belirtir k\ ). Avrupa ve Amerika ders kitaplarında kombinasyon sayısı \ Şimdi şu şekilde yazılabilen \(L\) limitimize dönelim: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) ) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n) \to \infty ) \ left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k) ) ) \right] - 1))((\Delta x))).) \] Binom serisindeki ilk iki terimi yalnız bırakmak bizim için uygundur: \(k = 0\) ve \(k = 1 için) \). Sonuç olarak, \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0) elde ederiz) )^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x)) )(n )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n ) + \ toplam\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1 ))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\ limitler_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n ( C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\left((\Delta x)) \ right)) ^(k - 1))))(((n^k)))) ) \right)) \right).) \] Açıkçası, serinin toplamı \(\Delta x olarak sıfıra doğru yönelir \'den 0'a\) . Bu nedenle \(L = 1\). Bu, \(y = (e^x)\) üstel fonksiyonunun türevinin fonksiyonun kendisine eşit olduğu anlamına gelir: \
Çeşitli geometri, mekanik, fizik ve diğer bilgi dallarındaki problemleri çözerken, bu fonksiyondan aynı analitik sürecin kullanılmasına ihtiyaç duyuldu. y=f(x) adında yeni bir işlev edinin türev fonksiyonu(ya da sadece verilen bir f(x) fonksiyonunun türevi) ve sembolüyle belirtilir
Belirli bir fonksiyondan elde edilen süreç f(x) yeni bir özellik edinin f"(x), isminde farklılaşma ve aşağıdaki üç adımdan oluşur: 1) argümanı verin X artış
X ve fonksiyonun karşılık gelen artışını belirleyin
y = f(x+
x) -f(x); 2) bir ilişki kurmak 
3) sayma X sabit ve
X0, buluruz 
ile gösterdiğimiz f"(x) sanki ortaya çıkan işlevin yalnızca değere bağlı olduğunu vurguluyormuş gibi X, bu noktada sınıra gidiyoruz. Tanım:
Türev y " =f " (x)
verilen fonksiyon y=f(x)
belirli bir x için bir fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti denir; argümanın artışının sıfıra yönelmesi koşuluyla, tabii ki bu limit mevcutsa, yani. sonlu. Böylece, 
, veya 
Bir miktar değer için ise şunu unutmayın Xörneğin ne zaman x=a, davranış 
en
X0 sonlu limite yönelmiyor, bu durumda fonksiyonun şöyle olduğunu söylüyorlar: f(x) en x=a(veya bu noktada x=a) türevi yoktur veya bu noktada türevlenebilir değildir x=a.
2. Türevin geometrik anlamı.
x 0 noktası civarında türevlenebilir olan y = f (x) fonksiyonunun grafiğini düşünün.
f(x)
Bir fonksiyonun grafiğindeki bir noktadan (A(x 0, f (x 0)) geçen ve grafiği bir B(x;f(x)) noktasında kesen rastgele bir düz çizgiyi düşünelim. Böyle bir doğruya (AB) sekant denir. ∆ABC'den: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
AC'den bu yana || Ox ise ALO = BAC = β (paralele karşılık gelen şekilde). Ancak ALO, AB sekantının Ox ekseninin pozitif yönüne olan eğim açısıdır. Bu, tanβ = k'nin AB düz çizgisinin eğimi olduğu anlamına gelir.
Şimdi ∆х'u azaltacağız, yani. ∆х→ 0. Bu durumda grafiğe göre B noktası A noktasına yaklaşacak ve AB sekantı dönecektir. AB keseninin ∆x→ 0'daki sınırlayıcı konumu, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin A noktasındaki teğeti olarak adlandırılan düz bir çizgi (a) olacaktır.
tgβ =∆y/∆x eşitliğinde ∆x → 0 limitine gidersek, şunu elde ederiz: 
ortg =f "(x 0), çünkü 
-teğetin Ox ekseninin pozitif yönüne eğim açısı 
, bir türevin tanımı gereği. Ancak tg = k, tanjantın açısal katsayısıdır, bu da k = tg = f "(x 0) anlamına gelir.
Yani türevin geometrik anlamı şu şekildedir:
Bir fonksiyonun x noktasındaki türevi 0 fonksiyonun grafiğine apsis x ile çizilen noktada çizilen teğetin eğimine eşit 0 .
3. Türevin fiziksel anlamı.
Bir noktanın düz bir çizgi boyunca hareketini düşünün. Bir noktanın herhangi bir andaki koordinatı x(t) verilsin. Belirli bir zaman periyodundaki ortalama hızın, bu zaman periyodunda kat edilen mesafenin zamana oranına eşit olduğu (bir fizik dersinden) bilinmektedir;
Vav = ∆x/∆t. Son eşitlikteki ∆t → 0 limitine gidelim.
lim Vav (t) = (t 0) - t 0 anında anlık hız, ∆t → 0.
ve lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (türev tanımı gereği).
Yani (t) =x"(t).
Türevin fiziksel anlamı şu şekildedir: Fonksiyonun türevisen = F(X) noktadaX 0 fonksiyonun değişim hızıdırF(x) noktasındaX 0
Türev, fizikte, koordinatların zamana karşı bilinen bir fonksiyonundan hızı, hızın zamana karşı bilinen bir fonksiyonundan ivmeyi bulmak için kullanılır.
(t) = x"(t) - hız,
a(f) = "(t) - ivme veya
Bir daire içindeki maddi bir noktanın hareket kanunu biliniyorsa, dönme hareketi sırasındaki açısal hız ve açısal ivme bulunabilir:
φ = φ(t) - zamanla açıdaki değişim,
ω = φ"(t) - açısal hız,
ε = φ"(t) - açısal ivme veya ε = φ"(t)
Homojen olmayan bir çubuğun kütle dağılımı yasası biliniyorsa, homojen olmayan çubuğun doğrusal yoğunluğu bulunabilir:
m = m(x) - kütle,
x , l - çubuğun uzunluğu,
p = m"(x) - doğrusal yoğunluk.
Türev kullanılarak esneklik ve harmonik titreşim teorisinden kaynaklanan problemler çözülür. Yani Hooke kanununa göre
F = -kx, x – değişken koordinat, k – yay esneklik katsayısı. ω 2 =k/m koyarak yay sarkacının diferansiyel denklemini x"(t) + ω 2 x(t) = 0 elde ederiz,
burada ω = √k/√m salınım frekansı (l/c), k - yay sertliği (H/m).
y" + ω 2 y = 0 formundaki bir denkleme harmonik salınımların denklemi (mekanik, elektriksel, elektromanyetik) denir. Bu tür denklemlerin çözümü fonksiyondur.
y = Asin(ωt + φ 0) veya y = Acos(ωt + φ 0), burada
A - salınımların genliği, ω - döngüsel frekans,
φ 0 - başlangıç aşaması.
Türev bilgisi ve onu hesaplama yöntemleri olmadan fiziksel problemleri veya matematikteki örnekleri çözmek tamamen imkansızdır. Türev matematiksel analizdeki en önemli kavramlardan biridir. Bugünkü makalemizi bu temel konuya ayırmaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı nedir, bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: Türev nasıl anlaşılır?
Türevin geometrik ve fiziksel anlamı
Bir fonksiyon olsun f(x) , belirli bir aralıkta belirtilir (a, b) . x ve x0 noktaları bu aralığa aittir. X değiştiğinde fonksiyonun kendisi de değişir. Argümanı değiştirme - değerlerindeki fark x-x0 . Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerleri arasındaki farktır. Türevin tanımı:
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun belirli bir noktadaki artışının, argümanın sıfıra yaklaştığı durumdaki artışına oranının limitidir.
Aksi takdirde şu şekilde yazılabilir:
Böyle bir sınır bulmanın amacı nedir? Ve işte şu:
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının belirli bir noktadaki fonksiyonun grafiğine olan teğetine eşittir.
Türevin fiziksel anlamı: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.
Aslında okul günlerinden beri herkes hızın belirli bir yol olduğunu biliyor x=f(t) ve zaman T . Belirli bir süredeki ortalama hız:
Belirli bir andaki hareketin hızını bulmak için t0 limiti hesaplamanız gerekir:
Birinci kural: bir sabit belirleyin
Sabit türev işaretinden çıkarılabilir. Üstelik bunun yapılması gerekiyor. Matematikteki örnekleri çözerken bunu kural olarak alın - Bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, onu basitleştirdiğinizden emin olun. .
Örnek. Türevini hesaplayalım:
İkinci kural: Fonksiyonların toplamının türevi
İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı şey fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.
Bu teoremin kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örnek ele alacağız.
Fonksiyonun türevini bulun:
Üçüncü kural: Fonksiyonların çarpımının türevi
İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:
Örnek: Bir fonksiyonun türevini bulun:
Çözüm: 
Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasından bahsetmek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin ve ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin çarpımına eşittir.
Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:
Bu durumda ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini hesaplarız ve ardından ara argümanın bağımsız değişkene göre türevini çarparız.
Kural dört: iki fonksiyonun bölümünün türevi
İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:
Sıfırdan aptallar için türevler hakkında konuşmaya çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde sıklıkla tuzaklar bulunur, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.
Bu ve diğer konularla ilgili sorularınız için öğrenci hizmetleriyle iletişime geçebilirsiniz. Kısa sürede, daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testi çözmenize ve görevleri anlamanıza yardımcı olacağız.
Hatırlanması çok kolay.
Neyse fazla uzağa gitmeyelim, hemen ters fonksiyonu ele alalım. Üstel fonksiyonun tersi hangi fonksiyondur? Logaritma:
Bizim durumumuzda taban sayıdır:
Böyle bir logaritma (yani tabanlı bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: onun yerine yazarız.
Neye eşittir? Elbette, .
Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:
Örnekler:
- Fonksiyonun türevini bulun.
- Fonksiyonun türevi nedir?
Yanıtlar: Üstel ve doğal logaritma, türev perspektifinden bakıldığında benzersiz derecede basit fonksiyonlardır. Başka herhangi bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır ve bunu daha sonra türev alma kurallarını inceledikten sonra analiz edeceğiz.
Farklılaşma kuralları
Neyin kuralları? Yine yeni bir dönem mi, yine mi?!...
Farklılaşma türevi bulma işlemidir.
Bu kadar. Bu sürece tek kelimeyle başka ne diyebilirsiniz? Türev değil... Matematikçiler diferansiyele bir fonksiyonun aynı artışı adını verirler. Bu terim Latince diferansiyelden gelir - fark. Burada.
Tüm bu kuralları türetirken iki işlevi kullanacağız, örneğin ve. Ayrıca artışları için formüllere de ihtiyacımız olacak:
Toplamda 5 kural bulunmaktadır.
Sabit türev işaretinden çıkarılır.
Eğer - bazı sabit sayılar (sabit), o zaman.
Açıkçası, bu kural aynı zamanda şu fark için de işe yarar: .
Hadi kanıtlayalım. Bırakın ya da daha basit.
Örnekler.
Fonksiyonların türevlerini bulun:
- bir noktada;
- bir noktada;
- bir noktada;
- noktada.
Çözümler:
- (Doğrusal bir fonksiyon olduğundan türev her noktada aynıdır, hatırladınız mı?);
Ürünün türevi
Burada her şey benzer: yeni bir fonksiyon tanıtalım ve onun artışını bulalım:
Türev:
Örnekler:
- Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
- Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.
Çözümler:
Üstel bir fonksiyonun türevi
Artık bilginiz, yalnızca üstel sayıları değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (bunun ne olduğunu henüz unuttunuz mu?).
Peki, bazı sayılar nerede?
Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, o halde fonksiyonumuzu yeni bir tabana indirgemeye çalışalım:
Bunu yapmak için basit bir kural kullanacağız: . Daha sonra:
İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.
Olmuş?
İşte, kendinizi kontrol edin:
Formülün bir üssün türevine çok benzediği ortaya çıktı: olduğu gibi aynı kalıyor, yalnızca bir sayı olan ancak değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.
Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:
Yanıtlar:
Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan, yani daha basit bir biçimde yazılamayan bir sayıdır. Bu nedenle cevapta bu formda bırakıyoruz.
Burada iki fonksiyonun bölümü olduğuna dikkat edin, dolayısıyla ilgili türev kuralını uyguluyoruz:
Bu örnekte iki fonksiyonun çarpımı:
Logaritmik bir fonksiyonun türevi
Burada da durum benzer: Doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:
Bu nedenle, farklı bir tabana sahip keyfi bir logaritma bulmak için, örneğin:
Bu logaritmayı tabana indirmemiz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:
Ancak şimdi onun yerine şunu yazacağız:
Payda basitçe bir sabittir (değişkeni olmayan sabit bir sayı). Türev çok basit bir şekilde elde edilir:
Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri Birleşik Devlet Sınavında neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
"Karmaşık fonksiyon" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil, arktanjant da değil. Bu fonksiyonların anlaşılması zor olabilir (gerçi logaritmayı zor buluyorsanız, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve sorun yaşamazsınız), ancak matematiksel açıdan "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.
Küçük bir taşıma bandı hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar, ikincisi ise onu bir kurdele ile bağlar. Sonuç, kompozit bir nesnedir: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata çubuğu. Çikolata yemek için ters adımları tersten uygulamanız gerekir.
Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız, sonra da elde edilen sayının karesini alacağız. Yani bize bir sayı veriliyor (çikolata), ben onun kosinüsünü buluyorum (paketleyici) ve sonra elde ettiğimin karesini alıyorsunuz (bunu bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyonun bir örneğidir: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle gerçekleştirdiğimizde ve ardından ilk eylemin sonucuyla ikinci eylemi gerçekleştirdiğimizde.
Başka bir deyişle, karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir: .
Örneğimiz için, .
Aynı adımları ters sırada da kolaylıkla yapabiliriz: önce bunun karesini alırsınız, sonra da ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım: . Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Karmaşık işlevlerin önemli bir özelliği: Eylemlerin sırası değiştiğinde işlev de değişir.
İkinci örnek: (aynı şey). .
En son yaptığımız eylem çağrılacak "harici" işlev ve buna göre ilk gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).
Hangi fonksiyonun harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:
Yanıtlar:İç ve dış fonksiyonları ayırmak değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin bir fonksiyonda
- İlk önce hangi eylemi gerçekleştireceğiz? İlk önce sinüsü hesaplayalım ve ancak o zaman küpünü alalım. Bu, bunun dahili bir fonksiyon olduğu, ancak harici bir fonksiyon olduğu anlamına gelir.
Ve asıl işlev bunların bileşimidir: . - Dahili: ; harici: .
Muayene: . - Dahili: ; harici: .
Muayene: . - Dahili: ; harici: .
Muayene: . - Dahili: ; harici: .
Muayene: .
Değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ediyoruz.
Şimdi çikolatamızı çıkarıp türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersidir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnekle ilgili olarak şöyle görünür:
Başka bir örnek:
O halde nihayet resmi kuralı formüle edelim:
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:
Basit görünüyor, değil mi?
Örneklerle kontrol edelim:
Çözümler:
1) Dahili: ;
Harici: ;
2) Dahili: ;
(Şimdilik kesmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkmaz, hatırladınız mı?)
3) Dahili: ;
Harici: ;
Bunun üç seviyeli karmaşık bir işlev olduğu hemen anlaşılıyor: sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir işlev ve biz de ondan kökü çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir ambalaja koyun) ve evrak çantasında bir kurdeleyle). Ancak korkmanıza gerek yok: Bu işlevi yine de her zamanki gibi aynı sırayla "paketinden çıkaracağız": sondan itibaren.
Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi farklılaştırıyoruz. Daha sonra hepsini çarpıyoruz.
Bu gibi durumlarda eylemlerin numaralandırılması uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:
Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, karşılık gelen işlev o kadar "harici" olacaktır. Eylem sırası öncekiyle aynıdır:
Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Hareket tarzını belirleyelim.
1. Radikal ifade. .
2. Kök. .
3. Sinüs. .
4. Kare. .
5. Hepsini bir araya getirmek:
TÜREV. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA
Bir fonksiyonun türevi- argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranı:
Temel türevler:
Farklılaşma kuralları:
Sabit türev işaretinden çıkarılır:
Toplamın türevi:
Ürünün türevi:
Bölümün türevi:
Karmaşık bir fonksiyonun türevi:
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:
- “İç” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
- “Harici” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
- Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.
