Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
ABSTRAKCYJNY
„Pełne badanie funkcji i konstrukcja jej wykresu”.
WSTĘP
Badanie właściwości funkcji i kreślenie jej wykresu jest jednym z najwspanialszych zastosowań pochodnych. Ta metoda badania funkcji była wielokrotnie poddawana wnikliwej analizie. Głównym powodem jest to, że w zastosowaniach matematyki konieczne było radzenie sobie z coraz bardziej złożonymi funkcjami, które pojawiały się podczas badania nowych zjawisk. Pojawiły się wyjątki od reguł opracowanych przez matematykę, pojawiły się przypadki, gdy utworzone reguły w ogóle nie były odpowiednie, pojawiły się funkcje, które w żadnym punkcie nie miały pochodnej.
Celem studiowania kursu algebry i analizy elementarnej w klasach 10-11 jest systematyczne badanie funkcji, ujawnienie wartości stosowanej ogólnych metod matematycznych związanych z badaniem funkcji.
Rozwój pojęć funkcjonalnych w trakcie nauki algebry i początków analizy na wyższym poziomie edukacji pomaga uczniom szkół średnich uzyskać wizualne wyobrażenia o ciągłości i nieciągłości funkcji, dowiedzieć się o ciągłości dowolnej funkcji elementarnej z zakresu jego zastosowania, nauczyć się konstruować ich wykresy i uogólniać informacje o głównych funkcjach elementarnych oraz rozumieć ich rolę w badaniu zjawisk rzeczywistości, w praktyce człowieka.
Funkcja rosnąca i malejąca
Rozwiązywanie różnorodnych problemów z zakresu matematyki, fizyki i techniki prowadzi do ustalenia zależności funkcjonalnej pomiędzy zmiennymi biorącymi udział w tym zjawisku.
Jeżeli taką zależność funkcjonalną można wyrazić analitycznie, to znaczy w postaci jednego lub większej liczby wzorów, wówczas możliwe staje się jej zbadanie za pomocą analizy matematycznej.
Odnosi się to do możliwości wyjaśnienia zachowania funkcji, gdy zmienia się jedna lub druga zmienna (gdzie funkcja wzrasta, gdzie maleje, gdzie osiąga maksimum itp.).
Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji opiera się na bardzo prostym związku, jaki istnieje pomiędzy zachowaniem funkcji a właściwościami jej pochodnej, przede wszystkim pierwszej i drugiej pochodnej.
Zastanówmy się, jak znaleźć przedziały funkcji rosnącej lub malejącej, czyli przedziały jej monotoniczności. Na podstawie definicji funkcji monotonicznie malejącej i rosnącej można sformułować twierdzenia, które pozwalają powiązać wartość pierwszej pochodnej danej funkcji z charakterem jej monotoniczności.
Twierdzenie 1.1. Jeśli funkcja y
=
F
(
X
)
, różniczkowalna na przedziale(
A
,
B
)
, rośnie monotonicznie w tym przedziale, a następnie w dowolnym punkcie
(
X
) >0;
jeśli maleje monotonicznie, to w dowolnym punkcie przedziału (
X
)<0.
Dowód. Niech funkcjay = F ( X ) monotonicznie wzrasta o( A , B ) , Oznacza to, że dla każdego wystarczająco małego > 0 zachodzi nierówność:
F ( X - ) < F ( X ) < F ( X + ) (ryc. 1.1).
Ryż. 1.1
Rozważ limit
.
Jeśli > 0, to 
> 0 jeśli< 0, то
< 0.
W obu przypadkach wyrażenie pod znakiem granicy jest dodatnie, co oznacza, że granica jest dodatnia ( X )>0 , co należało udowodnić. W podobny sposób dowodzi się drugą część twierdzenia, dotyczącą monotonicznego spadku funkcji.
Twierdzenie 1.2. Jeśli funkcja y = F ( X ) , ciągły na segmencie[ A , B ] i jest różniczkowalna we wszystkich swoich punktach wewnętrznych, a ponadto ( X ) >0 dla kazdego X ϵ ( A , B ) , to funkcja ta wzrasta monotonicznie o( A , B ) ; Jeśli
( X ) <0 dla kazdego xϵ ( A , B ), wówczas funkcja ta maleje monotonicznie o( A , B ) .
Dowód. Weźmy ϵ ( A , B ) I ϵ ( A , B ) , I< . Zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a
( C ) = .
Ale ( C )>0 i > 0, co oznacza ( > 0, tj
(. Uzyskany wynik wskazuje na monotoniczny wzrost funkcji, co należało wykazać. Drugą część twierdzenia dowodzi się w podobny sposób.
Ekstrema funkcji
Przy badaniu zachowania funkcji szczególną rolę odgrywają punkty oddzielające od siebie przedziały monotonicznego wzrostu od przedziałów jej monotonicznego spadku.
Definicja 2.1. Kropka nazywany maksimum funkcji
y
=
F
(
X
)
, jeśli w ogóle, jakkolwiek mały ,
(
< 0
, а точка
nazywa się punktem minimalnym jeśli (
> 0.
Punkty minimalne i maksymalne nazywane są łącznie punktami ekstremalnymi. Odcinkowo monotoniczna funkcja takich punktów ma skończoną liczbę w skończonym przedziale (ryc. 2.1).
Ryż. 2.1
Twierdzenie 2.1 (warunek konieczny istnienia ekstremum). Jeśli różniczkowalna na przedziale( A , B ) funkcja ma punkt z tego przedziału jest maksimum, to jego pochodna w tym punkcie jest równa zeru. To samo można powiedzieć o punkcie minimalnym .
Dowód tego twierdzenia wynika z twierdzenia Rolle’a, w którym wykazano, że w punktach minimum lub maksimum = 0, a styczna poprowadzona do wykresu funkcji w tych punktach jest równoległa do osiWÓŁ .
Z Twierdzenia 2.1 wynika, że jeśli funkcjay = F ( X ) ma pochodną we wszystkich punktach, to może osiągnąć ekstremum w tych punktach, gdzie = 0.
Warunek ten nie jest jednak wystarczający, gdyż istnieją funkcje, dla których podany warunek jest spełniony, ale nie ma ekstremum. Na przykład funkcjay= w pewnym momencie X = 0 pochodna wynosi zero, ale w tym punkcie nie ma ekstremum. Ponadto ekstremum może znajdować się w tych punktach, w których pochodna nie istnieje. Na przykład funkcjay = | X | w tym momencie jest minimumX = 0 , chociaż pochodna w tym momencie nie istnieje.
Definicja 2.2. Punkty, w których pochodna funkcji zanika lub ma nieciągłość, nazywane są punktami krytycznymi tej funkcji.
W konsekwencji Twierdzenie 2.1 nie jest wystarczające do określenia punktów ekstremalnych.
Twierdzenie 2.2 (warunek wystarczający na istnienie ekstremum). Niech funkcja y = F ( X ) ciągły w przedziale( A , B ) , który zawiera jego punkt krytyczny i jest różniczkowalna we wszystkich punktach tego przedziału, z możliwym wyjątkiem samego punktu . Następnie, jeśli podczas przesuwania tego punktu od lewej do prawej znak pochodnej zmieni się z plusa na minus, wówczas jest to punkt maksymalny i odwrotnie, od minus na plus - punkt minimalny.
Dowód. Jeśli pochodna funkcji zmienia swój znak po przejściu przez punkt od lewej do prawej od plusa do minusa, wówczas funkcja przesuwa się od rosnącej do malejącej, czyli dociera do punktu jest maksymalne i odwrotnie.
Z powyższego wynika schemat badania funkcji ekstremum:
1) znaleźć dziedzinę definicji funkcji;
2) obliczyć pochodną;
3) znaleźć punkty krytyczne;
4) zmieniając znak pierwszej pochodnej, określa się jej charakter.
Zadania badania funkcji ekstremum nie należy mylić z zadaniem określenia minimalnych i maksymalnych wartości funkcji na segmencie. W drugim przypadku konieczne jest znalezienie nie tylko skrajnych punktów odcinka, ale także porównanie ich z wartością funkcji na jej końcach.
Przedziały funkcji wypukłej i wklęsłej
Inną cechą wykresu funkcji, którą można wyznaczyć za pomocą pochodnej, jest jej wypukłość lub wklęsłość.
Definicja 3.1. Funkcjonować y = F ( X ) nazywa się wypukłym na przedziale( A , B ) , jeśli jego wykres znajduje się poniżej dowolnej stycznej do niego poprowadzonej w danym przedziale i odwrotnie, nazywa się go wklęsłym, jeśli jego wykres znajduje się powyżej dowolnej stycznej do niego poprowadzonej w danym przedziale.
Udowodnijmy twierdzenie, które pozwala nam wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji.
Twierdzenie 3.1. Jeśli we wszystkich punktach przedziału( A , B ) druga pochodna funkcji ( X ) jest ciągła i ujemna, to funkcjay = F ( X ) jest wypukła i odwrotnie, jeśli druga pochodna jest ciągła i dodatnia, to funkcja jest wklęsła.
Dowód przeprowadzamy dla przedziału wypukłości funkcji. Weźmy dowolny punktϵ ( A , B ) i narysuj styczną do wykresu funkcji w tym punkciey = F ( X ) (ryc. 3.1).
Twierdzenie zostanie udowodnione, jeśli zostanie wykazane, że wszystkie punkty krzywej znajdują się na przedziale( A , B ) leżeć pod tą styczną. Innymi słowy, należy to udowodnić dla tych samych wartościX rzędne krzywejy = F ( X ) mniejsza niż rzędna stycznej do niej poprowadzonej w tym punkcie .
Ryż. 3.1
Dla pewności oznaczamy równanie krzywej: = F ( X ) i równanie stycznej do niej w punkcie :
- F ( ) = ( )( X - )
Lub
= F ( ) + ( )( X - ) .
Nadrobićmy różnicę I :
- = f(x) – f( ) - ( )(X- ).
Zastosuj do różnicyF ( X ) – F ( ) Twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej:
- = ( )( X - ) - ( )( X - ) = ( X - )[ ( ) - ( )] ,
Gdzie ϵ ( , X ).
Zastosujmy teraz twierdzenie Lagrange'a do wyrażenia w nawiasach kwadratowych:
- = ( )( - )( X - ) , Gdzie ϵ ( , ).
Jak widać z rysunku,X > , Następnie X - > 0 I - > 0 . Co więcej, zgodnie z twierdzeniem, ( )<0.
Mnożąc te trzy czynniki, otrzymujemy to , co należało udowodnić.
Definicja 3.2. Punkt oddzielający przedział wypukły od wklęsłego nazywa się punktem przegięcia.
Z Definicji 3.1 wynika, że w danym punkcie styczna przecina krzywą, czyli z jednej strony krzywa znajduje się pod styczną, a z drugiej powyżej.
Twierdzenie 3.2. Jeśli w punkcie druga pochodna funkcji
y = F ( X ) jest równa zeru lub nie istnieje oraz przy przejściu przez punkt znak drugiej pochodnej zmienia się na przeciwny, wówczas ten punkt jest punktem przegięcia.
Dowód tego twierdzenia wynika z faktu, że znaki ( X ) po przeciwnych stronach punktu są różne. Oznacza to, że z jednej strony punktu funkcja jest wypukła, a z drugiej wklęsła. W tym przypadku, zgodnie z Definicją 3.2, pkt jest punktem przegięcia.
Badanie funkcji wypukłości i wklęsłości przeprowadza się według tego samego schematu, co badanie ekstremum.
4. Asymptoty funkcji
W poprzednich akapitach omówiono metody badania zachowania funkcji za pomocą pochodnej. Jednak wśród pytań związanych z pełnym badaniem funkcji są i takie, które nie dotyczą pochodnej.
Na przykład trzeba wiedzieć, jak zachowuje się funkcja, gdy punkt na jej wykresie oddala się w nieskończoność od początku. Problem ten może pojawić się w dwóch przypadkach: gdy argument funkcji dąży do nieskończoności i gdy podczas nieciągłości drugiego rodzaju w punkcie końcowym sama funkcja dąży do nieskończoności. W obu przypadkach może zaistnieć sytuacja, gdy funkcja dąży do jakiejś linii prostej, zwanej jej asymptotą.
Definicja . Asymptota wykresu funkcjiy = F ( X ) to linia prosta, która ma tę właściwość, że odległość od wykresu do tej linii prostej dąży do zera, gdy punkt wykresu przemieszcza się w nieskończoność od początku.
Istnieją dwa rodzaje asymptot: pionowa i ukośna.
Asymptoty pionowe obejmują linie prosteX
=
, które mają tę właściwość, że wykres funkcji w ich sąsiedztwie dąży do nieskończoności, czyli jest spełniony warunek: 
.
Oczywiście spełniony jest tu wymóg określonej definicji: odległość wykresu krzywej od prostejX = dąży do zera, a sama krzywa dąży do nieskończoności. Zatem w punktach nieciągłości drugiego rodzaju funkcje mają asymptoty pionowe, np.y= w pewnym momencie X = 0 . W konsekwencji wyznaczenie asymptot pionowych funkcji pokrywa się ze znalezieniem punktów nieciągłości drugiego rodzaju.
Asymptoty ukośne opisuje się ogólnym równaniem prostej na płaszczyźnie, tjy = kx + B . Oznacza to, że w przeciwieństwie do asymptot pionowych, tutaj konieczne jest określenie liczbk I B .
Więc pozwól krzywej = F ( X ) ma asymptotę ukośną, tjX punkty krzywej zbliżają się tak blisko linii prostej, jak to jest pożądane = kx + B (ryc. 4.1). Pozwalać M ( X , y ) - punkt położony na krzywej. Jego odległość od asymptoty będzie charakteryzowana przez długość prostopadłej| MN | .
Aby w pełni zbadać funkcję i wykreślić jej wykres, zaleca się następujący schemat:
A) znajdź dziedzinę definicji, punkty przerwania; zbadać zachowanie funkcji w pobliżu punktów nieciągłości (znajdź granice funkcji po lewej i prawej stronie w tych punktach). Wskaż asymptoty pionowe.
B) określić, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta i stwierdzić, że istnieje symetria. Jeżeli , to funkcja jest parzysta i symetryczna względem osi OY; gdy funkcja jest nieparzysta, symetryczna względem początku; i jeśli jest funkcją postaci ogólnej.
C) znaleźć punkty przecięcia funkcji z osiami współrzędnych OY i OX (jeśli to możliwe), określić przedziały znaku stałego funkcji. Granice przedziałów znaku stałego funkcji wyznaczają punkty, w których funkcja jest równa zeru (zera funkcji) lub nie istnieje, oraz granice dziedziny definicji tej funkcji. W przedziałach, gdzie wykres funkcji znajduje się powyżej osi OX, a gdzie – poniżej tej osi.
D) znaleźć pierwszą pochodną funkcji, wyznaczyć jej zera i przedziały znaku stałego. W przedziałach, w których funkcja rośnie i w których maleje. Wyciągnij wniosek o istnieniu ekstremów (punktów, w których istnieje funkcja i pochodna oraz przy przejściu, przez które zmienia znak. Jeśli znak zmienia się z plusa na minus, to w tym momencie funkcja ma maksimum, a jeśli z minus na plus , potem minimum). Znajdź wartości funkcji w punktach ekstremalnych.
D) znajdź drugą pochodną, jej zera i przedziały znaku stałego. W odstępach gdzie< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) znajdź nachylone (poziome) asymptoty, których równania mają postać 
; Gdzie 
.
Na 
wykres funkcji będzie miał dwie ukośne asymptoty, a każda wartość x w i może również odpowiadać dwóm wartościom b.
G) znajdź dodatkowe punkty w celu wyjaśnienia wykresu (jeśli to konieczne) i skonstruuj wykres.
Przykład 1
Zbadaj funkcję i skonstruuj jej wykres. Rozwiązanie: A) dziedzina definicji 
; funkcja jest ciągła w swojej dziedzinie definicji; – punkt przerwania, ponieważ 
;
. Następnie – asymptota pionowa.
B)
te. y(x) jest funkcją o postaci ogólnej.
C) Znajdź punkty przecięcia wykresu z osią OY: ustaw x=0; wtedy y(0)=–1, tj. wykres funkcji przecina oś w punkcie (0;-1). Zera funkcji (punkty przecięcia wykresu z osią OX): set y=0; Następnie 
.
Dyskryminator równania kwadratowego jest mniejszy od zera, co oznacza, że nie ma zer. Wtedy granicą przedziałów znaku stałego jest punkt x=1, w którym funkcja nie istnieje.
Znak funkcji w każdym z przedziałów wyznacza się metodą wartości cząstkowych:
Z wykresu widać, że w przedziale wykres funkcji znajduje się pod osią OX, a w przedziale powyżej osi OX.
D) Dowiadujemy się o obecności punktów krytycznych.
.
Znajdujemy punkty krytyczne (gdzie lub nie istnieją) z równości i .
Otrzymujemy: x1=1, x2=0, x3=2. Stwórzmy tabelę pomocniczą
Tabela 1 
(Pierwsza linia zawiera punkty krytyczne oraz przedziały, na które punkty te są podzielone przez oś OX; druga linia wskazuje wartości pochodnej w punktach krytycznych oraz znaki na przedziałach. Znaki są określone przez wartość cząstkową metoda Trzecia linia wskazuje wartości funkcji y(x) w punktach krytycznych i pokazuje zachowanie funkcji - rosnące lub malejące w odpowiednich odstępach osi liczbowej. Dodatkowo obecność minimum lub maksimum jest wskazany.
D) Znajdź przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji.
; zbuduj tabelę jak w punkcie D); Dopiero w drugiej linii zapisujemy znaki, a w trzeciej wskazujemy rodzaj wypukłości. Ponieważ ; wówczas punktem krytycznym jest jeden x=1.
Tabela 2 
Punkt x=1 jest punktem przegięcia.
E) Znajdź asymptoty ukośne i poziome 
Wtedy y=x jest asymptotą ukośną.
G) Na podstawie uzyskanych danych budujemy wykres funkcji 
1). Zakres funkcji.
Jest oczywiste, że funkcja ta jest zdefiniowana na całej osi liczbowej, z wyjątkiem punktów „” i „”, ponieważ w tych punktach mianownik jest równy zero i dlatego funkcja nie istnieje, a linie proste i są asymptotami pionowymi.
2). Zachowanie funkcji jako argumentu dążącego do nieskończoności, istnienie punktów nieciągłości i sprawdzanie obecności asymptot ukośnych.
Sprawdźmy najpierw, jak funkcja zachowuje się, gdy zbliża się do nieskończoności w lewo i w prawo. 
Zatem, gdy funkcja dąży do 1, tj. - asymptota pozioma.
W sąsiedztwie punktów nieciągłości zachowanie funkcji wyznacza się w następujący sposób: 
Te. Przy dochodzeniu do punktów nieciągłości po lewej stronie funkcja maleje w nieskończoność, a po prawej stronie rośnie nieskończenie.
Obecność asymptoty ukośnej określamy, biorąc pod uwagę równość: 
Nie ma asymptot ukośnych.
3). Punkty przecięcia z osiami współrzędnych.
Tutaj należy wziąć pod uwagę dwie sytuacje: znaleźć punkt przecięcia z osią Ox i osią Oy. Znakiem przecięcia z osią Ox jest wartość zerowa funkcji, tj. należy rozwiązać równanie:
Równanie to nie ma pierwiastków, dlatego wykres tej funkcji nie ma punktów przecięcia z osią Wołu.
Znakiem przecięcia z osią Oy jest wartość x = 0. W tym przypadku
,
te. – punkt przecięcia wykresu funkcji z osią Oy.
4).Wyznaczanie punktów ekstremalnych oraz przedziałów narastania i opadania.
Aby zbadać to zagadnienie, definiujemy pierwszą pochodną: 
.
Przyrównajmy wartość pierwszej pochodnej do zera. 
.
Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero, tj. .
Wyznaczmy przedziały wzrostu i spadku funkcji.
Zatem funkcja ma jedno ekstremum i nie istnieje w dwóch punktach.
Zatem funkcja rośnie na przedziałach i i maleje na przedziałach i .
5). Punkty przegięcia oraz obszary wypukłości i wklęsłości.
Tę charakterystykę zachowania funkcji określa się za pomocą drugiej pochodnej. Najpierw określmy obecność punktów przegięcia. Druga pochodna funkcji jest równa 
Kiedy i funkcja jest wklęsła;
kiedy i funkcja jest wypukła.
6). Wykres funkcji.
Wykorzystując znalezione wartości w punktach, schematycznie skonstruujemy wykres funkcji:
Przykład 3
Przeglądaj funkcję 
i zbuduj jego wykres. Rozwiązanie
Podana funkcja jest funkcją nieokresową o postaci ogólnej. Jego wykres przechodzi przez początek współrzędnych, ponieważ .
Dziedziną definicji danej funkcji są wszystkie wartości zmiennej z wyjątkiem i dla których mianownik ułamka przyjmuje wartość zero.
Zatem punkty są punktami nieciągłości funkcji.
Ponieważ 
, 
Ponieważ 
,
, wówczas punkt jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju.
Linie proste są pionowymi asymptotami wykresu funkcji.
Równania asymptot ukośnych, gdzie, 
.
Na 
,
.
Zatem dla i wykres funkcji ma jedną asymptotę.
Znajdźmy przedziały wzrostu i spadku funkcji oraz punktów ekstremalnych.
.
Pierwsza pochodna funkcji w, a zatem w i funkcja wzrasta.
Kiedy zatem, kiedy , funkcja maleje.
nie istnieje dla , . 
zatem kiedy 
Wykres funkcji jest wklęsły.
Na 
zatem kiedy 
Wykres funkcji jest wypukły. 
Przy przechodzeniu przez punkty , , zmienia znak. Gdy , funkcja nie jest zdefiniowana, zatem wykres funkcji ma jeden punkt przegięcia.
Zbudujmy wykres funkcji. 
Badanie funkcji odbywa się według przejrzystego schematu i wymaga od studenta solidnej znajomości podstawowych pojęć matematycznych, takich jak dziedzina definicji i wartości, ciągłość funkcji, asymptota, punkty ekstremalne, parzystość, okresowość itp. . Student musi umieć swobodnie różniczkować funkcje i rozwiązywać równania, które czasami mogą być bardzo złożone.
Oznacza to, że w tym zadaniu sprawdzana jest znaczna warstwa wiedzy, a każda luka stanie się przeszkodą w uzyskaniu prawidłowego rozwiązania. Szczególnie często trudności pojawiają się przy konstruowaniu wykresów funkcji. Ten błąd jest natychmiast zauważalny dla nauczyciela i może znacznie zaszkodzić Twojej ocenie, nawet jeśli wszystko inne zostało zrobione poprawnie. Tutaj możesz znaleźć Problemy z badaniem funkcji online: przykłady badań, rozwiązania do pobrania, zadania zamówień.
Przeglądaj funkcję i kreśl wykres: przykłady i rozwiązania online
Przygotowaliśmy dla Ciebie wiele gotowych badań funkcyjnych, zarówno płatnych w książce rozwiązań, jak i bezpłatnych w dziale Przykłady badań funkcyjnych. Na podstawie rozwiązanych zadań będziesz mógł szczegółowo zapoznać się z metodologią wykonywania podobnych zadań i przeprowadzić swoje badania przez analogię.
Oferujemy gotowe przykłady kompletnych badań i wykreślania funkcji najpopularniejszych typów: wielomianów, funkcji ułamkowo-wymiernych, niewymiernych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych. Do każdego rozwiązanego problemu dołączony jest gotowy wykres z wyróżnionymi kluczowymi punktami, asymptotami, maksimami i minimami, a rozwiązanie odbywa się za pomocą algorytmu badania funkcji.
W każdym razie rozwiązane przykłady będą dla Ciebie bardzo pomocne, ponieważ obejmują najpopularniejsze typy funkcji. Oferujemy setki już rozwiązanych problemów, ale jak wiadomo, na świecie istnieje nieskończona liczba funkcji matematycznych, a nauczyciele są świetnymi ekspertami w wymyślaniu coraz trudniejszych zadań dla biednych uczniów. Tak więc, drodzy studenci, wykwalifikowana pomoc wam nie zaszkodzi.
Rozwiązywanie problemów związanych z badaniem funkcji niestandardowych
W takim przypadku nasi partnerzy zaoferują Ci inną usługę - pełne badanie funkcji online zamówić. Zadanie zostanie dla Ciebie wykonane zgodnie ze wszystkimi wymaganiami dotyczącymi algorytmu rozwiązywania takich problemów, co bardzo ucieszy Twojego nauczyciela.
Wykonamy dla Ciebie pełne badanie funkcji: znajdziemy dziedzinę definicji i dziedzinę wartości, zbadamy ciągłość i nieciągłość, ustalimy parzystość, sprawdzimy okresowość funkcji oraz znajdziemy punkty przecięcia z osiami współrzędnych . I oczywiście dalej korzystając z rachunku różniczkowego: znajdziemy asymptoty, obliczymy ekstrema, punkty przegięcia i skonstruujemy sam wykres.
Konstruowanie wykresu funkcji za pomocą punktów osobliwych obejmuje badanie samej funkcji: określenie zakresu dopuszczalnych wartości argumentu, określenie zakresu zmienności funkcji, określenie, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta, określenie punktów przerwania funkcji, znajdowanie przedziałów stałego znaku funkcji, znajdowanie asymptot wykresu funkcji. Korzystając z pierwszej pochodnej, można wyznaczyć przedziały wzrostu (spadku) funkcji oraz obecność punktów ekstremalnych. Za pomocą drugiej pochodnej można wyznaczyć przedziały wypukłości (wklęsłości) wykresu funkcji, a także punkty przegięcia. Jednocześnie wierzymy, że jeśli w pewnym momencie xo styczna do wykresu funkcji nad krzywą, to wykres funkcji w tym punkcie jest wypukły; jeśli styczna znajduje się poniżej krzywej, to wykres funkcji w tym punkcie ma wklęsłość.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Badanie funkcji.
a) Zakres dopuszczalnych wartości argumentu: (-∞,+∞).
b) Obszar zmiany funkcji: (-∞, +∞).
c) Funkcja jest nieparzysta, ponieważ y(-x) = -y(x), te. wykres funkcji jest symetryczny względem początku.
d) Funkcja jest ciągła, nie ma punktów nieciągłości, zatem nie ma asymptot pionowych.
e) Znalezienie równania asymptoty ukośnej y(x) = k∙x + b, Gdzie
k = /X I b = 
W tym przykładzie parametry asymptot są odpowiednio równe:
k = , ponieważ najwyższy stopień licznika i mianownika jest taki sam i wynosi trzy, a stosunek współczynników w tych najwyższych stopniach jest równy jeden. Kiedy x → + ∞ do obliczenia limitu użyto trzeciego niezwykłego limitu.
b = = = 0, przy obliczaniu granicy w x → + ∞ wykorzystał trzeci niezwykły limit. Zatem wykres tej funkcji ma asymptotę skośną y=x.
2.
y´= /(x²+3)² - pochodną oblicza się przy użyciu wzoru na iloraz różniczkowania.
a) Wyznacz miejsca zerowe pochodnej i punkt nieciągłości, przyrównując odpowiednio licznik i mianownik pochodnej do zera: y'=0, Jeśli x=0. Pierwsza pochodna nie ma punktów nieciągłości.
b) Wyznaczamy przedziały stałego znaku pochodnej, tj. przedziały monotoniczności funkcji: at -∞
3. Badanie funkcji za pomocą drugiej pochodnej.
Korzystając ze wzoru na różniczkowanie ilorazów i dokonywania przekształceń algebraicznych otrzymujemy: y´´ = /(x²+3)³
a) Wyznacz miejsca zerowe drugiej pochodnej i przedziały znaku stałego: y'' = 0, Jeśli x=0 I x= + 3 . Druga pochodna nie ma punktów nieciągłości.
b) Wyznaczmy przedziały stałości drugiej pochodnej, tj. przedziały wypukłości lub wklęsłości wykresu funkcji. O -∞
Przykład: Zbadaj funkcję i wykreśl ją y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Badanie funkcji.
a) Zakres dopuszczalnych wartości: (-∞,0)U(0,+∞).
b) Obszar zmiany funkcji: (-∞,+∞).
d) Funkcja ta ma punkt nieciągłości drugiego rodzaju w punkcie x=0.
e) Znajdowanie asymptot. Ponieważ funkcja ma punkt nieciągłości drugiego rodzaju w punkcie x=0, to w konsekwencji funkcja ma asymptotę pionową x=0. Funkcja ta nie ma asymptot ukośnych ani poziomych.
2.Badanie funkcji przy użyciu pierwszej pochodnej.
Przekształćmy funkcję, wykonując wszystkie operacje algebraiczne. W rezultacie postać funkcji zostanie znacznie uproszczona: y(x)=x²-x-1+(1/x). Bardzo łatwo jest obliczyć pochodną z sumy wyrazów i otrzymujemy: y´ = 2x – 1 –(1/x²).
a) Wyznacz miejsca zerowe i punkty nieciągłości pierwszej pochodnej. Sprowadzamy wyrażenia pierwszej pochodnej do wspólnego mianownika i przyrównując licznik, a następnie mianownik do zera, otrzymujemy: y'=0 Na x=1, y' - nie istnieje kiedy x=0.
b) Wyznaczmy przedziały monotoniczności funkcji, tj. przedziały stałego znaku pochodnej. O -∞<X<0
I 0
3.
y´´= 2 + 2/x³. Korzystając z drugiej pochodnej wyznaczamy przedziały wypukłości lub wklęsłości wykresu funkcji oraz ewentualne punkty przegięcia. Przedstawmy wyrażenie na drugą pochodną wspólnego mianownika, a następnie przyrównując licznik i mianownik kolejno do zera otrzymamy: y''=0 Na x=-1, y´´- nie istnieje kiedy x=0.
O -∞
Ryż. 4 rys. 5
Przykład: Zbadaj funkcję i wykreśl ją y(x) = ln (x²+4x+5)
1.Badanie funkcji.
a) Zakres dopuszczalnych wartości argumentów: funkcja logarytmiczna istnieje tylko dla argumentów ściśle większych od zera, zatem x²+4x+5>0 – warunek ten jest spełniony dla wszystkich wartości argumentu, tj. O.D.Z. – (-∞, +∞).
b) Obszar zmiany funkcji: (0, +∞). Przekształćmy wyrażenie pod znakiem logarytmu i przyrównajmy funkcję do zera: ln((x+2)²+1) =0. Te. funkcja dąży do zera, gdy x=-2. Wykres funkcji będzie symetryczny względem prostej x=-2.
c) Funkcja jest ciągła i nie ma punktów przerwania.
d) Wykres funkcji nie ma asymptot.
2.Badanie funkcji przy użyciu pierwszej pochodnej.
Korzystając z reguły różniczkowania funkcji zespolonej, otrzymujemy: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
a) Wyznaczmy zera i punkty nieciągłości pochodnej: y'=0, Na x=-2. Pierwsza pochodna nie ma punktów nieciągłości.
b) Wyznaczamy przedziały monotoniczności funkcji, tj. przedziały znaku stałego pierwszej pochodnej: przy -∞<X<-2
pochodna tak<0,
dlatego funkcja maleje; kiedy -2
3.Badanie funkcji ze względu na drugą pochodną.
Przedstawmy pierwszą pochodną w następującej postaci: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
a) Wyznaczmy przedziały znaku stałego drugiej pochodnej. Ponieważ mianownik drugiej pochodnej jest zawsze nieujemny, znak drugiej pochodnej wyznaczany jest wyłącznie przez licznik. y''=0 Na x=-3 I x=-1.
Na -∞
Przykład: Zbadaj funkcję i narysuj wykres y(x) = x²/(x+2)²
1.Badanie funkcji.
a) Zakres dopuszczalnych wartości argumentu (-∞, -2)U(-2, +∞).
b) Obszar zmiany funkcji².
a) Wyznaczmy zera i przedziały znaku stałego drugiej pochodnej. Ponieważ Ponieważ mianownik ułamka jest zawsze dodatni, znak drugiej pochodnej jest całkowicie określony przez licznik. O -∞
