Regler för beräkning av derivat. Derivata av en funktion 1 definition av en derivata av en funktion

(\large\bf Funktionsderivata)

Tänk på funktionen y=f(x), ges på intervallet (a,b). Låta x- valfritt fast punktintervall (a,b), A Δx- ett godtyckligt tal, så att värdet x+Δx hör också till intervallet (a,b). Detta nummer Δx kallas argumentökning.

Definition. Funktionsökning y=f(x) vid punkten x, motsvarande ökningen av argumentet Δx, låt oss ringa numret

Δy = f(x+Δx) - f(x).

vi tror att Δx ≠ 0. Överväg vid en given fast punkt x förhållandet mellan ökningen av funktionen vid den punkten och motsvarande ökning av argumentet Δx

Denna relation kommer att kallas skillnadsrelationen. Eftersom värdet x vi anser vara fixerade, skillnadsrelationen är en funktion av argumentet Δx. Denna funktion är definierad för alla argumentvärden Δx, tillhörande något tillräckligt litet område av punkten ∆x=0, förutom poängen ∆x=0. Vi har således rätt att överväga frågan om förekomsten av en gräns för den angivna funktionen för ∆x → 0.

Definition. Derivatfunktion y=f(x) vid en given fast punkt x kallas gränsen ∆x → 0 differentiell relation, det vill säga

Förutsatt att denna gräns finns.

Beteckning. y (x) eller f′(x).

Den geometriska betydelsen av derivatan: Funktionsderivata f(x) vid denna tidpunkt x lika med tangenten för vinkeln mellan axeln Oxe och en tangent till grafen för denna funktion vid motsvarande punkt:

f′(x 0) = \tgα.

Den mekaniska betydelsen av derivatan: Banans derivata med avseende på tid är lika med hastigheten för punktens rätlinjiga rörelse:

Linjetangens ekvation y=f(x) vid punkten M0 (x0,y0) tar formen

y-y 0 = f (x 0) (x-x 0).

Normalen till kurvan vid någon punkt är vinkelrät mot tangenten vid samma punkt. Om f′(x 0)≠ 0, sedan ekvationen för normalen till linjen y=f(x) vid punkten M0 (x0,y0)är skrivet så här:

Begreppet differentierbarhet för en funktion

Låt funktionen y=f(x) definieras på något intervall (a,b), x- något fast värde på argumentet från detta intervall, Δx- varje ökning av argumentet så att värdet av argumentet x+Δx ∈ (a, b).

Definition. Fungera y=f(x) kallas differentierbar vid en given punkt x om ökning Δy denna funktion vid punkten x, motsvarande ökningen av argumentet Δx, kan representeras som

Δy = A Δx + αΔx,

Var Aär något nummer oberoende av Δx, A α - argumentfunktion Δx, som är oändligt liten kl ∆x → 0.

Eftersom produkten av två infinitesimala funktioner αΔxär en oändligt liten högre ordning än Δx(egenskap 3 för infinitesimala funktioner), kan vi skriva:

∆y = A ∆x +o(∆x).

Sats. För funktionen y=f(x) var differentierbar vid en given punkt x, är det nödvändigt och tillräckligt att den har en finit derivata vid denna punkt. Vart i A=f′(x), det är

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Operationen att hitta derivatan brukar kallas differentiering.

Sats. Om funktionen y=f(x) x, då är den kontinuerlig vid den punkten.

Kommentar. Från kontinuiteten i funktionen y=f(x) vid denna tidpunkt x, generellt sett följer det inte att funktionen är differentierbar f(x) vid denna tidpunkt. Till exempel funktionen y=|x|- kontinuerlig vid en punkt x=0, men har ingen derivata.

Begreppet funktionsdifferential

Definition. funktionsskillnad y=f(x) kallas produkten av derivatan av denna funktion och ökningen av den oberoende variabeln x:

dy = y′ ∆x, df(x) = f′(x) ∆x.

För funktion y=x vi får dy=dx=x'Δx = 1 Δx= Δx, det är dx=Δx- differentialen för en oberoende variabel är lika med ökningen av denna variabel.

Så vi kan skriva

dy = y′dx, df(x) = f′(x)dx

Differentiell dy och öka Δy funktioner y=f(x) vid denna tidpunkt x, båda motsvarar samma ökning av argumentet Δxär i allmänhet inte lika med varandra.

Den geometriska betydelsen av differentialen: Differentialen för en funktion är lika med ökningen av ordinatan för tangenten till grafen för den givna funktionen när argumentet inkrementeras Δx.

Differentieringsregler

Sats. Om var och en av funktionerna u(x) Och v(x) differentierbar vid en given punkt x, sedan summan, skillnaden, produkten och kvoten av dessa funktioner (kvoten förutsatt att v(x)≠ 0) är också differentierbara vid denna tidpunkt, och följande formler gäller:

Tänk på en komplex funktion y=f(φ(x))≡ F(x), Var y=f(u), u=φ(x). I detta fall u kallad mellanargument, x - oberoende variabel.

Sats. Om y=f(u) Och u=φ(x)är differentierbara funktioner av deras argument, sedan derivatan av den komplexa funktionen y=f(φ(x)) existerar och är lika med produkten av denna funktion med avseende på det mellanliggande argumentet och derivatan av det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln, dvs.

Kommentar. För en komplex funktion som är en överlagring av tre funktioner y=F(f(φ(x))), differentieringsregeln har formen

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

var fungerar v=φ(x), u=f(v) Och y=F(u)är differentierbara funktioner av deras argument.

Sats. Låt funktionen y=f(x)ökar (eller minskar) och kontinuerligt i någon del av punkten x0. Låt dessutom denna funktion vara differentierbar vid den angivna punkten x0 och dess derivata vid denna tidpunkt f′(x 0) ≠ 0. Sedan i något grannskap av motsvarande punkt y0=f(x0) det omvända för y=f(x) fungera x=f -1 (y), och den indikerade inversa funktionen är differentierbar vid motsvarande punkt y0=f(x0) och för dess derivat vid denna tidpunkt y formeln är giltig

Derivattabell

Invarians av den första differentialens form

Betrakta differentialen för en komplex funktion. Om y=f(x), x=φ(t)är differentierbara funktioner av sina argument, sedan derivatan av funktionen y=f(φ(t)) uttrycks med formeln

y′ t = y′ x x′ t.

A-priory dy=y't dt, då får vi

dy = y′ t dt = y′ x x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Så det har vi bevisat

Egenskapen för invarians av formen av den första differentialen för en funktion: som i fallet när argumentet xär en oberoende variabel, och i fallet när argumentet xär i sig en differentierbar funktion av den nya variabeln, differentialen dy funktioner y=f(x)är lika med derivatan av denna funktion, multiplicerat med argumentets differential dx.

Tillämpning av differentialen i ungefärliga beräkningar

Vi har visat att skillnaden dy funktioner y=f(x), generellt sett är inte lika med ökningen Δy denna funktion. Ändå upp till en oändligt liten funktion av en högre ordning av litenhet än Δx, den ungefärliga jämlikheten

∆y ≈ dy.

Förhållandet kallas det relativa felet för denna likhets likhet. Därför att ∆y-dy=o(∆x), då blir det relativa felet för denna jämlikhet godtyckligt litet som |Δх|.

Givet att Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f'(x)Δx, vi får f(x+δx)-f(x) ≈ f'(x)Δx eller

f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Denna ungefärliga likhet tillåter med ett fel o(Δx) byt ut funktion f(x) i ett litet område av en punkt x(dvs för små värden Δx) en linjär funktion av argumentet Δx står på höger sida.

Derivat av högre ordning

Definition. Funktionens andra derivata (eller andra ordningens derivata). y=f(x) kallas derivatan av dess första derivata.

Notation för andraderivatan av en funktion y=f(x):

Mekanisk betydelse av den andra derivatan. Om funktionen y=f(x) beskriver rörelselagen för en materiell punkt i en rät linje, sedan andraderivatan f″(x)är lika med accelerationen av den rörliga punkten vid tidpunkten x.

De tredje och fjärde derivaten definieras på liknande sätt.

Definition. n-th derivata (eller derivata n ordningen) funktioner y=f(x) kallas derivatan av det n-1-th derivatan:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Beteckningar: y″′, y IV, y V etc.

Hitta ett uttryck för derivatan av exponentialfunktionen \(y = (e^x)\), med hjälp av definitionen av derivatan.

Lösning.

De första stegen är standard: skriv först ökningen av funktionen \(\Delta y\) som motsvarar ökningen av argumentet \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left((x + \Delta x) \right) - y\left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta) x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] Derivatan beräknas som gränsen för inkrementet förhållande: \[ (y"\left(x \right ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x))) = (\lim\limits_ (\Delta x \till 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \höger)))((\Delta x)).) \] Den funktionen \(y = (e^x)\) i täljaren är inte beroende av Δ x och det kan tas ut ur gränstecknet. Därefter tar derivatan följande form: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Beteckna den erhållna gränsen med \(L\) och beräkna den separat. för övrigt \((e^0) = 1\) och därför kan vi skriva \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x) )) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0)))( (\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] dvs denna gräns är värdet på derivatan av exponentialfunktionen vid noll. Följaktligen har \ Vi erhållit en relation där den önskade derivatan uttrycks i termer av själva funktionen \(y = (e^x)\) och dess derivata i punkten \(x = 0\). Låt oss bevisa att \ För att göra detta, kom ihåg att talet \(e\) definieras som en oändlig gräns som \ och talet \(e\) i potensen \(\Delta x\) kommer att vara lika. till \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x)))(n)) \right)^n) .\] Därefter tillämpar vi den berömda formeln Newtons binomial och utöka uttrycket under gränsinloggningen binomial serie: \[(\left((1 + \frac((\Delta x)))(n)) \right)^n) = \summa\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] ). I europeiska och amerikanska läroböcker betecknas antalet kombinationer som \ Låt oss återgå till vår gräns \(L\), som nu kan skrivas enligt följande: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \ till \infty ) \ left[ (\summa\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x)))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] Det är bekvämt för oss att peka ut de två första termerna i binomialserien: för \(k = 0\) och \(k = 1 \). Resultatet är \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x)))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))(n )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x))) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ summa\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \höger))^k)) ))((\Delta x))) = (\lim\limits_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac(((\left((\Delta x) \right)) ^(k - 1))))(((n^k)))) ) \right)) \right].) \] Uppenbarligen tenderar summan av serien till noll som \(\Delta x \to 0 \) . Därför \(L = 1\). Det betyder att derivatan av exponentialfunktionen \(y = (e^x)\) är lika med själva funktionen: \

När man skulle lösa olika problem inom geometri, mekanik, fysik och andra kunskapsgrenar blev det nödvändigt att använda samma analytiska process från en given funktion y=f(x) få en ny funktion som heter derivatfunktion(eller bara derivata) av denna funktion f(x) och är symboliserade

Processen genom vilken en given funktion f(x) få en ny funktion f"(x), ringde differentiering och den består av följande tre steg: 1) vi ger argumentet xökning  x och bestämma motsvarande ökning av funktionen  y = f(x+ x)-f(x); 2) gör upp relationen

3) räkna x permanent, och  x0, finner vi
, som betecknas med f"(x), som om man betonar att den resulterande funktionen bara beror på värdet x, där vi går till gränsen. Definition: Derivat y "=f" (x) given funktion y=f(x) givet x kallas gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet, förutsatt att ökningen av argumentet tenderar till noll, om, naturligtvis, denna gräns finns, d.v.s. ändlig. Således,
, eller

Observera att om för något värde x, till exempel när x=a, relation
på  x0 tenderar inte till en ändlig gräns, då säger vi i det här fallet att funktionen f(x) på x=a(eller vid punkten x=a) har ingen derivata eller är inte differentierbar vid en punkt x=a.

2. Den geometriska betydelsen av derivatan.

Betrakta grafen för funktionen y \u003d f (x), differentierbar i närheten av punkten x 0

f(x)

Låt oss betrakta en godtycklig rät linje som går genom punkten i grafen för funktionen - punkten A (x 0, f (x 0)) och skär grafen vid någon punkt B (x; f (x)). En sådan rät linje (AB) kallas sekant. Från ∆ABC: ​​AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

Sedan AC || Ox, då ALO = BAC = β (som motsvarande parallellt). Men ALO är lutningsvinkeln för sekanten AB mot den positiva riktningen av Ox-axeln. Därför är tgβ = k lutningen för den räta linjen AB.

Nu ska vi minska ∆x, dvs. ∆x→ 0. I detta fall kommer punkt B att närma sig punkt A enligt grafen, och sekanten AB kommer att rotera. Begränsningspositionen för sekanten AB vid ∆x → 0 kommer att vara den räta linjen (a), som kallas tangenten till grafen för funktionen y \u003d f (x) i punkt A.

Om vi ​​går över till gränsen som ∆х → 0 i likheten tgβ =∆y/∆x, så får vi
eller tg \u003d f "(x 0), sedan
-lutningsvinkel för tangenten till Ox-axelns positiva riktning
, per definition av ett derivat. Men tg \u003d k är lutningen på tangenten, vilket betyder att k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Så den geometriska betydelsen av derivatan är som följer:

Derivata av en funktion i en punkt x 0 lika med lutningen av tangenten till grafen för funktionen ritad vid punkten med abskissan x 0 .

3. Fysisk betydelse av derivatan.

Betrakta rörelsen av en punkt längs en rät linje. Låt koordinaten för en punkt när som helst x(t) ges. Det är känt (från fysikens gång) att medelhastigheten över en tidsperiod är lika med förhållandet mellan tillryggalagd sträcka under denna tidsperiod och tiden, d.v.s.

Vav = ∆x/∆t. Låt oss gå till gränsen i den sista likheten som ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - momentan hastighet vid tidpunkten t 0, ∆t → 0.

och lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (enligt definitionen av en derivata).

Så, (t) = x"(t).

Den fysiska betydelsen av derivatan är följande: funktionens derivatay = f(x) vid punktenx 0 är funktionens förändringshastighetf(x) vid punktenx 0

Derivatan används i fysiken för att hitta hastigheten från en känd funktion av koordinater från tid, acceleration från en känd funktion av hastighet från tid.

 (t) \u003d x "(t) - hastighet,

a(f) = "(t) - acceleration, eller

Om rörelselagen för en materialpunkt längs en cirkel är känd, är det möjligt att hitta vinkelhastigheten och vinkelaccelerationen under rotationsrörelse:

φ = φ(t) - förändring i vinkel med tiden,

ω \u003d φ "(t) - vinkelhastighet,

ε = φ"(t) - vinkelacceleration, eller ε = φ"(t).

Om distributionslagen för massan av en inhomogen stav är känd, kan den linjära densiteten för den inhomogena staven hittas:

m \u003d m (x) - massa,

x  , l - stavlängd,

p \u003d m "(x) - linjär densitet.

Med hjälp av derivatan löses problem från teorin om elasticitet och harmoniska vibrationer. Ja, enligt Hookes lag

F = -kx, x – variabel koordinat, k – fjäderns elasticitetskoefficient. Om vi ​​sätter ω 2 \u003d k / m, får vi differentialekvationen för fjäderpendeln x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

där ω = √k/√m är oscillationsfrekvensen (l/c), k är fjäderhastigheten (H/m).

En ekvation av formen y "+ ω 2 y \u003d 0 kallas ekvationen för harmoniska svängningar (mekaniska, elektriska, elektromagnetiska). Lösningen till sådana ekvationer är funktionen

y = Asin(ωt + φ 0) eller y = Acos(ωt + φ 0), där

A - oscillationsamplitud, ω - cyklisk frekvens,

φ 0 - initial fas.

Det är absolut omöjligt att lösa fysiska problem eller exempel i matematik utan kunskap om derivatan och metoder för att beräkna den. Derivaten är ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys. Vi bestämde oss för att ägna dagens artikel till detta grundläggande ämne. Vad är en derivata, vad är dess fysiska och geometriska betydelse, hur beräknar man derivatan av en funktion? Alla dessa frågor kan kombineras till en: hur förstår man derivatan?

Geometrisk och fysisk betydelse av derivatan

Låt det finnas en funktion f(x) , ges i något intervall (a,b) . Punkterna x och x0 tillhör detta intervall. När x ändras ändras själva funktionen. Argumentförändring - skillnad mellan dess värden x-x0 . Denna skillnad skrivs som delta x och kallas argumentökning. Förändringen eller ökningen av en funktion är skillnaden mellan funktionens värden vid två punkter. Derivatdefinition:

Derivatan av en funktion vid en punkt är gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen vid en given punkt och ökningen av argumentet när det senare tenderar till noll.

Annars kan det skrivas så här:

Vad är poängen med att hitta en sådan gräns? Men vilken:

derivatan av en funktion i en punkt är lika med tangenten för vinkeln mellan OX-axeln och tangenten till grafen för funktionen i en given punkt.

Den fysiska betydelsen av derivatan: tidsderivatan av banan är lika med hastigheten för den rätlinjiga rörelsen.

Sedan skoltiden vet alla att hastighet är en privat väg. x=f(t) och tid t . Medelhastighet under en viss tidsperiod:

För att ta reda på rörelsehastigheten åt gången t0 du måste beräkna gränsen:

Regel ett: ta ut konstanten

Konstanten kan tas ut ur derivatans tecken. Dessutom måste det göras. När du löser exempel i matematik, ta som regel - om du kan förenkla uttrycket, se till att förenkla .

Exempel. Låt oss beräkna derivatan:

Regel två: derivata av summan av funktioner

Derivatan av summan av två funktioner är lika med summan av derivatan av dessa funktioner. Detsamma gäller för derivatan av skillnaden mellan funktioner.

Vi kommer inte att ge ett bevis för detta teorem, utan snarare överväga ett praktiskt exempel.

Hitta derivatan av en funktion:

Regel tre: derivatan av produkten av funktioner

Derivatan av produkten av två differentierbara funktioner beräknas med formeln:

Exempel: hitta derivatan av en funktion:

Lösning:

Här är det viktigt att säga om beräkningen av derivator av komplexa funktioner. Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av denna funktion med avseende på det mellanliggande argumentet med derivatan av det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.

I exemplet ovan möter vi uttrycket:

I det här fallet är det mellanliggande argumentet 8x i femte potensen. För att beräkna derivatan av ett sådant uttryck, betraktar vi först derivatan av den externa funktionen med avseende på det mellanliggande argumentet och multiplicerar sedan med derivatan av själva det mellanliggande argumentet med avseende på den oberoende variabeln.

Regel fyra: Derivatan av kvoten av två funktioner

Formel för att bestämma derivatan av en kvot av två funktioner:

Vi försökte prata om derivat för dummies från grunden. Det här ämnet är inte så enkelt som det verkar, så varnas: det finns ofta fallgropar i exemplen, så var försiktig när du beräknar derivator.

Om du har frågor om detta och andra ämnen kan du kontakta studenttjänsten. På kort tid hjälper vi dig att lösa den svåraste kontrollen och ta itu med uppgifter, även om du aldrig tidigare sysslat med beräkning av derivat.

Det är väldigt lätt att komma ihåg.

Tja, vi kommer inte att gå långt, vi kommer omedelbart att överväga den omvända funktionen. Vad är inversen av exponentialfunktionen? Logaritm:

I vårt fall är basen ett tal:

En sådan logaritm (det vill säga en logaritm med en bas) kallas "naturlig" och vi använder en speciell notation för den: vi skriver istället.

Vad är lika med? Självklart, .

Derivatan av den naturliga logaritmen är också mycket enkel:

Exempel:

1. Hitta derivatan av funktionen.
2. Vad är derivatan av funktionen?

Svar: Exponenten och den naturliga logaritmen är funktioner som är unikt enkla när det gäller derivatan. Exponentiella och logaritmiska funktioner med någon annan bas kommer att ha en annan derivata, som vi kommer att analysera senare, efter att vi har gått igenom reglerna för differentiering.

Differentieringsregler

Vilka regler? Ännu en ny mandatperiod, igen?!...

Differentieringär processen att hitta derivatan.

Bara och allt. Vad är ett annat ord för denna process? Inte proizvodnovanie... Matematikens differential kallas själva inkrementet av funktionen vid. Denna term kommer från latinets differentia - skillnad. Här.

När vi härleder alla dessa regler kommer vi att använda två funktioner, till exempel och. Vi kommer också att behöva formler för deras inkrement:

Det finns 5 regler totalt.

Konstanten tas ur derivatans tecken.

Om - något konstant tal (konstant), då.

Uppenbarligen fungerar denna regel också för skillnaden: .

Låt oss bevisa det. Låt, eller lättare.

Exempel.

Hitta derivator av funktioner:

1. vid punkten;
2. vid punkten;
3. vid punkten;
4. vid punkten.

Lösningar:

1. (derivatan är densamma på alla punkter, eftersom det är en linjär funktion, minns du?);

Derivat av en produkt

Allt är liknande här: vi introducerar en ny funktion och hittar dess inkrement:

Derivat:

Exempel:

1. Hitta derivator av funktioner och;
2. Hitta derivatan av en funktion vid en punkt.

Lösningar:

Derivat av exponentiell funktion

Nu räcker dina kunskaper för att lära dig hur man hittar derivatan av valfri exponentialfunktion, och inte bara exponenten (har du glömt vad det är ännu?).

Så var är någon siffra.

Vi känner redan till derivatan av funktionen, så låt oss försöka ta vår funktion till en ny bas:

För att göra detta använder vi en enkel regel: . Sedan:

Tja, det fungerade. Försök nu att hitta derivatan, och glöm inte att denna funktion är komplex.

Hände?

Här, kontrollera dig själv:

Formeln visade sig vara mycket lik exponentens derivata: som den var, kvarstår det bara en faktor som bara är ett tal, men inte en variabel.

Exempel:
Hitta derivator av funktioner:

Svar:

Det här är bara ett tal som inte kan beräknas utan en miniräknare, det vill säga det kan inte skrivas i en enklare form. Därför lämnas det i svaret i denna form.

Observera att här är kvoten för två funktioner, så vi tillämpar lämplig differentieringsregel:

I det här exemplet är produkten av två funktioner:

Derivat av en logaritmisk funktion

Här är det liknande: du känner redan till derivatan av den naturliga logaritmen:

Därför, för att hitta en godtycklig från logaritmen med en annan bas, till exempel:

Vi måste föra denna logaritm till basen. Hur ändrar man basen för en logaritm? Jag hoppas att du kommer ihåg denna formel:

Först nu i stället för kommer vi att skriva:

Nämnaren visade sig bara vara en konstant (ett konstant tal, utan variabel). Derivatan är väldigt enkel:

Derivater av exponential- och logaritmfunktionerna finns nästan aldrig i provet, men det kommer inte att vara överflödigt att känna till dem.

Derivat av en komplex funktion.

Vad är en "komplex funktion"? Nej, detta är inte en logaritm och inte en bågtangens. Dessa funktioner kan vara svåra att förstå (även om logaritmen verkar svår för dig, läs ämnet "Logaritmer" så löser sig allt), men i matematiken betyder ordet "komplex" inte "svårt".

Föreställ dig en liten transportör: två personer sitter och gör några handlingar med några föremål. Till exempel lindar den första en chokladkaka i ett omslag, och den andra binder den med ett band. Det visar sig ett sådant sammansatt föremål: en chokladkaka inslagen och bunden med ett band. För att äta en chokladkaka måste du göra de motsatta stegen i omvänd ordning.

Låt oss skapa en liknande matematisk pipeline: först hittar vi cosinus för ett tal och sedan kvadrerar vi det resulterande talet. Så de ger oss en siffra (choklad), jag hittar dess cosinus (omslag) och sedan räcker det som jag har (knyt det med ett band). Vad hände? Fungera. Detta är ett exempel på en komplex funktion: när vi, för att hitta dess värde, gör den första åtgärden direkt med variabeln, och sedan ytterligare en andra åtgärd med det som hände som ett resultat av den första.

Med andra ord, En komplex funktion är en funktion vars argument är en annan funktion: .

För vårt exempel, .

Vi kan mycket väl göra samma åtgärder i omvänd ordning: först kvadrerar du, och sedan letar jag efter cosinus för det resulterande talet:. Det är lätt att gissa att resultatet nästan alltid blir annorlunda. En viktig egenskap hos komplexa funktioner: när ordningen på åtgärder ändras ändras funktionen.

Andra exemplet: (samma). .

Den sista åtgärden vi gör kommer att kallas "extern" funktion, och den åtgärd som utfördes först - respektive "intern" funktion(detta är informella namn, jag använder dem bara för att förklara materialet på ett enkelt språk).

Försök själv avgöra vilken funktion som är extern och vilken som är intern:

Svar: Separationen av inre och yttre funktioner påminner mycket om att ändra variabler: till exempel i funktionen

1. Vilka åtgärder kommer vi att vidta först? Först beräknar vi sinus, och först då höjer vi den till en kub. Så det är en intern funktion, inte en extern.
   Och den ursprungliga funktionen är deras sammansättning: .
2. Internt: ; extern: .
   Examination:.
3. Internt: ; extern: .
   Examination:.
4. Internt: ; extern: .
   Examination:.
5. Internt: ; extern: .
   Examination:.

vi ändrar variabler och får en funktion.

Nåväl, nu ska vi extrahera vår choklad - leta efter derivatet. Proceduren är alltid omvänd: först letar vi efter derivatan av den yttre funktionen, sedan multiplicerar vi resultatet med derivatan av den inre funktionen. För originalexemplet ser det ut så här:

Ett annat exempel:

Så låt oss äntligen formulera den officiella regeln:

Algoritm för att hitta derivatan av en komplex funktion:

Det verkar vara enkelt, eller hur?

Låt oss kolla med exempel:

Lösningar:

1) Internt: ;

Extern: ;

2) Internt: ;

(försök bara inte minska vid det här laget! Ingenting tas ut under kosinus, minns du?)

3) Internt: ;

Extern: ;

Det är omedelbart tydligt att det finns en komplex funktion på tre nivåer här: trots allt är detta redan en komplex funktion i sig, och vi extraherar fortfarande roten från den, det vill säga vi utför den tredje åtgärden (lägg choklad i ett omslag och med ett band i en portfölj). Men det finns ingen anledning att vara rädd: hur som helst kommer vi att "packa upp" den här funktionen i samma ordning som vanligt: ​​från slutet.

Det vill säga, först differentierar vi roten, sedan cosinus och först sedan uttrycket inom parentes. Och sedan multiplicerar vi allt.

I sådana fall är det bekvämt att numrera åtgärderna. Det vill säga, låt oss föreställa oss vad vi vet. I vilken ordning kommer vi att utföra åtgärder för att beräkna värdet på detta uttryck? Låt oss titta på ett exempel:

Ju senare åtgärden utförs, desto mer "extern" blir motsvarande funktion. Sekvensen av åtgärder - som tidigare:

Här är häckningen i allmänhet 4-nivå. Låt oss bestämma handlingsförloppet.

1. Radikalt uttryck. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Fyrkantig. .

5. Lägg ihop allt:

DERIVAT. KORT OM HUVUDSAKTEN

Funktionsderivata- förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet med en oändligt liten ökning av argumentet:

Grundläggande derivat:

Differentieringsregler:

Konstanten tas ur derivatans tecken:

Derivat av summa:

Derivat produkt:

Derivat av kvoten:

Derivat av en komplex funktion:

Algoritm för att hitta derivatan av en komplex funktion:

1. Vi definierar den "interna" funktionen, hittar dess derivata.
2. Vi definierar den "externa" funktionen, hittar dess derivata.
3. Vi multiplicerar resultaten av den första och andra punkten.