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ABSTRAKT
„Vollständige Untersuchung einer Funktion und Konstruktion ihres Graphen.“
EINFÜHRUNG
Das Studium der Eigenschaften einer Funktion und das Zeichnen ihres Graphen ist eine der wunderbarsten Anwendungen von Ableitungen. Diese Methode zur Untersuchung der Funktion wurde wiederholt einer sorgfältigen Analyse unterzogen. Der Hauptgrund liegt darin, dass man sich bei Anwendungen der Mathematik mit immer komplexeren Funktionen befassen musste, die bei der Untersuchung neuer Phänomene auftraten. Es traten Ausnahmen von den von der Mathematik entwickelten Regeln auf, es traten Fälle auf, in denen die erstellten Regeln überhaupt nicht geeignet waren, es traten Funktionen auf, die zu keinem Zeitpunkt eine Ableitung hatten.
Der Zweck des Studiums des Studiengangs Algebra und Elementaranalysis in den Klassen 10-11 ist das systematische Studium von Funktionen, die Offenlegung des Anwendungswerts allgemeiner Methoden der Mathematik im Zusammenhang mit dem Studium von Funktionen.
Die Entwicklung funktionaler Konzepte im Rahmen des Studiums der Algebra und die Anfänge der Analysis im höheren Bildungsbereich helfen Gymnasiasten, visuelle Vorstellungen über die Kontinuität und Diskontinuität von Funktionen zu gewinnen und etwas über die Kontinuität jeder Elementarfunktion im Bereich zu lernen ihre Anwendung, lernen, ihre Diagramme zu konstruieren und Informationen über die wichtigsten Elementarfunktionen zu verallgemeinern und ihre Rolle bei der Untersuchung von Phänomenen der Realität in der menschlichen Praxis zu verstehen.
Zunehmende und abnehmende Funktion
Die Lösung verschiedener Probleme aus den Bereichen Mathematik, Physik und Technik führt zur Herstellung eines funktionalen Zusammenhangs zwischen den an diesem Phänomen beteiligten Variablen.
Lässt sich eine solche funktionale Abhängigkeit analytisch, also in Form einer oder mehrerer Formeln, ausdrücken, so wird es möglich, sie mittels mathematischer Analyse zu untersuchen.
Damit ist die Möglichkeit gemeint, das Verhalten einer Funktion zu klären, wenn sich die eine oder andere Variable ändert (wo die Funktion zunimmt, wo sie abnimmt, wo sie ein Maximum erreicht usw.).
Die Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung einer Funktion basiert auf einem sehr einfachen Zusammenhang, der zwischen dem Verhalten einer Funktion und den Eigenschaften ihrer Ableitung, vor allem ihrer ersten und zweiten Ableitung, besteht.
Betrachten wir, wie wir Intervalle mit zunehmender oder abnehmender Funktion, also Intervalle ihrer Monotonie, finden können. Basierend auf der Definition einer monoton fallenden und steigenden Funktion ist es möglich, Theoreme zu formulieren, die es uns ermöglichen, den Wert der ersten Ableitung einer gegebenen Funktion mit der Natur ihrer Monotonie in Beziehung zu setzen.
Satz 1.1. Wenn die Funktion j
=
F
(
X
)
, differenzierbar auf dem Intervall(
A
,
B
)
, steigt in diesem Intervall monoton an, dann an jedem Punkt
(
X
) >0;
wenn es monoton abnimmt, dann an jedem Punkt im Intervall (
X
)<0.
Nachweisen. Lassen Sie die Funktionj = F ( X ) steigt monoton um( A , B ) , Das bedeutet für jeden, der klein genug ist > 0 gilt folgende Ungleichung:
F ( X - ) < F ( X ) < F ( X + ) (Abb. 1.1).
Reis. 1.1
Bedenken Sie die Grenze
.
Wenn > 0, dann 
> 0 wenn< 0, то
< 0.
In beiden Fällen ist der Ausdruck unter dem Grenzwertzeichen positiv, was bedeutet, dass der Grenzwert positiv ist ( X )>0 , was bewiesen werden musste. Der zweite Teil des Satzes, der sich auf die monotone Abnahme der Funktion bezieht, wird auf ähnliche Weise bewiesen.
Satz 1.2. Wenn die Funktion j = F ( X ) , kontinuierlich auf dem Segment[ A , B ] und ist an allen seinen inneren Punkten differenzierbar, und außerdem ( X ) >0 für jeden X ϵ ( A , B ) , dann wächst diese Funktion monoton um( A , B ) ; Wenn
( X ) <0 für jeden xϵ ( A , B ), dann nimmt diese Funktion monoton um ab( A , B ) .
Nachweisen. Lass uns nehmen ϵ ( A , B ) Und ϵ ( A , B ) , Und< . Nach dem Satz von Lagrange
( C ) = .
Aber ( C )>0 und > 0, was bedeutet ( > 0, d. h
(. Das erhaltene Ergebnis deutet auf einen monotonen Anstieg der Funktion hin, was nachgewiesen werden musste. Der zweite Teil des Satzes wird auf ähnliche Weise bewiesen.
Extrema der Funktion
Bei der Untersuchung des Verhaltens einer Funktion spielen die Punkte eine besondere Rolle, die die Intervalle des monotonen Anstiegs von den Intervallen ihres monotonen Abfalls voneinander trennen.
Definition 2.1. Punkt wird als Maximalpunkt der Funktion bezeichnet
j
=
F
(
X
)
, wenn überhaupt, wie klein auch immer ,
(
< 0
, а точка
heißt ein minimaler Punkt, wenn (
> 0.
Die Minimal- und Maximalpunkte werden gemeinsam als Extrempunkte bezeichnet. Die stückweise monotone Funktion solcher Punkte hat eine endliche Anzahl auf einem endlichen Intervall (Abb. 2.1).
Reis. 2.1
Satz 2.1 (notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums). Wenn im Intervall differenzierbar( A , B ) Funktion hat am Punkt aus diesem Intervall das Maximum ist, dann ist seine Ableitung an diesem Punkt gleich Null. Das Gleiche gilt für den Mindestpunkt .
Der Beweis dieses Satzes folgt aus dem Satz von Rolle, in dem gezeigt wurde, dass an den Punkten des Minimums oder Maximums = 0 und die an diesen Punkten an den Funktionsgraphen gezogene Tangente verläuft parallel zur AchseOCHSE .
Aus Satz 2.1 folgt, dass wenn die Funktionj = F ( X ) Hat an allen Punkten eine Ableitung, kann es an den Punkten, an denen ein Extremum erreicht wird = 0.
Diese Bedingung reicht jedoch nicht aus, da es Funktionen gibt, für die die angegebene Bedingung erfüllt ist, es aber kein Extremum gibt. Zum Beispiel die Funktionj= an einem Punkt X = 0 Die Ableitung ist Null, aber an diesem Punkt gibt es kein Extremum. Darüber hinaus kann das Extremum an den Punkten liegen, an denen die Ableitung nicht existiert. Zum Beispiel die Funktionj = | X | Es gibt ein Minimum an der StelleX = 0 , obwohl die Ableitung zu diesem Zeitpunkt noch nicht existiert.
Definition 2.2. Die Punkte, an denen die Ableitung einer Funktion verschwindet oder eine Diskontinuität aufweist, werden kritische Punkte dieser Funktion genannt.
Folglich reicht Satz 2.1 nicht aus, um Extrempunkte zu bestimmen.
Satz 2.2 (ausreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums). Lassen Sie die Funktion j = F ( X ) kontinuierlich im Intervall( A , B ) , der seinen kritischen Punkt enthält und ist an allen Punkten dieses Intervalls differenzierbar, möglicherweise mit Ausnahme des Punktes selbst . Wenn sich dann beim Verschieben dieses Punktes von links nach rechts das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus ändert, dann ist dies ein Maximalpunkt und umgekehrt von Minus nach Plus ein Minimalpunkt.
Nachweisen. Wenn die Ableitung einer Funktion ihr Vorzeichen ändert, wenn sie einen Punkt passiert von links nach rechts von Plus nach Minus, dann bewegt sich die Funktion von zunehmend nach fallend, d. h. sie erreicht den Punkt sein Maximum und umgekehrt.
Daraus folgt ein Schema zur Untersuchung einer Funktion an einem Extremum:
1) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion;
2) Berechnen Sie die Ableitung;
3) kritische Punkte finden;
4) Durch Ändern des Vorzeichens der ersten Ableitung wird ihr Charakter bestimmt.
Die Aufgabe, eine Funktion für ein Extremum zu untersuchen, sollte nicht mit der Aufgabe verwechselt werden, die minimalen und maximalen Werte einer Funktion auf einem Segment zu bestimmen. Im zweiten Fall ist es notwendig, nicht nur die Extrempunkte des Segments zu finden, sondern diese auch mit dem Wert der Funktion an seinen Enden zu vergleichen.
Intervalle konvexer und konkaver Funktionen
Ein weiteres Merkmal des Graphen einer Funktion, das mithilfe der Ableitung bestimmt werden kann, ist seine Konvexität oder Konkavität.
Definition 3.1. Funktion j = F ( X ) heißt konvex auf dem Intervall( A , B ) , wenn sein Graph unterhalb einer Tangente liegt, die in einem bestimmten Intervall an ihn gezogen wird, und umgekehrt, wird er konkav genannt, wenn sein Graph über einer Tangente liegt, die in einem bestimmten Intervall an ihn gezogen wird.
Beweisen wir einen Satz, der es uns ermöglicht, die Konvexitäts- und Konkavitätsintervalle einer Funktion zu bestimmen.
Satz 3.1. Wenn an allen Punkten des Intervalls( A , B ) zweite Ableitung der Funktion ( X ) stetig und negativ ist, dann ist die Funktionj = F ( X ) ist konvex und umgekehrt, wenn die zweite Ableitung stetig und positiv ist, dann ist die Funktion konkav.
Wir führen den Beweis für das Konvexitätsintervall der Funktion durch. Nehmen wir einen beliebigen Punktϵ ( A , B ) und zeichne an diesem Punkt eine Tangente an den Graphen der Funktionj = F ( X ) (Abb. 3.1).
Der Satz wird bewiesen, wenn gezeigt wird, dass alle Punkte der Kurve auf dem Intervall liegen( A , B ) liegen unter dieser Tangente. Mit anderen Worten, es ist notwendig, dies für die gleichen Werte zu beweisenX Kurvenkoordinatenj = F ( X ) kleiner als die Ordinate der Tangente, die am Punkt an ihn gezogen wird .
Reis. 3.1
Zur Bestimmtheit bezeichnen wir die Gleichung der Kurve: = F ( X ) und die Gleichung der Tangente an diesen Punkt :
- F ( ) = ( )( X - )
oder
= F ( ) + ( )( X - ) .
Lassen Sie uns den Unterschied ausgleichen Und :
- = f(x) – f( ) - ( )(X- ).
Auf Differenz anwendenF ( X ) – F ( ) Mittelwertsatz von Lagrange:
- = ( )( X - ) - ( )( X - ) = ( X - )[ ( ) - ( )] ,
Wo ϵ ( , X ).
Wenden wir nun den Satz von Lagrange auf den Ausdruck in eckigen Klammern an:
- = ( )( - )( X - ) , Wo ϵ ( , ).
Wie aus der Abbildung ersichtlich ist,X > , Dann X - > 0 Und - > 0 . Darüber hinaus gilt nach dem Satz ( )<0.
Wenn wir diese drei Faktoren multiplizieren, erhalten wir das , was bewiesen werden musste.
Definition 3.2. Der Punkt, der das konvexe Intervall vom konkaven Intervall trennt, wird Wendepunkt genannt.
Aus Definition 3.1 folgt, dass an einem bestimmten Punkt die Tangente die Kurve schneidet, das heißt, die Kurve liegt auf der einen Seite unterhalb der Tangente und auf der anderen Seite darüber.
Satz 3.2. Wenn am Punkt zweite Ableitung der Funktion
j = F ( X ) gleich Null ist oder nicht existiert, und beim Durchgang durch einen Punkt Ändert sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung ins Gegenteil, dann ist dieser Punkt ein Wendepunkt.
Der Beweis dieses Theorems folgt aus der Tatsache, dass die Zeichen ( X ) auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes sind anders. Das bedeutet, dass die Funktion auf der einen Seite des Punktes konvex und auf der anderen konkav ist. In diesem Fall ist nach Definition 3.2 der Punkt ist der Wendepunkt.
Die Untersuchung einer Funktion für Konvexität und Konkavität erfolgt nach dem gleichen Schema wie die Untersuchung für ein Extremum.
4. Asymptoten der Funktion
In den vorherigen Absätzen wurden Methoden zur Untersuchung des Verhaltens einer Funktion mithilfe der Ableitung besprochen. Allerdings gibt es unter den Fragen, die sich auf das vollständige Studium einer Funktion beziehen, auch solche, die nichts mit der Ableitung zu tun haben.
So muss man beispielsweise wissen, wie sich eine Funktion verhält, wenn sich ein Punkt in ihrem Graphen unendlich vom Ursprung entfernt. Dieses Problem kann in zwei Fällen auftreten: wenn das Argument einer Funktion gegen Unendlich geht und wenn während einer Diskontinuität zweiter Art am Endpunkt die Funktion selbst gegen Unendlich geht. In beiden Fällen kann es vorkommen, dass die Funktion zu einer Geraden tendiert, die als Asymptote bezeichnet wird.
Definition. Asymptote des Graphen einer Funktionj = F ( X ) ist eine gerade Linie, die die Eigenschaft hat, dass der Abstand vom Diagramm zu dieser geraden Linie gegen Null tendiert, wenn sich der Diagrammpunkt auf unbestimmte Zeit vom Ursprung entfernt.
Es gibt zwei Arten von Asymptoten: vertikale und schräge.
Vertikale Asymptoten umfassen GeradenX
=
, die die Eigenschaft haben, dass der Graph der Funktion in ihrer Umgebung gegen Unendlich geht, d. h. die Bedingung ist erfüllt: 
.
Offensichtlich ist hier die Anforderung der angegebenen Definition erfüllt: der Abstand vom Kurvendiagramm zur GeradenX = tendiert gegen Null und die Kurve selbst geht gegen Unendlich. An Unstetigkeitspunkten zweiter Art haben Funktionen also vertikale Asymptoten, zum Beispielj= an einem Punkt X = 0 . Folglich fällt die Bestimmung der vertikalen Asymptoten einer Funktion mit der Suche nach Unstetigkeitspunkten zweiter Art zusammen.
Schräge Asymptoten werden durch die allgemeine Gleichung einer Geraden in einer Ebene beschriebenj = kx + B . Dies bedeutet, dass hier im Gegensatz zu vertikalen Asymptoten die Zahlen bestimmt werden müssenk Und B .
Also lass die Kurve = F ( X ) hat eine schräge Asymptote, das heißt beiX Die Punkte der Kurve kommen der Geraden beliebig nahe = kx + B (Abb. 4.1). Lassen M ( X , j ) - ein Punkt auf einer Kurve. Sein Abstand von der Asymptote wird durch die Länge der Senkrechten charakterisiert| MN | .
Um die Funktion vollständig zu studieren und ihren Graphen darzustellen, wird das folgende Schema empfohlen:
A) Finden Sie den Definitionsbereich und die Haltepunkte. Untersuchen Sie das Verhalten einer Funktion in der Nähe von Diskontinuitätspunkten (finden Sie die Grenzen der Funktion links und rechts an diesen Punkten). Geben Sie die vertikalen Asymptoten an.
B) Bestimmen Sie, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist, und schließen Sie daraus, dass Symmetrie vorliegt. Wenn , dann ist die Funktion gerade und symmetrisch um die OY-Achse; wenn die Funktion ungerade ist, symmetrisch zum Ursprung; und if ist eine Funktion der allgemeinen Form.
C) Finden Sie die Schnittpunkte der Funktion mit den Koordinatenachsen OY und OX (falls möglich) und bestimmen Sie die Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion. Die Grenzen von Intervallen mit konstantem Vorzeichen einer Funktion werden durch die Punkte bestimmt, an denen die Funktion gleich Null ist (Funktionsnullstellen) oder nicht existiert, und durch die Grenzen des Definitionsbereichs dieser Funktion. In Intervallen, in denen sich der Graph der Funktion oberhalb der OX-Achse befindet und wo - unterhalb dieser Achse.
D) Finden Sie die erste Ableitung der Funktion, bestimmen Sie ihre Nullstellen und Intervalle mit konstantem Vorzeichen. In Intervallen, in denen die Funktion zunimmt und in denen sie abnimmt. Machen Sie eine Schlussfolgerung über das Vorhandensein von Extrema (Punkte, an denen eine Funktion und eine Ableitung existieren und beim Durchlaufen das Vorzeichen ändern. Wenn sich das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, hat die Funktion an diesem Punkt ein Maximum, und wenn sie von Minus nach Plus wechselt , dann ein Minimum). Finden Sie die Werte der Funktion an den Extrempunkten.
D) Finden Sie die zweite Ableitung, ihre Nullstellen und Intervalle mit konstantem Vorzeichen. In Abständen wo< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) Finden Sie geneigte (horizontale) Asymptoten, deren Gleichungen die Form haben 
; Wo 
.
Bei 
Der Graph der Funktion hat zwei schräge Asymptoten, und jeder Wert von x bei und kann auch zwei Werten von b entsprechen.
G) Finden Sie zusätzliche Punkte zur Verdeutlichung des Diagramms (falls erforderlich) und erstellen Sie ein Diagramm.
Beispiel 1
Erkunden Sie die Funktion und erstellen Sie ihren Graphen. Lösung: A) Definitionsbereich 
; die Funktion ist in ihrem Definitionsbereich stetig; – Bruchpunkt, weil 
;
. Dann – vertikale Asymptote.
B)
diese. y(x) ist eine Funktion allgemeiner Form.
C) Finden Sie die Schnittpunkte des Graphen mit der OY-Achse: setze x=0; dann ist y(0)=–1, d.h. Der Graph der Funktion schneidet die Achse im Punkt (0;-1). Nullstellen der Funktion (Schnittpunkte des Graphen mit der OX-Achse): set y=0; Dann 
.
Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ist kleiner als Null, was bedeutet, dass es keine Nullstellen gibt. Dann ist die Grenze der Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Punkt x=1, in dem die Funktion nicht existiert.
Das Vorzeichen der Funktion in jedem der Intervalle wird durch die Methode der Teilwerte bestimmt:
Aus dem Diagramm geht hervor, dass sich der Graph der Funktion im Intervall unter der OX-Achse und im Intervall oberhalb der OX-Achse befindet.
D) Wir ermitteln das Vorhandensein kritischer Punkte.
.
Wir finden kritische Punkte (wo oder nicht vorhanden) aus den Gleichungen und .
Wir erhalten: x1=1, x2=0, x3=2. Lassen Sie uns eine Hilfstabelle erstellen
Tabelle 1 
(Die erste Zeile enthält kritische Punkte und die Intervalle, in die diese Punkte durch die OX-Achse unterteilt sind; die zweite Zeile gibt die Werte der Ableitung an kritischen Punkten und die Vorzeichen auf den Intervallen an. Die Vorzeichen werden durch den Teilwert bestimmt Methode. Die dritte Zeile gibt die Werte der Funktion y(x) an kritischen Punkten an und zeigt das Verhalten der Funktion – zunehmend oder abnehmend in den entsprechenden Intervallen der numerischen Achse. Darüber hinaus ist das Vorhandensein eines Minimums oder Maximums angegeben.
D) Finden Sie die Konvexitäts- und Konkavitätsintervalle der Funktion.
; Erstellen Sie eine Tabelle wie in Punkt D); Erst in der zweiten Zeile schreiben wir die Zeichen auf und in der dritten geben wir die Art der Konvexität an. Weil ; dann ist der kritische Punkt eins x=1.
Tabelle 2 
Der Punkt x=1 ist der Wendepunkt.
E) Finden Sie schräge und horizontale Asymptoten 
Dann ist y=x eine schiefe Asymptote.
G) Basierend auf den erhaltenen Daten erstellen wir einen Graphen der Funktion 
1). Der Umfang der Funktion.
Es ist offensichtlich, dass diese Funktion auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert ist, mit Ausnahme der Punkte „“ und „“, weil An diesen Punkten ist der Nenner gleich Null und daher existiert die Funktion nicht, und die Geraden und sind vertikale Asymptoten.
2). Das Verhalten einer Funktion als Argument strebt gegen Unendlich, die Existenz von Diskontinuitätspunkten und die Prüfung auf das Vorhandensein schräger Asymptoten.
Schauen wir uns zunächst an, wie sich die Funktion verhält, wenn sie sich links und rechts der Unendlichkeit nähert. 
Wenn die Funktion also gegen 1 tendiert, d.h. - horizontale Asymptote.
In der Nähe von Unstetigkeitsstellen wird das Verhalten der Funktion wie folgt bestimmt: 
Diese. Bei der Annäherung an Diskontinuitätspunkte links nimmt die Funktion unendlich ab, rechts nimmt sie unendlich zu.
Wir bestimmen das Vorhandensein einer schiefen Asymptote, indem wir die Gleichheit berücksichtigen: 
Es gibt keine schrägen Asymptoten.
3). Schnittpunkte mit Koordinatenachsen.
Hier müssen zwei Situationen berücksichtigt werden: Finden Sie den Schnittpunkt mit der Ox-Achse und der Oy-Achse. Das Schnittzeichen mit der Ox-Achse ist der Nullwert der Funktion, d.h. es ist notwendig, die Gleichung zu lösen:
Diese Gleichung hat keine Wurzeln, daher hat der Graph dieser Funktion keine Schnittpunkte mit der Ox-Achse.
Das Schnittzeichen mit der Oy-Achse ist der Wert x = 0. In diesem Fall
,
diese. – der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der Oy-Achse.
4).Bestimmung von Extrempunkten und Anstiegs- und Abfallintervallen.
Um dieses Problem zu untersuchen, definieren wir die erste Ableitung: 
.
Setzen wir den Wert der ersten Ableitung mit Null gleich. 
.
Ein Bruch ist gleich Null, wenn sein Zähler gleich Null ist, d. h. .
Bestimmen wir die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion.
Somit hat die Funktion einen Extrempunkt und existiert nicht an zwei Punkten.
Somit nimmt die Funktion in den Intervallen und zu und in den Intervallen und ab.
5). Wendepunkte und Bereiche der Konvexität und Konkavität.
Dieses Merkmal des Verhaltens einer Funktion wird anhand der zweiten Ableitung bestimmt. Lassen Sie uns zunächst das Vorhandensein von Wendepunkten bestimmen. Die zweite Ableitung der Funktion ist gleich 
Wann und die Funktion ist konkav;
wann und die Funktion ist konvex.
6). Eine Funktion grafisch darstellen.
Aus den gefundenen Werten in Punkten erstellen wir schematisch einen Graphen der Funktion:
Beispiel3
Explore-Funktion 
und erstellen Sie seinen Graphen. Lösung
Die gegebene Funktion ist eine nichtperiodische Funktion allgemeiner Form. Sein Graph geht durch den Koordinatenursprung, da .
Der Definitionsbereich einer bestimmten Funktion umfasst alle Werte der Variablen mit Ausnahme von und, bei denen der Nenner des Bruchs Null wird.
Folglich sind die Punkte die Unstetigkeitspunkte der Funktion.
Als 
, 
Als 
,
, dann ist der Punkt ein Unstetigkeitspunkt zweiter Art.
Die Geraden sind die vertikalen Asymptoten des Funktionsgraphen.
Gleichungen schräger Asymptoten, wobei 
.
Bei 
,
.
Somit hat für und der Graph der Funktion eine Asymptote.
Lassen Sie uns die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion und der Extrempunkte ermitteln.
.
Die erste Ableitung der Funktion bei und daher nimmt bei und die Funktion zu.
Wenn also, wenn die Funktion abnimmt.
existiert nicht für , . 
, also wann 
Der Graph der Funktion ist konkav.
Bei 
, also wann 
Der Graph der Funktion ist konvex. 
Beim Passieren der Punkte , ändert sich das Vorzeichen. Wenn die Funktion nicht definiert ist, hat der Graph der Funktion einen Wendepunkt.
Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen. 
Das Studium einer Funktion erfolgt nach einem klaren Schema und erfordert vom Studierenden solide Kenntnisse grundlegender mathematischer Konzepte wie Definitions- und Wertebereich, Kontinuität der Funktion, Asymptote, Extrempunkte, Parität, Periodizität usw . Der Studierende muss in der Lage sein, Funktionen frei zu differenzieren und Gleichungen zu lösen, die teilweise sehr komplex sein können.
Das heißt, diese Aufgabe testet eine erhebliche Wissensschicht, und jede Lücke wird zu einem Hindernis für die Erlangung der richtigen Lösung. Besonders häufig treten Schwierigkeiten bei der Erstellung von Funktionsgraphen auf. Dieser Fehler fällt dem Lehrer sofort auf und kann Ihrer Note großen Schaden zufügen, selbst wenn alles andere richtig gemacht wurde. Hier kannst du finden Probleme bei der Online-Funktionsforschung: Studienbeispiele, Download-Lösungen, Bestellaufträge.
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Wir führen für Sie eine vollständige Untersuchung der Funktion durch: Wir finden den Definitionsbereich und den Wertebereich, prüfen auf Kontinuität und Diskontinuität, stellen Parität her, überprüfen Ihre Funktion auf Periodizität und finden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen . Und natürlich weiter mit der Differentialrechnung: Wir werden Asymptoten finden, Extrema und Wendepunkte berechnen und den Graphen selbst konstruieren.
Die Konstruktion eines Funktionsgraphen unter Verwendung singulärer Punkte umfasst das Studium der Funktion selbst: Bestimmen des Bereichs zulässiger Werte des Arguments, Bestimmen des Variationsbereichs der Funktion, Bestimmen, ob die Funktion gerade oder ungerade ist, Bestimmen der Haltepunkte der Funktion, Finden von Intervallen mit konstantem Vorzeichen der Funktion, Finden von Asymptoten des Graphen der Funktion. Mithilfe der ersten Ableitung können Sie die Intervalle der Zunahme (Abnahme) der Funktion und das Vorhandensein von Extrempunkten bestimmen. Mithilfe der zweiten Ableitung können Sie die Konvexitätsintervalle (Konkavität) des Funktionsgraphen sowie Wendepunkte bestimmen. Gleichzeitig glauben wir, dass, wenn irgendwann xo Tangente an den Funktionsgraphen über der Kurve, dann weist der Funktionsgraph an diesem Punkt Konvexität auf; Liegt die Tangente unterhalb der Kurve, weist der Funktionsgraph an diesem Punkt eine Konkavität auf.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Funktionsstudie.
a) Bereich zulässiger Werte des Arguments: (-∞,+∞).
b) Änderungsbereich der Funktion: (-∞, +∞).
c) Die Funktion ist ungerade, weil y(-x) = -y(x), diese. Der Graph der Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.
d) Die Funktion ist stetig, es gibt keine Unstetigkeitspunkte, daher gibt es keine vertikalen Asymptoten.
e) Finden der Gleichung der schrägen Asymptote y(x) = k∙x + b, Wo
k = /X Und b = 
In diesem Beispiel sind die Asymptotenparameter jeweils gleich:
k = , weil der höchste Grad von Zähler und Nenner ist gleich drei, und das Verhältnis der Koeffizienten auf diesen höchsten Graden ist gleich eins. Wenn x→ + ∞ Die dritte bemerkenswerte Grenze wurde zur Berechnung des Grenzwerts verwendet.
b = = = 0, wenn der Grenzwert bei x→ berechnet wird + ∞ verwendete die dritte bemerkenswerte Grenze. Der Graph dieser Funktion hat also eine geneigte Asymptote y=x.
2.
y´= /(x²+3)² - Die Ableitung wird mit der Quotientendifferenzierungsformel berechnet.
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Ableitung und den Unstetigkeitspunkt, indem Sie den Zähler und den Nenner der Ableitung jeweils mit Null gleichsetzen: y´=0, Wenn x=0. Die 1. Ableitung hat keine Unstetigkeitsstellen.
b) Wir bestimmen die Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Ableitung, d.h. Intervalle der Monotonie der Funktion: bei -∞
3. Studieren einer Funktion mit der 2. Ableitung.
Mit der Formel zur Differenzierung von Quotienten und zur Durchführung algebraischer Transformationen erhalten wir: y´´ = /(x²+3)³
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der 2. Ableitung und die Intervalle mit konstantem Vorzeichen: y´´ = 0, Wenn x=0 Und x= + 3 . Die 2. Ableitung hat keine Unstetigkeitsstellen.
b) Bestimmen wir die Konstanzintervalle der 2. Ableitung, d.h. Intervalle der Konvexität oder Konkavität des Graphen einer Funktion. Bei -∞
Beispiel: Untersuchen Sie eine Funktion und stellen Sie sie grafisch dar y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Funktionsstudie.
a) Bereich akzeptabler Werte: (-∞,0)U(0,+∞).
b) Änderungsbereich der Funktion: (-∞,+∞).
d) Diese Funktion hat eine Unstetigkeitsstelle 2. Art bei x=0.
e) Finden von Asymptoten. Weil Die Funktion weist eine Unstetigkeitsstelle 2. Art auf x=0, dann hat die Funktion folglich eine vertikale Asymptote x=0. Diese Funktion hat keine schrägen oder horizontalen Asymptoten.
2.Studieren einer Funktion mit der 1. Ableitung.
Lassen Sie uns die Funktion transformieren, indem wir alle algebraischen Operationen ausführen. Dadurch wird die Form der Funktion deutlich vereinfacht: y(x)=x²-x-1+(1/x). Es ist sehr einfach, die Ableitung aus der Summe der Terme zu bilden, und wir erhalten: y´ = 2x – 1 –(1/x²).
a) Bestimmen Sie die Nullstellen und Unstetigkeitsstellen der 1. Ableitung. Wir bringen die Ausdrücke für die 1. Ableitung auf einen gemeinsamen Nenner und setzen den Zähler und dann den Nenner mit Null gleich und erhalten: y´=0 bei x=1, y´ - existiert nicht wann x=0.
b) Bestimmen wir die Intervalle der Monotonie der Funktion, d.h. Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Ableitung. Bei -∞<X<0
Und 0
3.
y´´= 2 + 2/x³. Mithilfe der 2. Ableitung bestimmen wir die Konvexitäts- bzw. Konkavitätsintervalle des Funktionsgraphen sowie ggf. Wendepunkte. Stellen wir den Ausdruck für die zweite Ableitung auf den gemeinsamen Nenner dar und setzen dann Zähler und Nenner nacheinander mit Null gleich und erhalten: y´´=0 bei x=-1, y´´- existiert nicht wann x=0.
Bei -∞
Reis. 4 Abb. 5
Beispiel: Untersuchen Sie eine Funktion und stellen Sie sie grafisch dar y(x) = ln (x²+4x+5)
1.Funktionsstudie.
a) Bereich zulässiger Argumentwerte: Die logarithmische Funktion existiert nur für Argumente, die strikt größer als Null sind, daher x²+4x+5>0 – diese Bedingung ist für alle Werte des Arguments erfüllt, d.h. O.D.Z. – (-∞, +∞).
b) Änderungsbereich der Funktion: (0, +∞). Lassen Sie uns den Ausdruck unter dem Logarithmuszeichen umwandeln und die Funktion mit Null gleichsetzen: ln((x+2)²+1) =0. Diese. Die Funktion geht auf Null, wenn x=-2. Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur Geraden x=-2.
c) Die Funktion ist stetig und hat keine Haltepunkte.
d) Der Graph der Funktion hat keine Asymptoten.
2.Studieren einer Funktion mit der 1. Ableitung.
Mit der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion erhalten wir: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
a) Bestimmen wir die Nullstellen und Unstetigkeitsstellen der Ableitung: y´=0, bei x=-2. Die erste Ableitung hat keine Unstetigkeitspunkte.
b) Wir bestimmen die Intervalle der Monotonie der Funktion, d.h. Intervalle mit konstantem Vorzeichen der ersten Ableitung: bei -∞<X<-2
Derivat y´<0,
daher nimmt die Funktion ab; wann -2
3.Untersuchung der Funktion anhand der 2. Ableitung.
Stellen wir die erste Ableitung in der folgenden Form dar: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
a) Bestimmen wir die Intervalle mit konstantem Vorzeichen der zweiten Ableitung. Da der Nenner der 2. Ableitung immer nicht negativ ist, wird das Vorzeichen der zweiten Ableitung nur durch den Zähler bestimmt. y´´=0 bei x=-3 Und x=-1.
Bei -∞
Beispiel: Erkunden Sie eine Funktion und zeichnen Sie ein Diagramm y(x) = x²/(x+2)²
1.Funktionsstudie.
a) Bereich zulässiger Werte des Arguments (-∞, -2)U(-2, +∞).
b) Bereich der Funktionsänderung².
a) Bestimmen wir die Nullstellen und Intervalle mit konstantem Vorzeichen der zweiten Ableitung. Weil Da der Nenner des Bruchs immer positiv ist, wird das Vorzeichen der zweiten Ableitung vollständig durch den Zähler bestimmt. Bei -∞
