Na podstawie specjalnego porozumienia z redakcją i redakcją czasopisma „Kvant”
Przy rozwiązywaniu problemów mechanicznych nieocenioną pomocą może być wykorzystanie koncepcji środka masy układu punktów materialnych. Niektórych problemów po prostu nie da się rozwiązać bez uciekania się do tej koncepcji, rozwiązywanie innych za jej pomocą może stać się znacznie prostsze i bardziej przejrzyste.
Zanim omówimy konkretne problemy, przypomnijmy podstawowe właściwości środka masy i zilustrujmy je przykładami.
Środek masy (środek bezwładności) układu punktów materialnych to punkt charakteryzujący rozkład mas w układzie, którego współrzędne wyznaczają wzory
Tutaj ja- masy punktów materialnych tworzących układ, x ja, tak, ja, z ja- współrzędne tych punktów. Czytelnicy zaznajomieni z koncepcją wektora promienia będą preferować zapis wektorowy:
(1)
Przykład 1. Znajdźmy położenie środka masy, najprostszy układ składający się z dwóch punktów, których masy M 1 i M 2 i odległość między nimi l(ryc. 1).
Kierowanie osią X od pierwszego punktu do drugiego stwierdzamy, że odległość od pierwszego punktu do środka masy (tj. współrzędnej środka masy) jest równa i odległość od środka masy do drugiego punktu jest równa do tj. stosunek odległości jest odwrotny do stosunku mas. Oznacza to, że w tym przypadku położenie środka masy pokrywa się ze środkiem ciężkości.
Omówmy pewne właściwości środka masy, które, jak nam się wydaje, wypełnią podaną powyżej nieco formalną definicję tego pojęcia treścią fizyczną.
1) Położenie środka masy nie ulegnie zmianie, jeżeli część układu zostanie zastąpiona jednym punktem o masie równej masie tego podukładu i znajdującym się w jego środku masy.
Przykład 2. Rozważmy płaski jednorodny trójkąt i znajdź położenie jego środka masy. Podziel trójkąt na cienkie paski równoległe do jednego z boków i zastąp każdy pasek punktem znajdującym się w jego środku. Ponieważ wszystkie takie punkty leżą na środkowej trójkąta, środek masy również musi leżeć na środkowej. Powtarzając rozumowanie dla każdej strony, stwierdzamy, że środek masy znajduje się na przecięciu środkowych.
2) Prędkość środka masy można wyznaczyć biorąc pochodną czasu obu stron równości (1):
(2)
Gdzie - impuls systemowy, M- całkowita masa układu. Można zauważyć, że prędkość środka masy układu zamkniętego jest stała. Oznacza to, że jeśli skojarzymy poruszający się translacyjnie układ odniesienia ze środkiem masy, to będzie on bezwładny.
Przykład 3. Umieśćmy pręt o jednakowej długości l pionowo na gładką płaszczyznę (rys. 2) i puścić. Podczas upadku zarówno składowa pozioma pędu, jak i składowa pozioma prędkości środka masy pozostaną równe zeru. Zatem w momencie upadku środek pręta znajdzie się w miejscu, w którym pierwotnie stał pręt, a końce pręta przesuną się poziomo o .
3) Przyspieszenie środka masy jest równe pochodnej jego prędkości po czasie:
(3)
gdzie po prawej stronie równości znajdują się tylko siły zewnętrzne, ponieważ wszystkie siły wewnętrzne znoszą się zgodnie z trzecim prawem Newtona. Stwierdzamy, że środek masy porusza się tak, jak wyimaginowany punkt o masie równej masie układu poruszałby się pod działaniem powstałej siły zewnętrznej. Jest to prawdopodobnie najbardziej fizyczna właściwość środka masy.
Przykład 4. Jeśli rzucisz kijem powodując jego obrót, to środek masy kija (jego środek) będzie się poruszał ze stałym przyspieszeniem wzdłuż paraboli (ryc. 3).
4) Niech układ punktów znajdzie się w jednolitym polu grawitacyjnym. Wówczas całkowity moment ciężkości względem dowolnej osi przechodzącej przez środek masy jest równy zeru. Oznacza to, że wypadkowa ciężkości przechodzi przez środek masy, tj. środek masy jest jednocześnie środkiem ciężkości.
5) Energię potencjalną układu punktów w jednolitym polu grawitacyjnym oblicza się ze wzoru
Gdzie H ts - wysokość środka masy układu.
Przykład 5. Podczas kopania dziury o jednolitej głębokości funta H i rozproszenie gleby po powierzchni, jej energia potencjalna wzrasta o , gdzie M- masa wydobytej ziemi.
6) I jeszcze jedna przydatna właściwość środka masy. Energię kinetyczną układu punktów można przedstawić jako sumę dwóch składników: energii kinetycznej ogólnego ruchu postępowego układu, równej , oraz energii kinetycznej mi względem ruchu względem układu odniesienia związanego ze środkiem masy:
Przykład 6. Energia kinetyczna obręczy toczącej się bez poślizgu po poziomej powierzchni z prędkością υ jest równa
gdyż ruch względny w tym przypadku jest czystym obrotem, dla którego prędkość liniowa punktów obręczy jest równa υ (całkowita prędkość dolnego punktu musi być równa zeru).
Teraz zacznijmy analizować problemy za pomocą środka masy.
Problem 1. Jednorodny pręt leży na gładkiej poziomej powierzchni. Na pręt działają dwie poziome siły o jednakowej wielkości, ale o przeciwnych kierunkach: jedna siła jest przykładana do środka pręta, druga do jego końca (ryc. 4). W stosunku do jakiego punktu pręt zacznie się obracać?
Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że osią obrotu będzie punkt leżący pośrodku pomiędzy punktami przyłożenia sił. Jednakże równanie (3) pokazuje, że skoro suma sił zewnętrznych wynosi zero, przyspieszenie środka masy również wynosi zero. Oznacza to, że środek pręta pozostanie w spoczynku, tj. służyć jako oś obrotu.
Problem 2. Cienka, jednolita długość pręta l i masa M wprawiany w ruch po gładkiej poziomej powierzchni tak, że porusza się translalnie i jednocześnie obraca się z prędkością kątową ω. Znajdź napięcie pręta w zależności od odległości X do jego centrum.
Przejdźmy do inercyjnego układu odniesienia związanego ze środkiem pręta. Rozważmy ruch kawałka pręta zamkniętego pomiędzy punktem rozpatrywanego pręta (znajdującym się w pewnej odległości X od środka) i jego koniec (ryc. 5).
Jedyną siłą zewnętrzną działającą na ten element jest wymagana siła rozciągająca F n, masa jest równa , a jego środek masy porusza się po okręgu o promieniu 
z przyspieszeniem. Zapisując równanie ruchu środka masy wybranego elementu, otrzymujemy
Problem 3. Gwiazda podwójna składa się z gwiazd dwuskładnikowych o masach M 1 i M 2, odległość pomiędzy którymi nie zmienia się i pozostaje równa L. Znajdź okres rotacji gwiazdy podwójnej.
Rozważmy ruch gwiazd składowych w inercjalnym układzie odniesienia związanym ze środkiem masy gwiazdy podwójnej. W tym układzie odniesienia gwiazdy poruszają się z tą samą prędkością kątową po okręgach o różnych promieniach (ryc. 6).
Promień obrotu gwiazdy z masą M 1 jest równe (patrz przykład 1), a jego przyspieszenie dośrodkowe powstaje w wyniku siły przyciągania w kierunku innej gwiazdy:
Widzimy, że okres rotacji gwiazdy podwójnej jest równy
i jest określana na podstawie całkowitej masy gwiazdy podwójnej, niezależnie od tego, jak jest ona rozłożona pomiędzy gwiazdami składowymi.
Problem 4. Dwie masy punktowe M i 2 M wiązany nieważką nicią l i poruszaj się po gładkiej poziomej płaszczyźnie. W pewnym momencie prędkość masy 2 M jest równa zeru i prędkość masowa M równy υ i skierowany prostopadle do gwintu (ryc. 7). Znajdź naprężenie nici i okres obrotu układu.
Ryż. 7
Środek masy układu znajduje się w odległości od masy 2 M i porusza się z szybkością. W układzie odniesienia powiązanym ze środkiem masy, punkt masy 2 M porusza się po okręgu o promieniu z prędkością. Oznacza to, że okres obrotu jest równy (sprawdź, czy taką samą odpowiedź uzyskasz, jeśli weźmiemy pod uwagę punkt o masie M). Naprężenie nici znajdujemy z równania ruchu dowolnego z dwóch punktów:
Problem 5. Dwa identyczne bloki masy M każdy połączony lekką sztywnością sprężyny k(ryc. 8). Prętowi pierwszemu nadawana jest prędkość υ 0 w kierunku od pręta drugiego. Opisz ruch układu. Po jakim czasie odkształcenie sprężyny po raz pierwszy osiągnie wartość maksymalną?
Środek masy układu będzie się poruszał ze stałą prędkością. W układzie odniesienia środka masy prędkość początkowa każdego klocka wynosi , a sztywność półsprężyny łączącej go z nieruchomym środkiem masy wynosi 2 k(sztywność sprężyny jest odwrotnie proporcjonalna do jej długości). Okres takich oscylacji jest równy
a amplituda drgań każdego pręta, którą można znaleźć z prawa zachowania energii, wynosi
Po raz pierwszy odkształcenie osiągnie maksimum po jednej czwartej okresu, tj. po chwili .
Problem 6. Masa kulkowa M uderza z prędkością v w nieruchomą kulę o masie 2 M. Znajdź prędkości obu piłek po sprężystym uderzeniu centralnym.
W układzie odniesienia związanym ze środkiem masy całkowity pęd obu kul wynosi zero zarówno przed, jak i po zderzeniu. Łatwo zgadnąć, która odpowiedź na prędkości końcowe spełnia zarówno ten warunek, jak i zasadę zachowania energii: prędkości pozostaną takie same jak przed uderzeniem, ale zmienią swój kierunek na przeciwny. Prędkość środka masy układu jest równa . W układzie środka masy pierwsza kula porusza się z prędkością , a druga piłka porusza się w kierunku pierwszej z prędkością . Po uderzeniu kulki odlecą z tą samą prędkością. Pozostaje wrócić do pierwotnego układu odniesienia. Stosując prawo dodawania prędkości, stwierdzamy, że końcowa prędkość piłki z masą M jednakową i skierowaną do tyłu oraz prędkość spoczywającej wcześniej kuli o masie 2 M równe i skierowane do przodu.
Należy zauważyć, że w układzie środka masy jest oczywiste, że pod wpływem uderzenia względna prędkość piłek nie zmienia wielkości, ale zmienia kierunek. A ponieważ różnica prędkości nie zmienia się po przejściu do innego inercjalnego układu odniesienia, możemy założyć, że wyprowadziliśmy tę ważną zależność dla pierwotnego układu odniesienia:
υ 1 – υ 2 = ty 1 – ty 2 ,
gdzie litera υ oznacza prędkość początkową, oraz ty- dla tych ostatecznych. Równanie to można rozwiązać łącznie z zasadą zachowania pędu zamiast z zasadą zachowania energii (gdzie prędkości są podawane do potęgi drugiej).
Problem 7. Wiadomo, że podczas sprężystego niecentrycznego uderzenia dwóch identycznych kulek, z których jedna przed uderzeniem znajdowała się w spoczynku, kąt rozszerzania wynosi 90°. Udowodnij to stwierdzenie.
W układzie środka masy uderzenie niecentryczne można opisać w następujący sposób. Przed uderzeniem kule zbliżają się z równymi impulsami, po uderzeniu rozlatują się impulsami o tej samej wielkości, ale w przeciwnych kierunkach, a linia ekspansji obraca się pod pewnym kątem w stosunku do linii podejścia. Aby wrócić do początkowego układu odniesienia, do każdej prędkości końcowej należy dodać (wektorowo!) prędkość środka masy. W przypadku identycznych piłek prędkość środka masy jest równa , gdzie υ jest prędkością padającej piłki, a w układzie odniesienia środka masy kule zbliżają się i oddalają od siebie z tymi samymi prędkościami. Fakt, że po dodaniu każdej prędkości końcowej do prędkości środka masy otrzymujemy wzajemnie prostopadłe wektory widać z rysunku 9. Można też po prostu sprawdzić, że iloczyn skalarny wektorów i znika ze względu na to, że moduły wektory są sobie równe.
Ćwiczenia
1. Pręt masy M i długość l zawiasowo na jednym końcu. Pręt odchylono pod pewnym kątem od pozycji pionowej i puszczono. W momencie przejścia przez położenie pionowe prędkość dolnego punktu jest równa υ. Znajdź napięcie w środku pręta w tym momencie.
2. Pręt masy M i długość l obracać się w płaszczyźnie poziomej z prędkością kątową ω wokół jednego z jego końców. Znajdź związek pomiędzy naprężeniem pręta a odległością X do osi obrotu, jeśli na drugim końcu zostanie przymocowany niewielki ciężarek M.
3. Znajdź okres drgań dla układu opisanego w zadaniu 5 artykułu, ale dla prętów o różnych masach M 1 i M 2 .
4. Wyprowadzić znane ogólne wzory na sprężyste uderzenie centralne dwóch kul, korzystając z przejścia do środka układu odniesienia masy.
5. Kula masy M 1 zderza się z kulą w spoczynku o mniejszej masie M 2. Znajdź maksymalny możliwy kąt odchylenia nadlatującej piłki podczas sprężystego uderzenia niecentrycznego.
1. 
2. 
3. 
Środek masy Równanie ruchu środka masy. Samo prawo: Ciała działają na siebie siłami tego samego rodzaju, skierowanymi wzdłuż tej samej linii prostej, jednakowej wielkości i przeciwnym kierunku: Środek masy to punkt geometryczny charakteryzujący ruch ciała lub układu cząstek cały. Definicja Położenie środka masy środka bezwładności w mechanice klasycznej definiuje się następująco: gdzie wektor promienia środka masy jest wektorem promienia i-tego punktu układu i masą i-tego punktu.
7.Trzecie prawo Newtona. Środek masy Równanie ruchu środka masy.
Trzecie prawo Newtonastwierdza: siła akcji jest równa co do wielkości i ma przeciwny kierunek do siły reakcji.
Samo prawo:
Ciała działają na siebie siłami tego samego rodzaju, skierowanymi wzdłuż tej samej linii prostej, jednakowymi co do wielkości i przeciwnymi w kierunku:
Środek masy jest to punkt geometryczny charakteryzujący ruch ciało lub układ cząstek jako całość.
Definicja
Położenie środka masy (środka bezwładności) w mechanice klasycznej wyznacza się w następujący sposób:
gdzie wektor promienia środka masy, wektor promienia i punkt układu,
masa i-tego punktu.
.
Jest to równanie ruchu środka masy układu punktów materialnych o masie równej masie całego układu, do którego przykładana jest suma wszystkich sił zewnętrznych (główny wektor sił zewnętrznych) lub twierdzenie na ruch środka masy.
Jak również inne prace, które mogą Cię zainteresować |
|||
| 22476. | KLASYFIKACJA RADIOWYCH SYSTEMÓW WYWOŁANIA OSOBISTEGO, pagerów, przemienników, PODSTAWOWE PROTOKOŁY PRZESYŁANIA INFORMACJI. | 1,21 MB | |
| KLASYFIKACJA RADIOWYCH SYSTEMÓW WYWOŁANIA OSOBISTEGO, PAGETERÓW, REPEATERÓW PODSTAWOWE PROTOKOŁY TRANSMISJI INFORMACJI. Cel pracy Badanie klasyfikacji osobistych radiowych systemów wywoławczych, pagerów, przemienników, podstawowych protokołów przesyłania informacji. Zapoznaj się z podstawowymi protokołami przesyłania informacji do SPRV. W tym przypadku do przekazania połączenia do abonenta wykorzystano sekwencyjne kodowanie tonowe adresu, co umożliwiło obsługę nawet kilkudziesięciu tysięcy użytkowników. | |||
| 22477. | BADANIE METOD KODOWANIA SYGNAŁÓW MOWY W STANDARDZIE SIECI TETRA TRUNKING | 961,5 kB | |
| Zadanie: Zapoznaj się z ogólnym opisem algorytmu kodowania sygnału mowy. Przestudiuj cechy kodowania kanałów dla różnych kanałów logicznych. Ogólny opis algorytmu kodowania sygnału mowy CELP Do kodowania multipleksowania informacji w sygnałach mowy standard TETRA wykorzystuje koder z predykcją liniową i wzbudzeniem wieloimpulsowym z funkcji CELP Code Code Excited Linear Pgediction. | |||
| 22478. | SYSTEM ŁĄCZNOŚCI KOMÓRKOWEJ GSM-900 | 109,5 kB | |
| Cel pracy Badanie głównych charakterystyk technicznych struktury funkcjonalnej i interfejsów przyjętych w cyfrowym komórkowym systemie radiokomunikacji mobilnej standardu GSM. Zadanie: Zapoznaj się z ogólną charakterystyką standardu GSM. Krótka teoria Standard GSM Global System for Mobile Communications jest ściśle powiązany ze wszystkimi nowoczesnymi standardami sieci cyfrowych, przede wszystkim ISDN i IN Intelligent Network. | |||
Podstawową zasadę dynamiki można zapisać w innej formie, znając pojęcie środka masy układu:
Jest tutaj równanie ruchu środka masy układu, jedno z najważniejszych równań mechaniki. Stwierdza, że środek masy dowolnego układu cząstek porusza się tak, jak gdyby cała masa układu skupiła się w tym punkcie i przyłożono do niego wszystkie siły zewnętrzne.
Przyspieszenie środka masy układu jest całkowicie niezależne od punktów przyłożenia sił zewnętrznych.
Jeżeli , to , to i ma miejsce w przypadku układu zamkniętego w inercjalnym układzie odniesienia. Jeśli zatem środek masy układu porusza się równomiernie i po linii prostej, oznacza to, że podczas ruchu jego pęd zostaje zachowany.
Przykład: jednorodny walec o masie i promieniu toczy się po nachylonej płaszczyźnie, tworząc z poziomem kąt bez poślizgu. Znajdź równanie ruchu?
| |
Wspólne rozwiązanie podaje wartości parametrów
Równanie ruchu środka masy pokrywa się z podstawowym równaniem dynamiki punktu materialnego i jest jego uogólnieniem na układ cząstek: przyspieszenie układu jako całości jest proporcjonalne do wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych i odwrotnie proporcjonalna do masy układu.
Układ odniesienia sztywno połączony ze środkiem masy, który porusza się translacyjnie względem ISO, nazywany jest układem środka masy. Jego osobliwością jest to, że całkowity pęd układu cząstek w nim jest zawsze równy zero, jak .
Koniec pracy -
Ten temat należy do działu:
Kinematyka ruchu translacyjnego
Fizyczne podstawy mechaniki..kinematyka ruchu postępowego..ruch mechaniczny jest formą istnienia..
Jeśli potrzebujesz dodatkowych materiałów na ten temat lub nie znalazłeś tego czego szukałeś, polecamy skorzystać z wyszukiwarki w naszej bazie dzieł:
Co zrobimy z otrzymanym materiałem:
Jeśli ten materiał był dla Ciebie przydatny, możesz zapisać go na swojej stronie w sieciach społecznościowych:
| Ćwierkać |
Wszystkie tematy w tym dziale:
Ruch mechaniczny
Materia, jak wiadomo, istnieje w dwóch postaciach: w postaci substancji i pola. Do pierwszego typu zaliczają się atomy i cząsteczki, z których zbudowane są wszystkie ciała. Drugi typ obejmuje wszystkie typy pól: grawitacyjne
Przestrzeń i czas
Wszystkie ciała istnieją i poruszają się w przestrzeni i czasie. Pojęcia te są podstawą wszystkich nauk przyrodniczych. Każde ciało ma wymiary, tj. jego zasięg przestrzenny
System referencyjny
Aby jednoznacznie określić położenie ciała w dowolnym momencie, należy wybrać układ odniesienia - układ współrzędnych wyposażony w zegar i sztywno połączony z absolutnie sztywnym ciałem, zgodnie z
Kinematyczne równania ruchu
Kiedy t.M się porusza, jego współrzędne zmieniają się w czasie, dlatego aby określić prawo ruchu, konieczne jest wskazanie rodzaju funkcji
Ruch, elementarny ruch
Niech punkt M przemieszcza się z A do B po zakrzywionej ścieżce AB. W momencie początkowym jego wektor promienia jest równy
Przyśpieszenie. Przyspieszenie normalne i styczne
Ruch punktu charakteryzuje się także przyspieszeniem – szybkością zmiany prędkości. Jeśli prędkość punktu przez dowolny czas
Ruch do przodu
Najprostszym rodzajem ruchu mechanicznego ciała sztywnego jest ruch postępowy, w którym linia prosta łącząca dwa dowolne punkty ciała porusza się wraz z ciałem, pozostając równoległa | jego
Prawo bezwładności
Mechanika klasyczna opiera się na trzech prawach Newtona, sformułowanych przez niego w opublikowanym w 1687 roku eseju „Matematyczne zasady filozofii naturalnej”. Te prawa były dziełem geniuszu
Inercyjny układ odniesienia
Wiadomo, że ruch mechaniczny jest względny, a jego charakter zależy od wyboru układu odniesienia. Pierwsza zasada Newtona nie obowiązuje we wszystkich układach odniesienia. Na przykład ciała leżące na gładkiej powierzchni
Waga. Drugie prawo Newtona
Głównym zadaniem dynamiki jest określenie charakterystyk ruchu ciał pod wpływem przyłożonych do nich sił. Z doświadczenia wiadomo, że pod wpływem siły
Podstawowe prawo dynamiki punktu materialnego
Równanie opisuje zmianę ruchu ciała o skończonych wymiarach pod wpływem siły przy braku odkształcenia i jeżeli
Trzecie prawo Newtona
Obserwacje i eksperymenty wskazują, że mechaniczne działanie jednego ciała na drugie jest zawsze interakcją. Jeśli ciało 2 oddziałuje na ciało 1, wówczas ciało 1 koniecznie przeciwdziała temu
Transformacje Galileusza
Umożliwiają wyznaczenie wielkości kinematycznych podczas przejścia z jednego inercyjnego układu odniesienia do drugiego. Weźmy
Zasada względności Galileusza
Przyspieszenie dowolnego punktu we wszystkich układach odniesienia poruszających się względem siebie prostoliniowo i równomiernie w ten sam sposób:
Ilości konserwacyjne
Każde ciało lub układ ciał jest zbiorem materialnych punktów lub cząstek. Stan takiego układu w pewnym momencie w mechanice określa się poprzez podanie współrzędnych i prędkości w
Środek masy
W każdym układzie cząstek można znaleźć punkt zwany środkiem masy
Siły konserwatywne
Jeżeli w każdym punkcie przestrzeni na umieszczoną tam cząstkę działa siła, mówimy, że cząstka znajduje się w polu sił, na przykład w polu grawitacji, sił kulombowskich i innych. Pole
Siły centralne
Każde pole siłowe powstaje w wyniku działania określonego ciała lub układu ciał. Siła działająca na cząstkę w tym polu wynosi ok
Energia potencjalna cząstki w polu siłowym
Fakt, że praca siły zachowawczej (dla pola stacjonarnego) zależy jedynie od początkowego i końcowego położenia cząstki w polu, pozwala na wprowadzenie ważnej fizycznej koncepcji potencjału
Zależność między energią potencjalną a siłą dla pola konserwatywnego
Oddziaływanie cząstki z otaczającymi ciałami można opisać na dwa sposoby: wykorzystując pojęcie siły lub wykorzystując pojęcie energii potencjalnej. Pierwsza metoda jest bardziej ogólna, ponieważ dotyczy to także sił
Energia kinetyczna cząstki w polu siłowym
Niech cząstka masy porusza się z siłą
Całkowita energia mechaniczna cząstki
Wiadomo, że przyrost energii kinetycznej cząstki poruszającej się w polu siłowym jest równy elementarnej pracy wszystkich sił działających na cząstkę:
Prawo zachowania energii mechanicznej cząstek
Z wyrażenia wynika, że w stacjonarnym polu sił zachowawczych całkowita energia mechaniczna cząstki może się zmieniać
Kinematyka
Możesz obrócić swoje ciało o określony kąt
Pęd cząstki. Chwila mocy
Oprócz energii i pędu istnieje jeszcze jedna wielkość fizyczna, z którą wiąże się prawo zachowania - jest to moment pędu. Moment pędu cząstki
Moment impulsu i moment siły względem osi
Weźmy dowolną stałą oś w interesującym nas układzie odniesienia
Prawo zachowania momentu pędu układu
Rozważmy układ składający się z dwóch oddziałujących ze sobą cząstek, na które również działają siły zewnętrzne i
Zatem moment pędu zamkniętego układu cząstek pozostaje stały i nie zmienia się w czasie
Dotyczy to dowolnego punktu inercyjnego układu odniesienia: . Momenty impulsowe poszczególnych części układu m
Moment bezwładności ciała sztywnego
Rozważmy ciało stałe, które to potrafi
Równanie dynamiki obrotu ciała sztywnego
Równanie dynamiki obrotu ciała sztywnego można otrzymać pisząc równanie momentów ciała sztywnego obracającego się wokół dowolnej osi
Energia kinetyczna obracającego się ciała
Rozważmy ciało absolutnie sztywne obracające się wokół ustalonej osi przechodzącej przez nie. Rozbijmy go na cząstki o małych objętościach i masach
Praca obrotu ciała sztywnego
Jeżeli ciało obraca się siłą
Odśrodkowa siła bezwładności
Rozważmy dysk, który obraca się wraz z kulką na sprężynie założonej na szprychę, rys. 5.3. Piłka zlokalizowana
Siła Coriolisa
Kiedy ciało porusza się względem wirującego CO, pojawia się dodatkowo inna siła - siła Coriolisa lub siła Coriolisa
Małe wahania
Rozważmy układ mechaniczny, którego położenie można określić za pomocą pojedynczej wielkości, takiej jak x. W tym przypadku mówi się, że układ ma jeden stopień swobody.Wartość x może wynosić
Wibracje harmoniczne
Równanie II zasady Newtona przy braku sił tarcia dla siły quasi-sprężystej o postaci ma postać:
Wahadło matematyczne
Jest to punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej nici o długości, oscylującej w płaszczyźnie pionowej
Wahadło fizyczne
Jest to ciało stałe, które wibruje wokół stałej osi połączonej z ciałem. Oś jest prostopadła do figury i
Tłumione oscylacje
W rzeczywistym układzie drgającym występują siły oporu, których działanie powoduje zmniejszenie energii potencjalnej układu, a oscylacje zostaną w najprostszym przypadku wytłumione.
Samooscylacje
Przy tłumionych oscylacjach energia układu stopniowo maleje i oscylacje ustają. Aby je nie wytłumić, należy w określonych momentach uzupełnić energię układu z zewnątrz
Wymuszone wibracje
Jeżeli na układ oscylacyjny oprócz sił oporu działa zewnętrzna siła okresowa, która zmienia się zgodnie z prawem harmonicznym
Rezonans
Krzywa zależności amplitudy drgań wymuszonych od prowadzi do tego, że przy pewnym specyficznym dla danego układu
Rozchodzenie się fal w ośrodku sprężystym
Jeśli źródło drgań zostanie umieszczone w dowolnym miejscu ośrodka sprężystego (stałego, ciekłego, gazowego), to w wyniku oddziaływania cząstek oscylacja będzie się rozprzestrzeniać w ośrodku z cząstki na godzinę
Równanie fal płaskich i sferycznych
Równanie falowe wyraża zależność przemieszczenia oscylującej cząstki od jej współrzędnych,
Równanie falowe
Równanie falowe jest rozwiązaniem równania różniczkowego zwanego równaniem falowym. Aby to ustalić, znajdujemy z równania drugą pochodną cząstkową po czasie i współrzędnych
Środek masy układu to punkt o wektorze promienia
Dla ciągłego rozkładu masy o gęstości 
. Jeśli siły grawitacyjne przyłożone do każdej cząstki układu są skierowane jednokierunkowa, wówczas środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości. Ale jeśli 
nie równolegle, to środek masy i środek ciężkości nie pokrywają się.
Biorąc pochodną czasu 
, otrzymujemy:
te. całkowity pęd układu jest równy iloczynowi jego masy i prędkości środka masy.
Podstawiając to wyrażenie do prawa zmiany pędu całkowitego, otrzymujemy:
Środek masy układu porusza się jak cząstka, w której skupia się cała masa układu i na którą przykłada się powstałą masę zewnętrzny wytrzymałość
Na progresywny W ruchu wszystkie punkty ciała sztywnego poruszają się w taki sam sposób, jak środek masy (po tych samych trajektoriach), dlatego aby opisać ruch postępowy, wystarczy zapisać i rozwiązać równanie ruchu środka masy .
Ponieważ 
, a następnie środek masy zamknięty system musi utrzymywać stan spoczynku lub jednostajny ruch liniowy, tj. 
=stała. Ale jednocześnie cały system może się obracać, rozlatywać, eksplodować itp. w wyniku działania siły wewnętrzne.
Napęd odrzutowy. Równanie Meshchersky'ego
Reaktywny zwany ruchem ciała, w którym to następuje przystąpienie Lub odrzucanie szerokie rzesze. W procesie ruchu następuje zmiana masy ciała: w czasie dt ciało o masie m przyłącza się (pochłania) lub odrzuca (emituje) masę dm z prędkością 
względem ciała; w pierwszym przypadku dm>0, w drugim dm<0.
Rozważmy ten ruch na przykładzie rakiety. Przejdźmy do inercjalnego układu odniesienia K", który w danym momencie czasu t porusza się z tą samą prędkością 
, tak samo jak rakieta - nazywa się to ISO towarzyszący– w tym układzie odniesienia rakieta znajduje się obecnie w położeniu t odpoczywa(prędkość rakiety w tym systemie 
=0). Jeżeli suma sił zewnętrznych działających na rakietę nie jest równa zeru, to równanie ruchu rakiety w układzie K, ale ponieważ wszystkie ISO są równoważne, to w układzie K równanie będzie miało tę samą postać:
Ten - Równanie Meshchersky'ego, opisujący ruch dowolne ciało ze zmienną masą).
W równaniu masa m jest wielkością zmienną i nie można jej ująć pod znakiem pochodnej. Drugi wyraz po prawej stronie równania nazywa się siła reakcji
W przypadku rakiety siła reakcji pełni rolę siły trakcyjnej, jednak w przypadku dodania masy dm/dt>0 siła reakcji będzie także siłą hamowania (np. gdy rakieta porusza się w chmurze pył kosmiczny).
Energia układu cząstek
Energia układu cząstek składa się z kinetycznej i potencjalnej. Energia kinetyczna układu jest sumą energii kinetycznych wszystkich cząstek układu
i jest, zgodnie z definicją, ilością przyłączeniowy(jak impuls).
Inaczej wygląda sytuacja w przypadku energii potencjalnej układu. Po pierwsze, pomiędzy cząstkami układu działają siły interakcji 
. ZatemA ij =-dU ij, gdzie U ij jest energią potencjalną oddziaływania pomiędzy i-tą i j-tą cząstką. Sumując U ij po wszystkich cząstkach układu, otrzymujemy tzw własną energię potencjalną systemy:
Jest to istotne własna energia potencjalna układu zależy tylko od jego konfiguracji. Co więcej, ilość ta nie jest addytywna.
Po drugie, na każdą cząstkę układu, ogólnie rzecz biorąc, wpływają również siły zewnętrzne. Jeżeli siły te są zachowawcze, to ich praca będzie równa spadkowi zewnętrznej energii potencjalnej A=-dU ext, gdzie
gdzie U i jest energią potencjalną i-tej cząstki w polu zewnętrznym. Zależy ona od położenia wszystkich cząstek w polu zewnętrznym i ma charakter addytywny.
Zatem całkowitą energię mechaniczną układu cząstek znajdujących się w zewnętrznym polu potencjału definiuje się jako
E system =K system +U wew. +U zew
Lekcja „Środek masy”
Harmonogram: 2 lekcje
Cel: Zapoznanie uczniów z pojęciem „środka masy” i jego właściwościami.
Sprzęt: figurki z tektury lub sklejki, kubek, scyzoryk, ołówki.
Plan lekcji
Etapy lekcji, metody i techniki
I Wprowadzenie do uczniów 10 ankieta czołowa, praca uczniów przy tablicy.
do problemu lekcji
II. Uczenie się czegoś nowego 15-20 Historia nauczyciela, rozwiązywanie problemów,
materiał: 10 zadań eksperymentalnych
III Ćwiczenie nowych 10 wiadomości dla uczniów
materiał: 10-15 rozwiązywania problemów,
15 sondaż frontowy
IV.Wnioski. Zadanie domowe 5-10 Ustne podsumowanie materiału przez prowadzącego.
zadanie Pisanie na tablicy
Podczas zajęć.
I Powtórzenie 1. Pomiar czołowy: ramię siły, moment siły, stan równowagi, rodzaje równowagi
Motto: Środek ciężkości każdego ciała to pewien punkt znajdujący się w jego wnętrzu - taki, że jeśli mentalnie powiesisz na nim ciało, wówczas pozostanie ono w spoczynku i zachowa swoją pierwotną pozycję.
II. Wyjaśnienienowy materiał
Niech będzie dane ciało lub układ ciał. Podzielmy mentalnie ciało na dowolnie małe części o masach m1, m2, m3... Każdą z tych części można uznać za punkt materialny. Położenie w przestrzeni i-tego punktu materialnego o masie mi wyznacza wektor promienia RI(ryc. 1.1). Masa ciała to suma mas jego poszczególnych części: m = ∑ mi.
Środek masy ciała (układu ciał) to taki punkt C, którego wektor promienia jest określony wzorem
R= 1/m∙∑mi RI
Można wykazać, że położenie środka masy względem ciała nie zależy od wyboru początku O, tj. Podana powyżej definicja środka masy jest jednoznaczna i poprawna.
Środek masy jednorodnych ciał symetrycznych znajduje się w ich środku geometrycznym lub na osi symetrii, środek masy ciała płaskiego w kształcie dowolnego trójkąta znajduje się na przecięciu jego środkowych.
Rozwiązanie problemu
ZADANIE 1. Jednorodne kulki o masach m1 = 3 kg, m2 = 2 kg, m3 = 6 kg i m4 = 3 kg są przymocowane do lekkiego pręta (rys. 1.2). Odległość między środkami pobliskich piłek
a = 10 cm Znajdź położenie środka ciężkości i środka masy konstrukcji.
ROZWIĄZANIE. Położenie środka ciężkości konstrukcji względem kulek nie zależy od orientacji pręta w przestrzeni. Aby rozwiązać problem, wygodnie jest umieścić pręt poziomo, jak pokazano na rysunku 2. Niech środek ciężkości znajdzie się na pręcie w odległości L od środka lewej kuli, tj. z t. A. W środku ciężkości przykładana jest wypadkowa wszystkich sił grawitacyjnych, a jej moment względem osi A jest równy sumie momentów ciężkości kulek. Mamy r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,
R L = m2gα + m 3 sol 2 a + m 4 g 3 a.
Stąd L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 cm
ODPOWIEDŹ. Środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy i znajduje się w punkcie C w odległości L = 16,4 cm od środka lewej kuli.
Okazuje się, że środek masy ciała (lub układu ciał) ma szereg niezwykłych właściwości. Z dynamiki pokazano, że pęd poruszającego się dowolnie ciała jest równy iloczynowi masy ciała i prędkości jego środka masy oraz że środek masy porusza się tak, jakby przyłożone zostały wszystkie siły zewnętrzne działające na to ciało w środku masy, a w nim skupiała się masa całego ciała.
Środek ciężkości ciała znajdującego się w polu grawitacyjnym Ziemi nazywany jest punktem przyłożenia wypadkowej wszystkich sił grawitacyjnych działających na wszystkie części ciała. Ta wypadkowa nazywana jest siłą grawitacji działającą na ciało. Siła ciężkości przyłożona w środku ciężkości ciała działa na ciało w taki sam sposób, jak siły ciężkości działające na poszczególne części ciała.
Ciekawym przypadkiem jest sytuacja, gdy rozmiar ciała jest znacznie mniejszy niż rozmiar Ziemi. Wtedy możemy założyć, że na wszystkie części ciała działają równoległe siły grawitacyjne, tj. ciało znajduje się w jednolitym polu grawitacyjnym. Siły równoległe i identycznie skierowane zawsze mają siłę wypadkową, co można udowodnić. Jednak w pewnym położeniu ciała w przestrzeni można wskazać jedynie linię działania wypadkowej wszystkich równoległych sił ciężkości; punkt jej przyłożenia pozostanie na razie nieokreślony, gdyż w przypadku ciała stałego wzdłuż linii jego działania może zostać przeniesiona dowolna siła. A co z punktem aplikacji?
Można wykazać, że dla dowolnego położenia ciała w jednolitym polu ciężkości linia działania wypadkowej wszystkich sił grawitacyjnych działających na poszczególne części ciała przechodzi przez ten sam, nieruchomy względem ciała punkt. W tym momencie przykładana jest równa siła, a sam punkt będzie środkiem ciężkości ciała.
Położenie środka ciężkości względem ciała zależy wyłącznie od kształtu ciała i rozkładu mas w ciele, a nie od położenia ciała w jednolitym polu ciężkości. Środek ciężkości niekoniecznie znajduje się w samym ciele. Na przykład obręcz w jednolitym polu ciężkości ma środek ciężkości w geometrycznym środku.
W jednolitym polu ciężkości środek ciężkości ciała pokrywa się ze środkiem masy.
W zdecydowanej większości przypadków jeden termin można bezboleśnie zastąpić innym.
Ale: środek masy ciała istnieje niezależnie od obecności pola grawitacyjnego, a o środku ciężkości można mówić tylko w obecności grawitacji.
Wygodnie jest znaleźć położenie środka ciężkości ciała, a co za tym idzie środka masy, biorąc pod uwagę symetrię ciała i korzystając z pojęcia momentu siły.
Jeżeli ramię siły wynosi zero, to moment siły jest równy zero i siła taka nie powoduje ruchu obrotowego ciała.
W konsekwencji, jeśli linia działania siły przechodzi przez środek masy, wówczas porusza się ona translacyjnie.
W ten sposób można określić środek masy dowolnej płaskiej figury. Aby to zrobić, należy go zabezpieczyć w jednym miejscu, dając mu możliwość swobodnego obracania się. Zostanie zainstalowany w taki sposób, aby siła ciężkości, obracając go, przechodziła przez środek masy. W miejscu mocowania figurki zawieś nitkę z obciążeniem (nakrętką), narysuj linię wzdłuż zawieszenia (tj. linię ciężkości). Powtórzmy kroki, zabezpieczając figurę w innym miejscu. Przecięcie linii działania sił grawitacyjnych jest środkiem masy ciała
Zadanie eksperymentalne: określić środek ciężkości płaskiej figury (na podstawie wcześniej przygotowanych przez uczniów figur z tektury lub sklejki).
Instrukcje: zamocuj figurę na statywie. Zawieszamy pion w jednym z rogów figury. Rysujemy linię działania grawitacji. Obróć figurę i powtórz czynność. Środek masy leży w punkcie przecięcia linii działania ciężkości.
Uczeń, który szybko wykona zadanie, może otrzymać zadanie dodatkowe: przytwierdzić do figury ciężarek (metalową śrubę) i określić nowe położenie środka masy. Wyciągnąć wniosek.
Badanie niezwykłych właściwości „ośrodków”, które mają ponad dwa tysiące lat, okazało się przydatne nie tylko dla mechaniki - na przykład przy projektowaniu pojazdów i sprzętu wojskowego, obliczaniu stateczności konstrukcji czy wyprowadzaniu równania ruchu pojazdów odrzutowych. Jest mało prawdopodobne, aby Archimedes w ogóle wyobrażał sobie, że koncepcja środka masy byłaby bardzo wygodna w badaniach z zakresu fizyki jądrowej lub fizyki cząstek elementarnych.
Wiadomości studenckie:
W swojej pracy „O równowadze ciał płaskich” Archimedes użył pojęcia środka ciężkości, tak naprawdę go nie definiując. Podobno wprowadził go po raz pierwszy nieznany poprzednik Archimedesa lub on sam, ale we wcześniejszym dziele, które do nas nie dotarło.
Musiało upłynąć siedemnaście długich wieków, zanim nauka dodała nowe wyniki do badań Archimedesa nad środkami ciężkości. Stało się to, gdy Leonardo da Vinci zdołał znaleźć środek ciężkości czworościanu. Myśląc o stateczności włoskich krzywych wież, w tym wieży w Pizie, doszedł do „twierdzenia o wielokącie podporowym”.
Warunki równowagi ciał pływających odkryte przez Archimedesa trzeba było później odkryć na nowo. Dokonał tego pod koniec XVI wieku holenderski naukowiec Simon Stevin, który wraz z koncepcją środka ciężkości posłużył się pojęciem „środka ciśnienia” – punktu przyłożenia siły nacisku wody otaczający ciało.
Okazuje się, że zasadę Torricellego (a jego imieniem nazwano także wzory na obliczanie środka masy) przewidział jego nauczyciel Galileusz. Z kolei zasada ta stała się podstawą klasycznej pracy Huygensa nad zegarami wahadłowymi, a także została wykorzystana w słynnych badaniach hydrostatycznych Pascala.
Metodą, która pozwoliła Eulerowi badać ruch ciała sztywnego pod działaniem dowolnych sił, było rozłożenie tego ruchu na przemieszczenie środka masy ciała i obrót wokół przechodzących przez nie osi.
Aby utrzymać przedmioty w stałym położeniu podczas ruchu ich podpór, od kilku stuleci stosuje się tzw. zawieszenie kardana - urządzenie, w którym środek ciężkości ciała znajduje się poniżej osi, wokół których może się ono obracać. Przykładem jest statkowa lampa naftowa.
Choć grawitacja na Księżycu jest sześciokrotnie mniejsza niż na Ziemi, to rekord skoku wzwyż byłby tam możliwy „tylko” czterokrotnie. Do takiego wniosku prowadzą obliczenia oparte na zmianach wysokości środka ciężkości ciała sportowca.
Oprócz codziennego obrotu wokół własnej osi i corocznego obrotu wokół Słońca, Ziemia uczestniczy w jeszcze jednym ruchu okrężnym. Razem z Księżycem „wiruje” wokół wspólnego środka masy, położonego około 4700 kilometrów od centrum Ziemi.
Niektóre sztuczne satelity Ziemi wyposażone są w składany pręt o długości kilku, a nawet kilkudziesięciu metrów, obciążony na końcu (tzw. stabilizator grawitacyjny). Faktem jest, że wydłużony satelita poruszając się po orbicie ma tendencję do obracania się wokół swojego środka masy, tak że jego oś podłużna jest pionowa. Wtedy on, podobnie jak Księżyc, będzie zawsze zwrócony jedną stroną do Ziemi.
Obserwacje ruchu niektórych widzialnych gwiazd wskazują, że wchodzą one w skład układów podwójnych, w których „niebiańscy partnerzy” obracają się wokół wspólnego środka masy. Jednym z niewidzialnych towarzyszy takiego układu może być gwiazda neutronowa lub być może czarna dziura.
Wyjaśnienie nauczyciela
Twierdzenie o środku masy: środek masy ciała może zmienić swoje położenie tylko pod wpływem sił zewnętrznych.
Wniosek z twierdzenia o środku masy: środek masy zamkniętego układu ciał pozostaje nieruchomy podczas wszelkich oddziaływań ciał układu.
Rozwiązanie problemu (na tablicy)
PROBLEM 2. Łódź stoi nieruchomo na stojącej wodzie. Osoba na łodzi przemieszcza się z dziobu na rufę. Na jaką odległość h przepłynie łódź, jeśli masa osoby wynosi m = 60 kg, masa łodzi M = 120 kg, a długość łodzi wynosi L = 3 m? Pomiń wodoodporność.
ROZWIĄZANIE. Skorzystajmy z warunku zadania, że prędkość początkowa środka masy wynosi zero (łódka i człowiek początkowo znajdowali się w spoczynku) i nie ma oporu wody (na „człowieka nie działają żadne siły zewnętrzne w kierunku poziomym”). łodzi”). W rezultacie współrzędna środka masy układu w kierunku poziomym nie uległa zmianie. Rysunek 3 przedstawia początkową i końcową pozycję łodzi oraz osoby. Początkowa współrzędna x0 środka masy x0 = (mL+ML/2)/(m+M)
Końcowa współrzędna x środka masy x = (mh+M(h+L/2))/(m+M)
Porównując x0 = x, znajdujemy h= mL/(m+M) =1m
Dodatkowo: zbiór problemów Stepanovej G.N. Nr 393
Wyjaśnienie nauczyciela
Przywołując warunki równowagi, odkryliśmy to
W przypadku ciał z powierzchnią podparcia stabilną równowagę obserwuje się, gdy linia działania ciężkości przechodzi przez podstawę.
Wniosek: im większa powierzchnia podparcia i im niższy środek ciężkości, tym stabilniejsza pozycja równowagi.
Demonstracja
Połóż kubek z zabawkami dla dzieci (Vanka - Vstanka) na szorstkiej desce i podnieś prawą krawędź deski. W jakim kierunku będzie odchylać się „głowa” zabawki, zachowując równowagę?
Wyjaśnienie: Środek ciężkości C kubka znajduje się poniżej środka geometrycznego O powierzchni kulistej „tułowia”. W położeniu równowagi punkt C i punkt styku A zabawki z nachyloną płaszczyzną powinny znajdować się na tej samej pionie; dlatego „głowa” kubka odchyli się w lewo
Jak wytłumaczyć zachowanie równowagi w przypadku pokazanym na rysunku?
Objaśnienie: Środek ciężkości układu ołówek-nóż znajduje się poniżej punktu podparcia
IIIKonsolidacja. Badanie frontalne
Pytania i zadania
1. Kiedy ciało przemieszcza się od równika do bieguna, zmienia się siła grawitacji działająca na nie. Czy ma to wpływ na położenie środka ciężkości ciała?
Odpowiedź: nie, ponieważ względne zmiany siły ciężkości wszystkich elementów ciała są takie same.
2. Czy można znaleźć środek ciężkości „hantle” składającego się z dwóch masywnych kulek połączonych nieważkim prętem, pod warunkiem, że długość „hantle” jest porównywalna ze średnicą Ziemi?
Odpowiedź: nie. Warunkiem istnienia środka ciężkości jest równomierność pola grawitacyjnego. W nierównomiernym polu grawitacyjnym obroty „hantle” wokół jego środka masy powodują, że linie działania L1 i L2, wypadkowe siły ciężkości przyłożone do kulek, nie mają wspólnego punktu
3. Dlaczego przednia część samochodu opada przy gwałtownym hamowaniu?
Odpowiedź: podczas hamowania na koła znajdujące się po poboczu drogi działa siła tarcia, tworząc moment obrotowy wokół środka masy samochodu.
4. Gdzie znajduje się środek ciężkości pączka?
Odpowiedź: w dziurze!
5. Wodę wlewa się do cylindrycznej szklanki. Jak zmieni się położenie środka ciężkości układu szkło – woda?
Odpowiedź: Środek ciężkości układu najpierw się zmniejszy, a następnie wzrośnie.
6. Jaką długość końca należy odciąć z jednorodnego pręta, aby jego środek ciężkości przesunął się o ∆ℓ?
Odpowiedź: długość 2∆ℓ.
7. Jednorodny pręt został zgięty w środku pod kątem prostym. Gdzie był teraz jego środek ciężkości?
Odpowiedź: w punkcie O - środek odcinka O1O2 łączącego środki odcinków AB i BC pręta
9. Stacjonarna stacja kosmiczna to cylinder. Astronauta rozpoczyna okrężny spacer wokół stacji po jej powierzchni. Co stanie się ze stacją?
Odpowiedź: Z stacja zacznie się obracać w przeciwnym kierunku, a jej środek będzie opisywać okrąg wokół tego samego środka masy, co astronauta.
11. Dlaczego trudno jest chodzić na szczudłach?
Odpowiedź: środek ciężkości osoby na szczudłach znacznie wzrasta, a powierzchnia jego podparcia na ziemi maleje.
12. Kiedy linoskoczkowi łatwiej jest utrzymać równowagę - podczas normalnego poruszania się po linie czy podczas niesienia mocno zakrzywionej belki obciążonej wiadrami wody?
Odpowiedź: W drugim przypadku, ponieważ środek masy linoskoczka z wiadrami leży niżej, tj. bliżej podpory - liny.
IVPraca domowa:(wykonują chętni – zadania są trudne, ci, którzy je rozwiążą, otrzymują „5”).
*1. Znajdź środek ciężkości układu kul znajdujących się w wierzchołkach równobocznego trójkąta w stanie nieważkości pokazanego na rysunku
Odpowiedź: środek ciężkości leży w środku dwusiecznej kąta, w wierzchołku którego znajduje się kula o masie 2m
*2. Głębokość otworu w desce, w który włożona jest kulka, wynosi połowę promienia kuli. Pod jakim kątem nachylenia planszy do horyzontu piłka wyskoczy z dołka?
