Jag ska inte försöka övertyga dig om att inte skriva fuskblad. Skriva! Inklusive fuskblad på trigonometri. Senare tänker jag förklara varför fuskblad behövs och varför fuskblad är användbara. Och här är information om hur man inte lär sig, men för att komma ihåg några trigonometriska formler. Så - trigonometri utan fusk!Vi använder associationer för memorering.
1. Tilläggsformler:
Cosinus "kommer alltid i par": cosinus-cosinus, sinus-sinus.
Och en sak till: cosinus är "otillräckliga". "Allt är inte rätt" för dem, så de ändrar tecknen: "-" till "+", och vice versa.
Bihålor - "mix": sinus-cosinus, cosinus-sinus.
2. Summa- och skillnadsformler:
cosinus "kommer alltid i par". Genom att lägga till två cosinus - "koloboks", får vi ett par cosinus - "koloboks". Och genom att subtrahera kommer vi definitivt inte att få några koloboks. Vi får ett par sinus. Också med minus före.
Bihålor - "mix" :
3. Formler för att omvandla en produkt till summa och skillnad.
När får vi ett cosinuspar? När vi lägger till cosinus. Det är därför
När får vi ett par sinus? Vid subtrahering av cosinus. Härifrån:
"Blandning" erhålls både när man adderar och subtraherar sinus. Vad är roligare: lägga till eller subtrahera? Det stämmer, vik. Och för formeln tar de tillägg:
I den första och tredje formeln står summan inom parentes. Att omordna villkorens platser ändrar inte summan. Ordningen är viktig endast för den andra formeln. Men för att inte bli förvirrad, för att det ska vara lätt att komma ihåg, tar vi skillnaden i alla tre formlerna i de första parenteserna
och för det andra - beloppet
Fuskblad i fickan ger dig sinnesfrid: om du glömmer formeln kan du kopiera den. Och de ger dig självförtroende: om du misslyckas med att använda fuskbladet kan du lätt komma ihåg formlerna.
Additionsformler används för att genom sinus och cosinus för vinklarna a och b uttrycka värdena för funktionerna cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).
Tilläggsformler för sinus och cosinus
Sats: För alla a och b gäller följande likhet: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).
Låt oss bevisa detta teorem. Tänk på följande figur:
På den erhålls punkterna Ma, M-b, M(a+b) genom att rotera punkten Mo med vinklarna a, -b respektive a+b. Från definitionerna av sinus och cosinus kommer koordinaterna för dessa punkter att vara följande: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+) b) (cos(a+b); sin(a+b)). AngleMoOM(a+b) = angleM-bOMa, därför är trianglarna MoOM(a+b) och M-bOMa lika, och de är likbenta. Detta betyder att baserna MoM(a-b) och M-bMa är lika. Därför, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Med hjälp av formeln för avståndet mellan två punkter får vi:
(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.
sin(-a) = -sin(a) och cos(-a) = cos(a). Låt oss omvandla vår likhet med hänsyn till dessa formler och kvadraten på summan och skillnaden, då:
1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.
Nu tillämpar vi den grundläggande trigonometriska identiteten:
2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).
Låt oss ge liknande och minska dem med -2:
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.
Följande formler är också giltiga:
- cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
- sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
- sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).
Dessa formler kan erhållas från den som bevisats ovan genom att använda reduktionsformler och ersätta b med -b. Det finns även additionsformler för tangenter och cotangenter, men de kommer inte att vara giltiga för alla argument.
Formler för att lägga till tangenter och cotangenter
För alla vinklar a,b utom a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n och a+b =pi/2 +pi*m, för alla heltal k,n,m kommer följande vara sann formel:
tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).
För alla vinklar a,b utom a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n och a-b =pi/2 +pi*m, för alla heltal k,n,m kommer följande formel att vara giltig:
tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).
För alla vinklar a,b utom a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m och för alla heltal k,n,m kommer följande formel att vara giltig:
ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).
Vi fortsätter vårt samtal om de mest använda formlerna inom trigonometri. De viktigaste av dem är additionsformler.
Definition 1
Additionsformler låter dig uttrycka funktioner av skillnaden eller summan av två vinklar med hjälp av trigonometriska funktioner för dessa vinklar.
Till att börja med kommer vi att ge en komplett lista med additionsformler, sedan kommer vi att bevisa dem och analysera flera illustrativa exempel.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Grundläggande additionsformler i trigonometri
Det finns åtta grundläggande formler: sinus för summan och sinus för skillnaden mellan två vinklar, cosinus för summan och skillnaden, tangenter och cotangens för summan respektive skillnaden. Nedan följer deras standardformuleringar och beräkningar.
1. Sinus för summan av två vinklar kan erhållas enligt följande:
Vi beräknar produkten av sinus för den första vinkeln och cosinus för den andra;
Multiplicera cosinus för den första vinkeln med sinus för den första;
Lägg ihop de resulterande värdena.
Den grafiska skrivningen av formeln ser ut så här: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Skillnadens sinus beräknas på nästan samma sätt, bara de resulterande produkterna behöver inte adderas, utan subtraheras från varandra. Sålunda beräknar vi produkterna av sinus för den första vinkeln med cosinus för den andra och cosinus för den första vinkeln med sinus för den andra och finner deras skillnad. Formeln skrivs så här: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Cosinus av summan. För det hittar vi produkterna av cosinus för den första vinkeln med cosinus för den andra och sinus för den första vinkeln med sinus för den andra, respektive, och finner deras skillnad: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Cosinus för skillnaden: beräkna produkterna av sinus och cosinus för dessa vinklar, som tidigare, och addera dem. Formel: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangent av summan. Denna formel uttrycks som ett bråk, vars täljare är summan av tangenterna för de nödvändiga vinklarna, och nämnaren är en enhet från vilken produkten av tangenterna för de önskade vinklarna subtraheras. Allt är tydligt från dess grafiska notation: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tangent av skillnaden. Vi beräknar värdena för skillnaden och produkten av tangenterna för dessa vinklar och fortsätter med dem på ett liknande sätt. I nämnaren lägger vi till ett, och inte vice versa: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Cotangens av beloppet. För att beräkna med denna formel behöver vi produkten och summan av kotangenserna för dessa vinklar, vilket vi går tillväga enligt följande: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Cotangens av skillnaden . Formeln liknar den föregående, men täljaren och nämnaren är minus, inte plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Du har förmodligen märkt att dessa formler är lika i par. Med hjälp av tecknen ± (plus-minus) och ∓ (minus-plus), kan vi gruppera dem för att underlätta inspelningen:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Följaktligen har vi en inspelningsformel för summan och skillnaden av varje värde, bara i ett fall uppmärksammar vi det övre tecknet, i det andra - till det nedre.
Definition 2
Vi kan ta vilka vinklar som helst α och β, och additionsformlerna för cosinus och sinus kommer att fungera för dem. Om vi korrekt kan bestämma värdena för tangenterna och cotangenserna för dessa vinklar, kommer additionsformlerna för tangent och cotangens också att vara giltiga för dem.
Liksom de flesta begrepp inom algebra kan additionsformler bevisas. Den första formeln vi kommer att bevisa är skillnaden cosinus formel. Resten av bevisen kan sedan lätt utläsas av den.
Låt oss förtydliga de grundläggande begreppen. Vi kommer att behöva en enhetscirkel. Det löser sig om vi tar en viss punkt A och roterar vinklarna α och β runt mitten (punkt O). Då blir vinkeln mellan vektorerna O A 1 → och OA → 2 lika med (α - β) + 2 π · z eller 2 π - (α - β) + 2 π · z (z är vilket heltal som helst). De resulterande vektorerna bildar en vinkel som är lika med α - β eller 2 π - (α - β), eller så kan den skilja sig från dessa värden med ett heltal av hela varv. Ta en titt på bilden:
Vi använde reduktionsformlerna och fick följande resultat:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Resultat: cosinus för vinkeln mellan vektorerna OA 1 → och O A 2 → är lika med cosinus för vinkeln α - β, därför är cos (O A 1 → OA 2 →) = cos (α - β).
Låt oss komma ihåg definitionerna av sinus och cosinus: sinus är en funktion av vinkeln, lika med förhållandet mellan benet i den motsatta vinkeln och hypotenusan, cosinus är sinus för den komplementära vinkeln. Därför punkterna A 1 Och A 2 har koordinater (cos α, sin α) och (cos β, sin β).
Vi får följande:
O A 1 → = (cos α, sin α) och OA 2 → = (cos β, sin β)
Om det inte är tydligt, titta på koordinaterna för punkterna i början och slutet av vektorerna.
Längden på vektorerna är lika med 1, eftersom Vi har en enhetscirkel.
Låt oss nu analysera skalärprodukten av vektorerna OA 1 → och OA 2 → . I koordinater ser det ut så här:
(O A 1 → , OA 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Av detta kan vi härleda jämställdheten:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Således är skillnaden cosinus formel bevisad.
Nu kommer vi att bevisa följande formel - summans cosinus. Detta är lättare eftersom vi kan använda de tidigare beräkningarna. Låt oss ta representationen α + β = α - (- β) . Vi har:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Detta är beviset för cosinussummans formel. Den sista raden använder egenskapen sinus och cosinus för motsatta vinklar.
Formeln för en summas sinus kan härledas från formeln för en skillnads cosinus. Låt oss ta reduktionsformeln för detta:
av formen sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Så
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Och här är beviset på sinusformeln för skillnaden:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Notera användningen av sinus- och cosinusegenskaperna för motsatta vinklar i den senaste beräkningen.
Därefter behöver vi bevis på additionsformlerna för tangent och cotangens. Låt oss komma ihåg de grundläggande definitionerna (tangens är förhållandet mellan sinus och cosinus, och cotangens är vice versa) och ta formlerna som redan härletts i förväg. Vi gjorde det:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Vi har en komplex bråkdel. Därefter måste vi dividera dess täljare och nämnare med cos α · cos β, givet att cos α ≠ 0 och cos β ≠ 0, får vi:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Nu minskar vi bråken och får följande formel: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Vi fick t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Detta är beviset på tangentadditionsformeln.
Nästa formel som vi kommer att bevisa är tangenten till differensformeln. Allt visas tydligt i beräkningarna:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Formler för cotangens bevisas på liknande sätt:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Ytterligare:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g
