Efter särskild överenskommelse med redaktionen och redaktörerna för tidskriften "Kvant"
När man löser mekaniska problem kan användningen av begreppet masscentrum för ett system av materialpunkter ge ovärderlig hjälp. Vissa problem kan helt enkelt inte lösas utan att tillgripa detta koncept; att lösa andra med dess hjälp kan bli mycket enklare och tydligare.
Innan vi diskuterar specifika problem, låt oss komma ihåg de grundläggande egenskaperna hos massacentrum och illustrera dem med exempel.
Masscentrum (tröghetscentrum) för ett system av materialpunkter är en punkt som kännetecknar fördelningen av massor i systemet, vars koordinater bestäms av formlerna
Här m jag- massor av materialpunkter som bildar systemet, x i, y i, z i- Koordinater för dessa punkter. Läsare som är bekanta med konceptet med en radievektor kommer att föredra vektornotationen:
(1)
Exempel 1. Låt oss hitta läget för masscentrum, det enklaste systemet som består av två punkter vars massor m 1 och m 2 och avståndet mellan dem l(Figur 1).
Rikta axeln X från den första punkten till den andra finner vi att avståndet från den första punkten till masscentrum (d.v.s. koordinaten för masscentrum) är lika med och avståndet från massacentrum till den andra punkten är lika med till d.v.s. förhållandet mellan avstånden är omvänt mot förhållandet mellan massorna. Det betyder att i det här fallet sammanfaller masscentrums position med tyngdpunkten.
Låt oss diskutera några egenskaper hos masscentrum, som, det verkar för oss, kommer att fylla den något formella definitionen av detta begrepp som ges ovan med fysiskt innehåll.
1) Masscentrums position kommer inte att ändras om någon del av systemet ersätts av en punkt med en massa som är lika med massan av detta delsystem och placerad i dess massacentrum.
Exempel 2. Låt oss betrakta en platt homogen triangel och hitta läget för dess massacentrum. Dela triangeln i tunna remsor parallellt med en av sidorna, och ersätt varje remsa med en spets i mitten. Eftersom alla sådana punkter ligger på triangelns median, måste också massans centrum ligga på medianen. Genom att upprepa resonemanget för varje sida finner vi att masscentrum är i skärningspunkten mellan medianerna.
2) Masscentrums hastighet kan hittas genom att ta tidsderivatan av båda sidor av likheten (1):
(2)
Var - systemimpuls, m- systemets totala massa. Det kan ses att hastigheten för det slutna systemets masscentrum är konstant. Detta betyder att om vi associerar en translationellt rörlig referensram med masscentrum, så kommer den att vara trög.
Exempel 3. Låt oss placera en enhetlig längdstav l vertikalt på ett jämnt plan (fig. 2) och släpp. Under fallet kommer både den horisontella komponenten av dess rörelsemängd och den horisontella komponenten av hastigheten för massacentrum att förbli lika med noll. Därför, vid fallögonblicket, kommer stavens centrum att vara på den plats där staven ursprungligen stod, och ändarna på staven kommer att förskjutas horisontellt med .
3) Masscentrums acceleration är lika med derivatan av dess hastighet med avseende på tid:
(3)
där det på höger sida av jämlikheten bara finns yttre krafter, eftersom alla inre krafter upphäver enligt Newtons tredje lag. Vi finner att masscentrum rör sig som en imaginär punkt med en massa lika med systemets massa skulle röra sig under inverkan av den resulterande yttre kraften. Detta är förmodligen den mest fysiska egenskapen hos masscentrum.
Exempel 4. Om du kastar en pinne och får den att rotera, kommer pinnens masscentrum (dess mitt) att röra sig med konstant acceleration längs en parabel (fig. 3).
4) Låt punktsystemet vara i ett enhetligt gravitationsfält. Då är det totala tyngdmomentet i förhållande till varje axel som passerar genom masscentrum lika med noll. Det betyder att gravitationsresultanten passerar genom masscentrum, d.v.s. masscentrum är också tyngdpunkten.
5) Den potentiella energin för ett system av punkter i ett enhetligt gravitationsfält beräknas med formeln
Var h ts - höjden på systemets massacentrum.
Exempel 5. När du gräver ett hål i ett enhetligt pund djupt h och spridning av jord över ytan, dess potentiella energi ökar med , där m- massa av utgrävd jord.
6) Och ytterligare en användbar egenskap hos masscentrum. Den kinetiska energin för ett system av punkter kan representeras som summan av två termer: den kinetiska energin för systemets allmänna translationella rörelse, lika med , och den kinetiska energin E i förhållande till rörelsen i förhållande till referenssystemet som är associerat med masscentrum:
Exempel 6. Den kinetiska energin för en ring som rullar utan att glida på en horisontell yta med en hastighet υ är lika med
eftersom den relativa rörelsen i detta fall är ren rotation, för vilken den linjära hastigheten för bågens punkter är lika med υ (den totala hastigheten för den nedre punkten måste vara lika med noll).
Låt oss nu börja analysera problem med hjälp av massans centrum.
Problem 1. En homogen stav ligger på en jämn horisontell yta. Två horisontella krafter av samma storlek men motsatt i riktning appliceras på staven: en kraft appliceras på mitten av staven, den andra på dess ände (fig. 4). I förhållande till vilken punkt kommer spöet att börja rotera?
Vid första anblicken kan det verka som att rotationsaxeln kommer att vara den punkt som ligger i mitten mellan krafternas appliceringspunkter. Emellertid visar ekvation (3) att eftersom summan av de yttre krafterna är noll, är accelerationen av masscentrum också noll. Detta innebär att spöets mitt kommer att förbli i vila, d.v.s. tjäna som en rotationsaxel.
Problem 2. Tunn jämn spölängd l och massa m sätts i rörelse längs en jämn horisontell yta så att den rör sig translationellt och samtidigt roterar med vinkelhastigheten ω. Hitta spänningen på stången beroende på avståndet x till dess centrum.
Låt oss gå till tröghetsreferenssystemet som är associerat med mitten av staven. Låt oss överväga rörelsen av en bit av en stång som är innesluten mellan spetsen i fråga (belägen på avstånd x från mitten) och dess ände (fig. 5).
Den enda yttre kraften för detta stycke är den erforderliga spänningskraften F n, massan är lika med , och dess masscentrum rör sig i en cirkel med radie 
med acceleration. Genom att skriva ner rörelseekvationen för det valda styckets masscentrum får vi
Problem 3. En dubbelstjärna består av två komponentstjärnor med massor m 1 och m 2, avståndet mellan vilket inte förändras och förblir lika L. Hitta rotationsperioden för binärstjärnan.
Låt oss betrakta rörelsen hos komponentstjärnorna i en tröghetsreferensram associerad med dubbelstjärnans masscentrum. I denna referensram rör sig stjärnor med samma vinkelhastighet längs cirklar med olika radier (fig. 6).
Rotationsradien för en stjärna med massa m 1 är lika (se exempel 1), och dess centripetalacceleration skapas av attraktionskraften mot en annan stjärna:
Vi ser att rotationsperioden för en dubbelstjärna är lika med
och bestäms av dubbelstjärnans totala massa, oavsett hur den är fördelad mellan komponentstjärnorna.
Problem 4. Två punktmassor m och 2 m knuten med en viktlös trådlängd l och rör dig längs ett jämnt horisontellt plan. Vid någon tidpunkt massans hastighet 2 mär lika med noll och massans hastighet m lika med υ och riktad vinkelrätt mot tråden (fig. 7). Ta reda på trådspänningen och systemets rotationsperiod.
Ris. 7
Systemets masscentrum ligger på ett avstånd från massa 2 m och rör sig med fart. I referenssystemet som är associerat med masscentrum, en massapunkt 2 m rör sig i en cirkel med radie med hastighet. Det betyder att rotationsperioden är lika med (kontrollera att samma svar erhålls om vi betraktar en punkt med massa m). Vi hittar trådspänningen från rörelseekvationen för någon av de två punkterna:
Problem 5. Två identiska massablock m var och en förbunden med en lätt fjäderstyvhet k(Fig. 8). Den första stapeln ges en hastighet υ 0 i riktning från den andra stapeln. Beskriv systemets rörelse. Hur lång tid tar det för fjäderdeformationen att nå sitt maximala värde för första gången?
Systemets masscentrum kommer att röra sig med konstant hastighet. I masscentrumets referensram är starthastigheten för varje block , och styvheten hos halvfjädern som förbinder den med det stationära masscentrumet är 2 k(fjäderstyvheten är omvänt proportionell mot dess längd). Perioden för sådana svängningar är lika med
och vibrationsamplituden för varje stång, som kan hittas från lagen om energibevarande, är
För första gången blir deformationen maximal efter en fjärdedel av perioden, d.v.s. efter ett tag .
Problem 6. Bollmassa m träffar med hastighet v på en stationär boll med massa 2 m. Hitta hastigheterna för båda bollarna efter den elastiska centrala stöten.
I referensramen förknippad med masscentrum är den totala rörelsemängden för de två kulorna noll både före och efter kollisionen. Det är lätt att gissa vilket svar för sluthastigheter som uppfyller både detta villkor och lagen om energibevarande: hastigheterna kommer att förbli desamma i storlek som före nedslaget, men kommer att ändra sina riktningar till det motsatta. Hastigheten för systemets masscentrum är lika med . I masscentrumsystemet rör sig den första bollen med hastighet, och den andra bollen rör sig mot den första med hastighet. Efter nedslaget kommer bollarna att flyga iväg med samma hastighet. Det återstår att återgå till den ursprungliga referensramen. Genom att tillämpa lagen om addition av hastigheter, finner vi att den slutliga hastigheten för en boll med massa m lika och riktad bakåt, och hastigheten för den tidigare vilande bollen med massa 2 m lika och riktad framåt.
Observera att i masscentrumsystemet är det uppenbart att bollarnas relativa hastighet inte ändras i storlek, utan ändras i riktning vid kollisionen. Och eftersom skillnaden i hastigheter inte ändras när man flyttar till ett annat tröghetsreferenssystem, kan vi anta att vi har härlett denna viktiga relation för det ursprungliga referenssystemet:
υ 1 – υ 2 = u 1 – u 2 ,
där bokstaven υ används för att beteckna initiala hastigheter, och u- för de sista. Denna ekvation kan lösas tillsammans med lagen om bevarande av rörelsemängd istället för lagen om bevarande av energi (där hastigheter kommer in i andra potensen).
Problem 7. Det är känt att vid en elastisk stöt utanför centrum av två identiska kulor, varav en var i vila före sammanstötningen, är expansionsvinkeln 90°. Bevisa detta påstående.
I masscentrumsystemet kan en off-center-påverkan beskrivas enligt följande. Före nedslaget närmar sig bollarna med lika impulser, efter nedslaget flyger de isär med impulser av samma storlek, men i motsatta riktningar, och expansionslinjen roterar i en viss vinkel i förhållande till inflygningslinjen. För att gå tillbaka till den initiala referensramen måste varje sluthastighet adderas (vektoriellt!) med hastigheten för massacentrum. I fallet med identiska bollar är massacentrums hastighet lika med , där υ är hastigheten för den infallande bollen, och i masscentrumets referensram närmar sig bollarna och flyger isär med samma hastighet. Det faktum att efter att ha adderat varje sluthastighet till hastigheten för massacentrum, erhålls ömsesidigt vinkelräta vektorer framgår av figur 9. Eller så kan du helt enkelt kontrollera att skalärprodukten av vektorer och försvinner på grund av det faktum att modulerna i vektorerna är lika med varandra.
Övningar
1. Stång av massa m och längd l gångjärn i ena änden. Staven avböjdes i en viss vinkel från det vertikala läget och släpptes. I ögonblicket för att passera den vertikala positionen är hastigheten för den nedre punkten lika med υ. Hitta spänningen i mitten av stången vid denna tidpunkt.
2. Stång av massa m och längd l rotera i ett horisontellt plan med vinkelhastighet ω runt en av dess ändar. Hitta sambandet mellan stavens spänning och avståndet x till rotationsaxeln, om en liten vikt av massa är fäst vid den andra änden M.
3. Hitta svängningsperioden för systemet som beskrivs i problem 5 i artikeln, men för stänger med olika massa m 1 och m 2 .
4. Härled de kända allmänna formlerna för den elastiska centrala stöten av två bollar, med hjälp av övergången till referensramen för masscentrum.
5. Massboll m 1 kolliderar med en boll i vila med mindre massa m 2. Hitta den maximala möjliga avböjningsvinkeln för den inkommande bollen under en elastisk stöt utanför centrum.
1. 
2. 
3. 
Masscentrum Masscentrums rörelseekvation. Själva lagen: Kroppar verkar på varandra med krafter av samma natur riktade längs samma räta linje, lika stora och motsatta i riktning: Massans centrum är en geometrisk punkt som kännetecknar rörelsen hos en kropp eller ett system av partiklar som en hel. Definition Positionen för tröghetscentrumets massacentrum i klassisk mekanik definieras enligt följande: där masscentrumets radievektor är radievektorn för systemets i:te punkt och massan för i:te punkten.
7. Newtons tredje lag. Masscentrum Masscentrums rörelseekvation.
Newtons tredje lagtillstånd: verkningskraften är lika stor och motsatt i riktning mot reaktionskraften.
Själva lagen:
Kroppar verkar på varandra med krafter av samma natur, riktade längs samma räta linje, lika stora och motsatta i riktning:
Masscentrum detta är en geometrisk punkt som karakteriserar rörelse kropp eller system av partiklar som helhet.
Definition
Positionen för masscentrum (tröghetscentrum) i klassisk mekanik bestäms enligt följande:
där radievektor för masscentrum, radievektor i systemets punkt,
massan av den i:te punkten.
.
Detta är rörelseekvationen för masscentrum för ett system av materialpunkter med en massa som är lika med massan av hela systemet, på vilken summan av alla yttre krafter appliceras (huvudvektorn för yttre krafter) eller satsen på masscentrums rörelse.
Samt andra verk som kan intressera dig |
|||
| 22476. | KLASSIFICERING AV PERSONLIGA RADIOSAMTALSSYSTEM, PAGERS, REPEATRE, GRUNDLÄGGANDE INFORMATIONSSÄNDNINGSPROTOKOLL. | 1,21 MB | |
| KLASSIFICERING AV PERSONLIGA RADIO SAMTALSSYSTEM PAGERS REPEATERS GRUNDLÄGGANDE INFORMATION SÄNDNINGSPROTOKOLL. Syfte med arbetet Att studera klassificeringen av personliga radiosamtalssystem, personsökare, repeatrar, grundläggande informationsöverföringsprotokoll. Bekanta dig med de grundläggande protokollen för att överföra information till SPRV. I det här fallet, för att överföra samtalet till abonnenten, användes sekventiell tonkodning av adressen, vilket gav möjligheten att betjäna upp till flera tiotusentals användare. | |||
| 22477. | STUDERA METODER FÖR ATT KODA TALSIGNALER I TETRA TRUNKING NETWORKS STANDARD | 961,5 KB | |
| Uppgift: Bekanta dig med den allmänna beskrivningen av talsignalkodningsalgoritmen. Studera funktionerna i kanalkodning för olika logiska kanaler. Allmän beskrivning av CELP-talsignalkodningsalgoritmen För att koda informationsmultiplexering av talsignaler använder TETRA-standarden en kodare med linjär prediktion och multipulsexcitering från CELP Code Code Excited Linear Pgediction. | |||
| 22478. | GSM-900 CELLULÄRT KOMMUNIKATIONSSYSTEM | 109,5 KB | |
| Syfte med arbetet Att studera de huvudsakliga tekniska egenskaperna hos den funktionella strukturen och gränssnitten som används i det digitala cellulära enligt GSM-standarden. Uppgift: Bekanta dig med de allmänna egenskaperna hos GSM-standarden. Kort teori Standarden GSM Global System for Mobile Communications är nära besläktad med alla moderna digitala nätverksstandarder, främst ISDN och IN Intelligent Network. | |||
Dynamikens grundläggande lag kan skrivas i en annan form, med kännedom om systemets masscentrum:
Det är där rörelseekvationen för systemets masscentrum, en av mekanikens viktigaste ekvationer. Det sägs att massacentrum för varje system av partiklar rör sig som om hela systemets massa var koncentrerad vid den punkten och alla yttre krafter applicerades på det.
Accelerationen av systemets masscentrum är helt oberoende av appliceringspunkterna för yttre krafter.
Om , då , då och är fallet med ett slutet system i en tröghetsreferensram. Således, om ett systems masscentrum rör sig likformigt och i en rät linje, betyder detta att dess rörelsemängd bevaras under rörelsen.
Exempel: en homogen cylinder med massa och radie rullar nedför ett lutande plan och bildar en vinkel med horisontalen utan att glida. Hitta rörelseekvationen?
| |
Foglösningen ger parametrarnas värden
Masscentrums rörelseekvation sammanfaller med den grundläggande ekvationen för en materiell punkts dynamik och är dess generalisering till ett system av partiklar: accelerationen av systemet som helhet är proportionell mot resultatet av alla yttre krafter och omvänt proportionell mot systemets massa.
Ett referenssystem som är stelt kopplat till masscentrum, som rör sig translationellt i förhållande till ISO, kallas masscentrumsystemet. Dess egenhet är att den totala rörelsemängden för partikelsystemet i det alltid är lika med noll, som .
Slut på arbetet -
Detta ämne hör till avsnittet:
Kinematik för translationell rörelse
Fysiska grunder för mekanik.. kinematik för translationell rörelse.. mekanisk rörelse är en form av existens..
Om du behöver ytterligare material om detta ämne, eller om du inte hittade det du letade efter, rekommenderar vi att du använder sökningen i vår databas med verk:
Vad ska vi göra med det mottagna materialet:
Om detta material var användbart för dig kan du spara det på din sida på sociala nätverk:
| Tweet |
Alla ämnen i detta avsnitt:
Mekanisk rörelse
Materia finns som bekant i två former: i form av substans och fält. Den första typen inkluderar atomer och molekyler från vilka alla kroppar är uppbyggda. Den andra typen inkluderar alla typer av fält: gravitation
Rum och tid
Alla kroppar existerar och rör sig i rum och tid. Dessa begrepp är grundläggande för all naturvetenskap. Vilken kropp som helst har dimensioner, dvs. dess rumsliga utsträckning
Referenssystem
För att entydigt bestämma en kropps position vid ett godtyckligt ögonblick är det nödvändigt att välja ett referenssystem - ett koordinatsystem utrustat med en klocka och stelt förbundet med en absolut stel kropp, enl.
Kinematiska rörelseekvationer
När t.M rör sig ändras dess koordinater med tiden, därför är det nödvändigt att ange typen av funktion för att specificera rörelselagen
Rörelse, elementär rörelse
Låt punkt M röra sig från A till B längs en krökt bana AB. I det första ögonblicket är dess radievektor lika med
Acceleration. Normal och tangentiell acceleration
En punkts rörelse kännetecknas också av acceleration - hastigheten för förändring i hastighet. Om hastigheten för en punkt under en godtycklig tid
Framåtrörelse
Den enklaste typen av mekanisk rörelse hos en stel kropp är translationsrörelse, där en rät linje som förbinder två punkter på kroppen rör sig med kroppen och förblir parallell | dess
Tröghetslagen
Klassisk mekanik är baserad på Newtons tre lagar, formulerade av honom i hans essä "Mathematical Principles of Natural Philosophy", publicerad 1687. Dessa lagar var resultatet av ett geni
Tröghetsreferensram
Det är känt att mekanisk rörelse är relativ och dess natur beror på valet av referenssystem. Newtons första lag gäller inte i alla referensramar. Till exempel kroppar som ligger på en slät yta
Vikt. Newtons andra lag
Dynamikens huvuduppgift är att bestämma egenskaperna hos kropparnas rörelse under påverkan av krafter som appliceras på dem. Det är känt av erfarenhet att under påverkan av våld
Grundlagen för en materiell punkts dynamik
Ekvationen beskriver förändringen i rörelsen hos en kropp med ändliga dimensioner under påverkan av kraft i frånvaro av deformation och om den
Newtons tredje lag
Observationer och experiment tyder på att en kropps mekaniska verkan på en annan alltid är en växelverkan. Om kropp 2 verkar på kropp 1, så motverkar kropp 1 nödvändigtvis dessa
Galileiska förvandlingar
De gör det möjligt att bestämma kinematiska storheter under övergången från ett tröghetsreferenssystem till ett annat. Låt oss ta
Galileos relativitetsprincip
Acceleration av vilken punkt som helst i alla referenssystem som rör sig i förhållande till varandra rätlinjigt och likformigt på samma sätt:
Konserveringsmängder
Varje kropp eller system av kroppar är en samling av materiella punkter eller partiklar. Tillståndet för ett sådant system vid någon tidpunkt inom mekaniken bestäms genom att specificera koordinater och hastigheter i
Masscentrum
I vilket system av partiklar som helst kan du hitta en punkt som kallas masscentrum
Konservativa krafter
Om en kraft vid varje punkt i rymden verkar på en partikel placerad där, sägs partikeln vara i ett kraftfält, till exempel i gravitationsfältet, gravitationsfältet, Coulomb och andra krafter. Fält
Centrala krafter
Varje kraftfält orsakas av verkan av en specifik kropp eller system av kroppar. Kraften som verkar på partikeln i detta fält är ca
Potentiell energi för en partikel i ett kraftfält
Det faktum att en konservativ krafts arbete (för ett stationärt fält) endast beror på partikelns initiala och slutliga positioner i fältet tillåter oss att introducera det viktiga fysiska konceptet potential
Förhållandet mellan potentiell energi och kraft för ett konservativt fält
Samspelet mellan en partikel och omgivande kroppar kan beskrivas på två sätt: med hjälp av begreppet kraft eller med begreppet potentiell energi. Den första metoden är mer generell, eftersom det gäller också krafter
Kinetisk energi för en partikel i ett kraftfält
Låt en massa partikel röra sig i kraft
En partikels totala mekaniska energi
Det är känt att ökningen av en partikels kinetiska energi när den rör sig i ett kraftfält är lika med det elementära arbetet för alla krafter som verkar på partikeln:
Lagen om bevarande av partikelmekanisk energi
Det följer av uttrycket att i ett stationärt fält av konservativa krafter kan en partikels totala mekaniska energi förändras
Kinematik
Du kan rotera din kropp genom en viss vinkel
En partikels rörelsemängd. Maktens ögonblick
Förutom energi och rörelsemängd finns det en annan fysisk storhet som bevarandelagen är förknippad med - detta är rörelsemängd. Partikelns rörelsemängd
Impulsmoment och kraftmoment kring axeln
Låt oss ta en godtycklig fast axel i referenssystemet av intresse för oss
Lagen om bevarande av rörelsemängd för ett system
Låt oss betrakta ett system som består av två samverkande partiklar, som också påverkas av yttre krafter och
Således förblir vinkelmomentet för ett slutet system av partiklar konstant och förändras inte med tiden
Detta gäller för vilken punkt som helst i tröghetsreferenssystemet: . Impulsmoment för enskilda delar av systemet m
Tröghetsmoment för en stel kropp
Tänk på en solid kropp som kan
Ekvation för dynamik för stel kroppsrotation
Ekvationen för rotationsdynamiken för en stel kropp kan erhållas genom att skriva momentekvationen för en stel kropp som roterar runt en godtycklig axel
Kinetisk energi hos en roterande kropp
Låt oss betrakta en absolut stel kropp som roterar runt en fast axel som passerar genom den. Låt oss bryta ner det till partiklar med små volymer och massor
Rotationsarbete av en stel kropp
Om en kropp roteras med kraft
Centrifugal tröghetskraft
Låt oss betrakta en skiva som roterar tillsammans med en kula på en fjäder på en eker, Fig. 5.3. Bollen är lokaliserad
Coriolis kraft
När en kropp rör sig i förhållande till en roterande CO, uppstår dessutom en annan kraft - Corioliskraften eller Corioliskraften
Små fluktuationer
Betrakta ett mekaniskt system vars position kan bestämmas med en enda kvantitet, till exempel x. I detta fall sägs systemet ha en frihetsgrad.Värdet på x kan vara
Harmoniska vibrationer
Ekvationen för Newtons andra lag i frånvaro av friktionskrafter för en kvasi-elastisk kraft av formen har formen:
Matematik pendel
Detta är en materialpunkt upphängd på en outtöjbar tråd av längd, svängande i ett vertikalt plan
Fysisk pendel
Detta är en solid kropp som vibrerar runt en fast axel kopplad till kroppen. Axeln är vinkelrät mot figuren och
Dämpade svängningar
I ett riktigt oscillerande system finns motståndskrafter, vars verkan leder till en minskning av systemets potentiella energi, och svängningarna kommer att dämpas.I det enklaste fallet
Självsvängningar
Vid dämpade svängningar minskar systemets energi gradvis och svängningarna stannar. För att göra dem odämpade är det nödvändigt att fylla på systemets energi från utsidan vid vissa ögonblick
Forcerade vibrationer
Om det oscillerande systemet, förutom motståndskrafter, är föremål för verkan av en yttre periodisk kraft som förändras enligt den harmoniska lagen
Resonans
Kurvan för beroendet av amplituden för forcerade svängningar leder till det faktum att vid något specifikt för ett givet system
Vågutbredning i ett elastiskt medium
Om en oscillationskälla placeras på något ställe i ett elastiskt medium (fast, flytande, gasformigt), kommer oscillationen på grund av interaktionen mellan partiklar att fortplanta sig i mediet från partikel till timme
Ekvation av plana och sfäriska vågor
Vågekvationen uttrycker beroendet av förskjutningen av en oscillerande partikel på dess koordinater,
Våg ekvation
Vågekvationen är en lösning på en differentialekvation som kallas vågekvationen. För att fastställa det hittar vi andra partiella derivator med avseende på tid och koordinater från ekvationen
Systemets masscentrum är punkten med radievektorn
För en kontinuerlig fördelning av massa med densitet 
. Om gravitationskrafterna som appliceras på varje partikel i systemet riktas Enkel, då sammanfaller masscentrum med tyngdpunkten. Men om 
inte parallellt, då sammanfaller inte massacentrum och tyngdpunkten.
Att ta tidsderivatan av 
, vi får:
de där. systemets totala rörelsemängd är lika med produkten av dess massa och hastigheten för massacentrum.
Genom att ersätta detta uttryck med lagen om förändring i total fart, finner vi:
Systemets masscentrum rör sig som en partikel där hela systemets massa är koncentrerad och till vilken den resulterande massan appliceras extern styrka
På progressiv I rörelse rör sig alla punkter i en stel kropp på samma sätt som masscentrum (längs samma banor), därför räcker det för att beskriva translationell rörelse att skriva ner och lösa masscentrumets rörelseekvation .
Därför att 
, sedan massans centrum slutet system måste upprätthålla ett vilotillstånd eller enhetlig linjär rörelse, dvs. 
=konst. Men samtidigt kan hela systemet rotera, flyga isär, explodera osv. som ett resultat av handling inre krafter.
Jetdrift. Meshcherskys ekvation
Reaktiv kallas rörelsen hos en kropp där den sker anslutning eller kassering massor. Under rörelseprocessen sker en förändring av kroppens massa: under tiden dt fäster (absorberar) eller avvisar (avger) en massa dm massa dm med en hastighet 
i förhållande till kroppen; i det första fallet dm>0, i det andra dm<0.
Låt oss överväga denna rörelse med exemplet med en raket. Låt oss gå till tröghetsreferensramen K", som vid ett givet ögonblick t rör sig med samma hastighet 
, samma som en raket - detta kallas en ISO medföljande– i denna referensram är raketen för närvarande t vilar(rakethastighet i detta system 
=0). Om summan av externa krafter som verkar på raketen inte är lika med noll, så kommer raketens rörelseekvation i K-systemet, men eftersom alla ISO är ekvivalenta, kommer ekvationen i K-systemet att ha samma form:
det här - Meshcherskys ekvation, som beskriver rörelsen vem som helst med variabel massa).
I ekvationen är massa m en variabel storhet, och den kan inte inkluderas under derivattecknet. Den andra termen på höger sida av ekvationen kallas reaktiv kraft
För en raket spelar den reaktiva kraften rollen som en dragkraft, men vid addering av massa dm/dt>0 kommer den reaktiva kraften också att vara en bromskraft (till exempel när en raket rör sig i ett moln av kosmiskt damm).
Energi i ett partikelsystem
Energin i ett partikelsystem består av kinetik och potential. Den kinetiska energin i ett system är summan av de kinetiska energierna för alla partiklar i systemet
och är, enligt definition, kvantiteten tillsats(som impuls).
Situationen är annorlunda med systemets potentiella energi. För det första verkar interaktionskrafter mellan systemets partiklar 
. DärförA ij =-dU ij, där U ij är den potentiella energin för interaktion mellan de i:te och j:te partiklarna. Summerar vi U ij över alla partiklar i systemet finner vi den sk egen potentiell energi system:
Det är viktigt att systemets egen potentiella energi beror endast på dess konfiguration. Dessutom är denna mängd inte tillsats.
För det andra påverkas varje partikel i systemet generellt sett också av yttre krafter. Om dessa krafter är konservativa, kommer deras arbete att vara lika med minskningen av extern potentiell energi A=-dU ext, där
där U i är den potentiella energin för den i:te partikeln i ett yttre fält. Det beror på positionerna för alla partiklar i det yttre fältet och är additiv.
Således definieras den totala mekaniska energin för ett partikelsystem beläget i ett externt potentialfält som
E syst =K syst +U int +U ext
Lektion "Center of Mass"
Schema: 2 lektioner
Mål: Introducera eleverna till begreppet "massacentrum" och dess egenskaper.
Utrustning: figurer gjorda av kartong eller plywood, tumlare, pennkniv, pennor.
Lektionsplanering
Lektionen stadier tid metoder och tekniker
I Introduktion till studenter 10 frontal undersökning, elevernas arbete vid svarta tavlan.
till lektionsproblemet
II. Att lära sig något nytt 15-20 Lärarens berättelse, problemlösning,
material: 10 experimentella uppgifter
III Öva nya 10 studentmeddelanden
material: 10-15 problemlösning,
15 frontal omröstning
IV Slutsatser. Läxa 5-10 Muntlig sammanfattning av materialet av läraren.
uppgift Skriva på tavlan
Under lektionerna.
jag Upprepning 1. Frontalundersökning: kraftaxel, kraftmoment, jämviktstillstånd, jämviktstyper
Epigraf: Tyngdpunkten för varje kropp är en viss punkt placerad inuti den - så att om du mentalt hänger kroppen från den, så förblir den i vila och bibehåller sin ursprungliga position.
II. Förklaringnytt material
Låt en kropp eller system av kroppar ges. Låt oss mentalt dela upp kroppen i godtyckligt små delar med massorna m1, m2, m3... Var och en av dessa delar kan betraktas som en materiell punkt. Positionen i rymden för den i:te materialpunkten med massa mi bestäms av radievektorn ri(Fig. 1.1). Massan av en kropp är summan av massorna av dess individuella delar: m = ∑ mi.
Masscentrum för en kropp (kroppssystem) är en sådan punkt C, vars radievektor bestäms av formeln
r= 1/m∙∑mi ri
Det kan visas att masscentrumets position i förhållande till kroppen inte beror på valet av ursprung O, d.v.s. Definitionen av masscentrum som ges ovan är entydig och korrekt.
Massans centrum för homogena symmetriska kroppar är beläget i deras geometriska centrum eller på symmetriaxeln; masscentrum för en platt kropp i form av en godtycklig triangel ligger i skärningspunkten mellan dess medianer.
Lösningen på problemet
PROBLEM 1. Homogena bollar med massan m1 = 3 kg, m2 = 2 kg, m3 = 6 kg och m4 = 3 kg fästs på en lätt stav (Fig. 1.2). Avstånd mellan mitten av alla närliggande bollar
a = 10 cm Hitta tyngdpunktens position och strukturens massacentrum.
LÖSNING. Placeringen av strukturens tyngdpunkt i förhållande till kulorna beror inte på stavens orientering i rymden. För att lösa problemet är det bekvämt att placera staven horisontellt, som visas i figur 2. Låt tyngdpunkten vara på staven på ett avstånd L från mitten av vänster kula, d.v.s. från t. A. I tyngdpunkten appliceras resultanten av alla gravitationskrafter och dess moment i förhållande till axel A är lika med summan av kulornas tyngdmoment. Vi har r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,
R L = m2ga + m 3 g 2 a + m 4 g 3 a.
Därför L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 cm
SVAR. Tyngdpunkten sammanfaller med massans centrum och är belägen i punkt C på ett avstånd L = 16,4 cm från mitten av den vänstra kulan.
Det visar sig att en kropps (eller system av kroppar) masscentrum har ett antal anmärkningsvärda egenskaper. Inom dynamik visas att rörelsemängden hos en godtyckligt rörlig kropp är lika med produkten av kroppens massa och hastigheten på dess masscentrum och att masscentrumet rör sig som om alla yttre krafter som verkar på kroppen anbringades i massans centrum, och hela kroppens massa var koncentrerad i honom.
Tyngdpunkten för en kropp som är belägen i jordens gravitationsfält kallas appliceringspunkten för resultatet av alla gravitationskrafter som verkar på alla delar av kroppen. Denna resultant kallas tyngdkraften som verkar på kroppen. Tyngdkraften som appliceras i kroppens tyngdpunkt har samma effekt på kroppen som de tyngdkrafter som verkar på enskilda delar av kroppen.
Ett intressant fall är när kroppens storlek är mycket mindre än jordens storlek. Då kan vi anta att parallella gravitationskrafter verkar på alla delar av kroppen, d.v.s. kroppen befinner sig i ett enhetligt gravitationsfält. Parallella och identiskt riktade krafter har alltid en resulterande kraft, vilket kan bevisas. Men vid en viss position av kroppen i rymden är det möjligt att endast ange verkningslinjen för resultanten av alla parallella tyngdkrafter; punkten för dess tillämpning kommer att förbli obestämd tills vidare, eftersom för en solid kropp kan vilken kraft som helst överföras längs dess verkningslinje. Hur är det med ansökningspunkten?
Det kan visas att för varje position av kroppen i ett enhetligt tyngdfält passerar verkningslinjen för resultanten av alla gravitationskrafter som verkar på enskilda delar av kroppen genom samma punkt, orörlig i förhållande till kroppen. Vid denna tidpunkt appliceras lika kraft, och själva punkten kommer att vara kroppens tyngdpunkt.
Tyngdpunktens läge i förhållande till kroppen beror endast på kroppens form och massans fördelning i kroppen och beror inte på kroppens läge i ett enhetligt tyngdfält. Tyngdpunkten är inte nödvändigtvis belägen i kroppen själv. Till exempel har en båge i ett enhetligt tyngdfält sin tyngdpunkt i sitt geometriska centrum.
I ett enhetligt tyngdfält sammanfaller en kropps tyngdpunkt med dess masscentrum.
I den överväldigande majoriteten av fallen kan en term smärtfritt ersättas av en annan.
Men: en kropps masscentrum existerar oavsett närvaron av ett gravitationsfält, och vi kan tala om tyngdpunkten endast i närvaro av gravitation.
Det är bekvämt att hitta platsen för kroppens tyngdpunkt, och därför massacentrum, med hänsyn till kroppens symmetri och genom att använda begreppet kraftmoment.
Om kraftens arm är noll, då är kraftmomentet noll och en sådan kraft orsakar inte rotationsrörelse hos kroppen.
Följaktligen, om kraftens verkningslinje passerar genom masscentrum, så rör den sig translationellt.
Således kan du bestämma massans centrum för vilken platt figur som helst. För att göra detta måste du säkra den vid ett tillfälle, vilket ger den möjlighet att rotera fritt. Den kommer att installeras så att tyngdkraften, vrider den, passerar genom massans centrum. Vid den punkt där figuren är säkrad, häng en tråd med en belastning (mutter), rita en linje längs upphängningen (d.v.s. tyngdlinjen). Låt oss upprepa stegen och säkra figuren vid en annan punkt. Skärningspunkten mellan gravitationskrafternas verkningslinjer är kroppens masscentrum
Experimentell uppgift: bestämma tyngdpunkten för en platt figur (baserat på de figurer som tidigare utarbetats av elever från kartong eller plywood).
Instruktioner: fixera figuren på ett stativ. Vi hänger ett lod från ett av figurens hörn. Vi ritar gravitationens verkningslinje. Rotera figuren och upprepa åtgärden. Massans centrum ligger i skärningspunkten mellan tyngdkraftslinjerna.
Elever som snabbt slutför uppgiften kan få ytterligare en uppgift: fäst en vikt (metallbult) på figuren och bestäm den nya positionen för massacentrum. Rita en sammanfattning.
Studiet av de anmärkningsvärda egenskaperna hos "centra", som är mer än två tusen år gamla, visade sig vara användbar inte bara för mekanik - till exempel vid konstruktion av fordon och militär utrustning, beräkning av stabiliteten hos strukturer eller för att härleda jetfordonens rörelseekvationer. Det är osannolikt att Arkimedes ens skulle kunna föreställa sig att begreppet masscentrum skulle vara mycket praktiskt för forskning inom kärnfysik eller i elementarpartiklars fysik.
Studentmeddelanden:
I sitt arbete "On the Equilibrium of Flat Bodies" använde Arkimedes begreppet tyngdpunkt utan att egentligen definiera det. Tydligen introducerades det först av en okänd föregångare till Archimedes eller av honom själv, men i ett tidigare verk som inte har nått oss.
Sjutton långa århundraden fick gå innan vetenskapen lade nya resultat till Arkimedes forskning om tyngdpunkter. Detta hände när Leonardo da Vinci lyckades hitta tetraederns tyngdpunkt. Han, som tänkte på stabiliteten hos italienska lutande torn, inklusive Pisa-tornet, kom till "satsen om stödpolygonen."
Jämviktsförhållandena för flytande kroppar, upptäckt av Arkimedes, måste senare återupptäckas. Detta gjordes i slutet av 1500-talet av den nederländska vetenskapsmannen Simon Stevin, som tillsammans med begreppet tyngdpunkt använde begreppet "tryckcentrum" - applikationspunkten för vattnets tryckkraft. som omger kroppen.
Torricellis princip (och formlerna för att beräkna massans centrum är också uppkallade efter honom), visar det sig, förutsågs av hans lärare Galileo. I sin tur låg denna princip till grund för Huygens klassiska arbete om pendelur och användes även i Pascals berömda hydrostatiska studier.
Metoden som gjorde det möjligt för Euler att studera rörelsen hos en stel kropp under inverkan av alla krafter var att bryta ner denna rörelse till förskjutningen av kroppens masscentrum och rotation runt axlarna som passerade genom den.
För att hålla föremål i en konstant position när deras stöd rör sig har den så kallade kardanupphängningen använts i flera århundraden - en anordning där en kropps tyngdpunkt ligger under axlarna runt vilka den kan rotera. Ett exempel är en fartygsfotogenlampa.
Även om gravitationen på månen är sex gånger mindre än på jorden, skulle det vara möjligt att öka höjdhoppsrekordet där "bara" med fyra gånger. Beräkningar baserade på förändringar i höjden av tyngdpunkten i idrottarens kropp leder till denna slutsats.
Förutom den dagliga rotationen runt sin axel och det årliga varvet runt solen, deltar jorden i ytterligare en cirkelrörelse. Tillsammans med månen "snurrar" den runt ett gemensamt masscentrum, som ligger cirka 4 700 kilometer från jordens centrum.
Vissa konstgjorda jordsatelliter är utrustade med en vikstav som är flera eller till och med tiotals meter lång, viktad i slutet (den så kallade gravitationsstabilisatorn). Faktum är att en långsträckt satellit, när den rör sig i omloppsbana, tenderar att rotera runt sin masscentrum så att dess längdaxel är vertikal. Då kommer den, liksom månen, alltid att vara vänd mot jorden med en sida.
Observationer av några synliga stjärnors rörelse tyder på att de är en del av binära system där de "himmelska partnerna" roterar runt ett gemensamt masscentrum. En av de osynliga följeslagarna i ett sådant system kan vara en neutronstjärna eller, möjligen, ett svart hål.
Lärarens förklaring
Masscentrumsats: en kropps masscentrum kan ändra sin position endast under påverkan av yttre krafter.
Följd av satsen om masscentrum: masscentrum för ett slutet system av kroppar förblir orörligt under alla interaktioner mellan systemets kroppar.
Lösa problemet (vid styrelsen)
PROBLEM 2. Båten står orörlig i stilla vatten. Personen i båten rör sig från fören till aktern. På vilket avstånd h kommer båten att röra sig om en persons massa är m = 60 kg, båtens massa är M = 120 kg och båtens längd är L = 3 m? Försumma vattenmotstånd.
LÖSNING. Låt oss använda villkoret för problemet att masscentrumets initialhastighet är noll (båten och mannen var från början i vila) och att det inte finns något vattenmotstånd (inga yttre krafter i horisontell riktning verkar på "man- båt” system). Följaktligen har koordinaten för systemets masscentrum i horisontell riktning inte ändrats. Figur 3 visar de initiala och slutliga positionerna för båten och personen. Initialkoordinat x0 för masscentrum x0 = (mL+ML/2)/(m+M)
Slutkoordinat x för masscentrum x = (mh+M(h+L/2))/(m+M)
Genom att likställa x0 = x finner vi h= mL/(m+M) =1m
Dessutom: samling av problem av Stepanova G.N. nr 393
Lärarens förklaring
När vi minns jämviktsförhållandena fann vi det
För kroppar med ett stödområde observeras stabil jämvikt när tyngdkraftslinjen passerar genom basen.
Följd: ju större stödytan och ju lägre tyngdpunkten är, desto stabilare är jämviktspositionen.
Demonstration
Placera leksaksglaset (Vanka - Vstanka) på en grov bräda och lyft den högra kanten av brädan. I vilken riktning kommer leksakens "huvud" att avvika samtidigt som den behåller balansen?
Förklaring: Tyngdpunkten C för tumlaren är belägen under den geometriska mitten O på den sfäriska ytan på "bålen". I jämviktsläget bör punkt C och kontaktpunkt A för en leksak med ett lutande plan vara på samma vertikal; därför kommer tumlarens "huvud" att avvika åt vänster
Hur förklarar man bevarandet av jämvikt i fallet som visas i figuren?
Förklaring: Tyngdpunkten för blyertsknivssystemet ligger under stödpunkten
IIIKonsolidering. Frontalundersökning
Frågor och uppgifter
1. När en kropp rör sig från ekvatorn till polen ändras tyngdkraften som verkar på den. Påverkar detta läget för kroppens tyngdpunkt?
Svar: nej, därför att de relativa förändringarna i tyngdkraften för alla element i kroppen är desamma.
2. Är det möjligt att hitta tyngdpunkten för en "hantel" som består av två massiva bollar förbundna med en viktlös stav, förutsatt att längden på "hanteln" är jämförbar med jordens diameter?
Svar: nej. Förutsättningen för existensen av en tyngdpunkt är gravitationsfältets enhetlighet. I ett olikformigt gravitationsfält leder rotationer av "hanteln" runt dess masscentrum till det faktum att aktionslinjerna L1 och L2, de resulterande tyngdkrafterna som appliceras på kulorna, inte har en gemensam punkt
3. Varför tappar den främre delen av en bil när du bromsar kraftigt?
Svar: vid inbromsning verkar en friktionskraft på hjulen på vägsidan, vilket skapar ett vridmoment runt bilens massa.
4. Var är munkens tyngdpunkt?
Svar: i hålet!
5. Vatten hälls i ett cylindriskt glas. Hur kommer läget för tyngdpunkten för glas-vattensystemet att förändras?
Svar: Systemets tyngdpunkt kommer först att minska och sedan öka.
6. Vilken längd av änden måste skäras av från en homogen stång så att dess tyngdpunkt förskjuts med ∆ℓ?
Svar: längd 2∆ℓ.
7. En homogen stav böjdes i mitten i rät vinkel. Var låg hans tyngdpunkt nu?
Svar: vid punkt O - mitten av segmentet O1O2 som förbinder mittpunkterna i sektionerna AB och BC på stången
9. Den stationära rymdstationen är en cylinder. Astronauten börjar en cirkulär promenad runt stationen längs dess yta. Vad kommer att hända med stationen?
Svar: Med stationen kommer att börja rotera i motsatt riktning, och dess centrum kommer att beskriva en cirkel runt samma masscentrum som astronauten.
11. Varför är det svårt att gå på styltor?
Svar: tyngdpunkten för en person på styltor ökar avsevärt, och området för hans stöd på marken minskar.
12. När är det lättare för en spännrullator att hålla balansen - vid normal rörelse längs ett rep eller när man bär en kraftigt krökt balk lastad med hinkar med vatten?
Svar: I det andra fallet, eftersom massacentrum för reprullatorn med hinkar ligger lägre, dvs. närmare stödet - repet.
IVLäxa:(utförs av de som vill - uppgifterna är svåra, de som löser dem får en "5").
*1. Hitta tyngdpunkten för systemet av bollar som ligger vid hörnen på den liksidiga viktlösa triangeln som visas i figuren
Svar: tyngdpunkten ligger i mitten av halveringslinjen för vinkeln i vars spets det finns en kula med en massa på 2m
*2. Djupet på hålet i brädet där bollen förs in är halva bollens radie. Vid vilken lutningsvinkel av brädan mot horisonten kommer bollen att hoppa ut ur hålet?
