Нагромадження похибок. Математична енциклопедія Що таке накопичення похибки, що означає і як правильно пишеться

Аналітична хімія

УДК 543.08+543.422.7

ПРОГНОЗУВАННЯ ПОХІДНОСТЕЙ ФОТОМЕТРІЇ З ВИКОРИСТАННЯМ ЗАКОНУ НАКОПЛЕННЯ ПОМИЛОК І МЕТОДУ МОНТЕ-КАРЛО

В.І. Голованов, ЕМ Даниліна

У обчислювальному експерименті, при поєднанні закону поширення помилок та методу Монте-Карло, досліджено вплив похибок приготування розчинів, похибок холостого досвіду та похибок вимірювання пропускання на метрологічні характеристики фотометричного аналізу. Знайдено, що результати прогнозування похибок аналітичним та статистичним методами взаємоузгоджено. Показано, що особливістю методу Монте-Карло є можливість прогнозування закону розподілу похибок фотометрії. На прикладі сценарію рутинного аналізу розглянуто вплив гетероскедастичності розкиду вздовж градуювального графіка на якість аналізу.

Ключові слова: фотометричний аналіз, закон накопичення помилок, графік градуювання, метрологічні характеристики, метод Монте-Карло, стохастичне моделювання.

Вступ

Прогнозування похибок фотометричного аналізу переважно будують використання закону накопичення помилок (ЗНО) . Для випадку лінійної форми закону світлопоглинання: - 1§Т = А = в1с, ЗНО зазвичай записують рівнянням:

8А _ 8С _ 0,434-10 ^

А '8Т-

При цьому стандартне відхилення виміру ступеня пропускання передбачається постійним у всьому динамічному інтервалі фотометра. Разом з тим, як зазначають, крім апаратурних похибок на точність аналізу впливають похибка холостого досвіду, похибка налаштування меж шкали приладу, кюветна похибка, хімічні фактори, похибка установки аналітичної довжини хвилі. Ці чинники вважаються основними джерелами похибки результату аналізу. Вкладами в накопичену похибку точності приготування градуювальних розчинів зазвичай нехтують.

Звідси бачимо, що рівняння (1) немає істотної прогностичної сили, оскільки враховує вплив лише одного фактора. Крім того, рівняння (1) є наслідком наближеного розкладання закону світлопоглинання до ряду Тейлора. Звідси виникає питання про його точність, зумовлену зневагою членами розкладання вище за перший порядок. Математичний аналіз залишків розкладання пов'язані з обчислювальними труднощами й у практиці хімічного аналізу не застосовується.

Метою даної роботи є вивчення можливості застосування методу Монте-Карло (методу статистичних випробувань) як незалежний метод для вивчення та прогнозування накопичення похибок фотометричного аналізу, що доповнює та поглиблює можливості ЗНО.

Теоретична частина

У цій роботі будемо вважати, що підсумкова випадкова похибка градуювальної функції обумовлена ​​не тільки інструментальними похибками вимірювання оптичної щільності, а й похибками налаштування шкали приладу на 0 і 100% пропускання (похибка хо-

лостого досвіду), а також похибками приготування градуювальних розчинів. Іншими, названими вище, джерелами похибок нехтуємо. Тоді перепишемо рівняння закону Бугера-Ламберта-Бера у зручній для подальшої побудови формі:

Аи = кс" + А

У цьому рівнянні с51 - концентрації головного стандартного розчину забарвленої речовини, аліквоти (Уа) якого розбавляють в колбах з номінальним об'ємом Уд для отримання серії градуювальної розчинів, Аи - оптична щільність розчину холостого досвіду. Оскільки при фотометруванні оптичну щільність випробовуваних розчинів вимірюють щодо холостого розчину, тобто Аи приймають за умовний нуль, то Аи = 0. (Зауважимо, що виміряне при цьому значення оптичної щільності можна називати умовною екстинкцією.) У рівнянні (2) безрозмірна величина с" має сенс концентрації робочого розчину, вираженої в одиницях концентрації головного стандарту. Коефіцієнт до назві екстинкцією стандарту, оскільки А§1 = е1с81 при с" = 1.

Застосуємо до виразу (2) оператор закону накопичення випадкових помилок, вважаючи Уа, Уд та Аи випадковими величинами. Отримуємо:

Ще однією незалежною випадковою величиною, що впливає на розкид значень А, є ступінь пропускання, оскільки

А = -1§Т, (4)

тому до дисперсій у лівій частині рівняння (3) додаємо ще один доданок:

52а=(0,434-10а)Ч+8Іьі +

У цьому остаточному записі закону накопичення помилок постійні абсолютні стандартні відхилення Т, Аи і Уд, а Уа постійна відносна стандартна похибка.

При побудові стохастичної моделі градуювальної функції з урахуванням методу Монте-Карло вважаємо, що можливі значення х* випадкових величин Т, Аи Уа і Уд, розподілені за нормальним законом. Відповідно до принципу Монте-Карло, можливі значення розігруватимемо за методом зворотної функції:

X; =М(х1) + р-1(г])-вХ|, (6)

де М(х) - математичне очікування (дійсне значення) змінної, ?(г^) - функція Лапласа-Гаусса, ц ​​- можливі значення рівномірно розподіленої на інтервалі (0,1) випадкової величини Я, тобто випадкові числа, зх - Стандартне відхилення відповідної змінної, \ = 1 ... т - Порядковий номер незалежної випадкової величини. Після підстановки виразу (6) у рівняння (4) та (2) маємо:

А" = -18Хі = -1810-а + Р-1 (г]) 8т,

де А" = "к-+ х2

Обчислення за рівнянням (7) повертають окрему реалізацію градуювальної функції, тобто. залежність А" від математичного очікування М(с") (номінального значення с"). Тому запис (7) є аналітичним виразом випадкової функції . Перетину цієї функції отримують при багаторазовому розігруванні випадкових чисел у кожній точці градуювальної залежності. статистики з метою оцінювання генеральних параметрів градуювання та перевірки гіпотез про властивості генеральної сукупності.

Очевидно, що два підходи, що розглядаються нами, до проблеми прогнозування метрологічних характеристик у фотометрії - на основі ЗНО, з одного боку, і на основі методу Монте-Карло, з іншого, повинні доповнювати один одного. Зокрема, з рівняння (5) можна отримати результат при набагато меншому, порівняно з (7), обсязі обчислень, а також проранжиро-

вати випадкові величини за значимістю їх вкладів у результуючу похибку. Ранжування дозволяє відмовитися від експерименту, що відсіює, при статистичних випробуваннях і апріорі виключити з розгляду малозначущі змінні. Рівняння (5) нескладно проаналізувати математично для того, щоб судити про характер вкладів факторів у загальну дисперсію. Приватні вклади чинників можна поділити на незалежні від А, або з збільшенням із збільшенням оптичної щільності. Тому sA як функція А має бути монотонно зростаючою залежністю, позбавленою мінімуму. При апроксимації експериментальних даних рівнянням (5) приватні вклади однакового характеру змішуватимуться, наприклад, юоветна похибка може змішуватися з похибкою холостого досвіду. З іншого боку, при статистичних випробуваннях моделі методом Монте-Карло можна виявити такі важливі властивості градуювального графіка як закон (закони) розподілу похибок, і навіть оцінити швидкість збіжності вибіркових оцінок до генеральним. На основі ЗНО такий аналіз неможливий.

Опис обчислювального експерименту

При побудові імітаційної моделі градуювання вважаємо, що градуювальна серія розчинів приготована в мірних колбах з номінальною місткістю 50 мл та граничною похибкою +0,05 мл. До серії колб додають від 1 до 17 мл головного стандартного розчину з похибкою піпетування > 1 %. Похибки вимірювання обсягів оцінювали за довідником. Аліквоти вносять із рівномірним кроком 1 мл. Загалом у серії 17 розчинів, оптична щільність яких охоплює інтервал від 0,1 до 1,7 од. Тоді у рівнянні (2) коефіцієнт до = 5. Похибка холостого досвіду приймаємо лише на рівні 0,01 од. оптичної густини. Похибки вимірювання ступеня пропускання, відповідно, залежать тільки від класу приладу і знаходяться в інтервалі від 01 до 05% Т.

Для більшої прив'язки умов обчислювального експерименту до лабораторного експерименту скористалися даними відтворюваності вимірювань оптичних щільностей розчинів К2Сг207 у присутності 0,05 М H2S04 на спектрофотометрі СФ-26. Автори апроксимують експериментальні дані на інтервалі А = 0,1... 1,5 рівнянням параболи:

sBOCn * 103 = 7,9-3,53A + 10,3A2. (8)

Нам вдалося підігнати розрахунки за теоретичним рівнянням (5) до розрахунків за емпіричним рівнянням (8) з використанням оптимізаційного методу Ньютона. Знайшли, що рівняння (5) задовільно описує експеримент при s(T) = 0,12 %, s(Abi) = 0,007 та s r(Va) = 1,1 %.

Наведені в попередньому абзаці незалежні оцінки похибок добре узгоджуються зі знайденими під час припасування. Для обчислень за рівнянням (7) створено програму як форми листа електронних таблиць MS Excel. Найбільш істотною особливістю нашої Excel-програми є використання виразу НОРМСТОБР(СЛЧИС()) для генерування нормально розподілених похибок, див. рівняння (6). У спеціальній літературі зі статистичних обчислень в Excel докладно описано утиліту «Генерація випадкових чисел», яку у багатьох випадках переважно замінювати на функції типу НОРМСТОБР(СЛЧИС()). Така заміна особливо зручна під час створення власних програм для моделювання методом Монте-Карло.

Результати та їх обговорення

Перш ніж приступати до статистичних випробувань, оцінимо вклади доданків у лівій частині рівняння (5) у загальну дисперсію оптичної густини. Для цього кожен доданок нормують на загальну дисперсію. Розрахунки виконані при s(T) = 0,12%, s(Aw) = 0,007, Sr(Va)=l,l % та s(Vfi) = 0,05. Результати обчислень показано на рис. 1. Бачимо, що вклади в загальну дисперсію похибок вимірювання Vfl можна знехтувати.

Тоді як вклади іншої, що впливає на похибки приготування розчинів, величини Va

домінують в інтервалі оптичних густин 0,8__1,2. Однак цей висновок не має спільного

характеру, оскільки при вимірах на фотометрі з s(T) = 0,5 % похибки градуювання, згідно з розрахунком, визначаються головним чином розкидом Аи і розкидом Т. На рис. 2 порівнюються відносні помилки вимірювань оптичних густин, прогнозованих на основі ЗНО (суцільна лінія) та методу Монте-Карло (значки). При статистичних випробуваннях криву

помилок відновлювали по 100 реалізаціям градуювальної залежності (1700 значень оптичних густин). Бачимо, що обидва прогнози взаємно узгоджені. Крапки рівномірно групуються біля теоретичної кривої. Проте навіть за такого, досить великого, статистичного матеріалу повної збіжності немає. У всякому разі, розкид не дозволяє виявити наближений характер ЗНО, див.

0 0.4 0.8 1.2 1.6

Мал. 1. Вагові вклади доданків рівняння (5) в дисперсію А: 1 - для Аи; 2 - для Уа; 3 - для Т; 4 - для

Мал. 2. Крива похибок градуювального графіка

З теорії математичної статистики відомо, що з інтервальному оцінюванні математичного очікування випадкової величини надійність оцінювання підвищується, якщо відомий закон розподілу цієї величини. Крім того, у разі нормального розподілу оцінка є найефективнішою. Тому дослідження закону розподілу похибок градуювального графіка є важливим завданням. При такому дослідженні передусім перевіряють гіпотезу нормальності розкиду оптичних густин в окремих точках графіка.

Простим способом перевірки основної гіпотези є обчислення коефіцієнтів асиметрії (а) та коефіцієнтів ексцесу (е) емпіричних розподілів, а також їх порівняння з критеріальними значеннями. Надійність статистичних висновків підвищується зі збільшенням обсягу вибіркових даних. На рис. 3 наведені послідовності коефіцієнтів для 17 перерізів градуювальної функції. Коефіцієнти обчислені за результатами 100 випробувань у кожній точці. Критичні значення коефіцієнтів нашого прикладу рівні |а| = 0,72 та |е| = 0,23.

З рис. 3 можна дійти невтішного висновку у тому, що розсіювання значень у точках графіка, загалом, не

суперечить гіпотезі нормальності, оскільки послідовності коефіцієнтів майже не мають кращої спрямованості. Коефіцієнти випадково локалізуються поблизу нульової лінії (показана пунктиром). Для нормального розподілу, як відомо, математичним очікуванням коефіцієнта асиметрії та коефіцієнта ексцесу є нуль. Судячи з того, що при всіх перерізах коефіцієнти асиметрії суттєво нижчі від критичного значення, можна впевнено говорити про симетричність розподілу похибок градуювання. Можливо, що розподіли похибок мають невелику гострість у порівнянні з нормальною кривою розподілу. Цей висновок випливає із того, що спостерігається на рис. 3 невеликого поло-

Мал. 3. Коефіцієнти ексцесу (1) та коефіцієнти асиметрії (2) у точках градуювального графіка

проміжного зміщення центральної лінії розсіювання коефіцієнтів ексцесу Таким чином, з дослідження моделі узагальненої градуювальної функції фотометричного аналізу методом Монте-Карло (2) можна зробити висновок про близький до нормального розподілу похибок градуювання. Тому обчислення довірчих інтервалів для результатів фотометричного аналізу з використанням коефіцієнтів Стьюдента вважатимуться цілком виправданими.

За виконання стохастичного моделювання оцінили швидкість збіжності вибіркових кривих похибок (див. рис. 2) до математичного очікування кривої. За математичне очікування кривої похибок приймемо розраховану із ЗНО криву. Близькість результатів статистичних випробувань з різним числом реалізацій градуювання п до теоретичної кривої оцінимо коефіцієнтом невизначеності 1 - Я2. Цей коефіцієнт характеризує частку варіації у вибірці, яку вдалося описати теоретично. Нами встановлено, що залежність коефіцієнта невизначеності від числа реалізацій градуювальної функції можна описати емпіричним рівнянням I - К2 = -2,3п-1 + 1,6п~/а -0,1. З рівняння отримуємо, що за п = 213 слід очікувати практично повного збігу теоретичної та емпіричної кривих похибок. Таким чином, заможну оцінку похибок фотометричного аналізу можна отримати лише на досить великому статистичному матеріалі.

Розглянемо можливості методу статистичних випробувань для прогнозування результатів регресіонного аналізу градуювального графіка та використання графіка при визначенні концентрацій фотометрованих розчинів. Для цього як сценарій виберемо вимірювальну ситуацію рутинного аналізу. Побудову графіка здійснюють при одноразових вимірах оптичних густин серії стандартних розчинів. Концентрацію аналізованого розчину знаходять із графіка за 3-4 результатами паралельних вимірів. При виборі регресійної моделі слід взяти до уваги те, що розкид оптичних густин у різних точках градуювального графіка неоднаковий, див. рівняння (8). У разі гетероекедастичного розкиду рекомендують використовувати схему зваженого методу найменших квадратів (ВМНК). Однак у літературі ми не зустріли чітких вказівок на причини, за якими класична схема МНК, однією з умов застосування якої є вимога гомоскеда-стичності розкиду, менш краща. Ці причини можна встановити при обробці того самого статистичного матеріалу, отриманого методом Монте-Карло за сценарієм рутинного аналізу, двома варіантами МНК - класичним і зваженим.

В результаті регресійного аналізу лише однієї реалізації градуювальної функції отримані такі МНК-оцінки: к = 4,979 при Бк = 0,023. Оцінюючи тих самих показників ВМНК отримуємо до = 5,000 при Бк = 0,016. Регресії відновлювали за 17 стандартними розчинами. Концентрації в градуювальній серії зростали в арифметичній прогресії, а оптичні щільності змінювалися так само рівномірно на інтервалі від 0,1 до 1,7 од. У разі ВМНК статистичні ваги точок градуювального графіка знаходили з використанням розрахованих за рівнянням (5) дисперсій.

Дисперсії оцінок до тих та інших методів статистично невиразні за критерієм Фішера при 1% рівні значимості. Однак при тому ж рівні значимості МНК-оцінка відрізняється від ВМНК-оцінки по 1;-критерію. МНК-оцінка коефіцієнта градуювального графіка зміщена щодо дійсного значення М(к) = 5,000, судячи з 1>тесту при 5% рівні значимості. Тоді як зважений МНК дає оцінку, яка містить систематичної похибки.

Тепер з'ясуємо, яким чином нехтування гетероскедастичністю може позначитися на якості хімічного аналізу. У таблиці наведено результати імітаційного експерименту з аналізу 17 контрольних проб забарвленої речовини з різною концентрацією. І кожна аналітична серія включала чотири розчину, тобто. для кожної проби виконано по чотири паралельні визначення. Для обробки результатів використовували дві різні градуювальні залежності: одна була відновлена ​​простим МНК, а друга - виваженим. Вважаємо, що контрольні розчини готувалися для аналізу так само, як градуювальні.

З таблиці бачимо, що дійсні значення концентрацій контрольних розчинів як у разі ВМНК, і у разі МНК не виходять межі довірчих інтервалів, т. е. результати аналізу містять значних систематичних похибок. Граничні похибки того й іншого методу статистично не відрізняються, інакше кажучи, та й інша оцінка

Порівняння результатів визначення концентрацій має однакову ефективність. Від-

контрольних розчинів двома методами сюди можна зробити висновок про те, що при

Рутинні аналізи використання простої схеми невиваженого МНК цілком виправдано. Застосування ВМНК краще, якщо дослідницьким завданням є лише визначення молярної екстинкції. З іншого боку, слід пам'ятати, що зроблені нами висновки мають статистичний характер. Цілком ймовірно, що при збільшенні числа паралельних визначень гіпотеза про незміщеність МНК-оцінок концентрацій не підтвердить, навіть якщо систематичні похибки з практичної точки зору несуттєві.

Виявлена ​​нами досить висока якість аналізу на основі простої схеми класичного МНК здається особливо несподіваним, якщо взяти до уваги те, що на інтервалі оптичних густин 0,1 год-1,7 спостерігається дуже сильна гетероскедастичність. Про ступінь неоднорідності даних можна будувати висновки за ваговою функцією, яка добре апроксимується поліномом w = 0,057А2 - 0,193А + 0,173. На цьому рівняння випливає, що у крайніх точках градуювання статистичні ваги різняться більш ніж 20 раз. Однак звернемо увагу на те, що градуювальні функції відновлювали по 17 точках графіка, тоді як при аналізі виконували лише 4 паралельні визначення. Тому виявлене нами значну відмінність МНК і ВМНК градуювальних функцій і незначне відмінність результатів аналізу з використанням цих функцій можна пояснити суттєво різним числом ступенів свободи, які мали при побудові статистичних висновків.

Висновок

1. Запропоновано новий підхід до стохастичного моделювання у фотометричному аналізі на основі методу Монте-Карло та закону накопичення помилок з використанням табличного процесора Excel.

2. По 100 реалізаціях градуювальної залежності показано, що прогнозування похибок аналітичним та статистичним методом взаємоузгоджено.

3. Вивчено коефіцієнти асиметрії та ексцесу вздовж градуювального графіка. Знайдено, що варіації похибок градуювання підпорядковуються закону розподілу, наближеного до нормального.

4. Розглянуто вплив гетероскедастичності розкиду оптичних густин при градуюванні на якість аналізу. Виявлено, що за рутинних аналізах використання простої схеми невзваженого МНК не призводить до помітного зниження точності результатів аналізу.

Література

1. Бернштейн, І.Я. Спектрофотометричний аналіз в органічній хімії/І.Я. Бернштейн, Ю.Л. Камінський. – Л.: Хімія, 1986. – 200 с.

2. Булатов, М.І. Практичний посібник з фотометричних методів аналізу/М.І. Булатов, І.П. Калинкін. – Л.: Хімія, 1986. – 432 с.

3. Гмурман, В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика / В.Є. Гмурман. – М.: Вища школа, 1977. – 470 с.

№ с", с", знайдено (Р = 95%)

п/і задано МНК ВМНК

1 0,020 0,021±0,002 0,021±0,002

2 0,040 0,041±0,001 0,041±0,001

3 0,060 0,061±0,003 0,061±0,003

4 0,080 0,080±0,004 0,080±0,004

5 0,100 0,098±0,004 0,098±0,004

6 0,120 0,122±0,006 0,121±0,006

7 0,140 0,140±0,006 0,139±0,006

8 0,160 0,163±0,003 0,162±0,003

9 0,180 0,181±0,006 0,180±0,006

10 0,200 0,201±0,002 0,200±0,002

11 0,220 0,219±0,008 0,218±0,008

12 0,240 0,242±0,002 0,241±0,002

13 0,260 0,262±0,008 0,261±0,008

14 0,280 0,281±0,010 0,280±0,010

15 0,300 0,307±0,015 0,306±0,015

16 0,320 0,325±0,013 0,323±0,013

17 0,340 0,340±0,026 0,339±0,026

4. Правдін, П В. Лабораторні прилади та обладнання зі скла / П.В. Правдін. - М: Хімія, 1988.-336 с.

5. Макарова, Н.В. Статистика в Excel/Н.В. Макарова, В.Я. Трохимець. – М.: Фінанси та статистика, 2002. – 368 с.

PREDICTION OF ERRORS IN PHOTOMETRY WITH THE USE OF ACCUMULATION OF ERRORS LAW AND MONTE CARLO METHOD

Під час computing experiment, в комбінації з акумуляцією errors право і Monte Carlo метод, influence solution-making errors, blank experiment errors і optical transmission measurement errors upon metrological performance of photometrical analysis has been studied. Це має бути доведено, що результати оцінки аналітичних і статистичних методів є interconsistent. Unique feature of Monte Carlo методу буде been found to enable prediction of accumulation of errors law in photometry. Для version routine analysis influence heteroscedasticity of dispersion довжиною calibration curve upon analysis quality has been studied.

Keywords: photometric analysis, акумуляція Errors Law, calibration curve, metrological performance, Monte Carlo method, stochastic modeling.

Golovanov Vladimir Ivanovich - Dr. Sc. (Chemistry), Profesor, Head of the Analytical Chemistry Subdepartment, South Ural State University.

Голованов Володимир Іванович – доктор хімічних наук, професор, завідувач кафедри Аналітичної хімії, Південно-Уральський державний університет.

E-mail: [email protected]

Danilina Elena Ivanovna - PhD (Chemistry), Associate Professor, Analytical Chemistry Subdepartment, South Ural State University.

Данилина Олена Іванівна – кандидат хімічних наук, доцент, кафедра «Аналітична хімія», Південно-Уральський державний університет.

при чисельному розв'язанні рівнянь алгебри - сумарний вплив округлень, зроблених на окремих кроках обчислювального процесу, на точність отриманого рішення лінійної алгебраїч. системи. Найбільш поширеним способом апріорної оцінки сумарного впливу помилок округлення у чисельних методах лінійної алгебри є схема т.з. зворотного аналізу У застосуванні до вирішення системи лінійних алгебраїч. рівнянь

Схема зворотного аналізу полягає в наступному. Обчислене прямим методом Мрішення хуї не задовольняє (1), але може бути представлене як точне рішення обуреної системи

Якість прямого методу оцінюється за найкращою апріорною оцінкою, яку можна дати для норм матриці і вектора. Такі "найкращі" і зв. відповідно матрицею та вектором еквівалентного обурення для методу М.

Якщо оцінки для і є, то теоретично помилка наближеного рішення може бути оцінена нерівністю

Тут - число обумовленості матриці А, а матрична норма (3) передбачається підпорядкованої векторної норми

Насправді оцінка для рідко буває відома, і основний зміст (2) полягає у можливості порівняння якості різних методів. Нижче наводиться вид деяких типових оцінок для матриці Для методів з ортогональними перетвореннями і арифметики з плаваючою комою (у системі (1) Аі bвважаються дійсними)

У цій оцінці – відносна точність арифметич. операцій на ЕОМ, - Евклідова матрична норма, f(n) - функція виду, де п-порядок системи. Точні значення константи Си показника k визначаються такими деталями обчислювального процесу, як спосіб округлення, використання операції накопичення скалярних творів і т. д. Найчастіше k = 1 або 3/2.

У разі методів типу Гауса в праву частину оцінки (4) входить ще множник, що відображає можливість зростання елементів матриці Ана проміжних кроках методу порівняно з початковим рівнем (таке зростання відсутнє в ортогональних методах). Щоб зменшити значення застосовують різні способи вибору провідного елемента, що перешкоджають зростанню елементів матриці.

Для квадратного кореня методу,к-рий застосовується зазвичай у разі позитивно визначеної матриці А, отримана найбільш сильна оцінка

Існують прямі методи (Жордана, облямівки, сполучених градієнтів), для яких брало безпосереднє застосування схеми зворотного аналізу не призводить до ефективних оцінок. У цих випадках при дослідженні Н. п. застосовуються інші міркування (див. - ).

Літ.: Givens W., "TJ. S. Atomic Energy Commiss. Repts. Ser. OR NL", 1954 № 1574; Wilkinson J. H., Rounding errors в algebraic processes, L., 1963; Вілкінсон Д ж.

X. Д. Ікрамов.

Н. п. округлення або похибки методу виникає при вирішенні завдань, де рішення є результатом великої кількості арифметич, що послідовно виконуються. операцій.

Значна частина таких завдань пов'язана з рішенням алгебраїч. задач, лінійних чи нелінійних (див. вище). У свою чергу серед алгебраїч. задач найпоширеніші завдання, що виникають при апроксимації диференціальних рівнянь. Цим завданням властиві деякі специфічні. особливості.

Н. п. методу розв'язання задачі відбувається за тими ж або за більш простими законами, що і Н. п. обчислювальної похибки; Н., п. методу досліджується в оцінці методу розв'язання задачі.

При дослідженні накопичення обчислювальної похибки розрізняють два підходи. У першому випадку вважають, що обчислювальні похибки на кожному кроці вносяться несприятливим чином і отримують мажорантну оцінку похибки. У другому випадку вважають, що ці похибки є випадковими з певним законом розподілу.

Характер Н. п. залежить від розв'язуваного завдання, методу розв'язання та ряду інших факторів, що на перший погляд можуть здатися несуттєвими; сюди відносяться форма запису чисел в ЕОМ (з фіксованою комою або з плаваючою комою), порядок виконання арифметич. операцій і т. д. Напр., у задачі обчислення суми N чисел

суттєвий порядок виконання операцій. Нехай обчислення виробляються на машині з плаваючою комою з двійковими розрядами і всі числа лежать у межах . При безпосередньому обчисленні за допомогою рекурентної формули мажорантна оцінка похибки має порядок 2-t N.Можна зробити інакше (див. ). При обчисленні попарних сум (якщо N=2l+1непарно) вважають . Далі обчислюються їх попарні суми і т.д.

одержують мажорантна оцінка похибки порядку

У типових задачах величини а тобчислюються за формулами, зокрема рекурентними, або надходять послідовно в оперативну пам'ять ЕОМ; у цих випадках застосування описаного прийому призводить до збільшення завантаження пам'яті ЕОМ. Однак можна організувати послідовність обчислень так, що завантаження оперативної пам'яті не перевершуватиме -log 2 N осередків.

За чисельного розв'язання диференціальних рівнянь можливі такі випадки. При прагненні кроку сітки hк нулю похибка зростає як де . Такі методи вирішення завдань відносять до класу нестійких. Їхнє застосування носить епізодич. характер.

Для стійких методів характерним є зростання похибки як Оцінка похибки таких методів зазвичай проводиться наступним чином. Будується рівняння щодо обурення, що вноситься або округленням, або похибками методу і потім досліджується розв'язання цього рівняння (див. , ).

У складніших випадках застосовується метод еквівалентних збурень (див. , ), розвинений щодо завдання дослідження накопичення обчислювальної похибки під час вирішення диференціальних рівнянь (див. , , ). Обчислення за деякою розрахунковою схемою з округленнями розглядаються як обчислення без округлень, але рівняння з обуреними коефіцієнтами. Порівнюючи рішення вихідного сіткового рівняння з рішенням рівняння з обуреними коефіцієнтами одержують оцінку похибки.

Приділяється істотна увага вибору методу наскільки можна з меншими значеннями qи A(h) . При фіксованому методі розв'язання задачі розрахункові формули зазвичай вдається перетворити на вигляд, де (див. , ). Це особливо істотно у разі звичайних диференціальних рівнянь, де кількість кроків в окремих випадках виявляється дуже великою.

Величина (h) може сильно зростати зі зростанням проміжку інтегрування. Тому намагаються застосовувати методи наскільки можна з меншим значенням A(h) . У разі завдання Коші помилка округлення на кожному конкретному кроці по відношенню до наступних кроків може розглядатися як помилка у початковій умові. Тому нижня грань (h) залежить від характеристики розбіжності близьких рішень диференціального рівняння, що визначається рівнянням у варіаціях.

У разі чисельного вирішення звичайного диференціального рівняння рівняння у варіаціях має вигляд

і тому при вирішенні задачі на відрізку ( х 0 , X)не можна розраховувати на константу A(h)в мажорантній оцінці обчислювальної похибки істотно кращу, ніж

Тому при вирішенні цього завдання найбільш уживані однощагові методи типу Рунге - Кутта або методи типу Адамса (див. , ), де Н. п. в основному визначається рішенням рівняння у варіаціях.

Для низки методів головний член похибки методу накопичується за подібним законом, тоді як обчислювальна похибка накопичується значно швидше (див. ). Область практич. застосування таких методів виявляється суттєво вже.

Накопичення обчислювальної похибки істотно залежить від методу, що застосовується для вирішення сіткового завдання. Напр., при вирішенні сіткових крайових завдань, що відповідають звичайним диференціальним рівнянням, методами стрільби та прогонки Н. п. має характер A(h) h -q,де qодно й те саме. Значення A(h) у цих методів можуть відрізнятися настільки, що у певній ситуації один із методів стає незастосовним. При вирішенні методом пристрілювання сіткового крайового завдання для рівняння Лапласа Н. п. має характер з 1/h, з>1, а разі методу прогонки Ah-q.При імовірнісному підході до дослідження Н. п. в одних випадках апріорно припускають якийсь закон розподілу похибки (див. ), В інших випадках вводять міру на просторі завдань і, виходячи з цього заходу, отримують закон розподілу похибок округлення (див. , ).

При помірній точності вирішення завдання мажорантні та ймовірнісні підходи до оцінки накопичення обчислювальної похибки зазвичай дають якісно однакові результати: або в обох випадках Н. п. відбувається в допустимих межах, або в обох випадках Н. п. перевершує такі межі.

Літ.: Воєводін Ст Ст, Обчислювальні основи лінійної алгебри, М., 1977; Шура-Бура М. Р., "Прикл. Матем. І механ.", 1952, т. 16, № 5, с. 575-88; Бахвалов Н. С, Чисельні методи, 2 видавництва, М., 1975; Вілкінсон Дж. X., Алгебраїчна проблема власних значень, пров. з англ., М. 1970; Бахвалов Н. С, в кн.: Обчислювальні методи та програмування, ст. 1, М., 1962, с, 69-79; Годунов С. До., Рябенький Ст С, Різнисні схеми, 2 видавництва, М., 1977; Бахвалов Н. С, "Докл. АН СРСР", 1955, т. 104 № 5, с. 683-86; його ж, "Ж. обчислить, матем. та матем. фізики", 1964; т. 4, №3, с. 399-404; Лапшин Є. А., там же, 1971, т. 11 № 6, с.1425-36.

• - відхилення результатів вимірів дійсних значень вимірюваної величини. Систематич...
• - Відхилення метрологіч. властивостей або параметрів засобів вимірювань від поминальних, що впливає на похибки результатів вимірювань.

  Природознавство. Енциклопедичний словник

• - відхилення результатів вимірів від справжніх значень вимірюваної величини. Відіграють істотну роль при провадженні низки судових експертиз.

  Криміналістична енциклопедія

• - : Дивись також: - похибки засобів вимірювань - похибки вимірювань...
• - Дивись...

  Енциклопедичний словник з металургії

• - відхилення метрологічних параметрів засобів вимірювання від номінальних, що впливають на похибки результатів вимірювань.

  Енциклопедичний словник з металургії

• - "...Періодичні похибки - похибки, значення яких є періодичною функцією часу або переміщення покажчика вимірювального приладу.

  Офіційна термінологія

• - "...Постійні похибки - похибки, які тривалий час зберігають своє значення, наприклад протягом часу виконання всього ряду вимірювань. Вони зустрічаються найчастіше.

  Офіційна термінологія

• - "...Прогресивні похибки - безперервно зростаючі чи спадні похибки...

  Офіційна термінологія

• - див. Помилки спостережень...

  Енциклопедичний словник Брокгауза та Євфрона

• - помилки вимірів, відхилення результатів вимірів від справжніх значень вимірюваних величин. Розрізняють систематичні, випадкові та грубі П. і. ...
• - відхилення метрологічних властивостей або параметрів засобів вимірів від номінальних, що впливають на похибки результатів вимірів, одержуваних за допомогою цих засобів.

  Велика Радянська Енциклопедія

• - Різниця між результатами вимірювань та істинним значенням вимірюваної величини. Відносною похибкою виміру називається відношення абсолютної похибки виміру до справжнього значення.

  Сучасна енциклопедія

• - відхилення результатів вимірювань від істинних значень величини, що вимірюється.

  Великий енциклопедичний словник

• - дод., кількість синонімів: 3 виправив усунув неточності усунув помилки...

  Словник синонімів

• - дод., кількість синонімів: 4, що виправляв усунув вади, усував неточності, що усував помилки...

  Словник синонімів

"НАКОПЛЕННЯ ПОХІДНОСТІ" в книгах

Технічні похибки

З книги Зірки і трохи нервово автора

Технічні похибки

З книги Марні досконалості та інші віньєтки автора Жовківський Олександр Костянтинович

Технічні похибки Розповіді про успішне протистояння силі не такі неправдоподібні, як ми приховано боїмося. Наїзд зазвичай передбачає пасивність жертви, тому продумується лише крок вперед і контрудара не витримує. Папа розповідав про одне таке

Грішки та похибки

Як NASA показало Америці Місяць автора Рене Ральф

Незважаючи на всю фіктивність своєї космічної навігації, NASA хизувалося приголомшливою точністю у всьому, що б не робило. Дев'ять разів поспіль капсули Аполлонів ідеально лягали на місячну орбіту, не потребуючи серйозного коригування курсу. Місячний модуль,

Початкове накопичення капіталу. Насильницьке обезземелення селян. Нагромадження багатств.

автора

Початкове накопичення капіталу. Насильницьке обезземелення селян. Нагромадження багатств. Капіталістичне виробництво передбачає дві основні умови: 1) наявність маси незаможних людей, особисто вільних і водночас позбавлених засобів виробництва та

Соціалістичне накопичення. Накопичення та споживання в соціалістичному суспільстві.

З книги Політична економія автора Островітянов Костянтин Васильович

Соціалістичне накопичення. Накопичення та споживання в соціалістичному суспільстві. Джерелом розширеного соціалістичного відтворення є соціалістичне накопичення. Соціалістичне накопичення є використанням частини чистого доходу суспільства,

Похибки вимірів

Вікіпедія

Похибки засобів вимірювань

З книги Велика Радянська Енциклопедія (ПЗ) автора Вікіпедія

Похибки УЗД

З книги Відновлення щитовидної залози Керівництво для пацієнтів автора Ушаков Андрій Валерійович

Похибки УЗД Коли з Санкт-Петербурга до мене приїхала на консультацію пацієнтка, я побачив одразу три протоколи ультразвукового обстеження. Усі вони були зроблені різними фахівцями. По-різному описано. При цьому дати досліджень відрізнялися один від одного майже

Додаток 13 Мовні похибки

З книги Мистецтво добиватися свого автора Степанов Сергій Сергійович

Додаток 13 Мовні похибки Навіть нешкідливі на перший погляд фрази часто можуть стати серйозним бар'єром у просуванні по службі. Відомий американський фахівець з маркетингу Джон Р. Грехем склав список висловів, вживання яких, за його спостереженнями,

Мовні похибки

Скільки ви коштуєте [Технологія успішної кар'єри] автора Степанов Сергій Сергійович

Мовні похибки Навіть нешкідливі на перший погляд фрази часто-густо можуть стати серйозним бар'єром у просуванні по службі. Відомий американський фахівець із маркетингу Джон Р. Грехем склав список висловів, вживання яких, за його спостереженнями, не дозволило

Згубні похибки

З книги Чорний лебідь [Під знаком непередбачуваності] автора Талеб Нассім Ніколас

Згубні похибки У похибок є така згубна властивість: чим вони значніші, тим більше їх маскує вплив. Чим

Похибки при орієнтуванні

З книги Азбука туризму автора Бардін Кирило Васильович

Отже, звичайне завдання на орієнтування, яке доводиться вирішувати туристу, полягає в тому, що треба прийти з одного пункту в інший, користуючись лише компасом та картою. Місцевість незнайома і до того ж закрита, тобто позбавлена ​​скільки-небудь

Похибки: філософія

З книги автора

Похибки: філософія На інтуїтивному рівні ми розуміємо, що знання наше у багатьох випадках не точні. Можна обережно припустити, що точним наше знання взагалі може бути лише за дискретної шкали. Можна точно знати, скільки кульок у мішку, але не можна - яка їхня вага,

Похибки: моделі

З книги автора

Похибки: моделі Коли ми щось вимірюємо, наявну на момент початку вимірювань інформацію (як усвідомлена, і неусвідомлена) зручно у вигляді моделей об'єкта чи явища. Модель «нульового рівня» – це модель наявності величини. Ми віримо в те, що вона є.

Похибки: що та як контролювати

З книги автора

Похибки: що та як контролювати Вибір контрольованих параметрів, схеми вимірювань, методу та обсягу контролю робиться з урахуванням вихідних параметрів виробу, його конструкції та технології, вимог та потреб того, хто застосовує контрольовані вироби. Знову ж,

Під похибкою виміру розумітимемо сукупність всіх помилок виміру.

Помилки вимірів можна класифікувати на такі види:

Абсолютні та відносні,

Позитивні та негативні,

Постійні та пропорційні,

Випадкові та систематичні,

Абсолютна помилка А y) визначається як різницю наступних величин:

А y = y i - yіст.  y i - y,

де: y i – одиничний результат виміру; yіст. – справжній результат виміру; y– середнє арифметичне значення результату виміру (далі середнє).

Постійною називається абсолютна помилка, яка не залежить від значення вимірюваної величини ( y y).

Помилка пропорційна , якщо названа залежність існує. Характер помилки виміру (постійна чи пропорційна) визначається після проведення спеціальних досліджень.

Відносна помилка одиничного результату виміру ( У y) розраховується як відношення наступних величин:

З цієї формули випливає, що величина відносної помилки залежить від величини абсолютної помилки, а й від значення вимірюваної величини. При незмінності вимірюваної величини ( y) відносну помилку виміру можна зменшити тільки за рахунок зниження величини абсолютної помилки ( А y). При сталості абсолютної помилки вимірювання зменшення відносної помилки вимірювання можна використовувати прийом збільшення значення вимірюваної величини.

Знак помилки (позитивний або негативний) визначається різницею між одиничним та отриманим (середнім арифметичним) результатом виміру:

y i - y> 0 (помилка позитивна );

y i - y< 0 (помилка негативна ).

Груба помилка виміру (промах) виникає при порушенні методики виміру. Результат вимірювання, що містить грубу помилку, зазвичай значно відрізняється за величиною інших результатів. Наявність грубих помилок виміру у вибірці встановлюється лише методами математичної статистики (при числі повторень виміру n>2). З методами виявлення грубих помилок познайомтеся самостійно.

До випадковим помилкам відносять помилки, які не мають постійної величини та знаку. Такі помилки виникають під впливом наступних чинників: не відомих досліднику; відомих, але нерегульованих; постійно змінюються.

Випадкові помилки можна оцінити лише після проведення вимірів.

Кількісною оцінкою модуля величини випадкової помилки виміру можуть бути такі параметри: вибіркова дисперсія одиничних значень та середнього значення; вибіркові абсолютні стандартні відхилення одиничних значень та середнього значення; вибіркові відносні стандартні відхилення одиничних значень та середнього значення; генеральна дисперсія одиничних значень), відповідно, та ін.

Випадкові помилки виміру неможливо виключити, їх можна лише зменшити. Один із основних способів зменшення величини випадкової помилки виміру – це збільшення числа (обсягу вибірки) одиничних вимірів (збільшення величини n). Пояснюється це тим, що величина випадкових помилок обернено пропорційна величині n, наприклад:

.

Систематичні помилки - Це помилки з незмінними величиною і знаком або змінюються за відомим законом. Ці помилки викликаються незмінними чинниками. Систематичні помилки можна кількісно оцінювати, зменшувати і навіть виключати.

Систематичні помилки класифікують на помилки I, II і III типів.

До систематичним помилкамIтипувідносять помилки відомого походження, які можуть бути до проведення виміру оцінені шляхом розрахунку. Ці помилки можна виключити, вводячи їх у результат виміру як поправок. Прикладом помилки такого типу є помилка при визначенні титрометричному об'ємної концентрації розчину, якщо титрант був приготовлений при одній температурі, а вимірювання концентрації проводилося при іншій. Знаючи залежність щільності титранту від температури, можна до проведення вимірювання розрахувати зміну об'ємної концентрації титранту, пов'язане зі зміною його температури, і цю різницю врахувати у вигляді виправлення в результаті вимірювання.

СистематичніпомилкиIIтипу– це помилки відомого походження, які можна оцінити лише під час експерименту чи результаті проведення спеціальних досліджень. До цього типу помилок відносять інструментальні (приладові), реактивні, еталонні та інші помилки. Ознайомтеся з особливостями таких помилок самостійно.

Будь-який прилад при його застосуванні у процедурі вимірювання вносить у результат вимірювання свої помилки приладу. При цьому частина цих помилок є випадковою, а інша частина – систематичною. Випадкові помилки приладів окремо не оцінюють, їх оцінюють у загальній сукупності з іншими випадковими помилками виміру.

Кожен екземпляр будь-якого приладу має власну персональну систематичну помилку. Щоб оцінити цю помилку, необхідно проводити спеціальні дослідження.

Найбільш надійний спосіб оцінки приладової систематичної помилки II типу - це звірка роботи приладів за зразками. Для мірного посуду (піпетка, бюретка, циліндри та ін.) проводять спеціальну процедуру – калібрування.

Насправді найчастіше потрібно оцінити, а зменшити чи виключити систематичну помилку IIтипа. Найпоширенішими методами зменшення систематичних помилок є методи релятивізації та рандомізації.Познайомтеся з цими методами самостійно в .

До помилокIIIтипувідносять помилки невідомого походження. Ці помилки можна виявити тільки після усунення всіх систематичних помилок I і II типів.

До іншим помилкам віднесемо й інші види помилок, не розглянуті вище (допустимі, можливі граничні помилки та інших.).

Поняття можливих граничних помилок застосовується у випадках використання засобів вимірювання і передбачає максимально можливу за величиною інструментальну помилку вимірювання (реальне значення помилки може бути менше величини можливої ​​граничної помилки).

При використанні засобів вимірювання можна розрахувати можливу граничну абсолютну (
) або відносну (
) похибка вимірювання. Так, наприклад, можлива гранична абсолютна похибка виміру знаходиться як сума можливих граничних випадкових (
) та невиключених систематичних (
) помилок:

=
+

При вибірках малого обсягу ( n20) невідомої генеральної сукупності, яка підпорядковується нормальному закону розподілу, випадкові можливі граничні помилки вимірів можна оцінити так:

= =
,

де: – довірчий інтервал для відповідної ймовірності Р;

-Квантиль розподілу Стьюдента для ймовірності Рта вибірки обсягом nабо за числі ступенів свободи f = n – 1.

Абсолютна можлива гранична похибка вимірювання в цьому випадку дорівнюватиме:

=
+
.

Якщо результати вимірів не підпорядковуються нормальному закону розподілу, то оцінка похибок проводиться у разі інших формулам.

Визначення величини
залежить від наявності засобу вимірювання класу точності. Якщо засіб виміру немає класу точності, то за величину
можна прийняти мінімальну ціну поділу шкали(або її половину) засоби вимірювання. Для засобу виміру з відомим класом точності за величину
можна прийняти абсолютну допустимусистематичну помилку засобу вимірювання (
):


.

Величина
розраховується виходячи з формул, наведених у табл. 2.

Для багатьох засобів вимірювання клас точності вказується у вигляді чисел а10 n, де аодно 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 та nодно 1; 0; -1; -2 і т.д., які показують величину можливої ​​граничної допустимої систематичної помилки (Е y , дод.) та спеціальних знаків, що свідчать про її тип (відносна, наведена, постійна, пропорційна).

Якщо відомі складові абсолютної систематичної помилки середнього арифметичного результату вимірювання (наприклад, помилка приладів, помилка методу та ін.), то її можна оцінити за формулою

,

де: m- Число складових систематичну помилку середнього результату вимірювання;

k- Коефіцієнт, що визначається ймовірністю Рі числом m;

- Абсолютна систематична помилка окремої складової.

Окремих складових похибки можна нехтувати при виконанні відповідних умов.

Таблиця 2

Приклади позначення класів точності засобів вимірювання

Позначення класу точності		Формула розрахунку і значення граничної допускається систематичної помилки	Характеристика систематичної помилки
у документації	на засобі виміру
			Наведена допустима систематична помилка у відсотках від номінального значення вимірюваної величини, що визначається типом шкали засобу вимірювання
			Наведена допустима систематична помилка у відсотках від довжини використаної шкали засобу вимірювання (А) при отриманні одиничних значень вимірюваної величини
			Постійна відносна допускається систематична помилка у відсотках від отриманого одиничного значення вимірюваної величини
		c = 0,02; d = 0,01	Пропорційна відносна допускається систематична помилка в частках від отриманого одиничного значення вимірюваної величини, яка зростає при збільшенні кінцевого значення діапазону виміру даним засобом виміру ( y k) або зменшення одиничного значення вимірюваної величини ( y i)

Систематичними помилками можна нехтувати, якщо виконується нерівність

0,8.

У цьому випадку приймають


 
.

Випадкові помилки можна знехтувати за умови

8.

Для цього випадку

.

Щоб загальна похибка виміру визначалася лише систематичними помилками, збільшують кількість повторних вимірів. Мінімально необхідне число повторних вимірів ( n min) можна розрахувати тільки за відомого значення генеральної сукупності одиничних результатів за формулою

.

Оцінка похибок виміру залежить тільки від умов виміру, а й від типу виміру (пряме чи опосередковане).

Розподіл вимірів на прямі та непрямі досить умовно. Надалі під прямими вимірами розумітимемо вимірювання значення яких беруть безпосередньо з дослідних даних, наприклад, зчитують зі шкали приладу (широко відомий приклад прямого вимірювання – вимірювання температури термометром). До непрямим вимірам будемо відносити такі, результат яких отримують на підставі відомої залежності між величиною, що шукається, і величинами, що визначаються в результаті прямих вимірювань. При цьому результатнепрямого виміру одержують розрахунковим шляхомяк значення функції  , аргументами якої є результати прямих вимірів ( x 1 ,x 2 , …,x j,. …, x k).

Необхідно знати, що помилки непрямих вимірів завжди більші, ніж помилки окремих прямих вимірів.

Помилки непрямих вимірів оцінюються за відповідними законами накопичення помилок (при k2).

Закон накопичення випадкових помилокнепрямих вимірів виглядає так:

.

Закон накопичення можливих граничних абсолютних систематичних помилокнепрямих вимірів є такими залежностями:

;
.

Закон накопичення можливих граничних відносних систематичних помилокнепрямих вимірів має такий вигляд:

;

.

У випадках, коли потрібна величина ( y) розраховується як функція результатів кількох незалежних прямих вимірів виду
, закон накопичення граничних відносних систематичних помилок непрямих вимірів набуває більш простого вигляду:

;
.

Помилки та похибки вимірювань визначають їх точність, відтворюваність та правильність.

Точністьтим вище, що менше величина похибки виміру.

Відтворюваністьрезультатів вимірів покращується при зменшенні випадкових помилок вимірів.

Правильністьрезультату вимірів збільшується із зменшенням залишкових систематичних помилок вимірів.

Докладніше з теорією помилок вимірювань та їх особливостями познайомтеся самостійно. Звертаю вашу увагу на те, що сучасні форми подання кінцевих результатів вимірів обов'язково вимагають приведення помилок чи похибок виміру (вторинних даних). При цьому похибки та помилки вимірювань повинні бути представлені числами,які містять не більше двох значущих цифр .

1.2.10. Обробка непрямих вимірів.

При непрямих вимірах потрібне значення фізичної величини Y знаходять на підставі результатів X 1 , X 2 , … X i , … X n, Прямих вимірювань інших фізичних величин, пов'язаних з шуканою відомою функціональною залежністю φ:

Y= φ( X 1 , X 2 , … X i , … X n). (1.43)

Припускаючи, що X 1 , X 2 , … X i , … X n- Виправлені результати прямих вимірювань, а методичними похибками непрямого виміру можна знехтувати, результат непрямого виміру можна знайти безпосередньо за формулою (1.43).

Якщо Δ X 1 , Δ X 2 , … Δ X i , … Δ X n- Похибки результатів прямих вимірювань величин X 1 , X 2 , … X i , … X n, то похибка Δ результату Y непрямого виміру в лінійному наближенні може бути знайдена за формулою

Δ = . (1.44)

доданок

(1.45)

– складову похибки результату непрямого виміру, спричинена похибкою Δ X iрезультату X iпрямого виміру – називають приватною похибкою, а наближену формулу (1.44) – законом накопичення приватних похибок. (1К22)

Для оцінки похибки результату непрямого вимірювання необхідно мати ту чи іншу інформацію про похибки Δ X 1 , Δ X 2 , … Δ X i , … Δ X nрезультатів прямих вимірів.

Зазвичай відомі граничні значення складових похибок прямих вимірів. Наприклад, для похибки Δ X iвідомі: межа основної похибки, межі додаткових похибок, межа невиключених залишків систематичної похибки тощо. Похибка Δ X iдорівнює сумі цих похибок:

,

а граничне значення цієї похибки ΔX i,п - сумі меж:

. (1.46)

Тоді граничне значення Δ п похибки результату непрямого виміру P = 1 можна знайти за формулою

Δ п =
. (1.47)

Граничне значення Δ г похибки результату непрямого виміру для довірчої ймовірності P = 0,95 можна визначити за наближеною формулою (1.41). З урахуванням (1.44) та (1.46) отримаємо:

. (1.48)

Після розрахунку Δ п або Δ г результат непрямого виміру слід записати за стандартною формою (відповідно, (1.40) або (1.42)). (1П3)

ПИТАННЯ:

1. Для вирішення яких завдань використовуються засобів вимірювальної техніки? Які метрологічні характеристикизасобів вимірювальної техніки Вам відомі?

2. За якими ознаками класифікуються метрологічні характеристикизасобів вимірювальної техніки?

3. Яка складова похибки засобу вимірювань називається Основний?

4. Яка складова похибки засобу вимірювань називається додатковою?

5. Дайте визначення абсолютної, відносної та наведеної похибкизасоби вимірів.

6. Дайте визначення абсолютної похибки вимірювального перетворювача по входу та виходу.

7. Як би Ви експериментально визначили похибки вимірювального перетворювача по входу та виходу?

8. Як взаємопов'язані абсолютні похибки вимірювального перетворювача по входу та виходу?

9. Дайте визначення адитивної, мультиплікативної та нелінійної складових похибки засоби вимірювальної техніки.

10. Чому нелінійну складову похибки засобу вимірювальної технікиназивають іноді похибкою лінійності? Для яких функцій перетворення вимірювальних перетворювачівце має сенс?

11. Яку інформацію про похибку засобу вимірювання дає його клас точності?

12. Сформулюйте закон нагромадження приватних похибок.

13. Сформулюйте завдання підсумовування похибок.

15. Що таке виправлене значення результату виміру?

16. Яка мета обробки результатів вимірів?

17. Як розрахувати граничне значенняΔ п похибки результату прямого вимірудля довірчої ймовірності P= 1 та її граничне значенняΔ г для P = 0,95?

18. Який вимір називають непрямим? Як знайти результат непрямого виміру?

19. Як розрахувати граничне значенняΔ п похибки результату непрямого вимірудля довірчої ймовірності P= 1 та її граничне значенняΔ г для P = 0,95?

20. Наведіть приклади методичних похибок прямих і непрямих вимірів.

Контрольні роботи за підрозділом 1.2 наведені у (1КР1).

ЛІТЕРАТУРА до розділу 1.

2. МЕТОДИ ВИМІРЮВАНЬ ЕЛЕКТРИЧНИХ ВЕЛИЧИН

2.1. Вимірювання напруг та струмів.

2.1.1. Загальні відомості.

При виборі засобу вимірювань електричної напруги та струмів необхідно, перш за все, враховувати:

Рід вимірюваної фізичної величини (напруга чи струм);

Наявність і характер залежності вимірюваної величини від часу на інтервалі спостереження (залежить чи ні, залежність є періодичною або неперіодичною функцією і т.д.);

Діапазон можливих значень вимірюваної величини;

Вимірюваний параметр (середнє значення, чинне значення, максимальне значення на інтервалі спостереження, безліч миттєвих значень на інтервалі спостереження тощо);

Частотний діапазон;

Необхідну точність вимірів;

Максимальний інтервал спостереження.

Крім того, доводиться враховувати діапазони значень впливових величин (температури навколишнього повітря, напруги живлення засобу вимірювань, вихідного опору джерела сигналу, електромагнітних перешкод, вібрацій, вологості тощо), що залежать від умов проведення вимірювального експерименту.

Діапазони можливих значень напруги та струмів дуже широкі. Наприклад, струми можуть бути близько 10 -16 А при вимірах у космосі та порядку 10 5 А - у ланцюгах потужних енергетичних установках. У даному розділі розглядаються, в основному, вимірювання напруг і струмів в діапазонах, що найчастіше зустрічаються на практиці: від 10 -6 до 10 3 В і від 10 -6 до 10 4 А.

Для вимірювання напруг використовують аналогові (електромеханічні та електронні) та цифрові вольтметри(2К1), компенсатори (потенціометри) постійного та змінного струму, аналогові та цифрові осцилографи та вимірювальні системи.

Для вимірювань струмів використовують електромеханічні амперметри(2К2), а також мультиметриі вимірювальні системи, в яких вимірюваний струм перетворюється попередньо пропорційне йому напруга. Крім того, для експериментального визначення струмів використовують опосередкований метод, вимірюючи напругу, викликану проходженням струму через резистор з відомим опором.

2.1.2. Вимірювання постійних напруг електромеханічними приладами.

Для створення вольтметрів використовують наступні вимірювальні механізми(2К3): магнітоелектричний(2К4), електромагнітний(2К5), електродинамічний(2К6), феродинамічний(2К7)і електростатичний(2К8).

У магнітоелектричному вимірювальному механізмі момент, що обертає, пропорційний струму в рухомій котушці. Для побудови вольтметра послідовно з обмоткою котушки включають додатковий опір. Вимірювана напруга, що подається на це послідовне з'єднання, пропорційно струму в обмотці; тому шкалу приладу можна градуювати в одиницях напруги. Напрямок крутного моменту залежить від напрямку струму, тому необхідно звертати увагу на полярність напруги, що подається на вольтметр.

Вхідний опір Rвх магнітоелектричного вольтметра залежить від кінцевого значення Uдо діапазону вимірювань та струму повного відхилення Iпо - струму в обмотці котушки, при якому стрілка приладу відхилиться на всю шкалу (встановиться на позначці Uк). Очевидно, що

Rвх = Uдо / Iпо. (2.1)

У багатограничних приладах часто нормують не значення Rвх, а струм Iпо. Знаючи напругу Uдля діапазону вимірювань, що використовується в даному експерименті, значення Rвх можна розрахувати за такою формулою (2.1). Наприклад, для вольтметра з Uдо = 100 В та Iпо = 1 мА Rвх = 105 Ом.

Для побудови електромагнітних, електродинамічних та феродинамічних вольтметрів використовують аналогічну схему, тільки додатковий опір включають послідовно з обмоткою нерухомої котушки електромагнітного вимірювального механізму або з попередньо послідовно з'єднаними обмотками рухомий і нерухомої котушок електродинамічного або феродинамічного вимірювальних механізмів. Струми повного відхилення для цих вимірювальних механізмів зазвичай істотно більші, ніж для магнітоелектричного, тому вхідні опори вольтметрів менші.

У електростатичних вольтметрах використовують електростатичний вимірювальний механізм. Вимірювана напруга подають між ізольованими один від одного нерухомими та рухомими пластинами. Вхідний опір визначається опором ізоляції (порядку 109 Ом).

Найбільш поширені електромеханічні вольтметри із класами точності 0,2. 0,5, 1,0, 1,5 дозволяють вимірювати постійну напругу в діапазоні від 0,1 до 10 4 В. Для вимірювання великої напруги (зазвичай більше 10 3 В) використовують дільники напруги(2К9). Для вимірювання напруги менше 0,1 В можна застосовувати магнітоелектричні гальванометри(2К10)та прилади на їх основі (наприклад, фотогальванометричні прилади), проте доцільніше використовувати цифрові вольтметри.

2.1.3. Вимірювання постійних струмів електромеханічними приладами.

Для створення амперметрів використовують такі вимірювальні механізми(2К3): магнітоелектричний(2К4), електромагнітний(2К5), електродинамічний(2К6)і феродинамічний(2К7).

У найпростіших однограничних амперметрах ланцюг вимірюваного струму складається з обмотки рухомої котушки (для магнітоелектричного вимірювального механізму), обмотки нерухомої котушки (для електромагнітного вимірювального механізму) або послідовно включених обмоток рухомий і нерухомої котушок (для електродинамічного) і ферм. Таким чином, на відміну від ланцюгів вольтметрів, у них відсутні додаткові опори.

Багатограничні амперметри будують з урахуванням однограничних, використовуючи різні прийоми зменшення чутливості. Наприклад, пропускаючи струм, що вимірювається, через частину обмотки котушки або включаючи обмотки котушок паралельно. Використовують також шунти – резистори з відносно малими опорами, що включаються паралельно до обмоток.

Найбільш поширені електромеханічні амперметри із класами точності 0,2. 0,5, 1,0, 1,5 дозволяють вимірювати постійні струми в діапазоні від 10 -6 до 10 4 А. Для вимірювання струмів менше 10 -6 А можна застосовувати магнітоелектричні гальванометри(2К10)та прилади на їх основі (наприклад, фотогальванометричні прилади).

2.1.4. Вимірювання змінних струмів та напруг

електромеханічними приладами.

Електромеханічні амперметри та вольтметри застосовуються для вимірювання діючих значень періодичних струмів та напруг. Для їх створення використовуються електромагнітні, електродинамічні та феродинамічні, а також електростатичні (тільки для вольтметрів) вимірювальні механізми. Крім того, до електромеханічних амперметрів та вольтметрів відносять також прилади на основі магнітоелектричного вимірювального механізму з перетворювачами змінного струму або напруги в постійний струм (випрямні та термоелектричні прилади).

Вимірювальні ланцюги електромагнітних, електродинамічних та ферродинамічних амперметрів та вольтметрів змінного струму практично не відрізняються від ланцюгів аналогічних приладів постійного струму. Всі ці прилади можуть бути використані для вимірювання як постійних, так і змінних струмів і напруг.

Миттєве значення крутного моменту в цих приладах визначається квадратом миттєвого значення струму в обмотках котушок, а положення покажчика залежить від середнього значення крутного моменту. Тому прилад вимірює діюче (середньоквадратичне) значення періодичного струму, що вимірюється, або напруги незалежно від форми кривої. Найбільш поширені амперметри та вольтметри з класами точності 0,2. 0,5, 1,0, 1,5 дозволяють вимірювати змінні струми від 10 -4 до 10 2 А та напруги від 0,1 до 600 В у частотному діапазоні від 45 Гц до 5 кГц.

Електростатичні вольтметри також можуть бути використані для вимірювання і постійних, і діючих значень змінних напруг незалежно від форми кривої, так як миттєве значення моменту, що обертає, в цих приладах визначається квадратом миттєвого значення вимірюваної напруги. Найбільш поширені вольтметри з класами точності 0,5, 1,0, 1,5 дозволяють вимірювати змінну напругу від 1 до 10 5 В у частотному діапазоні від 20 Гц до 10 МГц.

Магнітоелектричними амперметрами і вольтметрами, призначеними для роботи в ланцюгах постійного струму, не можна вимірювати значення змінних струмів і напруг, що діють. Справді, миттєве значення моменту, що крутить, у цих приладах пропорційно миттєвому значенню струму в котушці. При синусоїдальному струмі середнє значення крутного моменту і, відповідно, показання приладу дорівнює нулю. Якщо струм у котушці має постійну складову, показання приладу пропорційно середньому значенню струму в котушці.

Для створення амперметрів і вольтметрів змінного струму на базі вимірювального магнітоелектричного механізму використовують перетворювачі змінного струму в постійний на основі напівпровідникових діодів або термоперетворювачів. На рис. 2.1 наведено одну з можливих схем амперметра випрямної системи, а на рис. 2.2 – термоелектричний.

В амперметрі випрямної системи вимірюваний струм i(t) випрямляється та проходить через обмотку котушки магнітоелектричного вимірювального механізму ІМ. Показ приладу пропорційно середньому за модулем за період Tзначення струму:

. (2.2)

Значення Iср пропорційно чинному значенню струму, проте коефіцієнт пропорційності залежить від виду функції i(t). Усі прилади випрямної системи градуюються в діючих значеннях струмів (або напруги) синусоїдальної форми і не призначені для вимірювань у ланцюгах з струмами довільної форми.

В амперметрі термоелектричної системи вимірюваний струм i(t) проходить через нагрівач термоперетворювача ТП. При його нагріванні на вільних кінцях термопари виникає термо-ЕРС, що викликає постійний струм через обмотку котушки магнітоелектричного вимірювального механізму ІМ. Значення цього струму нелінійно залежить від чинного значення Iвимірюваного струму i(t) і мало залежить від його форми та спектру.

Схеми вольтметрів випрямної та термоелектричної систем відрізняються від схем амперметрів наявністю додаткового опору, послідовно включеного в ланцюг вимірюваного струму. i(t) і виконує функцію перетворювача вимірюваної напруги струм.

Найбільш поширені амперметри і вольтметри випрямляючої системи з класами точності 1,0 та 1,5 дозволяють вимірювати змінні струми від 10 -3 до 10 А та напруги від 1 до 600 В у частотному діапазоні від 45 Гц до 10 кГц.

Найбільш поширені амперметри та вольтметри термоелектричної системи з класами точності 1,0 та 1,5 дозволяють вимірювати змінні струми від 10 -4 до 10 2 А та напруги від 0,1 до 600 В у частотному діапазоні від 1 Гц до 50 МГц.

Зазвичай прилади випрямної та термоелектричної систем роблять багатограничними та комбінованими, що дозволяє використовувати їх для вимірювання як змінних, так і постійних струмів та напруг.

2.1.5. Вимірювання постійних напруг

На відміну від електромеханічних аналогових вольтметрів(2К11)електронні вольтметри мають у своєму складі підсилювачі напруги. Інформативний параметр вимірюваної напруги перетворюється в цих приладах на постійний струм в обмотці котушки магнітоелектричного вимірювального механізму (2К4), шкала якого градує у одиницях напруги.

Підсилювач електронного вольтметра повинен мати стабільний коефіцієнт посилення у певному частотному діапазоні від деякої нижньої частоти fн до верхньої fв. Якщо fн = 0, то такий підсилювач зазвичай називають підсилювачем постійного струму, а якщо fн > 0 і коефіцієнт посилення дорівнює нулю при f = 0 – підсилювачем змінного струму.

Спрощена схема електронного вольтметра постійного струму складається з трьох основних вузлів: вхідного дільника напруги (2К9), підсилювача постійного струму, підключеного до його виходу, та магнітоелектричного вольтметра. Високоомний дільник напруги та підсилювач постійного струму забезпечують високий вхідний опір електронного вольтметра (близько 1 МОм). Коефіцієнти поділу та посилення можна дискретно регулювати, що дозволяє робити вольтметри багатодіапазонними. За рахунок високого коефіцієнта посилення у електронних вольтметрів забезпечується більша чутливість порівняно з електромеханічними.

Особливістю електронних вольтметрів постійного струму є дрейф свідчень– повільні зміни показань вольтметра при незмінному вимірюваному напрузі (1К14)викликані змінами параметрів елементів схем підсилювачів постійного струму Найбільш суттєвий дрейф показань при вимірі малих напруг. Тому перед початком вимірювань необхідно за допомогою спеціальних регулювальних елементів здійснити установку нульового показання вольтметра при закороченому вході.

Якщо на вольтметр, що розглядається, подати змінну періодичну напругу, то в силу властивостей магнітоелектричного вимірювального механізму він буде вимірювати постійну складову цієї напруги, якщо тільки змінна складова не надто велика і підсилювач вольтметра працює в лінійному режимі.

Найбільш поширені аналогові електронні вольтметри постійного струму дозволяють вимірювати напруги в діапазоні від 10 -6 до 10 3 В. Значення меж основної наведеної похибки залежать від діапазону вимірювань і зазвичай становлять ± (0,5 – 5,0) %.

2.1.6. Вимірювання змінної напруги

аналоговими електронними вольтметрами.

Аналогові електронні вольтметри використовуються в основному для вимірювання діючих значень періодичних напруг у широкому частотному діапазоні.

Основна відмінність схеми електронного вольтметра змінного струму від розглянутої схеми вольтметра постійного струму пов'язана з наявністю в ньому додаткового вузла – перетворювача інформативного параметра змінної напруги в постійне. Такі перетворювачі часто називають "детекторами".

Розрізняють детектори амплітудного, середнього за модулем і значень напруги, що діє. Постійна напруга на виході першого пропорційно до амплітуди напруги на його вході, постійна напруга на виході другого – середнього за модулем значення напруги на вході, а третього – чинного.

Кожну з трьох зазначених груп детекторів можна розділити на дві групи: детектори з відкритим входом і детектори з закритим входом. У детекторів із відкритим входом вихідна напруга залежить від постійної складової вхідної напруги, а у детекторів із закритим входом – не залежить. Очевидно, якщо в схемі електронного вольтметра є детектор із закритим входом або підсилювач змінного струму, показання такого вольтметра не залежать від постійної складової напруги, що вимірювається. Такий вольтметр вигідно використовувати в тих випадках, коли корисну інформацію несе лише змінна складова напруги, що вимірювається.

Спрощені схеми амплітудних детекторів з відкритим та із закритим входами наведені відповідно на рис. 2.3 та 2.4.

Під час подачі на вхід амплітудного детектора з відкритим входом напруги u(t) = U m sinωtконденсатор заряджається до напруги U m, що замикає діод. При цьому на виході детектора зберігається постійна напруга U m. Якщо ж подати на вхід напругу довільної форми, конденсатор зарядиться до максимального позитивного значення цієї напруги.

При подачі на вхід амплітудного детектора із закритим входом напруги u(t) = U m sinωtконденсатор також заряджається до напруги U mі на виході утворюється напруга u(t) = U m + U m sinωt. Якщо така напруга або пропорційний струм йому подати на обмотку котушки магнітоелектричного вимірювального механізму, то показання приладу залежатимуть від постійної складової цієї напруги, що дорівнює U m (2К4). При подачі на вхід напруги u(t) = U ср + U m sinωt, де U ср- Середнє значення напруги u(t) конденсатор заряджається до напруги U m + U ср, а на виході встановлюється напруга u(t) = U m + U m sinωt, що не залежить від U ср .

Приклади детекторів середнього за модулем і значень напруги, що діють, були розглянуті в підрозділі 2.1.4 (відповідно рис. 2.1 і 2.2).

Детектори амплітудного та середнього за модулем значення простіше детекторів діючого значення, проте вольтметри на їх основі можна використовувати тільки для вимірювання напруги синусоїдних. Справа в тому, що їх показання в залежності від типу детектора пропорційні середнім модулем або амплітудним значенням вимірюваної напруги. Тому аналогові електронні вольтметри, що розглядаються, можна градуювати в діючих значеннях тільки при певній формі вимірюваної напруги. Це зроблено для найпоширенішого – синусоїдальної напруги.

Найбільш поширені аналогові електронні вольтметри дозволяють вимірювати напруги від 10 -6 до 10 3 В частотному діапазоні від 10 до 10 9 Гц. Значення меж основної наведеної похибки залежать від діапазону вимірювань і частоти вимірюваної напруги і зазвичай становлять ± (0,5 – 5,0) %.

Методика вимірів за допомогою електронних вольтметрів відрізняється від методики застосування електромеханічних вольтметрів. Це пов'язано з наявністю в них електронних підсилювачів з джерелами живлення напругою постійного струму, що працюють, як правило, від мережі змінного струму.

Якщо затискач 6 з'єднати з вхідним затискачем 1 вольтметра і вимірювати, наприклад, напруга U 65 то результат вимірювання буде спотворений напругою перешкоди, значення якого залежить від параметрів схем заміщення рис. 2.5 та 2.6.

При прямому вимірі напруги U 54 перешкода спотворюватиме результат вимірювання незалежно від способу підключення вольтметра. Уникнути цього можна при непрямому вимірі, вимірявши напругу U 64 і U 65 і обчисливши U 54 = U 64 - U 65 . Однак точність такого виміру може виявитися недостатньо високою, особливо якщо U 64 ≈ U 65 . (2К12)