Зупинимося докладніше на роботах Остроградського за кратними інтегралами.
Формула Остроградського для перетворення потрійного інтеграла на подвійний, яку ми пишемо зазвичай у вигляді
де div A – дивергенція поля вектора А,
Аn - скалярне твір вектора на одиничний вектор зовнішньої нормалі n граничної поверхні, в математичної літературі нерідко пов'язувалася раніше з іменами Гаусса і Гріна.
Насправді в роботі Гауса про тяжіння сфероїдів можна побачити лише частково випадки формули (1), наприклад при P = x, Q = R = 0 і т. п. Що стосується Дж. Гріна, то в його праці з теорії електрики і магнетизму формули (1) зовсім немає; у ньому виведено інше співвідношення між потрійним та подвійним інтегралами, саме формула Гріна для оператора Лапласа, яку можна записати у вигляді
Звичайно, можна вивести формулу (1) і (2), вважаючи
і так само можна отримати формулу (2) з формули (1), але Грін цього і не думав робити.
де ліворуч стоїть інтеграл за обсягом, а праворуч інтеграл по граничній поверхні, причому суть напрямні косинуси зовнішньої нормалі.
Паризькі рукописи Остроградського свідчать, з цілковитою безсумнівністю, що належить і відкриття, і перше повідомлення інтегральної теореми (1). Вперше вона була висловлена і доведена, точно так, як це роблять тепер у Доказі однієї теореми інтегрального числення, представленому Паризької Академії наук 13 лютого 1826 р., після чого ще раз була сформульована в тій частині Мемуару про поширення тепла всередині твердих тіл ”, яку Остроградський представив 6 серпня 1827 р. “Мемуар” було дано відгук Фур'є і Пуассону, причому останній його, безумовно читав, як свідчить запис перших сторінках обох частин рукописи. Зрозуміло, Пуассону і приходила думка приписувати собі теорему, з якою він познайомився у творі Остроградського за роки до уявлення своєї роботи з теорії пружності.
Що стосується взаємовідносин робіт з кратних інтегралів Остроградського і Гріна, нагадаємо, що в “Нотатці з теорії теплоти” виведено формулу, що обіймає власну формулу Гріна, як окремий випадок. Незвична тепер символіка Коші, вжита Остроградським у “Нотатці”, донедавна приховувала від дослідників це відкриття. Зрозуміло, за Грін залишається честь відкриття і першої публікації в 1828 р. носить його ім'я формули для операторів Лапласа.
Відкриття формули перетворення потрійного інтеграла в подвійний допомогло Остроградському вирішити проблему варіювання п-кратного інтеграла, саме, вивести загальну формулу перетворення інтеграла, що знадобилася там, від виразу типу дивергенції по розмірній області і інтеграл по обмежує її надповерхні S з у z, ...) = 0. Якщо дотримуватися колишніх позначень, то формула має вигляд
Втім, Остроградський не застосовував геометричних образів і термінів, якими ми користуємося: геометрія багатовимірних просторів на той час ще не існувала.
У "Мемуарі про обчислення варіацій кратних інтегралів" розглянуто ще два важливі питання теорії таких інтегралів. По-перше, Остроградський виводить формулу заміни змінних у багатовимірному інтегралі; по-друге, вперше дає повний і точний опис прийому обчислення кратного інтеграла за допомогою п послідовних інтеграцій по кожній із змінних у відповідних межах. Нарешті, з формул, які у цьому мемуарі, легко виводиться загальне правило диференціювання за параметром багатовимірного інтеграла, коли від цього параметра залежить як підінтегральна функція, а й межа області інтегрування. Назване правило випливає з готівки в мемуарі формул настільки природним чином, що пізні математики навіть ототожнювали його з однією з формул цього мемуару.
Заміні змінних у кратних інтегралах Остроградський присвятив спеціальну роботу. Для подвійного інтеграла відповідне правило вивів за допомогою формальних перетворень Ейлера, для потрійного - Лагранж. Однак, хоча результат Лагранжа вірний, міркування його були не точними: він ніби виходив з того, що елементи обсягів у старих та нових змінних – координатах – між собою рівні. Аналогічної помилки припустився спочатку в щойно згаданому висновку правила заміни змінних Остроградський. У статті "Про перетворення змінних у кратних інтегралах" Остроградський розкрив помилку Лагранжа, а також вперше виклав той наочний геометричний метод перетворення змінних у подвійному інтегралі, який, у більш суворому оформленні, викладається і в наших посібниках. Саме при заміні змінних в інтегралі за формулами область інтегрування розбивається координатними лініями двох систем u=const, v=const на нескінченно малі криволінійні чотирикутники. Тоді інтеграл можна отримати, складаючи спочатку ті його елементи, які відповідають нескінченно вузькій смузі криволінійної, а потім, продовжуючи підсумовувати елементи смугами, поки вони всі не будуть вичерпані. Нескладний підрахунок дає для площі, яка з точністю до малих вищого порядку може розглядатися як паралелограм, вираз, де вибирається так, щоб площа була позитивною. У результаті виходить відома формула
Міністерство освіти та науки Російської Федерації
Курсова робота
З дисципліни: Вища математика
(Основи лінійного програмування)
На тему: КОРТНІ ІНТЕГРАЛИ
Виконав: ______________
Викладач:___________
Дата ___________________
Оцінка _________________
Підпис ________________
Вороніж 2008
1 Кратні інтеграли
1.1 Подвійний інтеграл
1.2 Потрійний інтеграл
1.3 Кратні інтеграли в криволінійних координатах
1.4 Геометричні та фізичні додатки кратних інтегралів
2 Криволінійні та поверхневі інтеграли
2.1 Криволінійні інтеграли
2.2 Поверхневі інтеграли
2.3 Геометричні та фізичні додатки
Список використаної літератури
1 Кратні інтеграли
1.1 Подвійний інтеграл
Розглянемо в площині Оху замкнуту область D, обмежену лінією L. Розіб'ємо цю область якими-небудь лініями на п частин
а відповідні найбільші відстані між точками в кожній з цих частин позначимо d 1 , d 2 , ..., d n . Виберемо у кожній частині точку Р i .Нехай області D задана функція z = f(x, y). Позначимо через f(P 1), f(P 2),…, f(P n) значення цієї функції у вибраних точках і складемо суму творів виду f(P i)ΔS i:
, (1)
звану інтегральною сумою функції f(x, y) в області D.
Якщо існує одна і та ж межа інтегральних сум (1) при
і , що не залежить ні від способу розбиття області D на частини, ні від вибору точок P i в них, він називається подвійним інтегралом від функції f(x, y) по області D і позначається
. (2)
Обчислення подвійного інтеграла по області D, обмеженою лініями
x = a, x = b (a< b), где φ 1 (х) и φ 2 (х) непрерывны на (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:
= 
(3)
1.2 Потрійний інтеграл
Поняття потрійного інтеграла запроваджується за аналогією з подвійним інтегралом.
Нехай у просторі задана деяка область V, обмежена замкненою поверхнею S. Задамо в цій замкнутій області безперервну функцію f(x, y, z). Потім розіб'ємо область V на довільні частини Δv i , вважаючи обсяг кожної частини рівним Δv i , і складемо інтегральну суму виду
, (4)Межа при
інтегральних сум (11), який залежить від способу розбиття області V та вибору точок P i у кожній підобласті цієї області, називається потрійним інтегралом від функції f(x, y, z) по області V:
. (5)
Потрійний інтеграл від функції f(x,y,z) області V дорівнює триразовому інтегралу по тій же області:
. (6)
1.3 Кратні інтеграли в криволінійних координатах
Введемо на площині криволінійні координати, які називають полярними. Виберемо точку О (полюс) і промінь, що виходить з неї (полярну вісь).
Мал. 2 Мал. 3
Координатами точки М (рис. 2) будуть довжина відрізка МО – полярний радіус ρ та кут φ між МО та полярною віссю: М(ρ,φ). Зазначимо, що для всіх точок площини, крім полюса, ρ > 0, а полярний кут φ вважатимемо позитивним при вимірі його у напрямку проти годинникової стрілки та негативним – при вимірі у протилежному напрямку.
Зв'язок між полярними та декартовими координатами точки М можна задати, якщо поєднати початок декартової системи координат з полюсом, а позитивну піввісь Ох – з полярною віссю (рис. 3). Тоді x=ρcosφ, у=ρsinφ. Звідси
tg. Задамо в області D, обмеженій кривими ρ=Φ 1 (φ) та ρ=Φ 2 (φ), де φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).
(7)
У тривимірному просторі вводяться циліндричні та сферичні координати.
Циліндричні координати точки Р(ρ,φ,z) – це полярні координати ρ, φ проекції цієї точки на площину Оху та аплікату даної точки z (рис.5).
мал.5 мал.6
Формули переходу від циліндричних координат до декартових можна задати так:
x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)
У сферичних координатах положення точки у просторі визначається лінійною координатою r – відстанню від точки до початку декартової системи координат (або полюса сферичної системи), φ – полярним кутом між позитивною піввіссю Ох та проекцією точки на площину Оху, та θ – кутом між позитивною піввіссю осі Оz та відрізком OP (рис.6). При цьому
Задамо формули переходу від сферичних координат до декартових:
x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)
Тоді формули переходу до циліндричних або сферичних координат у потрійному інтегралі виглядатимуть так:
, (10)
де F 1 і F 2 - функції, отримані при підстановці в функцію f замість x, y, z їх виразів через циліндричні (8) або сферичні (9) координати.
1.4 Геометричні та фізичні додатки кратних інтегралів
1) Площа плоскої області S:
(11)приклад 1.
Знайти площу фігури D, обмеженою лініями
Цю площу зручно обчислювати, вважаючи у зовнішній змінній. Тоді межі області задаються рівняннями
і 
обчислюється за допомогою інтегрування частинами: 
Раніше ми доводили властивості певного інтеграла, користуючись його визначенням як межі сум. Так само можна довести і основні властивості кратних інтегралів. Для простоти ми всі функції вважатимемо безперервними, так що інтеграли від них, безумовно, мають сенс.
I. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, і інтеграл від кінцевої суми функцій дорівнює сумі інтегралів від доданків:
ІІ. Якщо область розкладена на кінцеве число частин [наприклад на дві частини, то інтеграл по всій області дорівнює сумі інтегралів по всіх частинах:
ІІІ. Якщо в області, то
Зокрема :
IV. Якщо зберігає знак в області (а), має місце теорема про середнє, що виражається формулою
де - деяка точка, що лежить усередині області (а).
Зокрема, при отримуємо
де - площа області.
Аналогічні властивості мають місце для триразового інтеграла. Зауважимо, що щодо двократного і триразового інтеграла як межі суми вважається завжди, що область інтегрування кінцева і подынтегральная функція у разі обмежена, т. е. існує таке позитивне число А, що у всіх точках N області інтегрування. Якщо ці умови не виконані, інтеграл може існувати як невласний інтеграл аналогічно тому, як це мало місце для простого певного інтеграла . Ми займемося невласними кратними інтегралами § 8.
Застереження. При обчисленні невласних інтегралів з особливими точками внутрішньопроміжку інтегрування не можна механічно застосовувати формулу Ньютона - Лейбніца, оскільки це може призвести до помилок.
Загальне правило:формула Ньютона – Лейбниця вірна, якщо первісна від f(x)в особливій точці останньої безперервна.
Приклад 2.11.
Розглянемо невласний інтеграл з особливою точкою х = 0. Формула Ньютона-Лейбніца, що застосовується формально, дає
Проте загальне правило не виконується; для f(x) = 1/x первісна ln | x | не визначена в х = 0 і є нескінченно великою у цій точці, тобто. не є безперервною у цій точці. Безпосередньою перевіркою легко переконатись, що інтеграл розходиться. Справді,
Отримана невизначеність може бути розкрита по-різному, оскільки e та d прагнуть до нуля незалежним чином. Зокрема, вважаючи e = d, отримуємо головне значення невласного інтеграла, що дорівнює 0. Якщо e = 1/n, а d =1/n 2 тобто. d прагне 0 швидше, ніж e, то отримуємо
при і, навпаки,
тобто. інтеграл розходиться.
Приклад 2.12.
Розглянемо невласний інтеграл з особливою точкою х = 0. Первісна від функції має вигляд і безперервна в точці х = 0. Тому можна застосувати формулу Ньютона - Лейбніца:
Природним узагальненням поняття певного інтеграла Рімана у разі функції кількох змінних є поняття кратного інтеграла. Для двох змінних такі інтеграли називають подвійними.
Розглянемо у двовимірному евклідовому просторі R ´ R, тобто. на площині з декартовою системою координат, безліч Екінцевої площі S.
Позначимо через ( i = 1, …, k) розбиття множини Е, тобто. таку систему його підмножин E i, i = 1,. . ., k, Що Ø при i ¹ j (рис. 2.5). Тут через позначено підмножину E i без його межі, тобто. внутрішні точки підмножини E i , які разом з його кордоном Гр E i утворюють замкнуте підмножину E i, . Зрозуміло, що площа S(E i) підмножини E i збігається з площею його внутрішньої частини , оскільки площа кордону ГрE i дорівнює нулю.
Через d(E i) позначимо діаметр множини E i, тобто. максимальна відстань між двома його точками. Величину l(t) = d(E i) назвемо дрібністю розбиття t. Якщо функція f(x), x = (x, y), визначена на E як функція двох аргументів, то будь-яку суму виду
X i Î E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i , y i),
що залежить як від функції f і розбиття t , так і від вибору точок x i Î E i Ì t називають інтегральною сумою функції f .
Якщо функції f існує ,не залежить ні від розбиття t , ні від вибору точок (i = 1, ..., k), то ця межа називається подвійним інтегралом Ріманавід f(x,y) і позначається
Саму функцію f називають у цьому випадку інтегрованої за Ріманом.
Нагадаємо, що у разі функції одного аргументу як безліч Е, яким виробляється інтегрування, зазвичай береться відрізок , А як його розбиття t розглядається розбиття, що складається з відрізків. В іншому, як неважко переконатися, визначення подвійного інтегралу Рімана повторює визначення певного інтеграла Рімана для функції одного аргументу.
Подвійний інтеграл Рімана від обмежених функцій двох змінних має звичайні властивості певного інтеграла для функцій одного аргументу – лінійністю, адитивністющодо множин, за якими проводиться інтегрування, збереженняпри інтегруванні нестрогих нерівностей, інтегрованість творуінтегрованих функцій тощо.
Обчислення кратних інтегралів Рімана зводиться до обчислення повторних інтегралів. Розглянемо випадок подвійного інтегралу Рімана. Нехай функція f(x, y)визначена на множині Е, що лежить у декартовому творі множин X ´ Y, E Ì X ´ Y.
Повторним інтеграломвід функції f(x, y) називається інтеграл, у якому послідовно виконується інтегрування з різних змінних, тобто. інтеграл виду
Безліч E(y) = (x:
Для повторного інтеграла використовують також таке позначення:
яке, як і колишнє, означає, що спочатку при фіксованому y, y Î E y ,проводиться інтегрування функції f(x, y)по xпо відрізку E(y), що є перетином множини Е, що відповідає цьому y.В результаті внутрішній інтеграл визначає деяку функцію однієї змінної – y.Ця функція інтегрується потім як функція однієї змінної, потім вказує символ зовнішнього інтеграла.
За зміни порядку інтегрування виходить повторний інтеграл виду
де внутрішнє інтегрування проводиться за y,а зовнішнє – за x.Як співвідноситься цей повторний інтеграл із повторним інтегралом, визначеним вище?
Якщо існує подвійний інтеграл від функції f, тобто.
то існують і обидва повторні інтеграли, причому вони однакові за величиною і рівні подвійному, тобто.
Наголосимо, що сформульована в цьому твердженні умова можливості зміни порядку інтегрування у повторних інтегралах є лише достатнім, але не потрібно.
Інші достатні умовиможливості зміни порядку інтегрування у повторних інтегралах формулюються так:
якщо існує хоча б один із інтегралів
то функція f(x, y)інтегрована за Ріманом на безлічі Е, обидва повторні інтеграли від неї існують і дорівнюють подвійному інтегралу. n
Конкретизуємо записи проекцій та перерізів у позначеннях повторних інтегралів.
Якщо множина Е є прямокутником
то E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d);при цьому E(y) = E x для будь-якого y, y Î E y . ,а E(x) = E yдля будь-якого x , x Î E x ..
Формальний запис: " y y Î E yÞ E(y) = E xÙ" x x Î E xÞ E(x) = E y
Якщо безліч Е має криволінійний кордоні допускає уявлення
У цьому випадку повторні інтеграли записуються так:
Приклад 2.13.
Обчислити подвійний інтеграл прямокутної області, звівши його до повторного .
Оскільки виконується умова sin2(x+y) =| sin 2 (x + y)|, то перевірку здійсненності достатніх умов існування подвійного інтеграла I у формі існування будь-якого з повторних інтегралів
тут проводити спеціально не слід і можна відразу переходити до обчислення повторного інтегралу
Якщо він існує, існує і подвійний інтеграл, причому I = I 1 . Оскільки
Отже, I = .n
Приклад 2.14.
Обчислити подвійний інтеграл трикутної області (див. рис. 2.6), звівши його до повторного
Гр(E) = (
Спочатку переконаємось у існуванні подвійного інтеграла I. Для цього достатньо переконатись у існуванні повторного інтегралу
тобто. підінтегральні функції безперервні на відрізках інтегрування, оскільки всі вони статечні. Отже, інтеграл І 1 існує. І тут подвійний інтеграл теж є і дорівнює будь-якому повторному, тобто.
приклад 2.15.
Для кращого розуміння зв'язку між поняттями подвійного та повторних інтегралів розглянемо наступний приклад, який при першому читанні може бути опущений. Задано функцію двох змінних f(x, y)
Зазначимо, що ця функція при фіксованому х непарна по y, а при фіксованому y – непарна по x. Як безліч Е, за яким інтегрується ця функція, візьмемо квадрат E = (
Спочатку розглянемо повторний інтеграл
Внутрішній інтеграл
береться при фіксованому y, -1 £ y £ 1. Оскільки підінтегральна функція при фіксованому y непарна по x, а інтегрування по цій змінній здійснюється за відрізком [-1, 1], симетричним щодо точки 0, то внутрішній інтеграл дорівнює 0. Очевидно, що зовнішній інтеграл змінної y від нульової функції також дорівнює 0, тобто.
Аналогічні міркування другого повторного інтеграла призводять до того ж результату:
Отже, для цієї функції f(x, y) повторні інтеграли існують і рівні один одному. Однак подвійний інтеграл від функції f(x, y) немає. Щоб переконатися в цьому, звернемося до геометричного значення обчислення повторних інтегралів.
Для обчислення повторного інтегралу
використовується розбиття квадрата Е спеціального виду, так само як і спеціальним чином проведений підрахунок інтегральних сум. Саме квадрат Е розбивається на горизонтальні смуги (див. рис.2.7), а кожна смуга – на маленькі прямокутники. Кожна смужка відповідає деякому значенню змінної y; наприклад, це може бути ордината горизонтальної осі смуги.
Підрахунок інтегральних сум проводиться так: спочатку підраховується суми кожної смуги окремо, тобто. при фіксованому y для різних x, потім ці проміжні суми підсумовуються для різних смуг, тобто. для різних y. Якщо дрібність розбиття спрямувати до нуля, то межі ми отримаємо вказаний вище повторний інтеграл.
Зрозуміло, що для другого повторного інтегралу
безліч Е розбивається вертикальними смугами, що відповідають різним х. Проміжні суми підраховуються всередині кожної лінії по невеликих прямокутниках, тобто. по y, потім вони підсумовуються для різних смуг, тобто. з х. У межі, при дрібності розбиття, що прагне нуля, отримуємо відповідний повторний інтеграл.
Щоб довести, що подвійний інтеграл не існує, достатньо навести один приклад розбиття, розрахунок інтегральних сум по якому в межі при дрібності розбиття, що прагне нуля, дає результат, відмінний від значення повторних інтегралів. Наведемо приклад такого розбиття, яке відповідає полярній системі координат (r, j) (див. рис. 2.8).
У полярній системі координат положення будь-якої точки на площині М 0 (x 0 , y 0), де x 0 , y 0 – декартові координати точки М 0 – визначається довжиною r 0 радіуса, що з'єднує її з початком координат і кутом j 0 утвореним цим радіусом з позитивним напрямом осі x (кут відраховується проти годинникової стрілки). Зв'язок між декартовими та полярними координатами очевидний:
y 0 = r 0 × sinj 0 .
| |
Розбиття будується в такий спосіб. Спочатку квадрат Е розбивається на сектори радіусами, що виходять із центру координат, а потім кожен сектор – на маленькі трапеції лініями перпендикулярними осі сектора. Підрахунок інтегральних сум проводиться так: спочатку по маленьких трапеціях всередині кожного сектора вздовж його осі (r), а потім - по всіх секторах (j). Положення кожного сектора характеризується кутом осі j, а довжина його осі r(j) залежить від цього кута:
якщо або , то;
якщо то ;
якщо то
якщо то .
Переходячи до межі інтегральних сум полярного розбиття при дрібності розбиття, що прагне нуля, отримаємо запис подвійного інтеграла в полярних координатах. Такий запис можна отримати і чисто формальним чином, замінюючи декартові координати (x, y) на полярні (r, j).
За правилами переходу в інтегралах від декартових координат до полярних слід писати за визначенням:
У полярних координатах функція f(x, y) запишеться так:
Остаточно маємо
Внутрішній інтеграл (невласний) в останній формулі
де функція r(j) вказана вище, 0 j £ 2p , дорівнює + ¥ для будь-якого j, бо
Отже, підінтегральна функція у зовнішньому інтегралі, що обчислюється по j, не визначена ні для якого j. Але тоді й сам зовнішній інтеграл, тобто. не визначено вихідний подвійний інтеграл.
Зазначимо, що для функції f(x, y) не виконано достатню умову існування подвійного інтегралу за множиною Е. Покажемо, що інтеграл
не існує. Справді,
Аналогічно встановлюється такий же результат для інтегралу
Поняття подвійного інтегралу
Подвійний інтеграл (ДІ) є узагальненням певного інтеграла (ОІ) функції однієї змінної у разі функції двох змінних.
Нехай безперервна невід'ємна функція $z = f \ left (x, y \ right) $ задана в замкнутій області $ D $, розташованої в координатній площині $ x Oy $. Функція $z=f\left(x,y\right)$ визначає деяку поверхню, яка проектується в область $D$. Область $D$ обмежена замкненою лінією $L$, граничні точки якої належать області $D$. Припускаємо, що лінія $L$ утворена кінцевим числом безперервних кривих, заданих рівняннями виду $y=\vartheta \left(x\right)$ або $x=\psi \left(y\right)$.
Розіб'ємо область $D$ на $n$ довільних ділянок площею $\Delta S_(i)$. У кожній із ділянок виберемо по одній довільній точці $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. У кожній із цих точок обчислимо значення заданої функції $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)$. Розглянемо обсяг під частиною поверхні $z=f\left(x,y\right)$, яка проектується в ділянку $\Delta S_(i) $. Геометрично цей обсяг можна приблизно представити як об'єм циліндра з основою $\Delta S_(i) $ і висотою $f\left(\xi _(i) , \eta _(ii) \right)$, тобто рівним добутку $f \left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Тоді обсяг під всією поверхнею $z=f\left(x,y\right)$ в межах області $D$ можна приблизно обчислити як суму об'ємів всіх циліндрів $\sigma =\sum \limits _(i=1)^(n )f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) \right)\cdot \Delta S_(i) $. Ця сума називається інтегральною сумою для функції $f \ left (x, y \ right) $ в області $ D $.
Назвемо діаметром $d_(i) \left(\Delta S_(i) \right)$ ділянки $\Delta S_(i) $ найбільша відстань між крайніми точками цієї ділянки. Позначимо $\lambda $ найбільший із діаметрів усіх ділянок з області $D$. Нехай $\lambda \to 0$ за рахунок необмеженого $n\to \infty $ подрібнення розбивки області $D$.
Визначення
Якщо існує межа інтегральної суми $I=\mathop(\lim )\limits_(\lambda \to 0) \sigma $, то це число називають ДІ від функції $f\left(x,y\right)$ по області $D $ і позначають $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dS $ або $I=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right) \ cdot dx \ cdot dy $.
У цьому область $D$ називається областю інтегрування, $x$ і $y$ -- змінними інтегрування, а $dS=dx\cdot dy$ -- елементом площі.
З визначення випливає геометричний сенс ДІ: він дає точне значення обсягу деякого криволінійного циліндра.
Застосування подвійних інтегралів
Об'єм тіла
Відповідно до геометричного сенсу ДІ, об'єм $V$ деякого тіла, обмеженого зверху поверхнею $z=f\left(x,y\right)\ge 0$, знизу областю $D$ на площині $xOy$, з боків циліндричною поверхнею , що утворюють якої паралельні осі $Oz$, а напрямною є контур області $D$ (лінія $L$), обчислюється за формулою $V=\iint \limits _(D)f\left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy $.
Нехай тіло обмежує зверху поверхню $z=f_(2) \left(x,y\right)$, а знизу - поверхню $z=f_(1) \left(x,y\right)$, причому $f_( 2) \ left (x, y \ right) \ ge f_ (1) \ left (x, y \ right) $. Проекцією обох поверхонь на площину $xOy$ є та сама область $D$. Тоді об'єм такого тіла обчислюють за формулою $V=\iint \limits _(D)\left(f_(2) \left(x,y\right)-f_(1) \left(x,y\right)\right ) \ cdot dx \ cdot dy $.
Припустимо, що в області $ D $ функція $ f \ left (x, y \ right) $ змінює знак. Тоді для обчислення об'єму відповідного тіла область $D$ треба розбити на дві частини: частина $D_(1) $, де $f\left(x,y\right)\ge 0$, і частина $D_(2) $, де $f \ left (x, y \ right) \ le 0 $. При цьому інтеграл по області $D_(1) $ буде позитивним і рівним об'єму тієї частини тіла, яка лежить вище за площину $xOy$. Інтеграл по області $D_(2) $ буде негативним і за абсолютною величиною рівним об'єму тієї частини тіла, що лежить нижче за площину $xOy$.
Площа плоскої фігури
Якщо скрізь в області $D$ на координатній площині $xOy$ покласти $f\left(x,y\right)\equiv 1$, то ДІ чисельно дорівнює площі області інтегрування $D$, тобто $S=\iint \limits _(D)dx\cdot dy $. У полярній системі координат ця ж формула набуває вигляду $S=\iint \limits _(D^(*) )\rho \cdot d\rho \cdot d\phi $.
Площа довільної поверхні
Нехай деяка поверхня $Q$, задана рівнянням $z=f_(1) \left(x,y\right)$, проектується на координатну площину $xOy$ область $D_(1) $. У цьому випадку площа поверхні $Q$ можна обчислити за формулою $S=\iint \limits _(D_(1) )\sqrt(1+\left(\frac(\partial z)(\partial x) \right)^ (2) +\left(\frac(\partial z)(\partial y) \right)^(2) ) \cdot dx\cdot dy $.
Кількість речовини
Припустимо, що в області $D$ на площині $xOy$ розподілена деяка речовина з поверхневою щільністю $\rho\left(x,y\right)$. Це означає, що поверхнева щільність $\rho \left(x,y\right)$ є масою речовини, що припадає на елементарний майданчик $dx\cdot dy$ області $D$. За цих умов загальну масу речовини можна обчислити за формулою $ M = iint \ limits _ (D) \ rho \ left (x, y \ right) \ cdot dx \ cdot dy $.
Зауважимо, що як "речовина" може виступати електричний заряд, тепло і т.п.
Координати центру маси плоскої фігури
Формули для обчислення значень координат центру маси плоскої фігури такі: )(M) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot \rho \left(x,y\right)\cdot dx\cdot dy )(M) $.
Величини в чисельниках називаються статичними моментами $M_(y)$ і $M_(x)$ плоскої фігури $D$ щодо осей $Oy$ та $Ox$ відповідно.
Якщо плоска фігура однорідна, тобто $\rho =const$, то ці формули спрощуються і виражаються вже не через масу, а через площу плоскої фігури $S$: $x_(c) =\frac(\iint \limits _(D )x\cdot dx\cdot dy )(S) $, $y_(c) =\frac(\iint \limits _(D)y\cdot dx\cdot dy )(S) $.
Моменти інерції площі плоскої фігури
Розглянемо на площині $xOy$ матеріальну плоску фігуру. Представимо її як деяку область $ D $, по якій розподілено речовину загальною масою $ M $ зі змінною поверхневою щільністю $ \ rho \ left (x, y \ right) $.
Значення моменту інерції площі плоскої фігури щодо осі $Oy$ $I_(y) \; =\; \iint \limits _(D)x^(2) \cdot \; \rho (x, \; y) \; \ cdot dx \; \ cdot dy $. Значення моменту інерції щодо осі $Ox$: $I_(x) \; =\; \iint \limits _(D)y^(2) \cdot \; \rho (x, \; y) \ cdot \; dx; \ cdot dy $. Момент інерції плоскої фігури щодо початку координат дорівнює сумі моментів інерції щодо осей координат, тобто $I_(O) = I_(x) + I_(y) $.
Потрійні інтеграли вводяться до функцій трьох змінних.
Припустимо, що задана деяка область $V$ тривимірного простору, обмежена замкненою поверхнею $S$. Вважаємо, що точки, які лежать на поверхні, також належать до області $V$. Припустимо, що в області $ V $ задана деяка безперервна функція $ f \ left (x, y, z \ right) $. Наприклад, такою функцією за умови $ f \ left (x, y, z \ right) \ ge 0 $ може бути об'ємна щільність розподілу деякої речовини, розподіл температури і т.п.
Розіб'ємо область $V$ на $n$ довільних частин, обсяги яких $\Delta V_(i) $. У кожній із частин виберемо по одній довільній точці $P_(i) \left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$. У кожній з цих точок обчислимо значення заданої функції $f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)$.
Утворимо інтегральну суму $\sum \limits _(i=1)^(n)f\left(\xi _(i) ,\eta _(i) ,\varsigma _(i) \right)\cdot \Delta V_ (i) $ і будемо необмежено подрібнювати $\left(n\to \infty \right)$ розбивку області $V$ так, щоб найбільший з діаметрів $\lambda $ всіх частин $\Delta V_(i) $ необмежено зменшувався $ \left(\lambda \to 0\right)$.
Визначення
За перелічених умов межа $I$ цієї інтегральної суми існує, називається потрійним інтегралом від функції $f\left(x,y,z\right)$ по області $V$ і позначається $I\; =\; \iiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\; \cdot dV$ або $I\; =\; \iiint \limits _(V)f\left(x,y,z\right)\cdot \; dx\cdot\; dy\; \ cdot dz $.
