Układem omawianym w twierdzeniu może być dowolny układ mechaniczny składający się z dowolnych ciał.
Stwierdzenie twierdzenia
Wielkość ruchu (impuls) układu mechanicznego jest wielkością równą sumie wielkości ruchu (impulsów) wszystkich ciał wchodzących w skład układu. Impuls sił zewnętrznych działających na ciała układu jest sumą impulsów wszystkich sił zewnętrznych działających na ciała układu.
( kg m/s)
Twierdzenie o zmianie pędu układu stwierdza
Zmiana pędu układu w pewnym okresie czasu jest równa impulsowi sił zewnętrznych działających na układ w tym samym czasie.
Prawo zachowania pędu układu
Jeżeli suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero, wówczas wielkość ruchu (pęd) układu jest wielkością stałą.
,
otrzymujemy wyrażenie twierdzenia o zmianie pędu układu w postaci różniczkowej:
Po zintegrowaniu obu stron powstałej równości w dowolnie wybranym okresie czasu pomiędzy niektórymi i , otrzymujemy wyrażenie twierdzenia o zmianie pędu układu w postaci całkowej:
Prawo zachowania pędu (Prawo zachowania pędu) stwierdza, że suma wektorów impulsów wszystkich ciał układu jest wartością stałą, jeśli suma wektorów sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru.
(moment pędu m 2 kg s −1)
Twierdzenie o zmianie momentu pędu względem środka
pochodna po czasie momentu pędu (momentu kinetycznego) punktu materialnego względem dowolnego ustalonego środka jest równa momentowi siły działającej na punkt względem tego samego środka.
nie wiem 0 /dt = M 0 (F ) .
Twierdzenie o zmianie momentu pędu względem osi
pochodna czasowa momentu pędu (momentu kinetycznego) punktu materialnego względem dowolnej ustalonej osi jest równa momentowi siły działającej na ten punkt względem tej samej osi.
nie wiem X /dt = M X (F ); nie wiem y /dt = M y (F ); nie wiem z /dt = M z (F ) .
Rozważ istotny punkt M masa M , poruszając się pod wpływem siły F (Rysunek 3.1). Zapiszmy i skonstruujmy wektor momentu pędu (pędu kinetycznego) M 0 punktów materialnych względem środka O :
Rozróżnijmy wyrażenie na moment pędu (moment kinetyczny). k 0) według czasu:
Ponieważ dr /dt = V , a następnie iloczyn wektorowy V ⊗ M ⋅ V (wektory współliniowe V I M ⋅ V ) jest równe zeru. W tym samym czasie d(m ⋅ V) /dt = F zgodnie z twierdzeniem o pędzie punktu materialnego. Dlatego to otrzymujemy
nie wiem 0 /dt = R ⊗F , (3.3)
Gdzie R ⊗F = M 0 (F ) – wektorowy moment siły F względem stałego środka O . Wektor k 0 ⊥ płaszczyzna ( R , M ⊗V ) i wektor M 0 (F ) ⊥ samolot ( R ,F ), w końcu mamy
nie wiem 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)
Równanie (3.4) wyraża twierdzenie o zmianie momentu pędu (pędu pędu) punktu materialnego względem środka: pochodna po czasie momentu pędu (momentu kinetycznego) punktu materialnego względem dowolnego ustalonego środka jest równa momentowi siły działającej na punkt względem tego samego środka.
Rzutując równość (3.4) na osie współrzędnych kartezjańskich, otrzymujemy
nie wiem X /dt = M X (F ); nie wiem y /dt = M y (F ); nie wiem z /dt = M z (F ) . (3.5)
Równości (3.5) wyrażają twierdzenie o zmianie momentu pędu (pędu kinetycznego) punktu materialnego względem osi: pochodna czasowa momentu pędu (momentu kinetycznego) punktu materialnego względem dowolnej ustalonej osi jest równa momentowi siły działającej na ten punkt względem tej samej osi.
Rozważmy konsekwencje wynikające z twierdzeń (3.4) i (3.5).
Wniosek 1. Rozważmy przypadek, gdy siła F podczas całego ruchu punkt przechodzi przez nieruchomy środek O (przypadek siły centralnej), tj. Gdy M 0 (F ) = 0. Zatem z twierdzenia (3.4) wynika, że k 0 = konst ,
te. w przypadku siły centralnej moment pędu (moment kinetyczny) punktu materialnego względem środka tej siły pozostaje stały pod względem wielkości i kierunku (rysunek 3.2).
Rysunek 3.2
Od warunku k 0 = konst wynika z tego, że trajektoria poruszającego się punktu jest płaską krzywą, której płaszczyzna przechodzi przez środek tej siły.
Konsekwencja 2. Pozwalać M z (F ) = 0, tj. siła przecina oś z lub równolegle do niego. W tym przypadku, jak widać z trzeciego równania (3.5), k z = konst ,
te. jeśli moment siły działający na punkt względem dowolnej ustalonej osi jest zawsze zerowy, to moment pędu (moment kinetyczny) punktu względem tej osi pozostaje stały.
Dowód twierdzenia o zmianie pędu
Niech układ składa się z punktów materialnych o masach i przyspieszeniach. Wszystkie siły działające na ciała układu dzielimy na dwa typy:
Siły zewnętrzne to siły działające od ciał nie wchodzących w skład rozpatrywanego układu. Wypadkowa sił zewnętrznych działających na punkt materialny o liczbie I oznaczmy
Siły wewnętrzne to siły, z którymi ciała samego układu oddziałują ze sobą. Siła z jaką działa na punkt z liczbą I punkt z numerem jest ważny k, będziemy oznaczać , oraz siłę wpływu I punkt dalej k punkt - . Jasne, kiedy więc
Korzystając z wprowadzonej notacji, piszemy drugie prawo Newtona dla każdego z rozpatrywanych punktów materialnych w formie
Biorąc pod uwagę, że 
i podsumowując wszystkie równania drugiej zasady Newtona, otrzymujemy:
Wyrażenie reprezentuje sumę wszystkich sił wewnętrznych działających w układzie. Zgodnie z trzecim prawem Newtona w tej sumie każda siła odpowiada takiej sile, że zatem zachodzi 
Ponieważ cała suma składa się z takich par, sama suma wynosi zero. Dzięki temu możemy pisać
Korzystając z zapisu pędu układu, otrzymujemy
Poprzez uwzględnienie zmiany pędu sił zewnętrznych 
, otrzymujemy wyrażenie twierdzenia o zmianie pędu układu w postaci różniczkowej:
Zatem każde z ostatnich otrzymanych równań pozwala stwierdzić: zmiana pędu układu następuje jedynie w wyniku działania sił zewnętrznych, a siły wewnętrzne nie mogą mieć żadnego wpływu na tę wartość.
Całkując obie strony powstałej równości w dowolnie wybranym przedziale czasu pomiędzy pewnymi i , otrzymujemy wyrażenie twierdzenia o zmianie pędu układu w postaci całkowej:
gdzie i są wartościami wielkości ruchu układu w momentach czasu i, odpowiednio, i jest impulsem sił zewnętrznych w pewnym okresie czasu. Zgodnie z tym, co powiedziano wcześniej i wprowadzonymi oznaczeniami,
Ponieważ masa punktu jest stała, a jego przyspieszenie, równanie (2), wyrażające podstawowe prawo dynamiki, można przedstawić w postaci
Równanie (32) wyraża jednocześnie twierdzenie o zmianie pędu punktu w postaci różniczkowej: pochodna po czasie pędu punktu jest równa sumie sił działających na punkt
Niech poruszający się punkt ma prędkość w chwili czasu i prędkość w tej chwili, następnie mnożymy obie strony równości (32) przez i wyciągamy z nich całki oznaczone. W tym przypadku po prawej stronie, gdzie całkowanie zachodzi w czasie, granice całki będą wynosić, a po lewej stronie, gdzie całkujemy prędkość, granicami całki będą odpowiadające im wartości prędkości
Ponieważ całka z jest równa, wynik jest taki
Całki po prawej stronie, jak wynika ze wzoru (30), reprezentują impulsy działających sił. Dlatego w końcu tak będzie
Równanie (33) wyraża twierdzenie o zmianie pędu punktu w postaci końcowej: zmiana pędu punktu w pewnym okresie czasu jest równa sumie impulsów wszystkich sił działających na punkt nad ten sam okres czasu.
Przy rozwiązywaniu problemów zamiast równania wektorowego (33) często stosuje się równania w rzutach. Rzutując obie strony równości (33) na osie współrzędnych, otrzymujemy
W przypadku ruchu prostoliniowego występującego wzdłuż osi twierdzenie wyraża pierwsze z tych równań.
Rozwiązywanie problemów. Równania (33) lub (34) pozwalają, wiedząc, jak zmienia się prędkość punktu podczas ruchu punktu, wyznaczyć impuls działających sił (pierwsze zadanie dynamiki) lub znając impulsy działających sił, wyznaczyć jak zmienia się prędkość punktu podczas ruchu (drugie zadanie dynamiki). Rozwiązując zadanie drugie, gdy dane są siły, należy obliczyć ich impulsy, jak wynika z równości (30) lub (31), można to zrobić tylko wtedy, gdy siły są stałe lub zależą tylko od czasu.
Zatem równania (33), (34) można bezpośrednio zastosować do rozwiązania drugiego zadania dynamiki, gdy danymi i wymaganymi wielkościami w zadaniu są: działające siły, czas ruchu punktu oraz jego prędkość początkowa i końcowa (tj. ilości), a siły muszą być stałe lub zależne tylko od czasu.
Zadanie 95. Punkt o masie kg porusza się po okręgu ze stałą numerycznie prędkością.Wyznacz impuls siły działającej na ten punkt w czasie, w którym punkt przekroczy ćwierć okręgu
Rozwiązanie. Zgodnie z twierdzeniem o zmianie pędu, konstruując geometrycznie różnicę między tymi wielkościami ruchu (ryc. 222), z powstałego trójkąta prostokątnego dowiadujemy się
Ale zgodnie z warunkami problemu, zatem
Do obliczeń analitycznych, korzystając z pierwszych dwóch równań (34), możemy znaleźć
Zadanie 96. Ciężarowi posiadającemu masę i leżącemu na płaszczyźnie poziomej nadawana jest (poprzez pchnięcie) prędkość początkowa, a dalszy ruch ładunku jest spowalniany stałą siłą F. Oblicz, ile czasu zajmie obciążenie zatrzymać,
Rozwiązanie. Według danych problemowych jasne jest, że aby określić czas ruchu, można zastosować sprawdzone twierdzenie. Przedstawiamy ładunek w dowolnej pozycji (ryc. 223). Działa na nią siła ciężkości P, reakcja płaszczyzny N i siła hamowania F. Kierując oś w kierunku ruchu, układamy pierwsze z równań (34)
W tym przypadku prędkość w chwili zatrzymania), a. Spośród sił tylko siła F daje rzut na oś.Ponieważ jest stała, gdzie jest czas hamowania. Podstawiając wszystkie te dane do równania (a), otrzymujemy wymagany czas
Równanie różniczkowe ruchu punktu materialnego pod wpływem siły F można przedstawić w następującej postaci wektorowej:
Ponieważ masa punktu M przyjmuje się jako stałą, wówczas można ją wpisać pod znakiem pochodnej. Następnie
Wzór (1) wyraża twierdzenie o zmianie pędu punktu w postaci różniczkowej: pierwsza pochodna po czasie pędu punktu jest równa sile działającej na ten punkt.
W rzutach na osie współrzędnych (1) można przedstawić jako
Jeśli obie strony (1) zostaną pomnożone przez dt, wówczas otrzymujemy inną postać tego samego twierdzenia - twierdzenie o pędzie w postaci różniczkowej:
te. różnica pędu punktu jest równa elementarnemu impulsowi siły działającej na ten punkt.
Rzutując obie części (2) na osie współrzędnych otrzymujemy
Całkując obie części (2) od zera do t (ryc. 1), mamy
gdzie jest prędkość punktu w danej chwili T; - prędkość w T = 0;
S- impuls siły w czasie T.
Wyrażenie w postaci (3) jest często nazywane twierdzeniem o pędzie w postaci skończonej (lub całkowej): zmiana pędu punktu w dowolnym okresie czasu jest równa impulsowi siły w tym samym okresie.
W rzutach na osie współrzędnych twierdzenie to można przedstawić w następującej postaci:
W przypadku punktu materialnego twierdzenie o zmianie pędu w dowolnej postaci zasadniczo nie różni się od równań różniczkowych ruchu punktu.
Twierdzenie o zmianie pędu układu
Wielkość ruchu układu będzie nazywana wielkością wektorową Q, równa sumie geometrycznej (wektorowi głównemu) wielkości ruchu wszystkich punktów układu.
Rozważmy system składający się z N punkty materialne. Ułóżmy równania różniczkowe ruchu dla tego układu i dodajmy je wyraz po wyrazie. Następnie otrzymujemy:
Ostatnia suma, ze względu na właściwość sił wewnętrznych, jest równa zeru. Oprócz,
Wreszcie znajdujemy:
Równanie (4) wyraża twierdzenie o zmianie pędu układu w postaci różniczkowej: pochodna czasowa pędu układu jest równa sumie geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych działających na układ.
Znajdźmy inne wyrażenie dla twierdzenia. Wpuść tę chwilę T= 0 oznacza wielkość ruchu układu Pytanie 0 i w danym momencie t 1 staje się równy Pytanie 1. Następnie mnożąc obie strony równości (4) przez dt i całkując otrzymujemy:
Czy gdzie:
(S-impuls siły)
ponieważ całki po prawej stronie dają impulsy sił zewnętrznych,
równanie (5) wyraża twierdzenie o zmianie pędu układu w postaci całkowej: zmiana pędu układu w pewnym okresie czasu jest równa sumie impulsów sił zewnętrznych działających na układ w tym samym czasie.
W rzutach na osie współrzędnych będziemy mieli:
Prawo zachowania pędu
Z twierdzenia o zmianie pędu układu można wyciągnąć następujące ważne wnioski:
1. Niech suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ będzie równa zero:
Zatem z równania (4) wynika, że w tym przypadku Q = stała
Zatem, jeśli suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, wówczas wektor pędu układu będzie stały pod względem wielkości i kierunku.
2. 01Niech siły zewnętrzne działające na układ będą takie, że suma ich rzutów na jakąś oś (np. Ox) będzie równa zeru:
Zatem z równań (4`) wynika, że w tym przypadku Q = stała
Zatem, jeżeli suma rzutów wszystkich działających sił zewnętrznych na dowolną oś jest równa zeru, to rzut wielkości ruchu układu na tę oś jest wartością stałą.
Te wyniki wyrażają prawo zachowania pędu układu. Wynika z nich, że siły wewnętrzne nie mogą zmienić całkowitej wielkości ruchu układu.
Spójrzmy na kilka przykładów:
· Zjawisko powrotu rolki. Jeśli potraktujemy karabin i kulę jako jeden układ, wówczas ciśnienie gazów proszkowych podczas strzału będzie siłą wewnętrzną. Siła ta nie może zmienić całkowitego pędu układu. Ponieważ jednak gazy prochowe, działając na kulę, nadają jej pewien ruch skierowany do przodu, muszą jednocześnie nadać karabinowi taki sam ruch w przeciwnym kierunku. Spowoduje to cofnięcie się karabinu, tj. tzw powrót. Podobne zjawisko występuje podczas strzelania z broni (cofanie).
· Działanie śmigła (śmigła). Śmigło wprawia w ruch pewną masę powietrza (lub wody) wzdłuż osi śmigła, odrzucając tę masę z powrotem. Jeżeli potraktujemy masę rzuconą i samolot (lub statek) jako jeden układ, wówczas siły oddziaływania śmigła z otoczeniem, jako siły wewnętrzne, nie są w stanie zmienić całkowitej wielkości ruchu tego układu. Dlatego też, gdy masa powietrza (wody) zostanie odrzucona, samolot (lub statek) uzyskuje odpowiednią prędkość do przodu, taką, że całkowity ruch rozważanego układu pozostaje równy zeru, ponieważ był zerowy przed rozpoczęciem ruchu .
Podobny efekt uzyskuje się poprzez działanie wioseł lub kół łopatkowych.
· Napęd rekt iwny W rakiecie (rakietie) gazowe produkty spalania paliwa wyrzucane są z dużą prędkością przez otwór w ogonie rakiety (z dyszy silnika odrzutowego). Siły ciśnienia działające w tym przypadku będą siłami wewnętrznymi i nie mogą zmienić całkowitego pędu układu gazy rakietowo-proszkowe. Ponieważ jednak uciekające gazy mają pewien ruch skierowany do tyłu, rakieta otrzymuje odpowiednią prędkość do przodu.
Twierdzenie o momentach względem osi.
Rozważ materialny punkt masy M, poruszając się pod wpływem siły F. Znajdźmy dla niego zależność pomiędzy momentami wektorów mV I F względem pewnej ustalonej osi Z.
m z (F) = xF - yF (7)
Podobnie dla wartości m(mV), jeśli zostanie wyjęty M będzie poza nawiasami
M z (mV) = m(xV - yV)(7`)
Biorąc pochodne po czasie z obu stron tej równości, znajdujemy
Po prawej stronie wynikowego wyrażenia pierwszy nawias jest równy 0, ponieważ dx/dt=V i dу/dt = V, drugi nawias według wzoru (7) jest równy
mz(F), gdyż zgodnie z podstawową zasadą dynamiki:
Wreszcie będziemy mieli (8)
Otrzymane równanie wyraża twierdzenie o momentach wokół osi: pochodna czasowa momentu pędu punktu względem dowolnej osi jest równa momentowi działającej siły względem tej samej osi. Podobne twierdzenie obowiązuje dla chwil wokół dowolnego środka O.
Składający się z N punkty materialne. Wybierzmy pewien punkt z tego układu Mj z masą m j. Jak wiadomo, na ten punkt działają siły zewnętrzne i wewnętrzne.
Zastosujmy to do rzeczy Mj wypadkową wszystkich sił wewnętrznych Fj ja i wypadkową wszystkich sił zewnętrznych Fj e(Rysunek 2.2). Dla wybranego punktu materialnego Mj(jak dla punktu swobodnego) twierdzenie o zmianie pędu piszemy w postaci różniczkowej (2.3):
Napiszmy podobne równania dla wszystkich punktów układu mechanicznego (j=1,2,3,…,n).
Rysunek 2.2
Dodajmy to wszystko kawałek po kawałku N równania:
∑d(m jot × V jot)/dt = ∑F jot mi + ∑F jot ja, (2.9)
d∑(m jot × V jot)/dt = ∑F jot mi + ∑F jot ja. (2.10)
Tutaj ∑m j × V j = Q– wielkość ruchu układu mechanicznego;
∑F jot mi = R mi– wektor główny wszystkich sił zewnętrznych działających na układ mechaniczny;
∑F jot ja = R ja =0– wektor główny sił wewnętrznych układu (zgodnie z właściwością sił wewnętrznych jest równy zero).
Wreszcie dla układu mechanicznego otrzymujemy
dQ/dt = R e. (2.11)
Wyrażenie (2.11) jest twierdzeniem o zmianie pędu układu mechanicznego w postaci różniczkowej (w wyrażeniu wektorowym): pochodna czasowa wektora pędu układu mechanicznego jest równa wektorowi głównemu wszystkich sił zewnętrznych działających na układ.
Rzutując równość wektora (2.11) na osie współrzędnych kartezjańskich, otrzymujemy wyrażenia na twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego w wyrażeniu na współrzędne (skalarne):
dQ x /dt = R x e;
dQ y /dt = R y e;
dQ z /dt = R z mi, (2.12)
te. pochodna czasowa rzutu pędu układu mechanicznego na dowolną oś jest równa rzutowi na tę oś wektora głównego wszystkich sił zewnętrznych działających na ten układ mechaniczny.
Mnożenie obu stron równości (2.12) przez dt, otrzymujemy twierdzenie w innej postaci różniczkowej:
dQ = R mi × dt = δS mi, (2.13)
te. pęd różniczkowy układu mechanicznego jest równy elementarnemu impulsowi wektora głównego (suma impulsów elementarnych) wszystkich sił zewnętrznych działających na układ.
Całkowanie równości (2.13) w czasie zmiany od 0 do T, otrzymujemy twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego w postaci końcowej (całkowej) (w wyrażeniu wektorowym):
Q - Q 0 = S mi,
te. zmiana pędu układu mechanicznego w skończonym czasie jest równa sumie impulsu wektora głównego (suma sumy impulsów) wszystkich sił zewnętrznych działających na układ w tym samym okresie czasu.
Rzutując równość wektora (2.14) na osie współrzędnych kartezjańskich, otrzymujemy wyrażenia twierdzenia w rzutach (w wyrażeniu skalarnym):
te. zmiana rzutu pędu układu mechanicznego na dowolną oś w skończonym czasie jest równa rzutowi na tę samą oś impulsu całkowitego wektora głównego (suma impulsów całkowitych) wszystkich sił zewnętrznych działające na układ mechaniczny w tym samym czasie.
Z rozważanego twierdzenia (2.11) – (2.15) wynikają następujące wnioski:
- Jeśli R mi = ∑F jot mi = 0, To Q = stała– mamy prawo zachowania wektora pędu układu mechanicznego: jeśli wektor główny Odnośnie wszystkich sił zewnętrznych działających na układ mechaniczny jest równa zeru, wówczas wektor pędu tego układu pozostaje stały pod względem wielkości i kierunku oraz równy swojej wartości początkowej Pytanie 0, tj. Q = Q 0.
- Jeśli R x mi = ∑X jot mi =0 (R mi ≠ 0), To Q x = stała– mamy prawo zachowania rzutu na oś pędu układu mechanicznego: jeżeli rzut wektora głównego wszystkich sił działających na układ mechaniczny na dowolną oś wynosi zero, to rzut na tę samą oś układu mechanicznego wektor pędu tego układu będzie miał wartość stałą i równą rzutowi na tę oś początkowy wektor pędu, tj. Q x = Q 0x.
Różniczkowa postać twierdzenia o zmianie pędu układu materialnego ma ważne i interesujące zastosowania w mechanice ciągłej. Z (2.11) możemy otrzymać twierdzenie Eulera.
Niech punkt materialny porusza się pod wpływem siły F. Wymagane jest określenie ruchu tego punktu względem poruszającego się układu Oksyz(patrz ruch złożony punktu materialnego), który porusza się w znany sposób względem układu stacjonarnego O 1 X 1 y 1 z 1 .
Podstawowe równanie dynamiki układu stacjonarnego
Zapiszmy bezwzględne przyspieszenie punktu, korzystając z twierdzenia Coriolisa
Gdzie A abs– przyspieszenie bezwzględne;
A wzgl– przyspieszenie względne;
A uliczka– akceleracja przenośna;
A rdzeń– Przyspieszenie Coriolisa.
Przepiszmy (25) biorąc pod uwagę (26)
Wprowadźmy notację 
- przenośna siła bezwładności, 
- Siła bezwładności Coriolisa. Wtedy równanie (27) przyjmuje postać
Podstawowe równanie dynamiki do badania ruchu względnego (28) zapisuje się analogicznie jak dla ruchu absolutnego, z tym że do sił działających na punkt należy dodać jedynie przeniesienie i siły bezwładności Coriolisa.
Ogólne twierdzenia o dynamice punktu materialnego
Rozwiązując wiele problemów, możesz użyć gotowych półfabrykatów uzyskanych na podstawie drugiego prawa Newtona. W tej sekcji zestawiono takie metody rozwiązywania problemów.
Twierdzenie o zmianie pędu punktu materialnego
Przedstawmy następujące charakterystyki dynamiczne:
1. Pęd punktu materialnego– wielkość wektora równa iloczynowi masy punktu i jego wektora prędkości
.
(29)
2. Impuls siły
Elementarny impuls siły– wielkość wektora równa iloczynowi wektora siły i elementarnego przedziału czasu
(30).
Następnie pełny impuls
.
(31)
Na F=stała, którą otrzymujemy S=Ft.
Impuls całkowity w skończonym czasie można obliczyć tylko w dwóch przypadkach, gdy siła działająca na punkt jest stała lub zależy od czasu. W innych przypadkach konieczne jest wyrażenie siły w funkcji czasu.
Równość wymiarów impulsu (29) i pędu (30) pozwala ustalić między nimi związek ilościowy.
Rozważmy ruch punktu materialnego M pod działaniem dowolnej siły F po dowolnej trajektorii.
O 
U: 
.
(32)
Rozdzielamy zmienne w (32) i całkujemy
.
(33)
W rezultacie, biorąc pod uwagę (31), otrzymujemy
.
(34)
Równanie (34) wyraża następujące twierdzenie.
Twierdzenie: Zmiana pędu punktu materialnego w pewnym okresie czasu jest równa impulsowi siły działającej na ten punkt w tym samym przedziale czasu.
Podczas rozwiązywania problemów równanie (34) należy rzutować na osie współrzędnych
Twierdzenie to jest wygodne w użyciu, gdy wśród danych i nieznanych wielkości znajduje się masa punktu, jego prędkość początkowa i końcowa, siły i czas ruchu.
Twierdzenie o zmianie momentu pędu punktu materialnego
M 
moment pędu punktu materialnego względem środka jest równy iloczynowi modułu pędu punktu i ramienia, tj. najkrótsza odległość (prostopadła) od środka do linii pokrywającej się z wektorem prędkości
,
(36)
.
(37)
Związek między momentem siły (przyczyną) a momentem pędu (skutkiem) ustala następujące twierdzenie.
Niech punkt M danej masy M porusza się pod wpływem siły F.
,
,
,
(38)
.
(39)
Obliczmy pochodną (39)
.
(40)
Łącząc (40) i (38) ostatecznie otrzymujemy
.
(41)
Równanie (41) wyraża następujące twierdzenie.
Twierdzenie: Pochodna po czasie wektora pędu punktu materialnego względem jakiegoś środka jest równa momentowi siły działającej na punkt względem tego samego środka.
Podczas rozwiązywania problemów równanie (41) należy rzutować na osie współrzędnych
W równaniach (42) momenty pędu i siły obliczane są względem osi współrzędnych.
Z (41) wynika prawo zachowania momentu pędu (prawo Keplera).
Jeżeli moment siły działający na punkt materialny względem dowolnego środka wynosi zero, wówczas moment pędu punktu względem tego środka zachowuje swoją wielkość i kierunek.
Jeśli 
, To 
.
Twierdzenie i prawo zachowania są stosowane w zagadnieniach związanych z ruchem krzywoliniowym, szczególnie pod działaniem sił centralnych.
