Правила обчислення похідних. Похідна функції 1 визначення похідної функції

(\large\bf Похідна функції)

Розглянемо функцію y=f(x), задану на інтервалі (a, b). Нехай x- будь-яка фіксована точка інтервалу (a, b), а Δx- довільне число, таке, що значення x+Δxтакож належить інтервалу (a, b). Це число Δxназивають збільшенням аргументу.

Визначення. Збільшенням функції y=f(x)у точці x, що відповідає прирощенню аргументу Δx, назвемо число

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Вважаємо, що Δx ≠ 0. Розглянемо у цій фіксованій точці xвідношення збільшення функції в цій точці до відповідного збільшення аргументу Δx

Це ставлення називатимемо різницевим ставленням. Оскільки значення xми вважаємо фіксованим, різницеве ​​ставлення є функцією аргументу Δx. Ця функція визначена для всіх значень аргументу Δx, Що належать деякої досить малої околиці точки Δx=0, за винятком самої точки Δx=0. Таким чином, ми маємо право розглядати питання про існування межі зазначеної функції при Δx → 0.

Визначення. Похідної функції y=f(x)у цій фіксованій точці xназивається межа при Δx → 0різницевих відносин, тобто

За умови, що ця межа існує.

Позначення. y′(x)або f′(x).

Геометричний зміст похідної: Похідна від функції. f(x)у цій точці xдорівнює тангенсу кута між віссю Oxі щодо графіку цієї функції у відповідній точці:

f′(x 0) = \tgα.

Механічний сенс похідної: Похідна від шляху за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху точки:

Рівняння дотичної до лінії y=f(x)у точці M 0 (x 0, y 0)набуває вигляду

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Нормаллю до кривої в деякій її точці називається перпендикуляр до дотичної в тій же точці. Якщо f′(x 0)≠ 0, то рівняння нормалі до лінії y=f(x)у точці M 0 (x 0, y 0)записується так:

Поняття диференційованості функції

Нехай функція y=f(x)визначено на деякому інтервалі (a, b), x- деяке фіксоване значення аргументу цього інтервалу, Δx- будь-яке приріст аргументу, таке, що значення аргументу x+Δx ∈ (a, b).

Визначення. Функція y=f(x)називається диференційованою в даній точці x, якщо збільшення Δyцієї функції у точці x, що відповідає збільшенню аргументу Δx, може бути представимо у вигляді

Δy = A Δx +αΔx,

де A- деяке число, що не залежить від Δx, а α - функція аргументу Δx, що є нескінченно малою при Δx→ 0.

Так як добуток двох нескінченно малих функцій αΔxє нескінченно малою вищого порядку, ніж Δx(властивість 3 нескінченно малих функцій), то можемо записати:

Δy = A Δx +o(Δx).

Теорема. Для того, щоб функція y=f(x)була диференційованою в даній точці xнеобхідно, і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну. При цьому A=f′(x), тобто

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Операцію знаходження похідної зазвичай називають диференціюванням.

Теорема. Якщо функція y=f(x) x, то вона безперервна у цій точці.

Зауваження. З безперервності функції y=f(x)у цій точці xвзагалі кажучи, не випливає диференційованість функції f(x)у цій точці. Наприклад, функція y=|x|- безперервна у точці x=0але не має похідної.

Поняття диференціалу функції

Визначення. Диференціалом функції y=f(x)називається твір похідної цієї функції на збільшення незалежної змінної x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Для функції y=xотримуємо dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, тобто dx=Δx- диференціал незалежної змінної дорівнює приросту цієї змінної.

Таким чином, можемо записати

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Диференціал dyта приріст Δyфункції y=f(x)у цій точці x, обидва відповідають одному й тому збільшенню аргументу Δx, Загалом кажучи, не рівні один одному.

Геометричний зміст диференціала: Диференціал функції дорівнює приросту ординати щодо графіку даної функції, коли аргумент отримує прирощення Δx.

Правила диференціювання

Теорема. Якщо кожна з функцій u(x)і v(x)диференційована в даній точці x, то сума, різниця, добуток і приватне виконання цих функцій (приватне за умови, що v(x)≠ 0) також диференційовані в цій точці, причому мають місце формули:

Розглянемо складну функцію y=f(φ(x))≡ F(x), де y=f(u), u=φ(x). В цьому випадку uназивають проміжним аргументом, x - незалежної змінної.

Теорема. Якщо y=f(u)і u=φ(x)- диференційовані функції своїх аргументів, то похідна складної функції y=f(φ(x))Існує і дорівнює добутку цієї функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргументу незалежної змінної, тобто.

Зауваження. Для складної функції, яка є суперпозицією трьох функцій y=F(f(φ(x))), правило диференціювання має вигляд

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

де функції v = φ (x), u=f(v)і y=F(u)- функції, що диференціюються своїх аргументів.

Теорема. Нехай функція y=f(x)зростає (або зменшується) і безперервна в деякій околиці точки x 0. Нехай, крім того, ця функція диференційована у вказаній точці x 0та її похідна в цій точці f′(x 0) ≠ 0. Тоді в деякій околиці відповідної точки y 0 = f(x 0)визначено зворотну для y=f(x)функція x=f -1 (y), причому зазначена зворотна функція диференційована у відповідній точці y 0 = f(x 0)і для її похідної у цій точці yсправедлива формула

Таблиця похідних

Інваріантність форми першого диференціалу

Розглянемо диференціал складної функції. Якщо y=f(x), x=φ(t)- диференційовані функції своїх аргументів, то похідна функції y=f(φ(t))виражається формулою

y′ t = y′ x x′ t.

За визначенням dy=y′ t dtтоді отримаємо

dy = y′t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Отже, довели,

Властивість інваріантності форми першого диференціалу функції: як у випадку, коли аргумент xє незалежною змінною, так і у випадку, коли аргумент xсам є диференційованою функцією нової змінної, диференціал dyфункції y=f(x)дорівнює похідної цієї функції, помноженої на диференціал аргументу dx.

Застосування диференціала у наближених обчисленнях

Ми показали, що диференціал dyфункції y=f(x), взагалі кажучи, не дорівнює прирощенню Δyцієї функції. Проте з точністю до нескінченно малої функції вищого порядку малості, ніж Δx, справедливо наближена рівність

Δy ≈ dy.

Ставлення називають відносною похибкою рівності цієї рівності. Так як Δy-dy=o(Δx), то відносна похибка даної рівності стає як завгодно малою при зменшенні |Δх|.

Враховуючи що Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, отримаємо f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxабо

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Ця наближена рівність дозволяє з помилкою o(Δx)замінити функцію f(x)в малій околиці точки x(тобто для малих значень Δx) лінійною функцією аргументу Δx, що стоїть у правій частині.

Похідні вищих порядків

Визначення. Другий похідний (або похідний другого порядку) функції y=f(x)називається похідна від першої похідної.

Позначення другої похідної функції y=f(x):

Механічний зміст другої похідної. Якщо функція y=f(x)описує закон руху матеріальної точки по прямій лінії, то друга похідна f″(x)дорівнює прискоренню точки, що рухається в момент часу x.

Аналогічно визначається третя, четверта похідна.

Визначення. n-ї похідної (або похідної n-го порядку) функції y=f(x)називається похідна від неї n-1-ї похідної:

y (n) = (y (n-1)) ', f (n) (x) = (f (n-1) (x)) '.

Позначення: y″′, y IV, y Vі т.д.

Знайти вираз для похідної експоненційної функції (y = (e^x)), користуючись визначенням похідної.

Рішення.

Початкові кроки є стандартними: спочатку запишемо збільшення функції \(\Delta y\), що відповідає збільшенню аргументу \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left((x + \Delta x) \right) - y\left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] Похідна обчислюється як межа відношення прирощень: \[ (y"\left(x \right) ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right)))((\Delta x)).) \] Функція \(y = (e^x)\) у чисельнику не залежить від Δ xта її можна винести за знак межі. Тоді похідна набуває такого вигляду: \[(y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] Позначимо отриману межу через \(L\) і обчислимо її окремо. принагідно, що \((e^0) = 1\) і, тому, можна записати \[(L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x))) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0)))((\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] тобто дана межа є значення похідної показової функції в нулі. Отже, \ Ми отримали співвідношення, в якому похідна, що шукається, виражається через саму функцію \(y = (e^x)\) і її похідну в точці \(x = 0\). Доведемо, що \ Для цього пригадаємо, що число \(e\) визначається у вигляді нескінченної межі як \ а число \(e\) у ступені \(\Delta x\) буде, відповідно, дорівнює \[(e^(\) Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n).\] Далі застосуємо знамениту формулу бінома Ньютона і розкладемо вираз під знаком межі в біноміальний ряд: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] Тут \((C_n^k)\) позначає число поєднань з \(n\) елементів по \(k\ ). У європейських та американських підручниках число поєднань позначається як \ Повернемося до нашої межі \(L\), яку тепер можна записати в такому вигляді: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \) left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] Нам зручно в біноміальному ряді виділити перші два доданки: при \(k = 0\) і \(k = 1\). В результаті отримуємо \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))))) )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x)))(n) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty) \sum\limits_(k = 2)^) n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k ((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\left((\Delta x) \right))) ^(k - 1))))(((n^k)))) ) \right)) \right].) \] Очевидно, що сума ряду прагне до нуля при \(\Delta x \to 0\) . Тому, (L = 1). Це означає, що похідна експоненційної функції \(y = (e^x)\) дорівнює самій функції: \

При вирішенні різних завдань геометрії, механіки, фізики та інших галузей знання виникла потреба за допомогою одного й того ж аналітичного процесу з цієї функції y=f(x)отримувати нову функцію, яку називають похідною функцією(або просто похідної цієї функції f(x)та позначають символом

Той процес, з допомогою якого з цієї функції f(x)отримують нову функцію f "(x), називають диференціюваннямі складається з наступних трьох кроків: 1) даємо аргументу xприріст  xі визначаємо відповідне збільшення функції  y = f(x+ x)-f(x); 2) складаємо відношення

3) рахуючи xпостійним, а  x0, знаходимо
, який позначаємо через f "(x), хіба що підкреслюючи цим, що отримана функція залежить лише від значення x, коли ми переходимо до межі. Визначення: Похідний y "=f" (x) цієї функції y=f(x) при цьому xназивається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу за умови, що збільшення аргументу прагне нуля, якщо, звісно, ​​ця межа існує, тобто. кінцевий. Таким чином,
, або

Зауважимо, що якщо за деякого значення x, наприклад при x=a, ставлення
при  x0 не прагне кінцевої межі, то в цьому випадку кажуть, що функція f(x)при x=a(або в точці x=a) не має похідної або не диференційована в точці x=a.

2. Геометричний зміст похідної.

Розглянемо графік функції у = f(х), що диференціюється на околицях точки x 0

f(x)

Розглянемо довільну пряму, яка проходить через точку графіка функції - точку А(x 0 , f (х 0)) і перетинає графік деякою точкою B(x;f(x)). Така пряма (АВ) називається січною. З ∆АВС: АС = ∆x; НД =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Оскільки АС || Ox, то ALO = BAC = β (як відповідні при паралельних). Але ALO – це кут нахилу секущої АВ до позитивного напрямку осі Ох. Значить, tg = k - кутовий коефіцієнт прямої АВ.

Тепер зменшуватимемо ∆х, тобто. ∆х→ 0. При цьому точка В наближатиметься до точки А за графіком, а січна АВ повертатиметься. Граничним положенням січної АВ при ∆х→ 0 буде пряма (a), яка називається дотичною до графіка функції у = f (х) у точці А.

Якщо перейти до межі при ∆х → 0 у рівності tgβ = ∆y/∆x, то отримаємо
або tg = f "(x 0), оскільки
-кут нахилу дотичної до позитивного напрямку осі Ох
, за визначенням похідної. Але tg = k - кутовий коефіцієнт дотичної, отже, k = tg = f "(x 0).

Отже, геометричний зміст похідної полягає в наступному:

Похідна функції у точці x 0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції, проведеної в точці з абсцисою x 0 .

3. Фізичний зміст похідної.

Розглянемо рух точки прямою. Нехай задана координата точки будь-якої миті часу x(t). Відомо (з курсу фізики), що середня швидкість за проміжок часу дорівнює відношенню відстані, пройденого цей проміжок часу, тимчасово, тобто.

Vср = ∆x/∆t. Перейдемо до межі в останньому рівні при ∆t → 0.

lim Vср (t) = (t 0) - миттєва швидкість у момент часу t 0 , ∆t → 0.

а lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (за визначенням похідної).

Отже, (t) = x"(t).

Фізичний зміст похідної полягає в наступному: похідна функціїy = f(x) у точціx 0 - це швидкість зміни функціїf(х) у точціx 0

Похідна застосовується у фізиці для знаходження швидкості за відомою функцією координати від часу, прискорення за відомою функцією швидкості від часу.

(t) = x"(t) - швидкість,

a(f) = "(t) - прискорення, або

Якщо відомий закон руху матеріальної точки по колу, то можна знайти кутову швидкість та кутове прискорення при обертальному русі:

φ = φ(t) - зміна кута від часу,

ω = φ"(t) - кутова швидкість,

ε = φ"(t) - кутове прискорення, або ε = φ"(t).

Якщо відомий закон розподілу маси неоднорідного стрижня, можна знайти лінійну щільність неоднорідного стрижня:

m = m(х) - маса,

x  l - довжина стрижня,

р = m "(х) - лінійна густина.

За допомогою похідної вирішуються завдання з теорії пружності та гармонійних коливань. Так, згідно із законом Гука

F = -kx, x - змінна координата, k-коефіцієнт пружності пружини. Поклавши ω 2 =k/m, отримаємо диференціальне рівняння пружинного маятника х"(t) + ω 2 x(t) = 0,

де ω = √k/√m частота коливань (l/c), k - жорсткість пружини (H/m).

Рівняння виду у + ω 2 y = 0 називається рівнянням гармонійних коливань (механічних, електричних, електромагнітних).

у = Asin(ωt + φ 0) або у = Acos(ωt + φ 0), де

А - амплітуда коливань, - циклічна частота,

φ 0 – початкова фаза.

Вирішувати фізичні завдання чи приклади з математики зовсім неможливо без знань про похідну та методи її обчислення. Похідна – одне з найважливіших понять математичного аналізу. Цій фундаментальній темі ми вирішили присвятити сьогоднішню статтю. Що таке похідна, який її фізичний та геометричний зміст, як порахувати похідну функції? Всі ці питання можна поєднати в одне: як зрозуміти похідну?

Геометричний та фізичний зміст похідної

Нехай є функція f(x) , задана в певному інтервалі (a, b) . Точки х і х0 належать до цього інтервалу. При зміні х змінюється сама функція. Зміна аргументу – різниця його значень х-х0 . Ця різниця записується як дельта ікс і називається збільшенням аргументу. Зміною або збільшенням функції називається різниця значень функції у двох точках. Визначення похідної:

Похідна функції у точці – межа відношення збільшення функції у цій точці до збільшення аргументу, коли останнє прагне нулю.

Інакше це можна записати так:

Який сенс у знаходженні такої межі? А ось який:

похідна від функції в точці дорівнює тангенсу кута між віссю OX і щодо графіку функції в даній точці.

Фізичний зміст похідної: похідна шляхи за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху.

Дійсно, ще зі шкільних часів всім відомо, що швидкість – це приватна дорога. x=f(t) та часу t . Середня швидкість за деякий проміжок часу:

Щоб дізнатися швидкість руху в момент часу t0 потрібно обчислити межу:

Правило перше: виносимо константу

Константу можна винести за знак похідної. Більше того – це потрібно робити. При вирішенні прикладів математики візьміть за правило - якщо можете спростити вираз, обов'язково спрощуйте .

приклад. Обчислимо похідну:

Правило друге: похідна суми функцій

Похідна суми двох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій. Те саме справедливо і для похідної різниці функцій.

Не наводитимемо доказ цієї теореми, а краще розглянемо практичний приклад.

Знайти похідну функції:

Правило третє: похідна робота функцій

Похідна твори двох функцій, що диференціюються, обчислюється за формулою:

Приклад: знайти похідну функції:

Рішення:

Тут важливо сказати про обчислення похідних складних функцій. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

У наведеному вище прикладі ми зустрічаємо вираз:

В даному випадку проміжний аргумент - 8х у п'ятому ступені. Для того, щоб обчислити похідну такого виразу спочатку вважаємо похідну зовнішньої функції за проміжним аргументом, а потім множимо на похідну безпосередньо проміжного аргументу незалежної змінної.

Правило четверте: похідна приватного двох функцій

Формула для визначення похідної від частки двох функцій:

Ми постаралися розповісти про похідні для чайників з нуля. Ця тема не така проста, як здається, тому попереджаємо: у прикладах часто зустрічаються пастки, так що будьте уважні при обчисленні похідних.

З будь-яким питанням з цієї та інших тем ви можете звернутися до студентського сервісу. За короткий термін ми допоможемо вирішити найскладнішу контрольну та розібратися із завданнями, навіть якщо ви ніколи раніше не займалися обчисленням похідних.

Запам'ятати дуже просто.

Ну і не будемо далеко ходити, одразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показової функції? Логарифм:

У нашому випадку основою є число:

Такий логарифм (тобто логарифм із основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливе позначення: замість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифму теж дуже проста:

Приклади:

1. Знайди похідну функцію.
2. Чому дорівнює похідна функції?

Відповіді: Експонента та натуральний логарифм – функції унікально прості з погляду похідної. Показові та логарифмічні функції з будь-якою іншою основою будуть мати іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того, як ми пройдемо правила диференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?!

Диференціювання- Це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Не производнование ж... Диференціалом математики називають те саме збільшення функції при. Походить цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил використовуватимемо дві функції, наприклад, в. Нам знадобляться також формули їх прирощень:

Усього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо – якесь постійне число (константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці: .

Доведемо. Нехай, чи простіше.

приклади.

Знайдіть похідні функції:

1. у точці;
2. у точці;
3. у точці;
4. у точці.

Рішення:

1. (похідна однакова у всіх точках, оскільки це лінійна функція, пам'ятаєш?);

Похідна робота

Тут все аналогічно: введемо нову функцію і знайдемо її збільшення:

Похідна:

Приклади:

1. Знайдіть похідні функцій та;
2. Знайдіть похідну функцію в точці.

Рішення:

Похідна показової функції

Тепер твоїх знань достатньо, щоб навчитися знаходити похідну будь-якої показової функції, а не лише експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де – це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функцію, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нової основи:

І тому скористаємося простим правилом: . Тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція – складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився лише множник, який є просто числом, але не змінною.

Приклади:
Знайди похідні функції:

Відповіді:

Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, тобто не записати в більш простому вигляді. Тому у відповіді його у такому вигляді і залишаємо.

Зауважимо, що тут приватне двох функцій, тому застосуємо відповідне правило диференціювання:

У цьому прикладі добуток двох функцій:

Похідна логарифмічна функція

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифму:

Тому, щоб знайти довільну від логарифму з іншою основою, наприклад:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як змінити основу логарифму? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показової та логарифмічної функцій майже не зустрічаються в ЄДІ, але не буде зайвим знати їх.

Похідна складна функція.

Що таке "складна функція"? Ні, це не логарифм і не арктангенс. Дані функції може бути складними для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять дві людини і роблять якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складовий об'єкт: шоколадка, обгорнена та обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно зробити зворотні дії у зворотному порядку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спочатку знаходитимемо косинус числа, а потім отримане число зводитимемо в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що в мене вийшло, у квадрат (обв'язуєш стрічкою). Що вийшло? функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми робимо першу дію безпосередньо зі змінною, а потім ще другу дію з тим, що вийшло в результаті першого.

Іншими словами, складна функція – це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для прикладу, .

Ми цілком можемо робити ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш у квадрат, а потім шукаю косинус отриманого числа: . Нескладно здогадатися, що результат майже завжди буде різним. Важлива особливість складних функцій: зміна порядку дій функція змінюється.

Другий приклад: (те саме). .

Дію, яку робимо останнім, називатимемо "зовнішньої" функцією, а дія, що чиниться першим - відповідно «внутрішньою» функцією(це неформальні назви, я їх вживаю лише для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою:

Відповіді:Поділ внутрішньої та зовнішньої функцій дуже схожий заміну змінних: наприклад, у функції

1. Першим виконуватимемо яку дію? Спершу порахуємо синус, а потім зведемо в куб. Отже, внутрішня функція, а зовнішня.
   А вихідна функція є їх композицією: .
2. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
3. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
4. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
5. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .

виконуємо заміну змінних та отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер витягуватимемо нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного прикладу це так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

Рішення:

1) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

2) Внутрішня: ;

(Тільки не здумай тепер скоротити на! З-під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)

3) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї витягуємо корінь, тобто виконуємо третю дію (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися немає причин: все одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і зазвичай: з кінця.

Тобто спершу продиференціюємо корінь, потім косинус, і лише потім вираз у дужках. А потім все це перемножимо.

У разі зручно пронумерувати дії. Тобто уявімо, що нам відомий. У якому порядку робитимемо дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо з прикладу:

Чим пізніше відбувається дія, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:

Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давайте визначимо порядок дій.

1. Підкорене вираз. .

2. Корінь. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Збираємо все до купи:

ВИРОБНИЧА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції- Відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна сума:

Похідна робота:

Похідна приватна:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо "внутрішню" функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо "зовнішню" функцію, знаходимо її похідну.
3. Помножуємо результати першого та другого пунктів.