(\large\bf Derivat funkcije)
Razmotrite funkciju y=f(x), specificirano na intervalu (a, b). Neka x- bilo koja fiksna tačka intervala (a, b), A Δx- proizvoljan broj takav da je vrijednost x+Δx takođe pripada intervalu (a, b). Ovaj broj Δx naziva se povećanjem argumenta.
Definicija. Povećanje funkcije y=f(x) u tački x, što odgovara inkrementu argumenta Δx, pozovimo broj
Δy = f(x+Δx) - f(x).
Vjerujemo u to Δx ≠ 0. Razmotrite u datoj fiksnoj tački x omjer prirasta funkcije u ovoj tački i odgovarajućeg prirasta argumenta Δx
Ovu relaciju ćemo nazvati relacijom razlike. Pošto vrednost x smatramo fiksnim, odnos razlike je funkcija argumenta Δx. Ova funkcija je definirana za sve vrijednosti argumenata Δx, koji pripada nekoj dovoljno maloj okolini tačke Δx=0, osim same tačke Δx=0. Dakle, imamo pravo da razmotrimo pitanje postojanja granice navedene funkcije na Δx → 0.
Definicija. Derivat funkcije y=f(x) na datoj fiksnoj tački x nazvan limit at Δx → 0 odnos razlike, tj
Pod uslovom da ovo ograničenje postoji.
Oznaka. y′(x) ili f′(x).
Geometrijsko značenje derivacije: Derivat funkcije f(x) na ovom mjestu x jednak tangentu ugla između osa Ox i tangenta na graf ove funkcije u odgovarajućoj tački:
f′(x 0) = \tgα.
Mehaničko značenje izvedenice: Derivat putanje u odnosu na vrijeme jednak je brzini pravolinijskog kretanja tačke:
Jednadžba tangente na pravu y=f(x) u tački M 0 (x 0 ,y 0) poprima oblik
y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).
Normala na krivu u nekoj tački je okomita na tangentu u istoj tački. Ako f′(x 0)≠ 0, zatim jednadžba normale na pravu y=f(x) u tački M 0 (x 0 ,y 0) je napisano ovako:
Koncept diferencijabilnosti funkcije
Neka funkcija y=f(x) definisano u određenom intervalu (a, b), x- neka fiksna vrijednost argumenta iz ovog intervala, Δx- bilo koji porast argumenta takav da vrijednost argumenta x+Δx ∈ (a, b).
Definicija. Funkcija y=f(x) naziva se diferencibilnim u datoj tački x, ako se povećava Δy ovu funkciju u tački x, što odgovara inkrementu argumenta Δx, može se predstaviti u obliku
Δy = A Δx +αΔx,
Gdje A- neki broj neovisan od Δx, A α - argument funkcija Δx, što je beskonačno malo na Δx→ 0.
Budući da je proizvod dvije infinitezimalne funkcije αΔx je infinitezimal višeg reda od Δx(svojstvo 3 beskonačno male funkcije), tada možemo napisati:
Δy = A Δx +o(Δx).
Teorema. Da bi funkcija y=f(x) bio diferenciran u datoj tački x, potrebno je i dovoljno da ima konačan izvod u ovoj tački. Gde A=f′(x), to je
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
Operacija pronalaženja derivacije se obično naziva diferencijacijom.
Teorema. Ako je funkcija y=f(x) x, onda je u ovom trenutku kontinuirano.
Komentar. Iz kontinuiteta funkcije y=f(x) na ovom mjestu x, općenito govoreći, diferencijabilnost funkcije ne slijedi f(x) na ovom mjestu. Na primjer, funkcija y=|x|- kontinuirano u jednoj tački x=0, ali nema izvedenicu.
Pojam diferencijalne funkcije
Definicija. Funkcijski diferencijal y=f(x) proizvod derivacije ove funkcije i prirasta nezavisne varijable se poziva x:
dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.
Za funkciju y=x dobijamo dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, to je dx=Δx- diferencijal nezavisne varijable jednak je inkrementu ove varijable.
Dakle, možemo pisati
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
Diferencijal dy i prirast Δy funkcije y=f(x) na ovom mjestu x, oba odgovaraju istom prirastu argumenta Δx, generalno govoreći, nisu jednake jedna drugoj.
Geometrijsko značenje diferencijala: Diferencijal funkcije jednak je inkrementu ordinate tangente na graf ove funkcije kada se argument povećava Δx.
Pravila diferencijacije
Teorema. Ako svaka od funkcija u(x) I v(x) diferencibilan u datoj tački x, zatim zbir, razlika, proizvod i količnik ovih funkcija (kvocijent pod uslovom da v(x)≠ 0) su također diferencijabilne u ovom trenutku, a formule vrijede:
Razmotrite složenu funkciju y=f(φ(x))≡ F(x), Gdje y=f(u), u=φ(x). U ovom slučaju u pozvao međuargument, x - nezavisna varijabla.
Teorema. Ako y=f(u) I u=φ(x) su diferencibilne funkcije njihovih argumenata, zatim derivacija kompleksne funkcije y=f(φ(x)) postoji i jednak je proizvodu ove funkcije u odnosu na međuargument i derivaciji međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu, tj.
Komentar. Za složenu funkciju koja je superpozicija tri funkcije y=F(f(φ(x))), pravilo diferencijacije ima oblik
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
gdje su funkcije v=φ(x), u=f(v) I y=F(u)- diferencibilne funkcije njihovih argumenata.
Teorema. Neka funkcija y=f(x) raste (ili opada) i kontinuirano je u nekom susjedstvu tačke x 0. Neka je, pored toga, ova funkcija diferencibilna u naznačenoj tački x 0 i njegov derivat u ovom trenutku f′(x 0) ≠ 0. Zatim u nekom susjedstvu odgovarajuće tačke y 0 =f(x 0) inverz je definiran za y=f(x) funkcija x=f -1 (y), a naznačena inverzna funkcija je diferencibilna u odgovarajućoj tački y 0 =f(x 0) i za njegov derivat u ovom trenutku y formula je važeća
Tabela derivata
Invarijantnost oblika prvog diferencijala
Razmotrimo diferencijal kompleksne funkcije. Ako y=f(x), x=φ(t)- funkcije njihovih argumenata su diferencibilne, zatim derivacija funkcije y=f(φ(t)) izraženo formulom
y′ t = y′ x x′ t.
A-prioritet dy=y′ t dt, onda dobijamo
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
Dakle, dokazali smo
Svojstvo invarijantnosti oblika prvog diferencijala funkcije: kao u slučaju kada je argument x je nezavisna varijabla, au slučaju kada je argument x sama je diferencijabilna funkcija nove varijable, diferencijala dy funkcije y=f(x) jednaka je derivaciji ove funkcije pomnoženoj s diferencijalom argumenta dx.
Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima
Pokazali smo da je diferencijal dy funkcije y=f(x), općenito govoreći, nije jednako priraštaju Δy ovu funkciju. Međutim, do beskonačno male funkcije višeg reda malenosti od Δx, vrijedi približna jednakost
∆y ≈ dy.
Omjer se naziva relativna greška jednakosti ove jednakosti. Jer ∆y-dy=o(∆x), tada relativna greška ove jednakosti postaje onoliko mala koliko se želi sa smanjenjem |Δh|.
S obzirom na to Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, dobijamo f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx ili
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
Ova približna jednakost dopušta s greškom o(Δx) zamijeniti funkciju f(x) u malom kraju tačke x(tj. za male vrijednosti Δx) linearna funkcija argumenta Δx, stoji na desnoj strani.
Derivati višeg reda
Definicija. Drugi izvod (ili izvod drugog reda) funkcije y=f(x) naziva se derivat njegovog prvog izvoda.
Zapis za drugi izvod funkcije y=f(x):
Mehaničko značenje druge izvedenice. Ako je funkcija y=f(x) opisuje zakon kretanja materijalne tačke u pravoj liniji, zatim drugi izvod f″(x) jednako ubrzanju pokretne tačke u trenutku vremena x.
Slično se određuju i treći i četvrti izvod.
Definicija. n th derivat (ili derivat n-ti red) funkcije y=f(x) naziva se derivatom toga n-1 th derivat:
y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
Oznake: y″′, y IV, y V itd.
Nađite izraz za izvod eksponencijalne funkcije \(y = (e^x)\), koristeći definiciju izvoda.
Rješenje.
Početni koraci su standardni: prvo zapisujemo prirast funkcije \(\Delta y\), koji odgovara inkrementu argumenta \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left(( x + \Delta x) \desno) - y\lijevo(x \desno) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^( \Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \desno).) \] Izvod se izračunava kao granica od omjer prirasta: \[ (y"\left(x \right ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right)))((\Delta x)).) \] Funkcija \(y = (e^x)\) u brojiocu ne zavisi od Δ x i može se odvesti izvan graničnog znaka. Tada derivacija poprima sljedeći oblik: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Označimo rezultujuću granicu sa \(L\) i Uzgred, imajte na umu da je \((e^0) = 1\) i stoga možemo napisati \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^ (\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0 )))((\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] to jest, ova granica predstavlja vrijednost izvoda eksponencijalne funkcije na nuli. Prema tome, \ Dobili smo odnos u kojem je željeni izvod izražen kroz samu funkciju \(y = (e^x)\) i njen izvod u tački \(x = 0\). Dokažimo da je \ Da bismo to učinili, podsjetimo se da je broj \(e\) definiran u obliku beskonačne granice kao \ i da će broj \(e\) na stepen \(\Delta x\) prema tome , biti jednako \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right) ^n).\] Zatim primjenjujemo poznatu formulu Njutnov binom i proširite izraz pod graničnim upisom binomni niz: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \desno)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] Ovdje \((C_n^k)\) označava broj kombinacija \(n\) elemenata sa \( k\ ). U evropskim i američkim udžbenicima broj kombinacija je označen kao \ Vratimo se na našu granicu \(L\), koja se sada može napisati u ovom obliku: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0 ) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \ lijevo[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \desno))^k) ) ) \desno] - 1))((\Delta x)).) \] Zgodno je da izolujemo prva dva člana u binomnom nizu: za \(k = 0\) i \(k = 1 \). Kao rezultat, dobijamo \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0) )^n (C_n^k((\levo((\frac((\Delta x))(n)) \desno))^k)) ) \desno] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0(\left((\frac((\Delta x) )(n )) \desno))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \desno))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \desno))^k)) ) \desno] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n ) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \desno))^k)) ) \desno] - 1 ))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \desno))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\ limits_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n ( C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \desno))^k)) ) \desno] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac(((\left((\Delta x) \ desno)) ^(k - 1))))(((n^k)))) ) \right)) \right].) \] Očigledno, zbir niza teži nuli kao \(\Delta x \do 0\) . Prema tome, \(L = 1\). To znači da je izvod eksponencijalne funkcije \(y = (e^x)\) jednak samoj funkciji: \
Prilikom rješavanja različitih problema iz geometrije, mehanike, fizike i drugih grana znanja, postalo je neophodno koristiti isti analitički proces iz date funkcije. y=f(x) dobiti novu funkciju koja se zove derivirajuća funkcija(ili jednostavno izvod) ove funkcije f(x) i označen je simbolom
Proces kojim data funkcija f(x) nabavite novu funkciju f" (x), zvao diferencijaciju a sastoji se od sljedeća tri koraka: 1) dati argument x prirast
x i odredite odgovarajući prirast funkcije
y = f(x+
x) -f(x); 2) uspostaviti vezu 
3) brojanje x konstantan i
x0, nalazimo 
, koje označavamo sa f" (x), kao da naglašava da rezultirajuća funkcija ovisi samo o vrijednosti x, na kojoj idemo do granice. Definicija:
Derivat y " =f " (x)
data funkcija y=f(x)
za dati x naziva se granica omjera prirasta funkcije i inkrementa argumenta, pod uslovom da prirast argumenta teži nuli, ako, naravno, ova granica postoji, tj. konačan. dakle, 
, ili 
Imajte na umu da ako za neku vrijednost x, na primjer kada x=a, stav 
at
x0 ne teži konačnoj granici, onda u ovom slučaju kažu da je funkcija f(x) at x=a(ili u tački x=a) nema izvod ili nije diferencibilan u tački x=a.
2. Geometrijsko značenje izvedenice.
Razmotrimo graf funkcije y = f (x), diferencibilne u blizini tačke x 0
f(x)
Razmotrimo proizvoljnu pravu liniju koja prolazi kroz tačku grafa funkcije - tačku A (x 0, f (x 0)) i seče graf u nekoj tački B (x; f (x)). Takva prava (AB) se naziva sekansa. Od ∆ABC: AC = ∆x; VS =∆u; tgβ=∆y/∆x.
Budući da AC || Ox, zatim ALO = BAC = β (kao što odgovara za paralelu). Ali ALO je ugao nagiba sekante AB prema pozitivnom smjeru ose Ox. To znači da je tanβ = k nagib prave AB.
Sada ćemo smanjiti ∆h, tj. ∆x→ 0. U ovom slučaju, tačka B će se približiti tački A prema grafu, a sekansa AB će se rotirati. Granični položaj sekante AB na ∆x → 0 bit će prava linija (a), koja se naziva tangenta na graf funkcije y = f (x) u tački A.
Ako idemo na granicu kao ∆x → 0 u jednakosti tgβ =∆y/∆x, dobićemo 
ortg =f "(x 0), pošto 
-ugao nagiba tangente na pozitivan pravac ose Ox 
, po definiciji derivata. Ali tg = k je ugaoni koeficijent tangente, što znači k = tg = f "(x 0).
Dakle, geometrijsko značenje derivacije je sljedeće:
Derivat funkcije u tački x 0 jednak nagibu tangente na graf funkcije nacrtane u tački sa apscisom x 0 .
3. Fizičko značenje izvedenice.
Razmotrimo kretanje tačke duž prave linije. Neka je data koordinata tačke u bilo kom trenutku x(t). Poznato je (iz kursa fizike) da je prosječna brzina u određenom vremenskom periodu jednaka odnosu pređenog puta u tom vremenskom periodu prema vremenu, tj.
Vav = ∆x/∆t. Idemo do granice u posljednjoj jednakosti kao ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - trenutna brzina u trenutku t 0, ∆t → 0.
i lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (po definiciji derivacije).
Dakle, (t) =x"(t).
Fizičko značenje izvoda je sljedeće: izvod funkcijey = f(x) u tačkix 0 je stopa promjene funkcijef(x) u tačkix 0
Izvod se koristi u fizici za pronalaženje brzine iz poznate funkcije koordinata u odnosu na vrijeme, ubrzanje iz poznate funkcije brzine u odnosu na vrijeme.
(t) = x"(t) - brzina,
a(f) = "(t) - ubrzanje, ili
Ako je poznat zakon kretanja materijalne tačke u krugu, onda se može pronaći ugaona brzina i ugaono ubrzanje tokom rotacionog kretanja:
φ = φ(t) - promjena ugla tokom vremena,
ω = φ"(t) - ugaona brzina,
ε = φ"(t) - kutno ubrzanje, ili ε = φ"(t).
Ako je poznat zakon raspodjele mase nehomogenog štapa, tada se može pronaći linearna gustina nehomogenog štapa:
m = m(x) - masa,
x , l - dužina štapa,
p = m"(x) - linearna gustina.
Koristeći derivaciju, rješavaju se problemi iz teorije elastičnosti i harmonijskih vibracija. Dakle, prema Hookeovom zakonu
F = -kx, x – varijabilna koordinata, k – koeficijent elastičnosti opruge. Stavljajući ω 2 =k/m, dobijamo diferencijalnu jednačinu opružnog klatna x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
gdje je ω = √k/√m frekvencija oscilovanja (l/c), k - krutost opruge (H/m).
Jednačina oblika y" + ω 2 y = 0 naziva se jednadžba harmonijskih oscilacija (mehaničkih, električnih, elektromagnetskih). Rješenje takvih jednačina je funkcija
y = Asin(ωt + φ 0) ili y = Acos(ωt + φ 0), gdje je
A - amplituda oscilacija, ω - ciklična frekvencija,
φ 0 - početna faza.
Rješavanje fizičkih zadataka ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njeno izračunavanje. Izvod je jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Šta je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati izvod funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?
Geometrijsko i fizičko značenje derivacije
Neka postoji funkcija f(x) , specificirano u određenom intervalu (a, b) . Tačke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:
Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.
Inače se može napisati ovako:
Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo šta je to:
derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.
Fizičko značenje izvedenice: derivacija putanje u odnosu na vrijeme jednaka je brzini pravolinijskog kretanja.
Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina privatan put. x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom periodu:
Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:
Prvo pravilo: postavite konstantu
Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, obavezno ga pojednostavite .
Primjer. Izračunajmo derivaciju:
Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija
Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.
Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.
Pronađite derivaciju funkcije:
Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija
Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:
Primjer: pronađite derivaciju funkcije:
Rješenje: 
Ovdje je važno govoriti o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Derivat kompleksne funkcije jednak je proizvodu izvoda ove funkcije u odnosu na međuargument i derivacije međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu.
U gornjem primjeru nailazimo na izraz:
U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim pomnožimo sa derivacijom samog međuargumena u odnosu na nezavisnu varijablu.
Četvrto pravilo: derivacija količnika dvije funkcije
Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:
Pokušali smo da pričamo o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.
Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najteži test i shvatite zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvedene proračune.
Vrlo lako za pamćenje.
Pa, da ne idemo daleko, odmah razmotrimo inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? logaritam:
U našem slučaju, osnova je broj:
Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se „prirodnim“, a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.
Čemu je to jednako? Naravno, .
Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:
primjeri:
- Pronađite izvod funkcije.
- Što je derivacija funkcije?
odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive derivata. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.
Pravila diferencijacije
Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...
Diferencijacija je proces pronalaženja derivata.
To je sve. Kako još jednom riječju nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim prirastom funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.
Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:
Postoji ukupno 5 pravila.
Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.
Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.
Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .
Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.
Primjeri.
Pronađite derivate funkcija:
- u jednom trenutku;
- u jednom trenutku;
- u jednom trenutku;
- u tački.
rješenja:
- (izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);
Derivat proizvoda
Ovdje je sve slično: uvedemo novu funkciju i pronađemo njen prirast:
Derivat:
primjeri:
- Naći izvode funkcija i;
- Pronađite izvod funkcije u tački.
rješenja:
Derivat eksponencijalne funkcije
Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili šta je to?).
Dakle, gdje je neki broj.
Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo svesti našu funkciju na novu bazu:
Da bismo to učinili, koristit ćemo jednostavno pravilo: . onda:
Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.
Desilo se?
Evo, uvjerite se sami:
Ispostavilo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakva kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.
primjeri:
Pronađite derivate funkcija:
odgovori:
Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se zapisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.
Imajte na umu da je ovdje kvocijent dvije funkcije, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferencijacije:
U ovom primjeru, proizvod dvije funkcije:
Derivat logaritamske funkcije
Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:
Stoga, da biste pronašli proizvoljan logaritam s različitom bazom, na primjer:
Ovaj logaritam moramo svesti na bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:
Tek sada ćemo umjesto toga napisati:
Imenilac je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobija vrlo jednostavno:
Derivati eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.
Derivat kompleksne funkcije.
Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam je logaritam težak, pročitajte temu “Logaritmi” i biće vam dobro), ali sa matematičke tačke gledišta, riječ “složeno” ne znači “teško”.
Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Rezultat je kompozitni predmet: čokoladica umotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate učiniti obrnutim koracima obrnutim redoslijedom.
Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dat nam je broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu akciju s onim što je rezultat prve.
Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .
Za naš primjer, .
Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadriraš, a ja onda tražim kosinus rezultirajućeg broja: . Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.
Drugi primjer: (ista stvar). .
Akcija koju radimo posljednja će biti pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja izvedena prva - prema tome "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).
Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:
odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji
- Koju akciju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, pa ga tek onda kockiraj. To znači da je to interna funkcija, ali vanjska.
A originalna funkcija je njihov sastav: . - Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: . - Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: . - Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: . - Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: .
Mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.
Pa, sada ćemo izvaditi našu čokoladicu i potražiti derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:
Drugi primjer:
Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:
Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:
Čini se jednostavno, zar ne?
Provjerimo na primjerima:
rješenja:
1) Interni: ;
Vanjski: ;
2) Interni: ;
(Samo nemojte pokušavati da ga isečete do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)
3) Interni: ;
Vanjski: ;
Odmah je jasno da se radi o složenoj funkciji na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i sa vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo „raspakovati“ ovu funkciju istim redoslijedom kao i obično: od kraja.
Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.
U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:
Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti „spoljašnja“. Redoslijed radnji je isti kao i prije:
Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.
1. Radikalni izraz. .
2. Root. .
3. Sinus. .
4. Kvadrat. .
5. Stavljajući sve zajedno:
DERIVAT. UKRATKO O GLAVNOM
Derivat funkcije- omjer povećanja funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta:
Osnovni derivati:
Pravila diferencijacije:
Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:
Derivat sume:
Derivatni proizvod:
Derivat količnika:
Derivat kompleksne funkcije:
Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:
- Definiramo “internu” funkciju i nalazimo njen izvod.
- Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
- Množimo rezultate prve i druge tačke.
