Grader formler används i processen att reducera och förenkla komplexa uttryck, för att lösa ekvationer och ojämlikheter.
siffra cär n-te potensen av ett tal a När:
Verksamhet med examina.
1. Genom att multiplicera grader med samma bas läggs deras indikatorer till:
en m·a n = a m + n .
2. När man dividerar grader med samma bas, subtraheras deras exponenter:
3. Graden av produkten av 2 eller flera faktorer är lika med produkten av graderna av dessa faktorer:
(abc...) n = a n · b n · c n …
4. Graden av ett bråk är lika med förhållandet mellan graderna av utdelningen och divisorn:
(a/b) n = a n/b n .
5. Genom att höja en potens till en potens multipliceras exponenterna:
(a m) n = a m n .
Varje formel ovan är sann i riktningarna från vänster till höger och vice versa.
Till exempel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Verksamhet med rötter.
1. Roten av produkten av flera faktorer är lika med produkten av rötterna av dessa faktorer:
2. Roten av ett förhållande är lika med förhållandet mellan utdelningen och rötternas divisor:
3. När man höjer en rot till en makt räcker det att höja det radikala talet till denna makt:
4. Om du ökar graden av roten in n en gång och samtidigt bygga in n potensen är ett radikalt tal, då ändras inte rotens värde:
5. Om du minskar graden av roten in n extrahera roten samtidigt n-te potensen av ett radikalt tal, då ändras inte rotens värde:
En grad med negativ exponent. Potensen för ett visst tal med en icke-positiv (heltals) exponent definieras som en dividerad med potensen av samma tal med en exponent lika med det absoluta värdet av den icke-positiva exponenten:
Formel en m:a n =a m - n kan användas inte bara för m> n, men också med m< n.
Till exempel. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Till formel en m:a n =a m - n blev rättvist när m=n, krävs närvaro av noll grader.
En grad med nollindex. Potensen för ett tal som inte är lika med noll med en nollexponent är lika med ett.
Till exempel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Grad med bråkexponent. Att höja ett reellt tal A till den grad m/n, måste du extrahera roten n e graden av m-e potensen av detta tal A.
Excel använder inbyggda funktioner och matematiska operatorer för att extrahera roten och höja ett tal till en potens. Låt oss titta på exempel.
Exempel på SQRT-funktionen i Excel
Den inbyggda SQRT-funktionen returnerar det positiva kvadratrotsvärdet. I menyn Funktioner finns det under kategorin Math.
Funktionssyntax: =ROOT(tal).
Det enda och obligatoriska argumentet är ett positivt tal för vilket funktionen beräknar kvadratroten. Om argumentet är negativt returnerar Excel ett #NUM!-fel.
Du kan ange ett specifikt värde eller en referens till en cell med ett numeriskt värde som argument.
Låt oss titta på exempel.
Funktionen returnerade kvadratroten av talet 36. Argumentet är ett specifikt värde.
ABS-funktionen returnerar det absoluta värdet av -36. Dess användning gjorde det möjligt för oss att undvika fel när vi extraherade kvadratroten ur ett negativt tal.
Funktionen tog kvadratroten av summan av 13 och värdet av cell C1.
Exponentieringsfunktion i Excel
Funktionssyntax: =POWER(värde, tal). Båda argumenten krävs.
Värde är vilket verkligt numeriskt värde som helst. Ett tal är en indikator på styrkan till vilken ett givet värde måste höjas.
Låt oss titta på exempel.
I cell C2 - resultatet av att kvadrera talet 10.
Funktionen returnerade talet 100 upphöjt till ¾.
Exponentiering med operator
För att höja ett tal till en potens i Excel kan du använda den matematiska operatorn "^". För att ange den, tryck Skift + 6 (med engelsk tangentbordslayout).
För att Excel ska behandla den inmatade informationen som en formel placeras först tecknet "=". Nästa är siffran som måste höjas till en makt. Och efter "^"-tecknet står gradens värde.
Istället för valfritt värde i den här matematiska formeln kan du använda referenser till celler med siffror.
Detta är praktiskt om du behöver konstruera flera värden.
Genom att kopiera formeln till hela kolumnen fick vi snabbt resultatet av att höja siffrorna i kolumn A till tredje potens.
Extrahera n:te rötter
ROOT är kvadratrotfunktionen i Excel. Hur extraherar man roten av 3:e, 4:e och andra grader?
Låt oss komma ihåg en av de matematiska lagarna: för att extrahera den n:te roten måste du höja talet till potensen 1/n.
Till exempel, för att extrahera kubroten, höjer vi talet till potensen 1/3.
Låt oss använda formeln för att extrahera rötter av olika grader i Excel.
Formeln returnerade värdet av kubroten av talet 21. För att höja till en bråkpotens användes operatorn "^".
Grattis: idag ska vi titta på rötter - ett av de mest häpnadsväckande ämnena i 8:e klass. :)
Många människor blir förvirrade över rötter, inte för att de är komplexa (vad är det som är så komplicerat med det - ett par definitioner och ett par egenskaper till), utan för att i de flesta skolböcker definieras rötter genom en sådan djungel att endast läroböckernas författare själva kan förstå denna skrift. Och även då bara med en flaska god whisky. :)
Därför kommer jag nu att ge den mest korrekta och mest kompetenta definitionen av en rot - den enda som du verkligen bör komma ihåg. Och sedan ska jag förklara: varför allt detta behövs och hur man tillämpar det i praktiken.
Men kom först ihåg en viktig punkt som många lärobokskompilatorer av någon anledning "glömmer":
Rötter kan vara av jämn grad (vår favorit $\sqrt(a)$, såväl som alla sorters $\sqrt(a)$ och till och med $\sqrt(a)$) och udda grad (alla sorters $\sqrt) (a)$, $\ sqrt(a)$, etc.). Och definitionen av en rot av en udda grad är något annorlunda än en jämn.
Förmodligen är 95% av alla fel och missförstånd associerade med rötter gömda i detta jävla "något annorlunda". Så låt oss rensa upp terminologin en gång för alla:
Definition. Även rot n från talet $a$ är någon icke-negativ talet $b$ är sådant att $((b)^(n))=a$. Och den udda roten av samma tal $a$ är i allmänhet vilket tal $b$ som helst för vilket samma likhet gäller: $((b)^(n))=a$.
Roten betecknas i alla fall så här:
\(a)\]
Talet $n$ i en sådan notation kallas rotexponenten, och talet $a$ kallas det radikala uttrycket. I synnerhet för $n=2$ får vi vår "favorit" kvadratrot (förresten, detta är en rot av jämn grad), och för $n=3$ får vi en kubikrot (udda grad), vilket är finns också ofta i problem och ekvationer.
Exempel. Klassiska exempel på kvadratrötter:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
Förresten, $\sqrt(0)=0$ och $\sqrt(1)=1$. Detta är ganska logiskt, eftersom $((0)^(2))=0$ och $((1)^(2))=1$.
Kubrötter är också vanliga - du behöver inte vara rädd för dem:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
Tja, ett par "exotiska exempel":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Om du inte förstår vad skillnaden är mellan en jämn och en udda grad, läs om definitionen igen. Det är väldigt viktigt!
Under tiden kommer vi att överväga en obehaglig egenskap hos rötter, på grund av vilken vi behövde införa en separat definition för jämna och udda exponenter.
Varför behövs rötter överhuvudtaget?
Efter att ha läst definitionen kommer många elever att fråga: "Vad rökte matematikerna när de kom på det här?" Och egentligen: varför behövs alla dessa rötter överhuvudtaget?
För att svara på denna fråga, låt oss gå tillbaka till grundskolan för ett ögonblick. Kom ihåg: i dessa avlägsna tider, när träden var grönare och dumplings godare, var vår främsta uppgift att multiplicera siffror korrekt. Tja, något i stil med "fem gånger fem - tjugofem", det är allt. Men du kan multiplicera tal inte i par, utan i trillingar, fyrdubblar och i allmänhet hela mängder:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Detta är dock inte poängen. Tricket är annorlunda: matematiker är lata människor, så de hade svårt att skriva ner multiplikationen av tio femmor så här:
Det var därför de kom på grader. Varför inte skriva antalet faktorer som en upphöjd istället för en lång sträng? Något som det här:
Det är väldigt bekvämt! Alla beräkningar reduceras avsevärt, och du behöver inte slösa bort ett gäng pergamentark och anteckningsböcker för att skriva ner cirka 5 183. Denna skiva kallades en kraft av ett nummer; ett gäng egenskaper hittades i den, men lyckan visade sig vara kortvarig.
Efter en storslagen dryckesfest, som anordnades bara för att "upptäcka" examina, frågade plötsligt någon särskilt envis matematiker: "Tänk om vi vet graden av ett tal, men talet i sig är okänt?" Om vi nu vet att ett visst tal $b$, säg, till 5:e potensen ger 243, hur kan vi då gissa vad talet $b$ i sig är lika med?
Detta problem visade sig vara mycket mer globalt än det kan tyckas vid första anblicken. För det visade sig att för de flesta "färdiga" krafter finns det inga sådana "initial" nummer. Bedöm själv:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Högerpil b=3\cdot 3\cdot 3\Högerpil b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Högerpil b=4\cdot 4\cdot 4\Högerpil b=4. \\ \end(align)\]
Vad händer om $((b)^(3))=50$? Det visar sig att vi måste hitta ett visst tal som, när det multipliceras med sig självt tre gånger, ger oss 50. Men vad är detta tal? Det är klart större än 3, eftersom 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Det vill säga detta nummer ligger någonstans mellan tre och fyra, men du kommer inte att förstå vad det är lika med.
Det är just därför matematiker kom på $n$th rötter. Det är just därför den radikala symbolen $\sqrt(*)$ introducerades. För att beteckna själva talet $b$, som i angiven grad kommer att ge oss ett tidigare känt värde
\[\sqrt[n](a)=b\högerpil ((b)^(n))=a\]
Jag argumenterar inte: ofta är dessa rötter lätt beräknade - vi såg flera sådana exempel ovan. Men ändå, i de flesta fall, om du tänker på ett godtyckligt tal och sedan försöker extrahera roten till en godtycklig grad från det, kommer du att få en fruktansvärd bummer.
Vad finns det! Även den enklaste och mest välbekanta $\sqrt(2)$ kan inte representeras i vår vanliga form - som ett heltal eller en bråkdel. Och om du anger detta nummer i en miniräknare kommer du att se detta:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Som du kan se, efter decimaltecknet finns det en oändlig sekvens av tal som inte följer någon logik. Du kan naturligtvis avrunda detta nummer för att snabbt jämföra med andra siffror. Till exempel:
\[\sqrt(2)=1,4142...\ca 1,4 \lt 1,5\]
Eller här är ett annat exempel:
\[\sqrt(3)=1,73205...\ca 1,7 \gt 1,5\]
Men alla dessa avrundningar är för det första ganska grova; och för det andra måste du också kunna arbeta med ungefärliga värden, annars kan du fånga en massa icke-uppenbara fel (förresten, skickligheten i jämförelse och avrundning krävs för att testas på profilen Unified State Examination).
Därför kan du i seriös matematik inte klara dig utan rötter - de är samma lika representanter för mängden av alla reella tal $\mathbb(R)$, precis som de bråk och heltal som länge varit bekanta för oss.
Oförmågan att representera en rot som en bråkdel av formen $\frac(p)(q)$ betyder att denna rot inte är ett rationellt tal. Sådana tal kallas irrationella, och de kan inte representeras korrekt förutom med hjälp av en radikal eller andra konstruktioner speciellt utformade för detta (logaritmer, potenser, gränser, etc.). Men mer om det en annan gång.
Låt oss överväga flera exempel där, efter alla beräkningar, irrationella tal fortfarande kommer att finnas kvar i svaret.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ca 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]
Naturligtvis från rotens utseende är det nästan omöjligt att gissa vilka siffror som kommer efter decimalkomma. Du kan dock räkna med en miniräknare, men även den mest avancerade datumräknaren ger oss bara de första siffrorna i ett irrationellt tal. Därför är det mycket mer korrekt att skriva svaren i formen $\sqrt(5)$ och $\sqrt(-2)$.
Det är precis därför de uppfanns. För att bekvämt spela in svar.
Varför behövs två definitioner?
Den uppmärksamma läsaren har säkert redan lagt märke till att alla kvadratrötter som anges i exemplen är hämtade från positiva tal. Tja, åtminstone från grunden. Men kubrötter kan lugnt extraheras från absolut vilket tal som helst - vare sig det är positivt eller negativt.
Varför händer det här? Ta en titt på grafen för funktionen $y=((x)^(2))$:
Grafen för en kvadratisk funktion ger två rötter: positiva och negativa Låt oss försöka beräkna $\sqrt(4)$ med den här grafen. För att göra detta ritas en horisontell linje $y=4$ på grafen (markerad i rött), som skär parabeln på två punkter: $((x)_(1))=2$ och $((x) )_(2)) =-2$. Detta är ganska logiskt, eftersom
Allt är klart med den första siffran - den är positiv, så det är roten:
Men vad ska man göra med den andra punkten? Som att fyra har två rötter samtidigt? När allt kommer omkring, om vi kvadrerar talet −2 får vi också 4. Varför inte skriva $\sqrt(4)=-2$ då? Och varför tittar lärare på sådana inlägg som om de vill äta upp dig? :)
Problemet är att om du inte ställer några ytterligare villkor, kommer fyrhjulingen att ha två kvadratrötter - positiva och negativa. Och varje positivt tal kommer också att ha två av dem. Men negativa tal kommer inte att ha några rötter alls - detta kan ses från samma graf, eftersom parabeln aldrig faller under axeln y, dvs. accepterar inte negativa värden.
Ett liknande problem uppstår för alla rötter med en jämn exponent:
- Strängt taget kommer varje positivt tal att ha två rötter med jämn exponent $n$;
- Från negativa tal extraheras inte roten med jämn $n$ alls.
Det är därför som det i definitionen av en rot av en jämn grad $n$ specifikt föreskrivs att svaret måste vara ett icke-negativt tal. Det är så vi blir av med oklarheter.
Men för udda $n$ finns det inget sådant problem. För att se detta, låt oss titta på grafen för funktionen $y=((x)^(3))$:
En kubparabel kan ta vilket värde som helst, så kubroten kan tas från vilket tal som helst Två slutsatser kan dras från denna graf:
- Grenarna på en kubisk parabel, till skillnad från en vanlig, går till oändlighet i båda riktningarna - både upp och ner. Därför, oavsett vilken höjd vi ritar en horisontell linje, kommer denna linje säkert att skära med vår graf. Följaktligen kan kubroten alltid extraheras från absolut vilket tal som helst;
- Dessutom kommer en sådan korsning alltid att vara unik, så du behöver inte tänka på vilket nummer som anses vara den "rätta" roten och vilken du ska ignorera. Det är därför det är enklare att bestämma rötter för en udda grad än för en jämn grad (det finns inget krav på icke-negativitet).
Det är synd att dessa enkla saker inte förklaras i de flesta läroböcker. Istället börjar våra hjärnor sväva med alla möjliga aritmetiska rötter och deras egenskaper.
Ja, jag argumenterar inte: du måste också veta vad en aritmetisk rot är. Och jag kommer att prata om detta i detalj i en separat lektion. Idag kommer vi också att prata om det, för utan det skulle alla tankar om rötter av $n$-th multiplicitet vara ofullständiga.
Men först måste du tydligt förstå definitionen som jag gav ovan. Annars, på grund av överflöd av termer, kommer en sådan röra att börja i ditt huvud att du i slutändan inte kommer att förstå någonting alls.
Allt du behöver göra är att förstå skillnaden mellan jämna och udda indikatorer. Låt oss därför återigen samla allt du verkligen behöver veta om rötter:
- En rot av en jämn grad existerar endast från ett icke-negativt tal och är i sig själv alltid ett icke-negativt tal. För negativa tal är en sådan rot odefinierad.
- Men roten till en udda grad existerar från vilket tal som helst och kan själv vara vilket tal som helst: för positiva tal är det positivt, och för negativa tal, som kapsylen antyder, är det negativt.
Är det svårt? Nej, det är inte svårt. Kusten är klar? Ja, det är helt uppenbart! Så nu ska vi öva lite på beräkningarna.
Grundläggande egenskaper och begränsningar
Rötter har många konstiga egenskaper och begränsningar - detta kommer att diskuteras i en separat lektion. Därför kommer vi nu bara att överväga det viktigaste "tricket", som endast gäller rötter med ett jämnt index. Låt oss skriva den här egenskapen som en formel:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\vänster| x\höger|\]
Med andra ord, om vi höjer ett tal till en jämn potens och sedan extraherar roten av samma potens, får vi inte det ursprungliga talet, utan dess modul. Detta är en enkel sats som lätt kan bevisas (det räcker att betrakta icke-negativa $x$ separat och sedan negativa separat). Lärare pratar ständigt om det, det finns i varje skolbok. Men så snart det gäller att lösa irrationella ekvationer (dvs ekvationer som innehåller ett radikalt tecken), glömmer eleverna enhälligt denna formel.
För att förstå problemet i detalj, låt oss glömma alla formler för en minut och försöka beräkna två tal rakt fram:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Det här är väldigt enkla exempel. De flesta kommer att lösa det första exemplet, men många fastnar i det andra. För att lösa sådan skit utan problem, överväg alltid proceduren:
- Först höjs siffran till fjärde potens. Tja, det är lite lätt. Du kommer att få ett nytt tal som kan hittas även i multiplikationstabellen;
- Och nu från detta nya nummer är det nödvändigt att extrahera den fjärde roten. De där. ingen "reduktion" av rötter och krafter sker - dessa är sekventiella handlingar.
Låt oss titta på det första uttrycket: $\sqrt(((3)^(4)))$. Självklart måste du först beräkna uttrycket under roten:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Sedan extraherar vi den fjärde roten av talet 81:
Låt oss nu göra samma sak med det andra uttrycket. Först höjer vi talet −3 till fjärde potensen, vilket kräver att vi multiplicerar det med sig självt 4 gånger:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ vänster(-3 \höger)=81\]
Vi fick ett positivt tal, eftersom det totala antalet minus i produkten är 4, och de kommer alla att ta bort varandra (trots allt ger ett minus för ett minus ett plus). Sedan extraherar vi roten igen:
I princip kunde den här raden inte ha skrivits, eftersom det är en självklarhet att svaret skulle vara detsamma. De där. en jämn rot av samma jämna kraft "bränner" minusen, och i denna mening går resultatet inte att skilja från en vanlig modul:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\vänster(-3 \höger))^(4)))=\vänster| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]
Dessa beräkningar stämmer väl överens med definitionen av en rot av en jämn grad: resultatet är alltid icke-negativt, och det radikala tecknet innehåller också alltid ett icke-negativt tal. Annars är roten odefinierad.
Anmärkning om proceduren
- Notationen $\sqrt(((a)^(2)))$ betyder att vi först kvadrerar talet $a$ och sedan tar kvadratroten av det resulterande värdet. Därför kan vi vara säkra på att det alltid finns ett icke-negativt tal under rottecknet, eftersom $((a)^(2))\ge 0$ i alla fall;
- Men notationen $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ betyder tvärtom att vi först tar roten av ett visst tal $a$ och först därefter kvadrerar resultatet. Därför kan talet $a$ inte i något fall vara negativt - detta är ett obligatoriskt krav som ingår i definitionen.
Således bör man inte i något fall tanklöst reducera rötter och grader och därigenom påstås "förenkla" det ursprungliga uttrycket. För om roten har ett negativt tal och dess exponent är jämn, får vi en massa problem.
Alla dessa problem är dock endast relevanta för jämna indikatorer.
Ta bort minustecknet under rottecknet
Naturligtvis har rötter med udda exponenter också sina egna egenskaper, som i princip inte finns med jämna. Nämligen:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Kort sagt, du kan ta bort minus från under tecknet på rötter av udda grad. Detta är en mycket användbar egenskap som låter dig "kasta ut" alla nackdelar:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Denna enkla egenskap förenklar avsevärt många beräkningar. Nu behöver du inte oroa dig: tänk om ett negativt uttryck gömdes under roten, men graden vid roten visade sig vara jämn? Det räcker att bara "kasta ut" alla minus utanför rötterna, varefter de kan multipliceras med varandra, delas och i allmänhet göra många misstänkta saker, som i fallet med "klassiska" rötter garanterat leder oss till ett fel.
Och här kommer en annan definition upp på scenen - samma som man i de flesta skolor börjar studera irrationella uttryck med. Och utan vilket vårt resonemang skulle vara ofullständigt. Träffa!
Aritmetisk rot
Låt oss för ett ögonblick anta att det under rottecknet bara kan finnas positiva tal eller, i extrema fall, noll. Låt oss glömma jämna/udda indikatorer, låt oss glömma alla definitioner som ges ovan - vi kommer bara att arbeta med icke-negativa tal. Vad händer då?
Och då kommer vi att få en aritmetisk rot - den överlappar delvis med våra "standard" definitioner, men skiljer sig fortfarande från dem.
Definition. En aritmetisk rot av $n$:te graden av ett icke-negativt tal $a$ är ett icke-negativt tal $b$ så att $((b)^(n))=a$.
Som vi kan se är vi inte längre intresserade av paritet. Istället dök en ny begränsning upp: det radikala uttrycket är nu alltid icke-negativt, och själva roten är också icke-negativ.
För att bättre förstå hur den aritmetiska roten skiljer sig från den vanliga, ta en titt på graferna för kvadraten och den kubiska parabeln vi redan är bekanta med:
Aritmetiskt rotsökområde - icke-negativa tal Som du kan se är vi från och med nu bara intresserade av de bitar av grafer som finns i det första koordinatkvartalet - där koordinaterna $x$ och $y$ är positiva (eller åtminstone noll). Du behöver inte längre titta på indikatorn för att förstå om vi har rätt att sätta ett negativt tal under roten eller inte. Eftersom negativa tal inte längre betraktas i princip.
Du kanske frågar: "Tja, varför behöver vi en sådan kastrerad definition?" Eller: "Varför kan vi inte klara oss med standarddefinitionen ovan?"
Tja, jag kommer bara att ge en egenskap på grund av vilken den nya definitionen blir lämplig. Till exempel, regeln för exponentiering:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]
Observera: vi kan höja det radikala uttrycket till vilken potens som helst och samtidigt multiplicera rotexponenten med samma potens - och resultatet blir samma tal! Här är exempel:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Så vad är grejen? Varför kunde vi inte göra detta tidigare? Här är varför. Låt oss överväga ett enkelt uttryck: $\sqrt(-2)$ - detta tal är ganska normalt i vår klassiska uppfattning, men absolut oacceptabelt ur den aritmetiska rotens synvinkel. Låt oss försöka konvertera det:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Som du kan se tog vi bort minuset under radikalen i det första fallet (vi har all rätt, eftersom exponenten är udda), och i det andra fallet använde vi formeln ovan. De där. Ur en matematisk synvinkel sker allt enligt reglerna.
WTF?! Hur kan samma tal vara både positivt och negativt? Aldrig. Det är bara det att formeln för exponentiering, som fungerar utmärkt för positiva tal och noll, börjar producera fullständig kätteri i fallet med negativa tal.
Det var för att bli av med sådan oklarhet som aritmetiska rötter uppfanns. En separat stor lektion ägnas åt dem, där vi överväger alla deras egenskaper i detalj. Så vi kommer inte att uppehålla oss vid dem nu - lektionen har redan visat sig vara för lång.
Algebraisk rot: för den som vill veta mer
Jag funderade länge på om jag skulle lägga detta ämne i ett separat stycke eller inte. Till slut bestämde jag mig för att lämna den här. Detta material är avsett för dem som vill förstå rötterna ännu bättre - inte längre på den genomsnittliga "skolenivån", utan på en nära olympiadnivån.
Så: förutom den "klassiska" definitionen av $n$:te roten av ett tal och den tillhörande uppdelningen i jämna och udda exponenter, finns det en mer "vuxen" definition som inte alls beror på paritet och andra subtiliteter. Detta kallas en algebraisk rot.
Definition. Den algebraiska $n$th roten av varje $a$ är mängden av alla tal $b$ så att $((b)^(n))=a$. Det finns ingen etablerad beteckning för sådana rötter, så vi sätter bara ett streck överst:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\vänster\( b\vänster| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \höger. \höger\) \]
Den grundläggande skillnaden från standarddefinitionen som ges i början av lektionen är att en algebraisk rot inte är ett specifikt tal, utan en mängd. Och eftersom vi arbetar med reella tal finns den här uppsättningen i endast tre typer:
- Tom uppsättning. Uppstår när du behöver hitta en algebraisk rot av en jämn grad från ett negativt tal;
- En uppsättning som består av ett enda element. Alla rötter till udda potenser, såväl som rötter till jämna potenser noll, faller inom denna kategori;
- Slutligen kan uppsättningen innehålla två nummer - samma $((x)_(1))$ och $((x)_(2))=-((x)_(1))$ som vi såg på grafisk kvadratisk funktion. Följaktligen är ett sådant arrangemang endast möjligt när man extraherar roten till en jämn grad från ett positivt tal.
Det sista fallet förtjänar mer ingående övervägande. Låt oss räkna ett par exempel för att förstå skillnaden.
Exempel. Utvärdera uttrycken:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Lösning. Det första uttrycket är enkelt:
\[\overline(\sqrt(4))=\vänster\( 2;-2 \höger\)\]
Det är två nummer som ingår i uppsättningen. Eftersom var och en av dem i kvadrat ger en fyra.
\[\overline(\sqrt(-27))=\vänster\( -3 \höger\)\]
Här ser vi en uppsättning som bara består av ett nummer. Detta är ganska logiskt, eftersom rotexponenten är udda.
Slutligen det sista uttrycket:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Vi fick ett tomt set. Eftersom det inte finns ett enda reellt tal som, när det höjs till fjärde (d.v.s. jämn!) potens, ger oss det negativa talet −16.
Slutanmärkning. Observera: det var inte av en slump som jag noterade överallt att vi arbetar med reella siffror. Eftersom det också finns komplexa tal - det är fullt möjligt att räkna ut $\sqrt(-16)$ där, och många andra konstiga saker.
Komplexa tal förekommer dock nästan aldrig i moderna skolmatematikkurser. De har tagits bort från de flesta läroböcker eftersom våra tjänstemän anser att ämnet är "för svårt att förstå."
Det är allt. I nästa lektion kommer vi att titta på alla nyckelegenskaper hos rötter och slutligen lära oss hur man förenklar irrationella uttryck. :)
Verksamhet med befogenheter och rötter. Grad med negativ ,
noll och bråk indikator. Om uttryck som inte har någon mening.
Verksamhet med examina.
1. När man multiplicerar potenser med samma bas, summeras deras exponenter:
en m · a n = a m + n .
2. Vid division av grader med samma bas, deras exponenter dras av .
3. Graden av produkten av två eller flera faktorer är lika med produkten av graderna av dessa faktorer.
(abc… ) n = a n· b n · c n…
4. Graden av ett förhållande (bråk) är lika med förhållandet mellan graderna av utdelningen (täljaren) och divisorn (nämnaren):
(a/b ) n = a n/b n .
5. När man höjer en potens till en potens multipliceras deras exponenter:
(en m ) n = a m n .
Alla ovanstående formler läses och exekveras i båda riktningarna från vänster till höger och vice versa.
EXEMPEL (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Verksamhet med rötter. I alla formler nedan, symbolen betyder aritmetisk rot(det radikala uttrycket är positivt).
1. Roten till produkten av flera faktorer är lika med produkten rötter till dessa faktorer:
2. Roten av ett förhållande är lika med förhållandet mellan rötterna av utdelningen och divisorn:
3. När man höjer en rot till en makt räcker det att höja till denna makt radikalt nummer:
4. Om vi ökar graden av roten in m höja till m den e potensen är ett radikalt tal, då ändras inte rotens värde:
5. Om vi minskar graden av roten in m extrahera roten en gång och samtidigt m th potens av ett radikalt tal, då är inte rotens värde Kommer förändras:
Utvidgar begreppet grad. Hittills har vi bara betraktat grader med naturliga exponenter; men åtgärder med grader och rötter kan också leda till negativ, noll Och fraktionerad indikatorer. Alla dessa exponenter kräver ytterligare definition.
En grad med negativ exponent. Potens för något tal c en negativ (heltals)exponent definieras som en delad med en potens av samma tal med en exponent lika med det absoluta värdetnegativ indikator:
T nu formeln en m: en= en m - n kan användas inte bara förm, mer än n, men också med m, mindre än n .
EXEMPEL a 4 :a 7 =a 4 - 7 =a - 3 .
Om vi vill ha formelnen m : en= en m - nvar rättvist närm = n, vi behöver en definition av grad noll.
En grad med nollindex. Potensen för ett tal som inte är noll med exponent noll är 1.
EXEMPEL. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Grad med bråkexponent. Att höja ett reellt tal och till makten m/n , måste du extrahera roten n:te potensen av m -e potensen av detta tal A:
Om uttryck som inte har någon mening. Det finns flera sådana uttryck. vilket nummer som helst.
Faktum är att om vi antar att detta uttryck är lika med något tal x, då har vi enligt definitionen av divisionsoperationen: 0 = 0 · x. Men denna jämlikhet uppstår när valfritt nummer x, vilket var det som behövde bevisas.
Fall 3.
0 0 - vilket nummer som helst.
Verkligen,
Lösning. Låt oss överväga tre huvudfall:
1) x = 0 – detta värde uppfyller inte denna ekvation
(Varför?).
2) när x> 0 får vi: x/x = 1, dvs. 1 = 1, vilket betyder
Vad x- vilket nummer som helst; men med hänsyn till det i
I vårat fall x> 0, är svaretx > 0 ;
3) när x < 0 получаем: – x/x= 1, d.v.s . –1 = 1, därför,
I det här fallet finns det ingen lösning.
Således, x > 0.
Omvandling och förenkling av matematiska uttryck kräver ofta att man flyttar från rötter till krafter och vice versa. Den här artikeln talar om hur man konverterar en rot till en grad och tillbaka. Teori, praktiska exempel och de vanligaste misstagen diskuteras.
Övergång från potenser med bråkexponenter till rötter
Låt oss säga att vi har ett tal med en exponent i form av ett vanligt bråk - a m n. Hur skriver man ett sådant uttryck som en rot?
Svaret följer av själva definitionen av examen!
Definition
Ett positivt tal a i potensen m n är n-roten av talet a m .
I detta fall måste följande villkor vara uppfyllt:
a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Bråkpotensen noll definieras på liknande sätt, men i det här fallet tas talet m inte som ett heltal, utan som ett naturligt tal, så att division med 0 inte inträffar:
0 m n = 0 m n = 0 .
I enlighet med definitionen kan graden a m n representeras som roten a m n .
Till exempel: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.
Men som redan nämnts bör vi inte glömma villkoren: a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Således kan uttrycket - 8 1 3 inte representeras i formen - 8 1 3, eftersom notationen - 8 1 3 helt enkelt inte är meningsfullt - graden av negativa tal är inte definierad. Dessutom, själva roten - 8 1 3 är vettigt.
Övergången från grader med uttryck i bas- och bråkexponenter utförs på liknande sätt genom hela intervallet av tillåtna värden (nedan kallat VA) för de ursprungliga uttrycken i gradens bas.
Till exempel kan uttrycket x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 skrivas som kvadratroten av x 2 + 2 x + 1 - 4. Uttrycket i potensen x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 blir uttrycket x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 för alla x, y, z från ODZ för detta uttryck.
Omvänd ersättning av rötter med potenser, när istället för ett uttryck med en rot, skrivs uttryck med en potens, är också möjligt. Vi vänder helt enkelt om jämställdheten från föregående stycke och får:
Återigen är övergången uppenbar för positiva tal a. Till exempel, 7 6 4 = 7 6 4, eller 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.
För negativa är rötterna vettiga. Till exempel - 4 2 6, - 2 3. Det är dock omöjligt att representera dessa rötter i form av befogenheter - 4 2 6 och - 2 1 3.
Är det ens möjligt att konvertera sådana uttryck med krafter? Ja, om du gör några preliminära ändringar. Låt oss överväga vilka.
Med hjälp av egenskaperna för potenser kan du transformera uttrycket - 4 2 6 .
4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .
Eftersom 4 > 0 kan vi skriva:
I fallet med en udda rot av ett negativt tal kan vi skriva:
A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .
Då kommer uttrycket - 2 3 att ha formen:
2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .
Låt oss nu förstå hur rötterna under vilka uttryck finns ersatta av potenser som innehåller dessa uttryck i basen.
Låt oss beteckna med bokstaven A något uttryck. Vi kommer dock inte att skynda oss att representera A m n i formen A m n . Låt oss förklara vad som menas här. Till exempel uttrycket x - 3 2 3, baserat på likheten från första stycket, skulle jag vilja presentera i formen x - 3 2 3. En sådan ersättning är endast möjlig för x - 3 ≥ 0, och för de återstående x från ODZ är det inte lämpligt, eftersom formeln a m n = a m n inte är meningsfull för negativ a.
Således, i det betraktade exemplet, är en transformation av formen A m n = A m n en transformation som begränsar ODZ, och på grund av felaktig tillämpning av formeln A m n = A m n, uppstår ofta fel.
För att korrekt flytta från roten A m n till potensen A m n måste flera punkter observeras:
- Om talet m är heltal och udda, och n är naturligt och jämnt, är formeln A m n = A m n giltig för hela ODZ av variabler.
- Om m är ett heltal och udda, och n är ett naturligt och udda, kan uttrycket A m n ersättas:
- på A m n för alla värden av variabler för vilka A ≥ 0;
- på - - A m n för för alla värden av variabler för vilka A< 0 ; - Om m är ett heltal och jämnt, och n är vilket naturligt tal som helst, kan A m n ersättas med A m n.
Låt oss sammanfatta alla dessa regler i en tabell och ge flera exempel på hur de används.
Låt oss återgå till uttrycket x - 3 2 3. Här är m = 2 ett heltal och ett jämnt tal, och n = 3 är ett naturligt tal. Detta betyder att uttrycket x - 3 2 3 kommer att skrivas korrekt i formen:
x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .
Låt oss ge ett annat exempel med rötter och krafter.
Exempel. Att omvandla en rot till en makt
x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - - x - 5 - 3 5 , x< - 5
Låt oss motivera resultaten som presenteras i tabellen. Om talet m är heltal och udda, och n är naturligt och jämnt, för alla variabler från ODZ i uttrycket A m n är värdet på A positivt eller icke-negativt (för m > 0). Det är därför A m n = A m n .
I det andra alternativet, när m är ett heltal, positivt och udda, och n är naturligt och udda, separeras värdena för A m n. För variabler från ODZ för vilka A är icke-negativ, A m n = A m n = A m n . För variabler för vilka A är negativ får vi A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n .
Låt oss på liknande sätt betrakta följande fall, när m är ett heltal och jämnt, och n är vilket naturligt tal som helst. Om värdet på A är positivt eller icke-negativt, då för sådana värden av variabler från ODZ A m n = A m n = A m n . För negativt A får vi A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n .
Således, i det tredje fallet, för alla variabler från ODZ kan vi skriva A m n = A m n .
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
