I den här artikeln kommer vi att analysera definitionen av talcirkeln i detalj, ta reda på dess huvudegenskap och ordna siffrorna 1,2,3, etc. Om hur man markerar andra tal på cirkeln (till exempel \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) förstår .
Nummercirkel kallas en cirkel med enhetsradie vars punkter motsvarar , ordnade enligt följande regler:
1) Ursprunget är längst till höger i cirkeln;
2) Moturs - positiv riktning; medurs – negativ;
3) Om vi plottar avståndet \(t\) på cirkeln i positiv riktning, så kommer vi till en punkt med värdet \(t\);
4) Om vi plottar avståndet \(t\) på cirkeln i negativ riktning, så kommer vi till en punkt med värdet \(–t\).
Varför kallas cirkeln en talcirkel?
För det finns siffror på den. På så sätt liknar cirkeln talaxeln - på cirkeln, liksom på axeln, finns det en specifik punkt för varje tal.
Varför veta vad en talcirkel är?
Med hjälp av talcirkeln bestäms värdena för sinus, cosinus, tangenter och cotangenter. Därför, för att kunna trigonometri och klara Unified State Exam med 60+ poäng, måste du förstå vad en talcirkel är och hur du placerar prickar på den.
Vad betyder orden "...av enhetsradie..." i definitionen?
Detta betyder att radien för denna cirkel är lika med \(1\). Och om vi konstruerar en sådan cirkel med centrum i origo, kommer den att skära med axlarna i punkterna \(1\) och \(-1\).
Det behöver inte ritas litet, du kan ändra "storleken" på indelningarna längs axlarna, då blir bilden större (se nedan).
Varför är radien exakt en? Detta är bekvämare, för i det här fallet, när vi beräknar omkretsen med formeln \(l=2πR\), får vi:
Längden på talcirkeln är \(2π\) eller ungefär \(6,28\).
Vad betyder "... vars punkter motsvarar reella tal"?
Som vi sa ovan, på talcirkeln för ett reellt tal kommer det definitivt att finnas dess "plats" - en punkt som motsvarar detta nummer.
Varför bestämma ursprung och riktning på talcirkeln?
Huvudsyftet med talcirkeln är att unikt bestämma dess punkt för varje nummer. Men hur kan du bestämma var du ska placera poängen om du inte vet var du ska räkna ifrån och var du ska flytta?
Här är det viktigt att inte blanda ihop origo på koordinatlinjen och på talcirkeln – det är två olika referenssystem! Och blanda inte ihop \(1\) på \(x\)-axeln och \(0\) på cirkeln - det här är punkter på olika objekt.
Vilka punkter motsvarar siffrorna \(1\), \(2\), etc.?
Kom ihåg att vi antog att talcirkeln har en radie på \(1\)? Detta kommer att vara vårt enhetssegment (i analogi med talaxeln), som vi kommer att plotta på cirkeln.
För att markera en punkt på talcirkeln som motsvarar siffran 1 måste du gå från 0 till ett avstånd lika med radien i positiv riktning.
För att markera en punkt på cirkeln som motsvarar talet \(2\), måste du resa ett avstånd lika med två radier från origo, så att \(3\) är ett avstånd lika med tre radier, etc.
När du tittar på den här bilden kan du ha två frågor:
1. Vad händer när cirkeln "slutar" (dvs vi gör en hel revolution)?
Svar: låt oss gå till andra omgången! Och när den andra är över, går vi till den tredje och så vidare. Därför kan ett oändligt antal tal ritas på en cirkel.
2. Var blir de negativa siffrorna?
Svar: precis där! De kan också ordnas, räkna från noll det erforderliga antalet radier, men nu i negativ riktning.
Tyvärr är det svårt att ange heltal på talcirkeln. Detta beror på att längden på talcirkeln inte blir lika med ett heltal: \(2π\). Och på de mest bekväma platserna (vid skärningspunkterna med axlarna) kommer det också att finnas bråk, inte heltal
Videolektioner är bland de mest effektiva undervisningsverktygen, särskilt i skolämnen som matematik. Därför har författaren till detta material endast samlat användbar, viktig och kompetent information i en enda helhet.
Den här lektionen är 11:52 minuter lång. Det tar nästan lika lång tid för en lärare att förklara nytt material om ett visst ämne i klassen. Även om den största fördelen med videolektionen kommer att vara det faktum att eleverna kommer att lyssna noga på vad författaren pratar om, utan att distraheras av främmande ämnen och konversationer. När allt kommer omkring, om eleverna inte lyssnar noga, kommer de att missa en viktig punkt i lektionen. Och om läraren förklarar materialet själv, kan hans elever lätt distrahera från det viktigaste med sina samtal om abstrakta ämnen. Och det blir förstås tydligt vilken metod som blir mer rationell.
Författaren ägnar början av lektionen åt att upprepa de funktioner som eleverna var bekanta med tidigare i algebrakursen. Och de första som börjar studera är trigonometriska funktioner. För att överväga och studera dem krävs en ny matematisk modell. Och denna modell blir siffercirkeln, vilket är precis vad som anges i lektionens ämne. För att göra detta introduceras begreppet enhetscirkel och dess definition ges. Längre i figuren visar författaren alla komponenter i en sådan cirkel, och vad som kommer att vara användbart för eleverna för vidare lärande. Bågar indikerar fjärdedelar.
Sedan föreslår författaren att man överväger talcirkeln. Här gör han anmärkningen att det är bekvämare att använda en enhetscirkel. Denna cirkel visar hur punkten M erhålls om t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.
Därefter påminner författaren eleverna om hur man hittar en cirkels omkrets. Och sedan matar den ut längden på enhetscirkeln. Det föreslås att dessa teoretiska data tillämpas i praktiken. För att göra detta, överväg ett exempel där du behöver hitta en punkt på en cirkel som motsvarar vissa talvärden. Lösningen på exemplet åtföljs av en illustration i form av en bild, samt nödvändiga matematiska notationer.
Enligt tillståndet i det andra exemplet är det nödvändigt att hitta punkter på talcirkeln. Även här åtföljs hela lösningen av kommentarer, illustrationer och matematisk notskrift. Detta bidrar till att utveckla och förbättra elevernas matematiska kunskaper. Det tredje exemplet är konstruerat på liknande sätt.
Därefter noterar författaren de siffror på cirkeln som förekommer oftare än andra. Här tipsar han om att göra två modeller av en talcirkel. När båda layouterna är klara övervägs nästa, fjärde exempel, där man ska hitta en punkt på talcirkeln som motsvarar siffran 1. Efter detta exempel formuleras ett påstående enligt vilket man kan hitta punkten M som motsvarar siffran t.
Därefter införs en anmärkning enligt vilken eleverna lär sig att talet ”pi” motsvarar alla tal som faller på en given punkt när den passerar hela cirkeln. Denna information stöds av det femte exemplet. Hans lösning innehåller logiskt korrekta resonemang och ritningar som illustrerar situationen.
TEXTAVKODNING:
NUMERISK CIRKEL
Tidigare har vi studerat funktioner definierade av analytiska uttryck. Och dessa funktioner kallades algebraiska. Men i skolans matematikkurs studeras funktioner i andra klasser, inte algebraiska. Låt oss börja lära oss trigonometriska funktioner.
För att introducera trigonometriska funktioner behöver vi en ny matematisk modell - talcirkeln. Låt oss betrakta enhetscirkeln. En cirkel vars radie är lika med skalsegmentet, utan att ange specifika måttenheter, kallas enhet. Radien för en sådan cirkel anses vara lika med 1.
Vi kommer att använda en enhetscirkel där de horisontella och vertikala diametrarna CA och DB (ce a och de be) är ritade (se figur 1).
Vi kommer att kalla arc AB första kvartalet, arc BC andra kvartalet, arc CD tredje kvartalet och arc DA fjärde kvartalet.
Tänk på talcirkeln. I allmänhet kan vilken cirkel som helst betraktas som en numerisk cirkel, men det är bekvämare att använda enhetscirkeln för detta ändamål.
DEFINITION En enhetscirkel ges, och startpunkten A är markerad på den - den högra änden av den horisontella diametern. Låt oss associera varje reellt tal t (te) med en punkt på cirkeln enligt följande regel:
1) Om t>0 (te är större än noll), då vi rör oss från punkt A i moturs riktning (cirkelns positiva riktning), beskriver vi en bana AM (a em) med längden t längs cirkeln. Punkt M kommer att vara den önskade punkten M(t) (em från te).
2) Om t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
3) Låt oss tilldela punkt A talet t = 0.
En enhetscirkel med en etablerad överensstämmelse (mellan reella tal och punkter på cirkeln) kommer att kallas en talcirkel.
Det är känt att omkretsen L (el) beräknas med formeln L = 2πR (el är lika med två pi er), där π≈3.14, R är cirkelns radie. För en enhetscirkel R=1cm betyder det L=2π≈6,28 cm (el är lika med två pi ungefär 6,28).
Låt oss titta på exempel.
EXEMPEL 1. Hitta en punkt på talcirkeln som motsvarar det givna talet: ,.(pi gånger två, pi, tre pi gånger två, två pi, elva pi gånger två, sju pi, minus fem pi gånger två)
Lösning. De första sex siffrorna är positiva, därför, för att hitta motsvarande punkter på cirkeln, måste du gå en bana med en given längd längs cirkeln och flytta från punkt A i positiv riktning. Längden på varje fjärdedel av en enhetscirkel är lika. Detta betyder AB =, det vill säga punkt B motsvarar talet (se fig. 1). AC = , det vill säga punkt C motsvarar talet AD = , dvs punkt D motsvarar numret Och punkt A motsvarar återigen numret, för efter att ha gått en stig längs cirkeln hamnade vi vid startpunkten A.
Låt oss överväga var punkten kommer att ligga. Eftersom vi redan vet vad längden på cirkeln är, kommer vi att reducera den till formen (fyra pi plus tre pi med två). Det vill säga, när du rör dig från punkt A i positiv riktning, måste du beskriva en hel cirkel två gånger (en bana med längden 4π) och dessutom en längdbana som slutar vid punkt D.
Vad har hänt? Detta är 3∙2π + π (tre gånger två pi plus pi). Detta innebär att när du flyttar från punkt A i positiv riktning måste du beskriva en hel cirkel tre gånger och dessutom en väg med längden π, som kommer att sluta vid punkt C.
För att hitta en punkt på talcirkeln som motsvarar ett negativt tal måste du gå från punkt A längs cirkeln i negativ riktning (medurs) en längdbana, och detta motsvarar 2π +. Denna väg kommer att sluta vid punkt D.
EXEMPEL 2. Hitta punkter på talcirkeln (pi gånger sex, pi gånger fyra, pi gånger tre).
Lösning. Om vi delar båge AB på mitten får vi punkt E, vilket motsvarar. Och om vi delar bågen AB i tre lika delar med punkterna F och O, får vi att punkt F motsvarar och punkt T motsvarar
(se figur 2).
EXEMPEL 3. Hitta punkter på talcirkeln (minus tretton pi gånger fyra, nitton pi gånger sex).
Lösning. Genom att avsätta bågen AE (a em) med längd (pi gånger fyra) från punkt A tretton gånger i negativ riktning, får vi punkt H (aska) - mitten av bågen BC.
Genom att deponera en båge AF med längden (pi gånger sex) från punkt A nitton gånger i den positiva riktningen kommer vi till punkt N (en), som tillhör tredje kvartalet (båge CD) och CN är lika med den tredje delen av båge CD (se de).
(se figurexempel 2).
Oftast måste du leta efter punkter på talcirkeln som motsvarar talen (pi med sex, pi med fyra, pi med tre, pi med två), samt de som är multiplar av dem, det vill säga (sju pi gånger sex, fem pi gånger fyra, fyra pi gånger tre, elva pi gånger två). Därför, för att snabbt navigera, är det lämpligt att göra två layouter av nummercirkeln.
På den första layouten kommer var och en av fjärdedelarna av nummercirkeln att delas i två lika delar och nära var och en av de resulterande punkterna kommer vi att skriva deras "namn":
På den andra layouten är vart och ett av kvartalen uppdelat i tre lika delar och nära var och en av de resulterande tolv punkterna skriver vi ner deras "namn":
Om vi rör oss medurs kommer vi att få samma "namn" för punkterna på ritningarna, bara med ett minusvärde. För den första layouten:
På samma sätt, om du flyttar längs den andra layouten medurs från punkt O.
EXEMPEL 4. Hitta punkter på talcirkeln som motsvarar siffrorna 1 (ett).
Lösning. Att veta att π≈3,14 (pi är ungefär lika med tre komma fjorton hundradelar), ≈ 1,05 (pi gånger tre är ungefär lika med en komma fem hundradelar), ≈ 0,79 (pi gånger fyra är ungefär lika med noll komma sjuttionio hundradelar) . Betyder att,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.
Följande påstående är sant: om en punkt M på talcirkeln motsvarar ett tal t, så motsvarar den valfritt tal av formen t + 2πk(te plus två pi ka), där ka är vilket heltal som helst och kϵ Z(ka tillhör Zet).
Med hjälp av detta påstående kan vi dra slutsatsen att punkten motsvarar alla punkter på formen t =+ 2πk (te är lika med pi gånger tre plus två toppar), där kϵZ ( ka tillhör zet), och till punkten (fem pi gånger fyra) - punkter av formen t = + 2πk (te är lika med fem pi gånger fyra plus två pi ka), där kϵZ ( ka tillhör zet) och så vidare.
EXEMPEL 5. Hitta punkten på talcirkeln: a) ; b) .
Lösning. a) Vi har: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(tjugo pi gånger tre är lika med tjugo gånger tre pi är lika med sex plus två tredjedelar, multiplicerat med pi är lika med sex pi plus två pi gånger tre lika med två pi gånger tre plus tre gånger två pi).
Det betyder att siffran motsvarar samma punkt på talcirkeln som siffran (detta är den andra fjärdedelen) (se den andra layouten i fig. 4).
b) Vi har: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (minus trettiofem pi gånger fyra är lika med minus åtta plus tre fjärdedelar gånger pi är lika med minus tre pi gånger fyra plus två pi gånger minus fyra ). Det vill säga att talet motsvarar samma punkt på talcirkeln som talet
I den här lektionen kommer vi att återkalla definitionen av en tallinje och ge en ny definition av en talcirkel. Vi kommer också att i detalj överväga en viktig egenskap hos talcirkeln och viktiga punkter på cirkeln. Låt oss definiera de direkta och omvända problemen för talcirkeln och lösa flera exempel på sådana problem.
Ämne: Trigonometriska funktioner
Lektion: Nummercirkel
För alla funktioner skjuts det oberoende argumentet upp antingen med nummer linje, eller på en cirkel. Låt oss karakterisera både tallinjen och nummercirkel.
En rät linje blir en nummerlinje (koordinatlinje) om origo för koordinater markeras och riktning och skala väljs (fig. 1).
Tallinjen upprättar en en-till-en-överensstämmelse mellan alla punkter på linjen och alla reella tal.
Till exempel tar vi ett tal och sätter det på koordinataxeln, vi får en punkt. Vi tar ett tal och sätter det på axeln, vi får en punkt (Fig. 2).
Och vice versa, om vi tar någon punkt på koordinatlinjen, så finns det ett unikt reellt tal som motsvarar den (fig. 2).
Folk kom inte till en sådan korrespondens direkt. För att förstå detta, låt oss komma ihåg de grundläggande numeriska uppsättningarna.
Först introducerade vi en uppsättning naturliga tal
Sedan en uppsättning heltal 
Uppsättning av rationella tal
Det antogs att dessa mängder skulle vara tillräckliga, och att det skulle finnas en en-till-en överensstämmelse mellan alla rationella tal och punkter på en linje. Men det visade sig att det finns otaliga punkter på tallinjen som inte kan beskrivas med formens nummer
Ett exempel är hypotenusan i en rätvinklig triangel med ben 1 och 1. Den är lika stor (fig. 3).
Bland mängden rationella tal finns det ett tal som är exakt lika med Nej, det finns det inte. Låt oss bevisa detta faktum.
Låt oss bevisa det genom motsägelse. Låt oss anta att det finns en bråkdel lika med d.v.s.
Sedan kvadrerar vi båda sidorna. Uppenbarligen är den högra sidan av likheten delbar med 2, . Detta betyder och Då Men sedan och A betyder Då visar det sig att bråket är reducerbart. Detta motsäger villkoret, vilket innebär
Siffran är irrationell. Uppsättningen av rationella och irrationella tal bildar uppsättningen av reella tal 
Om vi tar någon punkt på en linje kommer ett reellt tal att motsvara den. Och om vi tar något reellt tal kommer det att finnas en enda punkt som motsvarar det på koordinatlinjen.
Låt oss klargöra vad en talcirkel är och vad är sambanden mellan uppsättningen av punkter på cirkeln och uppsättningen av reella tal.
Ursprung - punkt A. Räkneriktning - moturs - positiv, medurs - negativ. Skala - omkrets (fig. 4).
Vi har infört dessa tre bestämmelser nummercirkel. Vi kommer att ange hur man tilldelar en punkt på en cirkel till varje nummer och vice versa.
Genom att ställa in numret vi får en punkt på cirkeln
Varje reellt tal motsvarar en punkt på cirkeln. Vad sägs om tvärtom?
Punkten motsvarar numret. Och om vi tar siffror har alla dessa siffror bara en punkt i sin bild på cirkeln
Till exempel motsvarar punkten B(Fig. 4).
Låt oss ta alla siffror, de motsvarar alla punkten. B. Det finns ingen en-till-en-överensstämmelse mellan alla reella tal och punkter på en cirkel.
Om det finns ett fast nummer, så motsvarar endast en punkt på cirkeln det
Om det finns en punkt på en cirkel, så finns det en uppsättning siffror som motsvarar den
Till skillnad från en rät linje har en koordinatcirkel inte en en-till-en-överensstämmelse mellan punkter och siffror. Varje nummer motsvarar bara en punkt, men varje punkt motsvarar ett oändligt antal siffror, och vi kan skriva ner dem.
Låt oss titta på huvudpunkterna på cirkeln.
Med ett tal, hitta vilken punkt på cirkeln den motsvarar.
Dela bågen i hälften får vi en punkt (fig. 5).
Omvänt problem: givet en punkt i mitten av en båge, hitta alla reella tal som motsvarar den.
Låt oss markera alla flera bågar på talcirkeln (fig. 6).
Bågar som är multiplar av
Ett nummer anges. Du måste hitta motsvarande punkt.
Omvänt problem - givet en punkt måste du hitta vilka tal det motsvarar.
Vi tittade på två standarduppgifter vid två kritiska punkter.
a) Hitta en punkt på talcirkeln med koordinat
Fördröjning från punkten A det här är två hela varv och ytterligare en halv, och vi får en poäng M- detta är mitten av tredje kvartalet (fig. 8).
Svar. Punkt M- mitten av tredje kvartalet.
b) Hitta en punkt på talcirkeln med koordinat
Fördröjning från punkten A en hel varv och vi får ändå en poäng N(Fig. 9).
Svar: Punkt När under första kvartalet.
Vi tittade på tallinjen och talcirkeln och kom ihåg deras egenskaper. En speciell egenskap hos tallinjen är en-till-en-överensstämmelsen mellan punkterna på denna linje och uppsättningen av reella tal. Det finns ingen sådan en-till-en-korrespondens på cirkeln. Varje reellt tal på cirkeln motsvarar en enda punkt, men varje punkt på siffercirkeln motsvarar ett oändligt antal reella tal.
I nästa lektion ska vi titta på talcirkeln i koordinatplanet.
Lista med referenser om ämnet "Nummercirkel", "Peka på en cirkel"
1. Algebra och början av analys, årskurs 10 (i två delar). Lärobok för allmänna läroanstalter (profilnivå), red. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra och början av analys, årskurs 10 (i två delar). Problembok för läroanstalter (profilnivå), red. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra och matematisk analys för årskurs 10 (lärobok för elever i skolor och klasser med fördjupade studier av matematik). - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Fördjupning i algebra och matematisk analys.-M.: Education, 1997.
5. Samling av problem i matematik för sökande till högre läroanstalter (redigerad av M.I. Skanavi).- M.: Higher School, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraisk simulator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problem med algebra och analysprinciper (en manual för elever i årskurs 10-11 vid allmänna läroanstalter). - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Samling av problem om algebra och principer för analys: lärobok. traktamente för 10-11 årskurser. med djup studerat Matematik.-M.: Utbildning, 2006.
Läxa
Algebra och början av analys, årskurs 10 (i två delar). Problembok för läroanstalter (profilnivå), red. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 11.6 - 11.12, 11.15 - 11.17.
Ytterligare webbresurser
3. Utbildningsportal för provförberedelser ().
Föremålsnamn Algebra och början av matematisk analys
Klass 10
UMK Algebra och början av matematisk analys, årskurs 10-11. AT 2 . Del 1. Lärobok för allmänna läroanstalter (grundnivå) / A.G. Mordkovich. – 10:e upplagan, ster. - M.: Mnemosyne, 2012. Del 2. Problembok för läroanstalter (grundnivå) /[ A.G. Mordkovich et al.]; redigerad av A.G. Mordkovich. – 10:e upplagan, ster. - M.: Mnemosyne, 2012.
Studienivå. Bas
Lektionens ämne Nummercirkel (klockan 2)
Lektion 1
Mål: introducera begreppet en talcirkel som en modell av ett krökt koordinatsystem.
Uppgifter : att utveckla förmågan att använda talcirkeln vid problemlösning.
Planerade resultat:
Under lektionerna
Att organisera tid.
2. Kontrollera läxor som orsakade svårigheter för eleverna
II. Muntligt arbete.
1. Matcha varje intervall på tallinjen med en olikhet och en analytisk notation för intervallet. Ange uppgifterna i tabellen.
A (– ; –5] D (–5; 5)
B [–5; 5] E (– ; –5)
I [–5; + ) OCH [–5; 5)
G (–5; 5] Z (–5; + )
1 –5 < X < 5 5 –5 X 5
2 X –5 6 X –5
3 –5 < X 5 7 5 X < 5
4 X < –5 8 X > –5
A1. Till skillnad från den studerade tallinjen är talcirkeln en mer komplex modell. Konceptet med en båge, som ligger bakom den, är inte tillförlitligt utarbetat i geometrin.
2 . Arbetar med läroboken . Låt oss titta på ett praktiskt exempel med. 23–24 läroböcker (stadionlöparbanan). Du kan be eleverna att ge liknande exempel (en satellits rörelse i omloppsbana, rotationen av ett kugghjul, etc.).
3. Vi motiverar bekvämligheten med att använda enhetscirkeln som en numerisk.
4. Arbetar med läroboken. Låt oss titta på exempel från sid. 25–31 läroböcker. Författarna betonar att för framgångsrik behärskning av talcirkelmodellen tillhandahåller både läroboken och problemboken ett system med speciella "didaktiska spel". Det finns sex av dem, i den här lektionen kommer vi att använda de fyra första.
(Mordkovich A.G. M79 Algebra och början av matematisk analys. Betyg 10-11 (grundnivå): metodisk manual för lärare / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 sid. : sjuk.)
1:a "spelet" – beräkning av båglängden för en enhetscirkel. Eleverna ska vänja sig vid att längden på hela cirkeln är 2 , en halv cirkel – , kvartscirkel – etc.
2:a "spelet" – hitta punkter på talcirkeln som motsvarar givna tal, uttryckta i bråkdelar av ett tal
till exempel poäng 
etc. (”bra” siffror och poäng).
3:e "spelet" – hitta punkter på talcirkeln som motsvarar givna tal, inte uttryckta i bråkdelar av ett tal till exempel poäng M (1), M (–5), etc. (”dåliga” siffror och poäng).
4:e "spelet" – registrering av siffror som motsvarar en given "bra" punkt på talcirkeln, till exempel, mitten av första kvartalet är "bra", siffrorna som motsvarar det har formen 
Dynamisk paus
Övningarna som lösts i denna lektion motsvarar de fyra utsedda didaktiska spelen. Eleverna använder en nummercirkellayout med diametrarAC (horisontell) ochBD(vertikal).
1. № 4.1, № 4.3.
Lösning:
№ 4.3.
2. № 4.5 (a; b) – 4.11 (a; b).
3. № 4.12.
4. № 4.13 (a; b), № 4.14.
Lösning:
№ 4.13.
V. Provarbete.
Alternativ 1
Alternativ 2
1. Markera punkten på talcirkeln som motsvarar detta tal:
2. Hitta alla siffror som motsvarar punkterna markerade på talcirkeln.
VI. Lektionssammanfattning.
Frågor till studenter:
– Ge definitionen av en talcirkel.
– Vad är längden på en enhetscirkel? Längden på en halv enhetscirkel? Hennes rum?
– Hur kan man hitta en punkt på talcirkeln som motsvarar ett tal? Nummer 5?
Läxa:, sida 23. nr 4.2, nr 4.4, nr 4.5 (c; d) – nr 4.11 (c; d), nr 4.13 (c; d), nr 4.15.
Lektion #2
Mål : konsolidera begreppet talcirkel som en modell av ett krökt koordinatsystem.
Uppgifter : fortsätt att utveckla förmågan att hitta punkter på talcirkeln som motsvarar givna "bra" och "dåliga" tal; skriv ner talet som motsvarar en punkt på talcirkeln; utveckla förmågan att komponera en analytisk notation av bågen i en talcirkel i form av en dubbel olikhet.
Att utveckla beräkningsfärdigheter, korrekt matematiskt tal och logiskt tänkande hos eleverna.
Ingjuta oberoende, uppmärksamhet och noggrannhet. Främja en ansvarsfull inställning till lärande.
Planerade resultat:
Vet, förstå: - talcirkel.
Kunna: - hitta punkter på en cirkel enligt givna koordinater; - hitta koordinaterna för en punkt som ligger på en talcirkel.
Kunna tillämpa det studerade teoretiska materialet vid utförande av skriftliga arbeten.
Lektion teknisk support Dator, skärm, projektor, lärobok, problembok.
Ytterligare metodiskt och didaktiskt stöd för lektionen: Mordkovich A. G. M79 Algebra och början av matematisk analys. Betyg 10-11 (grundnivå): metodisk manual för lärare / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 sid. : silt
Under lektionerna
Att organisera tid.
Studenternas psykologiska humör.
Kollar läxornr 4.2, nr 4.4, nr 4.5 (c; d) – nr 4.11 (c; d), nr 4.13 (c; d),
№ 4.15. Analysera lösningen på uppgifter som orsakade svårigheter.
Muntligt arbete.
(på bild)
1. Matcha punkterna på talcirkeln och de givna siffrorna:
b)
V)
G)
d)
e)
och)
h)
2. Hitta punkterna på talcirkeln.
–2; 4; –8;
13.
III. Förklaring av nytt material.
Som redan nämnts behärskar eleverna ett system med sex didaktiska "spel" som ger förmågan att lösa problem av fyra huvudtyper associerade med talcirkeln (från tal till punkt; från punkt till tal; från båge till dubbel olikhet; från dubbel olikhet till båge).
(Mordkovich A.G. M79 Algebra och början av matematisk analys. Betyg 10-11 (grundnivå): metodisk manual för lärare / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2010. - 202 sid. : sjuk.)
I den här lektionen kommer vi att använda de två senaste spelen:
5:e "spelet" – Sammanställning av analytiska poster (dubbla olikheter) för talcirkelbågar. Till exempel, om en båge ges som förbinder mitten av den första fjärdedelen (bågens början) och den lägsta punkten av de två som delar den andra fjärdedelen i tre lika delar (änden av bågen), då motsvarande analytiska notation har formen:
Om början och slutet av samma båge byts om, kommer motsvarande analytiska post för bågen att se ut så här:
Författarna till läroboken noterar att termerna "kärnan i analytisk notation av en båge", "analytisk notation av en båge" inte är allmänt erkänd, de introducerades av rent metodologiska skäl, och om de ska användas eller inte är upp till lärare.
6:e "spelet" – från denna analytiska notation av bågen (dubbel olikhet) flytta till dess geometriska bild.
Förklaringen bör utföras med hjälp av analogiteknik. Du kan använda en flyttbar tallinjemodell som kan "komprimeras" till en nummercirkel.
Arbetar med läroboken .
Låt oss titta på exempel 8 från sid. 33 läroböcker.
Dynamisk paus
IV. Bildande av färdigheter och förmågor.
När de slutför uppgifter måste eleverna se till att när man skriver en båge analytiskt är den vänstra sidan av den dubbla ojämlikheten mindre än den högra. För att göra detta, när du spelar in, måste du röra dig i en positiv riktning, det vill säga moturs.
1:a gruppen . Övningar för att hitta "dåliga" punkter på talcirkeln.
№ 4.16, nr 4.17 (a; b).
2:a gruppen . Övningar om analytisk registrering av en båge och konstruktion av en båge baserat på dess analytiska registrering.
№ 4,18 (a; b), nr 4,19 (a; b), nr 4,20 (a; b).
V. Självständigt arbete.
Alternativ 1
3. Enligt den analytiska modellen 
skriv ner beteckningen på talbågen och bygg dess geometriska modell.
Alternativ 2
1. Skriv den analytiska modellen i form av en dubbel olikhet utifrån den geometriska modellen av talcirkelns båge.
2. Enligt den givna beteckningen av talcirkelns båge 
ange dess geometriska och analytiska modeller.
3. Enligt den analytiska modellen 
skriv ner beteckningen på talcirkelns båge och bygg dess geometriska modell.
VI. Lektionssammanfattning.
Frågor till studenter:
– På vilka sätt kan du skriva analytiskt talcirkelns båge?
– Vad kallas kärnan i den analytiska registreringen av en båge?
– Vilka villkor måste siffrorna till vänster och höger om en dubbel ojämlikhet uppfylla?
Läxa:
1. , sida 23. nr 4.17 (c; d), nr 4.18 (c; d), nr 4.19 (c; d), nr 4.20 (c; d).
2. Utgå från den geometriska modellen av talcirkelns båge, skriv ner dess analytiska modell i form av en dubbel olikhet.
3. Enligt den givna beteckningen av talcirkelns båge 
ange dess geometriska och analytiska modeller.
