Çift katlı integrallerin hesaplanması: teori ve örnekler. Çoklu integral Çoklu integraller

Ostrogradsky'nin çoklu integraller üzerindeki çalışması üzerinde biraz ayrıntılı olarak duralım.

Ostrogradsky'nin üçlü integrali çift integrale dönüştürme formülü, genellikle şu şekilde yazıyoruz:

burada div A, A vektörünün alanının diverjansıdır,

Аn, A vektörünün ve sınır yüzeyinin dış normali n'nin birim vektörünün skaler çarpımıdır; matematik literatüründe daha önce genellikle Gauss ve Green isimleriyle ilişkilendirilmiştir.

Aslında Gauss'un küremsilerin çekiciliği üzerine çalışmasında, formül (1)'in yalnızca çok özel durumları görülebilir; örneğin P=x, Q=R=0 vb.. J. Green'e gelince, onun çalışmasında elektrik teorisine göre ve formül (1)'de hiç manyetizma yoktur; üçlü ve çift katlı integraller arasında başka bir ilişki türetir, yani Green'in Laplace operatörü için formülü şu şekilde yazılabilir:

Elbette, formül (1)'i (2)'den türetebiliriz.

ve aynı şekilde formül (1)'den formül (2)'yi elde etmek mümkündür, ancak Green bunu yapmayı düşünmemiştir.

solda hacim üzerindeki integral, sağda sınır yüzeyi üzerindeki integral ve bunlar dış normalin yön kosinüsleridir.

Ostrogradsky'nin Paris el yazmaları, integral teoreminin (1) hem keşfinin hem de ilk mesajının kendisine ait olduğunu tam bir kesinlikle kanıtlıyor. İlk kez 13 Şubat 1826'da Paris Bilimler Akademisi'ne sunulan "İntegral Hesap Teoreminin Kanıtı"nda aynen şu anda yaptıkları gibi ifade edilmiş ve kanıtlanmıştır. Ostrogradsky'nin 6 Ağustos 1827'de sunduğu “Katılarda Isının Difüzyonu Üzerine Anı”. “Anı” inceleme için Fourier ve Poisson'a verildi ve ikincisi, ilk sayfadaki girişten de anlaşılacağı üzere kesinlikle okudu. el yazmasının her iki bölümünün sayfaları. Elbette, esneklik teorisi üzerine çalışmasını sunmadan iki yıl önce Ostrogradsky'nin çalışmasında tanıdığı teoremi kendisine atfetme fikri Poisson'un aklına bile gelmedi.

Ostrogradsky ve Green'in çoklu integralleri üzerine yaptıkları çalışmalar arasındaki ilişkiye gelince, “Isı Teorisi Üzerine Not”ta Green'in kendi formülünü çok özel bir durum olarak kapsayan bir formülün türetildiğini hatırlıyoruz. Ostrogradsky'nin "Not"ta kullandığı artık alışılmadık Cauchy sembolizmi, yakın zamana kadar bu önemli keşfi araştırmacılardan gizledi. Elbette Greene, Laplace operatörleri için kendi adını taşıyan formülü keşfetmenin ve 1828'de ilk kez yayınlamanın onurunu koruyor.

Üç katlı bir integrali çift katlı bir integrale dönüştürmek için bir formülün keşfi, Ostrogradsky'nin bir n-katlı integrali değiştirme problemini çözmesine, yani bir n-katlı integrali bir ıraksama tipinin ifadesinden integrali dönüştürmeye yönelik genel formülü türetmesine yardımcı oldu. boyutsal alan ve onu L(x,y, z,…)=0 denklemiyle sınırlayan S süper yüzeyi üzerindeki integral. Önceki gösterime sadık kalırsak, formül şu şekildedir:

Ancak Ostrogradsky bizim kullandığımız geometrik görüntüleri ve terimleri kullanmadı: çok boyutlu uzayların geometrisi o zamanlar henüz mevcut değildi.

“Çoklu İntegrallerin Değişimleri Hesabı Üzerine Anı”da bu tür integrallerin teorisindeki iki önemli konu daha ele alınmaktadır. İlk olarak Ostrogradsky, çok boyutlu bir integraldeki değişkenleri değiştirmek için bir formül türetiyor; ikinci olarak, ilk kez, uygun limitler dahilinde değişkenlerin her biri üzerinde n ardışık entegrasyon kullanarak n katlı bir integrali hesaplama yönteminin tam ve doğru bir tanımını veriyor. Son olarak, bu anıda yer alan formüllerden, çok boyutlu bir integralin parametresine göre türev almanın genel kuralı, yalnızca integral fonksiyonu değil, aynı zamanda integral alanının sınırı da bu parametreye bağlı olduğunda kolayca türetilir. Adı geçen kural, anılardaki formüllerden o kadar doğal bir şekilde çıkıyor ki, daha sonraki matematikçiler onu bu anıdaki formüllerden biriyle özdeşleştirmişler bile.

Ostrogradsky, çoklu integrallerdeki değişkenleri değiştirmeye özel bir çalışma ayırdı. Çift katlı integral için Euler karşılık gelen kuralı formal dönüşümleri kullanarak türetmiştir; üçlü integral için ise Lagrange bunu türetmiştir. Ancak Lagrange'ın sonucu doğru olsa da muhakemesi doğru değildi: Eski ve yeni değişkenlerdeki (koordinatlar) hacim elemanlarının birbirine eşit olduğu gerçeğinden yola çıkıyor gibiydi. Ostrogradsky, başlangıçta, değişkenlerin yerini değiştirme kuralının az önce bahsedilen türetilmesinde benzer bir hata yaptı. Ostrogradsky, "Çoklu İntegrallerdeki Değişkenlerin Dönüşümü Üzerine" makalesinde Lagrange hatasını ortaya çıkardı ve ayrıca ilk kez değişkenleri çift katlı bir integrale dönüştürmek için görsel geometrik yöntemin biraz daha titiz bir biçimde de sunulduğunu açıkladı. kılavuzlarımızda. Yani, integraldeki değişkenleri formüller kullanarak değiştirirken, entegrasyon alanı u=const, v=const iki sistemin koordinat çizgileriyle sonsuz küçük eğrisel dörtgenlere bölünür. Daha sonra integral, önce sonsuz dar kavisli bir şeride karşılık gelen elemanların toplanmasıyla ve ardından hepsi tükenene kadar elemanların şeritler halinde toplanmasına devam edilerek elde edilebilir. Basit bir hesaplama, en küçük yüksek mertebeden olanlara kadar paralelkenar olarak kabul edilebilecek alan için, alanın pozitif olacak şekilde seçildiği ifadeyi verir. Sonuç, iyi bilinen formüldür

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Ders çalışması

Disiplin: Yüksek matematik

(Doğrusal Programlamanın Temelleri)

Konuyla ilgili: ÇOKLU İNTEGRALLER

Tarafından tamamlanmıştır: ______________

Öğretmen:___________

Tarih ___________________

Seviye _________________

İmza ________________

VORONEZH 2008

1 Çoklu integraller

1.1 Çift katlı integral

1.2 Üçlü integral

1.3 Eğrisel koordinatlarda çoklu integraller

1.4 Çoklu integrallerin geometrik ve fiziksel uygulamaları

2 Eğrisel ve yüzey integralleri

2.1 Eğrisel integraller

2.2 Yüzey integralleri

2.3 Geometrik ve fiziksel uygulamalar

Kaynakça

1 Çoklu integraller

1.1 Çift katlı integral

Oksi düzleminde L doğrusu ile sınırlanan kapalı bir D bölgesini düşünelim. Bu bölgeyi bazı doğrularla n parçaya bölelim.

ve bu parçaların her birindeki noktalar arasındaki karşılık gelen en büyük mesafeler d 1, d 2, ..., d n ile gösterilecektir. Her parçada bir P i noktası seçelim.

D bölgesinde bir z = f(x, y) fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun seçilen noktalardaki değerlerini f(P 1), f(P 2),…, f(P n) ile gösterelim ve f(P i)ΔS i formundaki ürünlerin bir toplamını oluşturalım:

, (1)

D bölgesindeki f(x, y) fonksiyonunun integral toplamı denir.

için aynı integral toplam limiti (1) varsa

ve, D bölgesini parçalara ayırma yöntemine veya bunların içindeki Pi noktalarının seçimine bağlı olmayan, f(x, y) fonksiyonunun D bölgesi üzerindeki çift katlı integrali olarak adlandırılır ve gösterilir . (2)

Doğrularla sınırlanan D bölgesi üzerinde çift katlı integralin hesaplanması

x = a, x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла: = (3)

1.2 Üçlü integral

Üç katlı integral kavramı, çift katlı integrale benzetilerek tanıtılmıştır.

Uzayda kapalı bir S yüzeyi ile sınırlanmış belirli bir V bölgesi verilsin. Bu kapalı bölgede sürekli bir f(x, y, z) fonksiyonu tanımlayalım. Daha sonra V bölgesini, her bir parçanın hacminin Δv i'ye eşit olduğunu düşünerek Δv i parçalarına böleriz ve formun bir integral toplamını oluştururuz.

, (4)

Sınır:

V alanını bölme yönteminden ve bu alanın her bir alt alanındaki Pi noktalarının seçiminden bağımsız olarak integral toplamları (11), f(x, y, z) fonksiyonunun V alanı üzerinde üçlü integrali olarak adlandırılır: . (5)

f(x,y,z) fonksiyonunun V bölgesi üzerindeki üçlü integrali, aynı bölge üzerindeki üçlü integrale eşittir:

. (6)

1.3 Eğrisel koordinatlarda çoklu integraller

Düzlemde kutup adı verilen eğrisel koordinatları tanıtalım. O noktasını (kutup) ve ondan çıkan ışını (kutup ekseni) seçelim.

Pirinç. 2 Şek. 3

M noktasının koordinatları (Şekil 2), MO parçasının uzunluğu olacaktır - kutup yarıçapı ρ ve MO ile kutup ekseni arasındaki φ açısı: M(ρ,φ). Düzlemin kutup hariç tüm noktaları için ρ > 0 ve kutup açısı φ'nin saat yönünün tersine ölçüldüğünde pozitif, ters yönde ölçüldüğünde negatif kabul edileceğini unutmayın.

M noktasının kutupsal ve Kartezyen koordinatları arasındaki ilişki, Kartezyen koordinat sisteminin kökeninin kutupla ve pozitif yarı eksen Ox'un kutup ekseniyle hizalanmasıyla ayarlanabilir (Şekil 3). O zaman x=ρcosφ, y=ρsinφ olur. Buradan

, tg.

ρ=Φ 1 (φ) ve ρ=Φ 2 (φ) eğrileriyle sınırlanan D bölgesini tanımlayalım; burada φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

(7)

Üç boyutlu uzayda silindirik ve küresel koordinatlar tanıtılmıştır.

P(ρ,φ,z) noktasının silindirik koordinatları, bu noktanın Oksi düzlemine izdüşümü ve bu z noktasının uygulaması olan ρ, φ kutupsal koordinatlarıdır (Şekil 5).

Şekil 5 Şekil 6

Silindirik koordinatlardan Kartezyen koordinatlara geçiş formülleri şu şekilde belirtilebilir:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

Küresel koordinatlarda, uzaydaki bir noktanın konumu doğrusal koordinat r ile belirlenir - noktadan Kartezyen koordinat sisteminin (veya küresel sistemin kutbuna) kadar olan mesafe, φ - pozitif arasındaki kutup açısı Ox yarı ekseni ve noktanın Ox düzlemine izdüşümü ve θ - Oz ekseninin pozitif yarı ekseni ile OP segmenti arasındaki açı (Şekil 6). burada

Küresel koordinatlardan Kartezyen koordinatlara geçiş için formülleri belirleyelim:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

Daha sonra üçlü integralde silindirik veya küresel koordinatlara geçiş formülleri şöyle görünecektir:

, (10)

burada F 1 ve F 2, x, y, z yerine f fonksiyonunda silindirik (8) veya küresel (9) koordinatlar yoluyla ifadelerinin değiştirilmesiyle elde edilen fonksiyonlardır.

1.4 Çoklu integrallerin geometrik ve fiziksel uygulamaları

1) S düz bölgesinin alanı:

(11)

Örnek 1.

Şekil D'nin çizgilerle sınırlanan alanını bulun

Bu alanı y'yi harici bir değişken olarak sayarak hesaplamak uygundur. Daha sonra bölgenin sınırları denklemlerle verilir.

Ve
parçalara göre entegrasyon kullanılarak hesaplanır:

Daha önce, belirli bir integralin özelliklerini, onun toplamların limiti olarak tanımlanmasını kullanarak kanıtlamıştık. Çoklu integrallerin temel özellikleri tamamen aynı şekilde kanıtlanabilir. Basitleştirmek için tüm fonksiyonların sürekli olduğunu düşüneceğiz, dolayısıyla bunların integralleri kesinlikle anlamlı olacaktır.

I. Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir ve sonlu fonksiyon toplamının integrali, terimlerin integrallerinin toplamına eşittir:

II. Bir bölge sonlu sayıda parçaya (örneğin iki parçaya) ayrıştırılırsa tüm bölgenin integrali, tüm parçaların integrallerinin toplamına eşittir:

III. Eğer bölgedeyse, o zaman

Özellikle :

IV. (a) bölgesindeki işaret korunursa, formülle ifade edilen ortalama değer teoremi geçerlidir.

(a) bölgesinin içinde yer alan bir nokta nerede?

Özellikle, aldığımızda

bölgenin alanı nerede.

Benzer özellikler üçlü integral için de geçerlidir. İkili ve üçlü bir integrali bir toplamın limiti olarak tanımlarken, her zaman integral bölgesinin sonlu olduğu ve integral fonksiyonunun her durumda sınırlı olduğu, yani pozitif bir A sayısının olduğu varsayılır. entegrasyon bölgesinin N noktaları. Bu koşullar karşılanmazsa, o zaman integral, basit belirli bir integralde olduğu gibi uygunsuz bir integral olarak var olabilir. Uygun olmayan çoklu integralleri §8'de ele alacağız.

Dikkat: İntegral aralığı içindeki tekil noktalara sahip uygunsuz integralleri hesaplarken, Newton-Leibniz formülünü mekanik olarak uygulayamazsınız çünkü bu hatalara yol açabilir.

Genel kural: Newton-Leibniz formülü, eğer terstürevi ise doğrudur. f(x) ikincisinin tekil noktasında süreklidir.

Örnek 2.11.

Tekil noktası x = 0 olan uygunsuz bir integrali ele alalım. Biçimsel olarak uygulanan Newton-Leibniz formülü şunu verir:

Ancak burada genel kural geçerli değildir; f(x) = 1/x için ters türev ln |x| x = 0'da tanımlı değildir ve bu noktada sonsuz büyüktür, yani. bu noktada sürekli değildir. İntegralin ıraksadığını doğrudan doğrulamayla doğrulamak kolaydır. Gerçekten mi,

Ortaya çıkan belirsizlik, e ve d bağımsız olarak sıfıra yöneldiğinden farklı şekillerde ortaya çıkarılabilir. Özellikle, e = d'yi ayarlayarak uygunsuz integralin temel değerini 0'a eşit olarak elde ederiz. Eğer e = 1/n ve d =1/n 2 ise, yani; d, e'den daha hızlı 0'a yöneliyor, o zaman şunu elde ederiz:

ne zaman ve tam tersi,

onlar. integral ıraksar.n

Örnek 2.12.

Tekil noktası x = 0 olan uygunsuz bir integrali ele alalım. Fonksiyonun ters türevi şu şekildedir ve x = 0 noktasında süreklidir. Bu nedenle Newton-Leibniz formülünü uygulayabiliriz:

Belirli bir Riemann integrali kavramının çok değişkenli bir fonksiyon durumuna doğal bir genellemesi, çoklu integral kavramıdır. İki değişkenli durum için bu tür integrallere denir. çift.

İki boyutlu Öklid uzayını düşünün R'R yani Kartezyen koordinat sistemine sahip bir düzlemde bir dizi e son alan S.

( ile belirtelim) Ben = 1, …, k) Bölüm ayarla e yani alt kümelerinden oluşan böyle bir sistem e ben, ben = 1,. . ., k, i ¹ j için Ø ve (Şekil 2.5). Burada alt kümeyi belirtiyoruz e ben onun sınırı olmadan, yani E i alt kümesinin iç noktaları, sınırlarıyla birlikte G E kapalı bir alt küme oluşturuyorum e Ben, . Bölgenin olduğu açıktır. S(e i) alt kümeler e sınır alanı olduğundan iç alanıyla örtüşüyorum GRE i sıfıra eşittir.

d(E i) şunu belirtsin çapı ayarla E ben, yani. iki noktası arasındaki maksimum mesafe. l(t) = d(E i) miktarına çağrılacak bölme inceliği T. Eğer f(x),x = (x, y) fonksiyonu E üzerinde iki argümanın fonksiyonu olarak tanımlanırsa, formun herhangi bir toplamı

X ben О E ben , ben = 1, . . . , k, x ben = (x ben , y ben),

hem f fonksiyonuna hem de t bölümüne bağlı olarak ve x i О E i М t noktalarının seçimine bağlı olarak denir f fonksiyonunun integral toplamı .

Bir f fonksiyonu için, t bölümlerine veya noktaların seçimine (i = 1, ..., k) bağlı olmayan bir değer varsa, bu limite denir. çift ​​Riemann integrali f(x,y)'den ve gösterilir

Bu durumda f fonksiyonunun kendisi çağrılır Riemann entegre edilebilir.

Küme olarak tek argümanlı bir fonksiyon durumunda bunu hatırlayın e Entegrasyonun gerçekleştirildiği segment genellikle alınır ve t bölümü, bölümlerden oluşan bir bölüm olarak kabul edilir. Diğer açılardan, görülmesi kolay olduğu gibi, çift Riemann integralinin tanımı, tek argümanlı bir fonksiyon için belirli Riemann integralinin tanımını tekrarlar.

İki değişkenli sınırlı fonksiyonların çift Riemann integrali, tek argümanlı fonksiyonlar için belirli bir integralin olağan özelliklerine sahiptir - doğrusallık, toplanabilirlik Entegrasyonun gerçekleştirildiği kümelere ilişkin olarak, koruma entegre ederken katı olmayan eşitsizlikler, ürün entegrasyonu entegre işlevler vb.

Çoklu Riemann integrallerinin hesaplanması hesaplamaya indirgenir yinelenen integraller. Çift Riemann integralinin durumunu ele alalım. Fonksiyona izin ver f(x,y) X ` Y, E М X ` Y kümelerinin Kartezyen çarpımında yer alan E kümesi üzerinde tanımlanır.

Tekrarlanan integral ile f(x, y) fonksiyonunun integrali, farklı değişkenler üzerinde ardışık olarak integrasyonun gerçekleştirildiği bir integral olarak adlandırılır; formun integrali

E(y) = (x: О E) М X denir enine kesit belirli bir y'ye karşılık gelen E'yi ayarlar, y О E y ; E y kümesine – denir projeksiyon Y ekseninde E'yi ayarlayın.

Yinelenen integral için aşağıdaki gösterim de kullanılır:

bu, önceki gibi, sabit bir süre için ilk önce anlamına gelir y, y О E y, fonksiyon entegre edilmiştir f(x, y)İle X segment boyunca e(sen), setin bir bölümüdür e buna karşılık gelen y. Sonuç olarak, iç integral bir değişkenin bazı fonksiyonlarını tanımlar - y. Bu fonksiyon daha sonra dış integral sembolüyle gösterildiği gibi bir değişkenin fonksiyonu olarak entegre edilir.

İntegral sırasını değiştirirken formun tekrarlanan bir integralini elde ederiz

iç entegrasyonun gerçekleştirildiği yer sen, ve harici - tarafından X. Bu yinelenen integralin yukarıda tanımlanan yinelenen integralle ilişkisi nedir?

Fonksiyonun çift katlı integrali varsa F yani

o zaman her iki tekrarlanan integral de mevcuttur ve bunlar büyüklük bakımından aynıdır ve iki katına eşittir;

Yinelenen integrallerde integrasyon sırasının değiştirilme olasılığı için bu açıklamada formüle edilen koşulun yalnızca olduğunu vurguluyoruz. yeterli, ancak gerekli değil.

Diğer yeterli koşullar yinelenen integrallerde entegrasyon sırasını değiştirme olasılıkları aşağıdaki şekilde formüle edilir:

integrallerden en az biri mevcutsa

o zaman fonksiyon f(x, y) Riemann sette entegre edilebilir e, bunun her iki tekrarlı integrali de mevcuttur ve çift katlı integrale eşittir. N

Yinelenen integrallerin gösteriminde izdüşümlerin ve kesitlerin gösterimini belirtelim.

E kümesi bir dikdörtgen ise

O E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); burada Herhangi bir y için E(y) = E x, y О E y . , A E(x) = Ey herhangi bir x için , x О E x ..

Resmi giriş: " y y О E yÞ E(y) = ExÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey

E kümesi varsa kavisli kenarlık ve temsillere izin verir

Bu durumda tekrarlanan integraller şu şekilde yazılır:

Örnek 2.13.

Dikdörtgensel bir alan üzerinde çift katlı integrali yinelemeli olarak hesaplayın.

Koşul sin 2 olduğundan (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, ardından tekrarlanan integrallerden herhangi birinin varlığı biçiminde çift katlı I integralinin varlığı için yeterli koşulların karşılanabilirliğinin kontrol edilmesi

bunu özel olarak yapmanıza gerek yoktur ve tekrarlanan integrali hemen hesaplamaya geçebilirsiniz.

Eğer varsa çift katlı integral de vardır ve I = I 1 . Çünkü

Yani ben = .n

Örnek 2.14.

Üçgensel bölge üzerindeki çift katlı integrali hesaplayın (bkz. Şekil 2.6), bunu tekrarlanan bölgeye indirgeyin

Gr(E) = ( : x = 0, y = 0, x + y = 2).

Öncelikle çift katlı I integralinin varlığını doğrulayalım. Bunun için tekrarlı integralin varlığını doğrulamak yeterlidir.

onlar. integrandlar integrasyon aralıklarında süreklidir, çünkü hepsi güç fonksiyonudur. Bu nedenle I 1 integrali mevcuttur. Bu durumda çift katlı integral de mevcuttur ve tekrarlanan herhangi bir integrale eşittir;

Örnek 2.15.

Çift katlı ve yinelenen integral kavramları arasındaki bağlantıyı daha iyi anlamak için, ilk okumada atlanabilecek aşağıdaki örneği düşünün. İki değişkenli f(x, y) fonksiyonu verilmiştir

Sabit x için bu fonksiyonun y'de tek olduğunu ve sabit y için x'te tek olduğunu unutmayın. Bu fonksiyonun entegre edildiği E kümesi olarak E = ( : -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1).

İlk önce yinelenen integrali ele alalım

İç integral

sabit y olarak alınır, -1 £ y £ 1. Sabit y'nin integrali x'te tek olduğundan ve bu değişken üzerinden integral 0 noktasına göre simetrik olan [-1, 1] parçası üzerinde gerçekleştirildiğinden, o zaman iç integral 0'a eşittir. Açıkçası, sıfır fonksiyonunun y değişkeni üzerindeki dış integrali de 0'a eşittir;

İkinci yinelenen integral için benzer akıl yürütme aynı sonuca yol açar:

Dolayısıyla, söz konusu f(x, y) fonksiyonu için tekrarlanan integraller mevcuttur ve birbirlerine eşittirler. Ancak f(x, y) fonksiyonunun çift katlı integrali yoktur. Bunu görmek için tekrarlanan integrallerin hesaplanmasının geometrik anlamına bakalım.

Yinelenen integrali hesaplamak için

E karesinin özel bir bölümü ve ayrıca integral toplamların özel bir hesaplaması kullanılır. Yani, E karesi yatay şeritlere bölünmüştür (bkz. Şekil 2.7) ve her şerit küçük dikdörtgenlere bölünmüştür. Her şerit, y değişkeninin belirli bir değerine karşılık gelir; örneğin bu, şeridin yatay ekseninin ordinatı olabilir.

İntegral toplamların hesaplanması şu şekilde gerçekleştirilir: ilk önce toplamlar her bant için ayrı ayrı hesaplanır, yani. farklı x için sabit y'de ve daha sonra bu ara toplamlar farklı bantlar için toplanır, yani. farklı y için. Eğer bölümün inceliği sıfıra yaklaşıyorsa, o zaman limitte yukarıda bahsedilen tekrarlanan integrali elde ederiz.

İkinci yinelenen integral için açıktır ki

E kümesi farklı x'lere karşılık gelen dikey şeritlere bölünmüştür. Ara toplamlar her bant içinde küçük dikdörtgenler halinde hesaplanır; y boyunca ve sonra farklı bantlar için toplanırlar, yani. x tarafından. Limitte, bölümün inceliği sıfıra yaklaştığında karşılık gelen yinelenen integrali elde ederiz.

Çift katlı bir integralin var olmadığını kanıtlamak için, bir bölüm örneği vermek yeterlidir; integral toplamlarının hesaplanması, bölümün inceliği sıfıra doğru gittiğinde limitte, değerden farklı bir sonuç verir. tekrarlanan integrallerin Kutupsal koordinat sistemine (r, j) karşılık gelen böyle bir bölüme bir örnek verelim (bkz. Şekil 2.8).

Kutupsal koordinat sisteminde, M 0 (x 0 , y 0) düzlemindeki herhangi bir noktanın konumu, burada x 0 , y 0, M 0 noktasının Kartezyen koordinatlarıdır, yarıçapın uzunluğu r 0 ile belirlenir. orijine ve bu yarıçapın oluşturduğu j0 açısına pozitif bir x ekseni yönü ile bağlanır (açı saat yönünün tersine sayılır). Kartezyen ve kutupsal koordinatlar arasındaki bağlantı açıktır:

y 0 = r 0 × sinj 0 .

Bölme aşağıdaki gibi oluşturulmuştur. Öncelikle E karesi, yarıçapları koordinatların merkezinden çıkan sektörlere bölünür ve ardından her sektör, sektör eksenine dik çizgilerle küçük yamuklara bölünür. İntegral toplamların hesaplanması şu şekilde gerçekleştirilir: önce her sektörün içindeki küçük yamuklar boyunca kendi ekseni boyunca (r boyunca) ve ardından tüm sektörler boyunca (j boyunca). Her sektörün konumu j ekseninin açısı ile karakterize edilir ve r(j) ekseninin uzunluğu bu açıya bağlıdır:

eğer veya ise; o zaman;

eğer öyleyse;

eğer öyleyse

eğer öyleyse.

Bölmenin inceliği sıfıra yaklaştığında kutupsal bir bölümün integral toplamlarının sınırına geçerek, çift katlı integralin kutupsal koordinatlarda bir temsilini elde ederiz. Böyle bir gösterim, Kartezyen koordinatların (x, y) kutupsal olanlarla (r, j) değiştirilmesiyle tamamen resmi bir şekilde elde edilebilir.

İntegrallerde Kartezyen'den kutupsal koordinatlara geçiş kurallarına göre, tanım gereği yazılmalıdır:

Kutupsal koordinatlarda f(x, y) fonksiyonu şu şekilde yazılacaktır:

Sonunda elimizde

Son formülde iç integral (uygunsuz)

r(j) fonksiyonunun yukarıda belirtildiği yerde, 0 £ j £ 2p, herhangi bir j için +¥'ye eşittir, çünkü

Dolayısıyla j üzerinden hesaplanan dış integraldeki integral herhangi bir j için tanımlı değildir. Ancak o zaman dış integralin kendisi tanımlanmamıştır, yani. orijinal çift katlı integral tanımlı değildir.

f(x, y) fonksiyonunun, E kümesi üzerinde çift katlı bir integralin varlığı için yeterli koşulu sağlamadığına dikkat edin. İntegralin şunu gösterelim:

bulunmuyor. Gerçekten mi,

Benzer şekilde integral için de aynı sonuç elde edilir.

Çift katlı integral kavramı

Çift katlı integral (DI), tek değişkenli bir fonksiyonun belirli integralinin (DI), iki değişkenli bir fonksiyon durumuna genelleştirilmesidir.

$xOy$ koordinat düzleminde bulunan kapalı bir $D$ etki alanında sürekli negatif olmayan bir $z=f\left(x,y\right)$ fonksiyonu tanımlansın. $z=f\left(x,y\right)$ işlevi, $D$ etki alanına yansıtılan belirli bir yüzeyi tanımlar. $D$ bölgesi, sınır noktaları aynı zamanda $D$ bölgesine ait olan kapalı bir $L$ çizgisiyle sınırlanmıştır. $L$ çizgisinin, $y=\vartheta \left(x\right)$ veya $x=\psi \left(y\right)$ biçimindeki denklemlerle tanımlanan sonlu sayıda sürekli eğriden oluştuğunu varsayıyoruz. .

$D$ bölgesini $\Delta S_(i) $ alanının $n$ keyfi bölümlerine bölelim. Bölümlerin her birinde rastgele bir nokta seçiyoruz $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Bu noktaların her birinde, verilen $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$ fonksiyonunun değerini hesaplıyoruz. $z=f\left(x,y\right)$ yüzeyinin $\Delta S_(i) $ alanına yansıtılan kısmının altındaki hacmi ele alalım. Geometrik olarak, bu hacim yaklaşık olarak tabanı $\Delta S_(i) $ ve yüksekliği $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$ olan bir silindirin hacmi olarak temsil edilebilir. yani $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $ çarpımına eşittir. Daha sonra $D$ bölgesindeki $z=f\left(x,y\right)$ yüzeyinin tamamının altındaki hacim, yaklaşık olarak tüm silindirlerin hacimlerinin toplamı olarak hesaplanabilir $\sigma =\sum \limits _( i=1)^(n )f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Bu toplam, $D$ etki alanındaki $f\left(x,y\right)$ fonksiyonunun integral toplamı olarak adlandırılır.

Bir kesitin çapına $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ $\Delta S_(i) $ diyelim, bu kesitin uç noktaları arasındaki en büyük mesafe. $\lambda $, $D$ bölgesindeki tüm kesitlerin çaplarının en büyüğünü göstersin. $D$ alan adının bölümlenmesinde sınırsız $n\ ila \infty $ ayrıntılandırma nedeniyle $\lambda \to 0$ olsun.

Tanım

$I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $ integral toplamının bir limiti varsa, bu sayıya $f\left(x,y\ fonksiyonunun CI'si denir) right)$ $D $ alanı üzerinde ve $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ veya $I=\iint \limits _(D)f\ anlamına gelir left(x,y\right) \cdot dx\cdot dy $.

Bu durumda, $D$ bölgesine entegrasyon bölgesi denir, $x$ ve $y$ entegrasyon değişkenleridir ve $dS=dx\cdot dy$ alan elemanıdır.

Tanımdan DI'nin geometrik anlamı çıkar: belirli bir eğrisel silindirin hacminin tam değerini verir.

Çift katlı integrallerin uygulanması

Vücut hacmi

DI'nin geometrik anlamına uygun olarak, bir cismin $V$ hacmi yukarıda $z=f\left(x,y\right)\ge 0$ yüzeyiyle, aşağıda düzlemdeki $D$ bölgesiyle sınırlanmıştır. Jeneratörleri $Oz$ eksenine paralel olan ve kılavuz $D$ bölgesinin ($L$ çizgisi) konturu olan, yanlarda silindirik bir yüzey olan $xOy$, $ formülüyle hesaplanır. V=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.

Gövdenin $z=f_(2) \left(x,y\right)$ yüzeyini yukarıdan ve $z=f_(1) \left(x,y\right)$ yüzeyini aşağıdan sınırlamasına izin verin ve $f_( 2) \left(x,y\right)\ge f_(1) \left(x,y\right)$. Her iki yüzeyin $xOy$ düzlemine izdüşümü aynı $D$ bölgesidir. Daha sonra böyle bir cismin hacmi şu formül kullanılarak hesaplanır: $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y) \right)\right )\cdot dx\cdot dy $.

$D$ etki alanında $f\left(x,y\right)$ fonksiyonunun işaret değiştirdiğini varsayalım. Daha sonra, ilgili cismin hacmini hesaplamak için $D$ bölgesinin iki parçaya bölünmesi gerekir: $D_(1) $ kısmı, burada $f\left(x,y\right)\ge 0$ ve kısmı $D_(2) $, burada $f\left(x,y\right)\le 0$. Bu durumda, $D_(1) $ bölgesi üzerindeki integral pozitif olacak ve vücudun $xOy$ düzleminin üzerinde yer alan kısmının hacmine eşit olacaktır. $D_(2) $ alanı üzerindeki integral negatif olacak ve mutlak değerde, $xOy$ düzleminin altında kalan gövde kısmının hacmine eşit olacaktır.

Düz bir figürün alanı

$xOy$ koordinat düzleminde $f\left(x,y\right)\equiv 1$ $D$ bölgesinin her yerine koyarsak, o zaman CI sayısal olarak $D entegrasyon bölgesinin alanına eşittir $, yani $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. Kutupsal koordinat sisteminde aynı formül $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $ biçimini alır.

Keyfi bir yüzeyin alanı

$z=f_(1) \left(x,y\right)$ denklemiyle verilen bazı $Q$ yüzeyinin, $xOy$ koordinat düzlemine $D_(1)$ etki alanına yansıtılmasına izin verin. Bu durumda, $Q$ yüzey alanı şu formül kullanılarak hesaplanabilir: $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) \right)^ (2) +\left(\frac(\partial z)(\partial y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.

Madde miktarı

$D$ bölgesinde yüzey yoğunluğu $\rho \left(x,y\right)$ olan bir maddenin $xOy$ düzleminde dağıldığını varsayalım. Bu, $\rho \left(x,y\right)$ yüzey yoğunluğunun, $D$ bölgesinin $dx\cdot dy$ temel alanı başına maddenin kütlesi olduğu anlamına gelir. Bu koşullar altında, maddenin toplam kütlesi $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $ formülü kullanılarak hesaplanabilir.

“Maddenin” bir elektrik yükü, ısı vb. olabileceğini unutmayın.

Düz bir figürün kütle merkezinin koordinatları

Düz bir şeklin kütle merkezinin koordinat değerlerini hesaplamaya yönelik formüller aşağıdaki gibidir:$ $$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x) ,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $.

Paylardaki miktarlara, $Oy$ ve $Ox$ eksenleri etrafındaki $D$ düzlem şeklinin sırasıyla $M_(y) $ ve $M_(x) $ statik momentleri denir.

Düz şekil homojen ise, yani $\rho =const$, o zaman bu formüller basitleştirilir ve kütle aracılığıyla değil, düz şeklin alanı aracılığıyla ifade edilir $S$: $x_(c) = \frac(\iint \limits _(D )x\cdot dx\cdot dy )(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy )( $.

Düzlemsel bir figürün alanının atalet momentleri

$xOy$ düzlemindeki maddi düz bir şekli ele alalım. Bunu, toplam kütlesi $M$ olan bir maddenin değişken yüzey yoğunluğu $\rho \left(x,y\right)$ ile dağıtıldığı belirli bir $D$ bölgesi olarak hayal edelim.

Düz bir şeklin alanının $Oy$ eksenine göre eylemsizlik momentinin değeri: $I_(y) \; =\; \iint \limits _(D)x^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. $Ox$ eksenine göre eylemsizlik momentinin değeri: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot\; dx\; \cdot dy $. Düz bir şeklin orijine göre eylemsizlik momenti, koordinat eksenlerine göre eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir, yani $I_(O) =I_(x) +I_(y) $.

Üç değişkenli fonksiyonlar için üçlü integraller tanıtıldı.

Üç boyutlu uzayın belirli bir $V$ bölgesinin verildiğini ve kapalı bir $S$ yüzeyiyle sınırlandığını varsayalım. Yüzeyde bulunan noktaların da $V$ bölgesine ait olduğunu varsayıyoruz. $V$ etki alanında bazı sürekli $f\left(x,y,z\right)$ fonksiyonunun verildiğini varsayalım. Örneğin, $f\left(x,y,z\right)\ge 0$ koşuluyla böyle bir fonksiyon, bazı maddelerin hacimsel dağılım yoğunluğu, sıcaklık dağılımı vb. olabilir.

$V$ bölgesini hacimleri $\Delta V_(i) $ olan $n$ keyfi parçalara bölelim. Her bölümde rastgele bir nokta seçiyoruz $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. Bu noktaların her birinde, verilen $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$ fonksiyonunun değerini hesaplıyoruz.

$\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot integral toplamını oluşturalım \Delta V_ (i) $ ve $\left(n\'i \infty \right)$ $V$ bölgesinin bölümüne süresiz olarak hassaslaştıracağız, böylece tüm parçaların çaplarının en büyüğü $\lambda $ $\Delta olacak V_(i) $ süresiz olarak azalır $ \left(\lambda \to 0\right)$.

Tanım

Yukarıdaki koşullar altında, bu integral toplamının mevcut $I$ limiti, $f\left(x,y,z\right)$ fonksiyonunun $V$ tanım kümesi üzerindeki üçlü integrali olarak adlandırılır ve $I\ ile gösterilir. ; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\; \cdot dV $ veya $I\; =\; \iiiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz$.