Առցանց հաշվիչի հետազոտական ​​գործառույթները. Ֆունկցիայի ուսումնասիրություն՝ օգտագործելով դիֆերենցիալ հաշվարկի մեթոդներ

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկությունները մեզ թույլ են տալիս կապ հաստատել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների հետ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հրապարակային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Վերացական

«Ֆունկցիայի ամբողջական ուսումնասիրություն և դրա գրաֆիկի կառուցում»:

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Ֆունկցիայի հատկությունների ուսումնասիրությունը և դրա գրաֆիկը գծելը ածանցյալների ամենահրաշալի կիրառություններից է։ Ֆունկցիան ուսումնասիրելու այս մեթոդը բազմիցս ենթարկվել է մանրազնին վերլուծության: Հիմնական պատճառն այն է, որ մաթեմատիկայի կիրառություններում անհրաժեշտ էր զբաղվել ավելի ու ավելի բարդ ֆունկցիաների հետ, որոնք ի հայտ էին գալիս նոր երևույթներ ուսումնասիրելիս։ Մաթեմատիկայի մշակած կանոններից բացառություններ ի հայտ եկան, ի հայտ եկան դեպքեր, երբ ստեղծված կանոններն ընդհանրապես հարմար չէին, ի հայտ եկան ֆունկցիաներ, որոնք ոչ մի կետում ածանցյալ չունեին։

10-11-րդ դասարաններում հանրահաշիվ և տարրական անալիզի դասընթացի ուսումնասիրության նպատակը ֆունկցիաների համակարգված ուսումնասիրությունն է, ֆունկցիաների ուսումնասիրության հետ կապված մաթեմատիկայի ընդհանուր մեթոդների կիրառական արժեքի բացահայտումը։

Հանրահաշվի ուսումնասիրության ընթացքում ֆունկցիոնալ հասկացությունների զարգացումը և կրթության բարձր մակարդակում վերլուծության սկիզբը օգնում են ավագ դպրոցի աշակերտներին տեսողական պատկերացումներ ստանալ գործառույթների շարունակականության և ընդհատումների մասին, սովորել ցանկացած տարրական գործառույթի շարունակականության մասին: դրա կիրառումը, սովորել կառուցել դրանց գրաֆիկները և ընդհանրացնել տեղեկատվությունը հիմնական տարրական գործառույթների մասին և հասկանալ նրանց դերը իրականության երևույթների ուսումնասիրության մեջ, մարդկային պրակտիկայում:

Աճող և նվազող գործառույթ

Մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի և տեխնիկայի ոլորտներից տարբեր խնդիրների լուծումը հանգեցնում է այս երևույթի մեջ ներգրավված փոփոխականների միջև ֆունկցիոնալ հարաբերությունների հաստատմանը:

Եթե ​​նման ֆունկցիոնալ կախվածությունը կարող է արտահայտվել վերլուծական եղանակով, այսինքն՝ մեկ կամ մի քանի բանաձևերի տեսքով, ապա հնարավոր է դառնում այն ​​ուսումնասիրել մաթեմատիկական վերլուծության միջոցով։

Խոսքը վերաբերում է ֆունկցիայի վարքագծի հստակեցման հնարավորությանը, երբ փոխվում է այս կամ այն ​​փոփոխականը (որտեղ ֆունկցիան մեծանում է, որտեղ այն նվազում է, որտեղ այն հասնում է առավելագույնի և այլն):

Դիֆերենցիալ հաշվարկի կիրառումը ֆունկցիայի ուսումնասիրության համար հիմնված է շատ պարզ կապի վրա, որը գոյություն ունի ֆունկցիայի վարքագծի և նրա ածանցյալի հատկությունների, հիմնականում նրա առաջին և երկրորդ ածանցյալների միջև:

Դիտարկենք, թե ինչպես կարող ենք գտնել մեծացող կամ նվազող ֆունկցիայի միջակայքերը, այսինքն՝ նրա միապաղաղության միջակայքերը։ Հիմնվելով միապաղաղ նվազող և աճող ֆունկցիայի սահմանման վրա՝ կարելի է ձևակերպել թեորեմներ, որոնք թույլ են տալիս կապել տվյալ ֆունկցիայի առաջին ածանցյալի արժեքը նրա միապաղաղության բնույթի հետ։

Թեորեմ 1.1. Եթե ​​ֆունկցիան y = զ ( x ) , տարբերվող միջակայքում( ա , բ ) , ավելանում է միապաղաղ այս միջակայքում, ապա ցանկացած կետում
( x ) >0; եթե այն միապաղաղ նվազում է, ապա միջակայքի ցանկացած կետում ( x )<0.

Ապացույց. Թողեք գործառույթըy = զ ( x ) միապաղաղ մեծանում է( ա , բ ) , Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուրի համար բավականաչափ փոքր է > 0 գործում է հետևյալ անհավասարությունը.

զ ( x - ) < զ ( x ) < զ ( x + ) (նկ. 1.1):

Բրինձ. 1.1

Հաշվի առեք սահմանը

.

Եթե ​​> 0, ապա > 0 եթե< 0, то

< 0.

Երկու դեպքում էլ սահմանային նշանի տակ արտահայտությունը դրական է, ինչը նշանակում է, որ սահմանը դրական է, այսինքն ( x )>0 , ինչը ապացուցման կարիք ուներ։ Նույն կերպ ապացուցված է թեորեմի երկրորդ մասը՝ կապված ֆունկցիայի միապաղաղ նվազման հետ։

Թեորեմ 1.2. Եթե ​​ֆունկցիան y = զ ( x ) , շարունակական հատվածի վրա[ ա , բ ] և տարբերվում է իր բոլոր ներքին կետերում, և, ի լրումն, ( x ) >0 որեւէ մեկի համար x ϵ ( ա , բ ) , ապա այս ֆունկցիան միապաղաղ մեծանում է ըստ( ա , բ ) ; Եթե

( x ) <0 որեւէ մեկի համար xϵ ( ա , բ ), ապա այս ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է( ա , բ ) .

Ապացույց. Վերցնենք ϵ ( ա , բ ) Եվ ϵ ( ա , բ ) , և< . Լագրանժի թեորեմի համաձայն

( գ ) = .

Բայց ( գ )>0 և > 0, ինչը նշանակում է (> 0, այսինքն

(. Ստացված արդյունքը վկայում է ֆունկցիայի միապաղաղ աճի մասին, ինչը պետք է ապացուցել։ Նույն կերպ ապացուցված է թեորեմի երկրորդ մասը։

Ֆունկցիայի ծայրահեղություն

Ֆունկցիայի վարքագիծն ուսումնասիրելիս առանձնահատուկ դեր են խաղում այն ​​կետերը, որոնք միմյանցից առանձնացնում են միապաղաղ աճի միջակայքերը նրա միապաղաղ նվազման միջակայքներից։

Սահմանում 2.1. Կետ կոչվում է ֆունկցիայի առավելագույն կետ

y = զ ( x ) , եթե այդպիսիք կան, որքան էլ փոքր լինեն , ( < 0 , а точка կոչվում է նվազագույն կետ, եթե ( > 0.

Նվազագույն և առավելագույն միավորները միասին կոչվում են ծայրահեղ կետեր: Նման կետերի հատվածական միատոն ֆունկցիան ունի վերջավոր թիվ վերջավոր միջակայքում (նկ. 2.1):

Բրինձ. 2.1

Թեորեմ 2.1 (անհրաժեշտ պայման էքստրեմումի գոյության համար). Եթե ​​տարբերվում է միջակայքում( ա , բ ) ֆունկցիան ունի կետում այս միջակայքից առավելագույնն է, ապա դրա ածանցյալն այս կետում հավասար է զրոյի: Նույնը կարելի է ասել նվազագույն միավորի մասին .

Այս թեորեմի ապացույցը բխում է Ռոլի թեորեմից, որտեղ ցույց է տրվել, որ նվազագույնի կամ առավելագույնի կետերում. = 0, և այս կետերում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողը զուգահեռ է առանցքինԵԶ .

Թեորեմ 2.1-ից հետևում է, որ եթե ֆունկցիանy = զ ( x ) ունի ածանցյալ բոլոր կետերում, ապա այն կարող է հասնել ծայրահեղության այն կետերում, որտեղ = 0.

Սակայն այս պայմանը բավարար չէ, քանի որ կան գործառույթներ, որոնց համար նշված պայմանը բավարարված է, բայց ծայրահեղություն չկա։ Օրինակ՝ ֆունկցիանy= մի կետում x = 0 ածանցյալը զրո է, բայց այս պահին ծայրահեղություն չկա: Բացի այդ, էքստրեմումը կարող է լինել այն կետերում, որտեղ ածանցյալը գոյություն չունի: Օրինակ՝ ֆունկցիանy = | x | կետում կա նվազագույնըx = 0 , չնայած ածանցյալն այս պահին գոյություն չունի։

Սահմանում 2.2. Այն կետերը, որոնցում ֆունկցիայի ածանցյալը անհետանում է կամ ունի ընդհատում, կոչվում են այս ֆունկցիայի կրիտիկական կետեր..

Հետևաբար, թեորեմ 2.1-ը բավարար չէ ծայրահեղ կետերը որոշելու համար։

Թեորեմ 2.2 (բավարար պայման էքստրեմումի գոյության համար). Թողեք գործառույթը y = զ ( x ) շարունակական ընդմիջումով( ա , բ ) , որը պարունակում է իր կրիտիկական կետը , և տարբերակելի է այս միջակայքի բոլոր կետերում, հնարավոր բացառությամբ հենց կետի . Այնուհետև, եթե այս կետը ձախից աջ տեղափոխելիս ածանցյալի նշանը փոխվում է գումարածից մինուս, ապա սա առավելագույն կետ է, և, ընդհակառակը, մինուսից պլյուս՝ նվազագույն կետ։.

Ապացույց. Եթե ​​ֆունկցիայի ածանցյալը կետն անցնելիս փոխում է իր նշանը ձախից աջ՝ գումարածից մինուս, այնուհետև ֆունկցիան աճողից անցնում է նվազման, այսինքն՝ հասնում է կետին դրա առավելագույնը և հակառակը:

Վերոնշյալից հետևում է ծայրահեղության վրա ֆունկցիայի ուսումնասիրության սխեման.

1) գտնել ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը.

2) հաշվարկել ածանցյալը.

3) գտնել կրիտիկական կետեր.

4) առաջին ածանցյալի նշանը փոխելով՝ որոշվում է դրանց բնավորությունը.

Ծայրահեղության համար ֆունկցիան ուսումնասիրելու խնդիրը չպետք է շփոթել սեգմենտի վրա ֆունկցիայի նվազագույն և առավելագույն արժեքները որոշելու առաջադրանքի հետ: Երկրորդ դեպքում անհրաժեշտ է գտնել ոչ միայն հատվածի ծայրահեղ կետերը, այլև համեմատել դրանք նրա ծայրերում գտնվող ֆունկցիայի արժեքի հետ։

Ուռուցիկ և գոգավոր ֆունկցիաների միջակայքերը

Գործառույթի գրաֆիկի մեկ այլ հատկանիշ, որը կարելի է որոշել ածանցյալի միջոցով, նրա ուռուցիկությունն է կամ գոգավորությունը։

Սահմանում 3.1. Գործառույթ y = զ ( x ) ինտերվալի վրա կոչվում է ուռուցիկ( ա , բ ) , եթե նրա գրաֆիկը գտնվում է տվյալ միջակայքում իրեն գծված որևէ շոշափողից ներքև, և հակառակը, այն կոչվում է գոգավոր, եթե նրա գրաֆիկը գտնվում է տվյալ միջակայքում իրեն գծված ցանկացած շոշափողից վեր։.

Եկեք ապացուցենք մի թեորեմ, որը թույլ է տալիս որոշել ֆունկցիայի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը:

Թեորեմ 3.1. Եթե ​​միջակայքի բոլոր կետերում( ա , բ ) ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը ( x ) շարունակական է և բացասական, ապա ֆունկցիանy = զ ( x ) ուռուցիկ է և հակառակը, եթե երկրորդ ածանցյալը շարունակական է և դրական, ապա ֆունկցիան գոգավոր է..

Մենք կատարում ենք ֆունկցիայի ուռուցիկության միջակայքի ապացույցը։ Վերցնենք կամայական կետϵ ( ա , բ ) և այս կետում շոշափեք ֆունկցիայի գրաֆիկինy = զ ( x ) (նկ. 3.1):

Թեորեմը կհաստատվի, եթե ցույց տա, որ կորի բոլոր կետերը միջակայքի վրա( ա , բ ) ընկեք այս շոշափողի տակ: Այսինքն՝ պետք է դա ապացուցել նույն արժեքների համարx կորի օրդինատներy = զ ( x ) փոքր է կետում դրան գծված շոշափողի օրդինատից .

Բրինձ. 3.1

Որոշակիության համար մենք նշում ենք կորի հավասարումը. = զ ( x ) , և կետում դրան շոշափողի հավասարումը :

- զ ( ) = ( )( x - )

կամ

= զ ( ) + ( )( x - ) .

Եկեք լրացնենք տարբերությունըԵվ.

- = f(x) – f( ) - ( ) (x- ).

Կիրառել տարբերությանըզ ( x ) – զ ( ) Լագրանժի միջին արժեքի թեորեմ.

- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,

Որտեղ ϵ ( , x ).

Այժմ կիրառենք Լագրանժի թեորեմը քառակուսի փակագծերում դրված արտահայտության վրա.

- = ( )( - )( x - ) , Որտեղ ϵ ( , ).

Ինչպես երևում է նկարից,x > , Հետո x - > 0 Եվ - > 0 . Ավելին, ըստ թեորեմի. ( )<0.

Բազմապատկելով այս երեք գործոնները՝ մենք ստանում ենք դա , ինչը ապացուցման կարիք ուներ։

Սահմանում 3.2. Ուռուցիկ միջակայքը գոգավոր միջակայքից բաժանող կետը կոչվում է թեքության կետ.

3.1 սահմանումից հետևում է, որ տվյալ կետում շոշափողը հատում է կորը, այսինքն՝ մի կողմից կորը գտնվում է շոշափողից ցածր, իսկ մյուս կողմից՝ վերևում։

Թեորեմ 3.2. Եթե ​​կետում ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը

y = զ ( x ) հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի, իսկ կետով անցնելիս երկրորդ ածանցյալի նշանը փոխվում է հակառակի վրա, ապա այս կետը թեքման կետ է.

Այս թեորեմի ապացույցը բխում է նրանից, որ նշանները ( x ) կետի հակառակ կողմերում տարբեր են. Սա նշանակում է, որ կետի մի կողմում ֆունկցիան ուռուցիկ է, իսկ մյուս կողմից՝ գոգավոր։ Տվյալ դեպքում, 3.2 սահմանման համաձայն, կետ թեքման կետն է:

Ուռուցիկության և գոգավորության ֆունկցիայի ուսումնասիրությունն իրականացվում է նույն սխեմայով, ինչ էքստրեմումի ուսումնասիրությունը:

4. Ֆունկցիայի ասիմպտոտներ

Նախորդ պարբերություններում քննարկվել են ածանցյալի օգտագործմամբ ֆունկցիայի վարքագիծն ուսումնասիրելու մեթոդները։ Սակայն ֆունկցիայի ամբողջական ուսումնասիրության հետ կապված հարցերի թվում կան նաև այնպիսիք, որոնք կապված չեն ածանցյալի հետ։

Այսպիսով, օրինակ, անհրաժեշտ է իմանալ, թե ֆունկցիան ինչպես է իրեն պահում, երբ իր գրաֆիկի կետը անսահմանորեն հեռանում է սկզբնակետից: Այս խնդիրը կարող է առաջանալ երկու դեպքում՝ երբ ֆունկցիայի արգումենտը գնում է դեպի անսահմանություն, և երբ վերջնակետում երկրորդ տեսակի ընդհատման ժամանակ ֆունկցիան ինքնին գնում է դեպի անսահմանություն։ Այս երկու դեպքերում էլ կարող է առաջանալ մի իրավիճակ, երբ ֆունկցիան հակված է ինչ-որ ուղիղ գծի, որը կոչվում է իր ասիմպտոտ:

Սահմանում. Ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտy = զ ( x ) ուղիղ գիծ է, որն ունի այն հատկությունը, որ գրաֆիկից մինչև այս ուղիղ գիծ հեռավորությունը ձգտում է զրոյի, քանի որ գրաֆիկի կետն անորոշ ժամանակով շարժվում է սկզբնակետից։.

Ասիմպտոտների երկու տեսակ կա՝ ուղղահայաց և թեք։

Ուղղահայաց ասիմպտոտները ներառում են ուղիղ գծերx = , որոնք ունեն այն հատկությունը, որ իրենց մոտ գտնվող ֆունկցիայի գրաֆիկը գնում է անսահմանության, այսինքն՝ պայմանը բավարարված է. .

Ակնհայտ է, որ այստեղ բավարարվում է նշված սահմանման պահանջը՝ կորի գրաֆիկից մինչև ուղիղ գիծ հեռավորությունը.x = ձգտում է զրոյի, իսկ կորն ինքնին գնում է դեպի անսահմանություն: Այսպիսով, երկրորդ տեսակի ընդհատման կետերում ֆունկցիաները ունեն ուղղահայաց ասիմպտոտներ, օրինակ.y= մի կետում x = 0 . Հետևաբար, ֆունկցիայի ուղղահայաց ասիմպտոտների որոշումը համընկնում է երկրորդ տեսակի անդադար կետերի հայտնաբերման հետ:

Շեղ ասիմպտոտները նկարագրվում են հարթության վրա ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմամբ, այսինքնy = kx + բ . Սա նշանակում է, որ, ի տարբերություն ուղղահայաց ասիմպտոտների, այստեղ անհրաժեշտ է որոշել թվերըկ Եվ բ .

Այսպիսով, թող կորը = զ ( x ) ունի թեք ասիմպտոտ, այսինքն՝ ատx կորի կետերը մոտենում են ուղիղ գծին որքան ցանկանում եք = kx + բ (նկ. 4.1): Թող Մ ( x , y ) - մի կետ, որը գտնվում է կորի վրա: Դրա հեռավորությունը ասիմպտոտից կբնութագրվի ուղղահայաց երկարությամբ| MN | .

Ֆունկցիան ամբողջությամբ ուսումնասիրելու և դրա գրաֆիկը գծելու համար առաջարկվում է հետևյալ սխեման.
Ա) գտնել սահմանման տիրույթը, ընդմիջման կետերը. ուսումնասիրել ֆունկցիայի վարքագիծը ընդհատման կետերի մոտ (գտեք ֆունկցիայի սահմանները ձախ և աջ այս կետերում): Նշեք ուղղահայաց ասիմպտոտները:
Բ) որոշեք՝ ֆունկցիան զույգ է, թե կենտ և եզրակացրեք, որ կա սիմետրիա: Եթե ​​, ապա ֆունկցիան հավասար է և սիմետրիկ OY առանցքի նկատմամբ; երբ ֆունկցիան կենտ է, ծագման սիմետրիկ; իսկ եթե ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է։
Գ) գտնել ֆունկցիայի հատման կետերը OY և OX կոորդինատային առանցքների հետ (եթե հնարավոր է), որոշել ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերը: Ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերի սահմանները որոշվում են այն կետերով, որոնցում ֆունկցիան հավասար է զրոյի (գործառույթի զրոներ) կամ գոյություն չունի, և այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթի սահմանները։ Այն ընդմիջումներով, որտեղ ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է OX առանցքի վերևում, իսկ որտեղ՝ այս առանցքից ցածր:
Դ) գտնել ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը, որոշել դրա զրոները և հաստատուն նշանի միջակայքերը: Այն ընդմիջումներով, որտեղ ֆունկցիան մեծանում է և որտեղ այն նվազում է: Եզրակացություն արեք ծայրահեղությունների առկայության մասին (կետեր, որտեղ գոյություն ունի ֆունկցիա և ածանցյալ, և երբ այն անցնում է, երբ այն փոխում է նշանը: Եթե նշանը փոխվում է գումարածից մինուս, ապա այս պահին ֆունկցիան ունի առավելագույնը, իսկ եթե մինուսից պլյուս. , ապա նվազագույնը): Գտեք ֆունկցիայի արժեքները ծայրահեղ կետերում:
Դ) գտնել երկրորդ ածանցյալը, նրա զրոները և հաստատուն նշանի միջակայքերը: ընդմիջումներով, որտեղ< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Ե) գտնել թեք (հորիզոնական) ասիմպտոտներ, որոնց հավասարումները ունեն ձև ; Որտեղ
.
ժամը ֆունկցիայի գրաֆիկը կունենա երկու թեք ասիմպտոտ, և x-ի յուրաքանչյուր արժեքը և կարող է համապատասխանել նաև b-ի երկու արժեքին:
է) լրացուցիչ կետեր գտնել գրաֆիկը հստակեցնելու համար (անհրաժեշտության դեպքում) և գծապատկեր կառուցել:

Օրինակ 1 Ուսումնասիրեք ֆունկցիան և կառուցեք դրա գրաֆիկը: Լուծում. Ա) սահմանման տիրույթ ; Ֆունկցիան շարունակական է իր սահմանման տիրույթում. – ընդմիջման կետ, քանի որ ;. Այնուհետև՝ ուղղահայաց ասիմպտոտ:
Բ)
դրանք. y(x)-ը ընդհանուր ձևի ֆունկցիա է:
Գ) Գտե՛ք գրաֆիկի OY առանցքի հատման կետերը՝ սահմանել x=0; ապա y(0)=–1, այսինքն. ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է առանցքը (0;-1) կետում։ Ֆունկցիայի զրոները (գրաֆիկի հատման կետերը OX առանցքի հետ) բազմություն y=0; Հետո
.
Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտը փոքր է զրոյից, ինչը նշանակում է, որ զրոներ չկան: Ապա հաստատուն նշանի միջակայքերի սահմանը x=1 կետն է, որտեղ ֆունկցիան գոյություն չունի։
Յուրաքանչյուր ընդմիջումներում ֆունկցիայի նշանը որոշվում է մասնակի արժեքների մեթոդով.

Դիագրամից պարզ է դառնում, որ ինտերվալում ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է OX առանցքի տակ, իսկ միջակայքում՝ OX առանցքի վերևում։
Դ) Մենք պարզում ենք կրիտիկական կետերի առկայությունը:
.
Մենք գտնում ենք կրիտիկական կետեր (որտեղ կամ չկա) հավասարություններից և .

Ստանում ենք՝ x1=1, x2=0, x3=2: Եկեք ստեղծենք օժանդակ աղյուսակ

Աղյուսակ 1

(Առաջին տողը պարունակում է կրիտիկական կետեր և այն միջակայքերը, որոնցում այս կետերը բաժանվում են OX առանցքով, երկրորդ տողը ցույց է տալիս ածանցյալի արժեքները կրիտիկական կետերում և նշանները միջակայքերի վրա: Նշանները որոշվում են մասնակի արժեքով: մեթոդ: Երրորդ տողը ցույց է տալիս y(x) ֆունկցիայի արժեքները կրիտիկական կետերում և ցույց է տալիս ֆունկցիայի վարքագիծը՝ թվային առանցքի համապատասխան ընդմիջումներով աճող կամ նվազող: Բացի այդ, նվազագույնի կամ առավելագույնի առկայությունը. նշված է.
Դ) Գտե՛ք ֆունկցիայի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը.
; կառուցել աղյուսակ, ինչպես D կետում); Միայն երկրորդ տողում ենք նշում նշանները, իսկ երրորդում նշում ենք ուռուցիկության տեսակը։ Որովհետեւ ; ապա կրիտիկական կետը մեկ x=1 է:
աղյուսակ 2

x=1 կետը թեքության կետն է:
Ե) Գտեք թեք և հորիզոնական ասիմպտոտներ

Ապա y=x-ը թեք ասիմպտոտ է։
Է) Ստացված տվյալների հիման վրա կառուցում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկը

Օրինակ 2 Կատարեք ֆունկցիայի ամբողջական ուսումնասիրություն և կառուցեք դրա գրաֆիկը: Լուծում.

1). Գործառույթի շրջանակը.
Ակնհայտ է, որ այս ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային տողի վրա, բացառությամբ «» և «» կետերի, քանի որ Այս կետերում հայտարարը հավասար է զրոյի և, հետևաբար, ֆունկցիան գոյություն չունի, իսկ ուղիղները և ուղղահայաց ասիմպտոտներ են:

2). Գործառույթի վարքագիծը որպես արգումենտ հակված է դեպի անսահմանություն, ընդհատման կետերի առկայություն և թեք ասիմպտոտների առկայության ստուգում:
Եկեք նախ ստուգենք, թե ֆունկցիան ինչպես է իրեն պահում, երբ այն մոտենում է անսահմանությանը դեպի ձախ և աջ:

Այսպիսով, երբ ֆունկցիան ձգտում է 1-ի, այսինքն. - հորիզոնական ասիմպտոտ:
Անջատման կետերի շրջակայքում ֆունկցիայի վարքագիծը որոշվում է հետևյալ կերպ.


Նրանք. Ձախ կողմում ընդհատման կետերին մոտենալիս ֆունկցիան անսահմանորեն նվազում է, իսկ աջ կողմում՝ անսահմանորեն մեծանում:
Մենք որոշում ենք թեք ասիմպտոտի առկայությունը՝ հաշվի առնելով հավասարությունը.

Չկան թեք ասիմպտոտներ:

3). Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր.
Այստեղ անհրաժեշտ է դիտարկել երկու իրավիճակ՝ գտնել հատման կետը Ox առանցքի և Oy առանցքի հետ։ Ox առանցքի հետ հատման նշանը ֆունկցիայի զրոյական արժեքն է, այսինքն. անհրաժեշտ է լուծել հավասարումը.

Այս հավասարումը արմատներ չունի, հետևաբար, այս ֆունկցիայի գրաֆիկը Ox առանցքի հետ հատման կետեր չունի։
Oy առանցքի հետ հատման նշանը x = 0 արժեքն է։ Այս դեպքում
,
դրանք. – ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը Oy առանցքի հետ:

4).Ծայրահեղ կետերի և աճի և նվազման միջակայքերի որոշում:
Այս հարցը ուսումնասիրելու համար մենք սահմանում ենք առաջին ածանցյալը.
.
Առաջին ածանցյալի արժեքը հավասարեցնենք զրոյի:
.
Կոտորակը հավասար է զրոյի, երբ նրա համարիչը հավասար է զրոյի, այսինքն. .
Որոշենք ֆունկցիայի ավելացման և նվազման միջակայքերը։

Այսպիսով, ֆունկցիան ունի մեկ ծայրահեղ կետ և գոյություն չունի երկու կետերում:
Այսպիսով, ֆունկցիան մեծանում է ընդմիջումներով, և նվազում է ընդմիջումներով և .

5). Թեքման կետերը և ուռուցիկության և գոգավորության տարածքները:
Ֆունկցիայի վարքագծի այս բնութագիրը որոշվում է երկրորդ ածանցյալի միջոցով: Եկեք նախ որոշենք թեքման կետերի առկայությունը: Ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը հավասար է

Երբ և ֆունկցիան գոգավոր է;

երբ և ֆունկցիան ուռուցիկ է:

6). Ֆունկցիայի գրաֆիկական ձևավորում:
Օգտագործելով կետերում գտնված արժեքները, մենք սխեմատիկորեն կկառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը.

Օրինակ 3 Ուսումնասիրել գործառույթը և կառուցիր դրա գրաֆիկը:

Լուծում
Տրված ֆունկցիան ընդհանուր ձևի ոչ պարբերական ֆունկցիա է։ Դրա գրաֆիկն անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով, քանի որ .
Տվյալ ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը փոփոխականի բոլոր արժեքներն են, բացառությամբ և որոնց համար կոտորակի հայտարարը դառնում է զրո:
Հետևաբար կետերը ֆունկցիայի անջատման կետերն են։
Որովհետեւ ,

Որովհետեւ ,
, ապա կետը երկրորդ տեսակի ընդհատման կետ է։
Ուղիղ գծերը ֆունկցիայի գրաֆիկի ուղղահայաց ասիմպտոտներն են։
Թեք ասիմպտոտների հավասարումներ, որտեղ, .
ժամը ,
.
Այսպիսով, համար և ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի մեկ ասիմպտոտ:
Գտնենք ֆունկցիայի և ծայրահեղ կետերի ավելացման և նվազման միջակայքերը։
.
At և, հետևաբար, at և ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը մեծանում է:
Երբ, հետևաբար, երբ ֆունկցիան նվազում է:
համար գոյություն չունի, .
, հետևաբար, երբ Ֆունկցիայի գրաֆիկը գոգավոր է։
ժամը , հետևաբար, երբ Ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է։

, , կետերով անցնելիս փոխում է նշանը: Երբ , ֆունկցիան սահմանված չէ, հետևաբար ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի մեկ թեքման կետ։
Կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Ֆունկցիայի ուսումնասիրությունն իրականացվում է հստակ սխեմայով և պահանջում է, որ ուսանողը ունենա հիմնարար մաթեմատիկական հասկացությունների լավ իմացություն, ինչպիսիք են սահմանման և արժեքների տիրույթը, ֆունկցիայի շարունակականությունը, ասիմպտոտը, ծայրահեղ կետերը, հավասարությունը, պարբերականությունը և այլն: . Աշակերտը պետք է կարողանա ազատորեն տարբերել ֆունկցիաները և լուծել հավասարումներ, որոնք երբեմն կարող են լինել շատ բարդ:

Այսինքն՝ այս առաջադրանքը փորձարկում է գիտելիքների զգալի շերտ, որի ցանկացած բացը խոչընդոտ կդառնա ճիշտ լուծում ստանալու համար։ Հատկապես հաճախ դժվարություններ են առաջանում ֆունկցիաների գրաֆիկների կառուցման հետ կապված: Այս սխալը անմիջապես նկատելի է ուսուցչի համար և կարող է մեծապես վնասել ձեր գնահատականին, նույնիսկ եթե մնացած ամեն ինչ ճիշտ է արված: Այստեղ դուք կարող եք գտնել առցանց ֆունկցիոնալ հետազոտության խնդիրներօրինակներ ուսումնասիրել, ներբեռնել լուծումներ, պատվիրել առաջադրանքներ:

Ուսումնասիրեք ֆունկցիան և գծեք գրաֆիկ՝ օրինակներ և լուծումներ առցանց

Մենք ձեզ համար պատրաստել ենք բազմաթիվ պատրաստի ֆունկցիաների ուսումնասիրություններ՝ ինչպես վճարովի լուծումների գրքում, այնպես էլ անվճար՝ Ֆունկցիոնալ ուսումնասիրությունների օրինակներ բաժնում: Այս լուծված առաջադրանքների հիման վրա դուք կկարողանաք մանրամասն ծանոթանալ նմանատիպ առաջադրանքների կատարման մեթոդաբանությանը և կատարել ձեր հետազոտությունը անալոգիայի միջոցով:

Առաջարկում ենք ամբողջական հետազոտության և ամենատարածված տիպերի ֆունկցիաների գծագրման պատրաստի օրինակներ՝ բազմանդամներ, կոտորակային-ռացիոնալ, իռացիոնալ, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։ Յուրաքանչյուր լուծված խնդիր ուղեկցվում է պատրաստի գրաֆիկով՝ ընդգծված հիմնական կետերով, ասիմպտոտներով, մաքսիմումներով և մինիմումներով, լուծումն իրականացվում է ֆունկցիան ուսումնասիրելու ալգորիթմի միջոցով։

Ամեն դեպքում, լուծված օրինակները մեծապես կօգնեն ձեզ, քանի որ դրանք ներառում են գործառույթների ամենատարածված տեսակները: Մենք ձեզ առաջարկում ենք հարյուրավոր արդեն լուծված խնդիրներ, բայց, ինչպես գիտեք, աշխարհում կան անսահման թվով մաթեմատիկական ֆունկցիաներ, և ուսուցիչները հիանալի մասնագետներ են աղքատ ուսանողների համար ավելի ու ավելի բարդ առաջադրանքներ հորինելու համար: Այնպես որ, սիրելի ուսանողներ, որակյալ օգնությունը ձեզ չի տուժի։

Պատվերով ֆունկցիոնալ հետազոտության խնդիրների լուծում

Այս դեպքում մեր գործընկերները ձեզ կառաջարկեն մեկ այլ ծառայություն՝ ամբողջական գործառույթի առցանց հետազոտությունՊատվիրել. Առաջադրանքը կկատարվի ձեզ համար՝ նման խնդիրների լուծման ալգորիթմի բոլոր պահանջներին համապատասխան, ինչը մեծապես կուրախացնի ձեր ուսուցչին:

Մենք ձեզ համար կկատարենք ֆունկցիայի ամբողջական ուսումնասիրություն. մենք կգտնենք սահմանման տիրույթը և արժեքների տիրույթը, կուսումնասիրենք շարունակականությունն ու անդադարությունը, կսահմանենք հավասարություն, կստուգենք ձեր ֆունկցիան պարբերականության համար և կգտնենք հատման կետերը կոորդինատային առանցքներով: . Եվ, իհարկե, հետագայում օգտագործելով դիֆերենցիալ հաշվարկ. մենք կգտնենք ասիմպտոտներ, կհաշվենք ծայրահեղությունները, թեքման կետերը և ինքնին կկառուցենք գրաֆիկը:

Եզակի կետերի օգտագործմամբ ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցումը ներառում է բուն ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը՝ փաստարկի թույլատրելի արժեքների միջակայքի որոշում, ֆունկցիայի տատանումների միջակայքի որոշում, ֆունկցիայի զույգ կամ կենտ լինելը, ընդմիջման կետերի որոշում։ ֆունկցիայի, գտնելով ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերը, գտնելով ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտները։ Օգտագործելով առաջին ածանցյալը, կարող եք որոշել ֆունկցիայի ավելացման (նվազման) միջակայքերը և ծայրահեղ կետերի առկայությունը: Օգտագործելով երկրորդ ածանցյալը, կարող եք որոշել ֆունկցիայի գրաֆիկի ուռուցիկության (գոգավորության) միջակայքերը, ինչպես նաև թեքման կետերը։ Միևնույն ժամանակ, մենք հավատում ենք, որ եթե ինչ-որ պահի xoՇոշափում է կորի վերևում գտնվող ֆունկցիայի գրաֆիկին, ապա ֆունկցիայի գրաֆիկն այս կետում ունի ուռուցիկություն. եթե շոշափողը կորի տակ է, ապա ֆունկցիայի գրաֆիկն այս կետում ունի գոգավորություն:

y(x) = x³/(x²+3)

1. Ֆունկցիոնալ ուսումնասիրություն.

ա) Փաստարկի թույլատրելի արժեքների միջակայք. (-∞,+∞):

բ) ֆունկցիայի փոփոխության տարածքը՝ (-∞, +∞):

գ) Ֆունկցիան կենտ է, քանի որ y(-x) = -y(x),դրանք. ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։

դ) Ֆունկցիան շարունակական է, չկան ընդհատման կետեր, հետևաբար՝ չկան ուղղահայաց ասիմպտոտներ:

ե) Գտնել թեք ասիմպտոտի հավասարումը y(x) = k∙x + b, Որտեղ

k = /xԵվ բ =

Այս օրինակում ասիմպտոտի պարամետրերը համապատասխանաբար հավասար են.

k =, քանի որ համարիչի և հայտարարի ամենաբարձր աստիճանը նույնն է, հավասար է երեքի, և այս ամենաբարձր աստիճանների գործակիցների հարաբերակցությունը հավասար է մեկին։ Երբ x→ + ∞ սահմանաչափը հաշվարկելու համար օգտագործվել է երրորդ ուշագրավ սահմանաչափը:

b = = = 0, սահմանը x→-ում հաշվարկելիս + ∞ օգտագործել է երրորդ ուշագրավ սահմանը։ Այսպիսով, այս ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի թեք ասիմպտոտ y=x.

2.

y´= /(x²+3)² -ածանցյալը հաշվարկվում է գործակիցի տարբերակման բանաձևով:

ա) Որոշե՛ք ածանցյալի և անշարժության կետի զրոները՝ համապատասխանաբար ածանցյալի համարիչն ու հայտարարը հավասարեցնելով զրոյի. y = 0,Եթե x=0. 1-ին ածանցյալը չունի դադարման կետեր:

բ) Մենք որոշում ենք ածանցյալի հաստատուն նշանի միջակայքերը, այսինքն. ֆունկցիայի միապաղաղության միջակայքերը՝ ժամը -∞ածանցյալը դրական է, հետևաբար ֆունկցիան մեծանում է. ժամը 0≤x<+∞, ածանցյալը շարունակում է դրական մնալ, այսինքն. ֆունկցիան նույնպես մեծանում է։

3. 2-րդ ածանցյալով ֆունկցիայի ուսումնասիրություն:

Օգտագործելով քանորդները տարբերելու և հանրահաշվական փոխակերպումներ կատարելու բանաձևը, մենք ստանում ենք. y´´ = /(x²+3)³

ա) Որոշե՛ք 2-րդ ածանցյալի զրոները և հաստատուն նշանի միջակայքերը. y = 0,Եթե x=0Եվ x= + 3 . 2-րդ ածանցյալը չունի ընդհատման կետեր:

բ) Որոշենք 2-րդ ածանցյալի կայունության միջակայքերը, այսինքն. ֆունկցիայի գրաֆիկի ուռուցիկության կամ գոգավորության միջակայքերը: Ժամը -∞ և ժամը 0երկրորդ ածանցյալ y''>0, այսինքն. Ֆունկցիայի գրաֆիկը գոգավոր է։ ժամը - 3և ժամը 3երկրորդ ածանցյալ դու<0, դրանք. Ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է։ Քանի որ կետերում x=0Եվ x= + 3 երկրորդ ածանցյալը հավասար է զրոյի, և նրա նշանը փոխվում է, ապա այդ կետերը ֆունկցիայի գրաֆիկի թեքության կետերն են (նկ. 4):

Օրինակ. Ուսումնասիրեք ֆունկցիան և գծագրեք այն y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x

1.Ֆունկցիոնալ ուսումնասիրություն.

ա) Ընդունելի արժեքների միջակայք՝ (-∞,0)U(0,+∞).

բ) ֆունկցիայի փոփոխության տարածքը՝ (-∞,+∞):

դ) Այս ֆունկցիան ունի 2-րդ տեսակի անջատման կետ ժամը x=0.

ե) Ասիմպտոտների հայտնաբերում. Որովհետեւ Ֆունկցիան ունի 2-րդ տեսակի անդադար կետ ժամը x=0, ապա հետևաբար ֆունկցիան ունի ուղղահայաց ասիմպտոտ x=0.Այս ֆունկցիան չունի թեք կամ հորիզոնական ասիմպտոտներ:

2.1-ին ածանցյալով ֆունկցիայի ուսումնասիրություն.

Փոխակերպենք ֆունկցիան՝ կատարելով բոլոր հանրահաշվական գործողությունները։ Արդյունքում ֆունկցիայի ձևը զգալիորեն կպարզեցվի. y(x)=x²-x-1+(1/x):Շատ հեշտ է ածանցյալը վերցնել տերմինների գումարից, և մենք ստանում ենք. y´ = 2x – 1 –(1/x²):

ա) Որոշի՛ր 1-ին ածանցյալի զրոյական և անշարժության կետերը. 1-ին ածանցյալի արտահայտությունները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի և հավասարեցնելով համարիչը, իսկ հետո հայտարարը զրոյի, ստանում ենք. y = 0ժամը x=1, y' -գոյություն չունի, երբ x=0.

բ) Որոշենք ֆունկցիայի միապաղաղության միջակայքերը, այսինքն. ածանցյալի հաստատուն նշանի միջակայքերը: Ժամը -∞<x<0 Եվ 0առաջին ածանցյալ y'<0, հետեւաբար ֆունկցիան նվազում է։ 1≤-ում x<∞ առաջին ածանցյալ y'> 0,հետևաբար ֆունկցիան մեծանում է։ Կետում x=1առաջին ածանցյալը փոխում է նշանը մինուսից գումարած, հետևաբար, այս պահին ֆունկցիան ունի նվազագույնը: Նվազագույնը հարթ է, քանի որ ժամը x=1ածանցյալ y = 0.

3.

y´´= 2 + 2/x³. Օգտագործելով 2-րդ ածանցյալը` որոշում ենք ֆունկցիայի գրաֆիկի ուռուցիկության կամ գոգավորության միջակայքերը, ինչպես նաև, եթե կան, թեքման կետերը: Ներկայացնենք երկրորդ ածանցյալի արտահայտությունը ընդհանուր հայտարարի նկատմամբ, այնուհետև, հերթով համարիչն ու հայտարարը հավասարեցնելով զրոյի, ստանում ենք. y = 0ժամը x=-1, y''-գոյություն չունի, երբ x=0.

Ժամը -∞ և ժամը 00 – Ֆունկցիայի գրաֆիկը գոգավոր է։ -1≤-ում x<0 – ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է: Որովհետեւ կետում x=-1երկրորդ ածանցյալը փոխում է նշանը գումարածից մինուսի, այնուհետև կետը x=-1 –ֆունկցիայի գրաֆիկի թեքման կետը (նկ. 5):

բրինձ. 4 նկ. 5

Օրինակ. Ուսումնասիրեք ֆունկցիան և գծագրեք այն y(x) = ln (x²+4x+5)

1.Ֆունկցիոնալ ուսումնասիրություն.

ա) թույլատրելի արգումենտների արժեքների միջակայք. լոգարիթմական ֆունկցիան գոյություն ունի միայն զրոյից խիստ մեծ արգումենտների համար, հետևաբար. x²+4x+5>0 –այս պայմանը բավարարված է փաստարկի բոլոր արժեքների համար, այսինքն. Օ.Դ.Զ. – (-∞, +∞):

բ) ֆունկցիայի փոփոխության տարածքը՝ (0, +∞): Եկեք փոխակերպենք արտահայտությունը լոգարիթմի նշանի տակ և ֆունկցիան հավասարեցնենք զրոյի. ln((x+2)²+1) =0.Նրանք. ֆունկցիան գնում է զրոյի, երբ x=-2.Ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ կլինի ուղիղ գծի նկատմամբ x=-2.

գ) Ֆունկցիան շարունակական է և չունի ընդմիջման կետեր:

դ) Ֆունկցիայի գրաֆիկը չունի ասիմպտոտներ:

2.1-ին ածանցյալով ֆունկցիայի ուսումնասիրություն.

Օգտագործելով բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը՝ ստանում ենք. y´= (2x+4)/(x²+4x+5)

ա) Որոշենք ածանցյալի զրոյական և անշարժության կետերը. y = 0,ժամը x=-2.Առաջին ածանցյալը չունի ընդհատման կետեր:

բ) Որոշում ենք ֆունկցիայի միապաղաղության միջակայքերը, այսինքն. առաջին ածանցյալի հաստատուն նշանի միջակայքերը՝ ժամը -∞<x<-2 ածանցյալ y'<0, հետևաբար ֆունկցիան նվազում է, երբ -2ածանցյալ y'> 0,հետևաբար ֆունկցիան մեծանում է։ Քանի որ ածանցյալը կետում x=-2փոխում է նշանը մինուսից դեպի գումարած, ապա այս պահին ֆունկցիան ունի նվազագույն (հարթ):

3.Ֆունկցիայի ուսումնասիրություն 2-րդ ածանցյալի առումով.

Ներկայացնենք առաջին ածանցյալը հետևյալ ձևով. y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²): y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)²:

ա) Որոշենք երկրորդ ածանցյալի հաստատուն նշանի միջակայքերը. Քանի որ 2-րդ ածանցյալի հայտարարը միշտ ոչ բացասական է, ապա երկրորդ ածանցյալի նշանը որոշվում է միայն համարիչով։ y = 0ժամը x=-3Եվ x=-1.

ժամը -∞և ժամը -1երկրորդ ածանցյալ դու<0, հետևաբար, այս ինտերվալների վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է։ ժամը -3երկրորդ ածանցյալ y''>0,հետևաբար այս ինտերվալի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը գոգավոր է։ Միավորներ x=-3Եվ x=-1 –ֆունկցիայի գրաֆիկի թեքության կետերը, քանի որ այս կետերում փոխվում են երկրորդ ածանցյալի նշանները, իսկ երկրորդ ածանցյալն ինքնին դառնում է զրո (նկ. 6):

Օրինակ՝ ուսումնասիրել ֆունկցիան և գծել գրաֆիկ y(x) = x²/(x+2)²

1.Ֆունկցիոնալ ուսումնասիրություն.

ա) արգումենտի թույլատրելի արժեքների միջակայքը (-∞, -2)U(-2, +∞):

բ) ֆունկցիայի փոփոխության տարածք².

ա) Որոշենք երկրորդ ածանցյալի հաստատուն նշանի զրոները և միջակայքերը: Որովհետեւ Քանի որ կոտորակի հայտարարը միշտ դրական է, երկրորդ ածանցյալի նշանն ամբողջությամբ որոշվում է համարիչով։ Ժամը -∞ և ժամը -2երկրորդ ածանցյալ y''>0, հետևաբար, այս ինտերվալների վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը գոգավոր է. ժամը 1≤x<+∞ երկրորդ ածանցյալ դու<0 , հետևաբար, այս ինտերվալի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է։ Կետով անցնելիս x=1, երկրորդ ածանցյալի նշանը գումարածից փոխվում է մինուսի, այսինքն. այս կետը ֆունկցիայի գրաֆիկի թեքման կետն է: ժամը x→+∞ֆունկցիայի գրաֆիկը ասիմպտոտիկորեն մոտենում է իր հորիզոնական ասիմպտոտին y=1ստորև. ժամը x→ -∞, գրաֆիկը վերևից մոտենում է իր հորիզոնական ասիմպտոտին (նկ. 7):