Tuletisinstrumentide arvutamise reeglid. Funktsiooni tuletis 1 funktsiooni tuletise definitsioon

(\large\bf Funktsiooni tuletis)

Mõelge funktsioonile y=f(x), antud intervallil (a,b). Lase x- mis tahes fikseeritud punktide intervall (a,b), A Δx- suvaline arv, nii et väärtus x+Δx kuulub samuti intervalli (a,b). See number Δx nimetatakse argumendi juurdekasvuks.

Definitsioon. Funktsiooni juurdekasv y=f(x) punktis x, mis vastab argumendi kasvule Δx, helistame numbrile

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Meie usume seda Δx ≠ 0. Mõelge antud fikseeritud punktile x funktsiooni juurdekasvu suhe selles punktis argumendi vastavasse juurdekasvu Δx

Seda seost nimetatakse erinevussuhteks. Alates väärtusest x me loeme fikseerituks, on erinevuse seos argumendi funktsioon Δx. See funktsioon on määratletud kõigi argumentide väärtuste jaoks Δx, mis kuulub punkti mõnda piisavalt väikesesse naabruskonda ∆x=0, välja arvatud punkt ∆x=0. Seega on meil õigus kaaluda küsimust määratud funktsiooni piirangu olemasolu kohta ∆x → 0.

Definitsioon. Tuletisfunktsioon y=f(x) antud kindlas punktis x nimetatakse piiriks ∆x → 0 diferentsiaalsuhe, see tähendab

Eeldusel, et see piirang on olemas.

Määramine. y (x) või f'(x).

Tuletise geomeetriline tähendus: funktsiooni tuletis f(x) sel hetkel x võrdne telje vahelise nurga puutujaga Ox ja selle funktsiooni graafiku puutuja vastavas punktis:

f'(x 0) = \tgα.

Tuletise mehaaniline tähendus: Teekonna tuletis aja suhtes on võrdne punkti sirgjoonelise liikumise kiirusega:

Joone puutuja võrrand y=f(x) punktis M0 (x0,y0) võtab vormi

y-y 0 = f (x 0) (x-x 0).

Kõvera normaal mingil hetkel on risti puutujaga samas punktis. Kui f′(x 0)≠ 0, siis joone normaalvõrrand y=f(x) punktis M0 (x0,y0) on kirjutatud nii:

Funktsiooni diferentseeritavuse mõiste

Laske funktsioonil y=f(x) määratletud teatud intervalliga (a,b), x- mõni fikseeritud argumendi väärtus sellest intervallist, Δx- argumendi mis tahes juurdekasv, mis vastab argumendi väärtusele x+Δx ∈ (a, b).

Definitsioon. Funktsioon y=f(x) nimetatakse antud punktis diferentseeruvaks x kui juurdekasv Δy seda funktsiooni punktis x, mis vastab argumendi kasvule Δx, saab esitada kui

Δy = A Δx + αΔx,

Kus A on mingist arvust sõltumatu arv Δx, A α - argument funktsioon Δx, mis on lõpmatult väike juures ∆x → 0.

Kuna kahe lõpmata väikese funktsiooni korrutis αΔx on lõpmatult kõrgem järk kui Δx(lõpmata väikeste funktsioonide omadus 3), võime kirjutada:

∆y = A ∆x +o(∆x).

Teoreem. Funktsiooni jaoks y=f(x) oli antud punktis eristatav x, on vajalik ja piisav, et sellel on selles punktis lõplik tuletis. Kus A=f'(x), see on

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse tavaliselt diferentseerimiseks.

Teoreem. Kui funktsioon y=f(x) x, siis on see sellel hetkel pidev.

Kommenteeri. Funktsiooni järjepidevusest y=f(x) sel hetkel xÜldiselt ei järeldu sellest, et funktsioon on diferentseeritav f(x) sel hetkel. Näiteks funktsioon y=|x|- pidev mingis punktis x=0, kuid sellel pole tuletist.

Funktsioonidiferentsiaali mõiste

Definitsioon. funktsiooni diferentsiaal y=f(x) nimetatakse selle funktsiooni tuletise ja sõltumatu muutuja juurdekasvu korrutiseks x:

dy = y′ ∆x, df(x) = f′(x) ∆x.

Funktsiooni jaoks y=x saame dy=dx=x'Δx = 1 Δx= Δx, see on dx=Δx- sõltumatu muutuja diferentsiaal on võrdne selle muutuja juurdekasvuga.

Seega saame kirjutada

dy = y′dx, df(x) = f′(x)dx

Diferentsiaal dy ja juurdekasv Δy funktsioonid y=f(x) sel hetkel x, mõlemad vastavad argumendi samale juurdekasvule Δx ei ole üldiselt üksteisega võrdsed.

Diferentsiaali geomeetriline tähendus: funktsiooni diferentsiaal on võrdne antud funktsiooni graafiku puutuja ordinaadi juurdekasvuga argumendi suurendamisel Δx.

Eristamise reeglid

Teoreem. Kui iga funktsiooni u(x) Ja v(x) antud punktis eristatav x, siis nende funktsioonide summa, erinevus, korrutis ja jagatis (jagatis tingimusel, et v(x)≠ 0) on ka selles punktis eristatavad ja kehtivad järgmised valemid:

Mõelge keerukale funktsioonile y=f(φ(x))≡ F(x), Kus y=f(u), u=φ(x). Sel juhul u helistas vahepealne argument, x - sõltumatu muutuja.

Teoreem. Kui y=f(u) Ja u=φ(x) on nende argumentide diferentseeruvad funktsioonid, siis kompleksfunktsiooni tuletis y=f(φ(x)) eksisteerib ja võrdub selle funktsiooni korrutisega vaheargumendi ja vaheargumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes, st.

Kommenteeri. Kompleksfunktsiooni jaoks, mis on kolme funktsiooni superpositsioon y=F(f(φ(x))), on diferentseerimisreeglil vorm

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

kus funktsioneerib v=φ(x), u=f(v) Ja y=F(u) on nende argumentide eristatavad funktsioonid.

Teoreem. Laske funktsioonil y=f(x) suureneb (või väheneb) ja on punkti mõnes naabruses pidev x0. Lisaks olgu see funktsioon näidatud punktis diferentseeritav x0 ja selle tuletis sellel hetkel f′(x 0) ≠ 0. Siis mõnes vastava punkti naabruses y0=f(x0) pöördvõrdeline y=f(x) funktsiooni x=f -1 (y), ja näidatud pöördfunktsioon on vastavas punktis diferentseeritav y0=f(x0) ja selle tuletise jaoks siinkohal y valem kehtib

Tuletise tabel

Esimese diferentsiaali kuju muutumatus

Mõelge keeruka funktsiooni diferentsiaalile. Kui y=f(x), x=φ(t) on nende argumentide diferentseeruvad funktsioonid, siis funktsiooni tuletis y=f(φ(t)) väljendatakse valemiga

y′t = y′xx′t.

A-prioor dy=y't dt, siis saame

dy = y't dt = y'x x't dt = y'x (x't dt) = y'x dx,

dy = y′ x dx.

Niisiis, oleme tõestanud

Funktsiooni esimese diferentsiaali kuju muutumatuse omadus: nagu juhul, kui argument x on sõltumatu muutuja ja juhul, kui argument x on ise uue muutuja, diferentsiaali, diferentseeritav funktsioon dy funktsioonid y=f(x) on võrdne selle funktsiooni tuletisega, korrutatuna argumendi diferentsiaaliga dx.

Diferentsiaali rakendamine ligikaudsetes arvutustes

Oleme näidanud, et erinevus dy funktsioonid y=f(x), üldiselt ei võrdu juurdekasvuga Δy seda funktsiooni. Sellegipoolest kuni lõpmata väikese funktsioonini kõrgema järgu väiksusest kui Δx, ligikaudne võrdsus

∆y ≈ dy.

Suhet nimetatakse selle võrdsuse võrdsuse suhteliseks veaks. Sest ∆y-dy=o(∆x), siis muutub selle võrdsuse suhteline viga meelevaldselt väikeseks |Δх|.

Arvestades seda Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, saame f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δx või

f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

See ligikaudne võrdsus lubab veaga o(Δx) asendamise funktsioon f(x) väikeses punkti naabruses x(st väikeste väärtuste jaoks Δx) argumendi lineaarne funktsioon Δx seistes paremal küljel.

Kõrgemate tellimuste tuletisväärtpaberid

Definitsioon. Funktsiooni teist tuletis (või teist järku tuletis). y=f(x) nimetatakse selle esimese tuletise tuletiseks.

Funktsiooni teise tuletise tähistus y=f(x):

Teise tuletise mehaaniline tähendus. Kui funktsioon y=f(x) kirjeldab materiaalse punkti sirgjoonel liikumise seadust, siis teist tuletist f"(x) on võrdne liikuva punkti kiirendusega ajahetkel x.

Kolmas ja neljas tuletis on defineeritud sarnaselt.

Definitsioon. n-th tuletis (või tuletis n järjekord) funktsioone y=f(x) nimetatakse selle tuletiseks n-1-s tuletis:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Nimetused: y"", y IV, y V jne.

Leia avaldis eksponentsiaalfunktsiooni \(y = (e^x)\) tuletisele, kasutades tuletise definitsiooni.

Lahendus.

Esialgsed sammud on standardsed: kõigepealt kirjutage funktsiooni \(\Delta y\) juurdekasv, mis vastab argumendi \(\Delta x\) juurdekasvule: \[ (\Delta y = y\left((x +) \Delta x) \right) - y\left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] Tuletis arvutatakse juurdekasvu piiriks suhe: \[ (y"\left(x \right ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x))) = (\lim\limits_ (\Delta x \to 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right)))((\Delta x)).) \] funktsioon \(y = (e^x)\) lugejas ei sõltu Δ-st x ja selle saab piirimärgist välja võtta. Siis saab tuletis järgmise kuju: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ piirid_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Tähistage saadud piirväärtust \(L\) ja arvutage see eraldi. muide \((e^0) = 1\) ja seetõttu võime kirjutada \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x) )) - 1))(\Delta x))) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0)))( (\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] ehk see piirväärtus on eksponentsiaalfunktsiooni tuletise väärtus nullis. Järelikult \ Saime seose, milles soovitud tuletist väljendatakse funktsiooni \(y = (e^x)\) enda ja selle tuletise kaudu punktis \(x = 0\). Tõestame, et \ Selleks tuletage meelde, et arv \(e\) on defineeritud lõpmatu piirina kui \ ja astme \(\Delta x\) arv \(e\) on vastavalt võrdne kuni \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) .\] Järgmisena rakendame kuulsat valemit Newtoni binoom ja laiendage avaldist piirangu all binoomne jada: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] ). Euroopa ja Ameerika õpikutes on kombinatsioonide arv tähistatud kui \ Pöördume tagasi oma piiri juurde \(L\), mille saab nüüd kirjutada järgmiselt: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x))) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \) \infty ) \ vasakule[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] Meil ​​on mugav binoomrea kaks esimest liiget välja tuua: \(k = 0\) ja \(k = 1) \). Tulemuseks on \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^n) (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) \parem] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))(n )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right)))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x))) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ summa\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\) Delta x \kuni 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right)))^k)) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac(((\left((\Delta x) \right)) ^(k - 1))))(((n^k)))) ) \parem)) \parem \) . Seetõttu \(L = 1\). See tähendab, et eksponentsiaalfunktsiooni \(y = (e^x)\) tuletis on võrdne funktsiooni endaga: \

Erinevate geomeetria, mehaanika, füüsika ja teiste teadmiste harude probleemide lahendamisel tekkis vajadus kasutada antud funktsioonist sama analüütilist protsessi y=f(x) hankige uus funktsioon nimega tuletisfunktsioon(või lihtsalt tuletis) sellest funktsioonist f(x) ja on sümboliseeritud

Protsess, mille käigus antud funktsioon f(x) hankige uus funktsioon f"(x), kutsus eristamist ja see koosneb kolmest järgmisest etapist: 1) anname argumendi x juurdekasv  x ja määrake funktsiooni vastav juurdekasv  y = f(x+ x)-f(x); 2) moodustavad suhte

3) loendamine x alaline ja  x0, leiame
, mis on tähistatud f"(x), justkui rõhutades, et tulemuseks olev funktsioon sõltub ainult väärtusest x, mille juures jõuame piirini. Definitsioon: Tuletis y "=f" (x) antud funktsioon y=f(x) antud x nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks eeldusel, et argumendi juurdekasv kipub olema null, kui see piir muidugi on olemas, s.t. lõplik. Seega
, või

Pange tähele, et kui mõne väärtuse puhul x, näiteks millal x=a, seos
juures  x0 ei kipu lõplikule piirile, siis sel juhul ütleme, et funktsioon f(x) juures x=a(või punktis x=a) ei oma tuletist või ei ole punktis diferentseeritav x=a.

2. Tuletise geomeetriline tähendus.

Vaatleme funktsiooni y \u003d f (x) graafikut, mis on diferentseeruv punkti x 0 läheduses

f(x)

Vaatleme suvalist sirget, mis läbib funktsiooni graafiku punkti - punkti A (x 0, f (x 0)) ja lõikub graafikuga mingis punktis B (x; f (x)). Sellist sirget (AB) nimetatakse sekantiks. Alates ∆ABC: ​​AC = ∆x; eKr \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

Kuna AC || Ox, siis ALO = BAC = β (vastavalt paralleelselt). Kuid ALO on sekandi AB kaldenurk Ox-telje positiivse suuna suhtes. Seega tgβ = k on sirge AB kalle.

Nüüd vähendame ∆x, st. ∆x→ 0. Sel juhul läheneb punkt B vastavalt graafikule punktile A ja sekant AB pöörleb. Sekandi AB piirasend punktis ∆x → 0 on sirge (a), mida nimetatakse funktsiooni y \u003d f (x) graafiku puutujaks punktis A.

Kui läheme võrrandis tgβ =∆y/∆x piirini ∆х → 0, siis saame
või tg \u003d f "(x 0), kuna
-Ox-telje positiivse suuna puutuja kaldenurk
, tuletise määratluse järgi. Kuid tg \u003d k on puutuja kalle, mis tähendab, et k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Seega on tuletise geomeetriline tähendus järgmine:

Funktsiooni tuletis punktis x 0 võrdne abstsissiga x punktis joonistatud funktsiooni graafiku puutuja kaldega 0 .

3. Tuletise füüsiline tähendus.

Mõelge punkti liikumisele piki sirgjoont. Olgu antud punkti koordinaat igal ajahetkel x(t). On teada (füüsika kursusest), et keskmine kiirus teatud aja jooksul võrdub selle aja jooksul läbitud vahemaa suhtega aega, s.o.

Vav = ∆x/∆t. Liigume viimases võrdsuses oleva piirini ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - hetkekiirus ajahetkel t 0, ∆t → 0.

ja lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (tuletise definitsiooni järgi).

Niisiis, (t) = x"(t).

Tuletise füüsikaline tähendus on järgmine: funktsiooni tuletisy = f(x) punktisx 0 on funktsiooni muutumise kiirusf(x) punktisx 0

Tuletist kasutatakse füüsikas kiiruse leidmiseks teadaolevast koordinaatide funktsioonist ajast, kiirenduse leidmiseks teadaolevast kiiruse funktsioonist ajast.

 (t) \u003d x "(t) - kiirus,

a(f) = "(t) - kiirendus või

Kui on teada materiaalse punkti piki ringjoont liikumise seadus, siis on võimalik leida nurkkiirus ja nurkkiirendus pöörleva liikumise ajal:

φ = φ(t) - nurga muutus ajas,

ω \u003d φ "(t) - nurkkiirus,

ε = φ"(t) – nurkiirendus või ε = φ"(t).

Kui on teada ebahomogeense varda massi jaotusseadus, siis saab leida ebahomogeense varda joontiheduse:

m \u003d m (x) - mass,

x  , l - varda pikkus,

p \u003d m "(x) - lineaarne tihedus.

Tuletise abil lahendatakse ülesandeid elastsuse ja harmooniliste vibratsioonide teooriast. Jah, vastavalt Hooke'i seadusele

F = -kx, x – muutuv koordinaat, k – vedru elastsustegur. Pannes ω 2 \u003d k / m, saame vedrupendli diferentsiaalvõrrandi x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

kus ω = √k/√m on võnkesagedus (l/c), k on vedru kiirus (H/m).

Võrrandit kujul y "+ ω 2 y \u003d 0 nimetatakse harmooniliste võnkumiste võrrandiks (mehaaniline, elektriline, elektromagnetiline). Selliste võrrandite lahendus on funktsioon

y = Asin(ωt + φ 0) või y = Acos(ωt + φ 0), kus

A - võnke amplituud, ω - tsükliline sagedus,

φ 0 - algfaas.

Matemaatikas on täiesti võimatu lahendada füüsikalisi ülesandeid või näiteid, kui ei teata tuletist ja selle arvutamise meetodeid. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid. Otsustasime tänase artikli pühendada sellele põhiteemale. Mis on tuletis, mis on selle füüsikaline ja geomeetriline tähendus, kuidas arvutada funktsiooni tuletist? Kõik need küsimused saab ühendada üheks: kuidas tuletist aru saada?

Tuletise geomeetriline ja füüsikaline tähendus

Olgu funktsioon f(x) , antud teatud intervalliga (a,b) . Sellesse intervalli kuuluvad punktid x ja x0. Kui x muutub, muutub funktsioon ise. Argumendi muutus – selle väärtuste erinevus x-x0 . See erinevus on kirjutatud kui delta x ja seda nimetatakse argumendi juurdekasvuks. Funktsiooni muutus või juurdekasv on funktsiooni väärtuste erinevus kahes punktis. Tuletismääratlus:

Funktsiooni tuletis punktis on antud punktis oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui viimane kipub olema null.

Muidu võib selle kirjutada nii:

Mis mõtet on sellist piiri leida? Aga milline:

funktsiooni tuletis punktis on võrdne OX-telje vahelise nurga puutujaga ja funktsiooni graafiku puutujaga antud punktis.

Tuletise füüsiline tähendus: tee aja tuletis on võrdne sirgjoonelise liikumise kiirusega.

Tõepoolest, kooliajast saati teavad kõik, et kiirus on eratee. x=f(t) ja aeg t . Keskmine kiirus teatud aja jooksul:

Et teada saada liikumiskiirust korraga t0 peate arvutama piirangu:

Esimene reegel: võtke konstant välja

Konstandi saab tuletise märgist välja võtta. Pealegi tuleb seda teha. Matemaatika näidete lahendamisel võtke reeglina - kui saate väljendit lihtsustada, siis kindlasti lihtsustage .

Näide. Arvutame tuletise:

Teine reegel: funktsioonide summa tuletis

Kahe funktsiooni summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste summaga. Sama kehtib ka funktsioonide erinevuse tuletise kohta.

Me ei tõesta seda teoreemi, vaid kaalume pigem praktilist näidet.

Leia funktsiooni tuletis:

Kolmas reegel: funktsioonide korrutise tuletis

Kahe diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis arvutatakse järgmise valemiga:

Näide: leidke funktsiooni tuletis:

Lahendus:

Siin on oluline öelda keerukate funktsioonide tuletiste arvutamise kohta. Kompleksfunktsiooni tuletis võrdub selle funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi suhtes vaheargumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Ülaltoodud näites kohtame väljendit:

Sel juhul on vahepealne argument 8x viienda astmeni. Sellise avaldise tuletise arvutamiseks käsitleme esmalt välisfunktsiooni tuletist vaheargumendi suhtes ja seejärel korrutame vaheargumendi enda tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Neljas reegel: kahe funktsiooni jagatise tuletis

Valem kahe funktsiooni jagatise tuletise määramiseks:

Püüdsime nullist rääkida mannekeenide derivaatidest. See teema pole nii lihtne, kui tundub, seega hoiatage: näidetes on sageli lõkse, seega olge tuletisinstrumentide arvutamisel ettevaatlik.

Kõigi seda ja muid teemasid puudutavate küsimustega võite pöörduda üliõpilasteeninduse poole. Lühikese ajaga aitame lahendada kõige keerulisema kontrolli ja tegeleda ülesannetega, isegi kui te pole varem tuletisinstrumentide arvutamisega tegelenud.

Seda on väga lihtne meeles pidada.

Noh, me ei lähe kaugele, kaalume kohe pöördfunktsiooni. Mis on eksponentsiaalfunktsiooni pöördväärtus? Logaritm:

Meie puhul on aluseks number:

Sellist logaritmi (st baasiga logaritmi) nimetatakse "loomulikuks" ja me kasutame selle jaoks spetsiaalset tähistust: kirjutame selle asemel.

Millega on võrdne? Muidugi, .

Naturaallogaritmi tuletis on samuti väga lihtne:

Näited:

1. Leia funktsiooni tuletis.
2. Mis on funktsiooni tuletis?

Vastused: Eksponent ja naturaallogaritm on funktsioonid, mis on tuletise poolest ainulaadselt lihtsad. Mis tahes muu alusega eksponentsiaalsetel ja logaritmilistel funktsioonidel on erinev tuletis, mida analüüsime hiljem, kui oleme läbinud diferentseerimisreeglid.

Eristamise reeglid

Mis reeglid? Jälle uus termin?!...

Eristumine on tuletise leidmise protsess.

Ainult ja kõike. Mis on selle protsessi teine ​​sõna? Mitte proizvodnovanie... Matemaatika diferentsiaali nimetatakse funktsiooni väga juurdekasvuks at. See termin pärineb ladina sõnast differentia – erinevus. Siin.

Kõigi nende reeglite tuletamisel kasutame kahte funktsiooni, näiteks ja. Nende juurdekasvu jaoks vajame ka valemeid:

Kokku on 5 reeglit.

Konstant võetakse tuletise märgist välja.

Kui - mingi konstantne arv (konstant), siis.

Ilmselt töötab see reegel ka erinevuse jaoks: .

Tõestame seda. Las või lihtsam.

Näited.

Leia funktsioonide tuletised:

1. punktis;
2. punktis;
3. punktis;
4. punktis.

Lahendused:

1. (tuletis on kõigis punktides sama, kuna see on lineaarne funktsioon, mäletate?);

Toote tuletis

Siin on kõik sarnane: tutvustame uut funktsiooni ja leiame selle juurdekasvu:

Tuletis:

Näited:

1. Leia funktsioonide ja;
2. Leia funktsiooni tuletis punktis.

Lahendused:

Eksponentfunktsiooni tuletis

Nüüd piisab teie teadmistest, et õppida leidma mis tahes eksponentsiaalfunktsiooni tuletist, mitte ainult eksponendit (kas olete juba unustanud, mis see on?).

Kus on siis mingi number.

Me juba teame funktsiooni tuletist, seega proovime oma funktsiooni viia uuele alusele:

Selleks kasutame lihtsat reeglit: . Seejärel:

Noh, see töötas. Proovige nüüd leida tuletis ja ärge unustage, et see funktsioon on keeruline.

Juhtus?

Siin kontrollige ennast:

Valem osutus väga sarnaseks eksponendi tuletisele: nii nagu see oli, see jääb, ilmus ainult tegur, mis on vaid arv, kuid mitte muutuja.

Näited:
Leia funktsioonide tuletised:

Vastused:

See on lihtsalt arv, mida ei saa arvutada ilma kalkulaatorita, see tähendab, et seda ei saa kirjutada lihtsamal kujul. Seetõttu jäetakse see vastuses sellisele kujule.

Pange tähele, et siin on kahe funktsiooni jagatis, seega rakendame sobivat diferentseerimisreeglit:

Selles näites on kahe funktsiooni korrutis:

Logaritmilise funktsiooni tuletis

Siin on see sarnane: te juba teate naturaallogaritmi tuletist:

Seetõttu, et leida suvaline logaritm erineva alusega, näiteks:

Peame selle logaritmi baasi viima. Kuidas muuta logaritmi alust? Loodan, et mäletate seda valemit:

Alles nüüd kirjutame selle asemel:

Nimetajaks osutus lihtsalt konstant (konstantne arv, ilma muutujata). Tuletis on väga lihtne:

Eksponent- ja logaritmifunktsioonide tuletisi ei leia eksamil peaaegu kunagi, kuid nende tundmine ei ole üleliigne.

Kompleksfunktsiooni tuletis.

Mis on "keeruline funktsioon"? Ei, see ei ole logaritm ega kaartangens. Nendest funktsioonidest võib olla raske aru saada (kuigi kui logaritm tundub sulle keeruline, lugege teemat "Logaritmid" ja kõik saab korda), kuid matemaatikas ei tähenda sõna "keeruline" "keeruline".

Kujutage ette väikest konveierit: kaks inimest istuvad ja teevad mingeid toiminguid mõne esemega. Näiteks esimene mähib šokolaaditahvli ümbrisesse ja teine ​​seob selle paelaga. Selgub selline komposiitobjekt: lindiga mähitud ja seotud šokolaaditahvel. Šokolaaditahvli söömiseks peate tegema vastupidiseid toiminguid vastupidises järjekorras.

Loome sarnase matemaatilise konveieri: esmalt leiame arvu koosinuse ja seejärel teeme saadud arvu ruudu. Niisiis, nad annavad meile numbri (šokolaad), ma leian selle koosinuse (ümbris) ja siis sina ruudud, mis ma sain (seo see lindiga). Mis juhtus? Funktsioon. See on näide keerulisest funktsioonist: kui selle väärtuse leidmiseks teeme esimese toimingu otse muutujaga ja seejärel teise teise toimingu sellega, mis juhtus esimese tulemusel.

Teisisõnu, Kompleksfunktsioon on funktsioon, mille argument on teine ​​funktsioon: .

Meie näiteks .

Võime teha samu toiminguid vastupidises järjekorras: kõigepealt ruudud ja siis otsin saadud arvu koosinust:. Lihtne on arvata, et tulemus on peaaegu alati erinev. Keeruliste funktsioonide oluline tunnus: toimingute järjekorra muutumisel muutub funktsioon.

Teine näide: (sama). .

Viimane toiming, mida teeme, nimetatakse "väline" funktsioon ja vastavalt esimesena sooritatud toiming "sisemine" funktsioon(need on mitteametlikud nimed, kasutan neid ainult materjali lihtsas keeles selgitamiseks).

Proovige ise kindlaks teha, milline funktsioon on väline ja milline sisemine:

Vastused: Sisemiste ja välimiste funktsioonide eraldamine on väga sarnane muutujate muutumisele: näiteks funktsioonis

1. Milliseid meetmeid me kõigepealt võtame? Kõigepealt arvutame siinuse ja alles siis tõstame selle kuubiks. Seega on see sisemine, mitte väline funktsioon.
   Ja algne funktsioon on nende koostis: .
2. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
3. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
4. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
5. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .

muudame muutujaid ja saame funktsiooni.

Noh, nüüd ekstraheerime oma šokolaadi - otsige tuletist. Protseduur on alati vastupidine: kõigepealt otsime välisfunktsiooni tuletist, seejärel korrutame tulemuse sisemise funktsiooni tuletisega. Algse näite puhul näeb see välja järgmine:

Veel üks näide:

Niisiis, sõnastame lõpuks ametliku reegli:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

See tundub olevat lihtne, eks?

Kontrollime näidetega:

Lahendused:

1) Sisemine: ;

Väline: ;

2) Sisemine: ;

(Ära proovi nüüdseks vähendada! Koosinuse alt ei võeta midagi välja, mäletad?)

3) Sisemine: ;

Väline: ;

Kohe on selge, et siin on kolmetasandiline kompleksfunktsioon: see on ju juba omaette keeruline funktsioon ja me võtame sealt ikkagi juure välja ehk sooritame kolmanda toimingu (paneme šokolaadi ümbrisesse ja lindiga portfellis). Kuid karta pole põhjust: igatahes “pakkime” selle funktsiooni lahti samas järjekorras nagu tavaliselt: lõpust.

See tähendab, et kõigepealt eristame juurt, seejärel koosinust ja alles seejärel sulgudes olevat avaldist. Ja siis me korrutame selle kõik.

Sellistel juhtudel on mugav toiminguid nummerdada. See tähendab, kujutame ette, mida me teame. Millises järjekorras teeme selle avaldise väärtuse arvutamiseks toiminguid? Vaatame näidet:

Mida hiljem toiming sooritatakse, seda "välisem" on vastav funktsioon. Toimingute jada - nagu varem:

Siin on pesitsus üldiselt 4-tasandiline. Teeme kindlaks tegevussuuna.

1. Radikaalne väljendus. .

2. Juur. .

3. Sinus. .

4. Ruut. .

5. Pane kõik kokku:

DERIVAAT. LÜHIDALT PEAMISEST

Funktsiooni tuletis- funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe argumendi lõpmata väikese juurdekasvuga:

Põhilised tuletised:

Eristamise reeglid:

Konstant võetakse tuletise märgist välja:

Summa tuletis:

Tuletistoode:

Jagatise tuletis:

Kompleksfunktsiooni tuletis:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

1. Defineerime "sisemise" funktsiooni, leiame selle tuletise.
2. Defineerime "välise" funktsiooni, leiame selle tuletise.
3. Korrutame esimese ja teise punkti tulemused.