03.07.202327.05.2017

Нехай речова функція задовольняє умовам Диріхле на проміжку - L, L. Запишемо її розкладання у тригонометричний ряд Фур'є:

Якщо в (10.1) виразити і через показову функцію від уявного аргументу:

то отримаємо ряд

де з чинності (10.2)

Останні три формули можна об'єднати:

Ряд (10.3) з коефіцієнтами (10.4) називається тригонометричним рядом Фур'є у комплексній формі.

приклад 1.Розкласти функцію, де - комплексне число, до ряду Фур'є на проміжку.

Рішення . Знайдемо коефіцієнти Фур'є:

Оскільки, то

Шукане розкладання матиме вигляд

де враховано, що

Застосовуючи до ряду (10.5) рівність Парсеваля

можна знайти суму ще одного числового ряду. Справді, у нашому випадку

Тоді з (10.6) випливає

Вправа 1. Довести, що

Вказівка. Покласти до (10.5) х= 0 і х = .

Вправа 2. Довести, що за

Інтеграл Фур'є

Схожість інтеграла Фур'є

Нехай функція визначена по всій числовій осі. Вважаючи, що на довільному кінцевому проміжку - L, Lзадана функція задовольняє умовам Діріхле, представимо її тригонометричним рядом Фур'є в комплексній формі:

Частота k-ї гармоніки; .

Ввівши в (11.1) вирази (11.2), отримаємо

При величині. Права частина формули (11.3) аналогічна інтегральній сумі для функції змінної в проміжку. Тому можна очікувати, що після переходу в (11.3) до межі замість ряду отримаємо інтеграл

Формула (11.4) називається інтегральною формулою Фур'є, а її права частина – інтегралом Фур'є.

Міркування, з допомогою яких отримано формула (11.4), є суворими і мають лише навідний характер. Умови, за яких справедлива інтегральна формула Фур'є, встановлює теорема, яку ми приймаємо без доказу.

Теорема.Нехай функція, по-перше, абсолютно інтегрована проміжку, тобто. інтеграл сходиться, і, по-друге, задовольняє умовам Діріхле на кожному кінцевому проміжку (- L, L). Тоді інтеграл Фур'є сходиться (себто головного значення) всюди, тобто. рівність (11.4) виконується за всіх хіз проміжку. Тут, як і раніше, передбачається, що у точці розриву значення функції дорівнює напівсумі її односторонніх меж у цій точці.

Перетворення Фур'є

Інтегральну формулу Фур'є (11.4) перетворимо в такий спосіб. Покладемо

Якщо функція безперервна і абсолютно інтегрована по всій осі, то функція безперервна на проміжку. Справді, оскільки, то

і оскільки інтеграл справа сходиться, то сходиться інтеграл зліва. отже, інтеграл у (12.1) сходиться абсолютно. Рівність (12.2) виконується одночасно всім, тому інтеграл (12.1) сходиться рівномірно щодо. Звідси й випливає, що функція безперервна (так само, як із рівномірної збіжності ряду, складеного з безперервних функцій, випливає безперервність його суми).

З (11.4) отримаємо

Комплексна функція, яка визначається формулою (12.1), називається перетворенням Фур'є або Фур'є-образом функції. У свою чергу формула (12.3) визначає як зворотне перетворення Фур'є, або прообраз функції. Рівність (12.3) при заданій функції можна розглядати як інтегральне рівняння щодо функції, розв'язання якого дається формулою (12.1). І, навпаки, рішення інтегрального рівняння (12.1) щодо функції за заданої дає формула (12.3).

У формулі (12.3) вираз задає, умовно кажучи, пакет комплексних гармонік із частотами, безперервно розподіленими на проміжку та сумарною комплексною амплітудою. Функція називається спектральною густиною. Формулу (12.2), записану у вигляді

можна трактувати, як розкладання функції суму пакетів гармонік, частоти яких утворюють суцільний спектр, розподілений на проміжку.

Рівності Парсеваля.Нехай і - Фур'є-образи речових функцій та відповідно. Тоді

тобто. скалярні твори та норми функцій є інваріантами перетворення Фур'є. Доведемо це твердження. за визначенням скалярного твору маємо. Замінивши функцію її виразом (12.3) через Фур'є-образ, отримаємо

В силу (12.1)

Тому, тобто. формулу (12.4) доведено. Формула (12.5) виходить з (12.4) при.

Косинус- та синус-перетворення Фур'є.Якщо речова функція парна, то її Фур'є-образ, який тут позначатимемо, також є речовою парною функцією. Справді,

Останній інтеграл, внаслідок непарності підінтегральної функції, перетворюється на нуль. Таким чином,

Тут використано властивість (7.1) парних функцій.

З (12.6) випливає, що функція речова і парним чином залежить від, оскільки входить до (12.6) тільки через косинус.

Формула (12.3) зворотного перетворення Фур'є у цьому випадку дає

Оскільки і - відповідно парна та непарна функції змінної, то

Формули (12.6) та (12.7) визначають косинус-перетворення Фур'є.

Аналогічно, якщо речова функція непарна, то її перетворення Фур'є, де - речова непарна функція від. При цьому

Рівності (12.8), (12.9) задають синус-перетворення Фур'є.

Зауважимо, що до формул (12.6) і (12.8) входять значення функції тільки для. Тому косинус- та синус-перетворення Фур'є можна застосовувати і до функції, визначеної на напівнескінченному проміжку. У цьому випадку при інтегралі у формулах (12.7) і (12.9) сходяться до заданої функції, а при її парному та непарному продовження відповідно.

Які вже добряче набридли. І я відчуваю, що настав момент, коли зі стратегічних запасів теорії настав час витягти нові консерви. Чи не можна розкласти функцію в ряд якось інакше? Наприклад, виразити відрізок прямої лінії через синуси та косинуси? Здається неймовірним, але такі, начебто, далекі одна від одної функції піддаються
"возз'єднання". Крім примелькавшихся ступенів у теорії та практиці існують інші підходи до розкладання функції в ряд.

На даному уроці ми познайомимося з тригонометричним рядом Фур'є, торкнемося питання його збіжності та суми і, звичайно ж, розберемо численні приклади на розкладання функцій у ряді Фур'є. Щиро хотілося назвати статтю «Ряди Фур'є для чайників», але це було б лукавством, оскільки для вирішення завдань знадобляться знання інших розділів математичного аналізу та деякий практичний досвід. Тому преамбула нагадуватиме підготовку космонавтів =)

По-перше, до вивчення матеріалів сторінки слід підійти у відмінній формі. Виспалися, відпочили і тверезі. Без сильних емоцій з приводу зламаної лапи хом'ячка та нав'язливих думок про тягар життя акваріумних рибок. Ряд Фур'є не складний з погляду розуміння, проте практичні завдання вимагають просто підвищеної концентрації уваги – в ідеалі слід повністю відмовитися від зовнішніх подразників. Ситуація ускладнюється тим, що не існує легкого способу перевірки рішення та відповіді. Таким чином, якщо ваше самопочуття нижче середнього, то краще зайнятися чимось простим. Щоправда.

По-друге, перед польотом у космос необхідно вивчити панель приладів космічного корабля. Почнемо із значень функцій, які повинні клацатися на автоматі:

При будь-якому натуральному значенні:

1). І справді, синусоїда «прошиває» вісь абсцис через кожне «пі»:
. Що стосується негативних значень аргументу результат, звісно ж, буде таким же: .

2). А це знали не всі. Косинус «пі ен» є еквівалентом «мигалки»:

Негативний аргумент справи не змінює: .

Мабуть, достатньо.

І, по-третє, шановний загін космонавтів, необхідно вміти... інтегрувати.
Зокрема, упевнено підводити функцію під знак диференціалу, інтегрувати частинамиі бути в ладах з формулою Ньютона-Лейбніца. Почнемо важливі передпольотні вправи. Категорично не рекомендую пропускати, щоб потім не плющило у невагомості:

Приклад 1

Обчислити певні інтеграли

де набуває натуральних значень.

Рішення: інтегрування проводиться за змінною "ікс" і на даному етапі дискретна змінна "ен" вважається константою. У всіх інтегралах підводимо функцію під знак диференціалу:

Коротка версія рішення, до якої добре пристрілятися, виглядає так:

Звикаємо:

Чотири пункти, що залишилися, самостійно. Постарайтеся сумлінно поставитися до завдання та оформити інтеграли коротким способом. Зразки рішень наприкінці уроку.

Після якісного виконання вправ надягаємо скафандри
і готуємось до старту!

Розкладання функції у ряд Фур'є на проміжку

Розглянемо деяку функцію, яка визначенопринаймні на проміжку (а, можливо, і на більшому проміжку). Якщо ця функція інтегрована на відрізку , її можна розкласти в тригонометрический ряд Фур'є:
де – так звані коефіцієнти Фур'є.

При цьому число називають періодом розкладання, А число - напівперіодом розкладання.

Очевидно, що в загальному випадку ряд Фур'є складається з синусів та косінусів:

Дійсно, розпишемо його докладно:

Нульовий член низки прийнято записувати як .

Коефіцієнти Фур'є розраховуються за такими формулами:

Прекрасно розумію, що початківцям вивчати тему поки що малозрозумілі нові терміни: період розкладання, напівперіод, коефіцієнти Фур'єта ін Без паніки, це не порівняно з хвилюванням перед виходом у відкритий космос. У всьому розберемося в найближчому прикладі, перед виконанням якого логічно поставитися насущними практичними питаннями:

Що потрібно зробити в наведених нижче завданнях?

Розкласти функцію до ряду Фур'є. Додатково нерідко потрібно зобразити графік функції, графік суми ряду, часткової суми і у разі витончених професорських фантазій зробити щось ще.

Як розкласти функцію до ряду Фур'є?

По суті, потрібно знайти коефіцієнти Фур'єтобто скласти і обчислити три певних інтегралів.

Будь ласка, перепишіть загальний вигляд ряду Фур'є та три робочі формули до себе у зошит. Я дуже радий, що у деяких відвідувачів сайту прямо на моїх очах здійснюється дитяча мрія стати космонавтом.

Приклад 2

Розкласти функцію в ряд Фур'є на проміжку. Побудувати графік, графік суми ряду та часткової суми.

Рішення: перша частина завдання полягає у розкладанні функції в ряд Фур'є.

Початок стандартний, обов'язково записуємо, що:

У цьому завдання період розкладання, напівперіод.

Розкладемо функцію в ряд Фур'є на проміжку:

Використовуючи відповідні формули, знайдемо коефіцієнти Фур'є. Тепер потрібно скласти та обчислити три певних інтегралів. Для зручності я нумеруватиму пункти:

1) Перший інтеграл найпростіший, однак і він уже вимагає око та око:

2) Використовуємо другу формулу:

Цей інтеграл добре знайомий і береться він частинами:

При знаходженні використаний метод підведення функції під знак диференціалу.

У розглянутому завданні зручніше відразу використовувати формулу інтегрування частинами у певному інтегралі :

Пара технічних зауважень. По-перше, після застосування формули весь вираз потрібно покласти у великі дужки, оскільки перед вихідним інтегралом є константа . Не втрачаємо її! Дужки можна розкрити на будь-якому подальшому кроці, я це зробив в останню чергу. У першому «шматку» виявляємо крайню акуратність у підстановці, як бачите, константа не при справах, і межі інтегрування підставляються у твір. Ця дія виділена квадратними дужками. Ну а інтеграл другого «шматка» формули вам добре знайомий із тренувального завдання;-)

І найголовніше – гранична концентрація уваги!

3) Шукаємо третій коефіцієнт Фур'є:

Отримано родича попереднього інтеграла, який теж інтегрується частинами:

Цей екземпляр трохи складніший, закоментую подальші дії покроково:

(1) Вираз повністю укладаємо у великі дужки. Не хотів здатися занудою, надто часто втрачають константу.

(2) У цьому випадку я негайно розкрив ці великі дужки. Особливу увагуприділяємо першому «шматку»: константа палить осторонь і бере участь у підстановці меж інтегрування ( і ) до твір . Через захаращеність запису цю дію знову доцільно виділити квадратними дужками. З другим «шматком» все простіше: тут дріб з'явився після розкриття великих дужок, а константа – внаслідок інтегрування знайомого інтеграла;-)

(3) У квадратних дужках проводимо перетворення, а правому інтегралі – підстановку меж інтегрування.

(4) Виносимо «мигалку» з квадратних дужок: після чого розкриваємо внутрішні дужки: .

(5) Скорочуємо 1 та –1 у дужках, проводимо остаточні спрощення.

Нарешті знайдено всі три коефіцієнти Фур'є:

Підставимо їх у формулу :

При цьому не забуваємо розділити навпіл. На останньому етапі константа («мінус два»), яка не залежить від «ен», винесена за межі суми.

Таким чином, ми отримали розкладання функції в ряд Фур'є на проміжку:

Вивчимо питання збіжності низки Фур'є. Я поясню теорію, зокрема теорему Діріхле, буквально «на пальцях», тому якщо вам необхідні суворі формулювання, будь ласка, зверніться до підручника з математичного аналізу (Наприклад, 2-й том Бохана; або 3-й том Фіхтенгольця, але в ньому важче).

У другій частині завдання потрібно зобразити графік, графік суми ряду та графік часткової суми.

Графік функції є звичайною пряму на площині, яка проведена чорним пунктиром:

Розбираємось із сумою ряду. Як ви знаєте, функціональні ряди сходяться до функцій. У нашому випадку побудований ряд Фур'є за будь-якого значення «ікс»зійдеться до функції, яка зображена червоним кольором. Ця функція терпить розриви 1-го родуу точках , але визначена і в них (червоні точки на кресленні)

Таким чином: . Легко бачити, що помітно відрізняється від вихідної функції саме тому в записі ставиться значок «тильда», а чи не знак рівності.

Вивчимо алгоритм, яким зручно будувати суму ряду.

На центральному інтервалі ряд Фур'є сходиться до функції (центральний червоний відрізок збігається з чорним пунктиром лінійної функції).

Тепер трохи поміркуємо про природу тригонометричного розкладання, що розглядається. У ряд Фур'є входять лише періодичні функції (константа, синуси та косинуси), тому сума ряду теж є періодичною функцією.

Що це означає у нашому конкретному прикладі? А це означає те, що сума ряду –неодмінно періодичнаі червоний відрізок інтервалу повинен нескінченно повторюватися ліворуч і праворуч.

Думаю, зараз остаточно прояснилося значення фрази «період розкладання». Спрощено кажучи, через кожну ситуацію знову і знову повторюється.

Насправді зазвичай досить зобразити три періоди розкладання, як і зроблено на кресленні. Ну і ще "обрубки" сусідніх періодів - щоб було зрозуміло, що графік продовжується.

Особливий інтерес представляють точки розриву 1-го роду. У таких точках ряд Фур'є сходить до ізольованих значень, які розташовані рівно посередині «стрибка» розриву (червоні точки на кресленні). Як дізнатися ординату цих точок? Спочатку знайдемо ординату «верхнього поверху»: при цьому обчислимо значення функції крайньої правої точки центрального періоду розкладання: . Щоб обчислити ординату «нижнього поверху» найпростіше взяти крайнє ліве значення цього періоду: . Ордината середнього значення – це середня арифметична сума «верха і низу»: . Приємним є той факт, що при побудові креслення ви відразу побачите, чи правильно чи неправильно обчислено середину.

Побудуємо часткову суму низки і заразом повторимо сенс терміна «збіжність». Мотив відомий ще з уроку про сумі числового ряду. Розпишемо наше багатство докладно:

Щоб скласти часткову суму, необхідно записати нульовий + ще два члени ряду. Тобто,

На кресленні графік функції зображений зеленим кольором, і, як бачите, досить щільно «обвиває» повну суму. Якщо розглянути часткову суму з п'яти членів ряду , то графік цієї функції ще точніше наближатиме червоні лінії, якщо сто членів – то «зелений змій» фактично повністю зіллється з червоними відрізками тощо. Таким чином, ряд Фур'є сходиться до своєї суми.

Цікаво відзначити, що будь-яка часткова сума – це безперервна функція, проте повна сума ряду все ж таки розривна.

Насправді негаразд рідко потрібно побудувати і графік часткової суми. Як це зробити? У разі необхідно розглянути функцію на відрізку , обчислити її значення кінцях відрізка й у проміжних точках (що більше точок розглянете – то точніше буде графік). Потім слід зазначити дані точки на кресленні та акуратно зобразити графік на періоді, після чого «розтиражувати» його на сусідні проміжки. А як інакше? Адже наближення – це теж періодична функція… …щось мені її графік нагадує рівний ритм серця на дисплеї медичного приладу.

Виконувати побудову, звичайно, не дуже зручно, тому що і доводиться виявляти надакуратність, витримуючи точність не менше ніж до половини міліметра. Втім, читачів, які не в ладах із кресленням, порадую – у «реальному» завданні виконувати креслення потрібно далеко не завжди, десь у 50% випадків потрібно розкласти функцію до ряду Фур'є і все.

Після виконання креслення завершуємо завдання:

Відповідь:

Багато завдань функція терпить розрив 1-го родупрямо на періоді розкладання:

Приклад 3

Розкласти в ряд Фур'є функцію, задану на відрізку. Накреслити графік функції та повної суми ряду.

Запропонована функція задана кусковим чином (Причому, зауважте, тільки на відрізку)і терпить розрив 1-го родуу точці. Чи можна визначити коефіцієнти Фур'є? Без проблем. І ліва і права частини функції інтегруються на своїх проміжках, тому інтеграли в кожній із трьох формул слід подати у вигляді суми двох інтегралів. Подивимося, наприклад, як це робиться у нульового коефіцієнта:

Другий інтеграл дорівнював нулю, що зменшило роботи, але так буває далеко не завжди.

Аналогічно розписуються два інші коефіцієнти Фур'є.

Як зобразити суму ряду? На лівому інтервалі креслимо відрізок прямої, а на інтервалі – відрізок прямої (жирно-жирно виділяємо ділянку осі). Тобто, на проміжку розкладання сума ряду збігається з функцією скрізь, крім трьох «поганих» точок. У точці розриву функції ряд Фур'є зійдеться до ізольованого значення, яке розташовується посередині «стрибка» розриву. Його неважко побачити і усно: лівостороння межа: , правостороння межа: і очевидно, що ордината середньої точки дорівнює 0,5.

З огляду на періодичність суми , картинку необхідно «розмножити» на сусідні періоди, зокрема зобразити те саме на інтервалах і . При цьому, у точках ряд Фур'є зійдеться до серединних значень.

По суті, нічого нового тут немає.

Постарайтеся самостійно впоратися з цим завданням. Зразок чистового оформлення та креслення наприкінці уроку.

Розкладання функції ряд Фур'є на довільному періоді

Для довільного періоду розкладання , де «ель» – будь-яке позитивне число, формули ряду Фур'є та коефіцієнтів Фур'є відрізняються трохи ускладненим аргументом синуса та косинуса:

Якщо , то виходять формули проміжку , з яких ми починали.

Алгоритм та принципи вирішення задачі повністю зберігаються, але зростає технічна складність обчислень:

Приклад 4

Розкласти функцію в ряд Фур'є та побудувати графік суми.

Рішення: фактично аналог Прикладу №3 с розривом 1-го родуу точці. У цьому завдання період розкладання, напівперіод. Функція визначена тільки на напівінтервалі, але це не змінює справи – важливо, що обидва шматки функції інтегруються.

Розкладемо функцію до ряду Фур'є:

Оскільки функція розривна на початку координат, то кожен коефіцієнт Фур'є очевидно слід записати у вигляді суми двох інтегралів:

1) Перший інтеграл розпишу максимально докладно:

2) Ретельно вдивляємось у поверхню Місяця:

Другий інтеграл беремо частинами:

На що слід звернути пильну увагу після того, як ми зірочкою відкриваємо продовження рішення?

По-перше, не втрачаємо перший інтеграл де відразу ж виконуємо підведення під знак диференціалу. По-друге, не забуваємо злощасну константу перед великими дужками та не плутаємось у знакахпри використанні формули. Великі дужки, все-таки зручніше розкривати відразу на наступному кроці.

Інша справа техніки, складнощі може викликати лише недостатній досвід розв'язання інтегралів.

Так, недаремно імениті колеги французького математика Фур'є обурювалися - як це той посмів розкладати функції в тригонометричні ряди?! =) До речі, напевно, всім цікавий практичний зміст завдання. Сам Фур'є працював над математичною моделлю теплопровідності, а згодом ряд, названий його ім'ям став застосовуватися для вивчення багатьох періодичних процесів, яких у навколишньому світі мабуть-невидимо. Зараз, до речі, впіймав себе на думці, що не випадково порівняв графік другого прикладу з періодичним ритмом серця. Бажаючі можуть ознайомитись із практичним застосуванням перетворення Фур'єу сторонніх джерелах. …Хоча краще не треба – буде згадуватися, як Перше Кохання =)

3) Враховуючи слабкі ланки, що неодноразово згадувалися, розбираємося з третім коефіцієнтом:

Інтегруємо частинами:

Підставимо знайдені коефіцієнти Фур'є у формулу , не забуваючи поділити нульовий коефіцієнт навпіл:

Побудуємо графік суми низки. Коротко повторимо порядок дій: на інтервалі будуємо пряму, але в інтервалі – пряму . При нульовому значенні «ікс» ставимо крапку посередині «стрибка» розриву та «тиражуємо» графік на сусідні періоди:

На «стиках» періодів сума також дорівнюватиме серединам «стрибка» розриву.

Готово. Нагадую, що сама функція за умовою визначена лише на напівінтервалі та, очевидно, збігається із сумою ряду на інтервалах

Відповідь:

Іноді шматково-задана функція буває безперервна на періоді розкладання. Найпростіший зразок: . Рішення (Див. 2-й том Бохана)таке саме, як і двох попередніх прикладах: незважаючи на безперервність функціїу точці , кожен коефіцієнт Фур'є виражається сумою двох інтегралів.

На проміжку розкладання точок розриву 1-го родута/або точок «стику» графіка може бути і більше (дві, три і взагалі будь-яке кінцевекількість). Якщо функція інтегрована кожної частини, вона також розкладена до низки Фурье. Але з практичного досвіду таку жерсть щось не пригадую. Тим не менш, зустрічаються більш важкі завдання, ніж щойно розглянуте, і наприкінці статті для всіх бажаючих є посилання на ряди Фур'є підвищеної складності.

А поки розслабимося, відкинувшись у кріслах і споглядаючи безкраї зоряні простори:

Приклад 5

Розкласти функцію у ряд Фур'є на проміжку та побудувати графік суми ряду.

У цьому завданні функція безперервнана напівінтервалі розкладання, що полегшує рішення. Все дуже схоже на приклад №2. З космічного корабля нікуди не подітися – доведеться вирішувати =) Зразковий зразок оформлення наприкінці уроку графік додається.

Розкладання ряд Фур'є парних і непарних функцій

З парними та непарними функціями процес вирішення завдання помітно спрощується. І ось чому. Повернемося до розкладання функції до ряду Фур'є на періоді «два пі» та довільному періоді «два ель» .

Припустимо, що наша функція парна. Загальний член ряду, як ви бачите, містить парні косинуси і непарні синуси. А якщо ми розкладаємо ЧЕТНУ функцію, то навіщо нам непарні синуси? Давайте обнулимо непотрібний коефіцієнт: .

Таким чином, парна функція розкладається в ряд Фур'є тільки по косинусах:

Оскільки інтеграли від парних функційпо симетричному щодо нуля відрізку інтегрування можна подвоювати, то спрощуються та інші коефіцієнти Фур'є.

Для проміжку:

Для довільного проміжку:

До хрестоматійних прикладів, які є практично в будь-якому підручнику з матаналізу, належать розкладання парних функцій . Крім того, вони неодноразово зустрічалися і в моїй особистій практиці:

Приклад 6

Дана функція. Потрібно:

1) розкласти функцію до низки Фур'є з періодом , де – довільне позитивне число;

2) записати розкладання на проміжку, побудувати функцію та графік повної суми ряду.

Рішення: у першому пункті пропонується вирішити завдання у загальному вигляді, і це дуже зручно! З'явиться потреба – просто підставте своє значення.

1) У цій задачі період розкладання, напівперіод. У ході подальших дій, зокрема під час інтегрування, «ель» вважається константою

Функція є парною, а значить, розкладається в ряд Фур'є тільки по косинусах: .

Коефіцієнти Фур'є шукаємо за формулами . Зверніть увагу на їхню безумовну перевагу. По-перше, інтегрування проводиться за позитивним відрізком розкладання, а значить, ми благополучно позбавляємося модуля , розглядаючи з двох шматків лише «ікс». І по-друге, помітно спрощується інтегрування.

Два:

Інтегруємо частинами:

Таким чином:
, у своїй константу , яка залежить від «ен», виносимо межі суми.

Відповідь:

2) Запишемо розкладання на проміжку, для цього в загальну формулу підставляємо потрібне значення напівперіоду:

Тригонометричним рядом Фур'є називається ряд виду

a0 /2 + a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos2 x + b 2 sin2 x + ... + a n cos nx + b n sin nx + ...

де числа a0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., a n, b n, ... - Коефіцієнти Фур'є.

Більш стислий запис ряду Фур'є із символом "сигма":

Як ми тільки що встановили, на відміну від статечного ряду, у ряді Фур'є замість найпростіших функцій взяті тригонометричні функції

1/2, cos x, sin x, cos2 x, sin2 x, ..., cos nx, sin nx, ... .

Коефіцієнти Фур'є обчислюються за такими формулами:

Всі перелічені вище функції в ряді Фур'є є періодичними функціями з періодом 2 π . Кожен член тригонометричного ряду Фур'є є періодичною функцією з періодом 2 π .

Тому і будь-яка часткова сума ряду Фур'є має період 2 π . Звідси випливає, що якщо ряд Фур'є сходиться на відрізку [- π , π ] , то він сходиться на всій числовій прямій та його сума, будучи межею послідовності періодичних часткових сум, є періодичною функцією з періодом 2 π .

Схожість ряду Фур'є та сума ряду

Нехай функція F(x) , визначена на всій числовій прямій та періодична з періодом 2 π , є періодичним продовженням функції f(x) , якщо на відрізку [- π , π ] має місце F(x) = f(x)

Якщо на відрізку [- π , π ] ряд Фур'є сходиться до функції f(x) , то він сходиться на всій числовій прямій до її періодичного продовження.

Відповідь на питання про те, за яких умов ряд Фур'є функції f(x) сходить до цієї функції, дає наступна теорема.

Теорема.Нехай функція f(x) та її похідна f "(x) - безперервні на відрізку [- π , π ] або мають на ньому кінцеве число точок розриву 1-го роду. Тоді ряд Фур'є функції f(x) сходиться на всій числовій прямій, причому в кожній точці x, що належить відрізку [- π , π ] , в якій f(x) безперервна, сума ряду дорівнює f(x) , а в кожній точці x0 розриву функції сума ряду дорівнює середній арифметичній межі функції f(x) праворуч та зліва:

де і .

На кінцях відрізка [- π , π ] сума ряду дорівнює середньому арифметичному значень функції у крайній лівій та крайній правій точках періоду розкладання:

У будь-якій точці x, що належить відрізку [- π , π ] , сума ряду Фур'є дорівнює F(x) , якщо x- Точка безперервності F(x) , і дорівнює середній арифметичній межі F(x) зліва та справа:

якщо x- точка розриву F(x), де F(x) - періодичне продовження f(x) .

приклад 1.Періодична функція f(x) з періодом 2 π визначено наступним чином:

Простіше ця функція записується як f(x) = |x| . Розкласти функцію до ряду Фур'є, визначити збіжність низки суму ряду.

Рішення. Визначимо коефіцієнти Фур'є цієї функції:

Тепер у нас є все, щоб отримати ряд Фур'є цієї функції:

Цей ряд сходиться у всіх точках, та її сума дорівнює цієї функції.

Вирішити завдання на ряди Фур'є самостійно, а потім переглянути рішення

Ряди Фур'є для парних та непарних функцій

Нехай функція f(x) визначено на відрізку [- π , π ] і є парною, тобто. f(- x) = f(x) . Тоді її коефіцієнти bnрівні нулю. А для коефіцієнтів anвірні такі формулы:

Нехай тепер функція f(x) , визначена на відрізку [- π , π ] , непарна, тобто. f(x) = - f(- x) . Тоді коефіцієнти Фур'є anрівні нулю, а коефіцієнти bnвизначається формулою

Як видно з формул, виведених вище, якщо функція f(x) парна, то ряд Фур'є містить лише косинуси, а якщо непарна, то тільки синуси.

приклад 3.

Рішення. Це непарна функція, тому її коефіцієнти Фур'є, а щоб знайти, потрібно обчислити певний інтеграл:

Ця рівність справедлива для будь-кого. У точках сума ряду Фур'є по наведеній у другому параграфі теоремі не збігається зі значеннями функції, а дорівнює . Поза відрізком сума ряду є періодичним продовженням функції , її графік наводився вище як ілюстрацію суми ряду.

приклад 4.Розкласти в ряд Фур'є функцію.

Рішення. Це парна функція, тому її коефіцієнти Фур'є , а щоб знайти , потрібно обчислити певні інтеграли:

Отримуємо ряд Фур'є цієї функції:

Ця рівність справедлива для будь-якого, тому що в точках сума ряду Фур'є в даному випадку збігається зі значеннями функції, оскільки .

Ряд Фур'є за будь-якою ортогональною системою функцій

Послідовність безперервних функцій на відрізку [ a,b], називається ортогональною системою функції на відрізку[a,b], якщо всі функції послідовності попарно ортогональні на цьому відрізку, тобто якщо

Система називається ортогональною та нормованою (ортонормованою) на відрізку ,

якщо виконується умова

Нехай тепер f(x) - будь-яка функція безперервна на відрізку [ a,b]. Поруч Фур'єтакої функції f(x) на відрізку [ a,b] за ортогональною системоюназивається ряд:

коефіцієнти якого визначаються рівністю:

N=1,2,...

Якщо ортогональна система функцій на відрізку [ a,b] ортонормована, то в цьому випадку

де n=1,2,...

Нехай тепер f(x) - будь-яка функція, безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [ a,b]. Поруч Фур'є такої функції f(x) на тому ж відрізку

за ортогональною системою називається ряд:

Якщо ряд Фур'є функції f(x) за системою (1) сходиться до функції f(x) у кожній її точці безперервності, що належить відрізку [ a,b]. У цьому випадку кажуть що f(x) на відрізку [ a,b] розкладається в ряд за ортогональною системою (1).

Комплексна форма ряду Фур'є

Вираз називається комплексною формою ряду Фур'є функції f(x), якщо визначається рівністю

де

Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і назад здійснюється за допомогою формул:

(n=1,2, . . .)

Завдання про коливання струни

Нехай у стані рівноваги натягнута струна довгою lз кінцями x= 0 та x=l. Припустимо, що струна виведена зі стану рівноваги та здійснює вільні коливання. Розглянемо малі коливання струни, що відбуваються у вертикальній площині.

При зроблених припущеннях можна показати, що функція u(x,t) , що характеризує положення струни в кожний момент часу t,задовольняє рівняння

(1) , Де а - позитивне число.

Наша задача - знайти функцію u(x,t) , графік якої дає форму струни у будь-який момент часу t, Т. е. знайти рішення рівняння (1) при граничних:

та початкових умовах:

Спочатку шукатимемо рішення рівняння (1), що задовольняють граничним умовам (2). Неважко побачити, що u(x,t) 0 є рішенням рівняння (1), що задовольняють граничним умовам (2). Шукатимемо рішення, не рівні тотожно 0, представлені у вигляді твору u(x,t)=X(x)T(t), (4) , де , .

Підстановка виразу (4) рівняння (1) дає:

З якого наше завдання зводиться до пошуку рішень рівнянь:

Використовуючи цю умову X(0)=0, X(l)=0, доведемо, що від'ємне число, розібравши всі випадки.

a) Нехай тоді X”=0 та її загальне рішення запишеться так:

звідки і ,що неможливо, тому що ми розглядаємо рішення, що не звертаються тотожно в нуль.

б) Нехай. Тоді вирішивши рівняння

отримаємо , і, підкоривши, знайдемо, що

в) Якщо то

Рівняння мають коріння:

де -довільні постійні. З початкової умови знайдемо:

звідки, тобто.

(n=1,2,...)

(n=1,2,...).

З огляду на це можна записати:

(N = 1,2, ...).

і, отже

, (n=1,2,...),

але оскільки A і B різні для різних значень n, то маємо

, (n=1,2,...),

де і довільні постійні, які спробуємо визначити таким чином, щоб ряд задовольняв рівняння (1), граничні умови (2) і початкові умови (3).

Отже, підпорядкуємо функцію u(x,t) початковим умовам, тобто підберемо і так, щоб виконувались умови

Ці рівності є відповідно розкладаннями функцій і відрізки до ряду Фур'є по синусам. (Це означає, що коефіцієнти будуть обчислюватися як для непарної функцій). Таким чином, рішення про коливання струни із заданими граничними та початковими умовами дається формулою

(n=1,2,...)

Інтеграл Фур'є

Достатні умови представності функції в інтеграл Фур'є.

Для того щоб f(x) була представлена інтегралом Фур'є у всіх точках безперервності та правильних точках розриву, достатньо:

1) абсолютної інтегрованості на

(Тобто інтеграл сходиться)

2) на будь-якому кінцевому відрізку [- L, L] функція була б шматково-гладкою

3) у точках розриву функції, її інтеграл Фур'є визначається напівсумою лівої та правої меж у цих точках, а в точках безперервності до самої функції f(x)

Інтегралом Фур'є функції f(x) називається інтеграл виду: