Akumulacija grešaka. Matematička enciklopedija: šta je akumulacija grešaka, šta to znači i kako to ispravno napisati

Analitička hemija

UDK 543.08+543.422.7

PREDVIĐANJE FOTOMETRIJSKIH GREŠKA KORIŠĆENJEM ZAKONA KUMULACIJE GREŠKA I MONTE KARLO METODE

IN AND. Golovanov, EM Danilina

U računarskom eksperimentu, upotrebom kombinacije zakona propagacije greške i Monte Carlo metode, istražen je uticaj grešaka u pripremi rastvora, grešaka slepog eksperimenta i grešaka merenja propustljivosti na metrološke karakteristike fotometrijske analize. Utvrđeno je da su rezultati predviđanja greške analitičkim i statističkim metodama međusobno konzistentni. Pokazano je da je karakteristika Monte Carlo metode mogućnost predviđanja zakona raspodjele grešaka u fotometriji. Na primjeru scenarija rutinske analize razmatra se utjecaj heteroskedastičnosti raspršenosti duž kalibracionog grafa na kvalitet analize.

Ključne riječi: fotometrijska analiza, zakon akumulacije grešaka, kalibracijski graf, metrološke karakteristike, Monte Carlo metoda, stohastičko modeliranje.

Uvod

Predviđanje grešaka u fotometrijskoj analizi uglavnom se zasniva na upotrebi zakona akumulacije grešaka (LOA). Za slučaj linearnog oblika zakona apsorpcije svetlosti: - 1§T = A = b1c, ZNO se obično piše jednačinom:

8A _ 8C _ 0,434-10^

A '8T-

U ovom slučaju se pretpostavlja da je standardna devijacija mjerenja propusnosti konstantna u cijelom dinamičkom rasponu fotometra. Istovremeno, kao što je navedeno u, pored instrumentalnih grešaka, na tačnost analize utiču i greška slepog eksperimenta, greška u postavljanju granica skale instrumenta, greška kivete, hemijski faktori i greška u postavljanje analitičke talasne dužine. Ovi faktori se smatraju glavnim izvorima greške u rezultatima analize. Doprinosi akumuliranoj grešci u tačnosti pripreme kalibracionih rastvora se obično zanemaruju.

Iz ovoga vidimo da jednačina (1) nema značajnu prediktivnu moć, jer uzima u obzir uticaj samo jednog faktora. Osim toga, jednačina (1) je posljedica približne ekspanzije zakona apsorpcije svjetlosti u Taylorov niz. Ovo postavlja pitanje njegove tačnosti, zbog zanemarivanja uslova ekspanzije iznad prvog reda. Matematička analiza ostataka raspadanja povezana je sa računskim poteškoćama i ne koristi se u praksi hemijske analize.

Svrha ovog rada je proučavanje mogućnosti korištenja Monte Carlo metode (metoda statističkog testiranja) kao samostalne metode za proučavanje i predviđanje gomilanja grešaka u fotometrijskoj analizi, dopunjavajući i produbljujući mogućnosti ZNO.

Teorijski dio

U ovom radu ćemo pretpostaviti da je konačna slučajna greška funkcije kalibracije uzrokovana ne samo instrumentalnim greškama u mjerenju optičke gustoće, već i greškama u postavljanju skale instrumenta na 0 i 100% propustljivosti (greška od

veliko iskustvo), kao i greške u pripremi kalibracionih rastvora. Ostale izvore grešaka zanemarujemo. Zatim prepisujemo jednačinu Bouguer-Lambert-Beerovog zakona u obliku pogodnom za dalju konstrukciju:

Ay = ks" + A

U ovoj jednadžbi, c51 je koncentracija glavnog standardnog rastvora obojene supstance, čiji se alikvoti (Va) razblažuju u tikvicama nominalnog volumena Vd da bi se dobio kalibracioni niz rastvora, Ai je optička gustina slijepog rastvora . Pošto se tokom fotometrije optička gustina test rastvora meri u odnosu na praznu otopinu, tj. Ay se uzima kao konvencionalna nula, tada je Ay = 0. (Imajte na umu da se vrednost optičke gustoće izmerena u ovom slučaju može nazvati konvencionalnom ekstincijom. ) U jednačini (2) bezdimenzionalna veličina c" ima značenje koncentracije radne otopine, izražene u jedinicama koncentracije glavnog etalona. Koeficijent k ćemo zvati ekstinkcija standarda, jer je Ag1 = e1c81 sa c" = 1.

Primijenimo na izraz (2) operator zakona akumulacije slučajnih grešaka, uz pretpostavku da su Va, Vd i Au slučajne varijable. Dobijamo:

Još jedna nezavisna slučajna varijabla koja utječe na širenje A vrijednosti je stupanj prijenosa, jer

A = -1§T, (4)

Zbog toga varijansama na lijevoj strani jednačine (3) dodajemo još jedan član:

52a=(0,434-10a)Č+8Íʹí +

U ovom konačnom zapisu zakona akumulacije grešaka, apsolutne standardne devijacije T, Ay i Ud su konstantne, a za Va relativna standardna greška je konstantna.

Prilikom konstruiranja stohastičkog modela kalibracijske funkcije zasnovane na Monte Carlo metodi, pretpostavljamo da su moguće vrijednosti x* slučajnih varijabli T, Ay Ua i Vd raspoređene prema normalnom zakonu. Prema Monte Carlo principu, moguće vrijednosti ćemo odigrati metodom inverzne funkcije:

X; =M(x1) + r-1(g])-vH|, (6)

gdje je M(x) matematičko očekivanje (stvarna vrijednost) varijable, ¥(r^) je Laplace-Gaussova funkcija, μ su moguće vrijednosti slučajne varijable R ravnomjerno raspoređene u intervalu (0,1 ), odnosno slučajni brojevi, 3x - standardna devijacija odgovarajuće varijable, \ = 1...t - redni broj nezavisne slučajne varijable. Nakon zamjene izraza (6) u jednačine (4) i (2) imamo:

A" = -18Hí=-1810-a + R-1(g])8t,

gdje je A" = "k-+ x2

Proračuni pomoću jednačine (7) vraćaju posebnu implementaciju kalibracijske funkcije, tj. ovisnost A" od matematičkog očekivanja M(c") (nominalna vrijednost c"). Dakle, unos (7) je analitički izraz slučajne funkcije. Sekcije ove funkcije se dobijaju uzastopnim igranjem slučajnih brojeva u svakoj tački Uzorak skupa implementacija se obrađuje pomoću statistike matematičkih metoda u svrhu procjene općih parametara kalibracije i testiranja hipoteza o svojstvima opće populacije.

Očigledno je da bi se dva pristupa koja razmatramo problemu predviđanja metroloških karakteristika u fotometriji - zasnovana na ZNO, s jedne strane, i zasnovana na Monte Carlo metodi, s druge strane, trebala međusobno nadopunjavati. Konkretno, iz jednačine (5) moguće je dobiti rezultat uz mnogo manju količinu proračuna u odnosu na (7), kao i rangiranje

rangirati slučajne varijable prema značajnosti njihovog doprinosa rezultirajućoj grešci. Rangiranje vam omogućava da napustite eksperiment skrininga u statističkim testovima i a priori isključite beznačajne varijable iz razmatranja. Jednačinu (5) je lako matematički analizirati kako bi se prosudila priroda doprinosa faktora ukupnoj varijansi. Djelomični doprinosi faktora mogu se podijeliti na one koji su nezavisni od A ili rastu sa povećanjem optičke gustoće. Prema tome, sA kao funkcija od A mora biti monotono rastuća zavisnost bez minimuma. Prilikom aproksimacije eksperimentalnih podataka jednadžbom (5), parcijalni doprinosi iste prirode će se miješati, na primjer, eksperimentalna greška može biti pomiješana s greškom slijepog eksperimenta. S druge strane, prilikom statističkog testiranja modela metodom Monte Carlo, moguće je identifikovati tako bitna svojstva kalibracionog grafa kao što su zakon(i) distribucije greške, kao i procijeniti brzinu konvergencije procjena uzorka prema one opšte. Takva analiza nije moguća na osnovu raka.

Opis računskog eksperimenta

Prilikom konstruisanja simulacionog modela kalibracije, pretpostavljamo da se kalibracioni niz rastvora priprema u volumetrijskim bocama nominalnog kapaciteta 50 ml i maksimalnom greškom od +0,05 ml. Dodajte od 1 do 17 ml osnovne standardne otopine u seriju tikvica sa greškom pipetiranja > 1%. Greške mjerenja zapremine procijenjene su korištenjem priručnika. Alikvoti se dodaju u jednakim koracima od 1 ml. U seriji postoji ukupno 17 rješenja, čija optička gustoća pokriva raspon od 0,1 do 1,7 jedinica. Tada je u jednačini (2) koeficijent k = 5. Greška slijepog eksperimenta je uzeta na nivou od 0,01 jedinica. optička gustina. Greške u mjerenju stepena propusnosti, prema , zavise samo od klase uređaja i kreću se u rasponu od 0,1 do 0,5% T.

Da bismo bolje povezali uslove računarskog eksperimenta sa laboratorijskim eksperimentom, koristili smo podatke o reproduktivnosti merenja optičkih gustoća rastvora K2Cr2O7 u prisustvu 0,05 M H2S04 na spektrofotometru SF-26. Autori aproksimiraju eksperimentalne podatke u intervalu A = 0,1...1,5 paraboličnom jednačinom:

sBOCn*103 =7,9-3,53A + 10,3A2. (8)

Proračune pomoću teorijske jednačine (5) uspjeli smo uskladiti sa proračunima pomoću empirijske jednačine (8) koristeći Newtonov metod optimizacije. Utvrdili smo da jednačina (5) na zadovoljavajući način opisuje eksperiment pri s(T) = 0,12%, s(Abi) = 0,007 i s r(Va) = 1,1%.

Nezavisne procjene greške date u prethodnom paragrafu dobro se slažu sa onima pronađenim tokom uklapanja. Za proračune prema jednačini (7) kreiran je program u obliku MS Excel tabele. Najznačajnija karakteristika našeg Excel programa je upotreba izraza NORMSINV(RAND()) za generisanje normalno raspoređenih grešaka, vidi jednačinu (6). U specijalizovanoj literaturi o statističkim proračunima u Excel-u, detaljno je opisan uslužni program „Generacija slučajnih brojeva“, koji se u mnogim slučajevima poželjno zamenjuje funkcijama kao što je NORMSINV(RAND()). Ova zamjena je posebno pogodna kada kreirate vlastite programe za Monte Carlo simulaciju.

Rezultati i njihova diskusija

Prije nego što nastavimo sa statističkim testovima, procijenimo doprinose članova na lijevoj strani jednačine (5) ukupnoj disperziji optičke gustine. Da bi se to postiglo, svaki član se normalizira na ukupnu varijansu. Proračuni su izvršeni sa s(T) = 0,12%, s(Aw) = 0,007, Sr(Va)=l.l% i s(Vfi) = 0,05. Rezultati proračuna su prikazani na sl. 1. Vidimo da se doprinosi ukupnoj varijansi mjernih grešaka Vfl mogu zanemariti.

Dok doprinosi druge vrijednosti, koja utiče na greške u pripremi rješenja, Va

dominiraju u opsegu optičke gustine 0,8__1,2. Međutim, ovaj zaključak nije uopšten

prirode, budući da se prilikom mjerenja na fotometru sa s(T) = 0,5% greške kalibracije, prema proračunima, određuju uglavnom širenjem Ay i širenjem T. Na sl. Slika 2 upoređuje relativne greške u mjerenju optičkih gustoća predviđenih na osnovu ZNO (puna linija) i Monte Carlo metode (simboli). U statističkim testovima, kriva

greške su rekonstruisane iz 100 realizacija kalibracione zavisnosti (1700 vrednosti optičke gustoće). Vidimo da su obje prognoze međusobno konzistentne. Tačke su ravnomjerno grupisane oko teorijske krive. Međutim, čak i kod ovako prilično impresivnog statističkog materijala, potpuna konvergencija nije uočena. U svakom slučaju, rasipanje nam ne dozvoljava da identifikujemo približnu prirodu raka, vidi uvod.

0 0.4 0.8 1.2 1.6

Rice. 1. Ponderisani doprinosi članova jednačine (5) varijansi A: 1 - za Ay; 2 - za Ua; 3 - za T; 4 - for

Rice. 2. Kriva greške kalibracionog grafikona

Iz teorije matematičke statistike poznato je da prilikom intervalne estimacije matematičkog očekivanja slučajne varijable, pouzdanost procjene raste ako je poznat zakon raspodjele za ovu vrijednost. Osim toga, u slučaju normalne distribucije, procjena je najefikasnija. Stoga je proučavanje zakona raspodjele grešaka u kalibracijskom grafu važan zadatak. U takvoj studiji, prije svega, testira se hipoteza normalnosti raspršivanja optičkih gustoća u pojedinim tačkama grafa.

Jednostavan način testiranja glavne hipoteze je izračunavanje koeficijenata asimetrije (a) i koeficijenata ekscesa (e) empirijskih distribucija, kao i njihovo poređenje sa vrijednostima kriterijuma. Pouzdanost statističkih zaključaka raste kako se povećava obim podataka uzorka. Na sl. Slika 3 prikazuje redoslijed koeficijenata za 17 sekcija kalibracijske funkcije. Koeficijenti se izračunavaju na osnovu rezultata 100 testova u svakoj tački. Kritične vrijednosti koeficijenata za naš primjer su |a| = 0,72 i |e| = 0,23.

Od sl. 3 možemo zaključiti da rasipanje vrijednosti u tačkama grafa, općenito, nije

proturječi hipotezi normalnosti, budući da nizovi koeficijenata nemaju gotovo nikakav preferirani smjer. Koeficijenti su nasumično lokalizirani blizu nulte linije (prikazano isprekidanom linijom). Za normalnu distribuciju, kao što je poznato, matematičko očekivanje koeficijenta nagiba i koeficijenta ekscesa je nula. Sudeći po činjenici da su za sve presjeke koeficijenti asimetrije znatno niži od kritične vrijednosti, možemo sa sigurnošću govoriti o simetriji raspodjele kalibracijskih grešaka. Moguće je da su distribucije grešaka malo iskrivljene u poređenju sa krivom normalne distribucije. Ovaj zaključak slijedi iz onoga što se vidi na sl. 3 mala polo-

Rice. 3. Kurtosis koeficijenti (1) i koeficijenti asimetrije (2) u tačkama kalibracionog grafikona

rezidentni pomak centralne linije disperzije koeficijenata kurtozisa. Dakle, proučavanjem modela generalizovane kalibracione funkcije fotometrijske analize metodom Monte Carlo (2) možemo zaključiti da je distribucija kalibracionih grešaka bliska normalnoj. Stoga se proračuni intervala povjerenja za rezultate fotometrijske analize primjenom Studentovih koeficijenata mogu smatrati sasvim opravdanim.

Prilikom izvođenja stohastičkog modeliranja procijenjena je brzina konvergencije krivulja greške uzorka (vidi sliku 2) matematičkom očekivanju krive. Za matematičko očekivanje krive greške uzet ćemo krivu izračunatu iz ZNO. Bliskost rezultata statističkih ispitivanja s različitim brojem implementacija kalibracije n teorijskoj krivulji ocijenit će se koeficijentom nesigurnosti 1 - R2. Ovaj koeficijent karakterizira udio varijacije u uzorku koji se ne može teorijski opisati. Ustanovili smo da se zavisnost koeficijenta nesigurnosti od broja realizacija kalibracione funkcije može opisati empirijskom jednačinom I - K2 = -2,3n-1 + 1,6n~/a -0,1. Iz jednadžbe nalazimo da kod n = 213 treba očekivati ​​gotovo potpunu podudarnost teorijske i empirijske krivulje greške. Dakle, konzistentna procjena grešaka fotometrijske analize može se dobiti samo na prilično velikom statističkom materijalu.

Razmotrimo mogućnosti statističke metode ispitivanja za predviđanje rezultata regresione analize kalibracionog grafa i korišćenje grafa u određivanju koncentracija fotometriranih rastvora. Da bismo to učinili, izabraćemo situaciju mjerenja rutinske analize kao scenarij. Grafikon je nacrtan korištenjem pojedinačnih mjerenja optičkih gustoća serije standardnih rješenja. Koncentracija analiziranog rastvora se nalazi iz grafikona na osnovu 3-4 rezultata paralelnih merenja. Prilikom odabira regresijskog modela treba uzeti u obzir da širenje optičkih gustoća u različitim tačkama kalibracionog grafikona nije isto, vidi jednačinu (8). U slučaju heteroekedastičkog raspršenja, preporučuje se korištenje sheme ponderiranih najmanjih kvadrata (WLS). Međutim, u literaturi nismo pronašli jasne naznake razloga zašto je klasična OLS shema, čiji je jedan od uslova primjenjivosti zahtjev homoskedastičnosti raspršenosti, manje poželjna. Ovi razlozi se mogu utvrditi obradom istog statističkog materijala dobijenog Monte Carlo metodom prema scenariju rutinske analize, sa dvije varijante OLS-a – klasičnom i ponderiranom.

Kao rezultat regresione analize samo jedne implementacije kalibracijske funkcije, dobivene su sljedeće procjene najmanjih kvadrata: k = 4,979 sa Bk = 0,023. Procjenom istih karakteristika VMNC-a dobijamo k = 5.000 sa Bk = 0.016. Regresije su rekonstruirane korištenjem 17 standardnih rješenja. Koncentracije u kalibracionoj seriji su se povećavale aritmetičkom progresijom, a optičke gustoće su se jednako ravnomjerno mijenjale u rasponu od 0,1 do 1,7 jedinica. U slučaju VMNC-a, statističke težine točaka kalibracijskog grafa su pronađene korištenjem varijansi izračunatih prema jednadžbi (5).

Varijance procjena za obje metode se statistički ne razlikuju prema Fišerovom testu na nivou značajnosti od 1%. Međutim, na istom nivou značajnosti, OLS procjena k razlikuje se od VMLS procjene prema 1;-kriterijumu. OLS procjena koeficijenta kalibracionog grafika je pomjerena u odnosu na stvarnu vrijednost M(k) = 5.000, sudeći po testu na nivou značajnosti od 5%. Dok ponderisani OLS daje procjenu koja ne sadrži sistematsku grešku.

Sada hajde da saznamo kako zanemarivanje heteroskedastičnosti može uticati na kvalitet hemijske analize. U tabeli su prikazani rezultati simulacionog eksperimenta na analizi 17 kontrolnih uzoraka obojene supstance različitih koncentracija. Štaviše, svaka analitička serija je uključivala četiri rješenja, tj. Za svaki uzorak izvršena su četiri paralelna određivanja. Za obradu rezultata korištene su dvije različite kalibracijske zavisnosti: jedna je obnovljena jednostavnom metodom najmanjih kvadrata, a druga ponderiranom. Smatramo da su kontrolne otopine pripremljene za analizu na isti način kao i otopine za kalibraciju.

Iz tabele vidimo da stvarne vrijednosti koncentracija kontrolnih otopina kako u slučaju VMNC tako iu slučaju MNC ne izlaze izvan intervala povjerenja, odnosno rezultati analize ne sadrže značajne sistematske greške. Maksimalne greške obje metode nisu statistički različite, drugim riječima, obje procjene

Poređenje rezultata određivanja koncentracija ima istu efikasnost. Od-

kontrolnih rješenja primjenom dvije metode, može se zaključiti da kada

U rutinskim analizama, upotreba jednostavnog neponderisanog OLS dizajna je sasvim opravdana. Upotreba VMNC je poželjnija ako je zadatak istraživanja samo određivanje molarne ekstinkcije. S druge strane, treba imati na umu da su naši zaključci statističke prirode. Vjerovatno je da sa povećanjem broja paralelnih determinacija hipoteza o nepristrasnosti OLS procjena koncentracija neće naći potvrdu, čak i ako su sistematske greške beznačajne sa praktične tačke gledišta.

Prilično visok kvalitet analize koju smo otkrili na osnovu jednostavne šeme klasičnih najmanjih kvadrata čini se posebno neočekivanim ako se uzme u obzir činjenica da se vrlo jaka heteroskedastičnost uočava u opsegu optičke gustoće 0,1 h - 1,7. Stepen heterogenosti podataka može se suditi po težinskoj funkciji, koja je dobro aproksimirana polinomom w = 0,057A2 - 0,193A + 0,173. Iz ove jednačine proizilazi da se u ekstremnim tačkama kalibracije statističke težine razlikuju više od 20 puta. Međutim, obratimo pažnju na činjenicu da su kalibracione funkcije vraćene pomoću 17 tačaka na grafikonu, dok su tokom analize izvršena samo 4 paralelna određivanja. Stoga se značajna razlika koju smo otkrili između funkcija kalibracije LLS i VMLS i beznačajna razlika u rezultatima analize korištenjem ovih funkcija može objasniti značajno različitim brojem stupnjeva slobode koji su bili dostupni prilikom konstruiranja statističkih zaključaka.

Zaključak

1. Predlaže se novi pristup stohastičkom modeliranju u fotometrijskoj analizi baziran na Monte Carlo metodi i zakonu akumulacije grešaka korištenjem Excel procesora proračunskih tablica.

2. Na osnovu 100 implementacija kalibracione zavisnosti, pokazano je da su predviđanja grešaka analitičkom i statističkom metodom međusobno konzistentna.

3. Proučavani su koeficijenti asimetrije i kurtozisa duž kalibracionog grafa. Utvrđeno je da se varijacije u greškama kalibracije pridržavaju zakona distribucije bliskog normalnom.

4. Razmatran je uticaj heteroskedastičnosti u raspršenosti optičkih gustoća tokom kalibracije na kvalitet analize. Utvrđeno je da u rutinskim analizama upotreba jednostavne neponderisane OLS šeme ne dovodi do primjetnog smanjenja tačnosti rezultata analize.

Književnost

1. Bernstein, I.Ya. Spektrofotometrijska analiza u organskoj hemiji / I.Ya. Bernstein, Yu.L. Kaminsky. - L.: Hemija, 1986. - 200 str.

2. Bulatov, M.I. Praktični vodič za fotometrijske metode analize / M.I. Bulatov, I.P. Kalinkin. - L.: Hemija, 1986. - 432 str.

3. Gmurman, V.E. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika / V.E. Gmurman. - M.: Viša škola, 1977. - 470 str.

br. s", s", pronađeno (P = 95%)

n/a dato od strane MNK VMNK

1 0,020 0,021±0,002 0,021±0,002

2 0,040 0,041±0,001 0,041±0,001

3 0,060 0,061±0,003 0,061±0,003

4 0,080 0,080±0,004 0,080±0,004

5 0,100 0,098±0,004 0,098±0,004

6 0,120 0,122±0,006 0,121±0,006

7 0,140 0,140±0,006 0,139±0,006

8 0,160 0,163±0,003 0,162±0,003

9 0,180 0,181±0,006 0,180±0,006

10 0,200 0,201±0,002 0,200±0,002

11 0,220 0,219±0,008 0,218±0,008

12 0,240 0,242±0,002 0,241±0,002

13 0,260 0,262±0,008 0,261±0,008

14 0,280 0,281±0,010 0,280±0,010

15 0,300 0,307±0,015 0,306±0,015

16 0,320 0,325±0,013 0,323±0,013

17 0,340 0,340±0,026 0,339±0,026

4. Pravdin, P. V. Laboratorijski instrumenti i oprema od stakla / P.V. Pravdin. - M.: Hemija, 1988.-336 str.

5. Makarova, N.V. Statistika u Excelu / N.V. Makarova, V.Ya. Trofimets. - M.: Finansije i statistika, 2002. - 368 str.

PREDVIĐANJE GREŠKA U FOTOMETRIJI KORIŠĆENJEM ZAKONA KUMULACIJE GREŠKA I MONTE KARLO METODE

Tokom računarskog eksperimenta, u kombinaciji zakona akumulacije grešaka i Monte Carlo metode, proučavan je uticaj grešaka pri donošenju rešenja, grešaka blanko eksperimenta i grešaka merenja optičkog prenosa na metrološke performanse fotometrijske analize. Pokazalo se da su rezultati predviđanja analitičkim i statističkim metodama međusobno konzistentni. Utvrđeno je da jedinstvena karakteristika Monte Carlo metode omogućava predviđanje zakona akumulacije grešaka u fotometriji. Za verziju rutinske analize proučavan je uticaj heteroskedastičnosti disperzije duž kalibracione krive na kvalitet analize.

Ključne riječi: fotometrijska analiza, zakon akumulacije grešaka, kalibraciona kriva, metrološke performanse, Monte Carlo metoda, stohastičko modeliranje.

Golovanov Vladimir Ivanovič - Dr. Sc. (hemija), profesor, šef katedre za analitičku hemiju Državnog univerziteta Južnog Urala.

Golovanov Vladimir Ivanovič - doktor hemijskih nauka, profesor, šef katedre za analitičku hemiju Državnog univerziteta Južnog Urala.

Email: [email protected]

Danilina Elena Ivanovna - PhD (hemija), vanredni profesor, Odsjek za analitičku hemiju, Južno-uralski državni univerzitet.

Danilina Elena Ivanovna - Kandidat hemijskih nauka, vanredni profesor, Katedra za analitičku hemiju, Južno-uralski državni univerzitet.

pri numeričkom rješavanju algebarskih jednadžbi - ukupan utjecaj zaokruživanja u pojedinim koracima računskog procesa na tačnost rezultirajućeg linearnog algebarskog rješenja. sistemima. Najčešći način za apriornu procjenu ukupnog uticaja grešaka zaokruživanja u numeričkim metodama linearne algebre je tzv. shema. obrnuta analiza. U primjeni na rješavanje sistema linearne algebare. jednačine

Shema obrnute analize je sljedeća. Rješenje izračunato direktnom metodom ne zadovoljava (1), ali se može predstaviti kao tačno rješenje poremećenog sistema

Kvalitet direktne metode ocjenjuje se najboljom apriornom procjenom, koja se može dati za norme matrice i vektora. Takve „najbolje“ i tzv. odnosno matrica i vektor ekvivalentnog poremećaja za metodu M.

Ako postoje procjene za i, onda se teoretski greška približnog rješenja može procijeniti nejednakošću

Ovdje je broj uvjeta matrice A, a pretpostavlja se da je norma matrice u (3) podređena vektorskoj normi

U stvarnosti, procjena za je rijetko poznata, a glavna poenta (2) je da se može uporediti kvalitet različitih metoda. Ispod je oblik nekih tipičnih procjena za matricu.Za metode sa ortogonalnim transformacijama i aritmetikom s pomičnim zarezom (u sistemu (1) A i b se smatraju realnim)

U ovoj procjeni - relativna tačnost aritmetike. kompjuterske operacije, je norma Euklidove matrice, f(n) je funkcija oblika , gdje je n red sistema. Tačne vrijednosti konstante C indikatora k određene su detaljima računskog procesa kao što su metoda zaokruživanja, korištenje operacije akumuliranja skalarnih proizvoda, itd. Najčešće, k = 1 ili 3/2 .

U slučaju metoda Gaussovog tipa, desna strana procjene (4) također uključuje faktor koji odražava mogućnost rasta elemenata Ana matrice u međukoracima metode u odnosu na početni nivo (takav rast nema u ortogonalne metode). Da bi se smanjila vrijednost , koriste se različite metode za odabir vodećeg elementa, sprječavajući povećanje elemenata matrice.

Za metoda kvadratnog korijena, koja se obično koristi u slučaju pozitivno određene matrice A, dobija se najjača procjena

Postoje direktne metode (Jordan, granični, konjugirani gradijenti), za koje direktna primjena sheme inverzne analize ne dovodi do efektivnih procjena. U ovim slučajevima, prilikom proučavanja N., primjenjuju se i druga razmatranja (vidi -).

Lit.: Givens W., "TJ. S. Komisija za atomsku energiju. Repts. Ser. OR NL", 1954, br. 1574; Wilkinson J. H., Greške zaokruživanja u algebarskim procesima, L., 1963; Wilkinson J.

Kh. D. Ikramov.

Problem zaokruživanja ili greške metode javlja se pri rješavanju zadataka gdje je rješenje rezultat velikog broja sekvencijalno izvedenih aritmetika. operacije.

Značajan dio takvih problema uključuje rješavanje algebarskih problema. problemi, linearni ili nelinearni (vidi gore). Zauzvrat, među algebarskim problemi Najčešći problemi nastaju prilikom aproksimacije diferencijalnih jednačina. Ovi zadaci imaju određene specifične karakteristike. posebnosti.

Metoda rješavanja problema slijedi iste ili jednostavnije zakone kao i metoda računske greške; N., str. metoda se ispituje prilikom evaluacije metode za rješavanje problema.

Prilikom proučavanja akumulacije računske greške razlikuju se dva pristupa. U prvom slučaju, smatra se da se računske greške u svakom koraku unose na najnepovoljniji način i dobija se majorantna procjena greške. U drugom slučaju, smatra se da su ove greške slučajne sa određenim zakonom raspodjele.

Priroda problema zavisi od problema koji se rešava, načina rešavanja i niza drugih faktora koji se na prvi pogled mogu činiti nevažnim; Ovo uključuje oblik zapisivanja brojeva u računar (fiksni ili pokretni zarez), redosled kojim se aritmetika izvodi. operacije itd. Na primjer, u problemu izračunavanja zbira N brojeva

Redoslijed kojim se operacije izvode je važan. Neka se proračuni izvode na mašini s pomičnim zarezom sa t binarnih znamenki i svi brojevi leže unutar . Kada se direktno izračunava pomoću ponavljajuće formule, procjena glavne greške je reda 2 -t N. Možete to učiniti drugačije (vidi). Prilikom izračunavanja suma u paru (Ako N=2l+1čudno) vjerujem . Zatim se izračunavaju njihovi parovi sumi itd. Nakon koraka formiranja parnih suma pomoću formula

dobiti procjenu glavne greške narudžbe

U tipičnim problemima količine a t izračunavaju se pomoću formula, posebno onih koji se ponavljaju, ili se unose uzastopno u RAM računala; u ovim slučajevima upotreba opisane tehnike dovodi do povećanja opterećenja memorije računara. Međutim, moguće je organizirati slijed proračuna tako da opterećenje RAM-a ne prelazi -log 2 N ćelija.

Prilikom numeričkog rješavanja diferencijalnih jednadžbi mogući su sljedeći slučajevi. Kako korak mreže h teži nuli, greška raste kako gdje . Takve metode rješavanja problema klasificiraju se kao nestabilne. Njihova upotreba je sporadična. karakter.

Stabilne metode karakterizira povećanje greške jer se greška takvih metoda obično procjenjuje na sljedeći način. Jednačina se konstruiše u odnosu na smetnju uvedenu ili zaokruživanjem ili greškama metode, a zatim se ispituje rešenje ove jednačine (vidi,).

U složenijim slučajevima koristi se metoda ekvivalentnih perturbacija (vidi,), razvijena u odnosu na problem proučavanja akumulacije računskih grešaka pri rješavanju diferencijalnih jednačina (vidi,,). Proračuni koji koriste određenu proračunsku shemu sa zaokruživanjem smatraju se proračunima bez zaokruživanja, ali za jednadžbu s poremećenim koeficijentima. Poređenjem rješenja izvorne jednadžbe mreže sa rješenjem jednadžbe s poremećenim koeficijentima, dobiva se procjena greške.

Značajna pažnja se poklanja odabiru metode sa, ako je moguće, nižim vrijednostima q i A(h) . Uz fiksnu metodu za rješavanje problema, formule proračuna se obično mogu pretvoriti u oblik gdje (vidi , ). Ovo je posebno značajno u slučaju običnih diferencijalnih jednadžbi, gdje se broj koraka u nekim slučajevima pokaže vrlo velikim.

Vrijednost (h) može jako rasti s povećanjem intervala integracije. Stoga pokušavaju koristiti metode s nižom vrijednošću A(h) ako je moguće. . U slučaju Cauchyjevog problema, greška zaokruživanja na svakom konkretnom koraku u odnosu na sljedeće korake može se smatrati greškom u početnom stanju. Dakle, infimum (h) zavisi od karakteristike divergencije bliskih rješenja diferencijalne jednadžbe definirane varijacionom jednadžbom.

U slučaju numeričkog rješenja obične diferencijalne jednadžbe jednadžba u varijacijama ima oblik

i stoga, kada se rješava problem na intervalu ( x 0 , X) nemoguće je računati da će konstanta A(h) u majorantnoj procjeni računske greške biti znatno bolja od

Stoga se pri rješavanju ovog problema najčešće koriste jednostepene metode tipa Runge-Kutta ili metode Adamsovog tipa (vidi,), gdje se problem uglavnom određuje rješavanjem jednadžbe u varijacijama.

Za veći broj metoda, glavni član greške metode akumulira se po sličnom zakonu, dok se računska greška akumulira mnogo brže (vidi). Područje prakse primenjivost ovakvih metoda pokazuje se znatno užom.

Akumulacija računske greške značajno ovisi o metodi koja se koristi za rješavanje problema mreže. Na primjer, kada se rješavaju problemi graničnih vrijednosti mreže koji odgovaraju običnim diferencijalnim jednadžbama korištenjem metoda snimanja i sweepinga, problem ima karakter A(h) h-q, gdje je q isto. Vrijednosti A(h) za ove metode mogu se toliko razlikovati da u određenoj situaciji jedna od metoda postaje neprimjenjiva. Prilikom rješavanja graničnog problema mreže za Laplaceovu jednačinu metodom snimanja problem ima karakter s 1/h , s>1, au slučaju metode sweep Ah-q. Sa probabilističkim pristupom proučavanju grešaka zaokruživanja, u nekim slučajevima oni a priori pretpostavljaju neku vrstu zakona raspodjele grešaka (vidi), u drugim slučajevima uvode mjeru o prostoru problema koji se razmatraju i, na osnovu ove mjere, dobiti zakon distribucije greške zaokruživanja (vidi, ).

Uz umjerenu tačnost u rješavanju problema, majorantni i probabilistički pristupi procjeni akumulacije računske greške obično daju kvalitativno iste rezultate: ili se u oba slučaja greška javlja u prihvatljivim granicama, ili u oba slučaja greška prelazi te granice.

Lit.: Voevodin V.V., Računske osnove linearne algebre, M., 1977; Šura-Bura M.R., “Primijenjena matematika i mehanika”, 1952, tom 16, br.5, str. 575-88; Bakhvalov N. S., Numeričke metode, 2. izd., M., 1975; Wilkinson J. X., Algebarski problem vlastitih vrijednosti, trans. sa engleskog, M.. 1970; Bakhvalov N. S., u knjizi: Računske metode i programiranje, v. 1, M., 1962, str.69-79; Godunov S.K., Ryabenkiy V.S., Diferencijske šeme, 2. izd., M., 1977; Bakhvalov N. S., "Doc. Akademija nauka SSSR", 1955, v. 104, br. 5, str. 683-86; njegov, "J. će računati, matematika i matematička fizika", 1964; tom 4, broj 3, str. 399-404; Lapšin E. A., isto, 1971, tom 11, br.6, str.1425-36.

• - odstupanja rezultata mjerenja od pravih vrijednosti mjerene veličine. Sistematično...
• - metrološka odstupanja svojstva ili parametri mernih instrumenata od memorijalnih, koji utiču na greške rezultata merenja...

  Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

• - odstupanja rezultata mjerenja od pravih vrijednosti mjerene veličine. Oni igraju značajnu ulogu u brojnim forenzičkim vještačenjima...

  Forenzička enciklopedija

• - : Vidi i: - greške mjernih instrumenata - greške mjerenja...
• - Pogledaj...

  Enciklopedijski rečnik metalurgije

• - odstupanja metroloških parametara mjernih instrumenata od nominalnih, koja utiču na greške rezultata mjerenja...

  Enciklopedijski rečnik metalurgije

• - "...Periodične greške su greške čija je vrijednost periodična funkcija vremena ili kretanja kazaljke mjernog uređaja.....

  Zvanična terminologija

• - "...Trajne greške su greške koje dugo zadržavaju svoju vrijednost, na primjer tokom čitave serije mjerenja. Najčešće se javljaju.....

  Zvanična terminologija

• - "...Progresivne greške su kontinuirano povećavaju ili smanjuju greške...

  Zvanična terminologija

• - pogledajte Greške u posmatranju...

  Enciklopedijski rječnik Brockhausa i Euphrona

• - greške mjerenja, odstupanja rezultata mjerenja od pravih vrijednosti mjerenih veličina. Postoje sistematske, nasumične i grube P. i. ...
• - odstupanja metroloških svojstava ili parametara mjernih instrumenata od nominalnih, koja utiču na greške rezultata mjerenja dobijenih korištenjem ovih instrumenata...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - razlika između rezultata mjerenja i prave vrijednosti izmjerene vrijednosti. Relativna greška merenja je odnos apsolutne greške merenja i prave vrednosti...

  Moderna enciklopedija

• - odstupanja rezultata mjerenja od pravih vrijednosti izmjerene veličine...

  Veliki enciklopedijski rečnik

• - pril., broj sinonima: 3 ispravljene otklonjene nepreciznosti otklonjene greške...

  Rečnik sinonima

• - pril., broj sinonima: 4 ispravljeno, otklonjeni nedostaci, otklonjene nepreciznosti, otklonjene greške...

  Rečnik sinonima

"AKCULACIJA GREŠKE" u knjigama

Tehničke greške

Iz knjige Zvijezde i pomalo nervozno autor

Tehničke greške

Iz knjige Isprazna savršenstva i druge vinjete autor Žolkovski Aleksandar Konstantinovič

Tehničke greške Priče o uspješnom otporu sili nisu tako nevjerojatne koliko se latentno bojimo. Napad obično pretpostavlja pasivnost žrtve, pa je stoga zamišljen samo jedan korak naprijed i ne može izdržati kontranapad. Tata mi je rekao za jednu od ovih

Grijesi i greške

Iz knjige Kako je NASA pokazala Americi Mjesec autor Rene Ralph

Grijesi i greške Uprkos svoj fiktivnosti svoje svemirske navigacije, NASA se hvalila neverovatnom preciznošću u svemu što je radila. Devet puta za redom, kapsule Apolla su savršeno padale u lunarnu orbitu bez velikih korekcija kursa. lunarni modul,

Početna akumulacija kapitala. Prisilno razvlašćenje seljaka. Akumulacija bogatstva.

autor

Početna akumulacija kapitala. Prisilno razvlašćenje seljaka. Akumulacija bogatstva. Kapitalistička proizvodnja pretpostavlja dva osnovna uslova: 1) prisustvo mase siromašnih ljudi, lično slobodnih i u isto vreme lišenih sredstava za proizvodnju i

Socijalistička akumulacija. Akumulacija i potrošnja u socijalističkom društvu.

Iz knjige Politička ekonomija autor Ostrovityanov Konstantin Vasilievich

Socijalistička akumulacija. Akumulacija i potrošnja u socijalističkom društvu. Izvor proširene socijalističke reprodukcije je socijalistička akumulacija. Socijalistička akumulacija je korištenje dijela neto prihoda društva,

Greške u mjerenju

TSB

Greške mjernih instrumenata

Iz knjige Velika sovjetska enciklopedija (PO) autora TSB

Greške ultrazvuka

Iz knjige Restauracija štitnjače Vodič za pacijente autor Ušakov Andrej Valerijevič

Greške ultrazvuka Kada mi je pacijent došao iz Sankt Peterburga na konsultaciju, vidio sam tri izvještaja o ultrazvučnom pregledu odjednom. Sve su ih izradili različiti stručnjaci. Drugačije opisano. U isto vrijeme, datumi studija gotovo su se razlikovali

Dodatak 13 Govorne greške

Iz knjige The Art of Get Your Way autor Stepanov Sergej Sergejevič

Dodatak 13 Govorne greške Čak i naizgled bezopasne fraze često mogu postati ozbiljna prepreka napredovanju u karijeri. Čuveni američki marketinški stručnjak John R. Graham sastavio je listu izraza čija upotreba, prema njegovim zapažanjima,

Govorne greške

Iz knjige Koliko vrijediš [Tehnologija za uspješnu karijeru] autor Stepanov Sergej Sergejevič

Govorne greške Čak i naizgled bezazlene fraze često mogu postati ozbiljna prepreka napredovanju u karijeri. Čuveni američki marketinški stručnjak John R. Graham sastavio je listu izraza, čija upotreba, prema njegovim zapažanjima, nije dozvoljavala

Katastrofalne greške

Iz knjige Crni labud [Pod znakom nepredvidljivosti] autor Taleb Nassim Nicholas

Katastrofalne greške Greške imaju tako destruktivno svojstvo: što su značajnije, to je veći njihov maskirni efekat.Niko ne vidi mrtve pacove, pa samim tim što je rizik smrtonosniji, to je manje očigledan, jer su žrtve isključene iz broja svjedoci. Kako

Greške u orijentaciji

Iz knjige ABC turizma autor Bardin Kiril Vasiljevič

Greške u orijentaciji Dakle, uobičajeni orijentacijski zadatak koji turist mora riješiti je da od jedne točke do druge treba doći koristeći samo kompas i kartu. Područje je nepoznato i, štoviše, zatvoreno, odnosno lišeno ičega

Greške: filozofija

Iz knjige autora

Greške: filozofija Na intuitivnom nivou, razumijemo da naše znanje u mnogim slučajevima nije tačno. Možemo s oprezom pretpostaviti da naše znanje općenito može biti tačno samo na diskretnoj skali. Možete tačno znati koliko loptica ima u vreći, ali ne možete znati kolika je njihova težina,

Greške: modeli

Iz knjige autora

Greške: modeli Kada nešto mjerimo, zgodno je prezentirati informacije dostupne u trenutku početka mjerenja (svjesne i nesvjesne) u obliku modela objekta ili fenomena. Model „nultog nivoa“ je model prisustva količine. Vjerujemo da postoji -

Greške: šta i kako kontrolisati

Iz knjige autora

Greške: šta i kako kontrolisati Izbor kontrolisanih parametara, šeme mere, metode i obima kontrole vrši se uzimajući u obzir izlazne parametre proizvoda, njegov dizajn i tehnologiju, zahteve i potrebe osobe koja koristi kontrolisane proizvode . još jednom,

Pod greškom mjerenja podrazumijevamo ukupnost svih grešaka mjerenja.

Greške u mjerenju se mogu klasificirati u sljedeće vrste:

Apsolutno i relativno,

Pozitivne i negativne,

Konstantno i proporcionalno,

Slučajno i sistematično,

Apsolutna greška A y) definira se kao razlika sljedećih vrijednosti:

A y = y ja- y ist.  y i - y,

gdje: y i – rezultat pojedinačnog mjerenja; y ist. – pravi rezultat mjerenja; y– aritmetička srednja vrednost rezultata merenja (u daljem tekstu srednja vrednost).

Konstantno naziva se apsolutna greška, koja ne zavisi od vrednosti merene veličine ( y y).

Greška proporcionalan , ako imenovana zavisnost postoji. Priroda greške mjerenja (konstantna ili proporcionalna) utvrđuje se nakon posebnih studija.

Relativna greška rezultat pojedinačnog mjerenja ( IN y) se izračunava kao omjer sljedećih veličina:

Iz ove formule proizilazi da veličina relativne greške ne zavisi samo od veličine apsolutne greške, već i od vrednosti merene veličine. Ako izmjerena vrijednost ostane nepromijenjena ( y) relativna greška mjerenja može se smanjiti samo smanjenjem apsolutne greške ( A y). Ako je apsolutna greška mjerenja konstantna, tehnika povećanja vrijednosti mjerene veličine može se koristiti za smanjenje relativne greške mjerenja.

Predznak greške (pozitivan ili negativan) određen je razlikom između pojedinačnog i rezultirajućeg (aritmetička sredina) rezultata mjerenja:

y i - y> 0 (greška je pozitivna );

y i - y< 0 (greška je negativna ).

Gruba greška mjerenje (promašaj) nastaje kada je tehnika mjerenja narušena. Rezultat mjerenja koji sadrži grubu grešku obično se značajno razlikuje po veličini od ostalih rezultata. Prisustvo grubih grešaka mjerenja u uzorku utvrđuje se samo metodama matematičke statistike (sa brojem ponavljanja mjerenja n>2). Upoznajte metode za otkrivanje grubih grešaka.

TO slučajne greške uključuju greške koje nemaju konstantnu vrijednost i predznak. Takve greške nastaju pod uticajem sledećih faktora: nepoznato istraživaču; poznato, ali neregulisano; stalno se menja.

Slučajne greške mogu se procijeniti tek nakon izvršenih mjerenja.

Sljedeći parametri mogu biti kvantitativna procjena modula slučajne greške mjerenja: disperzija uzorka pojedinačnih vrijednosti i prosječne vrijednosti; uzorak apsolutnih standardnih devijacija pojedinačnih vrijednosti i srednjih vrijednosti; uzorak relativnih standardnih devijacija pojedinačnih vrijednosti i srednje vrijednosti; opšta disperzija pojedinačnih vrednosti), odnosno itd.

Slučajne greške merenja se ne mogu eliminisati, mogu se samo smanjiti. Jedan od glavnih načina da se smanji veličina slučajne greške mjerenja je povećanje broja (veličine uzorka) pojedinačnih mjerenja (povećanje veličine n). Ovo se objašnjava činjenicom da je veličina slučajnih grešaka obrnuto proporcionalna veličini n, Na primjer:

.

Sistematske greške – to su greške nepromijenjene veličine i predznaka ili variraju prema poznatom zakonu. Ove greške su uzrokovane stalnim faktorima. Sistematske greške se mogu kvantificirati, smanjiti, pa čak i eliminirati.

Sistematske greške se klasifikuju u greške tipa I, II i III.

TO sistematske greškeItip odnose se na greške poznatog porijekla koje se mogu procijeniti proračunom prije mjerenja. Ove greške se mogu eliminisati unošenjem u rezultat mjerenja u obliku korekcija. Primjer greške ovog tipa je greška u titrimetrijskom određivanju volumetrijske koncentracije otopine ako je titrant pripremljen na jednoj temperaturi, a koncentracija mjerena na drugoj. Poznavajući ovisnost gustine titranta od temperature, moguće je prije mjerenja izračunati promjenu volumne koncentracije titranta povezanu s promjenom njegove temperature, a ta razlika se može uzeti u obzir kao korekcija kao rezultat mjerenja.

SistematičnogreškeIItip– to su greške poznatog porijekla koje se mogu procijeniti samo tokom eksperimenta ili kao rezultat posebnog istraživanja. Ova vrsta grešaka uključuje instrumentalne (instrumentalne), reaktivne, referentne i druge greške. Upoznajte karakteristike takvih grešaka sami u .

Svaki uređaj, kada se koristi u postupku mjerenja, unosi svoje greške instrumenta u rezultat mjerenja. Štaviše, neke od ovih grešaka su nasumične, a drugi su sistematski. Slučajne greške instrumenta se ne procjenjuju zasebno, već se procjenjuju u cjelini sa svim ostalim slučajnim greškama mjerenja.

Svaka instanca bilo kojeg uređaja ima svoju ličnu sistematsku grešku. Da bi se procijenila ova greška, potrebno je provesti posebne studije.

Najpouzdaniji način za procjenu sistematske greške instrumenta tipa II je provjera rada instrumenata u skladu sa standardima. Za mjerenje staklenog posuđa (pipeta, bireta, cilindri itd.) provodi se poseban postupak - kalibracija.

U praksi, ono što se najčešće traži nije procjena, već smanjenje ili otklanjanje sistematske greške tipa II. Najčešći metodi za smanjenje sistematskih grešaka su metode relativizacije i randomizacije.Otkrijte ove metode za sebe na .

TO greškeIIItip uključuju greške nepoznatog porijekla. Ove greške se mogu otkriti tek nakon eliminisanja svih sistematskih grešaka tipa I i II.

TO druge greške Uključimo sve druge vrste grešaka koje nisu gore navedene (dozvoljene, moguće marginalne greške, itd.).

Koncept mogućih maksimalnih grešaka koristi se u slučajevima korištenja mjernih instrumenata i pretpostavlja najveću moguću vrijednost instrumentalne mjerne greške (stvarna vrijednost greške može biti manja od vrijednosti moguće maksimalne greške).

Kada koristite mjerne instrumente, možete izračunati mogući maksimum apsolutnog (
) ili rođak (
) greška mjerenja. Tako se, na primjer, moguća maksimalna apsolutna greška mjerenja nalazi kao zbir mogućeg maksimalnog slučajnog (
) i neisključeno sistematično (
) greške:

=
+

Za male uzorke ( n20) nepoznate populacije koja poštuje zakon normalne distribucije, slučajne moguće maksimalne greške mjerenja mogu se procijeniti na sljedeći način:

= =
,

gdje: – interval povjerenja za odgovarajuću vjerovatnoću R;

– kvantil Studentove t-distribucije za vjerovatnoću R i uzorci n ili sa brojem stepeni slobode f = n – 1.

Apsolutna moguća maksimalna greška mjerenja u ovom slučaju bit će jednaka:

=
+
.

Ako rezultati mjerenja nisu u skladu sa zakonom normalne distribucije, onda se greške procjenjuju korištenjem drugih formula.

Određivanje količine
zavisi od toga da li mjerni instrument ima klasu tačnosti. Ako mjerni instrument nema klasu tačnosti, onda po veličini
možete prihvatiti minimalnu cijenu podjele skale(ili polovina) sredstva mjerenja. Za mjerni instrument sa poznatom klasom tačnosti vrijednosti
može se uzeti apsolutno dozvoljeno sistematska greška mjernog instrumenta (
):


.

Magnituda
izračunato na osnovu formula datih u tabeli. 2.

Za mnoge mjerne instrumente, klasa tačnosti je naznačena u obliku brojeva A10 n, Gdje A jednako 1; 1.5; 2; 2.5; 4; 5; 6 i n jednako 1; 0; -1; -2 itd., koji pokazuju vrijednost moguće maksimalno dozvoljene sistematske greške (E y , dodati.) i posebne znakove koji označavaju njen tip (relativni, redukovani, konstantni, proporcionalni).

Ako su poznate komponente apsolutne sistematske greške rezultata mjerenja aritmetičke sredine (na primjer, greška instrumenta, greška metode, itd.), onda se ona može procijeniti pomoću formule

,

gdje: m– broj komponenti sistematske greške prosječnog rezultata mjerenja;

k– koeficijent određen vjerovatnoćom R i broj m;

– apsolutna sistematska greška pojedine komponente.

Pojedinačne komponente greške mogu se zanemariti ako su ispunjeni odgovarajući uslovi.

tabela 2

Primjeri označavanja klasa tačnosti mjernih instrumenata

Oznaka klase tačnost		Proračunska formula i vrijednost najveće dozvoljene sistematske greške	Karakteristike sistematske greške
u dokumentaciji	na mernom instrumentu
			Zadata dozvoljena sistematska greška kao procenat nominalne vrednosti izmerene vrednosti, koja je određena vrstom skale merila
			Zadata dozvoljena sistematska greška kao procenat dužine korišćene skale mernog instrumenta (A) pri dobijanju pojedinačnih vrednosti merene veličine
			Konstantna relativna dozvoljena sistematska greška kao procenat dobijene pojedinačne vrednosti merene veličine
		c = 0,02; d = 0,01	Proporcionalna relativna dozvoljena sistematska greška u delovima dobijene pojedinačne vrednosti merene vrednosti, koja raste sa povećanjem konačne vrednosti opsega merenja datim mernim instrumentom ( y k) ili smanjenjem jedinične vrijednosti mjerene veličine ( y i)

Sistematske greške se mogu zanemariti ako nejednakost vrijedi

0.8.

U ovom slučaju prihvataju


 
.

Slučajne greške se mogu zanemariti

8.

Ad hoc

.

Da bi se osiguralo da je ukupna greška mjerenja određena samo sistematskim greškama, povećava se broj ponovljenih mjerenja. Minimalni broj ponovljenih mjerenja potreban za ovo ( n min) može se izračunati samo sa poznatom vrijednošću populacije pojedinačnih rezultata korištenjem formule

.

Procjena mjernih grešaka ne zavisi samo od uslova mjerenja, već i od vrste mjerenja (direktno ili indirektno).

Podjela mjerenja na direktna i indirektna je prilično proizvoljna. U budućnosti, pod direktna mjerenja Razumjet ćemo mjerenja čije su vrijednosti preuzete direktno iz eksperimentalnih podataka, na primjer očitane sa skale instrumenta (poznati primjer direktnog mjerenja je mjerenje temperature termometrom). TO indirektna mjerenja uključićemo one čiji su rezultati dobijeni na osnovu poznatog odnosa između željene vrednosti i vrednosti utvrđenih kao rezultat direktnih merenja. Gde rezultat indirektno merenje primljeno obračunom kao vrijednost funkcije  , čiji su argumenti rezultati direktnih mjerenja ( x 1 ,x 2 , …,x j,. ..., x k).

Morate znati da su greške indirektnih mjerenja uvijek veće od grešaka pojedinačnih direktnih mjerenja.

Greške u indirektnim mjerenjima procjenjuju se prema odgovarajućim zakonima akumulacije grešaka (sa k2).

Zakon akumulacije slučajnih grešaka indirektna mjerenja izgledaju ovako:

.

Zakon akumulacije mogućih maksimalnih apsolutnih sistematskih grešaka indirektna mjerenja su predstavljena sljedećim ovisnostima:

;
.

Zakon akumulacije mogućih graničnih relativnih sistematskih grešaka indirektna mjerenja imaju sljedeći oblik:

;

.

U slučajevima kada je tražena vrijednost ( y) se izračunava kao funkcija rezultata nekoliko nezavisnih direktnih mjerenja oblika
, zakon akumulacije graničnih relativnih sistematskih grešaka indirektnih mjerenja ima jednostavniji oblik:

;
.

Greške i nesigurnosti u mjerenjima određuju njihovu tačnost, ponovljivost i ispravnost.

Preciznostšto je veća, to je manja greška mjerenja.

Reproducibilnost rezultati mjerenja se poboljšavaju smanjenjem slučajnih grešaka mjerenja.

U redu rezultat mjerenja se povećava sa smanjenjem zaostalih sistematskih grešaka mjerenja.

Saznajte više o teoriji mjernih grešaka i njihovim karakteristikama sami. Skrećem vam pažnju da savremeni oblici predstavljanja konačnih rezultata mjerenja nužno zahtijevaju uključivanje grešaka ili grešaka mjerenja (sekundarnih podataka). U tom slučaju treba prikazati greške i greške mjerenja brojevi, koji ne sadrže više od dve značajne figure .

1.2.10. Obrada indirektnih mjerenja.

U indirektnim mjerenjima, željena vrijednost fizičke veličine Y pronađeno na osnovu rezultata X 1 , X 2 , … X i , … X n, direktna mjerenja drugih fizičkih veličina povezanih sa željenom poznatom funkcionalnom ovisnošću φ:

Y= φ( X 1 , X 2 , … X i , … X n). (1.43)

Pod pretpostavkom da X 1 , X 2 , … X i , … X n– korigovani rezultati direktnih merenja, a metodološke greške indirektnog merenja se mogu zanemariti, rezultat indirektnog merenja se može naći direktno pomoću formule (1.43).

Ako je Δ X 1 , Δ X 2 , … Δ X i , … Δ X n– greške u rezultatima direktnih mjerenja veličina X 1 , X 2 , … X i , … X n, zatim greška Δ rezultata Y indirektno mjerenje u linearnoj aproksimaciji može se naći po formuli

Δ = . (1.44)

Termin

(1.45)

– komponenta greške u rezultatu indirektnog mjerenja uzrokovana greškom Δ X i rezultat X i direktno mjerenje naziva se parcijalna greška, a približna formula (1.44) je zakon akumulacije privatnih grešaka. (1Q22)

Za procjenu greške Δ rezultata indirektnog mjerenja potrebno je imati neke informacije o greškama Δ X 1 , Δ X 2 , … Δ X i , … Δ X n rezultati direktnih mjerenja.

Obično su poznate granične vrijednosti komponenti greške direktnih mjerenja. Na primjer, za grešku Δ X i poznato: granica glavne greške, granice dodatnih grešaka, granica neisključenih ostataka sistematske greške itd. Greška Δ X i jednak zbiru ovih grešaka:

,

i graničnu vrijednost ove greške ΔX i,p – zbir granica:

. (1.46)

Zatim granična vrijednost Δ greške rezultata indirektnog mjerenja P = 1 se može naći pomoću formule

Δ str =
. (1.47)

Granična vrijednost Δ g greške rezultata indirektnog mjerenja za pouzdanu vjerovatnoću P = 0,95 može se naći pomoću približne formule (1,41). Uzimajući u obzir (1.44) i (1.46) dobijamo:

. (1.48)

Nakon izračunavanja Δ p ili Δ g, rezultat indirektnog mjerenja treba zapisati u standardnom obliku (odnosno (1.40) ili (1.42)). (1P3)

PITANJA:

1. Za rješavanje kojih problema se koriste? mjerna oprema? Koji metrološke karakteristike Da li ste upoznati sa mjernom opremom?

2. Po kojim kriterijumima se klasifikuju? metrološke karakteristike mjerna oprema?

3. Koja komponenta greške mjernog instrumenta se zove osnovni?

4. Koja komponenta greške mjernog instrumenta se zove dodatno?

5. Definirajte apsolutnu, relativnu i smanjenu grešku merni instrumenti.

6. Definirajte apsolutna greška mjernog pretvarača za ulaz i izlaz.

7. Kako biste eksperimentalno utvrdili greške mjernog pretvarača na ulazu i izlazu?

8. Kako su oni međusobno povezani? apsolutne greške mjernog pretvarača za ulaz i izlaz?

9. Definirajte aditivne, multiplikativne i nelinearne komponente greške mjerne opreme.

10. Zašto nelinearna komponenta greške mjernog instrumenta ponekad se zove greška linearnosti? Za koji funkcije konverzije mjernih pretvarača ima smisla?

11. Koje informacije o grešci mjernog instrumenta on pruža? klasa tačnosti?

12. Formulirajte zakon akumulacije parcijalnih grešaka.

13. Formulirajte problem zbrajanja grešaka.

15. Šta je korigovana vrednost rezultata merenja?

16. Šta je cilj obrada rezultata merenja?

17. Kako izračunati granična vrijednostΔ str greške direktni rezultat mjerenja za verovatnoću poverenja P= 1 i ee granična vrijednostΔ g za P = 0,95?

18. Kako se zove dimenzija indirektno? Kako pronađite rezultat indirektnog mjerenja?

19. Kako izračunati granična vrijednostΔ str greške rezultat indirektnog mjerenja za verovatnoću poverenja P= 1 i ee granična vrijednostΔ g za P = 0,95?

20. Navedite primjere metodoloških grešaka u direktnim i indirektnim mjerenjima.

Testovi za pododjeljak 1.2 su dati u (1KR1).

LITERATURA za odeljak 1.

2. METODE ZA MJERENJE ELEKTRIČNIH VELIČINA

2.1. Mjerenje napona i struja.

2.1.1. Opće informacije.

Prilikom odabira sredstva za mjerenje električnih napona i struja potrebno je, prije svega, uzeti u obzir:

Vrsta fizičke veličine koja se mjeri (napon ili struja);

Prisustvo i priroda zavisnosti izmerene vrednosti o vremenu u intervalu posmatranja (zavisi ili ne, zavisnost je periodična ili neperiodična funkcija, itd.);

Raspon mogućih vrijednosti izmjerene vrijednosti;

Mjereni parametar (prosječna vrijednost, efektivna vrijednost, maksimalna vrijednost u intervalu posmatranja, skup trenutnih vrijednosti u intervalu posmatranja, itd.);

Frekvencijski raspon;

Potrebna tačnost mjerenja;

Maksimalni vremenski interval posmatranja.

Osim toga, potrebno je voditi računa o rasponima vrijednosti utjecajnih veličina (temperatura okoline, napon napajanja mjernog instrumenta, izlazni otpor izvora signala, elektromagnetne smetnje, vibracije, vlažnost itd.), u zavisnosti od uslove mernog eksperimenta.

Opseg mogućih vrijednosti napona i struje je vrlo širok. Na primjer, struje mogu biti reda veličine 10 -16 A kada se mjere u prostoru i reda veličine 10 5 A u krugovima moćnih elektrana. Ovaj dio se uglavnom bavi mjerenjima napona i struja u rasponima koji se najčešće sreću u praksi: od 10 -6 do 10 3 V i od 10 -6 do 10 4 A.

Za mjerenje napona koriste se analogni (elektromehanički i elektronski) i digitalni voltmetri(2K1), kompenzatori (potenciometri) jednosmerne i naizmenične struje, analogni i digitalni osciloskopi i merni sistemi.

Za mjerenje struja koriste se elektromehanički instrumenti. ampermetri(2K2), i multimetri i mjerni sistemi u kojima se izmjerena struja prvo pretvara u napon proporcionalan njoj. Osim toga, za eksperimentalno određivanje struja koristi se indirektna metoda, mjerenje napona uzrokovanog prolaskom struje kroz otpornik s poznatim otporom.

2.1.2. Mjerenje jednosmjernih napona elektromehaničkim uređajima.

Za kreiranje voltmetara koristite sljedeće mjerni mehanizmi(2K3): magnetoelektrični(2K4), elektromagnetna(2K5), elektrodinamički(2K6), ferodinamički(2K7) I elektrostatički(2K8).

U magnetoelektričnom mjernom mehanizmu, moment je proporcionalan struji u pokretnoj zavojnici. Da bi se napravio voltmetar, dodatni otpor je povezan serijski sa namotajem zavojnice. Izmjereni napon primijenjen na ovu serijsku vezu je proporcionalan struji u namotaju; stoga se skala instrumenta može kalibrirati u naponskim jedinicama. Smjer momenta ovisi o smjeru struje, pa je potrebno obratiti pažnju na polaritet napona koji se dovodi na voltmetar.

Ulazna impedansa R ulaz magnetoelektričnog voltmetra zavisi od konačne vrednosti U na mjerni opseg i ukupnu struju odstupanja I prema - struji u namotaju zavojnice, pri kojoj će se igla instrumenta skrenuti do pune skale (podešena na oznaku U Za). Očigledno je da

R u = U Za / I By. (2.1)

Kod uređaja sa više opsega to nije vrijednost koja se često normalizira R u, i trenutno I By. Poznavajući napetost U k za mjerni opseg korišten u ovom eksperimentu, vrijednost R inx se može izračunati pomoću formule (2.1). Na primjer, za voltmetar sa U k = 100 V i I za = 1 mA R in = 10 5 Ohm.

Za izradu elektromagnetskih, elektrodinamičkih i ferodinamičkih voltmetara koristi se sličan krug, samo je dodatni otpor povezan serijski s namotom nepokretne zavojnice elektromagnetskog mjernog mehanizma ili s namotajima pokretnih i stacionarnih zavojnica elektrodinamičkog ili ferodinamičkog mjerni mehanizmi koji su prethodno bili povezani u seriju. Ukupne struje otklona za ove mjerne mehanizme su obično znatno veće nego za magnetoelektrične, pa su ulazni otpori voltmetara manji.

Elektrostatički voltmetri koriste elektrostatički mjerni mehanizam. Izmjereni napon se primjenjuje između fiksnih i pokretnih ploča izolovanih jedna od druge. Ulazni otpor je određen otporom izolacije (oko 10 9 Ohma).

Najčešći elektromehanički voltmetri sa klasama tačnosti 0,2. 0,5, 1,0, 1,5 vam omogućavaju mjerenje istosmjernih napona u rasponu od 0,1 do 10 4 V. Za mjerenje visokih napona (obično više od 10 3 V) koristite razdjelnici napona(2K9). Za mjerenje napona manji od 0,1 V, magnetoelektrični galvanometri(2Q10) i uređaja na njihovoj osnovi (na primjer, fotogalvanometrijskih uređaja), međutim, preporučljivije je koristiti digitalne voltmetre.

2.1.3. Mjerenje jednosmjernih struja elektromehaničkim uređajima.

Za kreiranje ampermetara koristite sljedeće mjerni mehanizmi(2K3): magnetoelektrični(2K4), elektromagnetna(2K5), elektrodinamički(2K6) I ferodinamički(2K7).

U najjednostavnijim jednograničnim ampermetrima, mjerni strujni krug se sastoji od namotaja pomične zavojnice (za magnetoelektrični mjerni mehanizam), fiksnog namota zavojnice (za elektromagnetski mjerni mehanizam) ili serijski povezanih namotaja pokretnih i fiksnih zavojnica (za elektrodinamički i ferodinamički mjerni mehanizmi). Dakle, za razliku od krugova voltmetra, oni ne sadrže dodatni otpor.

Višegranični ampermetri su izgrađeni na bazi jednograničnih ampermetara, koristeći različite tehnike za smanjenje osjetljivosti. Na primjer, propuštanjem izmjerene struje kroz dio namotaja zavojnice ili paralelnim povezivanjem namotaja zavojnice. Koriste se i šantovi - otpornici s relativno malim otporom povezani paralelno s namotajima.

Najčešći elektromehanički ampermetri sa klasama tačnosti 0,2. 0,5, 1,0, 1,5 vam omogućavaju mjerenje jednosmjernih struja u rasponu od 10 -6 do 10 4 A. Za mjerenje struja manjih od 10 -6 A, magnetoelektrični galvanometri(2Q10) i uređaji na njihovoj osnovi (na primjer, fotogalvanometrijski uređaji).

2.1.4. Mjerenje naizmjeničnih struja i napona

elektromehaničkih uređaja.

Za mjerenje efektivnih vrijednosti periodičnih struja i napona koriste se elektromehanički ampermetri i voltmetri. Za njihovo stvaranje koriste se elektromagnetski, elektrodinamički i ferodinamički, kao i elektrostatički (samo za voltmetre) mjerni mehanizmi. Osim toga, elektromehanički ampermetri i voltmetri također uključuju uređaje zasnovane na magnetoelektričnom mjernom mehanizmu sa pretvaračima izmjenične struje ili napona u jednosmjernu (ispravljači i termoelektrični uređaji).

Mjerni krugovi elektromagnetskih, elektrodinamičkih i ferodinamičkih ampermetara i voltmetara naizmjenične struje praktički se ne razlikuju od krugova sličnih istosmjernih uređaja. Svi ovi uređaji se mogu koristiti za mjerenje istosmjerne i naizmjenične struje i napona.

Trenutna vrijednost momenta u ovim uređajima određena je kvadratom trenutne vrijednosti struje u namotajima zavojnice, a položaj pokazivača zavisi od prosječne vrijednosti momenta. Stoga uređaj mjeri RMS (rms) vrijednost izmjerene periodične struje ili napona, bez obzira na oblik krive. Najčešći ampermetri i voltmetri sa klasama tačnosti 0,2. 0,5, 1,0, 1,5 vam omogućavaju mjerenje naizmjeničnih struja od 10 -4 do 10 2 A i napona od 0,1 do 600 V u frekvencijskom rasponu od 45 Hz do 5 kHz.

Elektrostatički voltmetri se mogu koristiti i za mjerenje konstantnih i efektivnih vrijednosti naizmjeničnog napona, bez obzira na oblik krive, budući da je trenutna vrijednost momenta u ovim uređajima određena kvadratom trenutne vrijednosti izmjerenog napona. Najčešći voltmetri s klasama tačnosti 0,5, 1,0, 1,5 omogućuju mjerenje naizmjeničnih napona od 1 do 10 5 V u frekvencijskom rasponu od 20 Hz do 10 MHz.

Magnetoelektrični ampermetri i voltmetri dizajnirani za rad u krugovima jednosmjerne struje ne mogu mjeriti efektivne vrijednosti naizmjeničnih struja i napona. Zaista, trenutna vrijednost momenta u ovim uređajima proporcionalna je trenutnoj vrijednosti struje u zavojnici. Sa sinusoidnom strujom, prosječna vrijednost obrtnog momenta i, shodno tome, očitavanje instrumenta je nula. Ako struja u zavojnici ima konstantnu komponentu, tada je očitavanje uređaja proporcionalno prosječnoj vrijednosti struje u zavojnici.

Za izradu AC ampermetara i voltmetara na temelju magnetoelektričnog mjernog mehanizma koriste se AC-to-DC pretvarači na bazi poluvodičkih dioda ili termalnih pretvarača. Na sl. 2.1 prikazuje jedno od mogućih kola ampermetra ispravljačkog sistema, a na Sl. 2.2 – termoelektrični.

Struja izmjerena ampermetrom ispravljačkog sistema je i(t) uspravlja i prolazi kroz namotaj zavojnice magnetoelektričnog mjernog mehanizma IM. Očitavanje instrumenta je proporcionalno prosječnom modulu za period T trenutna vrijednost:

. (2.2)

Značenje I cp je proporcionalan efektivnoj vrijednosti struje, ali koeficijent proporcionalnosti ovisi o vrsti funkcije i(t). Svi uređaji ispravljačkog sistema su kalibrisani u efektivnim vrijednostima struja (ili napona) sinusoidnog oblika i nisu namijenjeni za mjerenja u strujama proizvoljnog oblika.

Izmjerena struja u ampermetru termoelektričnog sistema je i(t) prolazi kroz grijač termalnog pretvarača TP. Kada se zagrije, na slobodnim krajevima termoelementa nastaje termo-EMF, uzrokujući jednosmjernu struju kroz namotaj zavojnice magnetoelektričnog mjernog mehanizma IM. Vrijednost ove struje nelinearno zavisi od efektivne vrijednosti I izmjerena struja i(t) i malo zavisi od njegovog oblika i spektra.

Krugovi voltmetara ispravljačkih i termoelektričnih sistema razlikuju se od krugova ampermetara po prisutnosti dodatnog otpora koji je serijski spojen na krug mjerene struje i(t) i obavlja funkciju izmjerenog pretvarača napona u struju.

Najčešći ampermetri i voltmetri sistema ispravljača sa klasama tačnosti 1,0 i 1,5 omogućavaju vam mjerenje naizmjeničnih struja od 10 -3 do 10 A i napona od 1 do 600 V u frekvencijskom rasponu od 45 Hz do 10 kHz.

Najčešći ampermetri i voltmetri termoelektričnih sistema sa klasama tačnosti 1,0 i 1,5 omogućavaju merenje naizmeničnih struja od 10 -4 do 10 2 A i napona od 0,1 do 600 V u frekvencijskom opsegu od 1 Hz do 50 MHz.

Tipično, uređaji ispravljačkih i termoelektričnih sistema izrađuju se u više opsega i kombinovani, što im omogućava da se koriste za merenje naizmeničnih i jednosmernih struja i napona.

2.1.5. Mjerenje istosmjernog napona

Za razliku od elektromehaničkih analogni voltmetri(2K11) elektronski voltmetri uključuju pojačivače napona. Informativni parametar izmjerenog napona se u ovim uređajima pretvara u jednosmjernu struju u namotu zavojnice magnetoelektričnog mjernog mehanizma (2K4), čija je skala graduirana u naponskim jedinicama.

Pojačalo elektronskog voltmetra mora imati stabilno pojačanje u određenom frekvencijskom opsegu od određene niže frekvencije f n do vrha f V. Ako f n = 0, tada se takvo pojačalo obično naziva DC pojačalo, i ako f n > 0 i pojačanje je nula na f = 0 – AC pojačalo.

Pojednostavljeni krug elektronskog DC voltmetra sastoji se od tri glavne komponente: djelitelj ulaznog napona (2K9), DC pojačalo spojeno na njegov izlaz i magnetoelektrični voltmetar. Razdjelnik napona visoke impedanse i DC pojačalo osiguravaju visoku ulaznu impedanciju elektronskog voltmetra (oko 1 MΩ). Koeficijenti podjele i pojačanja mogu se diskretno podesiti, što omogućava da voltmetri budu napravljeni u više opsega. Zbog velikog pojačanja, elektronski voltmetri daju veću osjetljivost u odnosu na elektromehaničke.

Karakteristika elektronskih DC voltmetara je drifta očitavanja– spore promjene očitavanja voltmetra sa konstantnim izmjerenim naponom (1Q14), uzrokovan promjenama parametara elemenata kola DC pojačala. Odstupanje očitavanja je najznačajnije kod mjerenja niskih napona. Stoga je prije početka mjerenja potrebno, koristeći posebne elemente za podešavanje, postaviti nultu vrijednost voltmetra s kratkospojnim ulazom.

Ako se na dotični voltmetar primjenjuje periodični naizmjenični napon, tada će, zbog svojstava magnetoelektričnog mjernog mehanizma, mjeriti direktnu komponentu ovog napona, osim ako je naizmjenična komponenta prevelika i voltmetarsko pojačalo radi u linearnom režimu. .

Najčešći analogni elektronski DC voltmetri omogućavaju vam mjerenje napona u rasponu od 10 -6 do 10 3 V. Vrijednosti granica glavne smanjene greške zavise od raspona mjerenja i obično su ± (0,5 - 5,0) %.

2.1.6. Mjerenje AC napona

analogni elektronski voltmetri.

Analogni elektronski voltmetri se uglavnom koriste za mjerenje efektivnih vrijednosti periodičnih napona u širokom rasponu frekvencija.

Glavna razlika između elektronskog kruga AC voltmetra i kruga DC voltmetra o kojem je gore raspravljano povezana je s prisustvom dodatne jedinice u njemu - pretvarača informativne varijable AC napona u DC. Takvi pretvarači se često nazivaju "detektorima".

Postoje detektori vrijednosti amplitude, prosječne veličine i efektivnog napona. Konstantni napon na izlazu prvog je proporcionalan amplitudi napona na njegovom ulazu, konstantni napon na izlazu drugog je proporcionalan apsolutnoj prosječnoj vrijednosti ulaznog napona, a treći je proporcionalan efektivnom vrijednost.

Svaka od tri navedene grupe detektora može se, pak, podijeliti u dvije grupe: detektori sa otvorenim ulazom i detektori sa zatvorenim ulazom. Za detektore sa otvorenim ulazom izlazni napon zavisi od istosmerne komponente ulaznog napona, dok za detektore sa zatvorenim ulazom ne zavisi. Očigledno, ako krug elektronskog voltmetra ima detektor sa zatvorenim ulazom ili AC pojačalo, tada očitanja takvog voltmetra ne ovise o istosmjernoj komponenti izmjerenog napona. Korisno je koristiti takav voltmetar u slučajevima kada samo naizmjenična komponenta izmjerenog napona nosi korisne informacije.

Pojednostavljeni dijagrami amplitudnih detektora sa otvorenim i zatvorenim ulazima prikazani su na slici 1, respektivno. 2.3 i 2.4.

Kada se primeni na ulaz detektora amplitude sa otvorenim naponskim ulazom u(t) = U m sinωt Kondenzator se puni do napona U m, koji isključuje diodu. Istovremeno, na izlazu detektora se održava konstantan napon U m. Ako se na ulaz dovede napon proizvoljnog oblika, kondenzator će se napuniti do maksimalne pozitivne vrijednosti ovog napona.

Kada se primeni na ulaz detektora amplitude sa zatvorenim naponskim ulazom u(t) = U m sinωt Kondenzator je također napunjen na napon U m a na izlazu se stvara napon u(t) = U m + U m sinωt. Ako se takav napon ili struja proporcionalna njemu primijeni na namotaj zavojnice magnetoelektričnog mjernog mehanizma, tada će očitanja uređaja ovisiti o konstantnoj komponenti ovog napona, jednakoj U m (2K4). Kada se napon dovede na ulaz u(t) = U sri + U m sinωt, Gdje U sri– prosječna vrijednost napona u(t) , kondenzator se puni do napona U m + U sri, a izlazni napon je podešen u(t) = U m + U m sinωt, nezavisno od U sri .

Primeri detektora prosečne veličine i efektivnih vrednosti napona razmatrani su u pododeljku 2.1.4 (sl. 2.1 i 2.2, respektivno).

Detektori vrijednosti amplitude i prosječne veličine jednostavniji su od detektora efektivnih vrijednosti, međutim, voltmetri koji se temelje na njima mogu se koristiti samo za mjerenje sinusoidnih napona. Činjenica je da su njihova očitanja, ovisno o vrsti detektora, proporcionalna prosječnim vrijednostima veličine ili amplitude izmjerenog napona. Stoga se razmatrani analogni elektronski voltmetri mogu kalibrirati u efektivnim vrijednostima samo za određeni oblik izmjerenog napona. To se radi za najčešći - sinusni napon.

Najčešći analogni elektronski voltmetri omogućavaju vam mjerenje napona od 10 -6 do 10 3 V u frekvencijskom rasponu od 10 do 10 9 Hz. Vrijednosti granica glavne redukovane greške zavise od opsega mjerenja i frekvencije mjerenog napona i obično su ± (0,5 - 5,0)%.

Tehnika mjerenja pomoću elektronskih voltmetara razlikuje se od tehnike korištenja elektromehaničkih voltmetara. To je zbog prisutnosti u njima elektroničkih pojačala s izvorima istosmjernog napona, koji rade, u pravilu, iz mreže naizmjenične struje.

Ako spojite terminal 6 na ulazni terminal 1 voltmetra i izmjerite, na primjer, napon U 65, tada će rezultat mjerenja biti izobličen naponom interferencije, čija vrijednost zavisi od parametara ekvivalentnih kola na Sl. 2.5 i 2.6.

Prilikom direktnog mjerenja napona U 54 smetnje će izobličiti rezultat mjerenja bez obzira na to kako je voltmetar povezan. Ovo se može izbjeći indirektnim mjerenjem mjerenjem napona U 64 i U 65 i izračunavanje U 54 = U 64 - U 65. Međutim, tačnost takvog mjerenja možda neće biti dovoljno visoka, posebno ako U 64 ≈ U 65 . (2Q12)