(\large\bf Funktionsableitung)
Betrachten Sie die Funktion y=f(x), gegeben auf dem Intervall (a,b). Lassen X- beliebiges Festkommaintervall (a,b), A Δx- eine beliebige Zahl, so dass der Wert x+Δx gehört ebenfalls zum Intervall (a,b). Diese Nummer Δx heißt Argumentinkrement.
Definition. Funktionsinkrement y=f(x) am Punkt X, entsprechend der Erhöhung des Arguments Δx, lass uns die Nummer anrufen
Δy = f(x+Δx) - f(x).
wir glauben das Δx ≠ 0. Betrachten Sie an einem bestimmten festen Punkt X das Verhältnis des Inkrements der Funktion an diesem Punkt zum entsprechenden Inkrement des Arguments Δx
Diese Beziehung wird Differenzbeziehung genannt. Da der Wert X wir betrachten es als fest, die Differenzrelation ist eine Funktion des Arguments Δx. Diese Funktion ist für alle Argumentwerte definiert Δx, zu einer ausreichend kleinen Umgebung des Punktes gehörend ∆x=0, bis auf den Punkt ∆x=0. Daher haben wir das Recht, die Frage nach der Existenz einer Grenze der angegebenen Funktion für zu prüfen ∆x → 0.
Definition. Ableitungsfunktion y=f(x) an einem bestimmten festen Punkt X heißt Grenzwert ∆x → 0 Differentialbeziehung, das heißt
Vorausgesetzt, dass diese Grenze besteht.
Bezeichnung. y (x) oder f′(x).
Die geometrische Bedeutung der Ableitung: Ableitung der Funktion f(x) an dieser Stelle X gleich dem Tangens des Winkels zwischen den Achsen Ochse und eine Tangente an den Graphen dieser Funktion am entsprechenden Punkt:
f′(x 0) = \tgα.
Die mechanische Bedeutung der Ableitung: Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung des Punktes:
Linientangentengleichung y=f(x) am Punkt M0 (x0,y0) nimmt die Form an
y-y 0 = f (x 0) (x-x 0).
Die Normale der Kurve an einem bestimmten Punkt ist die Senkrechte zur Tangente am selben Punkt. Wenn f′(x 0)≠ 0, dann die Gleichung der Normalen zur Geraden y=f(x) am Punkt M0 (x0,y0) ist so geschrieben:
Das Konzept der Differenzierbarkeit einer Funktion
Lassen Sie die Funktion y=f(x) in einem bestimmten Intervall definiert (a,b), X- ein fester Wert des Arguments aus diesem Intervall, Δx– jede Erhöhung des Arguments, sodass der Wert des Arguments x+Δx ∈ (a, b).
Definition. Funktion y=f(x) heißt an einem gegebenen Punkt differenzierbar X wenn Inkrement Δy diese Funktion an der Stelle X, entsprechend der Erhöhung des Arguments Δx, kann dargestellt werden als
Δy = A Δx +αΔx,
Wo A ist eine Zahl unabhängig von Δx, A α - Argumentfunktion Δx, was unendlich klein ist ∆x → 0.
Da das Produkt zweier infinitesimaler Funktionen αΔx ist eine unendlich kleine höhere Ordnung als Δx(Eigenschaft 3 von Infinitesimalfunktionen) können wir schreiben:
∆y = A ∆x +o(∆x).
Satz. Damit die Funktion gewährleistet ist y=f(x) war zu einem bestimmten Zeitpunkt differenzierbar X, ist es notwendig und ausreichend, dass es an dieser Stelle eine endliche Ableitung hat. Dabei A=f′(x), also
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
Die Operation, die Ableitung zu finden, wird üblicherweise Differenzierung genannt.
Satz. Wenn die Funktion y=f(x) X, dann ist es an diesem Punkt stetig.
Kommentar. Aus der Stetigkeit der Funktion y=f(x) an dieser Stelle X Im Allgemeinen folgt daraus nicht, dass die Funktion differenzierbar ist f(x) an dieser Stelle. Zum Beispiel die Funktion y=|x|- kontinuierlich an einem Punkt x=0, hat aber keine Ableitung.
Das Konzept eines Funktionsdifferentials
Definition. Funktionsdifferential y=f(x) heißt das Produkt der Ableitung dieser Funktion und dem Inkrement der unabhängigen Variablen X:
dy = y′ ∆x, df(x) = f′(x) ∆x.
Für die Funktion y=x wir bekommen dy=dx=x'Δx = 1 Δx= Δx, also dx=Δx- Das Differential einer unabhängigen Variablen ist gleich dem Inkrement dieser Variablen.
So können wir schreiben
dy = y′dx, df(x) = f′(x)dx
Differential dy und erhöhen Δy Funktionen y=f(x) an dieser Stelle X, beide entsprechen demselben Inkrement des Arguments Δx sind im Allgemeinen nicht gleich.
Die geometrische Bedeutung des Differentials: Das Differential einer Funktion ist gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente an den Graphen der gegebenen Funktion, wenn das Argument inkrementiert wird Δx.
Differenzierungsregeln
Satz. Wenn jede der Funktionen u(x) Und v(x) an einem bestimmten Punkt differenzierbar X, dann die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient dieser Funktionen (Quotient vorausgesetzt). v(x)≠ 0) sind an dieser Stelle ebenfalls differenzierbar und es gelten folgende Formeln:
Betrachten Sie eine komplexe Funktion y=f(φ(x))≡ F(x), Wo y=f(u), u=φ(x). In diesem Fall u genannt Zwischenargument, X - unabhängige Variable.
Satz. Wenn y=f(u) Und u=φ(x) sind differenzierbare Funktionen ihrer Argumente, dann die Ableitung der komplexen Funktion y=f(φ(x)) existiert und ist gleich dem Produkt dieser Funktion in Bezug auf das Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments in Bezug auf die unabhängige Variable, d. h.
Kommentar. Für eine komplexe Funktion, die eine Überlagerung von drei Funktionen ist y=F(f(φ(x))), die Differenzierungsregel hat die Form
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
wo funktioniert v=φ(x), u=f(v) Und y=F(u) sind differenzierbare Funktionen ihrer Argumente.
Satz. Lassen Sie die Funktion y=f(x) nimmt in einer bestimmten Umgebung des Punktes zu (oder ab) und ist kontinuierlich x0. Diese Funktion sei außerdem an der angegebenen Stelle differenzierbar x0 und seine Ableitung an dieser Stelle f′(x 0) ≠ 0. Dann in irgendeiner Umgebung des entsprechenden Punktes y0=f(x0) das Gegenteil für y=f(x) Funktion x=f -1 (y), und die angegebene Umkehrfunktion ist am entsprechenden Punkt differenzierbar y0=f(x0) und für seine Ableitung an dieser Stelle j Die Formel ist gültig
Ableitungstabelle
Invarianz der Form des ersten Differentials
Betrachten Sie das Differential einer komplexen Funktion. Wenn y=f(x), x=φ(t) sind differenzierbare Funktionen ihrer Argumente, dann die Ableitung der Funktion y=f(φ(t)) wird durch die Formel ausgedrückt
y′ t = y′ x x′ t.
A-Priorat dy=y't dt, dann bekommen wir
dy = y′ t dt = y′ x x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
Wir haben es also bewiesen
Eigenschaft der Invarianz der Form des ersten Differentials einer Funktion: wie im Fall, wenn das Argument X ist eine unabhängige Variable, und in dem Fall, wenn das Argument X ist selbst eine differenzierbare Funktion der neuen Variablen, des Differentials dy Funktionen y=f(x) ist gleich der Ableitung dieser Funktion, multipliziert mit dem Differential des Arguments dx.
Anwendung des Differentials in Näherungsberechnungen
Wir haben gezeigt, dass das Differential dy Funktionen y=f(x) ist im Allgemeinen nicht gleich dem Inkrement Δy diese Funktion. Dennoch bis hin zu einer unendlich kleinen Funktion höherer Kleinheitsordnung als Δx, die ungefähre Gleichheit
∆y ≈ dy.
Das Verhältnis wird als relativer Fehler der Gleichheit dieser Gleichheit bezeichnet. Als ∆y-dy=o(∆x), dann wird der relative Fehler dieser Gleichheit beliebig klein als |Δх|.
Angesichts dessen Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, wir bekommen f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δx oder
f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
Diese ungefähre Gleichheit erlaubt mit einem Fehler o(Δx) Funktion ersetzen f(x) in einer kleinen Nachbarschaft eines Punktes X(also für kleine Werte Δx) eine lineare Funktion des Arguments Δx steht auf der rechten Seite.
Derivate höherer Ordnung
Definition. Die zweite Ableitung (oder Ableitung zweiter Ordnung) der Funktion y=f(x) heißt die Ableitung seiner ersten Ableitung.
Notation für die zweite Ableitung einer Funktion y=f(x):
Mechanische Bedeutung der zweiten Ableitung. Wenn die Funktion y=f(x) beschreibt das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes in einer geraden Linie, dann die zweite Ableitung f″(x) ist gleich der Beschleunigung des sich bewegenden Punktes zu diesem Zeitpunkt X.
Die dritte und vierte Ableitung sind ähnlich definiert.
Definition. N-te Ableitung (oder Ableitung N Ordnung) Funktionen y=f(x) nennt man die Ableitung davon n-1-te Ableitung:
y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
Bezeichnungen: y″′, und IV, y V usw.
Finden Sie einen Ausdruck für die Ableitung der Exponentialfunktion \(y = (e^x)\), indem Sie die Definition der Ableitung verwenden.
Lösung.
Die ersten Schritte sind Standard: Schreiben Sie zunächst das Inkrement der Funktion \(\Delta y\), das dem Inkrement des Arguments \(\Delta x\) entspricht: \[ (\Delta y = y\left((x + \Delta x) \right) - y\left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] Die Ableitung wird als Grenze des Inkrements berechnet Verhältnis: \[ (y"\left(x \right ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_ (\Delta x \to 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right)))((\Delta x)).) \] Die Funktion \(y = (e^x)\) im Zähler hängt nicht von Δ ab X und es kann aus dem Grenzzeichen herausgenommen werden. Dann nimmt die Ableitung die folgende Form an: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Bezeichnen Sie den resultierenden Grenzwert mit \(L\) und berechnen Sie ihn getrennt. Übrigens ist \((e^0) = 1\) und daher können wir schreiben: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x )) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0)))( (\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] das heißt, dieser Grenzwert ist der Wert der Ableitung der Exponentialfunktion bei Null. Folglich haben wir eine Beziehung erhalten, in der die gewünschte Ableitung durch die Funktion \(y = (e^x)\) selbst und ihre Ableitung am Punkt \(x = 0\) ausgedrückt wird. Beweisen wir, dass \ Um dies zu tun, erinnern wir uns daran, dass die Zahl \(e\) als unendliche Grenze als \ definiert ist und die Zahl \(e\) hoch \(\Delta x\) jeweils gleich sein wird zu \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) .\] Als nächstes wenden wir die berühmte Formel an Newtons Binomial und erweitern Sie den Ausdruck unter dem Limit-Anmelden Binomialreihe: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] ). In europäischen und amerikanischen Lehrbüchern wird die Anzahl der Kombinationen als \ Kehren wir zu unserem Grenzwert \(L\) bezeichnet, der nun wie folgt geschrieben werden kann: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \ bis \infty ) \ left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] Es ist für uns praktisch, die ersten beiden Terme in der Binomialreihe herauszugreifen: für \(k = 0\) und \(k = 1 \). Das Ergebnis ist \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))(n )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\left((\Delta x) \right)) ^(k - 1))))(((n^k)))) ) \right)) \right].) \] Offensichtlich tendiert die Summe der Reihe gegen Null, da \(\Delta x \to 0 \) . Daher ist \(L = 1\). Das bedeutet, dass die Ableitung der Exponentialfunktion \(y = (e^x)\) gleich der Funktion selbst ist: \
Bei der Lösung verschiedener Probleme der Geometrie, Mechanik, Physik und anderer Wissensgebiete wurde es notwendig, denselben analytischen Prozess ausgehend von einer bestimmten Funktion zu verwenden y=f(x) Holen Sie sich eine neue Funktion namens Ableitungsfunktion(oder einfach Ableitung) dieser Funktion f(x) und werden symbolisiert
Der Prozess, durch den eine bestimmte Funktion ausgeführt wird f(x) eine neue Funktion erhalten f"(x), genannt Differenzierung und es besteht aus den folgenden drei Schritten: 1) Wir geben das Argument an X Zuwachs
X und bestimmen Sie das entsprechende Inkrement der Funktion
y = f(x+
x)-f(x); 2) Stellen Sie die Beziehung her 
3) Zählen X dauerhaft und
X0, finden wir 
, was mit bezeichnet wird f"(x), als würde betont, dass die resultierende Funktion nur vom Wert abhängt X, bei dem wir an die Grenze gelangen. Definition:
Ableitung y „=f“ (x)
gegebene Funktion y=f(x)
gegeben x heißt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments, vorausgesetzt, dass das Inkrement des Arguments gegen Null tendiert, wenn diese Grenze natürlich existiert, d.h. endlich. Auf diese Weise, 
, oder 
Beachten Sie, dass es sich um einen bestimmten Wert handelt X, zum Beispiel wann x=a, Beziehung 
bei
X0 tendiert nicht zu einem endlichen Grenzwert, dann sagen wir in diesem Fall, dass die Funktion f(x) bei x=a(oder an der Stelle x=a) hat keine Ableitung oder ist an einem Punkt nicht differenzierbar x=a.
2. Die geometrische Bedeutung der Ableitung.
Betrachten Sie den Graphen der Funktion y \u003d f (x), differenzierbar in der Nähe des Punktes x 0
f(x)
Betrachten wir eine beliebige gerade Linie, die durch den Punkt des Funktionsgraphen verläuft – den Punkt A (x 0, f (x 0)) – und den Graphen an einem Punkt B (x; f (x)) schneidet. Eine solche Gerade (AB) wird Sekante genannt. Aus ∆ABC: AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .
Seit AC || Ox, dann ALO = BAC = β (wie parallel entsprechend). Aber ALO ist der Neigungswinkel der Sekante AB zur positiven Richtung der Ox-Achse. Daher ist tgβ = k die Steigung der Geraden AB.
Jetzt werden wir ∆x verringern, d.h. ∆x→ 0. In diesem Fall nähert sich Punkt B gemäß dem Diagramm Punkt A und die Sekante AB dreht sich. Die Grenzposition der Sekante AB bei ∆x → 0 ist die Gerade (a), die Tangente an den Graphen der Funktion y \u003d f (x) am Punkt A genannt wird.
Wenn wir in der Gleichung tgβ =∆y/∆x zum Grenzwert als ∆х → 0 übergehen, dann erhalten wir 
oder tg \u003d f "(x 0), da 
-Neigungswinkel der Tangente zur positiven Richtung der Ox-Achse 
, per Definition einer Ableitung. Aber tg \u003d k ist die Steigung der Tangente, was bedeutet, dass k \u003d tg \u003d f "(x 0).
Die geometrische Bedeutung der Ableitung ist also wie folgt:
Ableitung einer Funktion an einem Punkt x 0 gleich der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion, die an dem Punkt mit der Abszisse x gezeichnet wird 0 .
3. Physikalische Bedeutung der Ableitung.
Betrachten Sie die Bewegung eines Punktes entlang einer geraden Linie. Die Koordinate eines Punktes sei zu jedem Zeitpunkt x(t) gegeben. Aus der Physik ist bekannt, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum gleich dem Verhältnis der in diesem Zeitraum zurückgelegten Strecke zur Zeit ist, d.h.
Vav = ∆x/∆t. Gehen wir zum Grenzwert in der letzten Gleichung für ∆t → 0 über.
lim Vav (t) = (t 0) - Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0, ∆t → 0.
und lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (nach der Definition einer Ableitung).
Also ist (t) = x"(t).
Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist wie folgt: die Ableitung der Funktionj = F(X) am PunktX 0 ist die Änderungsrate der FunktionF(x) am PunktX 0
Die Ableitung wird in der Physik verwendet, um die Geschwindigkeit aus einer bekannten Koordinatenfunktion der Zeit und die Beschleunigung aus einer bekannten Geschwindigkeitsfunktion der Zeit zu ermitteln.
(t) \u003d x "(t) - Geschwindigkeit,
a(f) = "(t) - Beschleunigung, oder
Wenn das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes entlang eines Kreises bekannt ist, ist es möglich, die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung während der Rotationsbewegung zu ermitteln:
φ = φ(t) – Winkeländerung mit der Zeit,
ω \u003d φ "(t) - Winkelgeschwindigkeit,
ε = φ"(t) - Winkelbeschleunigung, oder ε = φ"(t).
Wenn das Verteilungsgesetz für die Masse eines inhomogenen Stabes bekannt ist, kann die lineare Dichte des inhomogenen Stabes ermittelt werden:
m \u003d m (x) - Masse,
x , l - Stablänge,
p \u003d m "(x) - lineare Dichte.
Mit Hilfe der Ableitung werden Probleme aus der Elastizitätstheorie und harmonischen Schwingungen gelöst. Ja, nach dem Hookeschen Gesetz
F = -kx, x – variable Koordinate, k – Elastizitätskoeffizient der Feder. Wenn wir ω 2 \u003d k / m setzen, erhalten wir die Differentialgleichung des Federpendels x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,
wobei ω = √k/√m die Schwingungsfrequenz (l/c) und k die Federrate (H/m) ist.
Eine Gleichung der Form y "+ ω 2 y \u003d 0 wird als Gleichung harmonischer Schwingungen (mechanisch, elektrisch, elektromagnetisch) bezeichnet. Die Lösung solcher Gleichungen ist die Funktion
y = Asin(ωt + φ 0) oder y = Acos(ωt + φ 0), wobei
A - Schwingungsamplitude, ω - zyklische Frequenz,
φ 0 - Anfangsphase.
Es ist absolut unmöglich, physikalische Probleme oder Beispiele in der Mathematik zu lösen, ohne die Ableitung und Methoden zu ihrer Berechnung zu kennen. Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte der mathematischen Analyse. Wir haben beschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen lassen sich zu einer einzigen zusammenfassen: Wie ist die Ableitung zu verstehen?
Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung
Lass es eine Funktion geben f(x) , in einem bestimmten Intervall angegeben (a,b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich auch die Funktion selbst. Argumentwechsel – Unterschied seiner Werte x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Die Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten der Funktion an zwei Punkten. Ableitungsdefinition:
Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem bestimmten Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert.
Ansonsten kann man es so schreiben:
Welchen Sinn hat es, eine solche Grenze zu finden? Aber welcher:
Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.
Die physikalische Bedeutung der Ableitung: die zeitliche Ableitung des Weges ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.
Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein Privatweg ist. x=f(t) und Zeit T . Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum:
Um die Bewegungsgeschwindigkeit auf einmal herauszufinden t0 Sie müssen das Limit berechnen:
Regel eins: Nehmen Sie die Konstante heraus
Die Konstante kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden. Darüber hinaus muss es getan werden. Nehmen Sie beim Lösen von Beispielen in der Mathematik in der Regel Folgendes an: Wenn Sie den Ausdruck vereinfachen können, vereinfachen Sie ihn unbedingt .
Beispiel. Berechnen wir die Ableitung:
Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen
Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Funktionsdifferenz.
Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.
Finden Sie die Ableitung einer Funktion:
Regel drei: die Ableitung des Produkts von Funktionen
Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:
Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:
Lösung: 
Hier ist es wichtig, etwas über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sagen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument mit der Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.
Im obigen Beispiel stoßen wir auf den Ausdruck:
In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, betrachten wir zunächst die Ableitung der externen Funktion nach dem Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst nach der unabhängigen Variablen.
Regel vier: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen
Formel zur Bestimmung der Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen:
Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint. Seien Sie also gewarnt: In den Beispielen stecken oft Fallstricke. Seien Sie also vorsichtig bei der Berechnung von Ableitungen.
Bei Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. Wir helfen Ihnen in kurzer Zeit bei der Lösung der schwierigsten Steuerungs- und Bewältigungsaufgaben, auch wenn Sie sich noch nie mit der Berechnung von Derivaten beschäftigt haben.
Es ist sehr leicht zu merken.
Nun, wir werden nicht weit gehen, wir werden sofort die Umkehrfunktion betrachten. Was ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:
In unserem Fall ist die Basis eine Zahl:
Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennt man „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.
Was ist gleich? Natürlich, .
Auch die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist sehr einfach:
Beispiele:
- Finden Sie die Ableitung der Funktion.
- Was ist die Ableitung der Funktion?
Antworten: Der Exponent und der natürliche Logarithmus sind Funktionen, die hinsichtlich der Ableitung einzigartig einfach sind. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Regeln der Differenzierung durchgegangen sind.
Differenzierungsregeln
Welche Regeln? Schon wieder ein neuer Begriff?!...
Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.
Nur und alles. Was ist ein anderes Wort für diesen Prozess? Nicht proizvodnovanie... Das Differential der Mathematik wird als Inkrement der Funktion at bezeichnet. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.
Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:
Insgesamt gibt es 5 Regeln.
Die Konstante ergibt sich aus dem Vorzeichen der Ableitung.
Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.
Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .
Lass es uns beweisen. Lassen Sie, oder einfacher.
Beispiele.
Finden Sie Ableitungen von Funktionen:
- am Punkt;
- am Punkt;
- am Punkt;
- am Punkt.
Lösungen:
- (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da es sich um eine lineare Funktion handelt, erinnern Sie sich?);
Derivat eines Produkts
Hier ist alles ähnlich: Wir führen eine neue Funktion ein und ermitteln deren Inkrement:
Derivat:
Beispiele:
- Finden Sie Ableitungen von Funktionen und;
- Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt.
Lösungen:
Ableitung der Exponentialfunktion
Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion finden und nicht nur den Exponenten (haben Sie schon vergessen, was das ist?).
Wo ist also eine Zahl?
Wir kennen die Ableitung der Funktion bereits, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu bringen:
Dazu verwenden wir eine einfache Regel: . Dann:
Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.
Passiert?
Hier prüfen Sie selbst:
Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung des Exponenten sehr ähnlich war: So wie es war, erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.
Beispiele:
Finden Sie Ableitungen von Funktionen:
Antworten:
Dies ist lediglich eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet werden kann, das heißt, sie kann nicht in einer einfacheren Form geschrieben werden. Daher bleibt es in der Antwort in dieser Form.
Beachten Sie, dass es sich hier um den Quotienten zweier Funktionen handelt, daher wenden wir die entsprechende Differenzierungsregel an:
In diesem Beispiel das Produkt zweier Funktionen:
Ableitung einer logarithmischen Funktion
Hier ist es ähnlich: Sie kennen bereits die Ableitung des natürlichen Logarithmus:
Um also eine beliebige Zahl aus dem Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:
Wir müssen diesen Logarithmus zur Basis bringen. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:
Erst jetzt schreiben wir statt:
Es stellte sich heraus, dass der Nenner nur eine Konstante war (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung ist ganz einfach:
Ableitungen der Exponential- und Logarithmusfunktionen kommen in der Prüfung fast nie vor, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.
Ableitung einer komplexen Funktion.
Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arcustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Ihnen der Logarithmus jedoch schwierig erscheint, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und alles wird klappen), aber in Bezug auf die Mathematik bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.
Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Es stellt sich ein solches zusammengesetztes Objekt heraus: ein Schokoriegel, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die umgekehrten Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführen.
Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Sie geben uns also eine Zahl (Schokolade), ich ermittle ihren Kosinus (Umschlag), und dann quadrieren Sie, was ich habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine weitere zweite Aktion mit dem, was als Ergebnis der ersten passiert ist.
Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .
Für unser Beispiel .
Wir können die gleichen Aktionen auch in umgekehrter Reihenfolge ausführen: Zuerst quadrierst du und dann suchst du nach dem Kosinus der resultierenden Zahl:. Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich auch die Funktion.
Zweites Beispiel: (gleich). .
Die letzte Aktion, die wir ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion bzw. die zuerst ausgeführte Aktion „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).
Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:
Antworten: Die Trennung von inneren und äußeren Funktionen ähnelt stark der Veränderung von Variablen: zum Beispiel in der Funktion
- Welche Maßnahmen werden wir zuerst ergreifen? Zuerst berechnen wir den Sinus und erhöhen ihn erst dann auf einen Würfel. Es handelt sich also um eine interne Funktion, nicht um eine externe.
Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: . - Intern: ; extern: .
Untersuchung: . - Intern: ; extern: .
Untersuchung: . - Intern: ; extern: .
Untersuchung: . - Intern: ; extern: .
Untersuchung: .
Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.
Nun extrahieren wir unsere Schokolade – suchen Sie nach dem Derivat. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Für das Originalbeispiel sieht es so aus:
Ein anderes Beispiel:
Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:
Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:
Es scheint einfach zu sein, oder?
Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:
Lösungen:
1) Intern: ;
Extern: ;
2) Intern: ;
(Versuchen Sie jetzt nur noch nicht zu reduzieren! Unter dem Kosinus wird nichts herausgenommen, schon vergessen?)
3) Intern: ;
Extern: ;
Es ist sofort klar, dass es sich hier um eine dreistufige komplexe Funktion handelt: Schließlich ist dies bereits eine komplexe Funktion für sich, und wir extrahieren daraus noch die Wurzel, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (Schokolade in eine Hülle legen). und mit einer Schleife in einer Aktentasche). Aber es gibt keinen Grund zur Angst: Wie auch immer, wir werden diese Funktion in der gleichen Reihenfolge wie gewohnt „entpacken“: vom Ende an.
Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.
In solchen Fällen ist es sinnvoll, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:
Je später die Aktion ausgeführt wird, desto „externer“ ist die entsprechende Funktion. Der Aktionsablauf - wie zuvor:
Dabei erfolgt die Schachtelung grundsätzlich 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise festlegen.
1. Radikaler Ausdruck. .
2. Wurzel. .
3. Sinus. .
4. Quadrat. .
5. Alles zusammenfassen:
DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE
Funktionsableitung- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments:
Grundlegende Derivate:
Differenzierungsregeln:
Die Konstante ergibt sich aus dem Vorzeichen der Ableitung:
Ableitung der Summe:
Derivatprodukt:
Ableitung des Quotienten:
Ableitung einer komplexen Funktion:
Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:
- Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
- Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
- Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.
