Figuren visar en graf över funktionen och punkter är markerade 7 3. Derivat av funktionen

Nya uppgifter har dykt upp. Låt oss titta på deras lösning.

Prototyp av uppgift B8 (nr 317543)

Figuren visar en graf över funktionen y=f(x) och punkterna -2, -1, 1, 2 är markerade. Vid vilken av dessa punkter är värdet på derivatan störst? Ange denna punkt i ditt svar.

Som vi vet heter det

gräns för förhållandet mellan ökningen av en funktion och ökningen av argumentet, när ökningen av argumentet tenderar till noll:

Derivatan vid en punkt visar hastighet av funktionsförändring vid denna tidpunkt. Ju snabbare funktionen ändras, det vill säga desto större ökning av funktionen, desto större lutningsvinkel för tangenten. Eftersom problemet kräver att bestämma punkten där derivatans värde är störst, utesluter vi punkterna med abskiss -1 och 1 - vid dessa punkter minskar funktionen och derivatan vid dem är negativ.

Funktionen ökar vid punkterna -2 och 2. Den ökar dock vid dem på olika sätt - vid punkt -2 stiger grafen för funktionen brantare än vid punkt 2, och därför ökar funktionen vid denna punkt, och därför derivat, är större.

Svar: -2

Och en liknande uppgift:

Prototyp av uppgift B8 (nr 317544)

Figuren visar en graf över funktionen och punkterna -2, -1, 1, 4 är markerade. Vid vilken av dessa punkter är derivatan minst? Ange denna punkt i ditt svar.

Lösningen på detta problem liknar lösningen på det föregående "precis tvärtom"

Vi är intresserade av den punkt där derivatan får sitt minsta värde, det vill säga vi letar efter den punkt där funktionen minskar snabbast - på grafen är detta den punkt där den brantaste "nedgången" inträffar. Detta är abskissan punkt 4.

Kära vänner! Gruppen av uppgifter relaterade till derivatan inkluderar uppgifter - villkoret ger en graf över en funktion, flera punkter på denna graf och frågan är:

Vid vilken tidpunkt är derivatan störst (minst)?

Låt oss kort upprepa:

Derivatan i en punkt är lika med lutningen på tangenten som passerar igenomdenna punkt på grafen.

UTangentens globala koefficient är i sin tur lika med tangenten för denna tangents lutningsvinkel.

*Detta avser vinkeln mellan tangenten och x-axeln.

1. Vid intervaller med ökande funktion har derivatan ett positivt värde.

2. Vid intervaller av dess minskning har derivatan ett negativt värde.

Tänk på följande skiss:

Vid punkterna 1,2,4 har derivatan av funktionen ett negativt värde, eftersom dessa punkter tillhör avtagande intervall.

Vid punkterna 3,5,6 har derivatan av funktionen ett positivt värde, eftersom dessa punkter tillhör ökande intervall.

Som du kan se är allt klart med betydelsen av derivatan, det vill säga det är inte alls svårt att avgöra vilket tecken den har (positivt eller negativt) vid en viss punkt i grafen.

Dessutom, om vi mentalt konstruerar tangenter vid dessa punkter, kommer vi att se att räta linjer som går genom punkterna 3, 5 och 6 bildar vinklar med oX-axeln från 0 till 90 o, och räta linjer som går genom punkterna 1, 2 och 4 bildar med oX-axeln sträcker sig vinklarna från 90 o till 180 o.

*Släktskapet är tydligt: ​​tangenter som passerar genom punkter som hör till intervall med ökande funktioner bildar spetsiga vinklar med oX-axeln, tangenter som passerar genom punkter som hör till intervall av minskande funktioner bildar trubbiga vinklar med oX-axeln.

Nu den viktiga frågan!

Hur förändras värdet på derivatet? När allt kommer omkring bildar tangenten vid olika punkter på grafen för en kontinuerlig funktion olika vinklar, beroende på vilken punkt på grafen den passerar genom.

*Eller, enkelt uttryckt, tangenten är placerad mer "horisontellt" eller "vertikalt". Se:

Raka linjer bildar vinklar med oX-axeln från 0 till 90 o

Raka linjer bildar vinklar med oX-axeln från 90° till 180°

Därför, om du har några frågor:

— vid vilken av de givna punkterna på grafen har derivatan det minsta värdet?

- vid vilken av de givna punkterna på grafen har derivatan störst värde?

sedan för att svara är det nödvändigt att förstå hur värdet på tangentens vinkel ändras i intervallet från 0 till 180 o.

*Som redan nämnts är värdet på derivatan av funktionen i en punkt lika med tangenten för lutningsvinkeln för tangenten till oX-axeln.

Tangentvärdet ändras enligt följande:

När lutningsvinkeln för den räta linjen ändras från 0° till 90°, ändras värdet på tangenten, och därmed derivatan, från 0 till +∞;

När lutningsvinkeln för den räta linjen ändras från 90° till 180°, ändras värdet på tangenten, och därmed derivatan, i enlighet därmed –∞ till 0.

Detta kan tydligt ses från grafen för tangentfunktionen:

I enkla termer:

Vid en tangentiell lutningsvinkel från 0° till 90°

Ju närmare det är 0 o, desto större blir värdet på derivatan nära noll (på den positiva sidan).

Ju närmare vinkeln är 90°, desto mer kommer derivatan att öka mot +∞.

Med en tangentiell lutningsvinkel från 90° till 180°

Ju närmare det är 90 o, desto mer kommer derivatvärdet att minska mot –∞.

Ju närmare vinkeln är 180°, desto större blir värdet på derivatan nära noll (på den negativa sidan).

317543. Figuren visar en graf över funktionen y = f(x) och punkterna är markerade–2, –1, 1, 2. Vid vilken av dessa punkter är derivatan störst? Ange denna punkt i ditt svar.

Vi har fyra punkter: två av dem hör till intervallen som funktionen minskar på (detta är punkterna –1 och 1) och två till intervallen som funktionen ökar på (detta är punkterna –2 och 2).

Vi kan omedelbart dra slutsatsen att vid punkterna –1 och 1 har derivatan ett negativt värde och vid punkterna –2 och 2 har det ett positivt värde. Därför är det i det här fallet nödvändigt att analysera punkterna –2 och 2 och bestämma vilken av dem som kommer att ha störst värde. Låt oss konstruera tangenter som passerar genom de angivna punkterna:

Värdet på tangenten för vinkeln mellan rät linje a och abskissaxeln kommer att vara större än värdet på tangenten för vinkeln mellan rät linje b och denna axel. Det betyder att värdet på derivatan vid punkt –2 blir störst.

Låt oss svara på följande fråga: vid vilken punkt –2, –1, 1 eller 2 är värdet på derivatan mest negativt? Ange denna punkt i ditt svar.

Derivatan kommer att ha ett negativt värde vid punkter som hör till de minskande intervallen, så låt oss betrakta punkterna -2 och 1. Låt oss konstruera tangenter som passerar genom dem:

Vi ser att den trubbiga vinkeln mellan rät linje b och oX-axeln är "närmare" 180 O , därför kommer dess tangent att vara större än tangenten för vinkeln som bildas av den räta linjen a och oX-axeln.

Således, vid punkten x = 1, kommer värdet på derivatan att vara störst negativt.

317544. Figuren visar grafen för funktionen y = f(x) och punkterna är markerade–2, –1, 1, 4. Vid vilken av dessa punkter är derivatan minst? Ange denna punkt i ditt svar.

Vi har fyra punkter: två av dem hör till de intervall med vilka funktionen minskar (detta är punkterna –1 och 4) och två till de intervaller med vilka funktionen ökar (detta är punkterna –2 och 1).

Vi kan omedelbart dra slutsatsen att vid punkterna –1 och 4 har derivatan ett negativt värde och vid punkterna –2 och 1 har det ett positivt värde. Därför är det i det här fallet nödvändigt att analysera punkterna –1 och 4 och bestämma vilken av dem som kommer att ha det minsta värdet. Låt oss konstruera tangenter som passerar genom de angivna punkterna:

Värdet på tangenten för vinkeln mellan rät linje a och abskissaxeln kommer att vara större än värdet på tangenten för vinkeln mellan rät linje b och denna axel. Det betyder att värdet på derivatan i punkten x = 4 blir det minsta.

Svar: 4

Jag hoppas att jag inte har "överbelastat" dig med mängden skrivande. Faktum är att allt är väldigt enkelt, du behöver bara förstå egenskaperna hos derivatan, dess geometriska betydelse och hur värdet på vinkelns tangent ändras från 0 till 180 o.

1. Bestäm först tecknen för derivatan vid dessa punkter (+ eller -) och välj de nödvändiga punkterna (beroende på frågan).

2. Konstruera tangenter vid dessa punkter.

3. Använd tangesoidgrafen och markera schematiskt vinklarna och displayenAlexander.

P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om webbplatsen på sociala nätverk.

Uppgift B9 ger en graf över en funktion eller derivata från vilken du behöver bestämma en av följande storheter:

1. Värdet av derivatan vid någon punkt x 0,
2. Högsta eller lägsta poäng (extrempoäng),
3. Intervaller av ökande och minskande funktioner (intervall av monotoni).

Funktionerna och derivatorna som presenteras i detta problem är alltid kontinuerliga, vilket gör lösningen mycket enklare. Trots att uppgiften tillhör sektionen matematisk analys kan även de svagaste eleverna göra det, eftersom det inte krävs några djupa teoretiska kunskaper här.

För att hitta värdet av derivatan, extrema punkter och monotonisitetsintervall finns det enkla och universella algoritmer - alla kommer att diskuteras nedan.

Läs villkoren för problem B9 noggrant för att undvika att göra dumma misstag: ibland stöter du på ganska långa texter, men det finns få viktiga förhållanden som påverkar lösningens gång.

Beräkning av derivatvärdet. Tvåpunktsmetod

Om problemet ges en graf av en funktion f(x), som tangerar denna graf vid någon punkt x 0, och det krävs för att hitta värdet på derivatan vid denna punkt, tillämpas följande algoritm:

1. Hitta två "tillräckliga" punkter på tangentgrafen: deras koordinater måste vara heltal. Låt oss beteckna dessa punkter som A (x 1 ; y 1) och B (x 2 ; y 2). Skriv ner koordinaterna korrekt - detta är en nyckelpunkt i lösningen, och alla misstag här kommer att leda till ett felaktigt svar.
2. Genom att känna till koordinaterna är det lätt att beräkna ökningen av argumentet Δx = x 2 − x 1 och ökningen av funktionen Δy = y 2 − y 1 .
3. Slutligen finner vi värdet av derivatan D = Δy/Δx. Med andra ord måste du dividera ökningen av funktionen med ökningen av argumentet - och detta kommer att vara svaret.

Låt oss återigen notera: punkterna A och B måste letas efter exakt på tangenten, och inte på grafen för funktionen f(x), som ofta händer. Tangentlinjen kommer nödvändigtvis att innehålla minst två sådana punkter - annars kommer problemet inte att formuleras korrekt.

Betrakta punkterna A (−3; 2) och B (−1; 6) och hitta stegen:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Låt oss hitta värdet på derivatan: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Uppgift. Figuren visar en graf över funktionen y = f(x) och en tangent till den i punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0 .

Tänk på punkterna A (0; 3) och B (3; 0), hitta stegen:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Nu hittar vi värdet på derivatan: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Uppgift. Figuren visar en graf över funktionen y = f(x) och en tangent till den i punkten med abskissan x 0. Hitta värdet på derivatan av funktionen f(x) i punkten x 0 .

Betrakta punkterna A (0; 2) och B (5; 2) och hitta stegen:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Det återstår att hitta värdet på derivatan: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Från det sista exemplet kan vi formulera en regel: om tangenten är parallell med OX-axeln är derivatan av funktionen i tangentpunkten noll. I det här fallet behöver du inte ens räkna någonting - titta bara på grafen.

Beräkning av högsta och lägsta poäng

Ibland, istället för en graf för en funktion, ger uppgift B9 en graf över derivatan och kräver att man hittar max- eller minimumpunkten för funktionen. I den här situationen är tvåpunktsmetoden värdelös, men det finns en annan, ännu enklare algoritm. Låt oss först definiera terminologin:

1. Punkten x 0 kallas maximipunkten för funktionen f(x) om följande olikhet gäller i någon omgivning till denna punkt: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punkten x 0 kallas minimipunkten för funktionen f(x) om i någon grannskap av denna punkt följande olikhet gäller: f(x 0) ≤ f(x).

För att hitta högsta och lägsta poäng från derivatdiagrammet, följ bara dessa steg:

1. Rita om derivatagrafen och ta bort all onödig information. Som praxis visar stör onödiga uppgifter bara beslutet. Därför markerar vi nollorna för derivatan på koordinataxeln - och det är det.
2. Ta reda på tecknen för derivatan på intervallen mellan nollor. Om det för någon punkt x 0 är känt att f'(x 0) ≠ 0, så är bara två alternativ möjliga: f'(x 0) ≥ 0 eller f'(x 0) ≤ 0. Tecknet för derivatan är lätt att avgöra från originalritningen: om derivatagrafen ligger ovanför OX-axeln, då f'(x) ≥ 0. Och vice versa, om derivatagrafen ligger under OX-axeln, då f'(x) ≤ 0.
3. Vi kontrollerar nollorna och tecknen för derivatan igen. Där tecknet ändras från minus till plus är minimipunkten. Omvänt, om tecknet för derivatan ändras från plus till minus, är detta maxpunkten. Räkningen görs alltid från vänster till höger.

Detta schema fungerar bara för kontinuerliga funktioner - det finns inga andra i Problem B9.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet [−5; 5]. Hitta minimipunkten för funktionen f(x) på detta segment.

Låt oss bli av med onödig information och lämna bara gränserna [−5; 5] och nollor av derivatan x = −3 och x = 2,5. Vi noterar också tecknen:

Uppenbarligen ändras derivatans tecken från minus till plus vid punkten x = −3. Detta är minimipunkten.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet [−3; 7]. Hitta maxpunkten för funktionen f(x) på detta segment.

Låt oss rita om grafen och lämna bara gränserna [−3; 7] och nollor för derivatan x = −1,7 och x = 5. Låt oss notera derivatans tecken på den resulterande grafen. Vi har:

Uppenbarligen, vid punkten x = 5 ändras tecknet för derivatan från plus till minus - detta är maxpunkten.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet [−6; 4]. Hitta antalet maxpunkter för funktionen f(x) som hör till segmentet [−4; 3].

Av villkoren för problemet följer att det räcker att endast beakta den del av grafen som begränsas av segmentet [−4; 3]. Därför bygger vi en ny graf där vi bara markerar gränserna [−4; 3] och nollor av derivatan inuti den. Nämligen, punkterna x = −3,5 och x = 2. Vi får:

På denna graf finns bara en maxpunkt x = 2. Det är vid denna punkt som derivatans tecken ändras från plus till minus.

En liten anteckning om punkter med icke-heltalskoordinater. Till exempel, i det sista problemet övervägdes punkten x = −3,5, men med samma framgång kan vi ta x = −3,4. Om problemet är korrekt sammanställt bör sådana ändringar inte påverka svaret, eftersom punkterna ”utan fast bostadsort” inte direkt deltar i att lösa problemet. Naturligtvis fungerar det här tricket inte med heltalspunkter.

Hitta intervaller för ökande och minskande funktioner

I ett sådant problem, som maximi- och minimumpoäng, föreslås det att använda derivatagrafen för att hitta områden där själva funktionen ökar eller minskar. Låt oss först definiera vad ökande och minskande är:

1. En funktion f(x) sägs öka på ett segment om följande påstående är sant för två punkter x 1 och x 2 från detta segment: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Med andra ord, ju större argumentvärde, desto större funktionsvärde.
2. En funktion f(x) kallas minskande på ett segment om för två punkter x 1 och x 2 från detta segment följande påstående är sant: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). De där. Ett större argumentvärde motsvarar ett mindre funktionsvärde.

Låt oss formulera tillräckliga förutsättningar för att öka och minska:

1. För att en kontinuerlig funktion f(x) ska öka på segmentet räcker det att dess derivata inuti segmentet är positiv, d.v.s. f’(x) ≥ 0.
2. För att en kontinuerlig funktion f(x) ska minska på segmentet räcker det att dess derivata inuti segmentet är negativ, d.v.s. f’(x) ≤ 0.

Låt oss acceptera dessa uttalanden utan bevis. Således får vi ett schema för att hitta intervall av ökande och minskande, som på många sätt liknar algoritmen för att beräkna extrema punkter:

1. Ta bort all onödig information. I den ursprungliga grafen för derivatan är vi främst intresserade av funktionens nollor, så vi lämnar bara dem.
2. Markera derivatans tecken med intervallen mellan nollor. Där f’(x) ≥ 0 ökar funktionen och där f’(x) ≤ 0 minskar den. Om problemet sätter begränsningar för variabeln x, markerar vi dem dessutom på en ny graf.
3. Nu när vi känner till funktionens beteende och begränsningarna återstår det att beräkna den kvantitet som krävs i problemet.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x) definierad på intervallet [−3; 7,5]. Hitta minskningsintervallen för funktionen f(x). I ditt svar, ange summan av de heltal som ingår i dessa intervall.

Låt oss som vanligt rita om grafen och markera gränserna [−3; 7,5], samt nollor av derivatan x = −1,5 och x = 5,3. Sedan noterar vi derivatans tecken. Vi har:

Eftersom derivatan är negativ på intervallet (− 1,5), är detta intervallet för minskande funktion. Det återstår att summera alla heltal som finns inom detta intervall:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Uppgift. Figuren visar en graf av derivatan av funktionen f(x), definierad på intervallet [−10; 4]. Hitta ökningsintervallen för funktionen f(x). I ditt svar, ange längden på den största av dem.

Låt oss bli av med onödig information. Låt oss bara lämna gränserna [−10; 4] och nollor av derivatan, av vilka det var fyra denna gång: x = −8, x = −6, x = −3 och x = 2. Låt oss markera derivatans tecken och få följande bild:

Vi är intresserade av intervallen för ökande funktion, d.v.s. sådan där f’(x) ≥ 0. Det finns två sådana intervall på grafen: (−8; −6) och (−3; 2). Låt oss beräkna deras längder:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Eftersom vi behöver hitta längden på det största av intervallen skriver vi ner värdet l 2 = 5 som svar.

En funktions derivata är ett av de svåra ämnena i skolans läroplan. Inte varje akademiker kommer att svara på frågan om vad ett derivat är.

Den här artikeln förklarar på ett enkelt och tydligt sätt vad ett derivat är och varför det behövs.. Vi kommer nu inte att sträva efter matematisk rigor i presentationen. Det viktigaste är att förstå innebörden.

Låt oss komma ihåg definitionen:

Derivatan är förändringshastigheten för en funktion.

Figuren visar grafer över tre funktioner. Vilken tror du växer snabbare?

Svaret är uppenbart - det tredje. Den har den högsta förändringshastigheten, det vill säga den största derivatan.

Här är ett annat exempel.

Kostya, Grisha och Matvey fick jobb samtidigt. Låt oss se hur deras inkomster förändrades under året:

Grafen visar allt på en gång, eller hur? Kostyas inkomst mer än fördubblades på sex månader. Och Grishas inkomst ökade också, men bara lite. Och Matveys inkomst minskade till noll. Startvillkoren är desamma, men funktionens förändringshastighet, det vill säga derivat, - annorlunda. När det gäller Matvey är hans inkomstderivat generellt negativt.

Intuitivt uppskattar vi enkelt förändringshastigheten för en funktion. Men hur gör vi detta?

Vad vi egentligen tittar på är hur brant grafen för en funktion går upp (eller ner). Med andra ord, hur snabbt förändras y när x ändras? Uppenbarligen kan samma funktion vid olika punkter ha olika derivatvärden - det vill säga den kan ändras snabbare eller långsammare.

Derivatan av en funktion betecknas .

Vi visar dig hur du hittar det med hjälp av en graf.

En graf över någon funktion har ritats. Låt oss ta en punkt med en abskissa på den. Låt oss rita en tangent till grafen för funktionen vid denna punkt. Vi vill uppskatta hur brant grafen för en funktion går uppåt. Ett bekvämt värde för detta är tangent för tangentvinkeln.

Derivatan av en funktion i en punkt är lika med tangenten för tangentvinkeln som ritas till grafen för funktionen vid denna punkt.

Observera att som tangentens lutningsvinkel tar vi vinkeln mellan tangenten och axelns positiva riktning.

Ibland frågar eleverna vad en tangent till grafen för en funktion är. Detta är en rät linje som har en gemensam punkt med grafen i detta avsnitt, och som visas i vår figur. Det ser ut som en tangent till en cirkel.

Låt oss hitta det. Vi kommer ihåg att tangenten för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är lika med förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande sidan. Från triangeln:

Vi hittade derivatan med hjälp av en graf utan att ens veta formeln för funktionen. Sådana problem finns ofta i Unified State Examination i matematik under numret.

Det finns en annan viktig relation. Kom ihåg att den räta linjen ges av ekvationen

Kvantiteten i denna ekvation kallas lutningen av en rak linje. Det är lika med tangenten för lutningsvinkeln för den räta linjen till axeln.

.

Det förstår vi

Låt oss komma ihåg denna formel. Det uttrycker den geometriska betydelsen av derivatan.

Derivatan av en funktion i en punkt är lika med lutningen på tangenten som ritas till grafen för funktionen vid den punkten.

Med andra ord är derivatan lika med tangenten till tangentvinkeln.

Vi har redan sagt att samma funktion kan ha olika derivator vid olika punkter. Låt oss se hur derivatan är relaterad till funktionens beteende.

Låt oss rita en graf över någon funktion. Låt denna funktion öka på vissa områden och minska på andra, och i olika takt. Och låt denna funktion ha max- och minimumpoäng.

Vid ett tillfälle ökar funktionen. En tangent till grafen ritad vid punkten bildar en spetsig vinkel med axelns positiva riktning. Detta betyder att derivatan vid punkten är positiv.

Vid det tillfället minskar vår funktion. Tangenten vid denna punkt bildar en trubbig vinkel med axelns positiva riktning. Eftersom tangenten för en trubbig vinkel är negativ, är derivatan vid punkten negativ.

Så här händer:

Om en funktion ökar är dess derivata positiv.

Om den minskar är dess derivata negativ.

Vad kommer att hända vid högsta och lägsta poäng? Vi ser att i punkterna (maximumpunkt) och (minimipunkt) är tangenten horisontell. Därför är tangentens tangent i dessa punkter noll, och derivatan är också noll.

Punkt - maximal poäng. Vid denna tidpunkt ersätts ökningen av funktionen av en minskning. Följaktligen ändras derivatans tecken vid punkten från "plus" till "minus".

Vid punkten - minimipunkten - är derivatan också noll, men dess tecken ändras från "minus" till "plus".

Slutsats: med hjälp av derivatan kan vi ta reda på allt som intresserar oss om en funktions beteende.

Om derivatan är positiv ökar funktionen.

Om derivatan är negativ minskar funktionen.

Vid maxpunkten är derivatan noll och ändrar tecken från "plus" till "minus".

Vid minimipunkten är derivatan också noll och ändrar tecken från "minus" till "plus".

Låt oss skriva dessa slutsatser i form av en tabell:

	ökar	högsta poäng	minskar	minimipunkt	ökar
+	0	-	0	+

Låt oss göra två små förtydliganden. Du kommer att behöva en av dem när du löser USE-problem. En annan - under det första året, med en mer seriös studie av funktioner och derivator.

Det är möjligt att derivatan av en funktion vid något tillfälle är lika med noll, men funktionen har varken ett maximum eller ett minimum vid denna punkt. Detta är den så kallade :

Vid en punkt är tangenten till grafen horisontell och derivatan är noll. Men före punkten ökade funktionen - och efter punkten fortsätter den att öka. Tecknet för derivatan ändras inte - det förblir positivt som det var.

Det händer också att derivatan inte existerar vid punkten för maximum eller minimum. På grafen motsvarar detta ett skarpt brott, när det är omöjligt att rita en tangent vid en given punkt.

Hur hittar man derivatan om funktionen inte ges av en graf, utan av en formel? I det här fallet gäller det