Sats om förändringen i momentum för en punkt. Sats om att ändra rörelsemängden för en punkt Sats om ändring av rörelsemängden för en punkt

Systemet som diskuteras i satsen kan vara vilket mekaniskt system som helst som består av vilka kroppar som helst.

Uttalande av satsen

Mängden rörelse (impuls) för ett mekaniskt system är en kvantitet lika med summan av rörelsemängden (impulser) för alla kroppar som ingår i systemet. Impulsen av yttre krafter som verkar på systemets kroppar är summan av impulserna av alla yttre krafter som verkar på systemets kroppar.

( kg m/s)

Satsen om förändringen i rörelsemängd för ett system tillstånd

Förändringen i systemets rörelsemängd under en viss tidsperiod är lika med impulsen av yttre krafter som verkar på systemet under samma tidsperiod.

Lagen om bevarande av ett systems momentum

Om summan av alla yttre krafter som verkar på systemet är noll, är mängden rörelse (momentum) av systemet en konstant storhet.

, får vi uttrycket för satsen om förändringen i systemets rörelsemängd i differentialform:

Efter att ha integrerat båda sidor av den resulterande jämlikheten under en godtyckligt tagen tidsperiod mellan några och , vi får uttrycket för satsen om förändringen i systemets rörelsemängd i integralform:

Lagen om bevarande av momentum (Lagen om bevarande av momentum) anger att vektorsumman av impulserna för alla systemets kroppar är ett konstant värde om vektorsumman av externa krafter som verkar på systemet är lika med noll.

(momentet m 2 kg s −1)

Sats om förändringen i rörelsemängd i förhållande till centrum

tidsderivatan av rörelsemomentet (kinetiskt moment) för en materiell punkt i förhållande till något fast centrum är lika med kraftmomentet som verkar på punkten i förhållande till samma centrum.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Sats om förändringen i rörelsemängd i förhållande till en axel

tidsderivatan av momentet (kinetiskt moment) för en materialpunkt i förhållande till vilken fast axel som helst är lika med momentet för kraften som verkar på denna punkt i förhållande till samma axel.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Tänk på en materiell punkt M massa m , rör sig under påverkan av våld F (Figur 3.1). Låt oss skriva ner och konstruera vektorn för rörelsemängd (kinetisk rörelsemängd) M 0 materialpunkt i förhållande till mitten O :

Låt oss skilja på uttrycket för rörelsemängden (kinetisk moment k 0) efter tid:

Därför att dr /dt = V , sedan vektorprodukten V ⊗ m ⋅ V (kolinjära vektorer V Och m ⋅ V ) är lika med noll. På samma gång d(m ⋅ V) /dt = F enligt satsen om en materiell punkts rörelsemängd. Därför får vi det

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Var r ⊗F = M 0 (F ) – vektor-kraftmoment F i förhållande till ett fast centrum O . Vektor k 0 ⊥ plan ( r , m ⊗V ), och vektorn M 0 (F ) ⊥ plan ( r ,F ), har vi äntligen

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Ekvation (3.4) uttrycker satsen om förändringen i rörelsemängd (momentum) för en materialpunkt i förhållande till centrum: tidsderivatan av rörelsemomentet (kinetiskt moment) för en materiell punkt i förhållande till något fast centrum är lika med kraftmomentet som verkar på punkten i förhållande till samma centrum.

Att projicera jämlikhet (3.4) på ​​kartesiska koordinaters axlar får vi

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Likheter (3.5) uttrycker satsen om förändringen i rörelsemängd (kinetisk rörelsemängd) för en materiell punkt i förhållande till axeln: tidsderivatan av momentet (kinetiskt moment) för en materialpunkt i förhållande till vilken fast axel som helst är lika med momentet för kraften som verkar på denna punkt i förhållande till samma axel.

Låt oss överväga konsekvenserna av satser (3.4) och (3.5).

Följd 1. Tänk på fallet när kraften F under hela rörelsen av punkten passerar genom det stationära centrumet O (fall av central kraft), d.v.s. När M 0 (F ) = 0. Sedan följer det av sats (3.4). k 0 = konst ,

de där. i fallet med en central kraft förblir vinkelmomentet (kinetiskt moment) för en materialpunkt i förhållande till centrum för denna kraft konstant i storlek och riktning (Figur 3.2).

Figur 3.2

Från tillståndet k 0 = konst det följer att banan för en rörlig punkt är en platt kurva, vars plan passerar genom centrum för denna kraft.

Följd 2. Låta M z (F ) = 0, dvs. kraft korsar axeln z eller parallellt med det. I det här fallet, som kan ses från den tredje av ekvationerna (3.5), k z = konst ,

de där. om kraftmomentet som verkar på en punkt i förhållande till någon fast axel alltid är noll, förblir rörelsemängden (kinetiskt moment) för punkten i förhållande till denna axel konstant.

Bevis för satsen om förändringen i momentum

Låt systemet bestå av materialpunkter med massor och accelerationer. Vi delar in alla krafter som verkar på systemets kroppar i två typer:

Yttre krafter är krafter som verkar från kroppar som inte ingår i det aktuella systemet. Resultanten av yttre krafter som verkar på en materiell punkt med antal i låt oss beteckna

Inre krafter är de krafter med vilka själva systemets kroppar interagerar med varandra. Den kraft med vilken på punkten med numret i punkten med numret är giltig k, kommer vi att beteckna , och inflytandets kraft i punkt på k punkten -. Uppenbarligen när då

Med hjälp av den introducerade notationen skriver vi Newtons andra lag för var och en av de materiella punkterna i formuläret

Med tanke på att och summerar alla ekvationerna i Newtons andra lag får vi:

Uttrycket representerar summan av alla inre krafter som verkar i systemet. Enligt Newtons tredje lag, i denna summa, motsvarar varje kraft en kraft så att den därför håller Eftersom hela summan består av sådana par är summan i sig noll. Så vi kan skriva

Genom att använda notationen för systemets rörelsemängd får vi

Genom att ta hänsyn till förändringen i impulsen av yttre krafter , får vi uttrycket för satsen om förändringen i systemets rörelsemängd i differentialform:

Således tillåter var och en av de sista ekvationerna som erhållits oss att säga: en förändring i systemets rörelsemängd inträffar endast som ett resultat av verkan av yttre krafter, och inre krafter kan inte ha någon inverkan på detta värde.

Efter att ha integrerat båda sidor av den resulterande jämlikheten under ett godtyckligt tidsintervall mellan några och , får vi uttrycket för satsen om förändringen i systemets rörelsemängd i integral form:

var och är värdena för mängden rörelse i systemet vid tidpunkter och, respektive, och är impulsen av yttre krafter över en tidsperiod. I enlighet med vad som tidigare sagts och de införda beteckningarna,

Eftersom punktens massa är konstant och dess acceleration, kan ekvation (2), som uttrycker dynamikens grundläggande lag, representeras i formen

Ekvation (32) uttrycker samtidigt satsen om förändringen i en punkts rörelsemängd i differentialform: tidsderivatan av en punkts rörelsemängd är lika med summan av de krafter som verkar på punkten

Låt en rörlig punkt ha en hastighet i tidpunkten och en hastighet för tillfället. Sedan multiplicerar vi båda sidor av likhet (32) med och tar bestämda integraler från dem. I det här fallet, till höger, där integrationen sker över tiden, kommer integralens gränser att vara och till vänster, där hastigheten är integrerad, kommer integralens gränser att vara motsvarande hastighetsvärden

Eftersom integralen av är lika, blir resultatet

Integralerna till höger, som följer av formel (30), representerar de verkande krafternas impulser. Därför blir det äntligen

Ekvation (33) uttrycker satsen om förändringen i en punkts rörelsemängd i slutlig form: ändringen i en punkts rörelsemängd under en viss tidsperiod är lika med summan av impulserna av alla krafter som verkar på punkten över. samma tidsperiod.

Vid problemlösning används ofta ekvationer i projektioner istället för vektorekvationen (33). Vi får fram båda sidor av likheten (33) på koordinataxlarna

I fallet med rätlinjig rörelse längs axeln, uttrycks satsen av den första av dessa ekvationer.

Problemlösning. Ekvationerna (33) eller (34) gör det möjligt att, med kunskap om hur hastigheten för en punkt ändras när en punkt rör sig, bestämma impulsen för de verkande krafterna (det första problemet med dynamiken) eller, med kännedom om impulserna för de verkande krafterna, att bestämma hur hastigheten på en punkt ändras när den rör sig (det andra problemet med dynamik). När man löser det andra problemet, när krafter är givna, är det nödvändigt att beräkna deras impulser.Som kan ses av likheter (30) eller (31), kan detta göras endast när krafterna är konstanta eller bara beror på tiden.

Således kan ekvationerna (33), (34) direkt användas för att lösa det andra dynamiska problemet, när data och erforderliga kvantiteter i problemet inkluderar: verkande krafter, punktens rörelsetid och dess initiala och slutliga hastigheter (dvs. kvantiteter), och krafterna måste vara konstanta eller endast beroende av tid.

Uppgift 95. En punkt med massan kg rör sig i en cirkel med numeriskt konstant hastighet Bestäm impulsen för kraften som verkar på punkten under den tid punkten passerar en fjärdedel av cirkeln

Lösning. Enligt satsen om rörelsemängdsändringen, genom att geometriskt konstruera skillnaden mellan dessa rörelsekvantiteter (fig. 222), finner vi från den resulterande räta triangeln

Men enligt villkoren för problemet, därför,

För analytisk beräkning, med hjälp av de två första av ekvationerna (34), kan vi hitta

Uppgift 96. En last som har en massa och ligger på ett horisontellt plan ges (genom en tryckning) en initial hastighet Lastens efterföljande rörelse bromsas av en konstant kraft F. Bestäm hur lång tid det tar för lasten att stanna,

Lösning. Enligt problemdata är det tydligt att för att bestämma rörelsetiden kan du använda det beprövade teoremet. Vi avbildar lasten i en godtycklig position (bild 223). Den påverkas av tyngdkraften P, reaktionen av planet N och bromskraften F. Genom att rikta axeln i rörelseriktningen sammanställer vi den första av ekvationerna (34)

I detta fall, hastigheten vid stoppögonblicket), a. Av krafterna är det bara kraften F som ger projektionen på axeln, eftersom den är konstant, var är bromstiden. Genom att ersätta alla dessa data i ekvation (a), får vi den tid som krävs

Differentialekvation för rörelse av en materiell punkt under påverkan av kraft F kan representeras i följande vektorform:

Eftersom massan av en punkt m accepteras som konstant, då kan den anges under derivattecknet. Sedan

Formel (1) uttrycker satsen om förändringen i en punkts rörelsemängd i differentialform: den första derivatan med avseende på tiden av en punkts rörelsemängd är lika med kraften som verkar på punkten.

I projektioner på koordinataxlar kan (1) representeras som

Om båda sidorna (1) multipliceras med dt, då får vi en annan form av samma sats - momentumsatsen i differentialform:

de där. differentialen för en punkts rörelsemängd är lika med elementarimpulsen för kraften som verkar på punkten.

Vi får fram båda delarna av (2) på koordinataxlarna

Genom att integrera båda delarna av (2) från noll till t (fig. 1), har vi

var är punktens hastighet för tillfället t; - hastighet vid t = 0;

S- kraftimpuls över tid t.

Ett uttryck i formen (3) kallas ofta momentumsatsen i finit (eller integral) form: förändringen i en punkts rörelsemängd över en viss tidsperiod är lika med kraftimpulsen under samma tidsperiod.

I projektioner på koordinataxlar kan detta teorem representeras i följande form:

För en materiell punkt är satsen om förändringen i rörelsemängd i någon av formerna väsentligen inte skild från differentialekvationerna för rörelse för en punkt.

Sats om förändringen i ett systems rörelsemängd

Systemets rörelsemängd kommer att kallas vektormängden F, lika med den geometriska summan (huvudvektor) av rörelsemängderna för alla punkter i systemet.

Betrakta ett system som består av n materiella poäng. Låt oss sammanställa differentialekvationer för rörelse för detta system och lägga till dem term för term. Då får vi:

Den sista summan, på grund av egenskapen hos inre krafter, är lika med noll. Förutom,

Till sist finner vi:

Ekvation (4) uttrycker satsen om förändringen i systemets rörelsemängd i differentialform: tidsderivatan av systemets rörelsemängd är lika med den geometriska summan av alla yttre krafter som verkar på systemet.

Låt oss hitta ett annat uttryck för satsen. Släpp in ögonblicket t= 0 mängden rörelse i systemet är Q 0, och i tidens ögonblick t 1 blir lika Q 1. Multiplicera sedan båda sidor av likhet (4) med dt och genom att integrera får vi:

Eller var:

(S-kraftimpuls)

eftersom integralerna till höger ger impulser av yttre krafter,

Ekvation (5) uttrycker satsen om förändringen i systemets rörelsemängd i integralform: förändringen i systemets rörelsemängd under en viss tidsperiod är lika med summan av impulserna av yttre krafter som verkar på systemet under samma tidsperiod.

I projektioner på koordinataxlarna kommer vi att ha:

Lagen om bevarande av momentum

Från satsen om förändringen i ett systems rörelsemängd kan följande viktiga följder erhållas:

1. Låt summan av alla yttre krafter som verkar på systemet vara lika med noll:

Sedan följer av ekvation (4) att i detta fall Q = konst.

Således, om summan av alla yttre krafter som verkar på systemet är lika med noll, kommer vektorn för systemets rörelsemängd att vara konstant i storlek och riktning.

2. 01Låt de yttre krafterna som verkar på systemet vara sådana att summan av deras projektioner på någon axel (till exempel Ox) är lika med noll:

Sedan följer av ekvation (4`) att i detta fall Q = konst.

Således, om summan av projektionerna av alla verkande yttre krafter på någon axel är lika med noll, då är projektionen av mängden rörelse hos systemet på denna axel ett konstant värde.

Dessa resultat uttrycker lagen om bevarande av ett systems momentum. Det följer av dem att inre krafter inte kan förändra systemets totala rörelsemängd.

Låt oss titta på några exempel:

· Fenomen om rullens retur. Om vi ​​betraktar geväret och kulan som ett system, kommer trycket från pulvergaserna under ett skott att vara en intern kraft. Denna kraft kan inte ändra systemets totala momentum. Men eftersom pulvergaserna, som verkar på kulan, ger den en viss rörelse riktad framåt, måste de samtidigt ge geväret samma rörelse i motsatt riktning. Detta gör att geväret rör sig bakåt, d.v.s. den så kallade avkastningen. Ett liknande fenomen uppstår när man avfyrar en pistol (rollback).

· Drift av propellern (propellern). Propellern ger rörelse till en viss mängd luft (eller vatten) längs propellerns axel och kastar denna massa tillbaka. Om vi ​​betraktar den kastade massan och flygplanet (eller fartyget) som ett system, så kan inte krafterna i samverkan mellan propellern och miljön, som interna, ändra den totala mängden rörelse i detta system. Därför, när en massa av luft (vatten) kastas tillbaka, får flygplanet (eller fartyget) en motsvarande hastighet framåt så att den totala mängden rörelse hos det aktuella systemet förblir lika med noll, eftersom det var noll innan rörelsen började .

En liknande effekt uppnås genom verkan av åror eller skovelhjul.

· R e k t i v e Framdrivning I en raket (raket) sprutas gasformiga produkter från bränsleförbränning ut med hög hastighet från hålet i raketens bakdel (från jetmotorns munstycke). Tryckkrafterna som verkar i detta fall kommer att vara interna krafter och de kan inte ändra det totala momentumet för raket-pulvergassystemet. Men eftersom de utströmmande gaserna har en viss rörelse bakåtriktad får raketen en motsvarande hastighet framåt.

Momentsats om en axel.

Tänk på materialets massapunkt m, rör sig under påverkan av våld F. Låt oss finna sambandet mellan vektorernas moment mV Och F i förhållande till någon fast Z-axel.

mz (F) = xF - yF (7)

Likadant för värdet m(mV), om den tas ut m kommer att vara utanför parentes

m z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Om vi ​​tar derivatan med avseende på tid från båda sidor av denna jämlikhet, finner vi

På höger sida av det resulterande uttrycket är den första parentesen lika med 0, eftersom dx/dt=V och dу/dt = V, är den andra parentesen enligt formel (7) lika med

mz(F), eftersom enligt dynamikens grundläggande lag:

Äntligen kommer vi att ha (8)

Den resulterande ekvationen uttrycker momentsatsen kring axeln: tidsderivatan av momentet för en punkt i förhållande till någon axel är lika med momentet för den verkande kraften i förhållande till samma axel. Ett liknande teorem gäller för ögonblick om vilket centrum O som helst.

Bestående av n materiella poäng. Låt oss välja en viss punkt från detta system Mj med massa m j. Som bekant verkar yttre och inre krafter på denna punkt.

Låt oss tillämpa det på sak Mj resultatet av alla inre krafter F j i och resultatet av alla yttre krafter F j e(Figur 2.2). För en vald materialpunkt Mj(som för en fri poäng) skriver vi satsen om förändringen i momentum i differentialform (2.3):

Låt oss skriva liknande ekvationer för alla punkter i det mekaniska systemet (j=1,2,3,…,n).

Figur 2.2

Låt oss lägga ihop det hela bit för bit n ekvationer:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Här ∑m j ×V j =Q– Mängden rörelse hos det mekaniska systemet;
∑F j e = R e– huvudvektorn för alla yttre krafter som verkar på det mekaniska systemet.
∑Fjj = Ri =0– huvudvektorn för systemets inre krafter (enligt egenskapen hos interna krafter är den lika med noll).

Slutligen, för det mekaniska systemet vi får

dQ/dt = R e. (2.11)

Uttryck (2.11) är ett teorem om förändringen i rörelsemängd för ett mekaniskt system i differentiell form (i vektoruttryck): tidsderivatan av rörelsemängdsvektorn för ett mekaniskt system är lika med huvudvektorn för alla yttre krafter som verkar på systemet.

Genom att projicera vektorlikheten (2.11) på de kartesiska koordinataxlarna får vi uttryck för satsen om förändringen i rörelsemängden för ett mekaniskt system i koordinatuttryck (skalärt):

dQ x/dt = R x e;

dQ y/dt = R y e;

dQz/dt = Rz e, (2.12)

de där. tidsderivatan av projektionen av ett mekaniskt systems rörelsemängd på vilken axel som helst är lika med projektionen på denna axel av huvudvektorn av alla yttre krafter som verkar på detta mekaniska system.

Multiplicera båda sidor av jämlikhet (2,12) med dt, får vi satsen i en annan differentialform:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

de där. differentialmomentet för ett mekaniskt system är lika med den elementära impulsen för huvudvektorn (summan av elementära impulser) av alla yttre krafter som verkar på systemet.

Integrering av jämlikhet (2.13) inom tidsändringen från 0 till t, får vi ett teorem om förändringen i rörelsemängden hos ett mekaniskt system i slutlig (integral) form (i vektoruttryck):

Q - Qo = S e,

de där. förändringen i ett mekaniskt systems rörelsemängd över en begränsad tidsperiod är lika med den totala impulsen från huvudvektorn (summan av de totala impulserna) av alla yttre krafter som verkar på systemet under samma tidsperiod.

Genom att projicera vektorlikheten (2.14) på ​​de kartesiska koordinataxlarna får vi uttryck för satsen i projektioner (i ett skalärt uttryck):

de där. förändringen i projektionen av ett mekaniskt systems rörelsemängd på vilken axel som helst under en begränsad tidsperiod är lika med projektionen på samma axel av den totala impulsen av huvudvektorn (summan av de totala impulserna) av alla yttre krafter verkar på det mekaniska systemet under samma tidsperiod.

Följande följder följer av den övervägda satsen (2.11) – (2.15):

1. Om R e = ∑F j e = 0, Den där Q = konst– vi har lagen om bevarande av rörelsemängdsvektorn för ett mekaniskt system: om huvudvektorn R e av alla yttre krafter som verkar på ett mekaniskt system är lika med noll, då förblir detta systems rörelsemängdsvektor konstant i storlek och riktning och lika med dess initiala värde Q 0, dvs. Q = Q 0.
2. Om R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Den där Q x = konst– vi har lagen om bevarande av projektionen på ett mekaniskt systems rörelsemängdsaxel: om projektionen av huvudvektorn av alla krafter som verkar på ett mekaniskt system på någon axel är noll, då projektionen på samma axel av vektorn för detta systems rörelsemängd kommer att vara ett konstant värde och lika med projektionen på denna axels initiala rörelsemängdsvektor, dvs. Q x = Q 0x.

Differentialformen av satsen om förändringen i momentum i ett materialsystem har viktiga och intressanta tillämpningar inom kontinuummekanik. Från (2.11) kan vi få Eulers teorem.

Låt en materiell punkt röra sig under inverkan av kraft F. Det är nödvändigt att bestämma rörelsen av denna punkt i förhållande till det rörliga systemet Oxyz(se komplex rörelse av en materialpunkt), som rör sig på känt sätt i förhållande till ett stationärt system O 1 x 1 y 1 z 1 .

Grundläggande ekvation av dynamik i ett stationärt system

Låt oss skriva ner den absoluta accelerationen för en punkt med hjälp av Coriolis-satsen

Var a magmuskler– absolut acceleration;

a rel– relativ acceleration.

a körfält– Bärbar acceleration;

a kärna– Coriolisacceleration.

Låt oss skriva om (25) med hänsyn till (26)

Låt oss presentera notationen
- bärbar tröghetskraft,
- Coriolis tröghetskraft. Sedan tar ekvation (27) formen

Grundekvationen för dynamik för att studera relativ rörelse (28) är skriven på samma sätt som för absolut rörelse, endast överförings- och Coriolis-tröghetskrafterna måste adderas till krafterna som verkar på en punkt.

Allmänna satser om en materiell punkts dynamik

När du löser många problem kan du använda färdiga ämnen som erhållits på grundval av Newtons andra lag. Sådana problemlösningsmetoder kombineras i detta avsnitt.

Sats om förändringen i momentum för en materiell punkt

Låt oss presentera följande dynamiska egenskaper:

1. Momentum av en materialpunkt– vektorkvantitet lika med produkten av en punkts massa och dess hastighetsvektor

. (29)

2. Tvinga impuls

Elementär kraftimpuls– vektorkvantitet lika med produkten av kraftvektorn och ett elementärt tidsintervall

(30).

Sedan full impuls

. (31)

På F=konst vi får S=Med.

Den totala impulsen för en begränsad tidsperiod kan endast beräknas i två fall, när kraften som verkar på en punkt är konstant eller beror på tiden. I andra fall är det nödvändigt att uttrycka kraften som en funktion av tiden.

Likheten mellan dimensionerna impuls (29) och momentum (30) tillåter oss att etablera ett kvantitativt förhållande mellan dem.

Låt oss betrakta rörelsen av en materiell punkt M under inverkan av en godtycklig kraft F längs en godtycklig bana.

HANDLA OM UD:
. (32)

Vi separerar variablerna i (32) och integrerar

. (33)

Som ett resultat, med hänsyn till (31), får vi

. (34)

Ekvation (34) uttrycker följande sats.

Sats: Förändringen i en materiell punkts rörelsemängd under en viss tidsperiod är lika med impulsen av kraften som verkar på punkten under samma tidsintervall.

Vid problemlösning måste ekvation (34) projiceras på koordinataxlarna

Detta sats är bekvämt att använda när det bland de givna och okända storheterna finns massan av en punkt, dess initiala och slutliga hastighet, krafter och rörelsetid.

Sats om förändringen i rörelsemängd för en materiell punkt

M
momentum för en materiell punkt i förhållande till centrum är lika med produkten av modulen för momentum av punkten och skuldran, dvs. det kortaste avståndet (vinkelrätt) från centrum till den linje som sammanfaller med hastighetsvektorn

, (36)

. (37)

Sambandet mellan kraftmomentet (orsak) och momentet momentum (verkan) fastställs av följande sats.

Låt punkten M för en given massa m rör sig under inflytande av våld F.

,
,

, (38)

. (39)

Låt oss beräkna derivatan av (39)

. (40)

Genom att kombinera (40) och (38) får vi äntligen

. (41)

Ekvation (41) uttrycker följande sats.

Sats: Tidsderivatan av rörelsemängdsvektorn för en materialpunkt i förhållande till något centrum är lika med momentet för kraften som verkar på punkten i förhållande till samma centrum.

Vid problemlösning måste ekvation (41) projiceras på koordinataxlarna

I ekvation (42) beräknas momenten av momentum och kraft i förhållande till koordinataxlarna.

Av (41) följer lagen om bevarande av rörelsemängd (Keplers lag).

Om kraftmomentet som verkar på en materialpunkt i förhållande till något centrum är noll, behåller punktens rörelsemängd i förhållande till detta centrum sin storlek och riktning.

Om
, Den där
.

Teoremet och bevarandelagen används i problem som involverar kurvlinjära rörelser, särskilt under inverkan av centrala krafter.