Zaustavimo se detaljnije na radu Ostrogradskog o višestrukim integralima.
Formula Ostrogradskog za transformaciju trostrukog integrala u dvostruki, koju obično pišemo u obliku
gdje je div A divergencija polja vektora A,
An je skalarni proizvod vektora A i jediničnog vektora vanjske normale n granične površine; u matematičkoj literaturi često se ranije povezivao s imenima Gausa i Greena.
Zapravo, u Gaussovom radu o privlačenju sferoida, mogu se vidjeti samo vrlo posebni slučajevi formule (1), na primjer, sa P=x, Q=R=0, itd. Što se tiče J. Greena, u njegovom radu o teoriji elektriciteta i u formuli (1) uopće nema magnetizma; ona izvodi još jedan odnos između trostrukog i dvostrukog integrala, naime, Greenovu formulu za Laplaceov operator, koja se može napisati u obliku
Naravno, možemo izvesti formulu (1) iz (2), pod pretpostavkom
a na isti način je moguće dobiti formulu (2) iz formule (1), ali Greenu to nije palo na pamet.
gdje je lijevo integral po zapremini, a desno integral preko granične površine, a to su kosinusi smjera vanjske normale.
Pariski rukopisi Ostrogradskog svjedoče, s potpunom sigurnošću, da i otkriće i prva poruka integralne teoreme (1) pripadaju njemu. To je prvi put navedeno i dokazano, upravo kao što sada čine, u „Dokazu teoreme integralnog računa“, predstavljenom Pariškoj akademiji nauka 13. februara 1826. godine, nakon čega je ponovo formulisano u tom delu “Memoari o difuziji toplote u čvrstim materijama.” “, koje je Ostrogradski predstavio 6. avgusta 1827. “Memoari” su dali na recenziju Fourieru i Poissonu, a potonji ga je svakako pročitao, o čemu svedoči zapis na prvom stranica oba dijela rukopisa. Naravno, Poissonu nije pala na pamet ideja da sebi pripiše teoremu, s kojom se upoznao u radu Ostrogradskog dvije godine prije nego što je predstavio svoj rad o teoriji elastičnosti.
Što se tiče odnosa između radova na višestrukim integralima Ostrogradskog i Greena, podsjećamo da je u "Napomeni o teoriji topline" izvedena formula koja uključuje Greenovu vlastitu formulu kao vrlo poseban slučaj. Sada neobična Cauchyjevska simbolika koju je Ostrogradski koristio u “Bilješkoj” donedavno je skrivala ovo važno otkriće od istraživača. Naravno, Greene zadržava čast otkrića i prvog objavljivanja formule za Laplaceove operatore koja nosi njegovo ime 1828. godine.
Otkriće formule za transformaciju trostrukog integrala u dvostruki integral pomoglo je Ostrogradskom da riješi problem variranja n-strukog integrala, naime, da izvede opću formulu za transformaciju integrala iz izraza tipa divergencije nad n- dimenzionalni domen i integral nad superpovršinom S koji je ograničava jednačinom L(x,y, z,…)=0. Ako se pridržavamo prethodne notacije, tada formula ima oblik
Međutim, Ostrogradski nije koristio geometrijske slike i termine koje mi koristimo: geometrija višedimenzionalnih prostora u to vrijeme još nije postojala.
U “Memoarima o varijacionom računu višestrukih integrala” razmatraju se još dva važna pitanja u teoriji takvih integrala. Prvo, Ostrogradsky izvodi formulu za promjenu varijabli u višedimenzionalnom integralu; drugo, po prvi put daje potpun i tačan opis metode izračunavanja n-strukog integrala koristeći n uzastopnih integracija nad svakom od varijabli unutar odgovarajućih granica. Konačno, iz formula sadržanih u ovom memoaru lako se izvodi opšte pravilo diferencijacije u odnosu na parametar višedimenzionalnog integrala, kada od ovog parametra zavisi ne samo funkcija integranda, već i granica domena integracije. Imenovano pravilo proizlazi iz formula u memoarima na toliko prirodan način da su ga kasniji matematičari čak poistovjetili s jednom od formula ovog memoara.
Ostrogradski je posvetio poseban rad promjeni varijabli u višestrukim integralima. Za dvostruki integral, Euler je izveo odgovarajuće pravilo koristeći formalne transformacije, a za trostruki integral ga je izveo Lagrange. Međutim, iako je Lagrangeov rezultat tačan, njegovo razmišljanje nije bilo tačno: činilo se da polazi od činjenice da su elementi volumena u starim i novim varijablama - koordinatama - jednaki jedni drugima. Ostrogradski je napravio sličnu grešku na početku u upravo spomenutom izvođenju pravila zamjene varijabli. U članku “O transformaciji varijabli u višestrukim integralima” Ostrogradsky je otkrio Lagrangeovu grešku, a također je po prvi put ukazao na vizualnu geometrijsku metodu transformacije varijabli u dvostruki integral, koji je, u nešto rigoroznijem obliku, također predstavljen. u našim priručnicima. Naime, prilikom zamjene varijabli u integralu pomoću formula, domen integracije se dijeli koordinatnim linijama dva sistema u=const, v=const na infinitezimalne krivolinijske četverouglove. Tada se integral može dobiti tako što se prvo sabiraju oni njegovi elementi koji odgovaraju beskonačno uskoj zakrivljenoj traci, a zatim se nastavljaju sabiranje elemenata u prugama dok se svi ne iscrpe. Jednostavan proračun daje za površinu, koja se, do malih višeg reda, može smatrati paralelogramom, izraz gdje se bira tako da je površina pozitivna. Rezultat je dobro poznata formula
Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije
Rad na kursu
Disciplina: Viša matematika
(Osnove linearnog programiranja)
Na temu: VIŠE INTEGRALA
Završio: ______________
Učitelj:___________
Datum ___________________
Ocjena ________________
Potpis ________________
VORONJEŽ 2008
1 Višestruki integrali
1.1 Dvostruki integral
1.2 Trostruki integral
1.3 Višestruki integrali u krivolinijskim koordinatama
1.4 Geometrijske i fizičke primjene višestrukih integrala
2 Krivolinijski i površinski integrali
2.1 Krivolinijski integrali
2.2 Površinski integrali
2.3 Geometrijske i fizičke primjene
Bibliografija
1 Višestruki integrali
1.1 Dvostruki integral
Razmotrimo zatvorenu regiju D u ravni Oxy, ograničenu linijom L. Podijelimo ovo područje na n dijelova nekim linijama
, a odgovarajuće najveće udaljenosti između tačaka u svakom od ovih dijelova biće označene sa d 1, d 2, ..., d n. Odaberimo tačku P i u svakom dijelu.Neka je funkcija z = f(x, y) data u domeni D. Označimo sa f(P 1), f(P 2),..., f(P n) vrijednosti ove funkcije u odabranim tačkama i sastavimo zbir proizvoda oblika f(P i)ΔS i:
, (1)
naziva se integralni zbir za funkciju f(x, y) u domeni D.
Ako postoji isti limit integralnih suma (1) za
i , koji ne zavisi ni od načina podjele područja D na dijelove niti od izbora tačaka Pi u njima, onda se naziva dvostrukim integralom funkcije f(x, y) nad područjem D i označava se
. (2)
Izračunavanje dvostrukog integrala nad područjem D ograničenim linijama
x = a, x = b(a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:
= 
(3)
1.2 Trostruki integral
Koncept trostrukog integrala uvodi se po analogiji sa dvostrukim integralom.
Neka je određeno područje V zadano u prostoru, ograničeno zatvorenom površinom S. Definirajmo kontinuiranu funkciju f(x, y, z) u ovom zatvorenom području. Zatim podijelimo područje V na proizvoljne dijelove Δv i, uzimajući u obzir zapreminu svakog dijela jednaku Δv i, i sastavimo integralni zbir oblika
, (4)Limit at
integralni zbroji (11), neovisni o metodi particioniranja domene V i izbora tačaka Pi u svakoj poddomenu ove domene, naziva se trostrukim integralom funkcije f(x, y, z) nad domenom V:
. (5)
Trostruki integral funkcije f(x,y,z) nad područjem V jednak je trostrukom integralu nad istim područjem:
. (6)
1.3 Višestruki integrali u krivolinijskim koordinatama
Hajde da uvedemo krivolinijske koordinate na ravni, koje se nazivaju polarne. Odaberimo tačku O (pol) i zrak koji izlazi iz nje (polarna osa).
Rice. 2 Fig. 3
Koordinate tačke M (slika 2) biće dužina segmenta MO - polarni poluprečnik ρ i ugao φ između MO i polarne ose: M(ρ,φ). Imajte na umu da će se za sve točke ravnine, osim pola, ρ > 0, a polarni ugao φ smatrati pozitivnim kada se mjeri u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnim kada se mjeri u suprotnom smjeru.
Odnos između polarnih i Dekartovih koordinata tačke M može se postaviti poravnavanjem početka kartezijanskog koordinatnog sistema sa polom, a pozitivne poluose Ox sa polarnom osom (slika 3). Tada je x=ρcosφ, y=ρsinφ. Odavde
, tg. Definirajmo u području D ograničenom krivuljama ρ=Φ 1 (φ) i ρ=Φ 2 (φ), gdje je φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).
(7)
U trodimenzionalnom prostoru uvode se cilindrične i sferne koordinate.
Cilindrične koordinate tačke P(ρ,φ,z) su polarne koordinate ρ, φ projekcije ove tačke na ravan Oxy i aplikat ove tačke z (slika 5).
Sl.5 Sl.6
Formule za prijelaz iz cilindričnih u kartezijanske koordinate mogu se specificirati na sljedeći način:
x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)
U sfernim koordinatama, položaj tačke u prostoru određen je linearnom koordinatom r - rastojanjem od tačke do početka kartezijanskog koordinatnog sistema (ili pola sfernog sistema), φ - polarnim uglom između pozitivnih poluose Ox i projekciju tačke na ravan Ox, a θ - ugao između pozitivne poluose ose Oz i segmenta OP (slika 6). Gde
Postavimo formule za prijelaz sa sfernih na kartezijanske koordinate:
x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)
Tada će formule za prijelaz na cilindrične ili sferne koordinate u trostrukom integralu izgledati ovako:
, (10)
gdje su F 1 i F 2 funkcije dobivene zamjenom njihovih izraza kroz cilindrične (8) ili sferne (9) koordinate u funkciju f umjesto x, y, z.
1.4 Geometrijske i fizičke primjene višestrukih integrala
1) Površina ravne regije S:
(11)Primjer 1.
Pronađite površinu slike D ograničenu linijama
Pogodno je izračunati ovu površinu računajući y kao eksternu varijablu. Tada su granice regije date jednadžbama
I 
izračunato korištenjem integracije po dijelovima: 
Prethodno smo dokazali svojstva određenog integrala koristeći njegovu definiciju kao granicu zbira. Osnovna svojstva višestrukih integrala mogu se dokazati na potpuno isti način. Radi jednostavnosti, sve funkcije ćemo smatrati kontinuiranim, tako da njihovi integrali svakako imaju smisla.
I. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala, a integral konačnog zbira funkcija jednak je zbiru integrala članova:
II. Ako se područje razloži na konačan broj dijelova [na primjer, na dva dijela, tada je integral po cijeloj regiji jednak zbiru integrala po svim dijelovima:
III. Ako u okolini, onda
posebno:
IV. Ako je znak u području (a) sačuvan, vrijedi teorema srednje vrijednosti, izražena formulom
gdje je neka tačka koja leži unutar regije (a).
Konkretno, kada dobijemo
gdje je površina regije.
Slična svojstva vrijede i za trostruki integral. Imajte na umu da kada se definiše dvostruki i trostruki integral kao granica sume, uvijek se pretpostavlja da je područje integracije konačno, a funkcija integranda u svakom slučaju ograničena, odnosno postoji pozitivan broj A takav da uopće tačke N regiona integracije. Ako ovi uslovi nisu ispunjeni, onda integral može postojati kao nepravilan integral na isti način kao što je bio slučaj sa jednostavnim definitivnim integralom. Bavićemo se nepravilnim višestrukim integralima u §8.
Oprez: Prilikom izračunavanja nepravilnih integrala sa singularnim tačkama unutar intervala integracije, ne možete mehanički primijeniti Newton–Leibniz formulu, jer to može dovesti do grešaka.
Opće pravilo: Newton–Leibnizova formula je tačna ako je antiderivat od f(x) u singularnoj tački potonjeg je kontinuiran.
Primjer 2.11.
Razmotrimo nepravilan integral sa singularnom tačkom x = 0. Formalno primenjena Newton–Leibnizova formula daje
Međutim, ovdje se ne primjenjuje opće pravilo; za f(x) = 1/x antiderivat ln |x| nije definisan na x = 0 i beskonačno je velik u ovoj tački, tj. nije kontinuirano u ovom trenutku. Lako je provjeriti direktnom provjerom da integral divergira. stvarno,
Rezultirajuća nesigurnost se može rješavati na različite načine jer e i d teže nuli nezavisno. Konkretno, uz pretpostavku e = d, dobijamo glavnu vrijednost nepravilnog integrala jednaku 0. Ako je e = 1/n i d =1/n 2 , tj. d teži 0 brže od e, onda dobijamo
kada i obrnuto,
one. integral divergira.n
Primjer 2.12.
Razmotrimo nepravilan integral sa singularnom tačkom x = 0. Antiderivat funkcije ima oblik i kontinuiran je u tački x = 0. Stoga možemo primijeniti Newton-Leibnizovu formulu:
Prirodna generalizacija koncepta određenog Riemannovog integrala na slučaj funkcije više varijabli je koncept višestrukog integrala. Za slučaj dvije varijable, takvi integrali se nazivaju duplo.
Razmotrimo dvodimenzionalni euklidski prostor R´R, tj. na ravni sa Dekartovim koordinatnim sistemom, skup E finalno područje S.
Označimo sa ( i = 1, …, k) postaviti particiju E, tj. takav sistem njegovih podskupova E i, i = 1,. . ., k, da je Ø za i ¹ j i (sl. 2.5). Ovdje označavamo podskup E i bez svoje granice, tj. unutrašnje tačke podskupa E i , koje zajedno sa svojom granicom Gr E ja formiram zatvoreni podskup E i, . Jasno je da je to područje S(E i) podskupovi E i poklapa se sa površinom njegove unutrašnjosti, budući da je površina granice GrE i je jednako nuli.
Neka je d(E i). podesiti prečnik E i, tj. maksimalno rastojanje između dve njegove tačke. Količina l(t) = d(E i) će biti pozvana finoća pregrade t. Ako je funkcija f(x),x = (x, y), definirana na E kao funkcija dva argumenta, tada bilo koji zbir oblika
X i O E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i , y i),
u zavisnosti i od funkcije f i particije t i od izbora tačaka x i n E i m t se zove integralni zbir funkcije f .
Ako za funkciju f postoji vrijednost koja ne zavisi ni od particija t ni od izbora tačaka (i = 1, ..., k), tada se ova granica naziva dvostruki Rimanov integral iz f(x,y) i označava se
U ovom slučaju se poziva sama funkcija f Riemann integrabilan.
Podsjetimo to u slučaju funkcije s jednim argumentom kao skupom E nad kojim se vrši integracija obično se uzima segment , a njegova particija t se smatra particijom koja se sastoji od segmenata. U drugim aspektima, kao što je lako vidjeti, definicija dvostrukog Rimanova integrala ponavlja definiciju definitivnog Rimanova integrala za funkciju jednog argumenta.
Dvostruki Riemannov integral ograničenih funkcija dvije varijable ima uobičajena svojstva određenog integrala za funkcije jednog argumenta – linearnost, aditivnost s obzirom na skupove nad kojima se vrši integracija, očuvanje prilikom integracije nestriktne nejednakosti, integrabilnost proizvoda integrisane funkcije itd.
Proračun višestrukih Riemannovih integrala svodi se na proračun iterirani integrali. Razmotrimo slučaj dvostrukog Rimanova integrala. Neka funkcija f(x,y) je definiran na skupu E koji leži u kartezijanskom proizvodu skupova X ´ Y, E M X ´ Y.
Ponovljenim integralom funkcije f(x, y) naziva se integral u kojem se sekvencijalno vrši integracija nad različitim varijablama, tj. integral forme
Postavite E(y) = (x:
Za iterirani integral se također koristi sljedeća notacija:
što, kao i prethodni, znači da prvo, za fiksno y, y O E y , funkcija je integrirana f(x, y) By x duž segmenta E(y), što je dio skupa E odgovara ovome y. Kao rezultat toga, unutrašnji integral definira neku funkciju jedne varijable - y. Ova funkcija se zatim integrira kao funkcija jedne varijable, kao što je naznačeno vanjskim integralnim simbolom.
Prilikom promjene redoslijeda integracije dobijamo ponovljeni integral oblika
gdje se vrši unutrašnja integracija y, i eksterne - po x. Kako se ovaj ponovljeni integral odnosi na iterirani integral definisan gore?
Ako postoji dvostruki integral funkcije f, tj.
tada postoje oba ponovljena integrala, a oni su identični po veličini i jednaki dvostrukom, tj.
Naglašavamo da je uslov formulisan u ovoj izjavi za mogućnost promene redosleda integracije u iteriranim integralima samo dovoljno, ali nije neophodno.
Drugi dovoljni uslovi mogućnosti promene redosleda integracije u iteriranim integralima su formulisane na sledeći način:
ako postoji barem jedan od integrala
zatim funkciju f(x, y) Riemann integrabilan na setu E, oba ponovljena integrala postoje i jednaka su dvostrukom integralu. n
Odredimo notaciju projekcija i presjeka u zapisu iteriranih integrala.
Ako je skup E pravougaonik
To E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); pri čemu E(y) = E x za bilo koje y, y O E y . , A E(x) = Ey za bilo koji x , x O E x ..
Formalni unos: " y y O E yÞ E(y) = prÙ" x x O E xÞ E(x) = Ey
Ako skup E ima zakrivljena granica i dozvoljava reprezentacije
U ovom slučaju, ponovljeni integrali se zapisuju na sljedeći način:
Primjer 2.13.
Izračunajte dvostruki integral nad pravokutnom površinom, svodeći ga na iterativno.
Pošto je uslov sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, zatim se provjerava zadovoljivost dovoljnih uslova za postojanje dvostrukog integrala I u obliku postojanja bilo kojeg od ponovljenih integrala
nema potrebe da se ovo posebno izvodi i odmah možete preći na izračunavanje ponovljenog integrala
Ako postoji, onda postoji i dvostruki integral, i I = I 1 . Zbog
Dakle, I = .n
Primjer 2.14.
Izračunajte dvostruki integral preko trouglastog područja (vidi sliku 2.6), svodeći ga na ponovljeno
Gr(E) = (
Prvo, provjerimo postojanje dvostrukog integrala I. Da bismo to učinili, dovoljno je provjeriti postojanje ponovljenog integrala
one. integrandi su kontinuirani na intervalima integracije, pošto su svi funkcije stepena. Dakle, integral I 1 postoji. U ovom slučaju dvostruki integral također postoji i jednak je svakom ponovljenom, tj.
Primjer 2.15.
Da biste bolje razumjeli vezu između pojmova dvostrukih i iteriranih integrala, razmotrite sljedeći primjer, koji može biti izostavljen pri prvom čitanju. Zadana je funkcija dvije varijable f(x, y).
Imajte na umu da je za fiksni x ova funkcija neparna po y, a za fiksno y neparna po x. Kao skup E preko kojeg je ova funkcija integrirana, uzimamo kvadrat E = (
Prvo razmatramo iterirani integral
Unutrašnji integral
uzima se za fiksni y, -1 £ y £ 1. Pošto je integrand za fiksni y neparan po x, a integracija nad ovom varijablom se vrši preko segmenta [-1, 1], simetričnog u odnosu na tačku 0, tada unutrašnji integral je jednak 0. Očigledno je da je vanjski integral nad promjenljivom y nulte funkcije također jednak 0, tj.
Slično razmišljanje za drugi iterirani integral dovodi do istog rezultata:
Dakle, za razmatranu funkciju f(x, y) ponovljeni integrali postoje i jednaki su jedan drugom. Međutim, ne postoji dvostruki integral funkcije f(x, y). Da bismo to vidjeli, okrenimo se geometrijskom značenju izračunavanja ponovljenih integrala.
Za izračunavanje iteriranog integrala
koristi se poseban tip podjele kvadrata E, kao i poseban proračun integralnih suma. Naime, kvadrat E je podijeljen na horizontalne pruge (vidi sliku 2.7), a svaka traka je podijeljena na male pravokutnike. Svaka traka odgovara određenoj vrijednosti varijable y; na primjer, ovo može biti ordinata horizontalne ose trake.
Izračunavanje integralnih suma se vrši na sljedeći način: prvo se izračunavaju sume za svaki pojas posebno, tj. pri fiksnom y za različite x, a zatim se ovi međuzbroji sabiraju za različite opsege, tj. za različite y. Ako finoća particije teži nuli, tada u granici dobijamo gore spomenuti ponovljeni integral.
Jasno je da za drugi iterirani integral
skup E je podijeljen na okomite pruge koje odgovaraju različitim x. Međuzbroji se izračunavaju unutar svake trake u malim pravokutnicima, tj. duž y, a zatim se sabiraju za različite opsege, tj. od x. U granici, kada finoća particije teži nuli, dobijamo odgovarajući iterirani integral.
Da bismo dokazali da dvostruki integral ne postoji, dovoljno je navesti jedan primjer particije, izračunavanje integralnih suma za koje, u granici kada finoća razdiobe teži nuli, daje rezultat različit od vrijednosti ponovljenih integrala. Navedimo primjer takve particije koja odgovara polarnom koordinatnom sistemu (r, j) (vidi sliku 2.8).
U polarnom koordinatnom sistemu, položaj bilo koje tačke na ravni M 0 (x 0 , y 0), gde su x 0 , y 0 kartezijanske koordinate tačke M 0, određen je dužinom r 0 poluprečnika povezujući ga sa ishodištem i uglom j 0 formiranim ovim poluprečnikom sa pozitivnim pravcem osi x (ugao se računa suprotno od kazaljke na satu). Veza između kartezijanskih i polarnih koordinata je očigledna:
y 0 = r 0 × sinj 0 .
| |
Particija je konstruisana na sledeći način. Prvo se kvadrat E dijeli na sektore s polumjerima koji izlaze iz centra koordinata, a zatim se svaki sektor dijeli na male trapeze linijama okomitim na osu sektora. Izračunavanje integralnih suma vrši se na sljedeći način: prvo duž malih trapeza unutar svakog sektora duž njegove ose (duž r), a zatim preko svih sektora (duž j). Položaj svakog sektora karakteriše ugao njegove ose j, a dužina njegove ose r(j) zavisi od ovog ugla:
ako ili , onda ;
ako onda ;
ako onda
ako onda .
Prelaskom na granicu integralnih suma polarne particije kada finoća particije teži nuli, dobijamo prikaz dvostrukog integrala u polarnim koordinatama. Takva notacija se može dobiti na čisto formalan način, zamjenom kartezijanskih koordinata (x, y) polarnim (r, j).
Prema pravilima prijelaza u integralima iz kartezijanskih u polarne koordinate, po definiciji treba napisati:
U polarnim koordinatama, funkcija f(x, y) će biti zapisana na sljedeći način:
Konačno imamo
Unutrašnji integral (nepravilan) u posljednjoj formuli
gdje je funkcija r(j) naznačena gore, 0 £ j £ 2p , jednaka je +¥ za bilo koje j, jer
Stoga, integrand u vanjskom integralu evaluiranom preko j nije definiran za bilo koji j. Ali tada sam vanjski integral nije definiran, tj. originalni dvostruki integral nije definiran.
Imajte na umu da funkcija f(x, y) ne zadovoljava dovoljan uslov za postojanje dvostrukog integrala nad skupom E. Pokažimo da je integral
ne postoji. stvarno,
Slično, isti rezultat je uspostavljen za integral
Koncept dvostrukog integrala
Dvostruki integral (DI) je generalizacija određenog integrala (DI) funkcije jedne varijable na slučaj funkcije dvije varijable.
Neka je neprekidna nenegativna funkcija $z=f\left(x,y\right)$ definirana u zatvorenoj domeni $D$ koja se nalazi u koordinatnoj ravni $xOy$. Funkcija $z=f\left(x,y\right)$ opisuje određenu površinu koja se projektuje u domenu $D$. Region $D$ je ograničen zatvorenom linijom $L$, čije granične tačke takođe pripadaju regionu $D$. Pretpostavljamo da je prava $L$ formirana od konačnog broja kontinuiranih krivulja definiranih jednadžbama oblika $y=\vartheta \left(x\right)$ ili $x=\psi \left(y\right)$ .
Podijelimo područje $D$ na $n$ proizvoljne dijelove površine $\Delta S_(i) $. U svakom od sekcija biramo jednu proizvoljnu tačku $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. U svakoj od ovih tačaka izračunavamo vrijednost date funkcije $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Razmotrimo volumen ispod onog dijela površine $z=f\left(x,y\right)$ koji se projektuje u područje $\Delta S_(i) $. Geometrijski, ovaj volumen se približno može predstaviti kao zapremina cilindra sa osnovom $\Delta S_(i) $ i visinom $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$ , odnosno jednak proizvodu $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Tada se volumen ispod cijele površine $z=f\left(x,y\right)$ unutar područja $D$ može približno izračunati kao zbir zapremina svih cilindara $\sigma =\sum \limits _( i=1)^(n )f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Ovaj zbir se naziva integralni zbir za funkciju $f\left(x,y\right)$ u domeni $D$.
Nazovimo prečnik $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ preseka $\Delta S_(i) $ najvećim rastojanjem između ekstremnih tačaka ovog preseka. Neka $\lambda $ označava najveći od prečnika svih preseka iz oblasti $D$. Neka je $\lambda \to 0$ zbog neograničenog $n\to \infty $ preciziranja particioniranja domene $D$.
Definicija
Ako postoji granica integralne sume $I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $, tada se ovaj broj naziva CI funkcije $f\left(x,y\ desno)$ preko domene $D $ i označimo $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ ili $I=\iint \limits _(D)f\ lijevo(x,y\desno) \cdot dx\cdot dy $.
U ovom slučaju, region $D$ se naziva region integracije, $x$ i $y$ su integracione varijable, a $dS=dx\cdot dy$ je element površine.
Iz definicije slijedi geometrijsko značenje DI: daje tačnu vrijednost zapremine određenog krivolinijskog cilindra.
Primjena dvostrukih integrala
Volumen tijela
U skladu sa geometrijskim značenjem DI, zapremina $V$ nekog tijela omeđena odozgo površinom $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, dolje područjem $D$ na ravni $xOy$, na stranama cilindričnom površinom, čiji su generatori paralelni sa $Oz$ osi, a vodilica je kontura područja $D$ (linija $L$), izračunava se po formuli $ V=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Neka tijelo ograniči površinu $z=f_(2) \left(x,y\right)$ odozgo, a površinu $z=f_(1) \left(x,y\right)$ odozdo, i $f_( 2) \left(x,y\right)\ge f_(1) \left(x,y\right)$. Projekcija obe površine na ravan $xOy$ je ista oblast $D$. Tada se volumen takvog tijela izračunava pomoću formule $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y) \desno)\desno )\cdot dx\cdot dy $.
Pretpostavimo da u domeni $D$ funkcija $f\left(x,y\right)$ mijenja predznak. Zatim, da bi se izračunao volumen odgovarajućeg tijela, područje $D$ mora se podijeliti na dva dijela: dio $D_(1) $, gdje je $f\left(x,y\right)\ge 0$, i dio $D_(2) $, gdje je $f\left(x,y\right)\le 0$. U ovom slučaju, integral na području $D_(1) $ će biti pozitivan i jednak volumenu onog dijela tijela koji leži iznad ravni $xOy$. Integral na području $D_(2) $ će biti negativan i po apsolutnoj vrijednosti jednak volumenu onog dijela tijela koji leži ispod ravni $xOy$.
Površina ravne figure
Ako stavimo $f\left(x,y\right)\equiv 1$ svuda u području $D$ na koordinatnoj ravni $xOy$, tada je CI numerički jednak površini integracijske regije $D $, odnosno $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. U polarnom koordinatnom sistemu, ista formula ima oblik $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $.
Površina proizvoljne površine
Neka se neka površina $Q$, data jednadžbom $z=f_(1) \left(x,y\right)$, projektuje na koordinatnu ravan $xOy$ u domenu $D_(1)$. U ovom slučaju, površina $Q$ može se izračunati pomoću formule $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) \desno)^ (2) +\left(\frac(\partial z)(\partial y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.
Količina supstance
Pretpostavimo da je u području $D$ neka tvar površinske gustine $\rho \left(x,y\right)$ raspoređena na ravni $xOy$. To znači da je površinska gustina $\rho \left(x,y\right)$ masa materije po elementarnoj površini $dx\cdot dy$ područja $D$. Pod ovim uslovima, ukupna masa supstance se može izračunati pomoću formule $M=\iint \limits _(D)\rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Imajte na umu da "supstanca" može biti električni naboj, toplina itd.
Koordinate centra mase ravne figure
Formule za izračunavanje koordinatnih vrijednosti centra mase ravne figure su sljedeće:$ $$x_(c) =\frac(\iint \limits _(D)x\cdot \rho \left(x) ,y\desno)\cdot dx\cdot dy )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $.
Količine u brojiocima nazivaju se statički momenti $M_(y) $ i $M_(x) $ ravni figure $D$ oko osa $Oy$ i $Ox$, respektivno.
Ako je ravna figura homogena, odnosno $\rho =const$, onda su ove formule pojednostavljene i izražene se ne kroz masu, već kroz površinu ravne figure $S$: $x_(c) = \frac(\iint \limits _(D )x\cdot dx\cdot dy )(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy )( S) $.
Momenti inercije površine ravne figure
Razmotrimo materijalnu ravnu figuru na ravni $xOy$. Zamislimo ga kao određeno područje $D$, preko koje je raspoređena tvar ukupne mase $M$ s promjenjivom površinskom gustinom $\rho \left(x,y\right)$.
Vrijednost momenta inercije površine ravne figure u odnosu na osu $Oy$: $I_(y) \; =\; \iint \ograničenja _(D)x^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\; \cdot dx\; \cdot dy $. Vrijednost momenta inercije oko $Ox$ ose: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x,\; y)\cdot\; dx\; \cdot dy $. Moment inercije ravne figure u odnosu na početak jednak je zbiru momenata inercije u odnosu na koordinatne ose, odnosno $I_(O) =I_(x) +I_(y) $.
Trostruki integrali se uvode za funkcije tri varijable.
Pretpostavimo da je data određena regija $V$ trodimenzionalnog prostora, ograničena zatvorenom površinom $S$. Pretpostavljamo da tačke koje leže na površini takođe pripadaju oblasti $V$. Pretpostavimo da je neka kontinuirana funkcija $f\left(x,y,z\right)$ data u domeni $V$. Na primjer, takva funkcija, pod uvjetom da je $f\left(x,y,z\right)\ge 0$, može biti gustina volumetrijske raspodjele neke tvari, raspodjela temperature itd.
Podijelimo područje $V$ na $n$ proizvoljne dijelove, čiji su volumeni $\Delta V_(i) $. U svakom dijelu biramo jednu proizvoljnu tačku $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. U svakoj od ovih tačaka izračunavamo vrijednost date funkcije $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$.
Formiramo integralni zbir $\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot \Delta V_ (i) $ i beskonačno ćemo precizirati $\left(n\to \infty \right)$ podjelu područja $V$ tako da je najveći od prečnika $\lambda $ svih dijelova $\Delta V_(i) $ opada neograničeno $ \left(\lambda \to 0\right)$.
Definicija
Pod gornjim uslovima, granica $I$ ovog integralnog zbroja postoji, naziva se trostrukim integralom funkcije $f\left(x,y,z\right)$ nad domenom $V$ i označava se $I\ ; =\; \iiiint \ograničenja _(V)f\lijevo(x,y,z\desno)\; \cdot dV $ ili $I\; =\; \iiiint \ograničenja _(V)f\lijevo(x,y,z\desno)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \cdot dz$.
